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Variables aleatorias continuas y
distribuciones de probabilidad
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Funciones de densidad de probabilidad
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Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria X es continua si sus valores posibles comprenden un solo intervalo sobre la línea de numeración (para alguna A < B, cualquier número x entre A y B es un valor posible).
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Distribución de Probabilidad
Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabiliad (fdp) de X es una función f(x) tal que para dos números cualesquiera a y b con a ≤ b,
( )b
aP a X b f x dx
La gráfica de f se conoce como curva de densidad.
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Función de densidad de probabilidad
la probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo [a,b] es el área sobre este intervalo y bajo la gráfica de la funsión de densidad.
( )y f x
ba
( )P a X b
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Distribución de Probabilidad
Para que f(x) sea una función valida debe stisfacer las siguientes condiciones
1. f (x) ≥ 0 con todas las x.
2.El área bajo la curva f(x) es igual a 1.
Area = 1
( )y f x
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Distribución Uniforme
Una variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo [A, B] si la función de densidad de probabilidad de X es
1
; ,0 otherwise
A x Bf x A B B A
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Probabilidad de una variable aleatoria continua
Si X es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier número c, P(x = c) = 0. Para dos números cualquiera a y b siendo a < b,
( ) ( )P a X b P a X b
( )P a X b
( )P a X b
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Funciones de distribución
acumulativa y valores esperados
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Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa F(x) de una variable aleatoria continua X se define para todo número x como
( ) ( )x
F x P X x f y dy
Con cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x.
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Utilización de F(x) para calcular probabilidades
( ) ( )P a X b F b F a
Sea X una var aleatoria continua con función de densidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces con cualquier número a,
y para dos números a y b con a < b,
1 ( )P X a F a
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Mediana
La mediana de una distribución continua es el 50th percentil, así que la mediana satisface 0.5=F(mediana). Es decir, la mitad del área bajo la curva de densidad se encuentra a la izquierda de la mediana y la mitad a la derecha de la mediana.
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Valores esperados
El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es
( )X E X x f x dx
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Valor Esperado de alguna función h(X)
Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y h(x) es cualquier función de X, entonces
( )( ) ( ) ( )h XE h x h x f x dx
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Varianza y Desviación estándar
La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) y valor medio es
2 2( ) ( ) ( )X V x x f x dx
2
[ ]E X
La desviación estándar es
( ).X V x
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Fórmula abreviada para varianza
22( ) ( )V X E X E X
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La Distribución
Normal
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Distribución Normal
2 2( ) /(2 )1( )
2xf x e x
Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ, donde -∞<µ<∞ y σ >0, si la función de densidad de probabilidad de X es
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Distribución normal estándar
2 / 21( ;0,1)
2zf z e
La distribución normal con valores de parámetro se llama distribución normal estándar. La variable aleatoria que tiene esta distribución se denotará por Z. La función de densidad de probabilidad de Z es
0 and 1
La función de distribución acumulativa de Z esz
( ) ( ) ( ;0,1)z
z P Z z f y dy
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Áreas acumulativas normales estándar
0 z
Curva normal estándar
Shaded area = ( )z
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Distribución normal estándar
a.
Área a la izquierda de 0.85 = 0.8023
b. P(Z > 1.32)
Sea Z la variable normal estándar. Encuentre (de la tabla)
( 0.85)P Z
1 ( 1.32) 0.0934P Z
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Encuentre el área a la izquierda de 1.78 y después restele el área a la izquierda de –2.1.
= 0.9625 – 0.0179
= 0.9446
c. ( 2.1 1.78)P Z
= ( 1.78) ( 2.1)P Z P Z
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= 2[P(z < Z ) – ½]
P(z < Z < –z ) = 2P(0 < Z < z)
z = 1.32
Ex. Sea Z la variable normal estándar. Encuentre z si a. P(Z < z) = 0.9278.
Vea la tabla y encuentre el valor = 0.9278 después lea alrevez para encontrar
z = 1.46.
b. P(–z < Z < z) = 0.8132
= 2P(z < Z ) – 1 = 0.8132
P(z < Z ) = 0.9066
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Distribuciones normales no estándar
Si X tiene una distribución normal con media y desviación estándar , entonces
X
Z
Tiene una distribución normal estándar.
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Curva Normal
68%
95%
99.7%
Porcentajes aproximados de área dentro de desviaciones estándares dadas (regla empírica).
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Ex. Sea X una variable aleatoria normal con
= 0.2266
65 8065
20P X P Z
.75P Z
Find ( 65).P X 80 and 20.
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Ex. Una salpullido particular surgió en los básicos de un colegio. Se ha determinado que lo que tarda en tiempo el salpullido se distribuye normalmente con
6 days and 1.5 days.
Encuentre la probabilidad de que para un estudiante elegido al azar, el salpullido le dure entre 3.75 y 9 días.
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3.75 6 9 63.75 9
1.5 1.5P X P Z
1.5 2P Z
= 0.9772 – 0.0668
= 0.9104
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Sea X una variable aleatoria normal basada en n ensayos con probabilidad de éxito p. Si el histograma de probabilidad binomial no es demasiado asimétrico, X tiene aproximadamente una distribución normal con
and .np npq
Aproximación de la distribución binomial
0.5( )
x npP X x
npq
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Ex. En una universidad particular pequeña el porcentaje de aprobados en Algebra Intermedia es 72%. Si 500 estudiantes se inscriben en un semestre determine la probabilidad de que al menos 375 aprueben el curso.
500(.72) 360np
500(.72)(.28) 10npq
375.5 360( 375) (1.55)
10P X
= 0.9394