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8/4/2019 4563526 TEMA III Funciones
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Telfono: 0274-2661421Celular: 0416-6742468
Correo:mayouzca@gmail.com
IUFRONT Sede MridaAv. Principal Los Prceres
Sector Santa Brbara
IUFRONT SEDE MERIDA
Realizada Por:
Ing. Marjorie J. Uzctegui S.
Mrida, JULIO de 2008
8/4/2019 4563526 TEMA III Funciones
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Si es funcin No son funcin.
Antecedentes:
La definicin moderna del concepto de funcin se debe al matemtico francs Agustn-LouisCauchy (1789-1857). Cauchy inicio la sistematizacin de la teora de grupos, imprescindiblesen el lgebra moderna, y fue uno de los precursores de rigorismo en Matemticas.
1. Funcin Real de variable real.
Llamamos funcin a cualquier aplicacin donde:
RRf : o bien RDf : siendo D un subconjunto de Rmediante una funcin, a cada elemento dexde R( o de un subconjunto de R) le asociamosun nico elemento y = f(x)de R.
)(xfyx =
xes la variable independiente e yla variable independiente.
Ejemplo
La expresin xxxf 3)( 2 = define la funcin para la que
;0)0( =f ;4)1( =f ;4
5
2
1=
f ..........
Ejemplo
Para la funcin xxg1
2)(=
, se tiene que:
;2)1( =g ;2)2( =g )0(g no existe puesx
1
2no es un nmero real;...
Ejemplo
La funcin 2)( xxf = que asigna a cada nmero su cuadrado tiene por grfica:
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
2
2
0
-1
5
x
0
3
5
A B2
0
-1
5
0
3
5
A B2
0
-1
5
0
3
5
A B
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Llamemos dominio (0 campo de existencia) de la funcin al conjunto de todos
los valoresxpara los cualesy = f(x) est definida (sea un nmero real). Se le suele escribir por
la letra maysculaD
012
3
45
67
89
10
-4 -2 0 2 4
De las siguientes grficas, solo la segundas representa a una funcin (puede observarsecomo en la primera, se tendra hasta tres imgenes).
1.1 Dominio de una Funcin.
Sea y = f(x) una funcin.
Para el clculo del dominio de una funcin dada por una frmula, hemos de tener en cuenta
que:
1. No es posible la divisin por 02. No es posible extraer races cuadradas, cuartas, sextas, etc, cuando el
radicando es negativo (esto es posible si la raz es impar)3. No es posible calcular el logaritmo de un nmero negativo, ni tampoco de 0
Ejemplo
El dominio de cualquier funcin Polinmica es todo R
;23)( RDxxf == RDxxxg =+= 284
1)( 23
Ejemplo
Halla el dominio de la funcin4
1)(
2
=
xxf
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
3
y = x2
Puesto que, en una funcin, cada elementox R puede
tener a lo sumo una imagen y = f(x), la grafica de una
funcin nunca puede volver hacia atrs
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-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4
Solucin: f(x) slo ser un nmero real si x2- 4 no es 0.
Resolviendo la ecuacinx2- 4 = 0 x2 = 4 x = 2que son los valores que anulanal denominador. Por lo tanto el dominio es D = R - { -2 , 2 }.
Ejemplo Halla el dominio de la funcin 93)( += xxg
Solucin: La funcin est definida slo cuando3x+ 9sea mayor o igual a cero.
Resolviendo la ecuacin 3x + 9 0 3x - 9 x = - 3 de donde deducimos que. eldominio es D = [ -3 , ). Ejemplo Halla el dominio de la funcin xxxh += 11)(
Solucin: h(x) est definida para aquellosx
Rque hagan los dos resultados no negativos.01 x y 01 x x 1 y x 1 x = 1
Por lo tanto el dominio de la funcin esta formado por los puntos del eje 0xencima o debajode los cuales hay grfica.
Ejemplo
Para la funcin cuya grfica es la siguiente:
Por lo tanto el dominio es
D = (- , - 3 ) [ - 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1, )1.2 Caractersticas de una Funcin.
Una funcin f: A B, el conjunto A se denomina dominio de fcomo se dijo anteriormente,mientras que el conjunto B se denominar contra dominio o Rango de f.
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
4
2
0
-1
5
x
0
3
5
Dominio f{ 2 , 0 , -1 , 5 }
Rango f { x, 0 , 3 , 5 }
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Seaf: A B una funcin. Diremos que f es Inyectiva si f( a1) = f( a2) implicaue a1 = a2 ara todo a1 a2 A
Una funcin f: A B se llama uno a uno o Inyectiva s dados dos elementos a1, a2 deldominio de f, tales que a1 a2entonces se tiene que f( a1) f( a2)
Una funcin f: A B se dice que es Sobreyectiva s cada uno de los elementos de B esimagen de algn elemento de A. En otras palabras, si f(A) = rango f = B. Es decir, fessobreyectiva si para todo b B, existe a A tal que f(a) = b.
Una funcin f: A B se dice que es biyectiva si es a la vez Inyectivay sobreyectiva.
Ejemplo
a) f1 : A1 B1
b) f2: A2 B2
c) f3 : A3 B3
d) f4 : A4 B4
1.3 Operaciones con Funciones.Ing. Marjorie Uzctegui.
Funciones.
5
B11
2
3
a
b
A1 No es inyectiva porque los
elementos 1,2 de A1
tienen
una misma imagen.B
21
2
3
4
a
b
c
A2
Es sobreyectivaporque el rangof2
=B2, pero no es inyectiva porque
13 y sin embargof2(1) = f
2(3) =
c
B3
1
2
3
4
1
2
3
4
A3
Es Inyectiva porque cada
elemento de A3
tiene una imagen
distintas enB3, no es sobreyectiva
rangof3 B
3
Es Inyectiva, sobreyectiva y por
lo tanto biyectiva de modo que
f4(A
4) = B
4
B4
7 8
A4
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Una funcin es montona creciente cuando a originales mayores corresponden
imgenes mayores (o iguales).
Supongamos dos funciones y = f(x)e y =g(x) definidas sobre un mismo dominio D. De unmodo completamente natural, se definen la sumay multiplicacin de ambas funciones:
);()())(( xgxfxgf +=+ )()())(.( xgxfxgf =
que, evidentemente, son dos nuevas funciones definidas
en el dominio D.
Ejemplo
Dadas las funciones 4)( 2 = xxf y 2)( += xxg , calcula las funciones f + g y f*g
Solucin:842)2)(4())((
224)()())((
232
22
+=+=
+=++=+=+
xxxxxxgf
xxxxxgxfxgf
La suma y multiplicacin de funciones tienen las propiedades que se sintetizan en el
siguiente cuadro:
PROPIEDADES SUMA MULTIPLICACINASOCIATIVA (f + g) + h = f + (g + h) (f *g) *h = f*(g*h)CONMUTATIVA f + g = g + f f * g = g* f
ELEMENTO NEUTROEs la funcin cero x 0,
Pues f(x) + 0 = f(x)Es la funcin x 1,Pues f(x) * 1 = f(x)
ELEMENTO SIMTRICOOpuesta de f : (-f)(x) = - f(x)
Pues f(x) - f(x) = 0 No existe la funcin inversaDISTRIBUTIVA DE LAMULTIPLICACIN RESPECTO DELA SUMA.
(f + g) *h = (h *f) + (h *g)
Por cumplir estas propiedades, llamando F(D) al conjunto de las funciones definidas sobreel subconjunto D, se tiene que (F(D), + , ..) es un anillo conmutativo con elemento unidad.
1.4 Funciones Crecientes y Decrecientes.
De manera parecida a las sucesiones, se definen las funciones montonas.
Es decir, y = f(x) es creciente si, y solo s, para cada parx1,x2, del dominio:
)()( 2121 xfxfxx 1
f(x) = a x
f(x) = a
0 < x < 1
f(x) = loga
< 1
Obsrvese quef(0) = a y f(1)
= x. es decir ( 0 , 1 ) , ( 1 ,
x ) son dos puntos que siempre
pertenecen a la graficaf.
Obsrvese que elloga a =1, loga1 =
0. es decir, los puntos ( a , 1) , ( 1 , 0
) siempre estn en la grfica.
Si a = e entonces logex se llama
logaritmo neperiano de x y los
denotaremos lnx
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Problemas Resueltos
1. Dada ,2
1)(
2 +
=x
xxf hallar
a) f(0);2
1
20
10)0( =
+
=f
b) f(-1);3
2
21
11)1( =
+
=f
c) f(2a); =+
=
24
12)2(
2a
aaf
d) f(1/x); 2
2
2212
1
11
)1
(x
xx
x
xx
f+
=
+
=
e) f(x+h);22
1
2)(
1)(
222 +++
+=
++
+=+
hxhx
hx
hx
hxhxf
2. Si f(x) = 2x, probar que
a) )(2
15)2
12(222f(x)2
15)1-xf(-)3xf(
313xxf
xx
===+ +
b) )4(22
2)4(
)1(
)3( 41
3
ffxf
xfx
x
===+
+
3. Determinar los dominios de las Funciones
a) 24 xy = , como y ha de ser un nmero real, 04 2 x , o sea 42 x . El
dominio por lo tanto ser el intervalo 22 x .
b) 162 = xy . Ahora 0162 x , o sea 162 x . El dominio ser el intervalo
44 x .
c)2
1
=x
y . La funcin esta definida para todo x excepto 2=x .
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
25
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d)9
12
=x
y La funcin esta definida para 3x .
e)42 +
=
x
xy . Como 042 +x para todo x, el dominio es el conjunto de todos los
nmeros reales.
4. Dibujar el grafico de la funcin definida por:
f(x) = 05 cuando 10 < x f(x) = 10 cuando 21 < xf(x) = 15 cuando 32 < x f(x) = 20 cuando 43 < x etc.
Determinar el dominio y el recorrido de la funcin
5. Dibujar el grafico de la funcin f(x) = 24 x ; hallar el dominio y el rango.
6. Sea f(x) =x
x
2
35; Determine el dominio y el rango.
La funcin esta definida para todo x excepto 2=x . Dominio Dom f = R- {2}.Para calcular la imagen o rango despejamos x de la ecuacin.
x
xy
=2
35, quedando
35)2( = xyx ; es decir, 352 = xyxy . Por lo tanto: 32)5( = yyx
y
yx
=5
32. Entonces: Rango Rang f = R- {5}
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
26
1 2 3 4 5 6
25
20
15
10
5
El dominio es todo los nmeros reales
positivos. {R+
}
El rango el conjunto de enteros
{5, 10,15,20}
-2 0 2
2
El grfico defes el grfico de la funcin y =. Para
este grfico, y2 = 4 x2; esto es x2+ y2 = 4 . El grfico
de la ltima ecuacin es el circulo con centro en el
origen y radio 2. Como y = 0, el grfico requerido es
la mitad superior de ese circulo. La figura muestra que
el dominio es el intervalo y que el rango esta en el
intervalo
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7. Hacer un estudio completo de cada una de las siguientesfunciones.
a) 322 = xxy ; En donde 3;2;1 === cba .
El calculo de las races:
112
2
2
42
332
6
2
42
2
162
2
1242
)1(2
)3)(1(4)2()2(
2
4
22
11
22
==
=
=
===+
==
=+
=
=
=
xx
xxx
a
acbbx
El calculo del vrtice:
4
43213)1(2)1(1
;32
112
2
)1(2
2
2
2
2
=====
=
==
=
==
y
yxpara
xxy
xa
b
x
Como a = 1 > 0 es cncava hacia arriba, por lo tanto, tiene mnimo cuyascoordenadas son (1,-4)
Desde - hasta 1 la funcin es estrictamente decreciente y desde 1 hasta + esestrictamente creciente.
El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo [- 4 , ). La curva corta al ejexen los puntos1 y3 y al eje yen el punto 3b) 122 += xxy En donde 12;1;1 === cba .
Resolviendo la ecuacin resulta:
3
4
2
491
2
4811
)1(2
)12)(1(4)1()1(
2
4
2
1
22
==
=
=+
=
=
=
x
xx
a
acbbx
El calculo del vrtice:
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
x f(x)
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
3 0
4 5
x f(x)
-6 -8
-4 0
0 12
3 0
4 8
27
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-4 -2 0 2 4 6
- 10
-5
0
5
10
- 10 - 5 0 5
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28/34
25,1225,124
49
122
1
4
112)
2
1()
2
1(
2
1
;12
2
1
2
1
2
1
)1(2
1
2
2
2
===
++=+==
+=
==
=
==
y
yxpara
xxy
xa
bx
Como a = -1 < 0 es cncava hacia abajo, por lo tanto, tiene mximo cuyas
coordenadas son
4
49;
2
1
Desde - hasta 1/2la funcin es estrictamente creciente y desde 1/2hasta + es estrictamente decreciente.
El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo [49/4 , ). La curva corta al ejexen los puntos4 y3 y al eje yen el punto 12
c) 962 += xxy En donde 9;6;1 === cba .
Resolviendo la ecuacin resulta:
2
1
2
1
2
01
2
36366
)1(2
)9)(1(4)6()6(
2
4
2
1
22
=
==
=
=
=
=
x
xx
a
acbbx
El calculo del vrtice:
00
91899)3(6)3(3
;96
332
6
)1(2
6
2
2
2
==+=+==
+=
==
=
==
y
yxpara
xxy
xa
bx
Como a = 1 > 0es cncava hacia arriba, por lo tanto, tiene mnimo cuyascoordenadas son ( 3 , 0 )
Desde - hasta 3 la funcin es estrictamente decreciente y desde 3 hasta + esestrictamente creciente.
El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo [0 , ). La curva es tangente alejexen el punto 3 y corta al eje yen el punto 9
d) 92 = xy En donde 9;0;1 === cba .Ing. Marjorie Uzctegui.
Funciones.
x f(x)
0 9
3 0
6 9
28
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6
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29/34
Resolviendo la ecuacin resulta:
i3
i3
2
360
2
3600
)1(2
)9)(1(4)0()0(
2
4
2
1
22
=
=
=
=
=
=
=
x
x
x
a
acbbx
Como las races son imaginarias la curva no corta al ejex
El calculo del vrtice:
9
99)0(0
;9
002
0
)1(2
0
2
2
2
=
===
=
==
=
==
y
yxpara
xy
xa
bx
Como a =- 1 < 0es cncava hacia abajo, por lo tanto, tiene mximo cuyascoordenadas son ( 0 , -9 )
Desde - hasta 0 la funcin es estrictamente creciente y desde 0hasta + esestrictamente decreciente.
El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo (- ; -9 ). La curva no corta alejexpero si corta al eje yen el punto - 9
8. Sea la funcin G en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que
392
=
xxy . Encontrar el dominio y el rango de G y trazar la grfica.
Parax = 3el denominador se hace cero, por lo que la funcinpara este punto no esta definida. Factorizando el numerador en (x - 3)(x + 3) tenemos:
)3()3)(3(
+=
xxxy o 3+= xy ,
suponiendo quex3.El rango de Gconsiste en Rang g = R {6}. La grfica consiste en todos los puntospertenecientes a la recta real excepto el ( 3 , 6 )
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
x f(x)
-2 -13
0 -9
2 -13
x f(x)
-3 0
0 3
3 6
29
-15
-12
-9
-6
-3
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 4
Como se observa, hay un valorde y para cada valor de x,
excepto cuando x = 3, por lo
que el dominio de G ser
Dom g = R { 3}.
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9. Sea la funcin H en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que
)12)(3(
)9)(43(2
22
++
+=
xxx
xxxy . Encontrar el dominio y el rango de H y trazar la grfica.
Como se observa ell denominador se hace cero, para cuando x = - 4 , - 3 y 3 por lo que
la funcin Hno esta definida para estos tres valores de x. Para valores de xdistintospodemos dividir el numerador y denominador entre los factores comunes ytenemos. 1= xy s x - 4, - 3, 3Por lo tanto el Dom h = R { - 4, - 3, 3 }, el Rang h = R { - 5 ,- 4, 2} que son aquellosvalores que se obtuvieron al sustituir x = - 4, - 3, 3. La grfica consiste en todos lospuntos pertenecientes a la recta real 1= xy excepto el ( - 4 ; - 5 ), (- 3; - 4) y ( 3 ; 2).
10.Sea la funcin H en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que)2( = xxy . Encontrar el dominio y el rango de H y trazar la grfica.
Esta desigualad ser satisfecha cuando se cumpla uno de los siguientescasos:
x 0 y x 2 0; x 0 y x 2 0.Caso I: x 0 y x 2 0. Esto se simple cuando x 0 y x 2 sol. [ 2 , )Caso II: x 0 y x 2 0. Esto se simple cuando x 0 y x 2 sol. ( - , 0 ]Combinando ambas soluciones tenemos, obtenemos como Dom h = ( - , 0 ] [ 2, ) = R {( 0 , 2 )}, mientras que el Rang h = [ 0 , ]
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
x f(x)-4 -5
-3 -4
2 3
5 4
x f(x)
-4 4.89-3 3.87
0 0
2 0
4 2.82
30
-4
-3
-2
-
3
0
Factorizando el numerador y el
denominador nos queda:
)3)(3)(4(
)3)(1)(3)(4(
++++
=xxx
xxxxy
0
1
Ya que )2( = xxy , no es un
nmero real cuando 0)2(
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Problemas Propuestos.
1. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones:a. 12)(2 +xxxf
b.3
6)(
2 +xxfc. 86)( 2 +xxxfd.
2
1)(
2
2
= xxxxfe. xxf =)(f.
1
1)(
2 xxf
g. 4)( 2 +xxfh. xxf =)(i. 3)( +xxf
j.9
2)(
2 +x xxf2. Consideramos las funciones polinmicas f y g dadas por f(x) = x2 + 1, y
g(x) = x3, se pide:
a. f gb. g fc. f / g d. f g e. g f
3. Estudiar los dominios de las funciones del ejercicio anterior.
4. Se considera las funciones f y g definidas porx
xgxxf1
)(y,)( 2 == , se pide:
a. f f
b. g gc. f gd. g f
5. Estudia los dominios de las funciones del ejercicio 4.
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
31
8/4/2019 4563526 TEMA III Funciones
32/34
6. Expuesta la funcin f dada por:1
2)(
=
xxf , halla las funciones opuestas (-
f ) e inversa
f
1, y sus dominios respectivos.
7. Sea las funciones f, g y h dadas por
1
2)(;
1)(;3)(
2
2 +x xxhxxgxxf Calcula las funciones ( f + g ) + h y f + (g + h). Cmo son ambas
funciones?
8. Con las funciones f y g del ejercicio anterior, calcula las funciones (f +g) y(g + f). Cmo son ambas funciones?
9. Dadas las funciones ,12)(,1)( +xxgxxf se pide:a. ( f g )( 1 ); ( g f )( -1 ); ( f g )( 2 ); ( g f )( -2 )b. ( f g )( x )c. El dominio de f g
10. Hallar el dominio de existencia de la funcin32
4)( += xxxf
11. Si f(x) = x2 - x, comprueba que f( x + 1 ) = f( - x).
12. Si1
1)( += xxxf , comprueba que )(1 xfxf
13. Hallar el campo de existencia de las siguientes funciones
1. 43 2 += xxy 2.x
xY
2
63 = 3. 2
12
+
=x
xY
4.9
322
2
+=
x
xxY 5.
145
12 +
=
xx
xY 6.
1243
223 +
=xxx
Y
7. xy 3= 8. 93 = xy9. 2+= xy
10. 1452 ++= xxy 11. 42 = xy 12.2
425 xy =
13.4
3
=
xy 14.
164
4
+
=x
y 15.x
xy
63 =
16.62
2
+
=x
xy 17.
3
872
+
=x
xxy 18.
45
1282
2
+
++=
xx
xxy
19. )3lg( = xy 20. )20lg( 2 ++= xxy 21.
++
=4
63lg
x
xy
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
32
8/4/2019 4563526 TEMA III Funciones
33/34
14. Dada la funcin hallar:
1.2(
2
12)1()
2)( 2
fd)fc))f(-b)fa
xxxf
+=2.
x
xxfc))
xx
xxf(b)
a
aafa
xxxxf
2
1
2
1)
2
1()
21)(
2
24
2
22
2
+
+
++
+
+=
3.2)2()
32)( 2
+++=f(x)b)xfa
xxxf4.
)(
2)
2()
12
12)(
)xf
f(b)x
fa
x
xxf
+
=
5. ( ) )6(0)
2()
2cos)(
fd)fc))f(b)fa
xxf =
6. ))(() 12
23)(
xffax
xxf
+=
7.))f(f(ffa
x
xxf
2
1))2(()
3
32)(
=
8.))f(f(ffa
xxFxxf
2
1))2(()
3
2)(y23)(
==
9.
)
1
,())
1
,(c).)),()
3),(
xyfdxxfy)f(ybxxfa
yx
xxyyxf
++
=10.
)0,1())2,3())2,1()
32)( 22
+=
fcfbfa
yxyxxf
15. Graficar las siguientes funciones:
1. 158 23 += xxy 2. 01=yxy
3.
=+=
0113
042
yx
yx4. 0223 = yxyx
Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.
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8/4/2019 4563526 TEMA III Funciones
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