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13.30.1- TRAZADO DE LA ORBITA APROXIMADA CON LOS ELEMENTOS CALCULADOS.
13.30.2- ORDEN DEL TRAZADO PROPUESTO.
Se propone dibujar la órbita de Palas vista en planta en forma aproximada, como para
tener una idea de la posición espacial. Por lo tanto, la órbita terrestre (que es casi circular)
se verá inclinada. Se dibujará entonces como una elipse.
Secuencia del trazado:
1. Dibujar un punto que repre-
sente al Sol.
2. Trazar por el Sol el eje del
punto Aries.
3. A 90º de este último, trazar
el eje Y.
4. Trazar las posiciones rectan-
gulares de la Tierra, 1, 2, y 3.
Para no complicar el trazado,
ignorar la coordenada z.
5. Hacer una vista lateral del
plano de la órbita de Palas.
Este plano se representa como
una línea paralela al eje Y.
6. Ahora hay que trazar la pro-
yección del plano de la
Eclíptica en la vista lateral. Se
puede trazar porque cono-
cemos el ángulo i=35°.2.
7. Dibujar la proyección del plano del Ecuador terrestre en la vista lateral. Este corta al
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plano de la Eclíptica en un punto T. Este punto se obtiene de proyectar la posición 1 de La
Tierra.
8. A continuación, en la vista en planta, hay que trazar un arco de circunferencia centrado
en el Sol, con un radio que es la distancia heliocéntrica r1= 3.415 UA.
9. Inmediatamente después,
trazar con centro en el punto 1
otra circunferencia con radio
R1=2.654UA (la distancia geo-
céntrica). Resultando que los
arcos se cruzan en dos puntos,
pero solo uno es el correcto.
Para eliminar el punto inco-
rrecto, habrá que usar in-
formación de las observa-
ciones, tal como el ángulo de
elongación, o la ubicación
sobre el fondo de la constela-
ción en la que se observó el
asteroide. Si se conoce el
ángulo de elongación, será más
fácil determinar qué punto P es
el correcto.
10. Trazar los segmentos 1-P1 y
1-P1’. Chequear con tablas
astronómicas de la fecha t1 que
el ángulo Sol—1—P1 de la
elongación de Palas sea aproximadamente 153º.
11. Habiendo establecido el
punto P1, usando el ángulo de
elongación, desechar P1’. En
este punto debe haber queda-
do dibujado el triángulo carac-
terístico Sol—1—P1.
12. Ha finalizado el trazado del
primer punto aproximado P1
(muy burdamente), pero que
da la idea de la posición
relativa del asteroide res-pecto
a la Tierra y al Sol para la
fecha t1.
Para el trazado del punto P2, se
procede análogamente, pero
ya no hay duda sobre la
dirección de esa visual, igual-
mente conviene ver el ángulo
de elongación para P2.
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Describo el proceso, otra vez.
13. Con centro en 2, circun-
ferencia de radio R2 = 2.611
UA.
14. Con centro en el Sol,
circunferencia de radio r2 =
3.412 UA.
15. Determinar P2, y desechar
P2’.
Para el tercer punto P3
apareció un problema: Las
circunferencias trazadas con
sus radios respectivos no se
cortan, y en consecuencia no
puede determinarse P3 por este
camino. Pero como ya
conocemos las anomalías,
podremos colocar el punto P3
entre P2 y el eje del punto Aries. Hay que atribuir la falta de precisión del dibujo al hecho
de que la inclinación del plano orbital es considerable, y trazando circunferencias hay
diferencias con las elipses
reales. Pero no obstante,
puede trazarse la elipse que
representará la órbita de Palas,
porque de los cálculos hemos
obtenido el semieje mayor a,
la excentricidad e, y los án-
gulos ω y Ω, que se ven en las
próximas figuras. Lo que sirve
de este trazado es que se ve la
órbita elíptica de Palas en
planta.
Los ángulos denominados
“anomalías v” son:
v1 = 191º.99814
v2 = 192º.68221
v3 = 194º.05377
Estos ángulos nos sirven para
controlar todo el procedimien-
to anterior. En la gráfica, el
trazado de P1 está aproximadamente a v1=185° en lugar de v1=192° . Quizá se deba este error
a la gran inclinación ( i=35° ) del plano orbital de Palas. Se preguntará el lector, por qué no
empecé por trazar las anomalías y listo. Podría haberlo hecho y tendría las tres posiciones
relativas P1, P2 y P3 con mucha mas precisión que haciendo el camino que inicié. Es que el
trabajo de hacer todos los trazados ayuda a ver la coherencia de las cantidades calculadas,
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es decir los elementos
orbitales: el semieje ma-
yor, las distancias geo-
céntricas y heliocéntricas,
los ángulos ω y Ω, el
ángulo de inclinación de
la órbita, y finalmente la
distancia focal, en fun-
ción de la excentricidad,
y el semi latus rectum.
Continuando con el es-
quema, se traza la línea
de los nodos, que pasa
por el Sol, Ω = 172°.6
desde el eje del punto
Aries. Ver figura → .
Tomando como referen-
cia la línea de los nodos
se traza el semieje mayor,
a un ángulo ω= 304°.8
desde la línea de los
nodos, más precisamente
del lado del nodo ascen-
dente.
Lo que sigue, la posición del origen del semieje mayor o centro, necesita ser calculado con
las fórmulas bien conocidas de la elipse:
b2 = a2 (1 − e2 ),
y
e = c / a → c = e · a .
De estas ecuaciones se
despeja b, que es el semi-
eje menor, y c que es la
distancia desde el centro
de la elipse hasta uno de
los focos. El cálculo da
para c = 0.6628 UA y para
b = 2.6957 UA. En la
figura anterior se ve la
medida c, por la que
cruza el eje menor de la
elipse. Llegado a este
punto, trazar los extremos
del eje menor, y los
extremos del eje mayor.
En esta figura, se ve la
elipse ya trazada. Si todo
se ha hecho bien, debería constatarse que los trazados sean coherentes con las cifras
calculadas.
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13.31- COMENTARIOS.
Así se ha terminado este ejercicio, y vean lo pequeño que resultó el arco definido por las
3 posiciones elegidas. Hay muchísimo más por estudiar en este tema, pero esto es lo básico,
el principio, para tener una idea de cómo se hace un cálculo. Hay que recordar que los
elementos orbitales calculados en este ejemplo, no son exactamente iguales que los
publicados por el CPM, ya que ese distinguido Instituto utiliza para esto TODAS las
observaciones disponibles.
Personalmente, he comprobado el procedimiento mostrado con otros cuerpos celestes,
concretamente con los asteroides Ceres, Juno y Vesta, y con los planetas Marte, Júpiter,
Saturno y Urano. Pero como dice el Dr. Tatum en su trabajo: “no siempre se llega a buen
resultado aunque todo se haga bien”, lo digo porque al aplicar este método a Venus las
distancias geocéntricas dan cifras negativas (una distancia no puede ser negativa).
Probablemente la causa esté encuadrada dentro de los casos especiales en los que el
método falla. El mismo Gauss, en su impresionante libro publicado en 1809: “Teoría del
movimiento de los cuerpo celestes….”, describe los casos en que este método falla.
Precisamente uno de esos casos es el que involucra cuerpos que se mueven muy cerca del
plano de la eclíptica. Así, lo he comprobado para Venus y Mercurio. Sin embargo, para los
planetas Marte, Júpiter, Saturno y Urano, el método da resultados muy acordes a las cifras
de las tablas astronómicas. Hay que hacer muchos ejemplos para comprender cómo
conviene seleccionar las posiciones cuando hay muchas más que 3 observaciones.
Si no resultara muy extenso daría las cifras para otros ejemplos que he trabajado.
FIN
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13.32- APENDICE I
Resolución del sistema de ecuaciones (13.12.25/26). (Ver Capítulo 1, Celestial Mechanics del Prof. Tatum). Antes de aplicar el método de Newton-Raphson hay que “fabricar” la función F necesaria para el esquema x = x − F /F ’. Para no cambiar el ejemplo que Tatum da en el Capítulo 1: Sean las ecuaciones
−=−
−=
−=
)(sen
)cos()(sen(36
)cos(4
36;
)cos(4
36
3
23
2
y
yyyxx
yx
yx
(1)
Llamaremos
)(sen
)cos()(sen;
)cos(4
13 y
yyySy
yR
−=
−=
Así: Rx 362= , y : 0
)(sen
)cos()(sen(3636
3
3=
−−−
444 3444 21S
y
yyyRx
De (1):
2/3
2/33
3 )36()cos(4
36
)cos(4
36R
yyx =
−=
−=
Y reemplazando:
0
)3636(
3636)36( 2/3=
+−
−− 43421SR
SRR
Ahora hay que agrupar, quedando:
0)3636()36( 2/3=+− SRR
Pasar al segundo miembro y elevar al cuadrado ambos miembros:
[ ] [ ]222/3 3636)36( SRR +=
Desarrollar los cuadrados:
)36·36·236()36( 222223 SSRRR ++= , pasar el segundo miembro al primero:
0)36·36·236(36 2222233=++− SSRRR , quitar los paréntesis,
036·36·23636 2222233=−−− SSRRR , dividir ambos miembros por 362 ,
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quedando: F = 36R3 − R2
− 2RS − S2 = 0 . Derivando respecto de y:
0·2··2·2·36·3´ 2=−
+−−=
dy
dSS
dy
dSRS
dy
dR
dy
dRR
dy
dRRF (2)
Donde:
[ ]2
2'1
))cos(4(
)(sen)(sen·)cos(4·(1))cos(4(
y
yyyy
dy
dR
−−=−−=−=
−−
y
23
23
)(sen)(cos
'
3
))(sen(
)]cos()(sen3))·cos()(sen[()(sen)])(sen)((sen)cos()cos((1[
)(sen
)cos()(sen(
22
y
yyyyyyyyyy
y
yyy
dy
dS
yy
−−−+−=
=
−=
− 44 844 764484476
Recordando que: sen2(y)+cos2(y)=1, y de allí : cos2(y) = 1− sen2(y). En el segundo miembro tendremos: 1−cos2(y)+sen2(y)= 2·sen2(y), entonces:
)(sen
)cos(·3
)(sen
)(sen2
))(sen(
)cos()(sen3)·cos()(sen
))(sen(
)(sen)(sen23
2
23
2
23
32
y
yS
y
y
y
yyyyy
y
yy
dy
dS−=
−−=
Resultando:
)(sen
)cos(32
y
yS
dy
dS −= , y : 2))cos(4(
)(
y
ysen
dy
dR
−−= =−R2 sen(y),
porque :
)(sen
)cos()(sen;
)cos(4
13
y
yyySy
yR
−=
−=
Volviendo a la ecuación (2), y sustituyendo estos últimos diferenciales,
−−
−+
−−−
−−−
−−=
)(sen
)cos(322
)(sen
)cos(32·
))cos(4(
)(sen2
))cos(4(
)(sen2
))cos(4(
)(sen·108'
222
2
y
ySS
y
ySRS
y
y
y
yR
y
yRF
0
)22·()(sen
)cos(32
)(sen
)cos(322
)(sen
)cos(322)(sen)·(22108(' 22
=
+
−−
−−
−−−−−=
4444444 34444444 21
SRy
yS
y
ySS
y
ySRyRSRRF
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En la hoja de cálculo, y=g, 4=N, y 36=M2. Con i=1, 2, 3.
),25.12.13(,cos
22
ii
ii
gN
MR
−=
y
).26.12.13(,sen
)cossen(3
223
i
iiiiii
g
gggMRR
−=−
Finalmente:
F = Mi ·R3 − R2 − 2·S·R - S2
F '= −(3·Mi·R2 − 2·R − 2·S)·R2·sen(g)−(2(R+S)(2 − 3·S·cos(g))/sen(g).
Donde: R=1/(N-cos(g)), y S=(g − sen(g)·cos(g))/(sen(g))3
13.33- APENDICE II (Datos del Minor Planet Center).
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13.34- APENDICE III
Para la obtención de datos de asteroides, ver la página web siguiente: http://www.minorplanetcenter.net/iau/MPEph/MPEph.html
En esta página hay un formulario para completar y obtener datos de muchos asteroides bien
conocidos. Voy a describir cómo proceder para obtener estos datos. Los rangos grises son para
ingresar texto.
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Primero hay que escribir
el nombre del asteroide, en
inglés, cuidado con la orto-
grafía. Para nuestro caso:
Pallas.
Segundo, escribir la fecha
de cominenzo de la tabla,
2002 07 01.
Tercero, la cantidad de
días, 31.
Cuarto, el intervalo: 1 (un
día, como se ve que está
seleccionado: days).
Quinto, la hora de TU: 0.
Mas abajo hay otras opcio-
nes que según el caso habrá
que seleccionar manualmente.
Observar que al seleccionar
una se eliminan otras.
Sexto, escribir la época:
J2000.
Estos 6 registros son sufi-
cientes para obtener la tabla
de efemérides de Pallas. Hay
otras opciones para selec-
cionar, según lo que se desee.
Por ejemplo, puede selec-
cionarse un formato entre
varios. Para nuestro caso,
none.
Pero podría seleccionarse
un formato para SkyMap.
A continuación, hacer clic una vez en el botón
Get ephemerides, y aparecerá la tabla de
efemérides deseadda, como se ve a continuación
en la página siguiente.
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De modo similar se procede para cualquier otro asteroide.
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13.35- BIBLIOGRAFIA DE REFERENCIA:
1.-“Celestial Mechanics”. e-Book . Chapter XIII. Dr. Jeremy B. Tatum. Depart. Física y
Astronomía, Universidad de Victoria. Canadá. Ultima revisión año 2009.
http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs.html
2.-“The determination of orbits”. Dr. Alexander D. Dubyago. Moscú, URSS. 1961.
3.-“Fundamentals of Celestial Mechanics”. Dr. John. M. A. Danby. Universidad de Yale.
USA. 1962.
4.-“Elementos para la determinación de órbitas y cálculo de efemérides”. Notas. Ing. Alberto E. J.
Manacorda. Fac. de Ciencias Exactas e Ingenieria, Universidad Nacional de Rosario.
Argentina. 1981.
5.-“Astronomie Générale”. Dr. André Danjon, Universidad de la Sorbona, Director del
Observatoire de Paris. Francia. 1959.
6.- “A modificaction of Gauss’Method for the determination of orbits”. Dr. Gerald Merton
e-book, Universidad de Hardvard. USA. 1925.
http://adsabs.harvard.edu/abs/1925MNRAS..85..693M
7.- “A Introduction to Celestial Mechanics”. Dr. Forest Ray Moulton. Universidad de Chicago.
New York. USA. 1914.
http://archive.org/details/introcelestial00moulrich
8.- “Determination of orbits of comets and asteroids”. Dr. Russell Tracy Crawford. McGraw-Hill
book company, inc. Berkeley University. USA. 1930. http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4179112;size=100;view=image;page=root;seq=19;num=1
9.-“Celestial Mechanics”. Y. Riabov. Editorial MIR. Moscú. URSS. 1959.
10.-“Cómo se calcula el movimiento orbital”. Dr. David P. Stern. Página web. 2004.
http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mmotion.htm
11.- “The foundations of Celestial Mechanics”, George W. Collins, II. Case Western Reserve
University. USA. 2004.
http://ads.harvard.edu/books/1989fcm..book/
12.- 2Astropedia", Sitio en francés.
http://astropedia.free.fr/meca_cel/meca_cel.html
Otros sitios de interes:
Curso de Mecánica Celeste en castellano, por Rafael Cid Palacios:
http://es.scribd.com/doc/71408087/cmc#page=31
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13.36- FUENTES DE FIGURAS Y DATOS.
* Todas las figuras, tablas y gráficas son propiedad de Jeremy B. Tatum y de Carlos E.
Montenegro.
* La figura 11, de la trayectoria de Palas durante el mes de Julio de 2002, es de Carlos
E. Montenegro. Es una imagen capturada del software Skymap Pro 11, que se puede descargar
en versión demo de la página web: http://www.skymap.com
* La imagen de la portada del libro “Mécanique Céleste” de Nathaniel Bowditch, de la página 55
y la de la página 56 fueron tomadas de Internet, del sitio:
http://books.google.com.ar/books?id=7-
YRAAAAYAAJ&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&
q&f=false
* La Página web del Centro de Planetas Menores, está tomada del sitio que se describe en esa
hoja :
http://www.minorplanetcenter.net/iau/MPEph/MPEph.html
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13.37 AGRADECIMIENTOS:
* Especialmente agradezco al Prof. Dr. Jeremy B. Tatum, por su apoyo continuo desde el
comienzo del trabajo, facilitándome en su momento la bibliografía que le solicité, y posteriormente
en todos los pasos del cálculo, comparando cifra tras cifra, hasta la coincidencia.
Nota: El Prof. J. B. Tatum ha publicado muchas obras en la web, de alto valor pedagógico,
siempre dando ejemplos concretos, y con un formalismo al alcance de cualquier estudiante de
nivel terciario, permitiendo de este modo un estudio extracurricular de los temas.
* Al Jefe del Area Observatorio, Dr. Daniel Davoli, del Complejo Astronómico Galileo Galilei,
con sede en el Parque Urquiza de Rosario, cuyo apoyo a este trabajo hizo posible divulgarlo.
* Deseo mencionar a las siguientes personas cuyas enseñanzas condujeron a este trabajo:
Dr. Roberto Aquilano, Prof. Sergio Acero, Lic. Pedro Lewis (+), Dr. Reinaldo Welti.
* Vaya también mi homenaje a un viejo amigo, Juan Carlos Blázquez (+), quien es recordado por
su infatigable avidéz de conocimiento y su gran corazón para con sus compañeros y amigos.
Carlos E. Montenegro.
FIN
Agosto de 2012.