Post on 07-Nov-2015
description
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZASARMADAS-ESPE
Canar Edisson-Villegas Bryan
NRC 1823
Departamento de Ciencias Exactas
Docente Mgs. Fabian Ordonez
16 de febrero de 2015
1
Metodos Numericos
Tercer ParcialDeber N:1
1. Sea f (x) = csc(x), con x radianes. Calcule aproximaciones a f (0,6) usando las formu-las de diferencias centradas de orden O(h2) y O(h4) toamando h = 0,1; h = 0,01;h = 0,001 con diez cifras significativas, calcule el error en cada caso, resuma la infor-macion en una tabla determine el menor error que presenta la mejor aproximacion..f (x) = csc(x)f (x) = csc(x) cot(x)f (0,6) = csc(0,6) cot(0,6) = 2,5887105840
Diferencia Centrada O(h2)
f (x) = f1 f12h
Solucion Manual:
Para h = 0,1
f (0,6) = csc 2,3+ 0,1 2,3 0,12(0,1)
= 2,6677965798
Eab = | 2,5887105840+ 2,6677965798| = 0,0790859958
Para h = 0,01
f (0,6) = csc(0,6+ 0,01) csc(0,6 0,01)2(0,01)
= 2,5894796165
Eab = | 2,5887105840+ 2,5894796165| = 0,000769032
Para h = 0,001
f (0,6) = csc(0,6+ 0,001) csc(0,6 0,001)2(0,001)
= 2,5887182722
Eab = | 2,5887105840+ 2,5887182722| = 0,0000076882
2
Metodos Numericos
Tabla de Resultados:
h f (x) Error0,1 2,6677965799 0,07908599580,01 2,5894796165 0,0007690325
0,001 2,5887182722 0,0000076882Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de ordenO(h2) con h = 0,001 se obtienela mejor aproximacion.Editor:
function [L,n]=DerivadaCent1(f,x,h)
format long
max1=3;
H(1)=h;
D(1)=(subs(f,x,x+h)-subs(f,x,(x-h)))/(2*h);
E(1)=abs(subs(diff(f),x,x)-D(1));
for n=1:2
h=h/10;
H(n+1)=h;
D(n+1)=(subs(f,x,x+h)-subs(f,x,x-h))/(2*h);
E(n+1)=abs(subs(diff(f),x)-D(n+1));
end
while n
Metodos Numericos
Command Window:
>> DerivadaCent1(sym(csc(x)),0.6,0.1)
Primera Derivada Centrada (O(h^2))
f(x)=1/sin(x)
Punto:0.60
hk | Dk | Error
------------------------------------------
0.1000 | -2.6677965799 | 0.0790859958
0.0100 | -2.5894796165 | 0.0007690325
0.0010 | -2.5887182722 | 0.0000076882
Diferencia Centrada O(h4)
f (x) = f2 + 8 f1 8 f1 + f212h
Solucion Manual:Para h = 0,1
f (0,6) = csc(0,6+ 2(0,1)) + 8 csc(0,6+ 0,1) 8 csc(0,6 0,1) + csc(0,6 2(0,1))12(0,1)
= 2,5787915763
Eab = | 2,5887105840+ 2,5787915763| = 0,009919007
Para h = 0,01
f (0,6) = csc(0,6+ 2(0,01)) + 8 csc(0,6+ 0,01) 8 csc(0,6 0,01) + csc(0,6 2(0,01))12(0,01)
= 2,5887097256
Eab = | 2,5887105840+ 2,5887097256| = 0,0000000858
Para h = 0,001
f (0,6) = csc(0,6+ 2(h)) + 8 csc(0,6+ h) 8 csc(0,6 h) + csc(0,6 2(h))12(h)
= 2,5887105839
Eab = | 2,5887105840+ 2,5887105839| = 0
4
Metodos Numericos
Tabla de Resultados:
h f (x) Error0,1 2,5787915763 0,0099190070,01 2,5887097256 0,0000000858
0,001 2,5887105839 0Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de orden O(h4) el error es menor paralos diferentes de valores; es evidente que estas aproxiamciones son mejores quepara las generadas de orden O(h2), en especial con h = 0,001.
Editor:
function [L,n]=DerivadaCentO4(f,x,h)
format long
max1=3;
H(1)=h;
D(1)=(-subs(f,x,x+2*h)+8*subs(f,x,x+h)-8*subs(f,x,x-h)
+subs(f,x,x-2*h))/(12*h);
E(1)=abs(subs(diff(f),x,x)-D(1));
for n=1:2
h=h/10;
H(n+1)=h;
D(n+1)=(-subs(f,x,x+2*h)+8*subs(f,x,x+h)-8*subs(f,x,x-h)
+subs(f,x,x-2*h))/(12*h);
E(n+1)=abs(subs(diff(f),x)-D(n+1));
end
while n
Metodos Numericos
Command Window:
>> DerivadaCentO4(sym(csc(x)),0.6,0.1)
Primera Derivada Centrada (Oh4)
1/sin(x)
Punto:0.60
hk | Dk | Error
-------------------------------------------
0.1000 | -2.5787915764 | 0.0099190077
0.0100 | -2.5887097257 | 0.0000008584
0.0010 | -2.5887105840 | 0.0000000001
2. Sea f (x) = esin(x), realice lo solicitado en el ejercicio anterior para aproximar f (2,3).
f (x) = ex
f (x) = exf (2,3) = e2,3 = 9,9741824548
Diferencia Centrada O(h2)
f (x) = f1 f12h
Solucion Manual:Para h = 0,1
f (2,3) = e2,3+0,1 e2,30,1
2(0,1)= 9,9908144060
Eab = |9,9741824548 9,9908144060| = 0,0166319512
Para h = 0,01
f (2,3) = e2,3+0,01 e2,30,01
2(0,01)= 9,9743486920
Eab = |9,9741824548 9,9743486920| = 0,000166237
Para h = 0,001
f (2,3) = e2,3+0,001 e2,30,001
2(0,001)= 9,9741841171
Eab = |9,9741824548 9,9741841171| = 0,000001662
6
Metodos Numericos
Tabla de Resultados:
h f (x) Error0,1 9,9908144060 0,0166319512
0,01 9,9743486920 0,00016623720,001 9,9741841171 0,0000016624
Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de orden O(h2) con h = 0,001 seobtiene la mejor aproximacion.
Editor:function [L,n]=DerivadaCent1(f,x,h)
format long
max1=3;
H(1)=h;
D(1)=(feval(f,x+h)-feval(f,(x-h)))/(2*h);
E(1)=(feval(f,x)-D(1));
for n=1:2
h=h/10;
H(n+1)=h;
D(n+1)=(feval(f,x+h)-feval(f,x-h))/(2*h);
E(n+1)=abs(feval(f,x)-D(n+1));
end
while n
Metodos Numericos
Command Window:>> DerivadaCent1(inline(exp(x)),2.3,0.1)
Primera Derivada Centrada
Inline function:
f(x) = exp(x)
Punto:2.300000
hk | Dk | Error
--------------------------------------------
0.1000 | 9.9908144060 | 0.0166319512
0.0100 | 9.9743486920 | 0.0001662372
0.0010 | 9.9741841172 | 0.0000016624
Diferencia Centrada O(h4)
f (x) = f2 + 8 f1 8 f1 + f212h
Solucion Manual:Para h = 0,1
f (2,3) = e2,3+2(0,1) + 8 e2,3+0,1 8 e2,30,1 + e2,32(0,1)
12(0,1)= 9,9741491679
Eab = |9,9741824548 9,9741491679| = 0,0000332869
Para h = 0,01
f (2,3) = e2,3+2(0,01) + 8 e2,3+0,01 8 e2,30,01 + e2,32(0,01)
12(0,01)= 9,9741824515
Eab = |9,9741824548 9,9741824515| = 0,0000000033
Para h = 0,001
f (2,3) = e2,3+2(0,001) + 8 e2,3+0,001 8 e2,30,001 + e2,32(0,001)
12(0,001)= 9,9741824548
Eab = |9,9741824548 9,9741824548| = 0
8
Metodos Numericos
Tabla de Resultados:
h f (x) Error0,1 9,9741491679 0,0000332869
0,01 9,9741824515 0,00000000330,001 9,9741824548 0
Analisis:Se observa que en la diferencias centradas de orden O(h4) el error es menorpara los diferentes de valores; es evidente que estas aproxiamciones son me-jores que para las generadas de orden O(h2), en especial con h = 0,001.
Editorfunction [L,n]=DerivadaCentO4(f,x,h)
format long
max1=3;
H(1)=h;
D(1)=(-feval(f,x+2*h)+8*feval(f,x+h)-8*feval(f,x-h)+feval(f,x-2*h))
/
(12*h);
E(1)=(feval(f,x)-D(1));
for n=1:2
h=h/10;
H(n+1)=h;
D(n+1)=(-feval(f,x+2*h)+8*feval(f,x+h)-8*feval(f,xh)+feval(f,x-2*h))
/(12*h);
E(n+1)=abs(feval(f,x)-D(n+1));
end
while n
Metodos Numericos
Command Window>> DerivadaCentO4(inline(exp(x)),2.3,0.1)
Primera Derivada Centrada (Oh4)
Inline function:
f(x) = exp(x)
Punto:2.300000
hk | Dk | Error
------------------------------------------
0.1000 | 9.9741491679 | 0.0000332869
0.0100 | 9.9741824515 | 0.0000000033
0.0010 | 9.9741824548 | 0.0000000000
3. Usando el desarrollo de Taylor para f (x+ h), f (x h), f (x+ 2h) y f (x 2h), deduzcala formula de diferencias centradas f (3)(x) y f (4)(x).
a)
f (3)(x) =f (x+ 2h) 2 f (x+ h) + 2 f (x h) f (x 2h)
2h3
Demostracion:
f (x+ h) = f (x) + f (x)h+ f(2)(x)h2
2!+
f (3)(x)h3
3!+
f (4)(x)h4
4!+
f (5)(x)h5
5!
f (x h) = f (x) f (x)h+ f(2)(x)h2
2! f
(3)(x)h3
3!+
f (4)(x)h4
4! f
(5)(x)h5
5!
f (x+ 2h) = f (x) + 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2
2!+ 8
f (3)(x)h3
3!+ 16
f (4)(x)h4
4!+ 32
f (5)(x)h5
5!
f (x 2h) = f (x) 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2
2! 8 f
(3)(x)h3
3!+ 16
f (4)(x)h4
4! 32 f
(5)(x)h5
5!
f (x+ h) f (x h) = 2 f (x)h+ 2 f(3)(x)h3
3!+ 2
f (5)(c)h5
5!
f (x+ 2h) f (x 2h) = 4 f (x)h+ 16 f(3)(x)h3
3!+ 64
f (5)(c)h5
5!
10
Metodos Numericos
2 f (x+ h) + 2 f (x h) = 4 f (x)h 4 f(3)(x)h3
3! 4 f
(5)(c)h5
5!
f (x+ 2h) f (x 2h) = 4 f (x)h+ 16 f(3)(x)h3
3!+ 64
f (5)(c)h5
5!
f (x+ 2h) 2 f (x+ h) + 2 f (x h) f (x 2h) = 12 f(3)(x)h3
6+ 60
f (5)(c)h5
120
f (3)(x) =f (x+ 2h) 2 f (x+ h) + 2 f (x h) f (x 2h)
2h3 f
(5)(c)h2
4
f (3)(x) =fi+2 2 fi+1 + 2 fi1 fi2
2h3 f
(5)(c)h2
4
b)
f (4)(x) =f (x+ 2h) 4 f (x+ h) + 6 f (x) 4 f (x h) + f (x 2h)
h4
Demostracion:
f (x+ h) = f (x) + f (x)h+ f(2)(x)h2
2!+
f (3)(x)h3
3!+
f (4)(x)h4
4!+
f (5)(x)h5
5!+
f (6)(x)h6
6!
f (x h) = f (x) f (x)h+ f(2)(x)h2
2! f
(3)(x)h3
3!+
f (4)(x)h4
4! f
(5)(x)h5
5!+
f (6)(x)h6
6!
f (x+ 2h) = f (x)+ 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2
2!+ 8
f (3)(x)h3
3!+ 16
f (4)(x)h4
4!+ 32
f (5)(x)h5
5!+ 64
f (6)(x)h6
6!
f (x 2h) = f (x) 2 f (x)h+ 4 f(2)(x)h2
2! 8 f
(3)(x)h3
3!+ 16
f (4)(x)h4
4! 32 f
(5)(x)h5
5!+ 64
f (6)(x)h6
6!
f (x+ h) + f (x h) = 2 f (x) + 2 f(2)(x)h2
2!+ 2
f (4)(x)h4
4!+ 2
f (6)(c)h6
6!
f (x+ 2h) + f (x 2h) = 2 f (x) + 8 f(2)(x)h2
2!+ 32
f (4)(x)h4
4!+ 128
f (6)(c)h6
6!
11
Metodos Numericos
4 f (x+ h) 4 f (x h) = 8 f (x) 8 f(2)(x)h2
2! 8 f
(4)(x)h4
4! 8 f
(6)(c)h6
6!
f (x+ 2h) + f (x 2h) = 2 f (x) + 8 f(2)(x)h2
2!+ 32
f (4)(x)h4
4!+ 128
f (6)(c)h6
6!
f (x+ 2h) 4 f (x+ h) 4 f (x h)+ f (x 2h) = 6 f (x)+ 24 f(4)(x)h4
24+ 120
f (6)(c)h6
720
f (4)(x) =f (x+ 2h) 4 f (x+ h) + 6 f (x) 4 f (x h) + f (x 2h)
h4 f
(6)(c)h2
6
f (4)(x) =fi+2 4 fi+1 + 6 fi 4 fi1 + fi2
h4 f
(6)(c)h2
6
4. Determinar las aproximaciones centradas, regresivas y progresivas de orden O(h2) af (xk) en cada uno de los cuantro puntos de la siguiente tabla, presente la informacioncalculada y resumida en una tabla.
x f (x)0,00 0,989920,10 0,9991350,20 0,9982950,30 0,987480
Aproximaciones Centradas:Se pueden utilizar aproximaciones centradas con los puntos 0.10 y 0.20; debido aque solo estos possen un punto anterior y posterior, de la siguiente manera:
f (x) = f1 f12h
f (0,10) = f (0,20) f (0,00)2(0,10)
=0,998295 0,98992
2(0,1)= 0,041875
f (0,20) = f (0,30) f (0,10)2(0,10)
=0,987480 0,999135
2(0,1)= 0,058275
12
Metodos Numericos
Aproximaciones Progresivas:
f (x) = 3 f0 + 4 f1 f22h
f (0,00) = 3(0,98992) + 4(0,99135) 0,9982952(0,1)
= 0,142425
f (0,10) = 3(0,999135) + 4(0,998295) 0,9874802(0,1)
= 0,041475
Aproximaciones Regresivas:
f (x) = 3 f0 4 f1 + f22h
f (0,20) = 3(0,998295) 4(0,999135) + 0,989922(0,1)
= 0,058675
f (0,30) = 3(0,987480) 4(0,998295) + 0,9991352(0,1)
= 0,158025
Tabla de Resultados:
x Aprox.Centradas Aprox.Progresivas Aprox.Regresivas0,00 0,142425 0,10 0,041875 0,041475 0,20 0,058275 0,0586750,30 0,158025
Editor:
function DifAp(x,fx)
n=length(x);
m=length(fx);
D(n,3)=0;
Dc(n)=0;
Dp(n)=0;
Dr(n)=0;
if n~=m
fprintf(Longitud de los valores no corresponde.\n);
return
end
h=x(2)-x(1);
D(n,3)=0;
%Aproximacion Centrada
for i=2:n-1
Dc(i)=(fx(i+1)-fx(i-1))/(2*h);
end
%Aproximacion Progresiva
13
Metodos Numericos
for i=1:n-2
Dp(i)=(-3*fx(i)+4*fx(i+1)-fx(i+2))/(2*h);
end
%Aproximacion Regresiva
for i=3:n
Dr(i)=(3*fx(i)-4*fx(i-1)+fx(i-2))/(2*h);
end
fprintf(|x| f(x)|Dif. Centradas|Dif. Progresivas|Dif. Regresivas|\n);
fprintf(-----------------------------------------------------\n);
for i=1:n
fprintf(%.2f\t %f \t,x(i),fx(i));
if Dc(i)==0
fprintf(\t\t---------\t);
else fprintf(\t\t%.6f\t,Dc(i));
end
if Dp(i)==0
fprintf(\t\t---------\t);
else fprintf(\t\t%.6f,Dp(i));
end
if Dr(i)==0
fprintf(\t\t--------\n);
else fprintf(\t%.6f\n,Dr(i));
end
end
end
Command Window:
>> DifAp([0.00 0.10 0.20 0.30],[0.98992 0.999135 0.998295 0.987480])
| x | f(x) | Dif. Centradas | Dif. Progresivas | Dif. Regresivas|
----------------------------------------------------------------------------
0.00 0.989920 --------- 0.142425 --------
0.10 0.999135 0.041875 0.041475 --------
0.20 0.998295 -0.058275 --------- -0.058675
0.30 0.987480 --------- --------- -0.158025
14
Metodos Numericos
5. Calcule cada una de las siguientes integrales, utilizando los codigos compuestos estu-diados(Trapecio,Simpson y Punto Medio). Ademas, analice el error absoluto.
a) 11(1+ x2)1dx 1
1(1+ x2)1dx = arctan(1) arctan(1) = 1,5707963267
Trapecio:Command Window:>> It=intt(-1,1,200,inline((1+x.^2).^(-1)))
El valor por el Metodo de Trapecio es:
It =
1.570787993461564
Errab = |1,5707963267 1,5707879934| = 0,000008333
Punto Medio:Command Window:>> Ir=intr(-1,1,200,inline((1+x.^2).^(-1)))
El valor por el Metodo del Punto Medio es:
Ir =
1.570787993461564
Errab = |1,5707963267 1,5707879934| = 0,000008333
Simpson: Command Window:>> Isc=Intsimpson(-1,1,200,inline((1+x.^2).^(-1)))
El valor por el Metodo de Simpson es:
Isc =
1.570796326794896
Errab = |1,5707963267 1,5707963267| = 0
15
Metodos Numericos
b) 1
0x(sin(x))dx 1
0x(sin(x))dx = x(cos(x))10 + 10 cos(x)dx = (x(cos(x)) + sin(x))10
( cos(1) + sin(1)) sin(0) = 0,3011686789
Trapecio: Command Window:>> It=intt(0,1,200,inline(x*sin(x)))
El valor por el Metodo de Trapecio es:
It =
0.301171557636773
Errab = |0,3011686789 0,3011715576| = 0,0000002878
Punto Medio: Command Window:>> Ir=intr(0,1,200,inline(x*sin(x)))
El valor por el Metodo del Punto Medio es:
Ir =
0.303275235098793
Errab = |0,3011686789 0,3032752350| = 0,002106556
Simpson: Command Window:>> Isc=Intsimpson(0,1,200,inline(x*sin(x)))
El valor por el Metodo de Simpson es:
Isc =
0.301168678939092
Errab = |0,3011686789 0,3011686789| = 0
16
Metodos Numericos
c) pi
0cos(x)exdx
u = cos(x); dv = exdu = sin(x); v = ex pi
0cos(x)exdx = cos(x)ex
pi0
ex sin(x)
u = sin(x); dv = exdu = cos(x); v = ex pi
0cos(x)exdx = x cos(x)ex + ex sin(x)
pi0
ex cos(x) pi0
cos(x)exdx = cos(x)ex + ex sin(x)
2
pi0 pi
0cos(x)exdx = cos(pi)e
pi + epi sin(pi) + cos(0)e0 e0 sin(0)2
= 0,5216069591
Trapecio: Command Window:>> It=intt(0,pi,200,inline(cos(x)*exp(-x)))
El valor por el Metodo de Trapecio es:
It =
0.521628409534720
Errab = |0,5216069591 0,5216284095| = 0,00002145
Punto Medio:>> Ir=intr(0,pi,200,inline(cos(x)*exp(-x)))
El valor por el Metodo del Punto Medio es:
Ir =
0.513435026580370
Errab = |0,5216069591 0,5134350265| = 0,008171932
Simpson:El valor por el Metodo de Simpson es:
Isc =
0.521606959087782
Errab = |0,5216069591 0,5216069590| = 0
17
Metodos Numericos
Tabla de Resultados:
f(x) [a,b] Trapecio Punto Medio Simpson(1+ x2)1 [1, 1] 0,000008333 0,000008333 0x sin(x) [0, 1] 0,0000002878 0,002106556 0
cos(x)ex [0,pi] 0,00002145 0,008171932 0
6. La longitud de una curva y = f (x) definida sobre un intervalo [a, b] viene dado por:
L = ba
1+ ( f (x))2dx
El area de la superficie del solido de revolucion que se obtiene al girar alrededor deleje OX la region limitada por la curva y = f (x) y el intervalo [a, b] viene dada por:
S = 2pi ba
f (x)
1+ ( f (x))2dx
Calcular la longitud y la superficie de revolucion de las curvas dadas, utilizando elcodigo compuesto del punto medio. Analice el error y realice las graficas respectivasde la funcion y de la superficie del solido de revolucion.
a) f (x) = ex sin(x2) para x [0, 1]
f (x) = ex sin(x2) +
ex cos(x2)
2
Longitud:
L = 1
0
1+ (ex sin(x
2) +
ex cos(x2)
2)2dx = 1,0255312361
Editor:function intr2(a,b,n,f)
dx=diff(f);
L=sqrt(1+(dx).^2);
h=(b-a)/n;
Long=0;
for i=1:n
x=a+h*i;
Long=Long+subs(L,x,x);
end
18
Metodos Numericos
Long=h*Long;
fprintf(El valor aproximado de la longitud es:%.10f\n,Long);
x=a:0.01:b;
y=subs(f,x,x);
hold on
plot(x,y);
grid on
xlabel(X),ylabel(Y);
title(Grafica de la funcion)
Command Window:>> intr2(0,1,200,sym(exp(-x)*sin(x/2)))
El valor aproximado de la longitud es:1.0252373681
Grafica:
Error:
Errab = |1,0255312361 1,0252373681| = 0,000293868
Ere =|1,0255312361 1,0252373681|
|1,0255312361| = 0,000286551
19
Metodos Numericos
Superficie:
S = 2pi 1
0ex sin(x
2)
1+ (ex sin(x
2) +
ex cos(x2)
2)2dx = 0,8261269128
Editor:function intr3(a,b,n,f)
dx=diff(f);
S=f*sqrt(1+(dx).^2);
h=(b-a)/n;
Sup=0;
for i=1:n
x=a+h*i;
Sup=Sup+subs(S,x,x);
end
Sup=2*pi*h*Sup;
fprintf(El valor aproximado de la superficie es:%.10f\n,Sup);
x=a:0.01:b;
y=subs(f,x,x);
cylinder(y),xlabel(Z),ylabel(Y),zlabel(X),axis square;
hold on
grid on
title(Grafica de la Superficie de Revolucion)
Command Window:>> intr3(0,1,200,sym(exp(-x)*sin(x/2)))
El valor aproximado de la superficie es:0.8288901418
Error:
Errab = |0,8261269128 0,8288901418| = 0,002763229
Ere =|0,8261269128 0,8288901418|
|0,8261269128| = 0,003344799
20
Metodos Numericos
Grafica:
b) g(x) = sin(x) cos(2x) para x [0, pi4]
g(x) = cos(x) cos(2x) 2 sin(2x)sin(x)
Longitud:
L = pi
40
1+ (cos(x) cos(2x) 2 sin(2x)sin(x))2dx = 0,985814099793
Editor:function intr2(a,b,n,f)
dx=diff(f);
L=sqrt(1+(dx).^2);
h=(b-a)/n;
21
Metodos Numericos
Long=0;
for i=1:n
x=a+h*i;
Long=Long+subs(L,x,x);
end
Long=h*Long;
fprintf(El valor aproximado de la longitud es:%.10f\n,Long);
x=a:0.01:b;
y=subs(f,x,x);
hold on
plot(x,y);
grid on
xlabel(X),ylabel(Y);
title(Grafica de la funcion)
Command Window:>> intr2(0,pi/4,200,sym(sin(x)*cos(2*x)))
El valor aproximado de la longitud es:0.9864411396
Grafica:
22
Metodos Numericos
Error:
Errab = |0,985814099793 0,9864411396| = 0,000627039
Errre =|0,985814099793 0,9864411396|
|0,985814099793| = 0,000636062
Superficie:
S = 2pi pi
40
sin(x) cos(2x)
1+ (cos(x) cos(2x) 2 sin(2x)sin(x))2dx = 1,0151907524Editor:function intr3(a,b,n,f)
dx=diff(f);
S=f*sqrt(1+(dx).^2);
h=(b-a)/n;
Sup=0;
for i=1:n
x=a+h*i;
Sup=Sup+subs(S,x,x);
end
Sup=2*pi*h*Sup;
fprintf(El valor aproximado de la superficie es:%.10f\n,Sup);
x=a:0.01:b;
y=subs(f,x,x);
cylinder(y),xlabel(Z),ylabel(Y),zlabel(X),axis square;
hold on
grid on
title(Grafica de la Superficie de Revolucion)
Command Window:> intr3(0,pi/4,200,sym(sin(x)*cos(2*x)))
El valor aproximado de la superficie es:1.0151595546
Error:
Errab = |1,0151907524 1,0151595546| = 0,000031197
Ere =|1,0151907524 1,0151595546|
|1,0151907524| = 0,00003073
23
Metodos Numericos
Grafica:
c) h(x) = x3 cosh(x) para x [0, 1]
h(x) = 3x2 cosh(x) + x3 sinh(x)
Longitud:
L = 1
0
1+ (3x2 cosh(x) + x3 sinh(x))2dx = 2,0436298070
Editor:function intr2(a,b,n,f)
dx=diff(f);
L=sqrt(1+(dx).^2);
h=(b-a)/n;
Long=0;
for i=1:n
x=a+h*i;
Long=Long+subs(L,x,x);
24
Metodos Numericos
end
Long=h*Long;
fprintf(El valor aproximado de la longitud es:%.10f\n,Long);
x=a:0.01:b;
y=subs(f,x,x);
hold on
plot(x,y);
grid on
xlabel(X),ylabel(Y);
title(Grafica de la funcion)
Command Window:>> intr2(0,1,200,sym(x^3*cosh(x)))
El valor aproximado de la longitud es:2.0558913456
Error:
Errab = |2,0436298070 2,0558913456| = 0,0122615386
Ere =|2,0436298070 2,0558913456|
|2,0436298070| = 0,005999882Grafica:
25
Metodos Numericos
Superficie:
S = 2pi 1
0x3 cosh(x)
1+ (3x2 cosh(x) + x3 sinh(x))2dx
Editor:function intr3(a,b,n,f)
dx=diff(f);
S=f*sqrt(1+(dx).^2);
h=(b-a)/n;
Sup=0;
for i=1:n
x=a+h*i;
Sup=Sup+subs(S,x,x);
end
Sup=2*pi*h*Sup;
fprintf(El valor aproximado de la superficie es:%.10f\n,Sup);
x=a:0.01:b;
y=subs(f,x,x);
cylinder(y),xlabel(Z),ylabel(Y),zlabel(X),axis square;
hold on
grid on
title(Grafica de la Superficie de Revolucion)
Command Window:>> intr3(0,1,200,sym(x^3*cosh(x)))
El valor aproximado de la superficie es:8.0062060679
Error:
Errab = |7,8626386306 8,0062060679| = 0,1435674373
Ere =|7,8626386306 8,0062060679|
|2,0436298070| = 0,0182594475
26
Metodos Numericos
Grafica:
7. Determine un valor aproximado del Ln(2) aplicando las formulas compuestas anali-zadas y obtenga en cada caso una estimacion del error relativo. Presente los datos enuna tabla de resumen.
10
dxx+ 1
Valor Real:ln(2) = 0,6931471805
Para 5 nodos:
x f (x)0 1
0,25 0,80,5 0,6666666670,75 0,571428571
1 0,5
27
Metodos Numericos
Trapecio Compuesto:n = 4
h =14 1
0
dxx+ 1
=h2( f (a) + f (b)) + h
41i=1
f (xi)
=h2( f (x0) + f (x4)) + h( f (x1) + f (x2) + f (x3))
=h2( f (0) + 2 f (0,25) + 2 f (0,5) + 2 f (0,75) + f (1))
=0,25
2(1+ 2(0,8) + 2(0,666667) + 2(0,571428571) + 0,5) = 0,6970238095
Error:
Ere =|0,6931471805 0,6970238095|
|0,6931471805| = 0,005592793
Editor:
function intt(a,b,n,f)
re=log(2);
format long
h=(b-a)/n;
It=0;
for i=1:n-1
x=a+h*i;
It=It+f(x);
end
It=h*(f(a)+f(b))/2+h*It;
err=abs(re-It)/abs(re);
fprintf(El valor por el Metodo de Trapecio es:%.10f\n,It);
fprintf(El error relativo es:%.10f\n,err)
Command Window:
>> intt(0,1,5,inline(1/(x+1)))
El valor por el Metodo de Trapecio es:0.6956349206
El error relativo es:0.0035890503
28
Metodos Numericos
Simpson Compuesto:Para conseguir 5 nodos, se toma n = 2.
10
dxx+ 1
=h3( f (a) + f (b)) +
2h3
21i=1
f (x2i) +4h3
2
i=1
f (x2i1)
=h3( f (x0) + f (x1)) +
2h3( f (x2) + f (x4)) +
4h3( f (x1) + f (x3)))
=h3( f0 + 4 f1 + 2 f2 + 4 f3 + f4)
=0,25
3(1+ 4(0,8) + 2(0,6666666667) + 4(0,5714285714) + 0,5) = 0,6932539682
Error:
Ere =|0,6931471805 0,6932539682|
|0,6931471805| = 0,0001540620Editor:
function Intsimpson(a,b,n,f)
re=log(2);
format long
h=(b-a)/(2*n);
Sp=0;
Si=0;
for i=1:n
x=a+h*(2*i-1);
Si=Si+f(x);
end
for i=1:n-1
x=a+h*2*i;
Sp=Sp+f(x);
end
Isc=h/3*(f(a)+f(b)+4*Si+2*Sp);
err=abs(re-Isc)/abs(re);
fprintf(El valor por el Metodo de Simpson es:%.10f\n,Isc);
fprintf(El error relativo es:%.10f\n,err)
Command Window:
>> Intsimpson(0,1,5,inline(1/(x+1)))
El valor por el Metodo de Simpson es:0.6931502307
El error relativo es:0.0000044004
29
Metodos Numericos
Tabla de Resultados(Manual):
Metodo Compuesto Valor ErrorTrapecio 0,6970238095 0,005592793simpson 0,6932539682 0,0001540620
Tabla de Resultados(Matlab):
Metodo Compuesto Valor ErrorTrapecio 0,6956349206 0,0035890503simpson 0,6931502307 0,0000044004
Es notable por los resultados del error que el metodo mas factible sera el com-puesto de Simpson.
30