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Teoria de Control Clasica .Ejercicios Resueltos :
- Ejercicios resueltos ( Teoria ).
- Ejercicios tipo prueba.
- Ejercicios propuestos .
Prof.-Sr. Mario E. Salgado
/GCM & RHD 2010
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Teoria de Control Clasico.Ejercicios Resueltos.
/GCM & RHD 2010
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Ejercicios Tipo Prueba .
/GCM & RHD 2010
CERTAMEN 1Control Automático I
(100 minutos)
1.- Dibuje el diagrama de Bode de la siguiente Función de Transferencia.
15164s7,28sF(s) 2 ++
+=
s20 pts
2.- El modelo entrada – salida de un sistema está representado por:
uuyyy 465....
+−=++
a) Obtener respuesta escalón con CI = 0.b) Obtener su representación en variables de estado. 30 pts
3.- Dibuje el diagrama de Nyquist del siguiente sistema:
)2(5,0)(+
=ss
sF
20 pts
4.- Obtenga el modelo lineal entre la entrada qi(t) y la salida qo(t), en el estanque cónico de la figura:
qi(t)
m(t) h(t)
qo(t)
30 pts
AS/2005
Pauta Certamen 1 Control Automático 1 Primer Semestre 2005
Pregunta 1.
Para dibujar el diagrama de Bode de 15164
2.78)( 2 +++
=ss
ssF primero dejamos la
expresión es su Forma de Bode:
( )( )( )5.25.1
9.08)(++
+=
ssssF �
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
5.21
5.115.2*5.1
9.019.0*8
ss
s
�
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
5.21
5.11
9.0148.0
ss
s
Ganancia de Bode = 0.48 = 20log(0.48) [dB] -6.37 -6
Asíntotas = -6.37 + 20log(w/0.9) – 20log(w/1.5) -20log(w/2.5)
El diagrama de Bode de Magnitud y fase se muestra a continuación.
Pregunta 2.
a) Entrada u(t) = μ(t). Aplico Transformada de Laplace con C.I.=0.
s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = -sU(s) + 4 U(s) con U(s) = 1/s
Y(s) [ s2 + 5s + 6 ] = ss−4
Y(s) = ( )654
2 ++−ssss . Ocupando ahora fracciones parciales queda:
( )64
2 +−ss
= ( ) )3(2 ++
++
sC
sB
sA = ( )
( )656)235(
2
2
++++++++
ssCBACBs
Entonces tenemos el sistem
2) 5A+3B+2C= 1� A=2/3. Reemplazando en 1) y 2) obtengo:
4) B+C= 2/3 -3 � 3B- C=7/3-13/3 3B+2C= -
-3.
Así, Y(s) = )(
37)(
3/2+
+−sss
. Convirtiendo en el tiempo (Laplace inversa):
⎩
⎧
⎭⎫+= −− )
37
32( 2 tet tt μ
b)
Y(s) = ( )65)()4(
2 ++−ssUs . Ocupando ahora fracciones parciales queda:
Y(s)= (2(13((7
2((6 sXX
sU
sU
+=+
−+
+
)()6)1 =
ssUsX 161 xu=
3((7(2
+− sUX 2372 xux −−=
•
21 xxy +=
Vector de estado X= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡21xx
;⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= •
••
21xxX
Estas ecuaciones en representación matricial son:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡•
•
21
11
76
21
3002
21
xx
y
uxx
xx
Pregunta 3.
Para realizar Nyquist separo F(jw) en su parte real e imaginaria.
2244
22
45.0
)2()2(*
)2(5.0
wjwjjwwj
jwjwjwjw
jwjw −−
=−−
+
Recordando que j2= -1 y j4=1 se obtiene:
F(jw) = )4(
1)4(
5.022 ww
jw +
−+
−
Valores de w Parte real F(jw) Parte imaginaria F(jw)0 -0.125 0
Infinito 0 01 -0.1 -0.2
El diagrama de Nyquist es el siguiente (parte de abajo es suficiente):
Pregunta 4.
a) )()()( 0 tqtqtmdtd
i=+
b) m(t) = 3
)(* 3 thdensidad π
c) )(*)(0 thdensidadktq =
Las ecuaciones a linealizar son b) y c) ya que a) es lineal.
b) hchhdensidadhhtmm Q
Q
Δ=Δ=Δ=Δ 12*))(( π
δδ
c) hchh
densidadkhhtqq
Δ=Δ=Δ=Δ 20
0 2))((
δδ
�2
0
cqh Δ
=Δ
Para llegar a la relación lineal entre qi(t) y qo(t), inserto mΔ (y adentro hΔ en función de 0qΔ ) en a) para llegar a lo siguiente:
)()()( 01 tqtqhcdtd
i=+Δ � )()()( 02
01 tqtqcqc
dtd
i=+Δ
)()()(
00
2
1 tqtqdtqd
cc
i=+Δ
CERTAMEN No1 CONTROL AUTOMATICO I Tiempo 100 minutos
______________________________________________________________________________________
1. Obtener el modelo lineal entre la entrada u(t) y la salida y(t) de un proceso que se representa con el siguiente sistema de ecuaciones:
El punto de operación es: Uq=1; Wq=1; Yq=1; Wq=1. 30 pts _________________________________________________________________________
2. Dado el siguiente diagrama de Bode de la magnitud de la función de transferencia de un proceso. Determinar la función de transferencia que más se le aproxime. Justifique.
20 pts _________________________________________________________________________
3. Dibuje el diagrama Nyquist de un sistema que tiene la siguiente ecuación diferencial y determine y(t) cuando u(t) es un escalón unitario. Suponga condiciones iniciales igual a cero.
30 pts _________________________________________________________________________
4. Si la función de transferencia de un proceso es la que se indica a continuación. Obtenga su representación en variables de estado.
20 pts _________________________________________________________________________ AS/2006
)127s(s5)2(sF(s) 2 ++
+=s
2u(t)48y(t)y(t)22y(t)2 =++•••
u(t)2
ew(t)y(t)w(t)
u(t)y(t)w(t)y(t)
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=+•••
•••
w1 5 15
2
w
40 db
20 db
)( jwH
Pauta Certamen 1 Control Automático I 1er Semestre 2006.
1. Obtener el modelo lineal entre la entrada u(t) y la salida y(t) de un proceso que se representa con el siguiente sistema de ecuaciones:
)(2][)(
)()(
)()(
)()(tuety
tuty
twtw
twty=++
=+•••
•••
El punto de operación es: Uq=1; Wq=1; Yq=1; dWq=1
a) )()()()( tutytwty +−=•••
; b) )(2][)( )()( tuety twtw +−−=•••
Linealizar a): uywuuay
yaw
w
a
qqq
ty Δ+Δ−Δ−=Δ∂∂+Δ
∂∂+Δ
∂
∂=••
•
••
Δ )( (10 ptos)
Linealizar b): ueywuuby
ybw
w
b
qqq
tw Δ+Δ−Δ−=Δ∂∂+Δ
∂∂+Δ
∂
∂=••
•
••
Δ 212)( (10 ptos)
Aplicar Laplace al modelo linealizado (a y b):
a) s2Y(s)+sW(s)+Y(s)=U(s); b) s2W(s)+2sW(s)+Y(s)/2=eU(s)
1. Se despeja W(s) de a): W(s) = -Y(s)[s2+1]+U(s) / s 2. Se despeja W(s) de b): W(s) = -0,5Y(s)+eU(s) / [s2+2s]
Reemplazar 2 en 1: 0,5Y(s)+eU(s) / [s2+2s] = -Y(s)[s2+1]+U(s) / s
Ordenando se llega a: Y(s) / U(s) = [e-2-s] / [0,5 – (s2+1)(s+2)] (10 ptos)
2. Dado el siguiente diagrama de Bode de la magnitud de la función de transferencia de un proceso. Determinar la función de transferencia que más se le aproxime. Justifique (ver diagrama en el certamen).
20log|KB| = 2 � log(KB) = 1/10 � KB= 10(1/10) (5 ptos) Cero simple: [1 + (jw/1)] (5 ptos) Polo simple: [1 + (jw/5)] (5 ptos) Polo doble: [1 + (jw/15)]2 ó un polo cuadrático (5 ptos)
Así,2
1,0
)15
1)(5
1(
)1(10)(ssssH
++
+=
3. Dibuje el diagrama de Nyquist de un sistema que tiene la siguiente ecuación diferencial y determine y(t) cuando u(t) es un escalón unitario. Suponga condiciones iniciales igual a cero.
)(2)(48)(22)(2 tutytyty =++•••
Se aplica Laplace a la ecuación dada en el enunciado:
2s2Y(s)+22sY(s)+48Y(s)=2U(s) Y(s){2s2+22s+48}=2U(s) Y(s) / U(s) = 1/(s2+11s+24) Si U(s)=1/s � Y(s) = 1 / [s(s+3)(s+8)] (5ptos)
Se aplica fracciones parciales: Y(s) = A/s + B/(s+3) + C/(s+8). Lo que resulta: A=1/24; B= -1/15; C=1/40
Aplicando inversa de Laplace se obtiene y(t) = {A + Be-3t + Ce-8t}μ(t) (5ptos)
Para dibujar Nyquist se calcular H(jw) = Y(jw) / U(jw) = 1 / [(jw+3)(jw+8)]. Se ordena para obtener H(jw)= Real + jImaginario. (sacar la j del denominador). Para eso, se multiplica numerador y denominador por (jw-3)(jw-8). Se obtiene:
)64)(9(11
)64)(9(24)( 2222
2
++−
++−=
wwwj
wwwjwH (5ptos)
(5ptos)
w de cruce: 0)64)(9(
2422
2
=++
−www lo que resulta w de cruce = 24± (5ptos)
Dibujo correcto del Nyquist: (5ptos) (el espejo no era necesario)
w Real Imaginario 0 24/(9*64) 0
Infinito 0 0 1 23/650 -11/650
4. Si la función de transferencia de un proceso es la que se indica a continuación. Obtenga su representación en variables de estado.
)127()5(2)( 2 ++
+=sss
ssF
F(s)= Y(s)/U(s)= 2(s+5)/[s(s+3)(s+4)]. Aplicando fracciones parciales se obtiene:
43)4)(3()5(2
++
++=
+++
sC
sB
sA
ssss
� A=5/6 ; B= - 4/3; C=1/2 (10ptos)
42/1
33/46/5
)()(
++
+−=
ssssUsY ; Y(s) = X1(s)+X2(s)+X3(s)
X1(s)/U(s) = (5/6)/s � sX1(s)= (5/6)U(s) X2(s)/U(s) = -(4/3)/(s+3) � sX2(s)+3X2(s)= -(4/3)U(s) X3(s)/U(s) = (1/2)/(s+4) � sX3(s)+4X3(s)= (1/2)U(s)
Se define [ ] [ ]yYuUXXX
XXXX
X ==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=•
•
•
•����
,,321
,321
; basándose en las ecuaciones
anteriores se calcula el sistema:
UDXCYUBXAX���
���
+=+=
•
� [ ] [ ]0,111,2/13/4
6/5,
400030000
==⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−= DCBA
(10 ptos)
CERTAMEN No1CONTROL AUTOMATICO I
(Tiempo 100 minutos. Sin calculadora. Sin formulario)______________________________________________________________________________________1. Dado los siguientes procesos, excitados con escalón unitario:
Determinar y8 , constante de tiempo, frecuencia natural y razón de amortiguamiento.20 pts
_________________________________________________________________________2. Dado el siguiente sistema lineal relajado:
a) Determinar su Función de Transferencia en Laplace.b) Determinar su representación en variables de estado.c) Determinar su respuesta temporal cuando u(t) es un escalón unitario. 40 pts
_________________________________________________________________________3. Dado el siguiente sistema, determine el diagrama de Bode en un punto de equilibrio. Se
desea observar como salida la temperatura ?2 en el horno 2 y la entrada es q(t).Usar qQ = 1
Las ecuaciones de los elementos son:
2=térmicaaResistenci=2R;(t)22?2R=(t)oq
1=térmicaaResistenci=1R;(t)2?)t(1?1R=(t)rq2=calóricaCapacidad=2C;(t)2
2?(t)•2?2C=(t)c2q
1=calóricaCapacidad=1C;(t)1?(t)•1?1C=(t)c1q
;)t(q2+)t(2q)t(•q4=entradadeFlujo=u(t)
40 pts
_________________________________________________________________________AS/2008
u(t))+(t)•u(3=y(t)50+)t(
•y15+)t(
••y
6+s7+2s35=2P;3+s2
5=1P
)t(?1 )t(?2
u(t)qc1(t) qr(t) qc2(t) qo(t)
C1 C2
Fuente horno 1 horno 2
CERTAMEN 2Control Automático I
(100 minutos)1.- El modelo nominal de una planta es Go(s). Obtener un controlador que estabilice la planta y permita cancelar el polo mas lento de la planta, el cero y conseguir error cero en estado estacionario para referencia sinusoidal de frecuencia 1[rad/s]. Deje planteada la ecuación matricial a resolver.
1)3)(s(s2)(s*3Go(s)++
+= 30 pts
2.- Suponga que el modelo nominal de una planta es Go(s) y el controlador a usar es C(s). Determine los valores de K para que el sistema nominal realimentado unitariamente sea internamente estable.
)3)(s(s1)(s*5-Go(s)2−+
+=
)s(s1)(s*KC(s)
2++
= 30 pts
3.- Determine si el sistema que tiene el diagrama de Nyquist que se ilustra a continuación, es estable o inestable en lazo cerrado. Si P = 0, para los casos en que el punto (-1,0) está ubicado en a, b y c, además determine el número de raíces del sistema en lazo cerrado que están en el semiplano derecho.
20 pts
4.- Suponga que una planta responde como se ilustra a continuación. Determine los parámetros de un controlador PI que se obtendría al aplicar el método basado en la curva de reacción según Ziegler y Nichols (Kp=(ão/(Ko*ôo)); Tr=ôo).
20 pts
AS/2005
Pauta Certamen 2 Control Automático IPrimer Semestre 2005.
PREGUNTA 1. Go(s) = ( )( )13)2(3++
+ss
s . N=2 2N-1=3
Condiciones:
• error cero en estado estacionario para referencia sinusoidal de frecuencia1[rad/seg]. Luego, L(s) = (s2+1) )(sL . Se suman 2 grados al Acl. 5
• Cancelar el polo más lento de la planta. Luego, P(s)=(s+1) )(sP . 5• Cancelar el cero. Luego, L(s)= (s+2)(s2+1) )(sL .
Grado Acl = 2N-1 + condiciones.
Solución 1: Acl de grado 6. 5
Acl=AL+BP=(s+3)(s+1)(s+2)(s2+1)(s+l0) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0)
Los polos y ceros cancelados deben aparecer en el Acl. Por lo tanto:
(s+3)(s+1)(s+2)(s2+1)(s+l0) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0)= (s+1)(s+2)(s2+1)(s2+á1s+á0) 5
Resolviendo esta ecuación, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones:
1) á1 = l0+32) á0+1 = 1+3l0+3p23) á1 = l0+3+3p1
4) á0 = 3l0+3p0 5
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
031
03-1
pop1p2lo
3003030100330001
αα
αα
5
De 1) y 3) se concluye que p1=0. Reemplazando 4) en 2) se ve que p0=p2.
Por lo tanto, ( )( )( )( )( )0
20
20
121)(
lssspspssC+++
++= �( )( )
( )( )( )02
20
1211)(lsss
sspsC+++
++= �
( )( )( )0
0
21
)(lss
spsC
+++=
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solución 2: Acl de grado 5. 5
Acl=AL+BP=(s+3)(s+1)(s+2)(s2+1) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0)
Los polos y ceros cancelados deben aparecer en el Acl. Por lo tanto:
(s+3)(s+1)(s+2)(s2+1) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0)= (s+1)(s+2)(s2+1)(as+b) 5
Resolviendo esta ecuación, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones:
1) a = 12) b = 3+3p23) a = 1+3p14) b = 3+3p0 5
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3-b1-a3-b
p0p1p2
300030003
5
De 1) y 3) se concluye que p1=0. Reemplazando 4) en 2) se ve que p0=p2.
Por lo tanto, ( )( )( )( )12
1)( 20
20
++++=
sspspssC �
( )( )( )( )12
11)( 2
20
++++=
sssspsC �
( )( )2
1)( 0
++
=ssp
sC
PREGUNTA 2.
Se resuelve por R.H.
Acl = num [1+G0(s)C(s)] = s4 + 3s3 – (4+5K)s2 – (12+10K)s – 5K. 10
S4 1 (-4-5K) -5KS3 3 (-12-10K) 0
S2
35K− -5K 0
S1 (-10K-21) 0 0S0 -5K 0 0 10
Para que sea estable, no deben existir cambios de signo en la primera columna, por lotanto:
35K− > 0 � K < 0 5
-10K-21 > 0 � -10K >21 � K< -2,15
PREGUNTA 3.
Si P=0 entonces la fórmula Z=N+P se convierte a Z=N, donde Z son los polos del lazocerrado en el SPD, y N son los encierros al punto (-1,0). 5
Caso a) : No hay encierros, por lo tanto Z=0 � estable. 5Caso b) : N=2, por lo tanto es inestable, con 2 raíces en el SPD. 5Caso c) : No hay encierros, por lo tanto Z=0 � estable. 5
PREGUNTA 4.
Del gráfico se observa que t0=0, t1=1 y t2=3 5
22353
0
00 −=
−−=
−−=
∞
∞
uuyyK 5
1010 =−= ttτ 52120 =−= ttγ
Luego, Kp= -0.9 ; Tr = 3*1 = 3. (Parámetros controlador PI). 5
AS/2005
CERTAMEN No2 CONTROL AUTOMATICO I Tiempo 100 minutos
______________________________________________________________________________________
1. Dado Go(s) y C(s) determine: a) Para que valores de K el sistema es internamente estable. b) Margen de fase y ganancia analíticamente.
2
2Go(s)=(s+2)
KC(s)=(s+1)
20 pts _________________________________________________________________________
2. Determine un controlador C(s) que haga estable internamente un sistema que tiene Go(s) como modelo nominal. Se desea error cero en estado estacionario a referencia constante. Polos más lentos que exp(-3t).
30 pts _________________________________________________________________________
3. Dado el modelo nominal Go(s). Usar la arquitectura de control con un grado de libertad que permita conseguir estabilidad interna, error estacionario cero a perturbaciones de entrada constante y que los polos, del lazo cerrado, tengan parte real menor que -3.
30 pts _________________________________________________________________________
4. Suponga que el modelo nominal de un sistema es Go(s). Determine los parámetros de un controlador PI que se obtendría al aplicar el método de Ziegler-Nichols (Kp=0,45Kc; Tr=Pc/1,2).
20 pts _________________________________________________________________________ AS/2006
2
-10Go(s)=(s+2)
(s+1)Go(s)=(s-2)(s+3)
n2s-6eGo(s)=(s+2)(s+3)��
Pauta Certamen 2 Control Automático 1 Primer Semestre 2006. 1) a) Acl = num{1 + Go(s)C(s)} = (s+2)2(s+1) + 2K = s3 + 5s2 + 8s + (4+2K) Ocupando Routh: s3 1 8 0 s2 5 4+2K s1 � 0 s0 4+2K Para estabilidad no deben existir cambios de signo en la primera columna. Por lo tanto: � = [(5*8) – (4+2K)] / 5 = (36-2K) / 5 > 0 � K<18 4+2K>0 � K> -2 Finalmente: -2 < K < 18 10ptos. b) Se trabaja con K=1 que está dentro del rango encontrado en a). Margen de ganancia: Kcrit|Go(jwg)C(jwg)|=1 y �Go(jwg)C(jwg) = -�
|Go(jwg)C(jwg)| = ( ) crit
gg
Kw
wssss1
14
1
5.0
12
1
5.0)1(
1*)2(
2
2222 =
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
=+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
++
Así, 22
14
12 gg
crit ww
K +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+= y Mg=20log(Kcrit)
Para saber el valor de wg se resuelve �Go(jwg)C(jwg) = -2arctg(wg/2) – arctg(wg) = -�. 5ptos. Margen de fase: |Go(jwf)C(jwf)|=1 y �Go(jwf)C(jwf) - Mf = -�
1
14
1
5.0
22
=
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+ f
f ww
. Despejando se llega a 043
23
161
21
16
24
6
=++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ ff
f ww
w
Se encuentra wf con la ecuación anterior, y se calcula el Margen de fase: Mf = -2arctg(wf/2) – arctg(wf) + � 5 ptos.
2) ss
esGossesGo 2
2
*)()3)(2(
6)( −−
=+−
−= . n=2.
Debido al retardo se ocupa Controlador de Smith y asignación de polos. Dibujar lazo Smith. 5 ptos Se calcula Acl = PBLAAcl += donde )3)(2(;6 +−=−= ssAB . Condiciones dadas por enunciado:
1. Error cero en estado estacionario a referencia constante� )('*)( sLssL = Agrega 1 grado al polinomio del lazo cerrado. 5ptos 2. Polos más lentos que e-3t. Por ejemplo: que Acl contenga (s+2), pero no (s+4).
Grado Acl = 2n-1+1= 4. 5ptos Ecuación diofantina: (s-2)(s+3)s(s+a) – 6(bs+d)(cs+e) = (s+3)(s+2)(s+1)2 Se puede simplificar (s+3), por lo tanto, b=1 y d=3. (s-2)s(s+a) – 6(cs+e) = (s+2)(s+1)2 s3 + s2(a-2) + s(-2a-6c) – 6e = s3 + 4s2 + 5s + 2 Sistema de ecuaciones: a-2 = 4 � a=6 -2a-6c = 5 � c= [5 + 2(6)] / -6 = � c= -17/6 -6e = 2 � e= -1/3 10 ptos
Finalmente, )6(
31
617)3(
)()()(
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+==
ss
ss
sLsPsC 5 ptos
3) )3)(2(
)1()(+−
+=ss
ssGo . n=2.
Se calcula Acl = AL + BP, donde B = (s+1) y A = (s-2)(s+3). Condiciones dadas por enunciado:
1. Error cero en estado estacionario a perturbaciones constantes� )(*)( sLssL = Agrega 1 grado al polinomio del lazo cerrado. 5ptos 2. Polos del lazo cerrado con parte real menor que-3. Por ejemplo, que Acl contenga (s+4), pero no (s+2).
Grado Acl = 2n-1+1= 4. 5ptos Ecuación diofantina: (s-2)(s+3)s(s+a) + (s+1)(bs+c)(ds+e) = (s+3)(s+4)(s+5)2 5ptos si lado derecho de la ecuación está OK con respecto a la condición 2. Se puede simplificar (s+3), por lo tanto, b = 1 y c = 3. (s-2)s(s+a) + (s+1)(ds+e) = (s+4)(s2 + 10s +25) s3 + s2(a – 2 + d) + s(-2a + e + d) + e = s3 +14s2 + 65s + 100 Sistema de ecuaciones: a + d - 2 = 14 � a + d = 16 -2a + e + d = 65 � -2a + d = -35 e = 100 � a = 17 � d= -1 10 ptos
Finalmente, ( ))17(100)3(
)()()(
++−+==
ssss
sLsPsC 5 ptos
4) 2)2(10)(
+−=s
sGo . Método Z – N con Kp=0,45*Kc y Tr = Pc/1,2
Obtener Kc y wc.
|Go(s)| * Kc = 1 � 1
21
4/102
2=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+ wc� 1
41
25
2 =+ wc
Kc�
41
25 2wcKc += (A)
5ptos �Go(j*wc) = -� � -� – 2arctg(wc/2) = -� � arctg(wc/2) = 0 � wc/2 = tg(0) = 0 5ptos Así, wc = 0. Por lo tanto, Pc = (2� / wc) = (2� / 0) = infinito. Tr = infinito Reemplazando wc = 0 en (A) se obtiene Kc = 2/5 = 0,4 5ptos Kp = 0,45 * 0,4 = 0,18.
Finalmente, 18,0*
11)( ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += KpsTr
KpsC 5ptos
CERTAMEN No2CONTROL AUTOMATICO I
(Tiempo 100 minutos. Sin calculadora. Sin formulario)______________________________________________________________________________________1. Determine para el siguiente sistema:
a) Sus funciones de Sensibilidadb) El rango de K para que sea estable.
30 pts_________________________________________________________________________2. Determine aproximadamente el Margen de Fase y de Ganancia del siguiente sistema:
30 pts_________________________________________________________________________3. Diseñe un controlador usando asignación de polos para que el sistema con modelo
nominal Go(s) cumpla con:a) Error en estado estacionario cero para señales constantes.b) El controlador debe eliminar los polos de Go(s).c) El controlador no debe tener polos en el SPD.d) Respuesta rápida a perturbaciones y/o referencias.
)5s)(2s()1s(2)s(Go ???
??
40 pts_________________________________________________________________________AS/2008
)5s)(2s()1s(???
?R(s) +
_ 10
Y(s)
R (s) + _
(s+1)/s K 1/(s+2) 3/(s+5)
10/(s+10)
+ _
Dp(s)
++
Y(s)
CERTAMEN 3Control Automático I
(100 minutos)
1.- El modelo nominal de una planta es Go(s). Obtener un controlador que satisfaga el “Principio del Modelo Interno”, para una referencia r(t)=2sen(2t), para una perturbación d(t)= 2exp(-t) y debido al ruido de medición limite los polos del lazo cerrado a la región del lado izquierdo del plano complejo menor o igual a -2 .
1072 ++=
ss10Go(s) 30 Pts
2.- Usando el concepto de parametrización de un controlador, diseñe uno para el modelo nominal de una planta, Go(s), que cumpla: Los polos del lazo cerrado estén a la izquierda de -1 en el plano complejo. El ruido de medición limita la banda del lazo cerrado a w = 10[rad/s]. Eliminar en la salida el efecto de la perturbación de entrada d(t) = 2exp(-2t).
)1)(s-(s)(sGo(s)2
3+
−= 30 Pts
3.- Dado el siguiente modelo en el espacio de estado de un proceso lineal. Determinar:a) ¿Es completamente controlable?b) ¿Es completamente observable?c) Matriz K para tener un sistema realimentado asintóticamente estable.d) Su representación como función de transferencia.
[ ] [ ]0111100
=−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= D;C;B;
01-11-1-0102-
A
40 Pts
AS/2005
Pauta Certamen 3 Control Automático 1Primer Semestre 2005
Problema 1:
Rg(s) = 22 22+sk =
)2( 22 +sN g
Dg(s) = 1
2+s
=)1()(
+ssN r
Por lo tanto, )2()( 22 +=Γ ssr polinomio generador referencia.)1()( +=Γ ssd polinomio generador perturbación.
Así, L(s) = )()()( sLss gr ΓΓ q = 3 10ptos.
Luego, el grado de Acl(s) debe ser 2n-1+q = 6 para forzar polos en ± 2 j ; -1. Por simplicidad se pueden cancelar los polos de la planta, resultando el siguiente controlador:
C(s) = ))(1)(2(
))(107()()(
2201
22
2
αβββ
+++++++
=sssssss
sLsP
El polinomio de lazo cerrado se escoge como:
Acl(s) = (s2+7s+10)(s+2)2(s+4)2 para que los polos estén en la región -2 [rad/seg].
10ptos
La ecuación de diseño queda:
(s2+7s+10)(s2+22)(s+1)(s+á)+(s2+7s+10)( â2 s2 + â1 s + â0 )10 = (s2+7s+10)(s+2)2(s+4)2
Desarrollo y cálculo de variables â2 ,â1, â0 y á 10ptos
Problema 2:
El polo que está en s = -2 está en la zona, se mantiene.
Dg(s) = )()(ssN
d
g
Γ=
)2()(
+ssN g .
Determinación de FQ(s):
To(s) = Q(s)Go(s)Usando Q(s) = FQ(s) [Go
i(s)]-1 donde Goi(s) = (s-1)(s+2).
Por lo tanto, el grado relativo de FQ(s) = 2 para que Q(s) sea bipropio.
Usando FQ(s) =[ ]
)10)(10014(11000
21
++++sss
sβ para conseguir la banda deseada (ùo=10 ;î=0.7)
10ptos
Se deja â1 para ajustarlo cuando se tenga que eliminar la perturbación, que tiene un polinomio generador de grado 1. Se escoge FQ(0) = 1 para asegurar inversión exacta en w=0.
5ptosEliminar Perturbación:
Sio(s) = So(s)Go(s). Se necesita eliminar Ãd(s). Luego, So(-2)= 0 � To(-2) = FQ(-2) = 1.Usando esta condición, tenemos:
FQ(-2) = 1 = [ ]
)102)(100284(1)2(1000 1
+−+−+−β
. Por lo tanto, â1= 196/1000
10ptos
Determinación de C(s):
C(s) = )()(1
)(sGsQ
sQ
o−Q(s) = FQ(s)Go
i(s)
FQ(s) = )10)(10014(
)1000196(2 +++
+sss
s Goi(s) = (s-1)(s+2)
Por lo tanto, C(s) = )3)(1000196()10)(10014(
)2)(1)(1000196(2 −+−+++
+−+sssss
sss
5ptos
Problema 3:
a) [ ]BAABBC2=Γ =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
201110210
det ÃC = -1 El sistema es completamente controlable. 10ptos
b)⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Γ
548223
111
2CACAC
O
det ÃO = -1 El sistema es completamente observable. 10ptos
c) Acl = det [SI – Ao + BoK] = det [ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−+
210
100
11110102
kkks
ss
= det ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
−+
210
000000
11110102
kkkss
s = det
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−+
−+
210 11110102
kskks
s
Acl = s3+(3+k2)s2+(3k2-k1+k0)s+(2k2-2k1+k0-3) 10ptos
Hacer Routh y obtener condiciones para k0, k1 y k2 .
CERTAMEN No3 CONTROL AUTOMATICO I Tiempo 100 minutos
1.- Obtener un controlador que satisfaga el “Principio del Modelo Interno”. Considerar una perturbación de entrada dg(t)=sen(t) y una referencia r(t)=2+f(t), donde f(t) tiene una banda de frecuencia entre [0;2]rad/s. Se desea compensar la perturbación y que la planta siga lo más cerca posible la referencia. El modelo nominal de la planta es:
343Go(s) 2 ++
=ss 30 Pts
2.- Parametrizar todos los controladores para el modelo nominal, que cumplan con:
a) El ruido de medición limita la banda del lazo cerrado a w=7 rad/s. b) Eliminar en la salida el efecto de la perturbación de entrada dg(t)=2+exp(-2t). c) Seguimiento a la referencia r(t)=2u(t).
)52)(s-(s)10(sGo(s)
++= 30 Pts
3.- Determinar la ley de control con realimentación del estado para tener una planta asintóticamente estable. El modelo nominal es:
33s)1ssGo(s) 23
2
−+−+=s 40 Pts
AS/2006
Pauta Certamen 3 Control Automático I Primer Semestre 2006.
Problema 1. “Principio de Modelo Interno”
343)( 2 ++
=ss
sGo ; Perturbación de entrada dg(t)=sen(t); referencia r(t)=2+f(t). n=2
La función f(t) se encuentra entre [0,2] rad/seg � Por lo tanto, el ancho de banda del lazo > 2 para seguir la referencia. 1º Polinomios generadores y ecuación Acl (15 ptos). Dg(s) = Ng(s) / (s2 + 1) � �g(s) = s2 + 1. R(s) = 2 / s � �r(s) = s. Por lo tanto, q=3 y grado Acl=2n-1+q = 6 Grado Acl = Grado Ao(s)L(s) = 2 + grado L(s) =6. Por ende, grado L(s) = 4. L(s) = �g(s) �r(s) )(sL = s(s2 + 1) )(sL . Por lo tanto, )(sL = (s+lo). Para controlador bipropio, se elige P(s) = (p2s2 + p1s + po)(p4s + p3)(s+3). El factor (s+3) se pone para simplificarlo con el factor de Ao(s)=(s+1)(s+3). Ecuación: Ao(s)L(s) + Bo(s)P(s) = Acl = (s+2)2(s+3)2(s+4)2 (respetan BW del lazo) (s+1)(s+3)s(s2 + 1)(s+lo) + 3(p2s2 + p1s + po)(p4s + p3)(s+3) = (s+2)2(s+3)2(s+4)2 Luego de simplificar el factor (s+3): (s+1)s(s2 + 1)(s+lo) + 3(p2s2 + p1s + po)(p4s + p3) = (s+2)2(s+3)(s+4)2
2º Aplicar condición para Acl con banda adecuada (5 ptos): (s+2)2(s+3)2(s+4)2 3º Obtener controlador. (10 ptos)
C(s) = P(s) / L(s) = ))(1(
3))(sp s)(pp sp s(p2
34o12
2
olsss ++++++
|To|
BW>2
Problema 2. “Controlador universal”
)()(
)5)(2()10()(
sAosBo
ssssGo =
+−+= ; n=2. Ruido presente desde 7 [rad/seg] � BW lazo < 7
dg(t) = 2 + exp(-2t); r(t) = 2 * u(t). 1º Polinomios generadores (o asignar polos) y ecuación Acl (15 ptos). Dg(s) = 2/s + 1/(s+2) = Ng(s) / s(s+2) � �g(s) = s(s+2) R(s) = Nr(s) / s � �r(s) = s (como ya está presente en el �g(s) no se repite) Por lo tanto, q=2 y grado Acl = 2n-1+q = 5. Grado Acl = Grado Ao(s)L(s) = 2 + grado L(s) =5. Por ende, grado L(s) = 3. L(s) = �g(s) �r(s) )(sL = s(s+2) )(sL . Por lo tanto, )(sL = (s+lo). Para controlador bipropio, se elige P(s) = (p2s2 + p1s + po)(s+5). El factor (s+5) se pone para simplificarlo con el factor de Ao(s)=(s-2)(s+5). Asignando polos: Condiciones = 2 (dadas por w=0 y w=2). Grado Acl= 2n-1+condiciones = 5 Grado Acl = Grado Ao(s)L(s) = 2 + grado L(s) =5. Por ende, grado L(s) = 3. L(s) = s(s+2) )(sL para eliminar perturbación de entrada en frecuencia 0 y 2. Por lo tanto, )(sL = (s+lo). Para controlador bipropio, se elige P(s) = (p2s2 + p1s + po)(s+5). El factor (s+5) se pone para simplificarlo con el factor de Ao(s)=(s-2)(s+5). Ecuación: Ao(s)L(s) + Bo(s)P(s) = E(s)F(s) (s-2)(s+5)s(s+2)(s+lo) + (s+10)(p2s2 + p1s + po)(s+5) = (s+5) )()( sFsE Luego de simplificar el factor (s+5): (s-2)s(s+2)(s+lo) + (s+10)(p2s2 + p1s + po) = )()( sFsE
)(sE de grado 2: (s+7)2 ; F(s) de grado 2: (s+6)2 (cumplen con BW del lazo) (s-2)s(s+2)(s+lo) + (s+10)(p2s2 + p1s + po) = (s+6)2(s+7)2 Con todos estos elementos, se configura C(s) eligiendo Q(s) propia a gusto. 2º Aplicar condición para Acl con banda adecuada (5 ptos): (s+6)2(s+7)2 3º Obtener controlador. (10 ptos) Con todos estos elementos, se configura C(s) según fórmula, eligiendo Q(s) propia a gusto.
Problema 3. “Ley de Control con realimentación del estado”
331)( 23
2
−+−+=sssssGo .
1º Modelo en variables de estado (15 ptos). Go(s) = Y(s) / U(s) = [Y(s) / V(s)] * [V(s) / U(s)] Y(s) / V(s) = s2 + s – 1 � s2V(s) + sV(s) – V(s) = Y(s) V(s) / U(s) = 1 / (s3 + 3s2 -3) � U(s) = s3V(s) + 3s2V(s) – 3V(s) Sea:
)(12
)(1
)(
23
2
1
sVsx
ssVx
sVx
xx
x===
==
=
•••
•
� 133
123
33)(
)(
xxxsU
xxxsY
−+=
−+=• �
313
321
33)(
)(
xxsUx
xxxsY
−+=
++−=•
Sistema:
CXYBUAXX
=+=
•
con [ ]111,100
,303
100010
,,
3
2
1
3
2
1
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=•
•
•
•
CBAxxx
X
x
x
x
X .
2º Completamente Controlable (10 ptos).
det [B AB A2B] = det 01931310
100≠−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−− por lo tanto C.C.
3º Matriz K (15 ptos). Acl = det [sI – A +BK] con K = [k0 k1 k2].
Acl = det 83)8()10(93131010
120223
210
−−−++−+=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−−
−kkkskss
kskks
s
Routh:
830
08310081
10
112
220
3
−−
−−−−+
kss
kkskks
α y
10)83()8)(10(
2
1202
−−−−−+−
=k
kkkkα
Entonces, para que no existan cambios de signo de la primera columna: k2 – 10 > 0, es decir, k2 >10. -3k1 – 8 > 0, es decir, k1 < -8/3 � > 0. Como k2 – 10 > 0 debe cumplirse, entonces (k2 – 10)(8+k0-k2) – (-3k1 – 8) > 0 (k2 – 10)(8+k0-k2) > (-3k1 – 8) > 0 entonces (k2 – 10)(8+k0-k2) >0 y como k2 – 10 > 0 entonces (8+k0-k2) >0 k0 > k2 – 8 //resto 2 a ambos lados k0 -2 > k2 – 10 > 0 entonces k0 -2 > 0 por lo tanto k0 > 2
Ejercicios Propuestos.
/GCM & RHD 2010
Guía Nº1 de Control Automático I. Ejercicios para Certamen 1.
1. Expresar en forma de Bode, calcular la ganancia y dibujar el diagrama de
Bode (magnitud y fase) de:
a) sss 6233
7
1010*310
++
b) ( )( )( )( )7
8
10*22001002010*3+++
+−sssss
c)
2. Linealice el sistema:
2212
2121
xaxx
xxaxx
+−=
−=•
•
para a�0
En torno a todos los puntos de equilibrio posibles. 3. Un diagrama de Bode tiene las asíntotas:
( ) :wH 0 � � < 10 [rad/seg] 20log(� /10) [dB] 10 � � < [rad/seg] 0 [dB]
( )wH∠ 0 � � < 1 [rad/seg] 90º 1 � � < 10 [rad/seg] 270º 10 � � < [rad/seg] 180º Dibujar Bode y determinar la forma de Bode de H(�). 4. Un levitador magnético se describe con las siguientes ecuaciones no lineales:
)(1
)()(
)( 2221 txk
txti
ktF e +=
Fmgdttxdm −=2
2 )(
)(*)()( tiRtuk
dttdiL eaa
e −+−= δ
mmx txktv δ−= )()(
Donde las variables son F(t), ie(t), x(t), vx(t) y las demás son constantes. Linealice las ecuaciones, aplique Laplace y obtenga Ki, Kx, Kf, Ke, �e y Km del diagrama de bloques en el punto de operación.
Represente en variables de estado el sistema (matrices)
)()()()()(
tCxtytButAxtx
=+=
•
Considere el vector de estados x(t) = T
e txtxti ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ΔΔΔ•
)()()( con entrada u(t) = U(t)
y salida y(t) = vx(t). 5. Resuelva la ecuación diferencial (Laplace)
uuyyy +=++••••
65 si u(t) = )(4 te tμ− con y(0-) = 2 ; 1)0( =−•y
6. Obtener Y(s) / U(s) de:
7. Un sistema lineal e invariante en el tiempo tiene una respuesta a )(tδ de la
forma: h(t) = e-2tμ(t). Determine la respuesta a una entrada u(t) = e-tμ(t) con C.I = 0.
8. Linealice el siguiente sistema:
9. Linealice la curva de operación en el punto de operación i:
10. Obtener el diagrama de bloque del siguiente sistema:
11. Reducir el siguiente diagrama de bloque.
12. Modelado: Obtener las ecuaciones del proceso para válvulas lineales y no
lineales.
13. Obtenga una aproximación lineal para P en la ecuación de estado PV = WRT. Las condiciones de referencia son:
[ ][ ]
[ ][ ][ ]K
mKgR
m
mKgf
TWVP
i
i
i
i
0
3
2
1000
*/10
100
/100
=
=
=
=
Además determine el error, usando esta aproximación de P, para :
[ ][ ][ ]
[ ]KmKgR
m
TWV
0
3
1200
*/10
110
=
=
=
14. Dado el siguiente sistema de ecuaciones que representa un sistema lineal.
Definiendo el vector de estado como [ ]Ttztltqtx )()()()(•
= . Determine su
representación matricial en la forma: )()()( tButAxtx +=•
, )()( tCxty = .
)(2)()(
0)()()(
)()()(
)(2)(3)()(
2
1
tqtzty
tltztq
ttztq
ttltztq
uu
−=
=−+
=+−
=+−
•
••
••
••
15. Dado el siguiente sistema de ecuaciones que representa un sistema no lineal. Determine en el plano de la Laplace la relación entre y U1(s)W(s) considerando
02 =Δu . En el punto de operación dado por: 11uy 11,w === θ
)(2)(2)()(.
2)(122/1)(32)()()(.
tuttwt
tutwttwtw
=+−+
=−−
θθ
θ
Guía para Certamen 2 Control Automático 1
1. Se tiene una planta Go(s) = ( )23
1+
+−ss cuya referencia = K + sen(2t). Encontrar una
función To(s) adecuada.
2. Considere un lazo tal que Go(s)C(s) = )1()3(
−+sssK ¿K para estabilidad?
3. Suponga que para cierto lazo estable en lazo abierto se tiene el siguiente diagrama
polar de la función de transferencia en lazo abierto.
a) Determinar si el lazo cerrado es estable b) Mg y Mf c) Ver qué pasa con estabilidad del lazo en los siguientes casos:
i) Se agrega ganancia K=2. ii) Se agrega retardo de 1 [seg]. iii) Se agrega integración.
4. Considere la planta Go(s) = 2
1+s
.
a) Use un controlador PI, para lograr un lazo con BW � 3 b) Analice la posibilidad de hacer el lazo tan rápido como se desee. ¿Esto es
conveniente?
5. Suponga Go= 2)2(2
++−
ss y se debe ajustar un PID usando el método de Z-N
(oscilaciones). Desarrolle.
6. Considere la planta Go(s) = 2)3(1
+s. Obtenga un controlador PI tal que Mf � � /4 y
Mg � 10 [dB]. 7. Considere un lazo de control realimentado de una planta cuyo modelo nominal es
Go(s) = 2)1(1+s
. Asuma que el controlador C(s) es tal que la sensitividad
complementaria To(s) = 2)2(4
+s.
a) Demuestre que el lazo de control es internamente estable. b) Escriba la función de transferencia de C(s). c) Si la referencia es un escalón unitario, escriba la actuación u(t).
8. Considere una planta con modelo nominal Go(s). Asuma un grado de libertad del
lazo de control con controlador C(s), donde Go(s) = )2)(1(
1++ ss
y C(s) = sbas + .
a) Encuentre las condiciones para a y b bajo las cuales el lazo de realimentación nominal es estable.
9. La misma planta nominal del Problema 8 tiene que ser controlada para alcanzar error
a estado estacionario igual a cero para perturbaciones de tipo escalón y llevando a un lazo cerrado dominado por tres polos en s = -1.
Encuentre un controlador C(s) que satisfaga estos requerimientos.
10. El control a lazo cerrado tiene que ser sintetizado para un modelo de planta nominal
Go(s) = )4)(1(
4++
+−ss
s , para lograr las siguientes metas:
a) Error estacionario igual a cero para una entrada (referencia) constante.
b) Error estacionario igual a cero para una perturbación sinusoidal de frecuencia=0.25[rad/seg]. c) Un controlador C(s) con función de transferencia bipropia. Use el método de localización de polos para obtener el C(s) pedido.
Guía para Certamen 3 Control Automático 1- Primer Semestre 2005.
1. Una planta tiene el siguiente modelo nominal:
( )( )105152++
+−=ss
sGo
Encuentre Q(s) de tal forma que se obtenga error estacionario cero para una referencia constante. 2. Para la misma planta del problema 1, encuentre Q(s) tal que la función de sensibilidad complementaria tenga polos dominantes, localizados en �2 ± j1,5. 3. Dada una planta como modelo nominal Go(s) = (s+1)�2, caracterice un tipo de controlador que provea error estacionario cero para referencia sinusoidal de frecuencia 0,5[rad/s]. 4. Diseñe lazo de control para una planta cuyo modelo nominal es Go=(s+2)-1 considerando que el ruido es importante para frecuencias mayores a 2 [rad/seg] y la referencia es igual a K + sen3t. (Nota: usar H) 5. Se dan los siguientes datos:
10101+
=s
Go 1,0
2,02+
=−
seGos
Ref=K di=K3+sen(2t) dm 0
Do=K2. Se desea evitar actuaciones muy grandes. (Usar Gff).
Diseñe el lazo apropiado. (Nota: Ocupar Smith para el retardo). 6. Diseñar control en cascada para:
551+
=s
Go ( )( )215,02
+++−=ss
sGo Ref=K di=K2+sen(3t)
dm1 importante para w>1 dm2 despreciable.
Considerar di no medible. (no ocupar Gff).
7. Dado el siguiente modelo nominal, determinar su representación en el espacio de estado.
63131253)( 1234
123
++++
−+−=
ssssssssGo
8. Considerando el planteo del problema 7 determinar si es:
a) Completamente controlable b) Completamente observable c) La matriz de ganancia K para que el sistema en lazo cerrado sea
Asintóticamente Estable.
9. Dado el siguiente modelo en el espacio de estado de un proceso. Determinar: a) Es C. C. b) Es C. O. c) Matriz K para tener un sistema realimentado A. E. d) Su representación como una función de transferencia.
[ ] [ ]0 ; 211 ; 100
; 301121
101=−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−= DCBA
�
�
�
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Primavera 2010; Temuco- Chile .
GCM & RHD 2010