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MECÁNICA VECTORIAL
(ESTÁTICA). CAPÍTULO 2: CUERPOS RÍGIDOS.
SISTEMAS EQUIVALENTES DE
FUERZAS.
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE
FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 121
1.5.- REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR.
Cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un
sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O.
El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones
FR (11)
)( FrMM O
R
O (12)
las cuales expresan que la fuerza R se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema,
mientras que el momento del vector de par resultante R
OM , denominado momento
resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos de todas las fuerzas del sistema
con respecto a O.
Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un par que actúa en
el punto O, dicho sistema puede reducirse a una fuerza y un par actuando en cualquier otro
punto O´. Mientras que la fuerza resultante permanecerá inalterada, el nuevo momento
resultante R
OM ´ será igual a la suma de R
OM y el momento con respecto a O´de la fuerza R
unida a O. Entonces se tiene
RsMM RR
O 0` (13)
Sistemas equivalente de fuerzas.
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-
par en un punto dado O.
Dos sistemas de fuerzas F1, F2, F3,… y F1´, F2´, F3´,… que actúan sobre el mismo cuerpo
rígido son equivalentes si, y sólo si, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumas
de los momentos con respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos sistemas son
iguales.
´FF (14)
OO MM ´ (15)
Ejemplo 2.45. Ejemplo 3.8 del Beer-Johnston. Novena Edición.
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Una viga de 4.80 m de longitud está sujeta a las
fuerzas mostradas en la figura. Redúzcase el sistema
de fuerzas dado a: a) un sistema equivalente fuerza-
par en A, b) un sistema equivalente fuerza-par en B y
c) una sola fuerza o resultante.
Solución.
Sistema equivalente fuerza-par en A.
Fuerzas individuales (N):
jF 1501 jF 6002 jF 1003 jF 2504
Fuerza resultante:
4321 FFFFFR
)250()100()600()150( jjjjFR
jFR 600
a) Suma de momentos en el punto A.
)8.4(250)8.2(001(1.6)600)0(150 ARM
N.m 1880ARM
b) Suma de momentos en el punto B.
)0(250)2(001(3.2)600)8.4(150 BRM
N.m 1000BRM
Este resultante también puede obtenerse mediante:
RRR FrMMAB
N 600m 8.4N.m 1880 BRM
N.m 1000BRM
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c) Una sola fuerza o resultante.
jFR 600
Punto de ubicación de la fuerza resultante.
xFM RRA
x6001880
m 13.3x medidos desde el punto A.
En este caso para el cálculo del punto de aplicación de la resultante se tomó como
referencia el punto A, pero también puede realizarse este cálculo tomando como referencia
el punto B.
Ejemplo 2.46. Ejemplo 4.3 del Hibbeler. Décima Edición. Página 117.
Determine el momento resultante de las cuatro
fuerzas que actúan sobre la barra mostrada en la
figura.
Solución.
Enfoque escalar.
)º30cos34(40)30ºsen 3(20)0(60)2(50 OM
N.m 92.333OM
Ejemplo 2.47. Ejemplo 4.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 125.
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Tres fuerzas actúan sobre la barra mostrada
en la figura. Determine el momento
resultante que generan con respecto a O y
calcule los ángulos coordenados de
dirección del eje de momento.
Solución.
El momento resultante en el punto O está dado por:
332211 FrFrFrMOR
Vector posición.
Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los
puntos A y B:
)0.5,0(A )2,5,4( B
El vector de posición para cada fuerza es:
jr 51 jr 52 kj ir 2543
Fuerzas individuales (lb):
kj iF 2040601
jF 502
kjiF 3040803
Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A).
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304080
254
0500
050
204060
050
kjikjikji
MOR
)2404070()0()300100( kjikiMOR
lb.ft )604030( kjiMOR
Módulo del momento resultante: lb.ft 10.78ORM
Dirección del momento resultante: º41.67 º80.120 º80.39
Ejemplo 2.48. Ejemplo 4.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 164.
Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza
mostrada en la figura por una fuerza resultante y un
momento de par equivalentes actuando en el punto A.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura (a). Se descompuso la fuerza F2 de 400 N
en sus componentes rectangulares.
a) b)
Fuerzas individuales (N):
iF 1001
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jijiF 84.28284.28245ºsen 400º45cos4002
jF 6003
Fuerza resultante:
321 FFFFR
)600()84.28284.282()100( jjiiFR
N )84.88284.382( jiFR
Módulo de la fuerza resultante: N 28.962RF
Dirección de la fuerza resultante: º56.66
Suma de momentos en el punto A.
)4.0(600)3.0(º45cos400(0.8)45ºsen 400)0(100 ARM
N.m 13.551ARM
En la figura b) se muestra la fuerza resultante actuando en el punto A y el momento
resultante en el punto A.
Ejemplo 2.49. Problema 2/9 del Meriam.
Determinar la resultante de las cuatro
fuerzas y un par que actúan sobre la placa
mostrada.
Ejemplo 2.50. Problema 4.5 del Bedford.
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Dos fuerzas de igual magnitud F se aplican
a la llave como se muestra. Si se requiere un
momento de 50 N.m para aflojar la tuerca,
cual es el valor necesario de F?
Solución.
Respuesta: 81.1 N.
Ejemplo 2.51. Ejemplo 3.10 del Beer-Johnston. Novena Edición.
Tres cables están unidos a una ménsula,
como se muestra en la figura. Reemplace
las fuerzas que ejercen los cables por un
sistema equivalente fuerza-par en A.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. También se ilustran los vectores posición
para la determinación del momento de cada fuerza.
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Vector posición.
Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los
puntos A, B, C y D. Adicionalmente, para definir la fuerza F3 se requiere conocer las
coordenadas del punto E.
)0,1.0,0(A )05.0,1.0,075.0(B )05.0,1.0,075.0( C )0,0,1.0(D
)1.0,05.0,15.0( E
El vector de posición para cada fuerza es:
k ir 05.0075.01 j ir 1.01.02 k ir 05.0075.03
Fuerzas individuales (N):
kik iF 11.70711.70745ºsen 1000º45cos10001
jijiF 23.103960060ºsen 1200º60cos12002
BEuFF 33 uBE: vector unitario de la dirección de la fuerza.
Vector BE: kjiBE 05.015.0075.0 Módulo del vector BE: 175.0BE
kjikji
FBE 200600300175.0
05.015.0075.0700
Fuerza resultante:
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321 FFFFR
)200600300()23.1039600()11.70711.707( kjijikiFR
N )11.50723.43911.1607( kjiFR
Módulo de la fuerza resultante: N 52.1741RF
Dirección de la fuerza resultante: º66.22 º39.75 º93.106
Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A).
332211 FrFrFrMAR
200600300
05.00075.0
023.1039600
01.01.0
11.707011.707
05.00075.0
kjikjikji
MAR
)4530()92.163()68.17( kikjMAR
N.m )92.11868.1730( kjiMAR
Módulo del par resultante: N.m 91.123ARM
Dirección del par resultante: º99.75 º80.81 º32.16
Ejemplo 2.52. Ejemplo 4.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 165.
Un miembro estructural está sometido al momento de
un par M y a las fuerzas F1 y F2. Reemplace este
sistema por una fuerza resultante equivalente y el
momento de un par actuando en su base, en el punto
O.
Solución.
Momento resultante en el punto O.
2211 FrFrMM CRO
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Momento en el punto C.
k jMC )(500)(50053
54
k jMC 300400
Momento debido a las fuerzas individuales.
Vector posición.
Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los
puntos B y C.
)1,1.0,15.0(B )1,0,0(C
El vector de posición para cada fuerza es:
kj irB 1.015.0 krC
Fuerzas individuales (N):
kF 8001
CBuFF 22 uCB: vector unitario de la dirección de la fuerza.
Vector CB: jiCB 1.015.0 Módulo del vector CB: 1802.0CB
jiji
F 48.16672.2491802.0
1.015.03002
Fuerza resultante:
21 FFFR
)48.16672.249()800( jikFR
N )80048.16672.249( kjiFR
Módulo de la fuerza resultante: N 44.854RF
Dirección de la fuerza resultante: º99.106 º76.78 º44.159
Par resultante en O (Suma de momentos en el punto O).
80000
100
048.16672.249
11.015.0300400
kjikji
k jMOR
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)0()72.24948.166(300400 jik jMOR
N.m )30072.64948.166( k jiMOR
Módulo del par resultante: N.m 75.734ARM
Dirección del par resultante: º10.103 º16.152 º90.65
Ejercicios propuestos.
95. Una viga de 4 m de longitud se somete a una variedad de cargas. a) Reemplace cada
tipo de carga por un sistema equivalente fuerza-par en el extremo A de la viga. b) ¿Cuáles
de las cargas son equivalentes?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
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(g)
(h)
Respuesta: a) FR = 600 N ↓, M = 1000 N.m; b) FR = 600 N ↓, M = –900 N.m; c) FR = 600 N
↓, M = 900 N.m; d) FR = 400 N ↑, M = 900 N.m; e) FR = 600 N ↓, M = –200 N.m; f) FR =
600 N ↓, M = 800 N.m; g) FR = 1000 N ↓, M = 1000 N.m; FR = 600 N ↓, M = 900 N.m; b)
Cargas c y h.
96. Una viga de 4 m de longitud se carga de la forma
mostrada en la figura. Determine qué carga del
problema 64 es equivalente a esta carga.
Respuesta: Carga f.
97. Determine la fuerza sencilla equivalente y la distancia desde el punto A hasta su línea
de acción para la viga y la carga de a) del problema 95b, b) del problema 95d, c) del
problema 95e.
98. Cinco sistemas fuerza-par diferentes
actúan en las esquinas de la placa de metal,
que se ha moldeado en la forma que se
muestra en la figura. Determine cuál de
estos sistemas es equivalente a una fuerza
iF lb) 10( y a un par de momento
kjM lb.ft) 15(lb.ft) 15( ubicado en el
origen.
Respuesta: Sistema fuerza-par en D.
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99. Los pesos de dos niños sentados en los extremos A
y B de un balancín son 84 lb y 64 lb, respectivamente.
Determine dónde debe sentarse un tercer niño si la
resultante de las fuerzas de los pesos de los tres niños
debe pasar por C, y si se sabe que el peso del tercer
niño es a) 60 lb, b) 52 lb.
Respuesta: a) 2.00 ft a la derecha de C; b) 2.31 ft a la
derecha de C.
100. Tres lámparas de escenario se colocan
sobre el tubo mostrado en la figura. El peso
de las lámparas en A y B es de 4.1 lb,
mientras que la lámpara en C pesa 3.5 lb. a)
Si in 25d ., determine la distancia desde
D hasta la línea de acción de la resultante de
los pesos de las tres lámparas. b) Determine
el valor de d si la resultante de los pesos
debe pasar por el punto medio del tubo.
Respuesta: a) 39.6 in a la derecha de D; b)
33.1 in.
101. Una viga soporta tres cargas de
magnitud dada y una cuarta carga cuya
magnitud está en función de la posición. Si
b = 1.5 m y las cargas se deben reemplazar
por una sola fuerza equivalente, determine
a) el valor de a tal que la distancia desde el
soporte A hasta la línea de acción de la
fuerza equivalente sea máxima, b) la
magnitud de la fuerza equivalente y su
punto de aplicación sobre la viga.
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102. El engrane C está rígidamente unido al brazo AB.
Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden reducir a
una sola fuerza equivalente en A, determine dicha
fuerza equivalente y la magnitud del par M.
Respuesta: FR = 72.4 lb, 81.9º, M = 206 lb.ft.
Otras reducciones de un sistema de fuerzas.
Cuando R = 0, el sistema fuerza-par se reduce a un vector de par R
OM . Entonces, el sistema
de fuerzas dado puede ser reducido a un solo par, que recibe el nombre de par resultante
del sistema.
Un sistema fuerza-par en O puede ser reemplazado por una sola fuerza R que actúa a lo
largo de una nueva línea de acción si R y R
OM son mutuamente perpendiculares. Por tanto,
los sistemas de fuerzas que pueden ser reducidos a una sola fuerza o resultante, son
aquellos sistemas para los cuales la fuerza R y el vector de par R
OM son mutuamente
perpendiculares. Aunque, en general, esta condición no se cumplirá para sistemas de
fuerzas en el espacio, si se cumplirá para sistemas constituidos por 1) fuerzas concurrentes,
2) fuerzas coplanares o 3) fuerzas paralelas. Estos tres casos se estudiarán en forma
separada.
1) Fuerzas concurrentes.
Las fuerzas concurrentes están aplicadas en el mismo punto y, por tanto, pueden ser
sumadas directamente para obtener su resultante R. Por consiguiente, éstas siempre se
reducen a una sola fuerza.
2) Las fuerzas coplanares actúan en el mismo plano, el cual se puede suponer que es el
plano de la figura. La suma R de las fuerzas del sistema también estará en el plano de la
figura, mientras que el momento de cada fuerza con respecto a O y, por consiguiente, el
momento resultante R
OM , serán perpendiculares a dicho plano. De esta forma, el sistema
fuerza-par en O está constituido por una fuerza R y por un vector de par R
OM que son
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mutuamente perpendiculares. Estas fuerzas pueden reducirse a una sola fuerza R, moviendo
R en el plano de la figura hasta que su momento con respecto a O sea igual a R
OM . La
distancia desde O hasta la línea de acción de R es
RMd R
O / (16)
Punto de aplicación de la fuerza resultante.
Para reducir el sistema de fuerzas a una sola fuerza R, se expresa que el momento de R con
respecto a O debe ser igual a R
OM . Representando con x y y las coordenadas del punto de
aplicación de la resultante, se escribe
R
Oxy MRyRx (17)
la cual representa la ecuación de la línea de acción de R.
3) Las fuerzas paralelas tienen líneas de acción paralelas y pueden o no tener el mismo
sentido.
Ejemplo 2.53. Ejemplo 3.9 del Beer-Johnston. Novena Edición.
Se usan cuatro remolcadores para llevar un
transatlántico a su muelle. Cada remolcador
ejerce una fuerza de 5000 lb en la dirección
mostrada en la figura. Determine: a) el
sistema equivalente fuerza-par en el mástil
mayor O y b) el punto sobre el casco donde
un solo remolcador más potente debería
empujar al barco para producir el mismo
efecto que los cuatro remolcadores
originales.
Solución.
Ejemplo 2.54. Ejemplo 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 170.
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La viga AE que se muestra en la figura está
sometida a un sistema de fuerzas coplanares.
Determine la magnitud, la dirección y la
ubicación sobre la viga de una fuerza
resultante que sea equivalente al sistema
dado de fuerzas medido desde E.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F1 de 500 N en
sus componentes rectangulares.
Fuerzas individuales (N):
jij iF 0.433250 60ºsen 500º60cos5001
jF 2002
iF 1003
Fuerza resultante: 321 FFFFR
)100()200()0.433250( ijjiFR
N )0.233350( jiFR
Módulo de la fuerza resultante: N 5.420RF
Dirección de la fuerza resultante: º53.33
Suma de momentos en el punto E.
)5.0(100(2.5)200)4(60ºsen 500 ERM
N.m 05.1182ERM
Punto de acción de la resultante.
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El momento resultante en E es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto (x) de la viga.
05.1182233 d
m 07.5d
La fuerza resultante del sistema de fuerzas actúa a 5.07 m del punto E.
Comentario: El punto de aplicación de la fuerza resultante se puede determinar también
considerando la suman de momentos con respecto al punto A.
Ejemplo 2.55. Ejemplo 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 171.
La grúa mostrada en la figura está sometida
a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta
carga por una fuerza resultante equivalente y
especifique en qué punto la línea de acción
de la resultante intersecta la columna AB y
el pescante BC.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F2 de 400 N en
sus componentes rectangulares.
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Fuerzas individuales (N):
iF 1751
jF 602
jijiF 200150)(250)(25054
53
3
Fuerza resultante: 321 FFFFR
)200150()60()175( jijiFR
lb )260325( jiFR
Módulo de la fuerza resultante: lb 20.416RF
Dirección de la fuerza resultante: º66.38
Suma de momentos en el punto A.
)8(200)11(150(3)60)5(175 ARM
lb.ft 745ARM
Línea de acción de la resultante.
El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto (x,y) del plano.
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xy 260325745
Intersección entre la línea de acción de la resultante y la columna AB ( 0x )
)0(260325745 y
ft 29.2y
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el pescante BC ( 11y )
x260)11(325745
ft 88.10x
Ejemplo 2.56. Problema 4.121 del Hibbeler. Décima Edición. Página 177.
Reemplace la carga sobre la estructura por
una sola fuerza resultante. Especifique
dónde intersecta su línea de acción al
miembro CD, medida esta intersección
desde el extremo C.
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Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descomponen las fuerzas F1 de 500 N y
F3 de 250 N en sus componentes rectangulares.
Fuerzas individuales (N):
jijiF 01.43325060ºsen 500º60cos5001
jF 3002
jijiF 150200)(250)(25053
54
3
Fuerza resultante: 321 FFFFR
)150200()300()01.433250( jijjiFR
N.m )01.883450( jiFR
Módulo de la fuerza resultante: N 06.991RF
Dirección de la fuerza resultante: º00.63
Suma de momentos en el punto C.
Obsérvese que se está aplicando un momento de 400 N.m en sentido antihorario (+) en el
punto C. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre
este mismo punto.
)6(150)0(200)3(300(1)01.433)2(250400 CRM
N.m 01.2333CRM
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Línea de acción de la resultante.
El momento resultante en C es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto (x,y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto C.
xy 01.88345001.2333
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro CD ( 0y )
x01.883)0(45001.2333
m 64.2y
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro AB ( 1x )
)1(01.88345001.2333 y
m 22.3y
Ejemplo 2.57. Problema 4.140 del Bedford.
El soporte se somete a tres fuerzas y un par.
Si Ud representa este sistema por una fuerza
F, cual es F?, y dónde su línea de acción se
intersecta con el eje x?
Solución.
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Se designan los puntos correspondientes a cada aplicación de la fuerza.
Fuerzas individuales.
iFB 200 iFC 400 jFD 180
Fuerza resultante: 321 FFFFR
)180()400()200( jiiFR
N )180200( jiFR
Módulo de la fuerza resultante: N 07.269RF
Dirección de la fuerza resultante: º98.41
Suma de momentos en el punto A.
Obsérvese que se está aplicando un momento de 180 N.m en sentido antihorario (+) en el
punto D. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre
este mismo punto.
65.01806.04002.0200140 ARM
N.m 57ARM
Línea de acción de la resultante.
El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto (x,y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto A.
Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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xy 18020057
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el eje x ( 0y )
x180)0(20057
m 317.0y
Ejemplo 2.58. Problema 3.114 del Beer-Johnston. Octava Edición.
Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de
la superficie del elemento C, ejerce una
fuerza F constante y perpendicular a la
superficie. a) Reemplace F con un sistema
equivalente fuerza-par en el punto D. b)
Para b = 1 ft, h = 2 ft, determine el valor de
x para el cual el momento del sistema
equivalente fuerza-par en D es máximo.
Respuesta: FR = F,
xh
b
2tan
21 ,
Fxhb
xbhxbhM
224
3222
4
)/(2)2(
; b) 0.354
ft.
Solución.
Ejercicios propuestos.
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103. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre
la estructura por una fuerza y un momento de par
resultante equivalentes que actúen en el punto A.
104. Un par de magnitud M = 54 lb.in y las tres
fuerzas mostradas en la figura se aplican a una
ménsula angular. a) Encuentre la resultante de este
sistema de fuerzas. b) Localice los puntos donde la
línea de acción de la resultante interseca a la línea
AB y a la línea BC.
Respuesta: a) 34 lb, 28.0º; b) AB: 11.64 in a la
izquierda de B, BC: 6.20 in debajo de B.
Figura Problemas 104 y 105.
105. Un par M y las tres fuerzas mostradas en la figura se aplican a una ménsula angular.
Encuentre el momento del par si la línea de acción de la resultante del sistema de fuerzas
debe pasar a través de a) del punto A, b) del punto B, c) del punto C.
Respuesta: a) 42.8 lb.in; b) 240 lb.in; c) 0.
106. Reemplace la carga sobre el marco por una sola
fuerza resultante. Especifique dónde interseca su línea
de acción, medida desde A, al miembro AB.
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107. Una armadura resiste las cargas mostradas en la
figura. Determine la fuerza equivalente a las fuerzas
que actúan sobre la estructura y el punto de
intersección de su línea de acción la línea que pasa por
los puntos A y G.
Respuesta: 773 lb, 79.0º, 9.54 ft a la derecha de A.
108. Las poleas A y B se montan sobre la ménsula
CDEF. La tensión en cada lado de las dos bandas es la
que se muestra en la figura. Reemplace las cuatro
fuerzas por una sola fuerza equivalente y determine
dónde se interseca su línea de acción con el borde
inferior del soporte.
109. Cuatro cuerdas que se encuentran
atadas a una caja ejercen las fuerzas que se
muestran en la figura. Si las fuerzas deben
remplazarse por una sola fuerza equivalente
aplicada en un punto sobre la línea AB,
determine a) la fuerza equivalente y la
distancia desde A hasta el punto de
aplicación de la fuerza si º30 , b) el
valor de y tal que la fuerza equivalente
se aplique en el punto B.
Respuesta: a) 665 lb, 79.6º, 64.9 in a la
derecha de A; b) 22.9º.
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110. Un arnés de alambre se fabrica al
enredar dos o tres alambres alrededor de
clavijas de 2 in. de diámetro montadas sobre
una hoja de madera. Si la fuerza en cada
alambre es de 3 lb, determine el par
resultante que se sitúa sobre la madera
cuando a = 18 cm, y b) sólo se colocan los
alambres AB y CD, b) se colocan los tres
alambres.
111. Tres cables conectados a un disco ejercen sobre
éste las fuerzas indicadas en la figura. a) Reemplace las
tres fuerzas con un sistema fuerza-par equivalente en
A. b) Determine la fuerza única que es equivalente al
sistema fuerza-par obtenido en el inciso a) y
especifique su punto de aplicación sobre la línea que
pasa por los puntos A y D.
Respuesta: a) FA = 22.0 lb, 20.0º, MA = 26.0 lb.in; b) FA
= 22.0 lb, 20.0º, 1.259 in abajo de A.
112. Un componente de máquinas se somete a las
fuerzas y pares mostrados en la figura. El componente
debe mantenerse en su lugar mediante un solo remache
que puede resistir una fuerza pero no un par. Para P =
0, determine la ubicación del orificio para el remache si
éste debe localizarse a) sobre la línea FG, b) sobre la
línea GH.
Respuesta: a) 0.365 m arriba de G; b) 0.227 m a la
derecha de G.
113. Retome el problema 112, y ahora suponga que P = 60 N.
Respuesta: a) 0.299 m arriba de G; b) 0.259 m a la derecha de G.
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114. Un motor de 32 lb se monta sobre el peso.
Encuentre la resultante del peso y las fuerzas ejercidas
sobre la banda, y determine el punto donde la línea de
acción de la resultante interseca con el piso.
115. Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de la
superficie del elemento C, ejerce una fuerza constante
y perpendicular a la superficie. a) Reemplace F por un
sistema equivalente fuerza-par en el punto D obtenido
al dibujar la perpendicular desde el punto de contacto
hasta el eje x. b) Para m 1a y m 2b , determine el
valor de x para el cual el momento del sistema
equivalente fuerza-par en D es máximo.
Respuesta: FR = F,
xb
a
2tan
21 ,
224
2
32
4
2
xba
a
xxbF
M
;
b) 0.369 m.
Ejemplo 2.59. Ejemplo 3.11 del Beer-Johnston. Novena Edición.
Una losa de cimentación cuadrada soporta
las cuatro columnas mostradas en la figura.
Determine la magnitud y el punto de
aplicación de la resultante de las cuatro
cargas.
Solución.
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El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de
coordenadas O.
Fuerza resultante.
kips 20kips 8kips 12kips 40 RF
jFR kips) 80(
Momento resultante en el origen.
0200
1004
080
5010
0120
0010
kjikjikji
MOR
)80200()8040()120( kikikMOR
kips.ft )280240( kiMOR
Punto de aplicación de la resultante.
0800
0280240
zx
kji
ki
kxizki 8080280240
z80240 x80280
ft 00.3z ft 50.3x
El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ft)00.3,0,50.3(
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Ejemplo 2.60. Ejemplo 4.18 del Hibbeler. Décima Edición. Página 172.
La losa que aparece en la figura está
sometida a cuatro fuerzas paralelas.
Determine la magnitud y la dirección de una
fuerza resultante equivalente al sistema dado
de fuerzas y localice su punto de aplicación
sobre la losa.
Solución.
El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de
coordenadas O.
Fuerza resultante.
N 600N 100N 400N 500 RF
kFR N) 1400(
Momento resultante en el origen.
60000
008
10000
056
40000
0100
kjikjikji
MOR
)4800()600500()4000( jjiiMOR
N.m )42003500( jiMOR
Punto de aplicación de la resultante.
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140000
042003500
yx
kji
ji
jxiyji 1400140042003500
y14003500 x14004200
m 50.2y m 00.3x
El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en m)0,50.2,00.3(
Ejemplo 2.61. Ejemplo 4.19 del Hibbeler. Décima Edición. Página 173.
Tres fuerzas paralelas actúan sobre el borde
de la placa circular de cubierta en la figura.
Determine la magnitud y la dirección de una
fuerza resultante equivalente al sistema dado
de fuerzas y localice su punto de aplicación,
P, sobre la placa.
Solución.
El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de
coordenadas O.
Fuerza resultante.
lb 150lb 200lb 300 RF
kFR N) 650(
Momento resultante en el origen.
15000
0º45cos845ºsen 8
20000
080
30000
008
kjikjikji
MOR
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)53.84853.848()1600()2400( jiijMOR
lb.ft )47.155147.751( jiMOR
Punto de aplicación de la resultante.
65000
047.155147.751
yx
kji
ji
jxiyji 65065047.155147.751
y65047.751 x65047.1551
ft 16.1y ft 39.2x
El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ft)0,16.1,39.2(
Ejemplo 2.62. Ejemplo 2/16 del Meriam.
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Determinar la resultante de la fuerza y par
que actúan sobre el sólido rectangular.
Solución.
Ejemplo 2.63. Ejemplo 2/18 del Meriam.
Reemplace las dos fuerzas y el par por una
fuerza única R aplicada en A y el par
correspondiente.
Solución.
Ejercicios propuestos.
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116. Cuatro fuerzas se aplican al componente de
máquina ABDE como se muestra en la figura.
Reemplace estas fuerzas por un sistema equivalente
fuerza-par en A.
Respuesta: N) 2500.50420( kjiFR ,
N.m) 228.30( kjM .
117. Dos poleas de 150 mm de diámetro se
montan sobre el eje en línea AD. Las
bandas de las poleas B y C están contenidas
en planos verticales paralelos al plano yz.
Reemplace las fuerzas de las bandas
mostradas por un sistema fuerza-par
equivalente en A.
Respuesta: N) 339420( kjFR ,
N.m) 9.1099.1631125( kjiM .
118. Al usar un sacapuntas manual, un
estudiante ejerce sobre éste las fuerzas y el
par que se muestran en la figura. a)
Determine las fuerzas ejercidas en B y en C
si se sabe que las fuerzas y el par son
equivalentes a un sistema fuerza-par en A
que consta de la fuerza
kjRiR y lb) 7.0(lb) 6.2( y el par
kjiMM x
R
A lb.ft) 72.0()lb.ft 0.1( . b)
Encuentre los valores correspondientes de
Ry y Mx.
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Respuesta: a) lb)50.2( iB ,
lb) 700.047.21000.0( kjiC ; b)
lb 47.2yF , lb.ft360.1xM .
119. Una paleta sostenida mediante un berbiquí se
utiliza para apretar un tornillo en A. a) Determine las
fuerzas ejercidas en B y C, si se sabe que estas fuerzas
son equivalentes a un sistema fuerza-par en A que
consiste en kRjRiR zy N) 30( y
iM R
A N.m)12( . b) Encuentre los valores
correspondientes de Ry y Rz. c) Determine la
orientación de la ranura en la cabeza del tornillo para la
cual es menos probable que la paleta se resbale, si el
berbiquí se encuentra en la posición mostrada.
Respuesta: a) N) 80( kFB ,
N)0.400.30( kiFC ; b) 0yRF , N 0.40
zRF ,
c) Cuando la ranura está en la posición vertical.
120. Un mecánico usa una llave tipo pata de gallo para
aflojar un perno ubicado en C. El mecánico sostiene el
maneral por los puntos A y B, ejerciendo sobre éstos
puntos las fuerzas que se muestran en la figura. Si se
sabe que estas fuerzas son equivalentes a un sistema
fuerza-par en C que consta de la fuerza
kiC )lb 4(lb) 8( y el par iMC )lb.in 360( ,
determine las fuerzas aplicadas en A y B cuando
lb 2zA .
Respuesta: lb ) 00.20.36 600.1( kjiA ,
lb ) 00.20.36 60.9( kjiB .
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121. Un puntal ajustable BC se utiliza para colocar una
pared en posición vertical. Si el sistema fuerza-par que
se ejerce sobre la pared es tal que R = 21.2 lb y M =
13.25 lb.ft, encuentre un sistema fuerza-par equivalente
en A.
122. Un mecánico reemplaza el sistema de escape de un automóvil al asegurar firmemente
el convertidor catalítico FG a sus ménsulas de montaje H e I para después ensamblar de
manera holgada los mofles y los tubos de escape. Para colocar el tubo de salida AB, lo
empuja hacia adentro y hacia arriba en A mientras lo jala hacia abajo en B. a) Reemplace el
sistema de fuerzas dado por un sistema fuerza-par equivalente en D. b) Determine si el tubo
CD tiende a rotar en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido inverso en relación
con el mofle DE, según lo observa el mecánico.
Figura Problemas 122 y 123.
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Respuesta: a) N ) 0.504.28( kjFR , N ) 13.20.24 56.8( kjiM ; b) En contra de
las manecillas del reloj.
123. Para el sistema de escape del problema 122, a) reemplace el sistema de fuerzas dado
por un sistema fuerza-par equivalente en F, donde el tubo de escape está conectado con el
convertidor catalítico, b) determine si el tubo EF tiende a rotar en el sentido de las
manecillas del reloj o en el sentido inverso, según lo observa el mecánico.
Respuesta: a) N ) 0.504.28( kjFR , N ) 13.20.24 4.42( kjiM ; b) En contra de
las manecillas del reloj.
124. El cabezal del taladro radial originalmente estaba
colocado con el brazo AB paralelo al eje z, mientras
que la broca y el portabrocas estaban colocados
paralelos al eje y. El sistema se rotó 25º respecto del eje
y y 20º alrededor de la línea de centros del brazo
horizontal AB, hasta que quedó en la posición
mostrada. El proceso de taladrado comienza al
encender el motor y rotar la manivela hasta que la
broca entra en contacto con la pieza de trabajo.
Reemplace la fuerza y el par ejercidos por el taladro
por un sistema equivalente fuerza-par en el centro O de
la base de la columna vertical.
125. Tres niños se encuentran parados en la balsa de
5×5 m. Si el peso de los niños que están parados en A,
B y C es de 375, 260 y 400 N, respectivamente,
determine la magnitud y el punto de aplicación de la
resultante de los tres pesos.
Respuesta: 1035 N, a 2.57 m de OG y 3.05 m de OE.
Figura Problemas 125 y 126.
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126. Tres niños se encuentran parados en la balsa de 5×5 m. Los pesos de los niños que
están parados en A, B y C son de 375 N, 260 N, y 400 N, respectivamente. Si un cuarto
niño que pesa 425 N se sube a la balsa, determine dónde debe estar parado si los otros niños
permanecen en la posición mostrada y si la línea de acción de la resultante del peso de los
cuatro niños debe pasar por el centro de la balsa.
Respuesta: 2.32 m de OG y 1.165 m de OE.
127. Una base de concreto que tiene forma de
hexágono regular con lados de 12 ft soporta cuatro
cargas sobre sus columnas, como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de las cargas adicionales
que deben aplicarse en B y F si la resultante de las seis
cargas debe pasar por el centro de la base.
128. Un grupo de estudiantes carga la plataforma de un
tráiler de 2×3.3 m con dos cajas de 0.66×0.66×0.66 m
y con una caja de 0.66×0.66×1.2 m. Cada una de las
cajas se coloca en la parte posterior del tráiler, de tal
forma que quedan alineadas con la parte trasera de los
costados del tráiler. Determine la carga mínima que los
estudiantes deben colocar en una caja adicional de
0.66×0.66×1.2 m y el sitio en el tráiler donde deben
asegurarla si ninguna parte de las cajas debe salirse de
los costados. Además, suponga que cada caja está
cargada uniformemente y que la línea de acción de la
resultante del peso de las cuatro cajas pasa por el punto
de intersección de las líneas centrales y el eje del
tráiler. (Sugerencia: Tomen en cuenta que las cajas
pueden colocarse sobre sus extremos o sobre sus
costados).
Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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BIBLIOGRAFÍA.
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