Introducción

Entrada

Sistema Salida

Definición

TipoLinealNo Lineal

TiempoContinuoDiscreto

Variación con el

Tiempo

VarianteInvariante

Causalidad

CausalAnticausal

Tipos de Sistema

Criterios de Desempeño Diseño Construcció

n Verificación

Bases para el control

Sistemas de Control

Método Empírico

Experiencia Ensayo y Error Costo y Riesgo

Método Analítico

Modelado matemático

Indispensable en situaciones de alto riesgo

Metodología para el desarrollo

Método Empírico

Realizado a través de dispositivos

físicos

Costo Riesgo

Método Analítico

Modelos

Simulación Computer Aided Design (CAD)

Experimentación

Método Empírico

Se toman experiencias

pasadas para tomar las bases de la implantación

Método Analítico

Inexactitud del Modelo

Mejorar la respuesta del sistema

Experiencia

Modelado

Obtener las ecuaciones matemática

s

Análisis Diseño

Método Analítico

El éxito de un diseño depende si el sistema físico fue modelado

adecuadamente o no

Modelado

Entendimiento de la

estructura del sistema

Proceso de Diseño

Sistemático Reducción de errores

Desastres Defectuoso

Método Analítico

Modelado

Observar el sistema físico

Formular las ecuaciones para explicar las observaciones

Predecir el comportamiento

Probar la validez del modelo

Generalidades

Teoría

Pensamiento especulativo basado en

Observaciones

Modelo

Representación de una teoría

Puede ser usado para predicción y

control

Modelos y Teorías

Definición

Modelo

Representación

Dinámica de un Sistema

Precisa

Responde a Interrogantes

Análisis y Simulación

Depende de las preguntas a responder

Variedad

Análisis y Síntesis

Descripción Matemática

Características relevantes del sistema

Parámetros fácilmente calculables

Modelo

Realista

Fácil de Manipular

Dificultad

Simplicidad Precisión

Matemática Sofisticada

Modelo Complejo y

Realista

Matemática Sencilla

Modelo Sencillo

No tiene sentido elegir un modelo que se asemeje al dispositivo físico pero que no pueda ser analizado usando los métodos matemáticos existentes.

Asimismo, es inútil elegir un modelo que se analice fácilmente pero no se asemeje al dispositivo físico

Modelado Matemático

Buen Modelo

Similitud entre la simulación y lo

realInexactitud

Discrepancia entre lo simulado

y lo real

Entonamiento del sistema

Ensayos repetitivos

Período de pruebas

Modelo Matemático

Modelado

Obtener las ecuaciones matemática

s

Análisis Diseño

Modelado Matemático

Predicción Simulación Optimización

Análisis Control Detección de Fallas

Niveles

Predicción

Modelo

u(k-i)

y(k-i)

y(k)^

Simulación

Modelo

u(k-i)

y(k)^

Optimización

Estrategia Modelo Evaluaciónu y

Análisis

Proceso????

Modelo!!!!!

u

u

y

y

Control

Controlador Proceso

ModeloDiseño

r u y

Detección de Fallas

Proceso

Modelo Nominal

Modelo (Falla 1)

u y

y0

y1

e0

e1

Sistema no existente o muy

costoso de construir

Experimentación sobre el sistema es

peligrosa

TiempoAyuda para entender el

sistema estudiado

Modelado y simulación

Representación de los sistemas

Ecuaciones diferenciales

Representaciones de los sistemas

ai y bi: Constantes realesn≥m

1

1 1 01

1

1 1 01

n n

n nn n

m m

m mm m

d y t d y t dy ta a a a y t

dt dt dtd u t d u t du t

b b b b u tdt dt dt

Función de Transferencia◦ Cociente entre la transformada de Laplace de la

salida y la transformada de Laplace de la entrada

Representaciones de los sistemas

Y sG s

U s

Ecuaciones en el Espacio de Estados

◦ A: Matriz de Estado◦ B: Matriz de Entrada◦ C: Matriz de Salida◦ D: Matriz de Transmisión Directa

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Representaciones de los sistemas

Ecuaciones en el Espacio de Estados◦ Estado: Conjunto de variables mas pequeño, de forma tal

que el conocimiento de estas variables en t=to junto al conocimiento de la entrada para t≥to determinan el comportamiento del sistema para t≥to

◦ Variables de estado: Variables que constituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema dinámico No requieren ser físicamente medibles o cantidades

observables◦ Vector de Estado: Si se necesitan n variables de estado

para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces esas variables son las componentes de un vector x, el cual es el vector de estados

Representaciones de los sistemas

Representaciones

Espacio de Estados

Sistemas Complejos

Múltiples Entradas y Salidas

Función de Transferencia

Expresa la ecuación

diferencial

Puede establecerse

experimentalmente

Representaciones de los sistemas

Conversión entre Representaciones

Conversión Función de Transferencia

Espacio Estado

Y s

G sU s

.

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

Conversión Aplicando la transformada de Laplace a las

ecuaciones espacio estado se tiene:

La ecuación algebraica anterior puede expresarse de la siguiente forma:

0sX s X AX s BU s

Y s CX s DU s

0sI A X s X BU s

Conversión Resolviendo

La matriz de transferencia define Y(s)/X(s)Respuesta a entrada cero Respuesta a estado cero

1 10X s sI A X sI A BU s

Dimensión: m*rm: Nº de Salidasr: Nº de Entradas

1 10Y s C sI A X C sI A B D U s

1G s C sI A B D

Conversión Sea la siguiente una función de

transferencia:

Se tienen formas canónicas entre ellas destaca la forma canónica controlable y observable

11 1

11 1

n no n nn n

n n

Y s b s b s b s bU s s a s a s a

Controlable Forma Canónica Controlable

.

11.

2 2

.1

1

. 1 2 1

1

21 1 1 1

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 1 01

nn

n n n n

n

n n o n n o o o

n

x xx x

u txx

a a a a xx

xx

y b a b b a b b a b b u t

x

Observable Forma Canónica Observable

.

1 1.

1 2 1 12

. 1 1 1

1

2

0 0 01 0 0

0 0 1

0 0 1

n n n o

n n n o

n on

o

n

x a x b a ba x b a bx u t

a x b a bx

xx

y b u t

x

Resistor

Capacitor

Inductor

Sistemas Eléctricos

v t R i t

dv ti t C

dt

di tv t L

dt

Sistemas Rotacionales Masa Rotacional

Coeficiente de Amortiguamiento

Resorte

2

2J

dT J

dt

w1w2

21D

dT D

dt

w1w2

21kT k

ddt

Engranajes

Sistemas Rotacionales

1 1 2

2 2 1

T NT N

Diagrama de Bloques

Diagramas de Bloques Consisten en bloques operacionales

unidireccionales que representan las funciones de transferencia de las variables de interés

Para dibujar un diagrama de bloques, se escriben cada una de las ecuaciones que describe el comportamiento dinámico de cada componente, luego se integran los elementos en el diagrama de bloques completo

Relación entre las variables Los sistemas se componen de uniones Por ejemplo, un termómetro electrónico,

produce una señal eléctrica proporcional a la temperatura

Relación entre las variables Dos bloques pueden unirse para crear un

sistema compuesto

No se pueden conectar arbitrariamente dos dispositivos

Representar el sistema usando los diagramas de bloques

Diagrama de BloquesR1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20

Representación Espacio de Estados

Diagrama de Bloques

1 1 111 1

1 11 1

22

2 2 2

1 10 1

1 10 0

01 1

0

cc

L L

cc

R C CV V R Ci i V

L LVV

C R C

1

1

2

0 0 1 0c

L

c

Vy i V

V

R1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20

Diagrama de bloques

Diagrama de BloquesR1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20

Comparación

Diagrama de Bloques

R1=1R2=2C1=1C2=2L1=1V=20

Representar el sistema usando los diagramas de bloques

Diagrama de Bloques

R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10

Representación Espacio de Estados

Diagrama de Bloques

1 1 2 1 21

11 1

2 22 2 2 2 2

33

3

3

1 1 1 10 0

11 1 1

00

1 00 0 00

1 10

cc

c c

cc

L

L

C R R C RV V

C RV VC R C R C V

VViC

i RL L L

1

2

3

1 0 0 0 1

c

c

c

L

VV

y VVi

R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10

Diagrama de bloques

Diagrama de Bloques

R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10

Comparación

Diagrama de Bloques

R1=2R2=2R3=3C1=1C3=1C2=2L=1V=10