MECÁNICA

Cinemática

Cinemática

La Mecánica es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, para ello consideraremos a los cuerpos como partículas.

Una partícula será todo cuerpo en el que puedo despreciar sus dimensiones para describir su movimiento. Esto dependerá del problema que estemos tratando, así la Tierra la podemos considerar una partícula cuando describimos su movimiento alrededor del …

Cinemática

… Sol, pero no se puede considerar una partícula cuando estudiamos su movimiento de rotación sobre su eje, ya que en este problema si interesan sus dimensiones y la situación es diferente en el ecuador que en una latitud, digamos de 42°.

Para describir su movimiento necesitamos ubicar la partícula en el espacio y esto depende de nuestro sistema de referencia.

Cinemática

Por sistema de referencia consideramos al conjunto de cuerpos que permanecen en reposo respecto a nosotros. Para operar con este concepto introducimos un sistema de coordenadas (normalmente un sistema cartesiano, pero dependiendo de la simetría del problema se toman otros sistemas de coordenadas como el cilíndrico o el esférico). Se necesita además un sistema de relojes para medir el tiempo.

Cinemática

El movimiento de una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en todo momento. La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado. Otra herramienta indispensable para avanzar en la descripción del movimiento es su representación con gráfico de funciones.

Cinemática

No basta saber donde está la partícula, sino además saber para donde se mueve, noción que se representa con el concepto de velocidad.

Las sucesivas posiciones tomadas por el cuerpo, determinan una línea que puede ser curva o recta y a la que llamamos trayectoria del cuerpo puntual.

Cinemática

En síntesis, el movimiento es relativo porque “depende” del sistema de referencia elegido y para poder describirlo correctamente es conveniente considerar un sistema de referencia fijo.

Considere un automóvil que se mueve a lo largo del eje 𝑥. Cuando se comenzó a recopilar datos de posición, el automóvil está a 30 m a la derecha de una señal del camino, que usará para identificar la posición de referencia 𝑥 = 0. Aplique el modelo de partícula para identificar la posición del automóvil en diferentes instantes.

Cinemática

Active el cronómetro y una vez cada 10 s

anote la posición del automóvil en relación

con la señal en 𝑥 = 0.

Los datos obtenidos son

Tabla 1

Cinemática

Si graficamos estos datos, poniendo la

posición en el eje de las ordenadas y el tiempo

en el eje de las abscisas tenemos:

Fig. 2

Cinemática

El gráfico contiene toda la información

esencial del movimiento que describe.

Por ejemplo, describamos el movimiento que

está contenido en el siguiente gráfico:

X (km)

60

1.0 2.2 4.3t (h)

Cinemática

A partir de los datos de la tabla I, se determina

fácilmente el cambio en posición del automóvil

para varios intervalos de tiempo. El

desplazamiento de una partícula se define como

su cambio en posición en algún intervalo de

tiempo. Conforme la partícula se mueve desde

una posición inicial 𝑥𝑖 a una posición final 𝑥𝑓, su

desplazamiento se calcula así:

∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

Cinemática

Es muy importante reconocer la diferencia entre

desplazamiento y distancia recorrida. Distancia es

la longitud de una trayectoria seguida por una

partícula.

La velocidad promedio 𝑣promedio de una

partícula se define como el desplazamiento ∆𝑥 de

la partícula dividido entre el intervalo de tiempo

∆𝑡 durante el que ocurre dicho desplazamiento:

𝑣promedio =∆𝑥

∆𝑡

Cinemática

La velocidad promedio tiene dimensiones de longitud divididas entre el tiempo (L/T), o metros por segundo en unidades del SI.

La velocidad promedio de una partícula que se mueve en una dimensión es positiva o negativa, dependiendo del signo del desplazamiento. (El intervalo de tiempo ∆𝑡 siempre es positivo.)

La velocidad promedio se interpreta geométricamente al dibujar una línea recta entre dos puntos en la gráfica posición-tiempo . Esta línea forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo de altura ∆𝑥 y base ∆𝑡. La pendiente de esta línea es la proporción

∆𝑥 ∆𝑡, que se definió como velocidad promedio.

Cinemática

La pendiente de esta línea es la

proporción ∆𝑥 ∆𝑡, que se

definió como velocidad

promedio. Por ejemplo, la línea

entre las posiciones A y B en la

figura 2 tiene una pendiente

igual a la velocidad promedio

del automóvil entre dichos dos

tiempos

(52 m – 30 m)/(10 s –0 s) = 2.2 m/s.

Cinemática En el uso cotidiano, la rapidez y la velocidad

promedio son intercambiables. De cualquier

modo, en física, hay una clara distinción entre estas dos cantidades. Considere una competidora de maratón que corre una distancia d = 40 km y aún así termina en su punto de partida. Su desplazamiento total es cero, ¡así que su velocidad promedio es cero! No obstante, es necesario cuantificar cuán rápido corre. Una relación ligeramente diferente logra esto. La rapidez promedio de una partícula, una cantidad escalar, se define como la distancia total recorrida dividida entre el intervalo de tiempo total requerido para recorrer dicha distancia:

𝑣rapidez promedio =𝑑𝑖𝑠𝑡

∆𝑡

Cinemática

Con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partícula en un instante específico en el tiempo en lugar de la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo finito. En otras palabras, nos gustaría poder especificar su velocidad de manera tan precisa como detalla su posición al notar lo que ocurre en una lectura particular de reloj; esto es, en algún instante específico. A finales del siglo XVII, con la invención del cálculo, los científicos empezaron a razonar las formas de describir el movimiento de un objeto en cualquier momento del tiempo.

CinemáticaYa se discutió la velocidad promedio para el intervalo durante el cual el automóvil se mueve desde la posición A hasta la posición B (dada por la pendiente de la línea azul). El automóvil comienza a moverse hacia la derecha, que se define como la dirección positiva. Enfoquémonos en la línea azul, en la medida que consideramos menores intervalos de tiempo, el punto B se mueve más a la izquierda a lo largo de la curva, hacia el punto A, como en la figura. La línea entre los puntos se vuelve cada vez más inclinada, y conforme los dos puntos se vuelven en extremo próximos, la línea se convierte en una línea tangente a la curva, indicada por la línea verde en la figura. La pendiente de esta línea tangente representa la velocidad del automóvil en el punto A. Lo que se hizo fue determinar la velocidad instantánea en dicho momento. En otras palabras, la velocidad instantánea 𝑣 es igual al valor límite de la proporción ∆𝑥 ∆𝑡 conforme ∆𝑡 tiende a cero:

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡

Cinemática En notación de cálculo, este límite se llama derivada de 𝑥 respecto a 𝑡,

que se escribe 𝑑𝑥 𝑑𝑡:

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero, dependiendo del signo de la pendiente de la grafica posición- tiempo. En el punto B, la pendiente y la velocidad instantánea son cero y el automóvil está momentáneamente en reposo.

De aquí en adelante, se usa la palabra velocidad para designar velocidad instantánea.

Cuando se esté interesado en velocidad promedio, siempre se usará el adjetivo promedio.

La rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad instantánea. Como con la rapidez promedio, la rapidez instantánea no tiene dirección asociada con ella.

Cinemática Considere que un objeto representado como una partícula en

movimiento a lo largo del eje 𝑥 tiene una velocidad inicial 𝑣𝑖 en el instante 𝑡𝑖 y una velocidad final 𝑣𝑓 en el tiempo 𝑡𝑓. La aceleración promedio 𝑎promediode la partícula se define como el cambio en

velocidad ∆𝑣 dividido por el intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el que ocurre el cambio:

𝑎promedio =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

Como con la velocidad, cuando el movimiento a analizar sea unidimensional, se usan los signos positivo y negativo para indicar el sentido (dirección) de la aceleración. Puesto que las dimensiones de velocidad son L/T y la dimensión de tiempo es T, la aceleración tiene dimensiones de longitud divididas entre el tiempo al cuadrado, o L/T2. La unidad del SI de aceleración es metros por segundo al cuadrado (m/s2). Es más sencillo interpretar estas unidades si piensa en ellas como metros por segundo por segundo.

Cinemática

En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente durante distintos intervalos de tiempo. Por lo tanto, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio conforme ∆𝑡 tiende a cero. Este concepto es análogo a la definición de velocidad instantánea.

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Esto es: la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto al tiempo, que por definición es la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo.

Cinemática En consecuencia, tal como la velocidad de una partícula

en movimiento es la pendiente en un punto sobre la gráfica 𝑥 − 𝑡 de la partícula, la aceleración de una partícula es la pendiente en un punto sobre la gráfica 𝑣 −𝑡 de la partícula. Uno puede interpretar la derivada de la velocidad respecto al tiempo como la relación de cambio de velocidad en el tiempo. Si 𝑎 es positivo, la aceleración está en la dirección 𝑥 positiva; si 𝑎 es negativa, la aceleración está en la dirección 𝑥 negativa.

Para el caso de movimiento en una línea recta, la dirección de la velocidad de un objeto y la dirección de su aceleración se relacionan del modo siguiente. Cuando la velocidad y la aceleración del objeto están en la misma dirección, el objeto aumenta su velocidad. Por otra parte, cuando la velocidad y la aceleración del objeto están en direcciones opuestas, el objeto frena.

Cinemática

Dijimos al inicio que era necesario determinar

donde está y para donde va la partícula, a esto se

le conoce como el estado mecánico de la

partícula. Estas nociones se formalizan con los

conceptos de vector posición y vector velocidad.

Existen magnitudes físicas que quedan

completamente definidas por un número y sus

unidades, por ejemplo la masa o la temperatura;

dichas magnitudes se denominan magnitudes

escalares. Otras magnitudes como la fuerza,

además de su valor o magnitud (y sus unidades)

Cinemática

… es necesario determinar su dirección y sentido (y problemas del movimiento de los cuerpos macroscópicos, sólidos, su punto de aplicación); a estas magnitudes se les denomina magnitudes vectoriales.

La suma y resta de magnitudes escalares deben ser dimensionalmente coherentes, es decir deben tener las mismas unidades para poder sumarse o restarse.

Ejemplo:

Realizar la suma de las siguientes magnitudes escalares:

a) 25 m, 10 m, 7 m.

Realizando la suma se tiene: 25 m + 10 m + 7 m = 42 m.

Cinemática

b) 250 g, 3.1 kg, 3000 g.

En este caso es necesario realizar una transformación de unidades, pasando los kilogramos a gramos se tiene:

3.1 kg1000 g1 kg

= 3100 g

Realizando la suma se tiene: 250 g + 3100 g + 3000 g = 6350 g.

Entre las magnitudes escalares más comunes se pueden mencionar: masa, tiempo, volumen, área, distancia.

Cinemática

Magnitud Vectorial: es aquella que para quedar

completamente definida es necesario dar su

magnitud, dirección y sentido.

La representación gráfica de un vector es dada

por un segmento de recta dirigido.

Figura 4. Representación gráfica de un vector.

Cinemática

La magnitud del vector se relaciona con la longitud de la flecha. La dirección es dada por el ángulo con respecto a la horizontal. El sentido se relaciona con la punta de la flecha.

Suma gráfica 𝐴

𝐵

𝐶 = 𝐴 + 𝐵

Cinemática

Suma gráfica 𝐴

𝐵

𝐶 = 𝐴 + 𝐵

Cinemática

Propiedades geométricas

Ley de los senos

Cinemática

Propiedades geométricas

Ley del coseno

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾

Cinemática Propiedades algebraicas

Se denomina vector unitario al que tiene magnitud uno. Los vectores unitarios más usados son los que indican la dirección de los ejes cartesianos en el espacio, y en el plano, se denotan por:

𝑖, para la dirección positiva del eje 𝑥,

𝑗, para la dirección positiva del eje 𝑦,

𝑘, para la dirección positiva del eje 𝑧.

Figura 5. Vectores unitarios en el espacio.

Cinemática Propiedades algebraicas

En el plano cartesiano se tienen solamente el eje 𝑥 y el eje 𝑦.

Figura 6. Vectores unitarios en el plano cartesiano

Cinemática Propiedades algebraicas

En muchos sistemas se tienen varios vectores actuando sobre

él y el resultado de todos los vectores sobre el sistema es

importante, por lo que es necesario sumar todos estos

vectores, y el vector resultante es el que hace el mismo efecto

de todos los vectores juntos. Todos los vectores que actúan

sobre el sistema se denominan componentes del vector

resultante.

Las componentes rectangulares de un vector son aquellas que

están a lo largo de los ejes cartesianos.

Cinemática Propiedades algebraicas

Para un vector 𝑉en el plano, sus componentes

rectangulares vienen dadas por las relaciones:

𝑉𝑥 = 𝑉cos𝜃, 𝑉𝑦 = 𝑉sin𝜃

Siendo 𝑉 la magnitud del vector y θ el ángulo con

respecto al sentido positivo del eje x, estas componentes

también se denominan proyecciones del vector sobre los

ejes cartesianos.

Utilizando sus componentes el vector será dado por la

relación:

𝑉 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗

Cinemática Propiedades algebraicas

Si se tienen las componentes sobre los ejes, 𝑉𝑥, 𝑉𝑦, la

magnitud 𝑉 del vector está dada por:

𝑉 = 𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

La dirección, el ángulo con respecto al sentido positivo del eje 𝑥, está dada por:

𝜃 = arctan𝑉𝑦

𝑉𝑥 Ejemplo: Encontrar las componentes rectangulares

de los siguientes vectores.

a) La magnitud del vector es 25.

Cinemática Propiedades algebraicas

b) El vector se encuentra en el tercer cuadrante del plano cartesiano.

Cinemática Propiedades algebraicas

Cuando se tienen diferentes vectores actuando sobre un mismo sistema, la forma más precisa de encontrar el vector resultante consiste en descomponer cada vector en sus componentes y luego sumar, algebraicamente, las componentes en la dirección 𝑥, y las componentes en la dirección 𝑦.

Si se tienen 𝑛 vectores, dados por: 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, … , 𝑉𝑛.

Encontrando sus componentes en la dirección “𝑥” se tienen: 𝑉1𝑥 , 𝑉2𝑥 , 𝑉3𝑥 , … , 𝑉𝑛𝑥

Las componentes en la dirección “𝑦” son dadas por: 𝑉1𝑦 , 𝑉2𝑦 , 𝑉3𝑦 , … , 𝑉𝑛𝑦

Obteniéndose la resultante 𝑉𝑅𝑥 en la dirección “𝑥” por la suma escalar de las componentes, así:

𝑉𝑅𝑥 = 𝑉1𝑥 + 𝑉2𝑥 + 𝑉3𝑥 + ⋯+ 𝑉𝑛𝑥

Cinemática Propiedades algebraicas

La resultante 𝑉𝑅𝑦, en la dirección “𝑦” se obtiene sumando

escalarmente las componentes en la dirección “y”, así:

𝑉𝑅𝑦 = 𝑉1𝑦 + 𝑉2𝑦 + 𝑉3𝑦 + ⋯+ 𝑉𝑛𝑦

El vector resultante será dado por la relación

𝑉𝑅 = 𝑉𝑅𝑥 𝑖 + 𝑉𝑅𝑦 𝑗

Cinemática Propiedades algebraicas

Ejemplo: Encontrar el vector, magnitud y dirección, resultante para los vectores dados en la figura siguiente:

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵, se escribe como 𝐴 ∙ 𝐵 (Debido al símbolo punto, con frecuencia al producto escalar se le llama producto punto.)

El producto escalar de dos vectores cualesquiera 𝐴 y 𝐵 es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo 𝜃 entre ellos:

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵cos𝜃

Como es el caso con cualquier multiplicación, 𝐴 y 𝐵 no necesitan tener las mismas unidades.

La figura 11 muestra dos vectores 𝐴 y 𝐵 y el ángulo 𝜃 entre ellos, que se aplica en la definición del producto punto.

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

En la figura 11, 𝐵cos𝜃 es la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.

Debido a eso, 𝐴 ∙ 𝐵 es el producto de la magnitud de 𝐴

y la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.

Fig. 11. Producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar es conmutativo

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴.

El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación,

𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶

El producto punto es simple de evaluar cuando 𝐴 es

perpendicular o paralelo a 𝐵. Si 𝐴 es perpendicular a 𝐵 𝜃 =

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 y los dos apuntan en la misma

dirección (𝜃 = 0), 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵. Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 pero

los dos apuntan en direcciones opuestas (𝜃 = 180°), 𝐴 ∙ 𝐵 = −𝐴𝐵. El producto escalar es negativo cuando 90° < 𝜃 ≤ 180°.

Los vectores unitarios 𝑖, 𝑗 y 𝑘, que se encuentran en las direcciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧 positivas, respectivamente, de un sistema coordenado de mano derecha. Por lo tanto, de la definición del producto punto, los productos escalares de estos vectores unitarios son

𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1.

𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0.

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

Como los vectores 𝐴 y 𝐵 pueden expresarse como

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘

el producto escalar de 𝐴 y 𝐵 se reduce a

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧

En el caso especial en el que 𝐴 = 𝐵, se tiene 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴𝑥

2 + 𝐴𝑦2 + 𝐴𝑧

2 = 𝐴2

Cinemática

Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

Ejemplo.

Se tienen los vectores 𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 y 𝐵 = − 𝑖 + 2 𝑗. Determine el producto escalar de estos vectores y

encuentre el ángulo entre ellos.