Post on 27-Nov-2014
description
Diseño con covariables
Marcelo Rodríguez G.Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística
Universidad Católica del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Ingeniería en Agronomía
Diseño Experimental
22 de mayo de 2011
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 1 / 20
Análisis de Covarianza
De�nición (Análisis de Covarianza)
Este procedimiento es la combinación de las técnicas de análisis deregresión y el análisis de varianza. Consiste en estudiar los efectos de unfactor (variable cualitativa) y una covariable (variable cuantitativa), sobrela variable dependiente.
(El modelo matemático unifactorial con una covariable)
yij = µ+ τi + β(xij − x) + eij .
i = 1, . . . , t y j = 1, . . . , r
τi : Efecto producido por el tratamiento i-ésimo.
β : Pendiente de la recta de regresión.
xij : Valor de la covariable, correspondiente a yij .
x : Media de la covariable.
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 2 / 20
Arreglo de los datos y sumatorias
Tratamiento
1 2 ... t
x y x y . . . x y
x11 y11 x21 y21 . . . xt1 yt1x12 y12 x22 y22 . . . xt2 yt2...
......
......
......
x1r y1r x2r y2r . . . xtr ytr
x1� y1� x2� y2� . . . x t� y t�
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 3 / 20
Arreglo de los datos y sumatorias
Txx =t∑
i=1
r∑j=1
x2ij − nx2 Tyy =t∑
i=1
r∑j=1
y2ij − ny2 Txy =t∑
i=1
r∑j=1
xijyij − nxy
Axx =t∑
i=1
r∑j=1
x2i � − nx2 Ayy =t∑
i=1
r∑j=1
y2i � − ny2 Axy =t∑
i=1
r∑j=1
x i �y i � − nxy
Sixx =r∑
j=1
x2ij − rx2i � Siyy =r∑
j=1
y2ij − ry2i � Sixy =r∑
j=1
xijyij − rx i �y i �
Exx =t∑
i=1
Sixx Eyy =t∑
i=1
Siyy Exy =t∑
i=1
Sixy
Txx = Axx + Exx Tyy = Ayy + Eyy Txy = Axy + Exy
Tyy (aj) = Tyy −T 2
xy
TxxEyy (aj) = Eyy −
E 2xy
ExxAyy (aj) = Tyy (aj)− Eyy (aj)
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 4 / 20
Ejemplo
Para este estudio se uti-lizaron tres nutrientes; i) sinagregar fertilizante, ii) confertilizante completo y iii)con nitrógeno.
Nutrientes
Sin fertilizante Con fertilizante Con nitrógeno
x y x y x y
13 23 7 30 10 26
12 21 5 32 9 27
7 28 6 32 6 28
9 25 7 31 6 28
8 25 9 28 5 31
x1� = 9, 8 y1� = 24, 4 x2� = 6, 8 y2� = 30, 6 x3� = 7, 2 y3� = 28, 0
Los tratamientos de nutrientes se agregaron como soluciones al suelo,mezclado y colocado en macetas de plástico en el invernadero. Secultivaron las plantas en las macetas durante siete semanas, momento enque las plantas se cosecharon, secaron y pesaron. Una plaga de hoja afectóel crecimiento de las plantas a medio experimento. Se supuso que la plagaafectaría el crecimiento y al �nal del experimento se midió el porcentaje delárea de la hoja afectada. El peso (en gramos) total en seco de las plantas(x) y el porcentaje del área de la hoja afectada con la plaga (y) semuestran en la tabla.
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 5 / 20
Regresión lineal simple
(Ecuación de regresión lineal para cada tratamiento.)
yi = β0i + β1ixi ,
Intercepto (β0i ): punto en el que la recta corta al eje yi , cuandoxi = 0.
Pendiente (β1i ): magnitud de incremento (o decremento) de yi porcada unidad de incremento en xi .
(Estimaciones de la pendiente e intercepto)
β1i =Sixy
Sixx
; β0i = y i � − β1i · x i �
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 6 / 20
Prueba de hipótesis
(Tabla de ANOVA)
Modelo Suma de Grados de Media F
cuadrados libertad cuadrática
Regresión SCR =E 2
xy
Exx1 MCR=SCR Fr =
MCR
MCE
Tratamiento (aj) SCTR= Ayy (aj) t − 1 MCTR=SCTR/(t-1) Ft =MCTR
MCEError (aj) SCE = Eyy (aj) n − t − 1 MCE=SCE/(n-t-1)Total SCT = Tyy n − 1
(Hipótesis)
H0 : β11 = β12 = · · · = β1t = 0 v/s H1 : β1i 6= 0, para algún i
(Reglas para el rechazo de H0)
Fijar α y Rechace H0 si Fr > F1−α(1, n − t − 1)
Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P(F > Fr ).
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 7 / 20
Prueba de hipótesis
(Hipótesis)
H0 : µ1 = µ2 = · · · = µt v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j
(Reglas para el rechazo de H0)
Fijar α y Rechace H0 si Ft > F1−α(t − 1, n − t − 1)
Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P(F > Ft).
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 8 / 20
Ejemplo
Encuentre las sumatorias planteadas anteriormente.Encuentre las ecuaciones de regresión, para cada tratamiento.Pruebe la hipótesis de que el peso está relacionado con el porcentajede daño.pruebe la hipótesis de que existe un efecto atribuible a los nutrientes.
Solución:x = 7,93y = 27,67
Txx =3∑
i=1
5∑j=1
x2ij − n · x2 = 132 + 122 + ...+ 52 − 15 · 7, 932 = 80, 93
Tyy =3∑
i=1
5∑j=1
y2ij − n · y2 = 232 + 212 + ...+ 312 − 15 · 27, 672 = 149, 3
Txy =3∑
i=1
5∑j=1
xijyij − nxy = 13 · 23+ 12 · 21+ ...+ 5 · 31− 15 · 7, 93 · 27, 67 = −95, 3
S1xx =5∑
j=1
x21j − 5x21� = 132 + 122 + ...+ 82 − 5 · 9, 802 = 26, 8
S1yy =5∑
j=1
y21j − 5y21� = 232 + 212 + ...+ 252 − 5 · 24, 42 = 27, 2
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 9 / 20
Ejemplo
S1xy =5∑
j=1
x1jy1j − 5x1�y1� = 13 · 23+ ...+ 8 · 25− 5 · 9, 8 · 24, 4 = −23, 6
S2xx = 8,8S2yy = 11,2S2xy = -9,4S3xx = 18,8S3yy = 14,0S3xy = -14,0
Exx =3∑
i=1
Sixx = 26, 8+ 8, 8+ 18, 8 = 54, 4
Eyy =3∑
i=1
Siyy = 27, 2+ 11, 2+ 14, 0 = 52, 4
Exy =3∑
i=1
Sixy = −23, 6− 9, 4− 14, 0 = −47, 0
Axx = 80, 93− 54, 4 = 26, 53Ayy = 149, 3− 52, 4 = 96, 93Axy = −95, 3− (−47, 0) = −48, 3
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 10 / 20
Ejemplo
Tyy (aj) = Tyy −T 2
xy
Txx= 37, 038
Eyy (aj) = Eyy −E 2
xy
Exx= 11, 793
Ayy (aj) = Tyy (aj)− Eyy (aj) = 25, 245
Las ecuaciones de regresión para cada tratamiento serían:
y1 = 33, 030− 0, 881 · x1
y2 = 37, 864− 1, 068 · x2
y3 = 33, 362− 0, 745 · x3
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 11 / 20
Ejemplo
Modelo Suma de Grados de Media F
cuadrados libertad cuadrática
Regresión 40,607 1 40,607 Fr= 37,875Tratamiento (aj) 25,245 2 12,622 Ft= 11,773
Error (aj) 11,793 11 1,072Total 149,333 14
(Hipótesis)
H0 : β11 = β12 = β13 = 0 v/s H1 : β1i 6= 0, para algún i
Se rechaza H0, pues Fr = 37, 875 > F0,95(1; 11) = 4, 84. Es decir, existeuna relación entre el peso y el daño.
(Hipótesis)
H0 : µ1 = µ2 = µ3 v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j
Se rechaza H0, pues Ft = 11, 773 > F0,95(2; 11) = 3, 98. Es decir, el efectode los nutrientes no es el mismo.
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 12 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
(Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS)
En SPSS, Analizar -> Modelo lineal general -> Univariante.
1 Seleccionar la variable dependiente y trasladarla al cuadro Variable
dependiente.
2 Seleccionar tanto las variables-factores y trasladarlas a la listaFactores �jos.
3 Seleccionar la covariable y trasladarla al cuadro Covariables
4 Luego, Aceptar.
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 13 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 14 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 15 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 16 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
Este parte no es necesaria, pero la utilizaremos para mostrar el dañopromedio por tratamiento y la veri�cación de la homogeneidad.
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 17 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 18 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 19 / 20
Ejemplo de un Diseño con Covarianza en SPSS
Grá�cos -> Cuadros de diálogos antiguos-> Dispersión/Puntos.1 Seleccionar Dispersión simple, luego De�nir.2 Seleccionar la variable dependiente (Eje Y), y la covariable (Eje X).3 La variable Factor (tratamientos) trasládelo a Establecer marcas por.4 Luego, Aceptar.
Peso
141210864
Dañ
o
32
30
28
26
24
22
20
Con nitrógenoCon fertilizanteSin fertilizanteCon nitrógenoCon fertilizanteSin fertilizante
Nutrientes
Sin fertilizante: R2 Lineal = 0,764
Con fertilizante: R2 Lineal = 0,897
Con nitrógeno: R2 Lineal = 0,745
Página 1
Este grá�co, permite visualizar la relación entre el daño y peso. Además sedetecta la diferencia entre los tres tratamientos.
mrodriguez@ucm.cl (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 20 / 20