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Tema 8: Esttica de fluidos
Ramn Bravo1
1Departamento de Fsica AplicadaFacultad de Fsica
Revisin: 9 de septiembre de 2015
R. Bravo (USC) Tema 8: Esttica de fluidos 2015-16 1 / 26
1 Conceptos fundamentales
2 Ecuacin fundamental de la esttica de fluidos
3 Principio de Arqumedes. Equilibrio de cuerpos flotantes
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1. Conceptos fundamentales.
Concepto de fluido
Un fluido es una sustancia que se deforma constantemente al ser sometidaa un esfuerzo cortante, con independencia del valor de ste.
En la figura se muestra un fluido confinadoentre dos placas paralelas, cada una de ellas derea A y separadas por una distancia z .
z
F
Manteniendo la placa inferior en reposo, se tira de la placa superior conuna fuerza constante ~F . El cociente F/A se le denomina esfuerzo cortante.
Como consecuencia de la friccin en el seno del fluido, la velocidad de cadacapa de fluido disminuye uniformemente desde la placa superior hasta laplaca inferior.
Se denomina viscosidad a la resistencia que ofrece un fluido al flujo o a ladeformacin cuando est sometido a un esfuerzo cortante.
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Se denomina fluido newtoniano a aquel fluido para el que se verifica queel esfuerzo cortante es directamente proporcional al gradiente de velocidad
F
A=
dv
dz(1)
donde al factor de proporcionalidad, , se le denomina viscosidad absolutao dinmica, siendo su unidad en el sistema internacional N s/m2.
Si el esfuerzo cortante no es directamente proporcional al gradiente develocidad, el fluido se denomina no newtoniano.
Dentro del concepto de fluido distinguiremos entre:I Lquidos
Poseen volumen propio pero no poseen forma propia de manera que seadaptan al recipiente que los contiene.
I GasesNo poseen ni volumen ni forma propia, de manera que se expandenhasta llenar completamente el recipiente que los contiene.
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En el estudio que llevaremos a cabo a continuacin, nos referiremossolamente a los fluidos ideales o perfectos, entendiendo por tales:
Carecen de viscosidad, no hay rozamiento interno de forma que todoelemento fluido puede ejercer solamente fuerzas normales sobre unelemento vecino o sobre una pared prxima.La densidad es constante para todos los elementos del fluido y paratodos los tiempos.
Concepto de presinConsideremos un elemento de superficie, dA, enel seno de un fluido en reposo.
Aunque globalmente el fluido est en reposo, lasmolculas que lo componen estn enmovimiento, de forma que colisionan con lasuperficie dA.
dF
dA
Cada colisin tiene como resultado el cambio de sentido de la componentenormal a la superficie del vector momento lineal.
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De acuerdo con el teorema del momento lineal, el conjunto de colisionesproduce, en un tiempo dt, una fuerza neta dF normal a la superficie.
Se define presin hidrosttica en un punto
p =dF
dA(2)
como la fuerza normal que acta sobre la unidad de rea colocada en esepunto.
Si la presin es la misma en todos los puntos de una superficie plana finitade rea A, entonces
p =F
A(3)
La unidad de presin en el sistema internacional, se denomina pascal, serepresenta por Pa y equivale a
1Pa = N/m2
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Se denomina presin atmosfrica, po , a la presin que ejerce la atmsferaterrestre. La presin atmosfrica normal al nivel del mar es 1 atmsfera(atm), definida como
1 atm = 1, 013 105Pa2. Ecuacin fundamental de la esttica de fluidos.Vamos a deducir una relacin general entre la presin p en cualquier puntode un fluido en reposo y la altura z a la que se encuentra dicho punto.
Supondremos que la densidad del fluido y la aceleracin de la gravedad gson las mismas en todo el fluido.Consideremos un elemento de volumen en elinterior de un fluido en equilibrio.
Las superficies inferior y superior tienen un reaA y estn separadas una distancia dz . Lasuperficie inferior est situada a una altura z porencima del nivel de referencia z = 0. 0
dz
zpA
dw
(p+dp)A
A
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Evaluemos las fuerzas que actan sobre el elemento de volumen de fluido.
El volumen del elemento es dV = Adz , su masa dm = dV = Adz , y supeso dw = gdm = gAdz .
Si p es la presin en la cara inferior, colocada a la altura z , la fuerza querealiza el fluido que est por debajo hacia arriba sobre la cara inferior serpA.
En la cara superior, colocada a una altura z + dz , la presin ser p + dp ypor lo tanto la fuerza realizada por el fluido que est por encima ser(p + dp)A.
La condicin de equilibrio del fluido implica queFx = 0,
Fy = 0,
Fz = 0
verificndose entonces para el elemento de fluido
pA (p + dp)A gAdz = 0
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y al simplificar
dp = gdz (4)expresin que se denomina ecuacin fundamental de la esttica defluidos.
La ecuacin anterior pone de manifiesto que un aumento de la coordenadaz implica una disminucin de p.
La ecuacin (4) puede utilizarse para calcular la presin en un punto si seconoce la presin en otro.
Si p1 y p2 son las presiones a las alturas z1 y z2,resulta p2
p1
dp = g z2z1
dz
z=0
1
2 p2
Z1
Z2p1
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resultap2 p1 = g(z2 z1) (5)
Ejemplo 1A qu altura hay que ascender para que la presin atmosfrica se reduzcaa la mitad de la correspondiente al nivel del mar?Densidad del aire: 1, 28 kg m3, g = 9, 8m s1, po = 1, 013 105 Pa.
Si en la ecuacin (5) hacemos: p1 = po , p2 = po2 , z1 = 0
z2 = p2 p1 g
=1,013105
21, 28 9, 8 = 4037, 8 m
Suele ser til expresar la ecuacin (5) en trminos de la profundidad bajo lasuperficie de un fluido.
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Tomemos el punto 1 situado a una altura z1 ysea p la presin en dicho punto. Tomemos elpunto 2 en la superficie libre del fluido donde lapresin es po , situado a una altura z2.Por lo tanto
po p = g(z2 z1) 0
1p
h
2 po
Z1
Z2
y teniendo en cuenta que h = z2 z1 es la profundidad a la que seencuentra el punto 1 respecto a la superficie libre del fluido
p = po + gh (6)
Deberemos observar que:la presin p a una profundidad h es mayor que la presin po en lasuperficie.la presin es la misma para cualquiera dos puntos situados a la mismaprofundidad.
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Veamos como la ecuacin (5) nos va a permitir disear medidores depresin:
Barmetro de TorricelliLa medida de la presin atmosfrica puede hacerse mediante un barmetro,cuya configuracin ms sencilla es la diseada por Torricelli.
Consiste en un tubo de seccin constante, cerradopor uno de sus extremos, en el que se ha colocadomercurio. Se tapa el extremo abierto, y una vezintroducido en una cubeta que contiene mercurio,se destapa. El mercurio desciende por el tubo,dejando un vaco en la parte superior y alcanzandouna altura h sobre su nivel en la cubeta, de formaque equilibre la presin atmosfrica.
p=0
h
1 2
p0
La presin p en el punto 1 debida a la columna de mercurio de altura hdebe ser igual a la presin po en el punto 2
po = gh (7)
A la presin medida con un barmetro se denomina presin baromtrica.R. Bravo (USC) Tema 8: Esttica de fluidos 2015-16 12 / 26
Si po = 1 atm = 1, 013 105 Pa, la densidad del mercurio = 13, 6 g cm3y la aceleracin de la gravedad g = 9, 8m s1, resulta
h =po g
=1, 013 105
13, 6 103 9, 8 = 0, 76m
Basndose en este resultado, se define una atmsfera como la presin queejercera una columna de mercurio de 76 cm de altura.
Manmetro de tubo abierto
Se utiliza para medir la presin de un gascontenido en un recipiente y consiste en un tubo enforma de U que contiene un lquido (generalmentemercurio). Por uno de sus extremos se conecta alrecipiente cuya presin se desea medir, mientrasque el otro extremo est abierto a la atmsfera.
h
p
1 2
3
po
La presin en el punto 1 es la presin que deseamos medir, p = p1. Lapresin del punto 2 vendr dada por p2 = p3 + gh.
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Como la presin en los puntos 1 y 2 debe ser idntica (ambos se encuentrana la misma altura en el mismo fluido en reposo), p1 = p2, y como, adems,p3 = po por estar ese extremo abierto a la atmsfera, resulta
p = po + gh (8)
A la presin p se le denomina absoluta, mientras que a la diferenciap po = gh se le denomina presin manomtrica.Obsrvese que la presin manomtrica puede ser tanto positiva comonegativa, mientras que la presin absoluta es siempre positiva.
Ejemplo 2
Se vierte mercurio en un tubo en U como el de lafigura. A continuacin se vierten 100 g de agua enel brazo derecho. Determinar la altura de lacolumna de agua, ha, as como la altura h a laque ascender el mercurio.
h
A1A2
ha
Las secciones de los tubos son: A1 = 5 cm2, A2 = 10 cm2. Densidad delmercurio 13,6 gcm3, del agua 1 gcm3
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Si tenemos en cuenta que la masa de agua puede ponerse en funcin delvolumen que ocupa y de su densidad, resulta
ma = a Va = a A1ha ha = maa A1
=1001 5 = 20 cm
Escribamos expresiones para laspresiones de los puntos 1 y 2:
p1 = po + a gha
p2 = po + m g(h + h)
h ha
h' 12
po
Como los puntos 1 y 2 se encuentran a la misma altura, p1 = p2, y porconsiguiente
a ha = m (h + h) (h + h) = a ha
m=
1 2013, 6
= 1, 47 cm
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Dado que el volumen de mercurio que ha aumentado en la rama izquierda,es igual al volumen de mercurio que ha descendido en la rama derecha
hA2 = hA1 = (1, 47 h)A1
de donde
h =1, 47 A1A1 + A2
=1, 47 55+ 10
= 0, 49 cmh ha
h'
3. Principio de Arqumedes. Equilibrio de cuerpos flotantes.
Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, por efecto de la presin, actasobre dicho cuerpo una fuerza ascendente denominada fuerza de flotacino empuje.
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Para mayor simplicidad, supongamos un cuboque flota totalmente sumergido en un fluido dedensidad f , como se indica en la figura.La fuerza neta debida a la presin del fluido queacta sobre el cuerpo en direccin horizontal esnula.La fuerza neta debida a la presin del fluido queacta sobre el cuerpo en direccin vertical no esnula.
0
h
z1
A
z2
Fsup
Finf
Si p1 es la presin en la cara inferior del cubo, la fuerza que acta en dichacara verticalmente hacia arriba es Finf = p1A. De forma anloga, si p2 es lapresin que acta sobre la cara superior, la fuerza que acta sobre ellaverticalmente hacia abajo es Fsup = p2A.
La fuerza de empuje vendr dada por
E = Finf Fsup = (p1 p2)A
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De acuerdo con la ecuacin (5), se verifica que p1 = p2 + f gh, y por lotanto
E = f ghA
Ahora bien, el producto hA representa el volumen del cuerpo sumergido enel fluido, o lo que es lo mismo, el volumen de fluido Vf desalojado por elcuerpo. Resulta entonces
E = f gVf (9)
expresin que se conoce como principio de Arqumedes: todo cuerpototal o parcialmente sumergido en un fluido, experimenta una fuerzavertical y hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja.
Ejemplo 3Una pelota de ping-pong tiene un dimetro de 3,80 cm y una densidad de0, 0840 g cm3 Qu fuerza sera necesaria para mantener la pelotasumergida debajo del agua? Densidad del agua 1, 0 g cm3.
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Calculemos en primer lugar el peso de lapelota w
w = p Vp g
Por otro lado, el empuje E vendr dado por
E = f Vf g
E
wF
Como el cuerpo est totalmente sumergido, el volumen del cuerpo y elvolumen del fluido desalojado por l, son idnticos Vf = Vp. Por lo tanto,la fuerza necesaria para mantener la pelota en equilibrio en el interior delfluido, ser
E = F + w F = E w = (f p)Vcg = (f p)43pir3g
Sustituyendo valores
F = (1, 0 0, 0840) 103 43pi 0, 0193 9, 8 = 0, 26 N
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Cuerpos sumergidos
Sumerjamos un cuerpo de volumen Vc y densidadc , en un fluido de densidad f .
El mdulo de la fuerza ascendente ser E = f g Vf ,mientras que la fuerza que acta hacia abajo serw = c g Vc .
E
w
Como el cuerpo est totalmente sumergido, el volumen del cuerpo y elvolumen del fluido desalojado es el mismo, Vc = Vf .
Pueden presentarse tres caos:Si c > f , entonces w > E y el cuerpo cae al fondo.Si c = f , entonces w = E y el cuerpo se encuentra en equilibrioindiferente.Si c < f , entonces w < E y el cuerpo asciende a la superficie dondepermanecer flotando en ella.
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Cuerpos flotantes
Ahora consideremos un cuerpo en equilibrioesttico que est flotando sobre la superficie deun fluido, es decir, el cuerpo se encuentraparcialmente sumergido, lo que significa que elvolumen del cuerpo es distinto del volumensumergido (o volumen del fluido desalojado),Vc 6= Vf . w
E
La condicin de equilibrio esttico significa
E = w f Vf = c Vces decir
VfVc
=cf
(10)
la fraccin del volumen del cuerpo que est bajo la superficie del fluido esigual al cociente entre la densidad del cuerpo y la del fluido.
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Debemos notar que en la deduccin de la ecuacin (10) se ha despreciadoel empuje ejercido por el aire que se encuentra por encima del fluido.
Ejemplo 4Una esfera de plstico flota en agua de forma que el 50% de su volumenpermanece sumergido. Si se introduce la misma esfera en glicerina, slo el40% de su volumen se sumerge. Si la densidad del agua es 1, 0 g cm3,calcular la densidad de la glicerina y de la esfera.
Cuando la esfera est parcialmente sumergida en agua, la aplicacin de laecuacin (10) nos proporciona
VaVc
= 0, 5 =ca
c = 0, 5 a = 0, 5 1, 0 = 0, 5 gcm3
Cuando la esfera se sumerge en glicerina, resulta de la ecuacin (10)VgVc
= 0, 4 =cg
g = c0, 4 =0, 50, 4
= 1, 25g
cm3
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Ejemplo 5Un bloque cbico de madera, de 10 cm de lado,flota entre aceite y agua con su superficie inferior1,5 cm por debajo de la superficie de separacin deambos lquidos, tal como se muestra en la figura.La densidad del aceite es 790 kg/m3 y la del agua1000 kg/m3.
aceite
agua
madera
10,0 cm
10,0 cm
a) Qu presin manomtrica hay en la cara superior del bloque? b) Y enla cara inferior? c) Cul es la densidad del bloque?
a)La cara superior del bloque est a 1,5 cm de lasuperficie libre del aceite que se encuentra a unapresin po , por lo tanto
madera
1,5 cm 1o
p
p1 po = ac g hac = 790 9, 8 0, 015 = 116, 13 Pab)La cara inferior del bloque est a 1,5 cm por debajo de la superficie deseparacin del aceite y del agua.
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Por lo tanto, por encima del punto 2 hay unaaltura de 1,5 cm de agua y de 10 cm de aceite.Entonces podemos escribir
p2 po = ac g hac + ag g hag
aceite
madera
10,0
cm
1,5 cm
op
2
sustituyendo valores
p2 po = 790 9, 8 0, 10+ 1000 9, 8 0, 015 = 921, 2 Pa
c)Como el cuerpo flota en equilibrio, E = w .
El empuje total sobre el bloque ser la suma de los empujes ejercidos por elaceite y el agua
E = Eac + Eag = ac g Vac + ag g Vag
El peso del bloque serw = b g Vb
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Tras igualar las dos expresiones anteriores, despejamos la densidad delbloque
b =ac Vac + ag Vag
Vb
=790 0, 12 0, 085+ 1000 0,12 0, 015
0, 13
= 821, 5kg
m3
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Unidades de presin ms usuales y sus equivalencias
pascal baria atmsfera torr bar milibar(Pa) (baria) (atm) (Torr) (bar) (mbar)
1 N/m2 1 dina/cm2 760 mm Hg 1 mm Hg 106 barias 103 barias
1 Pa = 10 barias1 atm = 1, 013 bar = 1, 013 105 Pa1 bar = 105 Pa1 mbar = 102 Pa = 1 hPa1 atm = 760 Torr
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Conceptos fundamentalesEcuacin fundamental de la esttica de fluidosPrincipio de Arqumedes. Equilibrio de cuerpos flotantes