Post on 26-Oct-2015
1
TRACCION SIMPLE
SOPORTE PARA SUJETAR LAS GUIAS
1. FOTO DIGITAL
2. MODELADO DEL OBJETO FISICO REAL
Utilizamos el software Solidworks y Autocad para el modelado siguiente:
3. DISCRETIZADO
UNI - FIM
2
El siguiente soporte de plástico polietileno, cuyo espesor es constante t=60 mm,
calcularemos los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo.
Utilizaremos CUATRO elementos finitos.
Consideraremos estos datos para el plástico polietileno:
Fuerza aplicada = 10 N
Peso del material = 0.1067N
t (espesor) = 60 mm
E(Modulo de elasticidad) = 1.4 GPa= 1400 N/mm2
Y(Densidad de peso) = 14 kN/m3= 14x10-6 N/mm3
𝝆(Densidad de masa) = 1400 kg/m3
4. CALCULOS
UNI - FIM
3
4.1MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideran cinco elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos tendrán longitud de 20 mm, 120mm, 30mm, 30mm para cada elemento finito.
Y los espesores serán calculados tomando la medida que equivaldrá al área de cada elemento finito:
b1=(70+70)2
=70mm
b2=(40+40)2
=40mm
b3=(900. pi−400. pi)
2.30=26.18mm
b4=(900. pi−400. pi)
2.30=26.18mm
Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:
UNI - FIM
4
Y las áreas se calculan de la siguiente relación:
A1=b1×t
Cuadro de conectividad:
eNODOS GDL le
(mm)Ae
(mm2)(1) (2) 1 21 1 2 1 2 20 42002 2 3 2 3 120 24003 3 4 3 4 30 1570.84 4 5 5 6 30 1570.8
4.2GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
Luego el vector de desplazamiento será:
Q❑=⟦0Q2Q3Q4Q5
⟧ mm
Donde Q1 = 0, pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.
UNI - FIM
5
4.3VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
F11=y (A× l)12
=0.588
F21=y (A ×l)12
=0.588N
F22=y (A ×l)22
=2.016N
F32=y (A ×l)22
=2.016N
F33=y (A ×l)32
=0.33N
UNI - FIM
6
F43=y (A×l)32
=0.33N
F44=y (A×l)42
=0.33N
F54=y (A×l)42
=0.33N
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
F1=F11=0.588N+R1
F2=F21+F2
2=2.604N
F3=F32+F3
3=2.346N
F4=F43+F4
4=0.66N+10N=10.66N
F5=F54=0.33N
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera:
F=⌈
F1F2F3F4F5
⌉=⌈
0.588+R12.6042.34610.660.33
⌉ [N ]
4.4MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que esta determinada por la siguiente ecuación:
K il=( A ∙ El )1⟦1 −1 0 0 0
−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
⟧+( A ∙ El )2⟦0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
⟧+( A ∙El )3⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0
⟧+( A ∙ El )4 ⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1
⟧Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:
UNI - FIM
7
K il=( 4200 x140020 )1⟦1 −1 0 0 0
−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
⟧+( 2400x 1400120 )2⟦0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
⟧+(1570.8 x 140030 )3⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0
⟧+( 1570.8 x140030 )4⟦0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1
⟧Finalmente:
K il=103×⟦
294 −294 0 0 0−294 322 −28 0 00 −28 101.304 −73.304 00 0 −73.304 146.608 −73.3040 0 0 −73.304 73.304
⟧ Nmm4.5ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
F i=K il ∙Ql
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
⌈
0.588+R12.6042.34610.660.33
⌉=103×⟦294 −294 0 0 0
−294 322 −28 0 00 −28 101.304 −73.304 00 0 −73.304 146.608 −73.3040 0 0 −73.304 73.304
⟧[0Q2Q3Q4Q5
]
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:
⌈
¿2.6042.34610.660.33
⌉=103×⟦ 322 −28 0 0−28 101.304 −73.304 00 −73.304 146.608 −73.3040 0 −73.304 73.304
⟧[Q2Q3Q 4
Q5]
UNI - FIM
8
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:
Q2=0.054 xmm
Q3=0.530mm
Q4=0.680mm
Q5=0.685mm
Y para obtener la reacción en el empotramiento tomamos la siguiente submatriz:
[0.588+R1] = 103× ⌈ 294 −294 0 0 0⌉ [
0Q2Q3Q4
Q5]
Resolviendo obtenemos:
R1=−16.464 N
4.6ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:
σ ¿=(El )¿
[−11][ Q i
Qi+1]Y obtenemos lo siguiente:
σ 1=( 1.4×10320 ) [−11 ] [ 00.054]×10−3→σ 1=0.00378
Nmm2
σ 2=( 1.4×103120 ) [−11 ] [0.0530.53 ]×10−3→σ2=0.00557Nmm2
σ 3=( 1.4×10330 ) [−11 ] [0.530.68]×10−3→σ3=0.00700Nmm2
σ 4=( 1.4×10330 ) [−11 ] [ 0.680.685 ]×10−3→σ4=0.00023 Nmm2
5. RESULTADOS
UNI - FIM
9
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
R1=−16.464 N
σ 1=0.00378N
mm2
σ 2=0.00557N
mm2
σ 3=0.007N
mm2
σ 4=0.00023N
mm2
6. DIAGRAMA DE FLUJO
UNI - FIM
10
7. PROGRAMA EN MATLAB
Programa que resuelve el problema para n elementos finitos, en nuestro caso son cuatro.
UNI - FIM
11
%programa1clear all;close all;clc;%H=input('Ingrese la alura de la placa= ');%B=input('Ingrese la base de la placa= ');% pa=input('Ingrese la carga Pa= ');% pb=input('Ingrese la carga Pb= ');% t=input('Ingrese el espesor de la placa= ');% j=input('Ingrese la densidad del material');% E=input('Ingrese el modulo de elasticidad '); n=input('numero de elementos finitos = ');
H=1000; B=1200; pa=10000;t=150; j=78.45e-6; E=3e5;%n=3;h=zeros(1,n) ;
for i=1:n h(i)=H/n;end
s=0;w=zeros(n);Knn=zeros(n+1);
A=zeros(1,n) ;mx=zeros(1,n+1);m=zeros(1,n-1);for i=1:n m(i)=(n-1); m(i+1)=m(i)-1;end
mx=1/n*m;mx(1)=1;mx(n+1)=0;mxfor i=1:n b(i)=0.5*(mx(i)+mx(i+1)); A(i)=b(i);endA=A*B*t;
for i=1:n w(n+1,n+1)=0; w(i,i)=1; w(i,i+1)=-1; w(i+1,i)=-1; w(i+1,i+1)=1; Knn=Knn+A(i)*E/h(i)*w; w(n+1,n+1)=0;end
p=[];for i=1:n p(i)=A(i)/2*h(i)*j;end p(2)=p(2)+pa+A(2)/2*h(2)*j;
knn=Knn(2:n,2:n);pi=p(2:n);
Q=knn\pi';Q=[0;Q];k=Knn(1,1:n)*Q;R=k+p(1);es=[];
for i=1:n-1 es(i,1)=E/h(i)*[-1 1]*Q(i:i+1,1)endclc;%MOSTRANDO RESULTADOSdisp('..................................');disp('RESULTADOS');disp('==========');disp('EL VECTOR DESPLAZAMIENTO [mm] ');disp(Q);disp('LA REACCION EN EL APOYO [N]');disp(R);disp('EL VECTOR DE ESFUERZOS [MPa]');disp(es');
8. CONCLUSIONES
UNI - FIM
12
Respecto a las deformaciones se puede notar que son muy pequeñas y todas tienen una orientación hacia abajo, cuyo sentido es positivo para la referencia actual tomada, podemos notar además que numéricamente crece lo cual nos da la idea de que el material es más esforzado en sus puntos inferiores.
Respecto de los esfuerzos estos son positivos, lo que indica esfuerzos de tracción para nuestro sistema elegido de referencia en los cuatro elementos tomados en nuestra experiencia.
Sabemos también que existe un error pero este es pequeño respecto del cálculo manual y dependerá también del incremento del número de elementos finitos, si aumentamos el error tendera a cero, se debe tener en cuenta la tolerancia con la cual se trabajara para no hacer un trabajo innecesario aumentando los elementos finitos para buscar respuestas más cercanas a la teórica.
9. APORTES AL CURSO
Siempre debemos tener en cuenta el resultado final real para poder plantear una optimización de costos, por ejemplo del costo del material que usamos en la guía, y tener presente que así como la sobredimensión en el diseño es una protección al objeto el optimizar es un segundo paso que debemos realizarlo basado en nuestra experiencia, nunca dejando los cálculos de diseño, que actualmente lo realizan los programas y saber de antemano que muchos de estos están basados en la “Teoría de los elementos finitos” que hicieron más simple resolver muchos problemas complejos de matemática.
UNI - FIM