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NDICE
I. DINMICA DE FLUIDOS O HIDRODINMICA
II. FLUJOS INCOMPRESIBLES Y SIN ROZAMIENTO
III. ECUACIN DE BERNOULLI
IV. ECUACIN DE CONTINUIDAD
V. TEOREMA DE TORRICELLI
VI. NMERO DE REYNOLDS
VII. APLICACIONES A DISPOSITIVOS TECNOLGICOS DE INTERES Y AL
FUNCIONAMIENTO DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR
APLICACIONES TECNOLGICAS
VIII. FLUJOS VISCOSOS: MOVIMIENTO LAMINAR Y TURBULENTO
IX. LEY DE POISEUILLE
X. FLUJOS DE LA CAPA LMITE
XI. FLUJOS COMPRESIBLES
XII. PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRODINMICA
XIII. ANEXOS
XIV. BIBLIOGRAFA
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INTRODUCCIN
El estudio de la hidrosttica e hidrodinmica tiene vital importancia para la humanidad
ya que sin ella ciencias como hidrulica no existiran, y es esta ciencia precisamente la
que se encarga del estudio y distribucin de agua potable.
Los principios fsicos ms tiles en las aplicaciones de la mecnica de fluidos son elbalance de materia, o ecuacin de continuidad, las ecuaciones del balance de cantidad
de movimiento y el balance de energa mecnica. Pueden escribirse de forma
diferencial, mostrando las condiciones en un punto del interior de un elemento de
volumen, o bien de forma integrada, aplicable a un volumen o masa finitos de fluido.
La hidrodinmica, no solo aplicable a agua, sirve para el desarrollo en ingeniera del
automvil al hacer este ms eficiente.
A grandes rasgos, estas ciencias se encargan del estudio de nuestro ms vital lquido y
es por esto que son imprescindibles.
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RESUMEN
La hidrodinmica es la parte de la fsica que estudia el movimiento de los fluidos. Este
movimiento est definido por un campo vectorial de velocidades correspondientes a
las partculas del fluido y de un campo escalar de presiones, correspondientes a los
distintos puntos del mismo. Existen diversos tipos de fluidos:
Flujo de fluidos a rgimen permanente o intermitente: aqu se tiene en cuenta la
velocidad de las partculas del fluido, ya sea esta cte. o no con respecto al tiempo
Flujo de fluidos compresible o incompresible: se tiene en cuenta a la densidad, de
forma que los gases son fcilmente compresibles, al contrario que los lquidos cuya
densidad es prcticamente cte. en el tiempo.
Flujo de fluidos viscoso o no viscoso: el viscoso es aquel que no fluye con facilidad
teniendo una gran viscosidad. En este caso se disipa energa.
Viscosidad cero significa que el fluido fluye con total facilidad sin que haya disipacin
de energa. Los fluidos no viscosos incompresibles se denominan fluidos ideales.
Flujo de fluidos rotaciones o irrotacional: es rotaciones cuando la partcula o parte del
fluido presenta movimientos de rotacin y traslacin. Irrotacional es cuando el fluido
no cumple las caractersticas anteriores.
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Otro concepto de importancia en el tema son las lneas de corriente que sirven para
representar la trayectoria de las partculas del fluido. Esta se define como una lnea
trazada en el fluido, de modo que una tangente a la lnea de corriente en cualquier
punto sea paralela a la velocidad del fluido en tal punto. Dentro de las lneas decorriente se puede determinar una regin tubular del fluido cuyas paredes son lneas
de corriente. A esta regin se le denomina tubo de flujo.
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HIDRODIN ICA
F s c
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DIN ICA DE FL IDOS O HIDRODIN ICA
s e ec c e s se c e s eyes e s s e
v e ; es s eyes s e e e e c ej s y e c
e e c c c y e s c s e s
s c ce s s c s
e e e e e ec ce e s eyes c s s s s e ee es se e e v e ese c s se s e e e es c es e
e e es ec s se e e es ec s e ec s e e y v sc s S
e c es c es s e e c s e s s e es e v e s
es s e c ss s e e se v c es c j s e s e
s e ec s e v sc s s e e s
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a) Flujos incompresibles y sin rozamiento
Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energa
mecnica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a
lo largo de una lnea de corriente. Las lneas de corriente son lneas de flujo imaginarias
que siempre son paralelas a la direccin del flujo en cada punto, y en el caso de flujo
uniforme coinciden con la trayectoria de las partculas individuales de fluido. El
teorema de Bernoulli implica una relacin entre los efectos de la presin, la velocidad
y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presin disminuye. Este
principio es importante para predecir la fuerza de sustentacin de un ala en vuelo.
Etimolgicamente, la hidrodinmica es la dinmica del agua, puesto que el prefijo
griego "hidro-" significa "agua". Aun as, tambin incluye el estudio de la dinmica de
otros fluidos. Para ello se consideran entre otras cosas la velocidad, presin, flujo y
gasto del fluido. Para el estudio de la hidrodinmica normalmente se consideran tres
aproximaciones importantes:
y Que el fluido es un lquido incompresible, es decir, que su densidad no vara
con el cambio de presin, a diferencia de lo que ocurre con los gases.
y Se considera despreciable la prdida de energa por la viscosidad, ya que se
supone que un lquido es ptimo para fluir y esta prdida es mucho menor
comparndola con la inercia de su movimiento.
y Se supone que el flujo de los lquidos es en rgimen estable o estacionario, es
decir, que la velocidad del lquido en un punto es independiente del tiempo.
La hidrodinmica tiene numerosas aplicaciones industriales, como dise o de canales,
construccin de puertos y presas, fabricacin de barcos, turbinas, etc.
El gasto o caudal es una de las magnitudes principales en el estudio de la
hidrodinmica. Se define como el volumen de lquido V que fluye por unidad de
tiempo t. Sus unidades en el Sistema Internacional son los m3/s y su expresin
matemtica:
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s s e e s e c e e s c c e
c e e v e e e e e e e e s c e c
e
T e e e c se e s s e e e c
e e e Be es c sec e c e c se v c e e e e s
s e v e s ece e e c es e y v sc s
s e es s c e e c c e v e y e e
e c v e v e es c s e e ec c s ec e c e s v e c e e s
e c c S e es e c es
ePes la pres hidros ica, la de sidad, g la aceleracin de la gravedad,h la
altura del punto yv la velocidad del fluido en ese punto. Los subndices 1 y 2 se
refieren a los dos puntos del circuito.
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La otra ecuacin que cumplen los fluidos no compresibles es la ecu cin decontinuid d, queestablece queel caudal esconstante a lo largo de todo el circuito
hidrulico:
G =A1v1 =A2v2
DondeA es el rea de la seccin del conducto por donde circula el fluido yv su
velocidad media.
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En el caso de fluidos compresibles, donde la ecuacin de Bernoulli no es vlida, es
necesario utilizar la formulacin ms completa de Navier y Stokes. Estas ecuaciones
son la e presin matemtica de la conservacin demasa y decantidad de movimiento.
Para fluidos compresibles pero no viscosos, tambin llamados fluidos coloidales, se
reducen a lasecuaciones de Euler.
Daniel Bernoulli fue un matemtico que realiz estudios de dinmica.
La hidrodinmica o fluidos en movimientos presentan varias caractersticas que
pueden ser descritas por ecuaciones matemticas muysencillas.
La Ecuacin de Bernoulli permite que a lo largo de un flujo los trestrminos
e perimenten modificaciones por intercambio de unosvaloresconotros, pero siempre
debe mantenerse la suma total.Por ejemplo, en la situacin A,los puntos 1 y2 poseen
la mismapresin (la atmosfrica), por loqueseestara produciendo unatransformacin
deenerga cintica en energa de posicin.En B, los dos puntos poseen lamisma cota,
pero v2
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ECUACIN DE BERNOULLI
Para el caso de un flujo irracional a rgimen permanente de un fluido incompresible no
viscoso, es posible caracterizar el fluido en cualquier punto de su movimiento si se
especifica su rapidez, presin y elevacin. Estas tres variables se relacionan con la
ecuacin de Bernoulli (1700 -1782). En este caso hay que tener en cuenta dos
consideraciones:
Siempre que un fluido se desplace en un tubo horizontal y se encuentre en
una regin donde se reduce la seccin transversal entonces hay una cada de presin
del fluido.
Si el fluido se somete a un aumento en su elevacin, entonces la presin en la
parte inferior es mayor que la presin en la parte superior. El fundamento de esta
afirmacin es el estudio de la esttica de fluidos. Esto es verdad siempre y cuando no
cambie la seccin transversal del tubo.
La ecuacin de Bernoulli se postula como: en dos puntos de la lnea de corriente en
un fluido en movimiento, bajo la accin de la gravedad, se verifica que la diferencia de
las presiones hidrodinmicos es igual al peso de una columna de fluido de base unidad
y altura la diferencia entre los dos puntos.
La ecuacin de Bernoulli tiene las siguientes propiedades:
Modificar la altura significa una compensacin en la variacin de la presin o
en la velocidad.
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La velocidad en un tubo deseccin cte. es tambin constante.
El principio deconservacin deenerga permite utilizar la ecuacin en tubos
rectosy deseccin transversal constante o en tubos deseccin variable.
Para aplicar esta ecuacin es esencial identificar las lneas de corriente y
seleccionar unasestaciones definidas agua arriba y abajo en el fluido. Lasestacionesse
eligen por conveniencia.
TEOREMA DE TORRICELLI
Es una aplicacin de Bernoulli y estudia el flujo de un lquido contenido en un
recipiente, a travs de un pequeo orificio, bajo la accin de la gravedad.
A partir del teorema deTorricelli se puedecalcular el caudal desalida de un lquido por
un orificio. la velocidad de un lquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que
tendra un cuerpo cualquiera, cayendo librementeen el vaco desdeel nivel del lquido
hasta el centro de gravedad del orificio:
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LEY DE TORRICELLI:Si en un recipiente que no est tapado seencuentra un fluido yse
le abre al recipiente un orificio la velocidad con quecaer ese fluido ser:
La otra ecuacin matemtica que describe a los fluidosen movimiento esel nmero de
Reynolds
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N MERO DE REYNOLDS
La distincin entre los dos tipos de flujos fue inicialmente demostrada por Reynold en
1883. Sumergi un tubo horizontal devidrio en un tanque devidrio lleno de agua;el
flujo de agua a travs del tubo se poda controlar mediante una vlvula. La entradadel
tubo controlaba la entrada de un fino haz de agua coloreada en la entrada decorriente
del flujo. Reynoldsencontr que para bajas velocidades de flujo, el chorro de agua
coloreada circulaba inalterado a lo largo de la corriente principal sin quese produjese
mezcla alguna. Entonces el flujo era laminar. Al aumentar la velocidad se alcanzaba
una velocidad crtica, difuminndose la vena coloreada. Esto quiere decir queel flujo
ya no circulaba de forma laminar sino que se haba alcanzado un movimiento
turbulento.
Reynolds estudi las condiciones por las que se produce el cambio de un tipo de
movimiento a otro y encontr que la velocidad crtica, para la que el flujo pasa de
laminar a turbulento, depende decuatro variables: el dimetro del tubo, ascomola
viscosidad, la densidad, y la velocidad lineal media del lquido.
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Esto dio lugar a la expresin siguiente:
NRe = (v d) /
Experimentalmente se comprueba que el rgimen es laminar para velocidades
peque as y de alta viscosidad, y turbulento todo lo contrario. Asimismo la viscosidad
influye en que el movimiento de un fluido pueda ser laminar o turbulento.
El valor del nmero de Reynolds, Re, es dimensional y su valor es independiente de las
unidades utilizadas con tal de que sean consistentes.
Para re < 2100 tenemos flujo laminar
Para re > 4000 tenemos flujo turbulento.
Para 2100 < re < 4000 existe una zona de transicin, donde el tipo de flujo puede ser
tanto laminar como turbulento.
Esta ecuacin solo debe utilizarse para fluidos de tipo newtoniano, es decir, la mayora
de lquidos y gases Sin embargo los hay no newtonianos, los cuales no tienen un nico
valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante.
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APLICACIONES A DISPOSITIVOS TECNOLGICOS DE INTERES Y AL FUNCIONAMIENTO
DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR
APLICACIONES TECNOLGICAS
EFECTO VENTURI
Es una consecuencia del teorema de Bernoulli, que consiste en que los
estrechamientos de una tubera, se produce un aumento de la velocidad del lquido y
como consecuencia una disminucin de presin.
VENTURMETRO
Dispositivo que se utiliza para medir el caudal del fluido. Para ello se practica un suave
estrechamiento y se coloca un manmetro diferencial entre esa zona y otra de la
tubera.
TROMPA DE AGUA
iene el funcionamiento de un efecto Venturi. En este caso se considera una corriente
de agua que pasa por un tubo que se estrecha en su extremo para aumentar la
velocidad del lquido. El gas exterior penetra por la parte abier ta y es arrastrado por la
corriente. Si este conjunto se pone en comunicacin con un recinto cerrado, se
produce en l un vaco.
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TUBO DE PITOT
Sirve para medir la velocidad de corriente de un lquido, introduciendo en el tubo un
peque o tubo de vidrio doblado y en el que se puede efectuar una medida de las
distancias entre los niveles superiores del lquido en sus dos ramas. Este dispositivo se
emplea en el estudio de velocidades de aviones etc. Un dispositivo muy parecido a el
es la Sonda de Prandtl.
MECHERO DE BUNSEN
El gas inflamable sale a gran velocidad por un estrecho orificio, verificndose una
succin de aire exterior. La admisin del aire puede ser controlada por un orificio.
FUERZA SUSTENTADORA DE UN AVIN O EFECTO MAGNUS
En su avance por el aire el avin produce unas lneas de corriente, que se aproximan
entre s por la parte superior del ala ms de lo que est en la parte inferior. Dicho de
otra forma, las lneas de corriente se distribuirn ahora de forma que la velocidad de
las capas superiores es superior a la de las capas inferiores y la presin, por tanto, en la
parte inferior ser superior. En el caso del avin, la fuerza debida a la presin en la
zona inferior (hacia arriba) es mayor que en la parte superior (hacia abajo)
originndose una fuerza sustentadora que compensa el peso.
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VISCOSMETRO
Son aparatos cuya finalidad es medir viscosidades relativas. l ms importante es el
viscosmetro de Ostwald que mide la viscosidad a partir del tiempo que tarda en fluir
una cierta cantidad de lquido a travs de los enrases de un aparato dise ado para este
fin. Su fundamento est en la ecuacin de Poiseuille. El valor de referencia en estos
aparatos es la densidad del agua.
SISTEMA CARDIOVASCULAR
Uno de sus parmetros es la viscosidad. El aparato normalmente utilizado es el
viscosmetro de Hess. Un aumento de la viscosidad implica un aumento de la
hipertensin arterial, originado por un aumento de CO2 en la sangre. Si hay una
disminucin de la viscosidad, esto va implicado con una disminucin de hematies. En
definitiva las medidas de viscosidad en sangre, revelan informacin sobre el
funcionamiento de nuestro organismo.
El principio de continuidad se cumple en el sistema cardiovascular, para as poder
garantizar la uniformidad de la tensin sangunea.
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b Flujos viscosos: movimientol min y tu bulento
Los primerose perimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos
de baja velocidad a travs de tuberas fueron realizados independientemente por
Poiseuilley por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir losefectos
de la viscosidad en las ecuaciones matemticas se debi a Navier e,
independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccion las ecuaciones
bsicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como
ecuaciones de Navier-Stokes, yson tan complejas queslo se pueden aplicar a flujos
sencillos. Uno deellosesel de un fluido real quecircula a travs de una tubera recta.
El teorema deBernoulli no se puede aplicar aqu,porque parte de la energa mecnica
total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una cada de
presin a lo largo de la tubera. Lasecuacionessugieren que, dados una tubera y un
fluido determinados, esta cada de presin debera ser proporcional a la velocidad de
flujo. Lose perimentos demostraron queesto slo era cierto para velocidades bajas;
para velocidades mayores, la cada de presin era ms bien proporcional al cuadradode la velocidad.
Este problema se resolvi cuando Reynolds demostr la e istencia de dos tipos de flujo
viscoso en tuberas. A velocidades bajas, las partculas del fluido siguen las lneas de
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corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las
predicciones analticas. A velocidades ms elevadas, surgen fluctuaciones en la
velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la
actualidad se puede predecir completamente.
Reynolds tambin determin que la transicin del flujo laminar al turbulento era
funcin de un nico parmetro, que desde entonces se conoce como nmero de
Reynolds. Si el nmero de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la
velocidad, la densidad del fluido y el dimetro de la tubera di vidido entre la viscosidad
del fluido) es menor de 2.000, el flujo a travs de la tubera es siempre laminar cuando
los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de nmero de
Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecnica de fluidos.
Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones
calculadas, y su anlisis depende de una combinacin de datos experimentales y
modelos matemticos gran parte de la investigacin moderna en mecnica de fluidos
est dedicada a una mejor formulacin de la turbulencia. Puede observarse latransicin del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando
el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un
movimiento laminar a lo largo de lneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia
se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.
Ecuacin de Bernoulli para flujo real (con friccin)
P1/ + v1 /2 + g.h1= P2/ + v2 /2 + g.h2 + H0
H0 = perdida de energa por rozamiento desde 1 hasta 2.
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LEY DE POISEUILLE
Se define viscosidad a la resistencia opuesta por los fluidos al movimiento en alguna de
sus partes. Por el fenmeno de la viscosidad, la velocidad de los fluidos por los tubos
crece de las paredes al centro del tubo, ya que en los puntos pegados a la pared, el
fluido se adhiere a ella frenndose por su viscosidad. Por efecto de esta viscosidad, hay
una prdida de carga a lo largo del tubo.
Por esto a la formula de Bernoulli hay que sumarle un trmino referido a la perdida de
carga y que se denota por hfrepresentando la perdida de carga por frotamiento.
Hay diferentes ecuaciones que tiene en cuenta la variable viscosidad como son las
ecuaciones de Navier. Gracias a su expresin se puede obtener la llamada ley de
Poiseuille: el caudal de fluido por un tubo cilndrico en rgimen laminar, es
directamente proporcional a la cuarta potencia del radio, R, y a la diferencia de
presiones entre la parte superior del tubo e inferior p, e inversamente proporcional a
la longitud de este, l, y al coeficiente de viscosidad del lquido,
.
G = ( R4 p) /
(8 l)
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c) Flujos de la capa lmite
Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La regin prxima a la
superficie est formada por una delgada capa lmite donde se concentran los efectos
viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemtico. Fuera de esta
capa lmite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las
ecuaciones matemticas ms sencillas para flujos no viscosos.
La teora de la capa lmite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los
aviones modernos y del dise o de turbinas de gas y compresores.
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d) Flujos compresibles
El inters por los flujos compresibles comenz con el desarrollo de turbinas de vapor
por el britnico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubri por primera
vez el flujo rpido de vapor a travs de tubos, y la necesidad de un dise o eficiente de
turbinas llev a una mejora del anlisis de los flujos compresibles. El inters por los
flujos de alta velocidad sobre superficies surgi de forma temprana en los estudios de
balstica,donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles.
Uno de los principios bsicos del flujo compresible es que la densidad de un gascambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presin. Al
mismo tiempo, su temperatura tambin cambia, lo que lleva a problemas de anlisis
ms complejos. El comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la
velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido.
El sonido es la propagacin de una peque a perturbacin, u onda de presin, dentro
de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la ra z cuadrada de
su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 C (293 Kelvin en la
escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor
que la velocidad del sonido (flujo subsnico),las ondas de presin pu eden transmitirse
a travs de todo el fluido y as adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto,
el flujo subsnico que se dirige hacia el ala de un avin se ajustar con cierta distancia
de antelacin para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersnico, las
ondas de presin no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, elaire que se dirige hacia el ala de un avin en vuelo supersnico no est preparado para
la perturbacin que va a causar el ala y tiene que cambiar de direccin repentinamente
en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresin intensa u onda de choque. El
ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los observadores situados en
tierra constituye el estampido snico de los aviones supersnicos. Frecuentemente se
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identifican los flujos supersnicos por su nmero de Mach, que es el cociente entre la
velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersnicos tienen un
nmero de Mach superior a 1.
Viscosidad
Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza.
Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir los fluidos de baja
viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento
arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide
con un recipiente (viscosmetro) que tiene un orificio de tama o conocido en el fondo.La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida d e su viscosidad.
La viscosidad de un fluido disminuye con la reduccin de densidad que tiene lugar al
aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos molculas por unidad
de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento has ta la capa
estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se
transfiere con ms dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos
lquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reduccin d e la densidad.
Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando
cambia la temperatura, por lo que son muy tiles como lubricantes cuando una
mquina est sometida a grandes cambios de temperatura.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRODINMICA
1.- Considrese una manguera de seccincircular de dimetro interior de 2,0 cm, porla
que fluye agua a una tasa de 0,25 litros por cada segundo. Cul es la velocidad delagua en la manguera? El orificio de la boquilla de lamanguera es de 1 ,0 cm de
dimetro interior.Cul es la velocidad de salida del agua?
Solucin:
Disponemos del flujo de agua que circula por la manguera que es de 0,25 Lt/s, de tal
manera que segn la ecuacin G = A v
Por lo que:
Ahora, la ecuacin (18) permite calcular lavelocidad de salida del agua por la
boquilla,puesto que el flujo que pasa por la manguera esel mismo que pasa por la
boquilla.Es decir, se debe cumplir la relacin:
De donde se tiene:
Este ejemplo es interesante, puesto quemuestra el mecanismo mediante el cual
aldisminuir el dimetro de la boquilla, se logra queel agua salga con una velocidad que
permiteregar a distancias convenientes. Note que hadisminuido el dimetro a la mitad,sin embargola velocidad ha aumentado 4 veces, debido a larelacin cuadrtica de las
reas.
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2.- Por una tubera inclinada circula agua arazn de 9 m3 min, como se muestra en la
figura: En a el dimetro es30 cm y la presines de 1 Kf/cm2. Cul es la presin en elpuntob sabiendo queel dimetro es de 15cm y queelcentro de la tubera se halla 50
cm ms bajoqueen a?
Solucin:
Entre los puntos a y b se puede usar laecuacin decontinuidad, de manera tal que:
AAvA= ABvB= G
D
e dondese pueden calcular lasvelocidadesena yen b:
Tambin se puede ocupar la ecuacin deBernoulli para relacionar ambos puntos, de
laquese puedecalcular la presin en b:
PB = PA+ g [hA-hB]+ [vA2- vB
2]
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3.- Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3
es horizontal en h0 = 0 m. Para evitar un obstculo, el tubo se debe doblar hacia arriba,
hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m. El tubo tiene rea transversal constante. Si la
presin en la seccin inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la presin P1 en la parte
superior.
Solucin:
Segn lo que predice la ecuacin de continuidad, al tener rea transversal constante,
no debe cambiar la velocidad del fluido en su interior, por tanto: v0 = v1 = v En
consecuencia, aplicando la ecuacin de Bernoulli a puntos en la parte superior y la
parte inferior, se tiene:
En consecuencia, aplicando la ecuacin de Bernoulli a puntos en la parte superior y la
parte inferior, se tiene:
De donde:
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La presin baj desde 1,5 atm hasta 1,38 atm! Esta conclusin parececontradecir lo
encontrado en el efecto Venturi, donde las presiones eran inversamente
proporcionales a lasvelocidades.
Sin embargo, ha de recordarse que aquel era cierto bajo la restriccin de lneas deflujo horizontales, en las que no hubiera diferencias significativas en la energa
potencial del fluido en movimiento.
4.- Un fluido incompresible fluye de izquierda a derecha por un tubo cilndrico como el
que se muestra en la figura. La densidad de la sustancia es de 105 utm/m3. Su
velocidad en el e tremo deentrada esv0 = 1,5 m/s, y la presin alles de P0= 1,75
Kgf/cm2, yel radio de la seccin es r0=20 cm. El e tremo desalida est 4,5 m abajo del
e tremo deentrada yel radio de la seccin all, es r1 =7,5cm. Encontrar la presin P1
en esee tremo.
Solucin:
La presin se puede encontrar mediante la ecuacin deBernoulli; sin embargo,
previamente necesitaremoscalcular la velocidad v1 con la ecuacin decontinuidad:
De donde:
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Ahora, segn Bernoulli:
Note que si ponemos una vlvula y cortamos el flujo de agua, P1=2,21 Kgf/m2: sube!
5.- Un tanque cilndrico de 1,80 m de dimetro descansa sobre una plataforma de una
torre a 6 m de altura, como se muestra en la figura. Inicialmente, el tanque est lleno
de agua, hasta la profundidad h0 = 3 m. De un orificio que est al lado del tanque y en
la parte baja del mismo, se quita un tapn que cierra el rea del orificio, de 6 cm2.
Con qu velocidad fluye inicialmente el agua del orificio? Cunto tiempo nece sita el
tanque para vaciarse por completo?
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Solucin:
Este problema es muy importante, puesto que por una parte revisaremos
numricamente algunosconceptosy por otra parte, an cuando no trata deconceptos
directamente considerado en la teora aque puesta, contiene otros elementos que
son relevantes para los alumnos. Al soltar el tapn, se tiene una situacin regulada por
la ec. de Bernoulli; de tal manera que se puede calcular la velocidad con que sale
inicialmenteel agua por el orificio, como hemos hecho hasta ahora:
Consideraremos la referencia en el piso; adems tanto en 1 como en 2 la presin es la
atmosfrica, yV1= 0, puesto que la relacin entre las reas del tanque y del orificio
permite despreciarlo a travs de la ecuacin decontinuidad.
(Note que:
la velocidad en 2ser 4239 veces mayor que la velocidad en 1! ).
De lo anterior:
P0+ g [H + H0]+ [0]2
= P0+ g H + V2
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Dedonde:
V22= g [H + H0 - g H
V22
=2 g H0
al como lo habamos previsto segn orricelli. Es interesante esta expresin, puestoque la velocidad no depende de la densidad del lquido, tal como la cada de un objeto
no depende de su masa en ausencia de aire. Por lo tanto:
Luego, aplicando nuevamente Bernoulli para los puntos 2 y 3, podemos calcular la
velocidad conque llega el agua al suelo:
P2 + g h2 + V22= P3 + g h3+ V3
2
Con P2 = P3 = P0:
P0 + g H + V22= P0 + g [0 + V3
2
Dedonde:
V32= V2
2+ 2 g H
V3= (58.8 m2/s2 + 2 [9,8 m/s2][6 m])
V3 =13,3 m/s
Hasta aqu, el problema es resuelto como ha predicho la teora expuesta. Sin embargo,
calcular el tiempo que demora el tanque en vaciarse requiere de consideraciones
distintas, puesto que la profundidad no ser constante, como en los casos anteriores.
Esto producir que la velocidad con que baja el fluido en el tanque, as como la
velocidad con que sale el lquido por el orificio, no sean constantes en el tiempo. Para
resolver esto, consideraremos que la altura h del lquido disminuye en dh durante un
intervalo de tiempo dt (ver figura). Entonces, la velocidad con que baja el fluido en el
tanque V1, queda determinada por la expresin:
Negativa puesto que h disminuye en el tiempo.
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Adicionalmente, se tiene que
V1 A1= V2 A2
Como ya sabemos, expresin que es cierta para todo t, de donde:
Al igualar ambas expresiones, se tiene:
Adems, segn torricelli como hemos visto:
Por lo que:
Que se puede expresar como:
Integrando la expresin para el intervalo entre
t = 0, donde la profundidad es h0 y el tiempo
t = t, donde la profundidad es h, se tiene:
Integrando:
Despejandot:
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Cuando el tanquesevace, h = 0, por lo que:
Remplazandovalores:
t =3263,3segundos
Se recomienda revisar con especial cuidado la lgica seguida en la solucin de este
problema.
6.- Un tanquecilndrico de 1,2 m de dimetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con
agua. El espacio encima del agua est ocupado con aire, comprimido a la presin de
2,026 X 105 N/m2. De un orificio en el fondo se quita un tapn quecierra un rea de
2,5cm3. Calcular la velocidad inicial de la corriente que fluye a travs deeste orificio.
Encontrar la fuerza vertical hacia arriba quee perimenta el tanquecuando se quita el
tapn.
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Solucin:
Cuando el fluido sale del tanque, de acuerdo al tercer principio de Newton, reacciona
con una fuerza hacia arriba sobre el tanque de igual magnitud, pero de direccinopuesta a la fuerza con que es expulsado. Por otro lado, el segundo principio de
Newton establece que el impuso que recibe el fluido expulsado, debe ser equivalente
al cambio en su cantidad de movimiento.
Justo al ser soltado la cantidad de movimiento del lquido es cero, pero dt segundos
ms tarde, habr sido expulsado un elemento de lquido de masa dm, que tendr una
velocidad v2 en direccin hacia abajo. En consecuencia:
dp = v2 dm = v2 [ dv]= v2 [A2 dy]
Esta cantidad de movimiento dirigida hacia arriba ser la comunicada al tanque, la que
debe ser igual al impulso de la fuerza que acta sobre l, de modo que:
Dedonde:
F = v2
2 A2
La velocidad de salida puede calcularse con la ecuacin de Bernoulli:
Pero podemos suponer v1 = 0 por continuidad y h 2 = 0, usndola como referencia: de
aqu:
Por lo que:
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Reemplazando:
Cuando la presin P1 es suficientemente grande, este es bsicamente el mecanismo de
propulsin de un cohete
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ANEXOS
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Anemmet osde p esinhid odin mica
Cuando el viento impacta sobre una superficie, en ella se produce una presin
adicional que depende deesa velocidad, si esta presin secapta adecuadamente, yse
conduce a un instrumento medidor, tendremos un anemmetro de presin.
Para capturar esta presin se utiliza el llamado tubo dePitot, que no es ms que un
tubo de suficiente dimetro en forma de U con uno de sus e tremos doblado y
colocado de frente al viento, yel otro abierto al e terior pero protegido de la accin de
este.
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En la parte en forma de U se graba una escala y dentro se coloca un lquido
coloreado. La diferencia de presin entre los extremos del tubo de Pitot har que la
columna lquida se desplace de un lado, la diferencia de altura ser proporcional a la
velocidad del viento incidente en la boca del tubo y servir como indicador de esta.
Este es el esquema de un anemmetro del tipo de presin hidrodinmica pero con
indicacin de aguja y esfera.
La cpsula baromtrica es un bulbo elstico, al recibir la diferencia de presin desde las
partes de alta y baja presin del tubo de Pitot se dilata o recoge en proporcin. Este
movimiento es conducido y amplificado apropiadamente
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BIBLIOGRAFA
y http://www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica_fluidos/ap 01_hidrodinamica.php
y es.wikipedia.org/wiki/Hidrodinmica
y http://www.uclm.es/area/ing_rural/ rans_hidr/ ema3.PDF
y www.uclm.es/area/ing_rural/ rans_hidr/ ema3.PDFy http://www.uia.mx/campus/publicaciones/fisica/pdf/ 13Hidrodinamica.pdf
y Ctedra de Ingeniera Rural.Escuela Universitaria de Ingeniera cnica Agrcola
de Ciudad Real
y www.sabelotodo.org/aparatos/anemometro.html