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a. MATEMATICA BASICA
- Conjuntos
1. CONCEPTO Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios, que tienen una o mas características comunes, estos objetos
reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de manera que un conjunto esta bien definido si es posible conocer todos sus
elementos.
2. NOTACION Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por
signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm:
si,la,sol,f a,mi,re,doA
Chile....,Argentina,Boliv ia,Perú,EcuadorP uoieaB ,,,,
Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n):
Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto considerado. Ejm:
3An17;12;8A
4Bn17;11;11;11;11;6;6;6;9;9B
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Los conjuntos se representan gráficamente por figuras geométricas cerradas, llamados Diagramas de Venn – Euler, que contienen los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
Se lee conjunto A formado por las vocales.
Se lee conjunto B formado por los 10 primeros números naturales.
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:
a) Por Extensión o Forma Tabular:
Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del conjunto.
A B
*a
*e
*i
*o *u
*1 *2 *3
*4
*5 *6
*7
*8 *9 *10
Ejemplo:
u;o;i;e;aV
5;4;3;2;1P
* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él.
5,17,3,1017,10,5,3D
b) Por comprensión o Forma Constructiva:
Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto.
Ejemplo:
vocalunaesx/xA
Se lee: x tal que x es una vocal
6xx/xB
Se lee: x tal que x pertenece a los números naturales menores que 6
5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Relación de Pertenencia ()
Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia vincula cada
elemento con el conjunto.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
“Pertenece a”
“No Pertenece a”
* s es un elemento del conjunto E
s pertenece a E s E
* t es un elemento del conjunto A
t pertenece a A t A
* o no es elemento del conjunto E
o no pertenece a E o E
* m no es elemento del conjunto A m no pertenece a A m A
E
*g
*s
*i
*m *a
*t
*a *i
*o
A
b) Relación de Inclusión ( ):
Se dice que A está incluido en el conjunto B (A B), cuando todo elemento de A pertenece a B. Gráficamente:
Ejemplo:
Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
B = {1; 2; 3}
Se observa :
B A: Conjunto B incluido en conjunto A.
c) Igualdad de Conjuntos:
Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos elementos.
Ejemplo:
Si: A = {1,3,5,7,9} y
B = {x/x N x impar <10}
A = B
6. CLASES DE CONJUNTO
a) Conjunto Vacío
Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama conjunto nulo.
Notación: o { }.
Ejemplo:
B = {x/x N 5<x<6} B = { } y n(B) = 0
b) Conjunto Unitario
Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama conjunto Singlentón
Ejemplo:
A = {x/x N 8 x 10}
B = {satélites de la tierra}
c) Conjunto Finito
Es cuando se pueden enumerar o contar sus elementos en su totalidad.
A B A B
.1 .2
.3 .4
.5 .6
.7
Ejemplo:
A = {x/x N x 99}
B = {los países de América del Sur}
d) Conjunto Infinito
Es cuando sus elementos no se pueden determinar en su totalidad.
Ejemplo:
A = {x/x N x 5}
B = {las estrellas del universo}
e) Conjunto Universal
Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, teniendo una referencia se representa por el símbolo U.
f) Conjunto Potencia
Esta formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por “P”.
Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A.
A = {a, b, c}
P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};}
Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2n, de donde “n” es el número de elementos del conjunto.
Número de subconjuntos = 2n = 2
3 = 8
7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
a) Unión o Reunión ()
Dado los conjuntos A y B se llama conjunto unión al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B o en ambos.
Notación: A B.
S
SSe lee: “A unión B”
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = 2; 4, 7, 9
B = 1, 7, 4, 12, 18
A B = x / x A x B
El conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18
b) Intersección ()
Dados los conjuntos A y B se llaman conjunto intersección, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir
que sean comunes a ambos conjuntos.
Notación: A B
A B = {x/x A x B}
Se lee: “A intersección B”
Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 9, 12}
B = {3, 6, 9, 4, 20, 23}
Conjunto A B = {4, 6, 9}
c) Diferencia ( – )
Dados los conjuntos A y B se llama conjunto diferencia (A – B) al conjunto formado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no a B.
Notación: A – B
A – B = {x/x A x B}
Se lee: “A diferencia B”
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {23, 19, 26, 25, 30}
B = {1,9,26,23,20,18}
El conjunto A – B = {19, 25, 30}
* Observación: A – B B – A
d) Diferencia Simétrica ( )
Dado los conjuntos A y B , se llama conjunto diferencia simétrica a aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al
conjunto (A B) pero no al conjunto (A B).
Notación: A B
A B = {x/x (A B ) (A B)}
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {2, 13, 19, 28, 30}
B = {1,13, 19, 20, 29, 32}
El conjunto:
A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32}
Complemento de un Conjunto (A’ )
Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. El complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de
elementos de U que no pertenece a A.
Notación: A` Se lee: el complemento de A.
A’ = {x/x U x A}
Ejemplo:
A = {4, 8, 10}
U = {x/x N 2 < x < 12}
El conjunto: A’ = {3,5,6,7,9,11}
PROBLEMAS
1. Si: A = {5, {2}, 9}; señale la
expresión falsa
a) {a} A b) {12} A
c) 9 A d) {5 ,9} A
e) {5, {2}} A
2. De las siguientes. notaciones
determinar cuál de ellas es falsa:
a) {2, 5, 3} = {3, 5, 2}
b) {4} {{14}, 5}
c) {3} {2, 3, 4}
d) {3, {4} 2}
e) {3. {4}, 2}
3. Si U ={x/x z 0 x < 10}
(A ∪ B)' = {0, 6, 9} ;
A ∩ B = {1, 2, 7}
A – B = {3, 5}
¿Cuál es la suma de los elementos
de B – A?
Rpta. 12
5. En una entrevista realizada en
el aeropuerto se determinó
que 49 viajaban al Cuzco, 43 a
Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo
a Tacna y 21 sólo a Arequipa.
Si 16 viajan a Tacna y
Arequipa y 5 de ellos viajaban
también al Cuzco, determinar
cuántas personas viajaban sólo
al Cuzco.
Rpta. 34
6. Se selecciona al azar a 43
alumnos de la Academia. Luego
se observa que:
- Son 5 las mujeres que
estudian aritmética
- El número de hombres es
28
- El número es el doble que
no estudian aritmética es
el doble del número de
mujeres que no estudian
4. Dado A ={; {}} . ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es falsa?
a) A b) A
c) {} A d) {{}} A
e) {{}} A
aritmética.
¿Cuántos hombres estudian
aritmética?
Rpta. 8
- Numeración
NÚMERO
Es un ente matemático sin definición, el cual nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. El número es solamente una idea.
NUMERAL
Es la representación gráfica, mediante signos o símbolos, de un número. Esto significa que un número se puede representar mediante numerales
Ejemplo:
4 = cuatro = tour = tawa = IIII
ORDEN DE UNA CIFRA
Es la posición de ésta ocupa dentro de un numeral. Dicha posición se considera, de derecha a izquierda.
Ejemplo:
6 2 3 8 7
1º Orden
2º Orden3º Orden4º Orden
5º Orden
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es aquel entero mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un cierto orden se necesita para formar una unidad del orden inmediato superior.
El sistema de numeración que usamos actualmente se llama decimal, y utiliza como base a 10.
En base 10:
10 unidades de 1º orden < > 1 unidad de 2º orden (decena).
10 unidades de 2º orden < > 1 unidad de 3º orden (centena). 10 unidades de 3º orden < > 1 unidad de 4º orden (u. de millar). 10 unidades de 4º orden < > 1 unidad de 4º orden (d. de millar).
En base 6:
6 unidades de 1º orden < > 1 unidad de 2º orden 6 unidades de 2º orden < > 1 unidad de 3º orden 6 unidades de 3º orden < > 1 unidad de 4º orden 6 unidades de 4º orden < > 1 unidad de 5º orden
¿Cómo se forman los números?
Base 10
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X
d u
2 3
Base 7:
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X
2º 1º
3 2 (7)
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. En el sistema de base “n” se pueden utilizar “n” cifras diferentes. Ejemplo:
En base 10: cifras: 0 , 1 , 2 , .......,9
En base 7 cifras: 0 , 1 , 2 , .......,6
En base n: cifras: 0 , 1 , 2 , .......,(n-1)
Observaciones:
- Toda cifra siempre es menor que la base - La cifra máxima es igual a uno menos que la base - Se llama cifra significativa a toda cifra diferente de cero.
2. Toda cifra dentro de un numeral tiene dos clases de valores: A. Valor Absoluto: Es que tiene por el símbolo que lo representa
B. Valor Relativo:
Es el que tiene por la posición que ocupa en el numeral.
REPRESENTACION LITERAL DE NUMERALES
De dos cifras ab = 10 , 11 , ..... , 99
De tres cifras abc = 100, 101, ...., 999
NUMERO CAPICÚA
Son aquellas cuyas cifras equidistantes son iguales
Ejemplo:
De dos cifras aa
De tres cifras aba
DESCOMPOSICION POLINÓMICA
La descomposición polinómica de un numeral es la suma de los valores relativos de sus cifras
Ejemplos:
210.4210.5310.33542
r10.m210.jjmr
d5.c25.b35.a)5(abcd
En bloques:
def310.abcabcdef
CAMBIO DE BASE
Caso I. De base 10 a base 10
Método: Por descomposición polinómica
Ejemplo:
2508)8(4714
484482048)8(4714
48.128.738.4)8(4714
Caso II. De base 10 a base 10
Método: Por divisiones Sucesivas
Ejemplo:
Convertir 124 a base 6
124 6
4 20 6
2 3
124 = 324(6)
Caso III. De base 10 a otra base 10
Método: Descomposición polinómica y divisiones Sucesivas
PROPIEDADES:
1. Si dos numerales son equivalentes, se cumple que a mayor valor aparente de un numeral, le corresponde menor base; y viceversa
Si: )y(mnp)x(abcd
Observación
Como aparentemente el primer numeral es mayor que el segundo, se cumple que:
abcd > mnp x< y
2. Se cumple que:
1kn
cifrask
)n()1n).....(1n)(1n(
PROBLEMAS
1. Expresar 2aaaa en base 10:
A) 16a B) 31a C) 15
D) 16 E) 30
2. Si: 1122(3) = abcdef (x)
Hallar: a + b + c + d + e + f + x
A) 3 B) 2 C) 5
D) 6 E) 4
3. Determinar: (a + b + c) en: abab 5 = bcb
A) 12 B) 13 C) 14
D) 18 E) 16
4. Hallar E = aab - 110a – b
A) a B) b C) 10a
D) 0 E) 1
5. Hallar “a”, si )8(75aa25
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
- Adición
Es una operación binaria, donde dados dos elementos A y B llamados sumandos, se le hace corresponder un tercer elemento S llamado suma.
A + B = S
- Sustracción
Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y S, se le hace corresponder un tercer elemento D.
M – S = D
Donde:
M : Minuendo
S : Sustraendo
D : Diferencia
Se cumple que : M + S + D = 2M
COMPLEMENTO ARITMETICO (C.A.)
Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden.
Sea N un número de “k” cifras, se cumple:
C.A. (N) = 10k – N
- Multiplicación
Es la operación binaria que hace corresponder a cada par ordenado de enteros cuyas componentes se denominan multiplicando y multiplicador
respectivamente, un tercer entero llamado producto.
Donde:
a: multiplicando
b: multiplicador
p: producto
- División
Es la operación binaria que hace corresponder a cada par ordenado de enteros cuyas componentes se denominan dividendo y divisor, un tercer número (no
necesariamente entero) llamado cociente.
Donde:
a: dividendo
b: dividendo
q: cociente
Pba
);(
Qba
);(
División Entera:
Es un caso particular de la división en la cual el dividendo, divisor y cociente son números enteros. Aquí aparece un cuarto término llamado residuo.
Cuando el residuo es igual a cero, la división es exacta, y si es mayor que cero, la división es inexacta, esta última puede ser por defecto o por exceso.
Clasificación:
1) División exacta
2) División inexacta a) Por defecto b) Por exceso
Propiedades de la división inexacta:
1.- r < d
2.- rd + re = d
3.- rmin = 1
4.- rmax = d -1
Teorema
Si al dividendo y al divisor de una división entera inexacta se les multiplica por un mismo entero positivo, y se vuelve a realizar la división, entonces el
cociente no se altera, y el residuo queda multiplicado por dicho positivo.
PROBLEMAS
1. Si: 3. cbabc = .... 262. Hallar “a”
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 9
2. El dividendo es 5 veces el divisor en una división exacta. Si la suma de sus términos es 185. el dividendo
es:
A) 150 B) 200 C) 180
D) 120 E) 140
3. Hallar el número )1( aa si si CA es )3)(5( bb
A) 43 B) 54 C) 65
D) 76 E) 87
4. Hallar: A + B + C + D si JCDDDABCD 7.
A) 20 B) 23 C) 15
D d 0 q
D = dq
D d rd q
D = dq + re
D d re q + 1
D = d (q + 1) - re
D) 16 E) 14
5. Hallar la suma de las cifras del producto:
P = 438 . CIFRAS40
99........9999
A) 360 B) 270 C) 180
D) 90 E) 450
- Divisibilidad
1. DEFINICIÓN:
Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta.
A B donde : K Z
0 K A = BK
Se lee :
A “es divisible por” B
B “es divisible de“ A
B “divide a“ A También :
A “es múltiplo de” B
B “es factor de” A
Notación : A =
B
2. OBSERVACIONES :
a) El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.
b) El cero no es divisor a la unidad de ningún número.
c) Todo número es divisor de la unidad.
d) Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros.
e) Un número negativo puede ser múltiple de otro positivo.
3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son condiciones que consiste en analizar las cifras de un número, para determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de
no serlo nos dará a conocer el residuo.
3.1 DIVISIBILIDAD POR 2
Cuando termina en cero o cifra.
N =
2abc c = cero o par.
3.2 DIVISIBILIDAD POR 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
N =
3abc a + b + c =
3
3.3 DIVISIBILIDAD POR 4 Cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
N =
4abcd
4oocd
3.4 DIVISIBILIDAD POR 5 Cuando la última cifra es cero o cinco.
N =
5abcd d = 0 v 5
3.5 DIVISIBILIDAD POR 6 Cuando es divisible por 2 y también por 3.
N =
6abcd
32
3.6 DIVISIBILIDAD POR 7
7 h g f e dc b a
3 1-2 -3-1 2 3 1
h + 3g + 2f – e – 3d – 2c + b + 3a =
7
3.7 DIVISIBILIDAD POR 8 Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo de 8.
N =
8abcd
8000bcd
3.8 DIVISIBILIDAD POR 9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
N =
9abcd a + b + c =
9
3.9 DIVISIBILIDAD POR 11 Cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par; es 0 o múltiplo de 11.
N =
11 f e dc b a
- + - + - +
PROBLEMAS RESUELTOS
1. En la siguiente sucesión cuantos números múltiplos de 5 existen.
2; 5; 7; 10; 12; 15; 25; . . . 50
Solución :
5; 10; 15; 20; 25; . . . 50
Factorizando 5
5(1; 2; 3; 4; 5; . . ; 10)
Existen 10 números.
2. Sea : A = {3436; 32a50 ; 3128 ; ab48 }
Cuantos múltiplos de 4 existen.
Solución :
3436 =
4
ab48 =
4 porque 48 =
4
3128 =
4 porque 28 =
4
32a50
4 porque 50
4
Existen 3 números
3. De los 100 primeros números naturales cuantos múltiplos de 7 existen.
Solución :
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; . .. ; 100
7 : 7; 14; 21; 28; 35; . . . 98
7k : 1; 2; 3; 4; 5 , . . . 14
Existen 14 números
4. Si : 1a2a3a4a =
11 ; halla “a”
Solución :
Se sabe que :
4a – (4 + 3 + 2 + 1) =
11
4a – 10 =
11
4a =
11 + 10
a =
11 + 8 a = 8
5. Cuántos números múltiplo de 4 existen en los 200 primeros números naturales.
Solución :
1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . 198; 199; 200
4 : 4; 8; 12; 16; 20; . . . 200
4k = 1; 2; 3; 4; 5; . . . 50
Existen 50 números.
6. Del siguiente conjunto :
A = 48a;25a;5ab;abc;0ab
Cuántos múltiplos de 5 existen.
Solución :
5 ab0 porque termina en 0.
5 abc
5 ab5 porque termina en 5
5 a25 porque termina en 5
5 a48
Existen 3 números
PROBLEMAS
1. Hallar “a”, si 486a = 0
11
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Hallar “a”, si 45a = 0
4
A) 0 B) 3 C) 5
D) 7 E) Hay 2 res puestas
3. ¿Cuántas cifras como mínimo debe tener el número 222........222 para ser0
99 ?
A) 6 B) 12 C) 18
D) 24 E) 9
4. Hallar “a” si 532 aa = 0
7 + 6
A) 2 B) 5 C) 4
D) 6 E) 6
5. Hallar ab si: 0
995322 ab
A) 42 B) 24 C) 32
D) 23 E) N. A
- Números primos
NUMERO PRIMO ABSOLUTO
Es aquel número que tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad. NUMERO COMPUESTO
Son aquellos números que tienen más de 2 divisores. Números Primos Entre sí (PESI) Llamados también primos relativos; se denomina así al conjunto de números que tienen como único divisor común, la Unidad. Regla para Determinar si un Número es Primo Absoluto Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del número Paso 2: Se divide el número entre todos los números primos menores e iguales que la raíz entera.
Paso 3: Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo absoluto.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Todo entero positivo mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes, esta
descomposición es única y se denomina “Descomposición Canónica”.
Expresar 540 en su descomposición Canónica
540 2
270 2
135 3
45 3 5.3.2540 32
15 3
5 5
1
Cantidad de Divisores de un Número Compuesto.
Sea el número compuesto N expresado en función de sus factores primos:
....c.b.aN
Siendo: a, b , c Números primos absolutos.
La cantidad de divisores de N estará dado por:
111CdN
Ejemplo:
Calcular el número de divisores de 540:
5.3.2540 32
Entonces:
242.4.3Cd
111312Cd
540
540
Suma de Divisores de un Número Compuesto
El número compuesto se descompone en sus factores primos:
....c.b.aN
Luego la suma de todos los divisores de N estará dado por la fórmula:
1c
1c.
1b
1b.
1a
1aSd
111
N
- Mínimo común divisor
El MCD de varios números naturales es otro natural que cumple dos condiciones:
1. Es divisor de los números dados 2. Es lo mayor posible
Propiedad:
Todos los divisores comunes de varios números son también divisores del MCD de ellos.
DETERMINACIÓN DEL MCD
Por Factorización Individual
Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman únicamente los factores comunes afectados de sus menores exponentes.
Por Factorización Simultánea
Se escriben los números en fila, luego se dividen simultáneamente del menor al mayor primo común a dichos números, hasta que los cocientes sean P.E.S.I.
Propiedades
1. Si A y B son P.E.S.I, entonces: MCD (A,B) = 1
2. Si A es múltiplo de B, entonces: MCD (A;B) = B
3. Si se multiplican o dividen varios números por una misma cantidad, su MCD también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa misma cantidad.
4. Si se dividen a varios números entre su MCD, los cocientes obtenidos son números P.E.S.I.
- Máximo común múltiplo
EL MCM de varios números naturales es aquel número natural que cumple dos condiciones:
1. Es un múltiplo común de todos. 2. Es el menor Posible.
Propiedad:
Todos los múltiplos comunes de varios números dados son también múltiplos de MCM.
DETERMINACIÓN DEL MCM
Por Factorización Individual
Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman a todos los factores, afectados de sus mayores exponentes.
Por Factorización Simultánea
Se dividen los números dados simultáneamente a todos o algunos de ellos, del menor al mayor factor primo, hasta que se obtengan cocientes iguales a la
unidad.
Propiedades:
1. Sean 2 números A y B P.E.S.I, entonces el MCM de ellos es su Producto. MCM (A; B) = A . B
2. Si A es múltiplo de B, entonces el MCM de ellos es A. MCM (A; B) = A
3. Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de 2 ó más enteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre P.E.S.I.
4. Si se multiplica o dividen varios números por una misma cantidad, su MCM también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa cantidad.
5. El producto de 2 números es igual al producto de su MCD por el MCM de ellos.
PROBLEMAS
1. ¿Cuántas veces hay que multiplicar a 40 por 50 para que tenga 64 divisores más?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
2. Si: N = 13n + 2 – 13n tiene 75 divisores compuestos, hallar el valor de n
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
3. Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600
A) 6 B) 3 C) 9
D) 12 E) 15
4. ¿Cuántos divisores compuestos tienen el número 360?
A) 20 B) 21 C) 22
D) 18 E) 19
5. Determinar el número de divisores pares del numeral 360
A) 45 B) 40 C) 18
D) 65 E) 70
- Potenciación
I. Potenciación (nk).-
Es una operación directa en la cual un número (potencia perfecta) real positivo, resulta la multiplicación de otro número real por si mismo, un número entero de veces.
Forma general: veces"K"
a...aaa = ak P
Donde:
* a base (a R)
* k exponente, indica el número de veces que “a” se multiplicó por sí mismo. (K R)
* p Potencia (P R)
Propiedades.-
1) Ley de uniformidad: “existe solo un número, tal que dicho número es la potencia perfecta resultante de elevar un determinado número a un determinado número a un determinado exponente”.
2) Ley de la monotonía: Si Rkabab
baba
kk
kk
3) Ley distributiva: pwmwkwwpmk cbacba mw
kww
m
k
b
a
b
a
OBS:
- La potenciación solo esta definida cuando el exponente al cual se eleva la base es un número entero. - En la potenciación no existe propiedad conmutativa ni propiedad asociativa.
Ley de signos.-
() (+)PAR
= + () (-)PAR
= +
() (+)IMPAR
= + () (-)IMPAR
= -
OBS:
1) a k El exponente “k” solo afecta a la base, no al signo
( a) k El exponente “k” afecta a la base y al signo por ser operador de ambos.
Propiedad Fundamental.-
a k es potencia perfecta de “k” si:
kkkkk 1...pnma
1...pnma
Donde: "K"dedivisores...;;
""deprimosfactores1...;n;m
1) Cuadrado Perfecto o Potencia Perfecta de base 2 (N = P 2k
) Es aquel número que posee raíz cuadrada exacta y que posee un número impar de divisores.
* Modos de inclusión del cuadrado perfecto.-
1) Todo número será cuadrado perfecto si y solo sí todos sus factores primos presentan exponentes
múltiplos de 2. Ejm: k224 P144232144
2) Todo número será cuadrado perfecto si y solo sí dicho número es múltiplo de 4 (PAR) ó 140
(IMPAR). Ejm.: 100
= 102 100 = 4
0
(PAR)
3) Todo número será cuadrado perfecto si termina en un número par de ceros y el numeral formado por las cifras distintas de ceros es cuadrado perfecto. Ejm: 900 = P
2k 9 = P
2k = 3
2
4) En todo número cuadrado perfecto se cumple:
Si N = P2k
N = 180
(solo en impares)
N = 99990000
;7;4;1 (solo uno de ellos)
5) Si cds...kPN k2 , se cumple:
Si c;2dcds...N
6
2
0
(solo uno de ellos). Ejm: 625 = 252
6) Si un número termina en 1; 4; 5; 6; ó 9; entonces puede ser un número cuadrado perfecto.
* Modos de exclusión del cuadrado perfecto.-
1) Todo número que termina en 2; 3; 7 ó 8 nunca es cuadrado perfecto.
2) Todo número que termina en un número impar de ceros no es cuadrado perfecto.
3) Todo número que excluye al cuadrado perfecto de un factor primo, no es cuadrado perfecto.
4) Todo número que no cumpla con la prioridad fundamental de la potenciación no será cuadrado perfecto.
* Conclusión: Todo número que es cuadrado perfecto cumple con todos los modos de inclusión y con la propiedad fundamental de potenciación.
2) Cubo Perfecto o Potencia Perfecta de Grado o base 3 (N = P 3k
)
Es aquel número que posee raíz cúbica exacta.
* Modos de Inclusión del Cubo Perfecto:
1) Todo cubo perfecto termina en cualquier cifra.
2) Todo cubo perfecto presenta todo factor primo elevado a exponentes múltiplos de 3.
3) Todo número que termina en cero es perfecto si y solo sí posee cantidad de ceros múltiplos de 3 y el número formado por las cifras distintas a cero es cubo perfecto.
4) Todo cubo perfecto cumple:
P3k
= 1ó1; 444000
= 1ó1; 999000
= 80
(solo pares)
5) Si todo cubo perfecto termina en S:
N = … cds d = 2 ó 7
c = 3; 6; 8 ó 1
* Modos de exclusión del cubo perfecto:
1) Un número no es cubo perfecto si no cumple con, al menos, uno de los modos de inclusión.
3) Un número no es cubo perfecto si no contiene al cubo de su factor primo.
- Radicación k n .-
Es la operación inversa a la potenciación, en la cual el índice de la raíz equivale al exponente, la raíz equivale a la base y el radicando a la potencia.
Forma general: nRRn KK ;
Dónde: K = Índice (K Q+ 1)
n = Radicando o Cantidad Subradical (n R+)
R = Raíz (R R+)
OBS:
Solo está definida la radicación de índice entero positiva.
PROBLEMAS
1).- Halla el menor número por el cual hay que dividir a 2260 para que el cociente sea un cuadrado perfecto.
a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39
2).- Halla un número tal que su cuadrado y su raíz cuadrada sumen 1302.
a) 36 b) 38 c) 34 d) 27 e) 50
3).- Hala un cuadrado perfecto de 5 cifras cuyas cifras son :
2; 0 ; 8 ; 5 y 7
a) 78205 b) 87025 c) 78005
d) 25084 e) 78052
4).- Cual es el menor número por el cual es necesario multiplicar a 6! para que el número resultante sea un cubo perfecto.
a) 100 b) 200 c) 300
d) 400 e) 500
5).- Si “n” es un número primo absoluto. ¿Cuál es el único número cuadrado perfecto cuya diferencia con “n” es otro cuadrado perfecto?.
a) 4
)1n( 2 b)
4
)1n( 2 c)
5
)2n( 2
d) 6
)3n( 2 e)
2
)3n( 2
- Fracciones
1) Definición: Una fracción es la división indicada de dos números enteros no nulos.
Fracción = b
a
Donde: a Z – {0}
b Z - {0}
a ºb
2) Clasificación de las fracciones: A) Por la comparación de sus Términos:
1) Fracción Propia: Es cuando el numerador es menor que el denominador.
Ejemplos: ect;1000
9;
12
7;
5
3;
7
2
2) Fracción Impropia: Es cuando el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplos: etc;6
13;
4
9;
3
7
Numerador
Denominador
B) Por su denominador:
1) Fracción Ordinaria o Común: Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.
Ejemplo: etc;5
18;
7
5;
3
8
2) Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplo: etc1000
13;
100
11;
10
3
C) Por la comparación de los Denominadores: 1) Fracciones Homogéneas: Es cuando tienen el mismo denominador.
Ejemplo: etc;5
12;
5
7;
5
2
2) Fracciones Heterogéneas: Es cuando tienen denominadores diferentes.
Ejemplo: etc;7
8;
5
2;
2
1
D) Por la Relación de los divisores de sus términos:
A) Fracciones Reductibles: Son aquellas que se pueden simplificar.
Ejemplo: etc;56
21;
12
4
B) Fracciones Irreductibles: Son aquellas cuyos términos son primos entre si.
Ejemplo: etc11
17;
19
16;
5
3
C) Fracciones equivalentes: Es cuando tienen el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Número Mixto: Es aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.
Ejemplo: etc;7
16;
5
23
Convertir 3
17 a mixto
17 3
3
17 =
3
25
Simplificación de Fracciones:
Ejemplos: Simplificar: 120
501̀
= 4
5
Fracción de Fracción:
Ejemplo: Calcular los 10
6
3
2de
x = 5
2
Signo de una Fracción:
1)b
a
a
a
2)
b
a
a
a
10
-2
5
4
150 120
2 3 1
6 10 5
1 2
3)b
a
b
a
4)
b
a
b
a
OPERACIONES CON FRACCIONES
1) Adición y Sustracción: Tenemos 2 casos: Caso I: Para fracciones homogéneas.
Ejemplo: 12
513
12
5
12
1
12
3
12
7
Caso II: Para fracciones heterogéneas.
Ejemplo: 7
2
2
1
4
3
M.C.M (4; 2 y 7) = 28
Luego: 28
27
28
835
28
81421
2) Multiplicación:
Ejemplo: x x = 15
1
3) División:
Ejemplo: 4
7
6
5
Primera Forma: x = 21
10
Segunda Forma:
=
= 21
10
PROBLEMAS
El producto del numerador por el denominador de una fracción es 52514.Hallar dicha fracción si al ser simplificada se
obtiene 14/31.Dar la diferencia de los términos.
a) 142 b) 153 c) 168
d) 187 e) 179
2. Hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que si al termino menor le sumamos 70 para que el valor de la fracción
no se altere entonces el otro termino debe triplicarse.
a) 28/48 b) 42/72 c) 56/96
d) 35/60 e) 21/36
1 4 5
1 4 8 1
3
1
9 6
3
-5 6 3
7 4 2
7 4
-5 6
7
2
x 6 -5 x 4
3. ¿Cuál es el quebrado de denominador 180 que este comprendido entre 1/9 y 1/10?
a) 26/180 b) 21/180 c) 20/180
d) 19/180 e) 22/180
4. La fracción 23/55 está comprendida entre 2 fracciones homogéneas cuyo denominador común es 19 y los numeradores
son 2 enteros consecutivos. Hallar estos números.
a) 6 y 7 b) 8 y 9 c) 20 y 21
d) 7 y 8 e) 19 y 20
5. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 68/119 existen tal que sean de la forma ab/ba?
a) 5 b) 2 c) 3
d) 1 e) 4
- Razones y proporciones
I) Razón o Relación.- Es la comparación entre 2 cantidades por medio de las operaciones inversas básicas (sustracción y división)
Clases de razones o relaciones.-
1) Razón aritmética.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la diferencia.
Notación: a – b = r (“a es mayor que b en r unidades”).
2) Razón Geométrica.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la división. Notación.- a : b = r (“a es producto de b por r”)
3) Razón Armónica.- Es la comparación por sustracción entre las inversas de 2 números que forman razón aritmética.
Notación: qb
1a
1
Qq;b
1;a
1
razónladevalorq*
uentesecconb
1*
eantecedenta
1*
II) Proporciones.-
Es la igualdad de 2 tipos comunes de razones (de la misma clase) o mayores de 2.
Clases de proporciones.-
Zr;b;a
razónladevalorr*
uentesecconb*
eantecedenta*
Zr;b;a
razónladevalorr*
uentesecconb*
eantecedenta*
1º
3º
1) Proporción Aritmética PA 2) Proporción Geométrica PG 3) Proporción Armónica PH
NO
TA
CIÓ
N
"daesc
comobaesa"
4321
dcba
d
c
b
a
“a y b son proporcionales a c y d”
d
1
c
1
b
1
a
1
“1/a es a 1/b como 1/c es a 1/d”
Donde: a c (e inversas) = Antecedentes b d (e inversas) = consecuentes
PR
OP
IED
AD
cbda
b1
c1
d1
a1
PR
OP
OR
CIÓ
N D
ISC
ON
TIN
UA
O D
ISC
RE
TA
dcba
Donde: a; b; c; d; = 4ta Diferencial década uno respecto a los otros 3.
Zdcba
d
c
b
a
Donde: A; b; c; d = 4ta Proporcional respecto a los otros 3 (en ese mismo orden)
Zdcba
d
1
c
1
b
1
a
1
Donde: 1/a; 1/b; 1/c; 1/d = 4ta Armónica respecto de los otros 3 (es ese mismo orden)
Qd
1c
1b
1a
1
Para lo problemas, la cuarta diferencia, proporcional o armónica es considerado como el segundo consecuente.
PR
OP
OR
CIÓ
N C
ON
TIN
UA
O IN
SD
ISC
RE
TA
cbba
Donde: b = Media Diferencial o Aritmética. a; c = Tercia diferencial o Aritmética respecto de los otros 3 términos.
ca
2
cab
c
b
b
a
Donde: b = Media Proporcional o Geométrica. a; c = Tercia proporcional o Geométrica respecto de los otros 3 términos.
ca
acb
c
1
b
1
b
1
a
1
Donde: b = Media Armónica a; c = Tercia armónica respecto de los otros.
ca3
ca
ac2
b
1
cbda
1°
2°
3°
4°
Para los problemas, la tercera o tercia Aritmética, Geométrica o Armónica es considerado como el segundo consecuente.
OBS: Si no se determina que tipo de razón o proporción se establece en un problema, se asume que es GEOMÉTRICA.
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).-
1) Serie Aritmética: * S.R.E.A Continua: Forma
General: a – b = b – c = c – d = d – e =_
* S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f = …
2) Serie Geométrica: * S.R.E.D. Continua: Forma
General: ke
d
d
c
c
b
b
a
* S.R.E.G. Discreta: Forma
General: kf
e
d
c
b
a
NOTA: Propiedades de las Series Geométricas:
Dado: kf
e
d
c
b
a
1) kfdb
eca
2)
;Kfdb
eca N
N = N° de
razones
3) P
PPP
PPP
Kfdb
eCa
PROBLEMAS
1. a) Dos números son entre sí como 3 es
a 5 y su suma es 96. Calcular la
diferencia de dichos números.
Rpta.: ……24………………
b) Calcular A x B, si 5A = 4B además
A + B = 72. Dar como respuesta la
suma de sus cifras.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
2. a) Dos números se encuentran en la
relación de 5/4 y su producto es
980. Hallar la suma de dichos
números.
Rpta.: …………63…………
b) El producto de dos números es
250 y están en relación de 5 es
a 2. Hallar el doble del mayor.
a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) N.A.
3. a) En una reunión se observo que por cada 3 mujeres, había 7 hombres. Además el número de hombres excede al de las mujeres en 28. ¿Cuál es la relación de hombres a mujeres si se retiran 14 parejas?
Rpta.: ………………1/5……
b) En una fiesta asisten 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. Por cada mujer ¿cuántos hombres queda?
a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 1
4. a) En un instante el número de varones y el número de mujeres son como 7 es a 8 cuando se retiran 6 varones quedan en la relación de 25 es a 32. ¿Cuántas mujeres habían en el salón? Rpta.: ……84………………
b) Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 7, dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. Hace 10 años ¿cuál era la relación de sus edades?
a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/5 e) 1/3
5. a)En una universidad la relación de hombres y mujeres es de 5 a 7, la
relación de hombres en ciencias y hombres en letras es de 8 a 3. ¿Cuál es la relación de los hombres en ciencias y el total de alumnos? Rpta.: …………2/33…………
b) En un examen los problemas resueltos y no resueltos están en la relación de 2 es a 3. Dentro de los problemas contestados, el número de problemas resueltos correctamente y los que no están en la relación de 1 a 2. ¿Cuál es la relación de los problemas mal contestados con respecto al total?
a) 1/15 b)3/15 c)2/15 d)7/15 e) 4/15
- Regla de tres
1. CANTIDADES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D. P)
Dos cantidades son D.P si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en ese
mismo orden.
kb
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1 Constante de Proporcionalidad.
2. CANTIDADES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I . P)
Dos cantidades son IP si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en ese mismo orden.
Ejem :
k
q
1
P
q
1
P
q
1
P
3
3
2
2
1
1
3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES SIMPLE :
Dadas tres cantidades y una incógnita pertenecientes a dos magnitudes diferentes determinar la incógnita.
DIRECTA
Si las cantidades son D.P. (directamente proporcionales)
Ejemplo 1
- Si un móvil recorre 120 km en 8 horas. Determina en cuantas horas recorrerá 30 km.
Solución :
Distancia(km) Tiempo (H)
120 8
30 x
Son magnitudes D.P
Luego : x = 120
8x30 = 2 horas
INVERSA.- Si las cantidades son I.P. (inversamente proporcionales)
Ejemplo 1 :
- Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar su salón de clase ¿Cuanto tiempo tardarían 60 alumnos?
Solución :
Tiempo N° alumnos
30 20
x 60
Son magnitudes I.P.
Luego x = 60
20x30= 10 días
PROBLEMAS
1. 24 obreros hacen una casa en 30 días. El triple de obreros ¿Qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?
a) 30 b) 20 c) 10
d) 40 e) 5
2. Un auto a 60 km/h, cubre la distancia de Lima a Piura en 16 horas. ¿A qué velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad del tiempo?
a) 190 b) 140 c) 130
d) 120 e) 110
3. Un obrero gana S/. 50 por los 5/9 de su labor diaria. ¿Cuánto gano por su labor diaria completa?
a) 90 b) 40 c) 30
d) 20 e) 10
3. ¿Cuántos soles se necesitan para hacer un giro de 960 dólares, estando el tipo de cambio o S/. 3.45 por dólar?
a) 331 b) 3312 c) 3120
d) 3512 e) 1335
4. En un cuartel 200 soldados tienen víveres para 40 días, si se cuatriplica el número de soldados. ¿Para cuánto tiempo durarían los víveres?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 5 e) 15
5. Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó 3600 soles. ¿Cuánto se pagó por un cubo de 15 cm de arista?
a) 9730 b) 9720 c) 97200
d) 5740 e) 5720