Tema 3

Variables aleatorias discretas y

distribuciones de probabilidad

Variables Aleatorias

Para un espacio muestral dado S de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado en S .

Variable Aleatoria

Variable aleatoria de Bernoulli

Cualquier variable aleatoria cuyos únicos valores posibles son 0 y 1 se llama variable aleatoria de Bernoulli.

Tipos de variables aleatorias

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria cuyos valores posibles constituyen un conjunto finito (o contablemente infinito). Una variable aleatoria continua es una variable aleatoria cuyo conjunto de valores posibles se compone de todos los números reales que hay en un intervalo(finito o infinito).

Distribuciones de probabilidad para

variables aleatorias discretas

Distribución de Probabilidad

La distribución de probabilidad o función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X con valores posibles x1, x2, …, xn se define como f(xi)= P(X=xi).

Parámetro de una dist.de probabilidad

Supóngase que f(x) depende de la cantidad que puede ser asignada a cualesquiera de varios valores posibles y cada valor determina una distribución de probabilidad diferente. Tal cantidad se llama parámetro de distribución. El conjunto de todas las distribuciones de probabilidad con diferentes valores del parámetro se llama familia de distribuciones de probabilidad.

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X con función de masa de

probabilidad f(x) se define para cada número x como

:

( ) ( ) ( )y y x

F x P X x p y

Para cualquier número x, F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X será cuando mucho x.

Proposición

Para dos números a y b siendo ,a b( ) ( ) ( )P a X b F b F a

donde “a–” representa el valor posible de X más grande que es menor que a.

Nota: Cuando los valores son enteros( ) ( ) ( 1)P a X b F b F a

Distribución de probabilidad para la variable aleatoria X

Una distribución de probabilidad para la variable X:

x –8 –3 –1 0 1 4 6

P(X = x) 0.13 0.15 0.17 0.20 0.15 0.11 0.09

Find

a. 0

b. 3 1

P X

P X

0.65

0.67

Valores esperados de variables aleatorias

discretas

Valor esperado de X

Sea X una variable aleatoria discreta con un conjunto de valores posibles D y una función masa de probabilidad p(x). El valor esperado o valor medio de X, denotado por

( ) ( )Xx D

E X x p x

( ) or , isXE X

Ex. Use la información descrita abajo para encontrar el valor esperado del número de tarjetas de crédito que un estudiante posee.

x P(x =X)

0 0.08

1 0.28

2 0.38

3 0.16

4 0.06

5 0.03

6 0.01

x = # de tarjetas de crédito

1 1 2 2 ... n nE X x p x p x p

0(.08) 1(.28) 2(.38) 3(.16)

4(.06) 5(.03) 6(.01)

=1.97

Aprox. 2 tarjetas de crédito

Valor esperado de una función

Si la variable aleatoria X tiene un conjunto de posibles valores D y una función masa de probabilidad p(x), entonces el valor esperado de cualquier función h(x), denotada por

[ ( )] ( ) ( )D

E h X h x p x ( )[ ( )] or , ish XE h X

Reglas de valor esperado

( ) ( )E aX b a E X b

Esto nos lleva a lo siguiente:

1.Para cualquier constant a,

2.Para cualquier constante b,

( ) ( ).E aX a E X

( ) ( ) .E X b E X b

La Varianza y Desviación Estándar

Sea p(x) la función masa de probabilidad de X y µ su valor esperado. La varianza de X, denotada V(X)

2 2(or or ), isX 2 2( ) ( ) ( ) [( ) ]

D

V X x p x E X La desviación estándar (SD) de X es

2X X

Ex. Las notas de los exámenes de un estudiante en particular se dan a continuación:22, 25, 20, 18, 12, 20, 24, 20, 20, 25, 24, 25, 18

Encuentre la varianza y la desviación estándar.

21

Value 12 18 20 22 24 25

Frequency 1 2 4 1 2 3

Probability .08 .15 .31 .08 .15 .23

22 21 1 2 2( ) ... n nV X p x p x p x

( )V X

2 2 2

2 2 2

( ) .08 12 21 .15 18 21 .31 20 21

.08 22 21 .15 24 21 .23 25 21

V X

( ) 13.25V X

( )V X 13.25 3.64

Fórmula abreviada para Varianza

2 2 2( ) ( )D

V X x p x

22E X E X

Reglas de Varianza2 2 2( ) aX b XV aX b a

aX b Xa y

Esto nos lleva a lo siguiente:2 2 21. ,aX X aX Xa a 2 22. X b X

Distribución de probabilidad Binomial

Experimento binomial

Un experimento para el que se satisfacen las condiciones 1-4 se llama experimento binomial.

1. El experimento consta de una secuencia de n experimentos más pequeños llamados ensayos, donde n se fija antes del experimento.

2. Cada ensayo puede dar por resultado uno de los mismos dos resultados posibles, los cuales se denotan como éxito(E) y fracaso (F).

3. Los ensayos son independientes.

4. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro; esta probabilidad se denota por p.

Regla empírica para decidir si un experimento “sin reemplazo” puede ser tratado como experimento binomial.

Considérese muestreo sin reemplazo de una población dicotómica de tamaño N. Si el tamaño de la muestra (número de ensayos) n es cuando mucho 5% del tamaño de la población, el experimento puede ser analizado como si fuera exactamente un experimento binomial.

Variable aleatoria Binomial

La variable aleatoria binomial X asociada con un experimento binomial que consiste en n ensayos se define como

X = el número de éxitos entre los n ensayos

Notación para la distribución de probabilidad de una variable

aleatoria binomial

Como la función masa de probabilidad de una variable aleatoria binomial X depende de los dos parámetros n y p, la función masa de probabilidad se denota por b(x;n,p).

Función de masa de probabilidad de X

1 0,1,2,...; ,

0 otherwise

n xxnp p x n

b x n p p

Ex. Una carta es extraída de una baraja ordinaria de 52 cartas. Si extrae un carta de trebol se considera un éxito, encuentre la probabilidad de:

a.Exactamente un éxito en 4 extracciones(con reemplazo).

1 34 1 3

1 4 4

b. Ningún éxito en 5 extracciones (con reemplazo)0 55 1 3

0 4 4

0.422

0.237

p = ¼; q = 1– ¼ = ¾

Notación para la función de distribución acumulativa

Para X ~ Bin(n, p), la función de distribución acumulativa será denotada por

0

( ) ( ; , ) ( ; , )x

y

P X x B x n p b y n p

x = 0, 1, 2, …n

Media y Varianza de X

Si X ~ Bin(n, p), entonces E(X) = np, V(X) = np(1 – p) = npq, (donde q = 1 – p).

X npq

Ex. 5 cartas son extraídas, con reemplazo, de una baraja ordinaria de 52 cartas. Si extraer una carta con trebol es considerado un éxito, encuentre la media, la varianza y la desviación estándar de X (donde X es el número de éxitos).

p = ¼; q = 1– ¼ = ¾

15 1.25

4np

1 35 0.9375

4 4V X npq

0.9375 0.968X npq

Ex. Si la probabilidad de que un estudiante pase este curso de manera exitosa (C o mejor) es 0.82, encuentre la probabilidad de que entre 8 estudiantes:

a. los 8 pasen.

b. ninguno pase.

c. Por lo menos 6 pasen

8 080.82 0.18

8

0 880.82 0.18

0

6 2 7 1 8 08 8 80.82 0.18 0.82 0.18 0.82 0.18

6 7 8

0.2758 0.3590 0.2044 = 0.8392

0.2044

0.0000011

Distribución de probabilidad de Poisson

Distribución de Poisson

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con parámetro si la función masa de probabilidad de X es

0 ,

( ; ) 0,1,2...!

xep x x

x

La distribución de Poisson como límite

Suponga que en la función masa de probabilidad binomial b(x;n, p), si

de tal modo que np tiende a un valor 0.

Then ( ; , ) ( ; ).b x n p p x

and 0n p

Distribución de Poisson Media y Varianza

( ) ( )E X V X

Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro , then

Proceso Poisson

Esta variable aleatoria discreta se suele usar para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio.

Propiedades de un experimento de Poisson*La probabilidad de ocurrencia es la misma

para cualesquiera dos intervalos de la misma magnitud.

*La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier otro intervalo.

*** Es importante usar unidades consistentes en el cálculo de probabilidades, medias y varianzas cuando se trabaja con variables aleatorias de Poisson.

.

Distribución Hipergeométrica y Binomial Negativa

Distribution Hipergeométrica

Las suposiciones que conducen a la distribución hipergeométrica son las siguientes:

1. La población o conjunto que se va a muestrear se compone se compone de N individuos, objetos, o elementos (una población finita).

2. Cada individuo puede ser caracterizado como éxito (E) o falla (F), y hay M éxitos en la población.

3. Se selecciona una muestra de n individuos sin reemplazo de tal modo que cada subconjunto de tamaño n es igualmente probable de ser seleccionado.

Distribución Hipergeométrica

Si X es el número de éxitos (E) en una muestra completamente aleatoria de tamaño n extraída de la población compuesta de M éxitos y (N – M) fallas, entonces la distribución de probabilidad de X, llamada distribución hipergeométrica, es

( ) ( ; , , )

M N M

x n xP X x h x n M N

N

n

max(0, ) min( , )n N M x n M

Dist. Hipergeométrica Media y Varianza

( ) ( ) 11

M N n M ME X n V X n

N N N N

Distribución binomial negativa

La variable aleatoria y la distribución binomial negativa se basan en un experimento que satisface las siguientes condiciones:1. El experimento consiste en una

secuencia de ensayos independientes.

2. Cada ensayo puede dar por resultado un éxito (E) o una falla (F).

3. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, por lo tanto P(E en el ensayo i) = p for i = 1, 2, 3, …

4. El experimento continúa hasta que un total de r éxitos hayan sido observados, donde r es un entero positivo especificado.

Distribución Binomial Negativa

La función masa de probabilidad de la variable aleatoria binomial negativa X con los parámetros r = número de éxistos (E) y p = P(E) es

1( ; , ) (1 )

1r xx r

nb x r p p pr

x = 0, 1, 2, …

Binomial Negativa Media y Varianza

2

(1 ) (1 )( ) ( )

r p r pE X V X

p p