Transcript of 5. Ecuaciones de Cambio (1)
ISOTERMICOS
Para resolver problemas de flujo viscoso, una manera fácil, rápida
y segura es
hacer uso de las ecuaciones de conservación de masa y de
conservación de
cantidad de movimiento. Estas dos ecuaciones describen todos los
problemas
de flujo viscoso isotérmico para un fluido puro. Para flujo no
isotérmico y para
mezcla de fluidos multicomponentes se requieren ecuaciones
adicionales que
describan la conservación de energía y la conservación de especies
químicas
individuales. Al conjunto de ecuaciones que describen la
conservación de masa
y de cantidad de movimiento se les llama ecuaciones de cambio
debido a que
ellas describen el cambio de velocidad, densidad y concentración
con respecto
al tiempo y a la posición en el sistema.
La primera ecuación de cambio es la ecuación de continuidad que se
desarrolla
aplicando la ley de conservación de masa a un elemento de volumen
pequeño
dentro de un fluido que se mueve .
La segunda ecuación de cambio, la ecuación de movimiento es
una
generalización de un balance de cantidad de movimientos. Esta
ecuación es la
más importante. Una vez desarrollada y con la ayuda de la ecuación
de
continuidad, sirve para resolver muchos problemas de flujo de
fluidos.
Las ecuaciones de estado pueden ser presentadas en
coordenadas
rectangulares, pero para flujo de fluidos son más útiles cuando se
presentan en
coordenadas cilíndricas o esféricas.
En mecánica de fluidos se hace uso de tres clases de derivadas, las
cuales se
detallan a continuación.
1.2
La derivada parcial con respecto al tiempo muestra como cambia el
valor de la
variable con el tiempo manteniendo una posición fija en el espacio.
Por
ejemplo, si la variable a considerar es la concentración, c ,
la derivada parcial de
c con respecto al tiempo, t , se denota como
t
c ∂
La derivada total con respecto al tiempo.
La derivada total de una variable con respecto al tiempo, debe
reportar tanto el
cambio de la variable con respecto al tiempo, como los cambios de
posición del
observador que analiza la variable. En nuestro ejemplo, la derivada
total de la
variable concentración esta dada por:
dt
dz
z
c
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
dt
dc
∂ = (1.1 )
en la cual dx/dt, dy/dt y dz/dt son las componentes de
la velocidad del
observador.
La derivada substancial con respecto al tiempo.
Ella se da cuando el observador lleva la misma velocidad que tiene
el volumen
de control objeto de observación. Es un caso especial de la
derivada total. Para
nuestro ejemplo, en donde la variables es la concentración, cuando
se reporte el
cambio de concentración con respecto al tiempo los números dependen
de la
velocidad local del volumen de control. Esta derivada se relaciona
con la
derivada parcial de la siguiente manera:
z
∂ = ( 1.2)
donde v x , v y , y v z , son
las componentes de la velocidad local del volumen de
control.
1.3
Un lector debe tener bien claro el significado físico de estas tres
derivadas.
Recordar que t
c ∂
∂ es la derivada en un punto fijo en el espacio y que Dc/Dt
es
una derivada calculada por un observador que se mueve con el
volumen de
control.
LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad se desarrolla haciendo un balance de
masa sobre un
elemento de volumen x.y. z a través del cual fluye un fluido. Ver
figura 1.1.
( ρ .v x) x+ x( ρ .v x) x
x
y
z
(x,y,z)
Figura 1.1. Región de volumen x. y. z a través del cual un fluido
se mueve
El balance de masa es el siguiente:
Rata de acumulacion de masa = rata de masa que entra – rata de masa
que sale
Se empieza por considerar el par de caras perpendiculares al eje
x . La rata de
masa que entra a través de la cara en x es (ρvx)
x y.z, y la rata de masa que
sale a través de la cara en x+x es (ρvx) x+x.y.z. Expresiones
similares se
1.4
masa dentro del elemento de volumen es (x.y.z) (∂ρ / ∂t).
El balance de masa
se convierte entonces en
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
z z z z z y y y y y x x x x x
vv y xvv z xvv z y
t z y x
ρ
Dividiendo toda la ecuación por x.y.z y sacando límites cuando
estas
dimensiones se approximan a cero, se obtiene:
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
ρ ( 1.4)
La ecuación anterior es la ecuación de continuidad, la cual
describe la rata de
cambio de la densidad en un punto fijo resultante de los cambios
del
vectorvelocidad másica ρ v . La ecuación de
continuidad puedes ser escrita
usando el simbolismo de vectores:
( )v t
ρ ρ
Donde v ρ .∇ es llamado la divergencia de
ρ v .
Con frecuencia a la ecuación de continuidad se le practica la
diferennciación en
ella indicada y luego se agrupa todas las derivadas de
ρ en el lado izquierdo de
la ecuación.
z y x z y x ρ
ρ ρ ρ
(1.6 )
El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada
substancial de la
densidad, lo que es, la derivada en el tiempo siguiendo el camino
del movimiento
del volumen de control. De alli se puede abreviar a:
( )v Dt
D .∇−= ρ
ρ (1.7 )
Recordar que la ecuación de continuidad en cualquier forma es un
simple
enunciado de la conservación de la masa. Se señala también que su
deriavción
1.5
Una forma muy especial de la ecuación de continuidad la cual se
usa
contantemente es la de un fluido de densidad constante
(incompresible), para el
cual:
Por supuesto, ningún fluido es absolutamente incompresible,
pero
frecuentemente en la práctica de la ingeniería se hace la
suposición de tener un
fluido de densidad constante no conduce a ningún error.
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Para un elemento de volumen x.y.z, tal como el que se usó en la
ecuación
de continuidad, se puede escribir un balance de cantidad de
movimiento de la
siguiente forma (ver figura 1.2):
Rata de
acumulación de
x
y
z
Figura 1.2. Elemento de volumen con flechas indicando la dirección
en la cual
1.6
Se debe aclarar que para nuestro caso se le permite al fluido
moverse a través
de las seis caras del elemento de volumen en direcciones
arbitrarias como lo
indica la ecuación de balance. Se debe también enfatizar que la
ecuación es un
vector con componentes en cada uno de las tres direcciones de las
coordenadas
x, y, z . Por simplicidad, se empieza considerendo el
componente x de cada
término de la ecuación de balance; los componentes en x
y z se pueden
manejar análogamente.
Primero consideremos las ratas de flujo de la componente
x del momentum que
entra y que sale del elemento de volumen mostrado en la figura. El
momentum
entra y sale del elemento de volumen por dos mecanismos: Por
convección
(debido al flujo del fluido) y por transferencia molecular (en
virtud de los
gradientes de velocidad).
La rata a la cual la componente x del momentum entra
por la cara en x por
convección es ρ .v x.v x | x y.z, y
la rata a la cual sale en x+ x es
ρ .v x.v x | x+ x
y.z.
La rata a la cual entra en y es
ρ .v y.v x | y x.z. Expresiones
similares se pueden
escribir para las otras tres caras. Vemos entonces que le flujo
convectivo del
momentum en x puede ser considerado a través de todas
las seis caras y que el
valor neto del flujo convectivo en la dirección x dentro
del elemento de volumen
es,
( ) ( )
z z x z z x z y y x y y x y x x x x x x x
vvvv y xvvvv z xvvvv z y
+++
−+−+−
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
En forma similar, la rata en que la componente en x del
momento que entra por
la cara en x por transporte molecular es
τ xx | x y.z , y la rata a la cual
sale en
x+x es τ xx | x+ x y.z . La
rata a la cual entra en y es
τ yx | y x.z . Expresiones
1.7
el flujo de momento en x a través de una cara
perpendicular al eje y . Cuando
las seis contribuciones se sumen, se obtiene:
( ) ( )
z z x z z x z y y x y y x y x x x x x x x
y x z x z y +++
−+−+− τ τ τ τ τ τ
(1. 10)
Notar que como antes, estos flujos de momento pueden ser
considerados
esfuerzos. Lo que quiere decir que τ xx es el
esfuerzo normal en la cara de x , y
τ yx es el esfuerzo tangencial o de corte en la direccion
x sobre la cara y
resultante de fuerzas viscosas.
En la mayoría de los casos las únicas fuerzas presentes son las
resultantes de
la presión del fluido y la fuerza gravitacional por unidad de masa
g . En la
direccion x la resultante de estas fuerzas serán:
( ) z y yg p p z y
x x x x +− + ρ
(1.11)
La presión de un fluido en movimiento es definida por la ecuación
de estado
p=p(ρ, T) y es una cantidad escalar.
Finalmente, la rata de acumulación de momento en x
dentro del elemento es
x y z
( ∂ρ v x / ∂ t.) Ahora
sustituimos las expresiones anteriores en la ecuación
general de balance. Dividiendo la ecuación resultante por
x y z y tomando
límites cuando x, y, y z tienden a cero, se obtiene la componente
en x de la
ecuación de movimiento:
x zx yx xx x z x y x x x
g x
p
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂
Las componentes en y y z se pueden obtener de una manera
similar:
y zy yy xy y z y y y x y
g y
p
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂
1.8
z zz yz xz z z z y z x z
g z
p
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂
Las cantidades ρ v x , ρ v y
y ρ v z son las componentes del
vector velocidad másica
ρ ρρ ρ v ; similarmente
g x , g y , g z son las
componentes de la aceleración gravitacional
g . Adicionalmente ∂ p/ ∂ x,
∂ p/ ∂ y, ∂ p/ ∂ z son
las componentes de un vector ∇∇∇∇p
conocido como el gradiente de p . El término
ρ v x v x ,
ρ v x v y ,
ρ v x v z , etc. son las
nueve componentes del flujo de momentum convectivo
ρ ρρ ρ vv . Similarmente
τ xx ,
τ xy , τ xz , etc. son las nueve
componentes de conocido como el tensor esfuerzo
τ ττ τ . Como el colocar todas las ecuaciones juntas
en una sola para hacer el
balance total del flujo de momentum o cantidad de movimiento sería
algo
demasiado extenso, una notación de la ecuación en forma de vector
sería mas
conveniente por lo que se obtiene:
= ∂
Rata de aumento de momentum
por unidad de volumen
por convección
por unidad de volumen
Fuerza sobre el elemento debido a la presión por unidad de
volumen
Rata de ganancia de momentum
por transferencias viscosas por
.
El lector debe ser cuidadoso y recordar que
[ ∇ ∇∇ ∇ . ρ vv] y
[ ∇ ∇∇ ∇ .τ ] no
son la divergencia
sencilla por si sola sino que esas expresiones tienen la naturaleza
tensorial de
ρ ρρ ρ vv y de
τ ττ τ . Sin embargo, la interpretación física sí es
la misma de
( ∇ ∇∇ ∇ . ρ v),
pues
( ∇ ∇∇ ∇ . ρ v)
representa la rata de pérdida de masa (un escalar) por unidad
de
volumen del fluido que fluye y la cantidad
[ ∇ ∇∇ ∇ . ρ vv]
representa la rata de pérdida
1.9
La componente en x del momentum se puede re-organizar y
con la ayuda de la
ecuación de continuidad se obtiene:
x
p
Dt
∂ −= (1. 15)
Arreglos similares se pueden escribir para las componentes en
y y z . Cuando
todas las componentes se junten se obtiene,
[ ] g p Dt
Dv x ρ τ ρ +∇−−∇= .
(1. 16)
En esta forma la ecuación de movimiento establece que un elemento
de
volumen pequeño que se mueve con el fluido es acelerado debido a
las fuerzas
que actúan sobre él. En otras palabras, esta es la segunda ley de
Newton en
la forma de masa por aceleración es igual a la suma de
fuerzas.
Para poder usar estas ecuaciones en el cálculo de la distribución
de velocidad
se deben insertar expresiones para calcular los diversos esfuerzos
que aparecen
en los gradientes de velocidad y las propiedades del fluido. Para
fluidos
Newtonianos, estas expresiones son las siguientes:
( )v x
v x
xx . 3
2 2 ∇+
( )v y
v y
( )v z
v z
zz . 3
2 2 ∇+
∂
∂ +
∂
∂ −==
∂
∂ +
∂
∂ −==
v x z xz zx µ τ τ
(1. 22)
Para presentar un resumen general de las ecuaciones de cambio ellas
se han
presentado en forma de tablas. Las tabla 1.1 muestra la ecuación de
continuidad
en los tres sistemas de coordenadas. La tabla 1.2 muestra la
ecuación de
movimiento en coordenadas rectangulares (x,y,z) en términos del
esfuerzo para
cualquier fluido y en términos del gradiente de velocidad para
fluidos
Newtonianos con densidad y viscosidad constante. La tabla 1.3
muestra las
formas de la ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas en
términos del
esfuerzo para cualquier fluido y en términos del gradiente de
velocidad para
fluidos Newtonianos con densidad y viscosidad constante. La tabla
1.4 muestra
los componentes del tensor esfuerzo para fluidos Newtonianos en
coordenadas
rectangulares mientras que la tabla 1.5 los muestra para
coordenadas
cilíndricas.
USO DE LAS ECUACIONES DE CAMBIO
Como se dijo anteriormente, las ecuaciones de cambio son útiles
para resolver
muchos problemas de mecánica de fluidos. A continuación se presenta
uno de
los tantos usos que se le pueda dar a las ecuaciones de cambio para
resolver
problemas de mecánica de fluidos.
Flujo de Fluido Newtoniano Incompresible a Través de Tubería
Circular
Para resolver este problema el mejor de sistema de coordenadas a
escoger es
el de coordenadas cilíndricas. Para este caso suponemos que
v θ θθ θ y v r
son
iguales a cero (nulas) y que v z no es una función
de θ. Bajo estas suposiciones,
la ecuación de continuidad que escogemos es la ecuación B de la
tabla 1.1 y
que se reduce a:
0= ∂
v z (1. 24)
La componente en z de la ecuación de movimiento,
ecuación F de la tabla 1.3,
se reduce a:
z µ ρ (1.25 )
Substituyendo la ecuación de continuidad en la ecuación de
movimiento, ésta se
reduce a:
P z1 0 µ (1. 26)
Si las condiciones de frontera para el problema son que
vz=0 cuando r=R y que
v z es finito cuando r=0 , al resolver la
ecuación diferencial obtenida se obtiene
−
− =
(1.27 )
La ecuación anterior es conocida como la ecuación de
Hazen-Poiseuille que se
aplica para fluidos Newtonianos, incompresibles que fluyen en
régimen laminar a
través de tuberías cilíndricas. La observación de la ecuación
permite deducir que
v z se hace máximo cuando r=0 (en el
centro del ducto) y v z se hace mínimo
(nulo) cuando r=R (en la pared del ducto).
COORDENADAS
( ) ( ) ( ) 0= ∂
( ) ( ) ( ) 0 11
θ ρ
( ) ( ) ( ) 0 111 2
RECTANGULARES (x, y, z ):
En términos de τ:
z x
y x
z z
y z
∂ (C)
En términos de gradiente de velocidad para fluidos Newtonianos con
ρ y µ constantes:
Componente x :
z x
y x
z z
y z
CILINDRICAS (r, θ , z ):
En términos de τ:
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ −=
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
θ θ θ θ θ θ θ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ −=
∂
∂ ++
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ −=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ 11
En términos de gradiente de velocidad para fluidos Newtonianos con
ρ y µ constantes:
D. Componente r :
( ) r r r
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
θ θ µ
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
NEWTONIANOS EN COORDENADAS RECTANGULARES (x, y, z )
( )
⋅∇−
∂
( )
⋅∇−
∂
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂ +
∂
∂ −=
( ) z
v
y
v
x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
NEWTONIANOS EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, φ ,
z )
( )
⋅∇−
∂
θ θ r
θ θ z
( ) ( ) z
vv