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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior
Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas
con coecientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas yresuélvalas.
A3 y'' +2 y ' −8 y=0
Respuesta
No45re estud!ante 6ue rea2!7a e2 e8er9!9!o: Ra!ner Da!d Bue2as Es9o5arPROPOSICION ENUNCIADO OE;PRESI/N MATEM,TICA
RA0ON O E;PLICACION
y
' ' +2
y
' −8
y=0 Es una ecuación diferencial lineal homogénea
con coeficientes constantes de la forma
ay' ' +by
' −cy=0
y' ' +2 y
' −8 y=0 Resolvemos por el método de coeficientes
indeterminados
m2+2m−8=0 Resolvemos por factorización
(m−2 ) (m+4 )=0 Factorizando
m1=2 ;m
2=−4 Las soluciones son
y=c1 e2 x+c2e−4 x Solución de la ecuación diferencial
2. Demostrar que X 3
y| x|3
son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación
diferencial
x2 y
' ' −4 x
dy
dx+6 y=0 En el intervalo −∞
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x2 y
' ' −4 x y
' +6 y=0 Realizamos el proceso de derivación
y' =3 x2
y' ' =6 x
Luego entonces y= x3
x2 (6 x )−4 x (3 x2 )+6 ( x3 )=0 Reemplazamos
6 x3−12 x
3+6 x
3=0 Resolviendo tenemos
si & '(La derivada de | x|
3
no e&iste
!hora compro%amos que | x|3
es una solución de
x2
y' '
−4 x dy
dx +6 y=0
| x|={ x s i x>0o si x=0
− x si x0
Comprobada anteriormente
0 y '' −4 (0 ) dydx+6 y=0 a* )ara | x|3
= x3
si x=0
Se tiene
6 y=0 Se cumple para y=0
y' =−3 x
2
y'' =−6 x
%* )ara | x|3
=− x3si x
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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
Pr!4era A9t!!dad
Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte pulgadas al llegar al reposo en equilibrioy se le aplica una velocidad de !" pies#seg dirigida hacia aba$o. %espreciando todas
las fuer&as de amortiguaci'n o e(ternas que puedan estar presentes, determine laecuaci'n de movimiento de la masa $unto con su amplitud, periodo y frecuencianatural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa porla posici'n de equilibrio)
PROPOSICION ENUNCIADO O E;PRESIONMATEMATICA
RA0ON O E;PLICACION
d2 x
d2t + k
m x=0
Ecuación diferencial, para movimiento si
amortiguación
r2+
k
m=0
)resentación de la ecuación caracter-stica
r2=
−k m
Despeamos r2
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r=√−k
m
Sacamos ra-z cuadrada en am%os lados de l
e&presión
x (t )=t 1cos
(√
k
m t
)+C
2sin
(√
k
m t
)
La ecuación del movimiento es de la forma
mg=4
l=3 pulgadas=0.25 pies
+omamos lo valores del enunciado
F =kl Empleamos la le/ de 0oo1e
4=k (0.25) Remplazando en la ecuación tenemos
k =16 lib/ pie Despeamos 1 / resolvemos
g=32 pie /seg2
y mg=4 +am%ién tenemos que
m=4
32=
1
8
Despeamos m / resolvemos la ecuación
√ k
m=
√16
1
8
=8√ 2Luego tenemos que
x (t )=C 1cos (8√ 2 t )+C 2 sin (8√ 2 t )
y
x' =−(8√ 2) C 1 sin (8√ 2t )+(8√ 2 )C 2 cos (8√ 2t )
La ecuación de movimiento es
x (0 )=6 pulgadas=0.5 pies
x
'
(0)=√
2
pies
seg
+eniendo en cuanta que las condicione
iniciales son
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0.5= x (0 )=C 1cos (0 t )+C
2sin (0 t )
C 1=0.5=
1
2 y
√ 2= x' (0 )=−(8√ 2 ) C 1sin (0 t )+(8√ 2 ) C 2cos (0 t )
√ 2=(8√ 2)C 2
C 2=
1
8
Resolviendo tenemos
x (t )=1
2cos (8 √ 2 t )+
1
8sin (8√ 2 t ) Luego reemplazando los valores en la ecuació
del movimiento
A=√ C 1+C 2
A=√1
22+
1
82=√
17
8
tan∅=C
1
C 2
=
1
2
1
8
=8
2=4
E&presamos la solución de forma senoidal
x (t )=√ 17
8sin (8√ 2t +∅)
∅=arc tan (4 )=1,326
0allamos el valor para x (t ) / el valor d
∅
A=√ 17
8 T =
2π
8√ 2=
π
4 √ 2 f =
4√ 2
π
Definimos el valor de la amplitud el periodo / l
frecuencia natural
8√ 2t +∅=π
t =π −θ
8 √ 2=0.16042
Finalmente el tiempo que transcurre desde qu
se suelta la masa hasta que pasa por la posicióde equili%rio es
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