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CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2016-II Pág. - 1 -
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II
EJERCICIOS DE CLASE
1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC C 90 , se
prolonga CB hasta D tal que DB AC 4 y AB 5
m. Si m DAB . Calcule 65 sen .
A) 4
5 B)
8
4 C)
16
5 D)
8
3 E)
3
5
Solución: Prolongamos AB hasta E y BDE es semejante al triangulo ABC (37°- 53°). Del gráfico:
16 / 5
tan37 / 5
Entonces AD 65
16 / 5sen
65
1665sen
5
CLAVE: D
2. Considerando los datos de la figura, calcule el valor
de 13 15sen .
A) 2 3 B) 3 C) 2 3
5 D) 5 3 E) 2 5
Solución:
Del gráfico: 13k = 2 2
k13
Luego
5 2 13DHsen
DB 5 5
13 15sen 2 3
CLAVE: A
3. En un triángulo isósceles ABC, AB BC , se tiene
que 5
cosB13
. Calcular 2tan C 13 cos A
cotB .
A) 3
5 B)
3
4 C)
2
3 D)
1
2 E)
5
6
Solución:
Del gráfico: A = C, entonces
2
2
tan C 13 cosC
cotB
3 213.
32 13
5 12 5
CLAVE: A
4. En la figura, BC m y AM x , halle el valor de x en
función de m, y . .
A
B C
M
N
A) mcos( ) tan B) mcos .sec
C) mcos .cot( ) D) msen .tan( )
E) msen .tan( ) .
Solución:
Del gráfico m ACM .
MC m.sen
Luego
AM x m.sen .tan
CLAVE: D
5. En el grafico mostrado ABCD es un cuadrado, ADC
es un sector circular con centro en D, m ABM y
m ADM . Calcule tan en términos de .
TRIGONOMETRÍA
04 CIENCIAS
A
B
CD2 10
55 5
H
AA C
B
5k
8k
13k
12k
A
DC B
4
54
16/512/5
E
Trigonometría Ejercicios – Semana 04
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BA
CD
M
A)
1 sen
1 cos B)
1 cos
1 sen C)
2 cos
2 sen
D)
1 sen
1 cos E)
1 cos
1 sen
Solución: Se trazan desde M perpendiculares. Del gráfico:
MH L Lcos
HB L Lsen
Luego:
1 costan
1 sen
CLAVE: E
6. Desde un punto en tierra se observa la parte más
alta de un poste con un ángulo de elevación . Si nos acercamos al poste un distancia igual al doble de su altura, el ángulo de elevación es el
complemento de . Calcular tan.
A) 2 B) 3 C) 2 1 D) 2 1 E) 2 3
Solución:
h
2h htanhcot
90°-
Del gráfico:
22
1hcot 2h h tan 2 tan
tan
1 2 tan tan 1 tan 2
Luego: tan 2 1
CLAVE:C
7. En la figura mostrada, si AB 3 u , AD 10 u y
3BM 2MC , hallar 5sen .
A
B C
D
M
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
Del gráfico, BM MC 10 2k 3k 10 k 2
BM 4 MC 6
Luego AM 5 MD 3 5
AMC
10 3 5 3 5senS 5sen 2
2 2
CLAVE: B
8. Dos barcos parten de un mismo punto y al mismo instante el primero sale en el rumbo S30°E a 40 nudos y el segundo en el rumbo N E, a una
velocidad de 20 2 nudos. Halle para que al
cabo de una hora el segundo esté exactamente al Norte del primero.
A) 30° B) 60° C) 53° D) 37° E) 45°
Solución: Del gráfico, como la posición final de los barcos es paralelo al eje NS
45
CLAVE: E
9. Si y β son ángulos complementarios y se cumple
que
24cos60 3cos
tan75 sen cot 30 5
cos52 sen38 cos52 ,
hallar el valor de 11tan .
A) 3 B) 2 C) 1
2 D) 1 E)
1
3
BA
CD
M
Lcos
Lsen
L
L
H
NN
O E
S
30°
40n
20 2n
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Solución:
24cos60 3sen
tan75 sen cot 30 5
cos52 cos52 cos52
24 1 12 3 sen 3 3sen sen
5 2 10
Luego
1 1
tan 11tan33 11
CLAVE: E
10. Del gráfico mostrado, si CE ED y AE = 1, calcule
el valor de BA sen .csc .sen .
53°
A
E
D
C
B
A) 3/5 B) 4/5 C) 10/3 D) 2/5 E) 5 Solución: De la figura, sen nsen
BHEF es cuadrado. BF nsen
Como AE = 1,
3
AF5
Luego:
3
BA nsen5
sen 3BA sen
sen 5
CLAVE: A
11. En la figura mostrada, si AC a , hallar DE .
A
E
D C
B
A) asen 1 tan tan B) acos 1 tan tan
C) asen 1 tan tan D) acos 1 tan tan
E) asen 1 cot cot
Solución:
Del gráfico, BC a.tan
Entonces CD a.tan tan
AD a a tan tan
Por cálculo de lados: DE a 1 tan tan sen
CLAVE: A
12. helicóptero se encuentra a 2n km de tierra,
observa a un barco que se encuentra al sur con un ángulo de depresión igual a 45º, si el helicóptero se desplaza horizontalmente dirigiéndose hacia el Este, se observa que avanzo 2n km. Calcule el ángulo de depresión con el cual observaría a la embarcación desde esta última posición.
A) 45° B) 37° C) 30° D) 60° E) 15°
Solución:
N
S
O
2n
2n2n
45°x
6n
Del gráfico: 2n 1
tan x x 306n 3
CLAVE: C
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1. Calcular tan del grafico mostrado.
120°2 4
A) 3
2 B) 2 C) 5 D) 2 E) 3
Solución:
120°24
2
60°2 3
A partir del grafico 3
tan2
CLAVE: A
53°
A
E
D
C
B
n
n
1nsen
nsen
H
F
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2. Si β es la medida del ángulo que forman las diagonales de un cubo, calcular el valor de tan .
A) 3 B) 4 C) 2 D) 2 2 E) 2
Solución: Del gráfico:
23L 2L 2L 2
sen2 4
2 2sen
3
Luego:
tan 2 2
CLAVE: D
3. En la figura mostrada, 3AD 2BC y el área de la
región del triángulo ABC es 250 3 m . Calcular la
medida de 3.AB .
A D C
B
120°
A) 4 13 B) 4 65 C) 26 D) 2 52 E) 46
Solución:
Del gráfico: AD 2
BC 3
ABC
2
S 50 3
5k.3 3k50 3
2
20k
3
Por Pitágoras:
2 2AB 52k
3AB 4 65
CLAVE: B
4. En el gráfico, T es un punto de tangencia y O es centro de la semicircunferencia, exprese el cociente de PM y QN en términos de los ángulos y .
A) 1 cot
1 2sen .cos
B)
1 sen
1 2sen .cos
C) 1 sen
1 2sen .sec
D)
1 cos
1 sen .sec
E) 1 sen
1 2sen .sec
Solución:
D
CTB
A
O
rr r
r
rsen
NM
QP
rcos
HF
Del gráfico:
MF rsen y AN 2r cos NH 2rsen cos
Luego:
PM r rsen 1 sen
QN r 2rsen cos 1 2sen cos
CLAVE: B
5. En la figura mostrada AD 12 u , BD 8 u y
3AB 4BC . Hallar P 6 23 tan 8 2 cos .
A B C
D
A) 20 B) 30 C) 40 D) 45 E) 43 Solución:
Del gráfico: AB 4k y BC 3k
A D C
B
120°
2k 3k
3 3k
2L
2L
2 2L
3L 3L
2L
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Por Pitágoras: 2 2 2DC 144 (7k) 64 (3k)
k 2 DC 46
Luego: 46 3 2
P 6 23 8 2 43163 2
CLAVE: E
6. En el grafico mostrado AB BC AD . Calcular
tan .
AD
C
B
32°
A) 24
125 B)
45
128 C)
21
121 D)
98
289 E)
99
299
Solución:
AD
C
B
16°
16°
16°25
24
7
7
25
25
Del gráfico,
14sen16 98tan
25 14cos16 289
CLAVE: D
7. Una persona observa tres veces la parte más alta de un edificio. En la primera observación el ángulo
de elevación es , para efectuar la segunda observación se acerca sobre la misma línea 9 m y el ángulo de elevación es de 45°, finalmente la última observación la efectúa luego de avanzar 6 m
más y el ángulo de elevación es 90° - . ¿Cuál es la altura del edificio, si la estatura de la persona es de 2 m?
A) 32 m B) 20 m C) 25 m D) 30 m E) 22 m
Solución:
2 m
6 m9 m
90°-45°
h-2
(h-2)tan
h-2
9 6
Del gráfico,
h 2 h 8tan45 tan
6 (h 2) tan h 2
También
h 2(h 2)cot 9 (h 2) tan
h 7
De las ecuaciones: h 20
CLAVE: B
8. En la figura, exprese BD
AD en función de .
A) cos .cos2 .cos3 B) sen .cot 2 .csc 3
C) cos .sen2 .cos3 D) sen .csc 2 .sec 3
E) cos .tan2 .sec 3
Solución:
2
A
B
C
D
H
3n
m
ncos3
mcsc2
De la figura, m
?n
ncos3 DBsen sen2 cos3 csc
mcsc 2 AD
CLAVE: C
9. En la figura mostrada m ABC 90 , m ABD ,
BC = p y BD = q. Calcular AB.
C
B
AD
A)
pqcos
p qsen B)
pqsen
p qcos C)
pq
psen qcos
D)
p qcos
p qcos E)
p qsen
pq
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Solución:
C
B
AD
pq
qsen
qcos
Por semejanza
AB pAB.qsen ABp pqcos
AB qcos qsen
Luego:
pqcosAB
p qsen
CLAVE: A
10. En el gráfico mostrado, el rectángulo ABCD tiene
por área 236 u , además AP 3 5 u y DP 4 3 u .
Halle el valor de tan .
A) 6
2 B)
3
3 C)
2
2 D)
5
2 E) 5
Solución: De la figura:
APD ABCD
1 3 5 4 3S S sen 18
2 2
3
sen15
, luego 6
tan2
CLAVE: A
11. En la figura adjunta, las areas de las regiones triangulares ACD y DEB son iguales. Determine el
valor de 2
tan cot .
A) 3 B) 4 C) 6 D) 2 E) 5
Solución:
A
D
C
BE
n
ntan
H
Del gráfico,
n
ncot 2DH ntan DH cot tan2
n
HE cot tan tan2
Luego ADC DEBS S
222
2 2
n cot tan tann tan
2 4
cot tan 2 cot tan 6
CLAVE: C
12. En el gráfico, OAB es un sector circular, MNPQ es
un cuadrado de lado “L” y AT TB
L L . Si el ángulo
AOB es igual a , calcule el radio de dicho sector
circular.
A) 2L
cot cot 22 2 2
B)
2Ltan tan 4
2 2 2
C) 2L
cot 4cot 52 2 2
D)
2Ltan tan 2
2 2 2
E) 2L
tan 4cot 42 2 2
Solución:
radio OA OB OQ y PQ PM L
Ahora,
22 L L
OQ L cot2 2 2
Luego
2 22 2 2
2
L LOQ L cot L cot
4 2 2 4
Lcot 4cot 5
2 2 2
CLAVE: C
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13. Desde dos puntos A y B en tierra opuestos a un poste, se observa la parte superior de este con ángulos de elevación y respectivamente. Si la
distancia de A a la base del poste es x metros y la
distancia del poste a B es de x 4 metros.
Calcule la altura del poste, si se tan tan 6 .
A) 3x
x 44
B) 3x
x 42
C) 5x
x 42
D) x
x 42
E) x
x 44
Solución:
x+4x
h
Del gráfico, h x tan x 4 tan
6
3xx tan tan 4 tan tan
2
Luego 3x
h x 42
CLAVE: B
14. Se tiene dos torres de 24m y 7m de altura,
distanciados 31 m uno del otro. Determine el
mínimo ángulo de elevación con que una persona observaría la parte superior de la torre menor, desde un punto ubicado entre las dos torres; sabiendo que el ángulo de elevación para la torre mayor, desde ese punto, es el complemento del que se pide calcular.
A) 8 B) 30 C) 16 D) 37 E) 24
Solución:
24
7
x31-x
Del gráfico,
27 31 xtan x 31x 168 0
x 24
x 24 16
CLAVE: C