LA RECTA

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MATEMÁTICA II

• Determina la inclinación de una recta, ángulo entre dos rectas en radianes y en grados.

• Determina la distancia de un punto a una recta y resuelve diversos problemas de aplicación de pendientes, ángulos y distancias.

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PROPÓSITO DE LA CLASE

EL PLANO COORDENADOLos puntos sobre una recta se pueden representar con números reales para formar la recta numérica. Los puntos sobre un plano se pueden identificar por medio de pares ordenados para formar el plano coordenado o plano cartesiano.

x

yP(a;b)

0 a

b

III

III Iv3

Es la distancia mas corta entre dos puntos. Las líneas rectas que son las gráficas más simples, tienen un papel importante en una gran variedad de aplicaciones.

LA RECTA

4

5

ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Se llama ángulo de inclinación de la recta L el formado por la parte positiva del EJE X, y la recta L, moviéndose en sentido antihorario.

RECTA QUE SE INCLINA A LA DERECHA

RECTA QUE SE INCLINA A LA IZQUIERDA

L

0<<90°tan > 0

Pendiente positivaLa recta se inclina a la

derecha

L

90<<180°tan < 0

Pendiente negativaLa recta se inclina a la

izquierda

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RECTA HORIZONTAL RECTA VERTICAL

L

=0° =180°tan = 0

Pendiente cero

L

=90°tan 90° no existe

En este caso se dice no existe pendiente

La pendiente de una recta que no es vertical y que pasa por los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) es:

x

y

0

A(x1,y1)

B(x2,y2)

2 1

2 1

y ymx x

7

L

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LA PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la relación de desplazamiento horizontal a desplazamiento vertical.

desplazamiento verticalpendientedesplazamiento horizontal

m = tan pendiente

Según esta definición, la pendiente de una recta L es un número real. El único caso en que la pendiente no existe

es cuando =90°

RECTAS PARALELASDos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

RECTAS PERPENDICULARESDos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solo si:

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2121 // mmLL

1. 2121 mmLL

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ANGULO ENTRE DOS RECTAS

A la recta L1 la llamaremos recta inicial y a la recta L2 la llamaremos recta final. A la tan1 =m1 la llamaremos la pendiente inicial y a la tan 2=m2 la llamaremos la pendiente final.

Si es el ángulo entre las rectas L1 y L2, entonces:

2 1

1 2

tan1m mmm

m1m2 -1

C

1 2

L1L2

Nota: -Si se utiliza valor absoluto en la fórmula se halla el menor ángulo entre las rectas-Sin valor absoluto determinamos el ángulo según el sentido de rotación, Ej.

2 22 1 2 1d x x y y

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Si A(x1,y1) y B(x2,y2) son dos puntos cualesquiera en el plano, entonces la distancia d entre P y Q está dado por:

PUNTO MEDIO DE UNA RECTA

2

,2

2121 yyxxM

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12

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Si L: Ax+By+C=0 es una recta y P1(x1,y1) es un punto de R2, entonces la distancia de P1 a L es:

2211

1 ),(BA

CByAxLPd

P1(x1,y1)

4

a

d

L:Ax+By+C=0

L

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TRIANGULOCoordenadas del baricentro

A(x1,y1)

B(x2,y2) C(x3,y3)

1 2 3 1 2 31 1( ), ( )3 3

x x x x y y y y

Area del triángulo

1 1

2 2

3 3

11 12

1

x yS x y

x y

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

0Ax By C A, B no son simultáneamente cero.Si despejamos y se obtiene:

A Cy xB B

Esta es la forma de la ecuación de una recta dadas la pendiente y ordenada en el origen

y mx b

AmB

CbB

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Halla el punto medio de los siguientes ejercicios.

EjemplosCalcule la pendiente de las rectas que pasan por los puntos P y Q

P(2,1) y Q(5,7)P(5,-2) y Q(1,6)P(1/2,1/3) y Q(-1/4,-1/6)

1

Encuentre la distancia entre cada pareja de puntos.(4,-1) y (2,0) (-3,1) y (-2,-3) (1/2,2) y (-2,1)

3,55,4 ByA 3,2 6, 7A y B

2

3

Grafique la rectas que pasan por (0,0) con pendientes 1, 0,½, 2 y -14

15

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Ejemplos

Dado un cuadrilátero de vértices A(-3,2),B(3,4), C(5,-4) y D(-1,-2): demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD son vértices de un paralelogramo.

1 Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1).

2 Los vértices de un triángulo son A(3,8), B(2,-1) y C(6,-1). Si D es el punto medio del lado BC, calcular la longitud de la mediana AD.

3

Demuestre que los puntos (6,3),(3,7), (-5,1), (-2,-3), son los vértices de un rectángulo.4

Hállese la tangente del ángulo que forma la recta que pasa por (-5,6) y (1,2) con lo que pasa por (-4,7) y (8,7)5

ECUACIONES DE RECTAS

Una ecuación de la recta que pasa por el punto (x1,y1) y tiene pendiente m es:

1 1y y m x x

FORMA PUNTO PENDIENTE

Ejemplos

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,-1) y tiene una pendiente de -1. Grafique la recta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente 2. Grafique la recta.

Determine la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos (1,-2) y (5,6). Grafique la recta.

1

1

2

3

Ing. Jhonny Ruiz Núñez 17

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene ángulo de inclinación 135°.

4

Una ecuación de la recta que tiene pendiente m y una ordenada en el origen b es:

y mx b

FORMA PENDIENTE Y LA ORDENADA EN EL ORIGEN (INTERSECCIÓN CON EL EJE Y)

Ejemplos

Hallar la ecuación de la línea recta cuya pendiente es -3 y ordenada en el origen igual a -2.

Encuentre una ecuación para la recta con intercepción con el eje y en 7/2 y pendiente de -5/2.

Encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3y – 2x = 1

Encuentre la ecuación de la recta horizontal con intercepción con el eje y en 3.

2

1

2

3

418

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Las rectas cuyas intersecciones con los ejes X y Y son a 0 y b 0, respectivamente, tiene por ecuación:

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA3

1by

ax

Ejemplo

3

4

a

b

134

yx

a=4 , b=3

RECTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

Una ecuación de la vertical que pasa por (a,b) es x=aUna ecuación de la horizontal que pasa por (a,b) es y=b

Ejemplos

Graficar:x – 3 = 0 y + 8 = 13x = -2 y = 12x = 1.5 5 + y = 12

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Ejemplos

Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,2) que es paralela a la recta 4x + 6y + 5 = 0

Calcule la ecuación de una recta que pasa por (1/2, -2/3) y es perpendicular a la recta 4x – 8y = 1

Calcule la ecuación de una recta que pasa por (-2, -11) y es perpendicular a la recta que pasa por (2,5) y (-2,1)

Calcule la ecuación de una recta que pasa por (-2, -11) y es perpendicular a la recta que pasa por (-1,3) y (-5,6)

Grafique la recta con pendiente 3/2 que pasa por el punto (-2,1)

Utilice las pendientes para demostrar que A(1,1), B(7,4), C(5,10) y D(-1,7) son vértices de un paralelogramo

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5

6

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GRACIAS POR SU ATENCIÓN