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7/26/2019 Actividad Nro 6 (Rafael Garcia)
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Actividad Nro. 6
Alumno: Armando Rafael GarciaDNI: 24. 934.453Parte A. Individual.
Busque y seleccione en Internet (plataformas como Wiipedia! "outu#e! $cri#d! o#%squeda li#re usando pala#ras clases en #uscadores como Goo&le! Goo&le acad'mica
entre otros! informaci)n so#re &rupo! su#&rupo! &rupo finito! *omomorfismo entre &ruposy e+emplos. ,rate de no e-cederse de este temario. e ser necesario presente unas/ntesis propia.
0ue&o! comparta en el foro 1iarr)n de la Actiidad citando la fuente de consulta.uando el tutor lo crea coneniente por considerar suficientes los aportes! de#er6 pu#licar aqu/ de#a+o! en la entana de Realiar actiidad.
Desarrollo de la actividad
7uente8 *ttp8*tml.rincondela&o.com&rupos:;.*tml
GRUPOS• CONCEPTOS BÁSICOS:OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo
contrario.
• GRUPOIDES:
DEFINICIÓN: Sea A un conjunto y ∗ una operación binaria en A , A A A →×∗ ! ". Entonces se
dice que el par ( )∗, A es un GRUPO#$E
DEFINICIÓN: Sea ( )∗, A un %rupoide, entonces se dice que Ae∈ es E&E'E()O (EU)RO de A elemento identidad" si se verifica que!
aaeea Aa =∗=∗→∈∀ .
PROPOSICIÓN: Si e*iste elemento neutro , es +nico!
$emostración!
Sean e y e′ elementos neutros de A . Entonces!
eeeeee =′∗=∗′=′
DEFINICIÓN: Sea ( )∗, A un %rupoide con elemento neutro. Entonces se dice que Aa∈ tiene
E&E'E()O #(ERSOelemento opuesto" si!
eabba Ab =∗=∗∈∃ -
OBSERVACIÓN: En un %rupoide con elemento neutro los elementos inversos, si e*isten, pueden
no ser +nicos.
EJEMPLO:
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{ },/,0,1= A /0
11//
11100
/011
/01∗
( )∗, A Grupoide
1=einverso de 11 =
inverso de/,0/ =
inverso de /,00 = inverso de ∃/
• SEMIGRUPOS:
DEFINICIÓN: Se dice que ( )∗, A es un SE'#GRUPO si ( )∗, A es un %rupoide con la propiedad
asociativa. 'atematicamente!
( ) ( ) cbacba Acba ∗∗=∗∗→∈∀ ,,
PROPOSICIÓN: Sea ( )∗, A un semi%rupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si
e*iste, de cualquier elemento de A es +nico.
$emostración!
Sea ( )∗, A un semi%rupo y e su elemento neutro. Entonces!bb Aa ′∈∃ ,- son inversos de a . Por tanto!
( ) ( ) bbebabbabebbeabba
eabba′=′∗=′∗∗=′∗∗=∗=
=∗′=′∗=∗=∗
EJEMPLO: Sea ( )( ) { }aplicación f A A f A A F B -!, →== , y =∗ composición de funciones".
Entonces!
( )( ),, A A F es un semi%rupo con elemento neutro( )
=→
=aaid a
A Aid e
A
A
!
23u4 elementos tienen inverso5
Aid f g g f eabba ==→=∗=∗ Por el teorema de la biyección"
Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa.
• HOMOMORFISMOS:
DEFINICIÓN: Sean ( )∗, A y ( )∗′′, A dos %rupoides. Entonces una aplicación entre ( )∗, A y ( )∗′′, A
es un 6O'O'OR7#S'O si se verifica que!
( ) ( ) ( )010101 , a f a f aa f aa ∗′=∗→∀
EJEMPLO:( ) ( )
0
,,!
x x
Z Z f
+→+
2Es 8omomorfismo5 ( ) 52 000 x x x x ′+=′+⇔
( ) 000000005 x x x x x x x x x x ′+≠′+′+=′+=′+
&ue%o no es 8omomorfismo
DEFINICIÓN: Se dice que!
1" Un 8omomorfismo inyectivo es un monomorfismo
0" Un 8omomorfismo suprayectivo es un epimorfismo
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/" Un 8omomorfismo biyectivo es un isomorfismo
" Un 8omomorfismo de ( )∗, A en ( )∗, A es un endomorfismo
9" Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo
• GRUPOS:DEFINICIÓN: Sea un semi%rupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen
elemento inverso. Entonces dic8o semi%rupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par
( )∗,G, donde ∗ es una operación binaria en
G que verifica !
1" aaeeaGaGe =∗=∗→∈∀∈∃ -
0" ( ) ( ) cbacbaGcba ∗∗=∗∗→∈∀ ,,
/" eabbaGbGa =∗=∗∈∃→∈∀ -
DEFINICIÓN: Sea un %rupo ( )∗,G , donde ∗ es una operación binaria en G que verifica las
condiciones anteriormente e*puestas, y adem:s es conmutativo, es decir!
abbaGba ∗=∗→∈∀ ,
Entonces se dice que dic8o %rupo es un GRUPO ;O('U)<)#O o <=E&#<(O.
PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO ( )∗,G . Entonces se verifica que!
1" bcacbacbcaGcba ∗=∗⇔=⇔∗=∗→∈∀ ,,
$emostración!
( ) ( ) ( ( baccbccaccbccacbca =⇒∗∗=∗∗⇒∗∗=∗∗⇒∗=∗ −−−− 1111
0" El elemento neutro es +nicoPor ser Grupoide"
/" Ga∈∀ el inverso de a es +nico.
" ( ) aaGa =→∈∀ −− 11
$emostración!
( ) ( ) 11
11
1111 −−
−−
−−−− ==⇒
=∗=∗
=∗=∗⇒= aab
eabba
eaaaaab
9" ( ) 111, −−− ∗=∗→∈∀ abbaGba
$emostración!
( ) ( ) eabbaabba =∗∗∗⇔∗=∗ −−−−− 11111
11 −−
∗= abc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eeeaaeaeaabbaabbacba =∗=∗∗=∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗ −−−−−− 111111
>" G es abeliano ( ) 111, −−− ∗=∗→∈∀⇔ babaGba
$emostración!
( ) 1111"9
1 −−−−− ∗=∗=∗⇒ baabbaabeliano
52 abba ∗=∗⇐
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ababbaabbaba ∗=∗=∗=∗=∗=∗ −−−−−−−−−−−−−− 11111111111111
• EJEMPLOS:( )+, Z Grupo <beliano ( )+,Q Grupo <beliano
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{ }( )+∪ ,? N Semi%rupo con elemento neutro ( )+, R Grupo <beliano
( )+, N Semi%rupo sin elemento neutro ( )+,C Grupo <beliano
( )•, Z Semi%rupo con elemento neutro ( )•@,Q Grupo <beliano
( )•,Q Semi%rupo con elemento neutro ( )•@, R Grupo <beliano
• EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS:• GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea A y
( ) { }biyectiva f A A f A B -! →= y AB la composición de aplicaciones. Entonces ( )( )
, A B es el%rupo de las aplicaciones biyectivas de A . eamos que se cumplen las tres propiedades!
1" 2 ( ) ( ) f f ee f A B f A Be ==→∈∀∈∃ - 5
Sea Aid e = , ( ) A B f ∈ y Aa∈ . e pertenece claramente a ( ) A B , por ser biyectiva.
Entonces!
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )a f ea f ea f ae f ae f ====&ue%o se verifica.
0" ( ) ( ) ( ) h g f h g f A Bh g f =→∈∀ ,,
Sean ( ) A Bh g f ∈,, y Aa∈ . Entonces!
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ah g f ah g f ah g f ah g f ah g f ====&ue%o se verifica
/" ( ) ( ) Aid f g g f A B g A B f ==∈∃→∈∀ -
( ) 1−=∃→∈∀ f g A B f por el teorema de la biyección"
&ue%o se verifica.
• GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea{ }naa A ,,1 =
y ( ) AC el
conjunto de las permutaciones de A . Entonces ( )( ), AC es %rupo por ser un caso particular del
anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas.
• GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al %rupo de
las permutaciones de n elementos es como el %rupo sim4trico de n elementos, representado por nS ,
formado por elementos de la forma!
=
n
n
i j j j
aaa
01
01σ
$ondek j
es un elemento de A
",?-, l k nl k N l k j j l k ≠≤<∈∀≠", de tal manera que lo que
8ace cada elemento de nS es asi%nar a cada elemento de A otro elemento de A , que es el que est:
en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un
%rupo.
EJEMPLO:{ }/,0,1= A ,
( ),// S S = 1
1 $e a8ora en adelante, y siempre que no 8aya lu%ar a confusión, representaremos los %rupos por el conjunto en el queest:n construidos
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=
=
=
=
=
=
10/
/01
/10
/01
01/
/01
0/1
/01
1/0
/01
/01
/01
>/
90
1
σ σ
σ σ
σ σ
1/09>>
01>/99
/190>
0>19//
9>/100
>9/011
>9/01
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
Evidentemente e*iste elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y
adem:s, el %rupo no es abeliano.
)ambi4n podemos verlo como el %rupo de las isometrCas del tri:n%ulo equil:tero%iros sobre
el centro y las alturas", o %rupo di4drico de orden >!
• GRUPO ADITIVO: Sea?, >∈ m Z m
. ;onsideramos el conjuntom Z
y en el la operación A +Bdefinida por!
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]bababa
Z Z Z mmm
+=+→×+,
!
Entonces el par( )+,m Z
es un %rupo abeliano, llamado %rupo aditivo.
$emostración!
1" aaeea Z a Z e mm =+=+→∈∀∈∃ -
Sea [ ]?=e y [ ]ba =
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] abbbae
abbbea==+=+=+==+=+=+
????
&ue%o se verifica
0" ( ) ( ) cbacba Z cba m ++=++→∈∀ ,,
Sean[ ] [ ] [ ] m Z cba ∈,,
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]cbacba
cbacbacbacbacba
++=++==++=++=++=++=++
&ue%o se verifica
/" [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]?- =+=+∈∃→∈∀ abba Z b Z a mm
Sean[ ] [ ] m Z aa ∈−,
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[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]?=−=−+=−+ aaaaaa
[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]?=+−=+−=+− aaaaaa
&ue%o se verifica
eamos si es conmutativo!
Sean[ ] [ ] m Z ba ∈,
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ababbaba +=+=+=+&ue%o se verifica.
Por tanto( )+,m Z
es un %rupo abeliano.
• GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea ?, >∈ p Z p y p primo. ;onsideramos el conjunto@
p Z y en
4l la operación A×Bdefinida por!
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]abbaba
Z Z Z p p p
=×
→××
,
! @@@
Entonces el par( )
×,
@
p
Z es un %rupo abeliano, llamado %rupo multiplicativo.
$emostración!
1" aaeea Z a Z e p p =×=×→∈∀∈∃ @@ -
Sea [ ]1=e y [ ]ba =
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] abbbae
abbbea
===×=×===×=×
11
11
&ue%o se verifica
0" ( ) ( ) cbacba Z cba p ××=××→∈∀ @,,
Sean [ ] [ ] [ ] m Z cba ∈,,
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]cbacab
cabbcacbacbacba
××=×====××=××=××
&ue%o se verifica
/" [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1-
@@
=×=×∈∃→∈∀ abba Z b Z a p p
Sea[ ] @
p Z a ∈ 0
Entonces, por ser p primo, se verifica que! pa ≤≤1
( ) 1,mcd = pa
Por tanto!
[ ] [ ] [ ]1111-, =−=⇒−=⇒=+∈∃ pva pva pva Z v
[ ] [ ] [ ]11 −− == aa /
0 Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el )eorema de =eDout!Si y entonces
/ eamos un ejemplo! El inverso de en Se trata de 8allar tal que . Pero &ue%o
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&ue%o se verifica
eamos si es conmutativo!
Sean[ ] [ ] @
, p Z ba ∈
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]abbaabba ×===×&ue%o se verifica.
Por tanto ( )×,@
p Z es un %rupo abeliano.
• GRUPO DE MATRICES: Sean A+ B y A×B la adición y el producto 8abitual entre matrices.
Entonces!
• ( )( )+× , R ! nm es G< 'atrices reales de orden m*n" y
=
??
??
e
• ( )( )×, RG"n es G< 'atrices reales cuadradas con determinante no nulo". Se llama Grupo
lineal de orden n.
=
1?
?1
e
• ( )( )×, RS"n es G< 'atrices reales cuadradas con determinante la unidad". Se llama Grupo
especial lineal de orden n.
=
1?
?1
e
• ( )( )×, R#n es G< 'atrices reales cuadradas orto%onales". Se llama Grupo orto%onal de
orden n.
=
1?
?1
e
• ( )( )×, RS#n es G< 'atrices reales cuadradas orto%onales con determinante la unidad". Se
llama Grupo orto%onal especial de orden n.
=
1?
?1
e
OBSERVACIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RS# R# RG" RSl RS# nnnnn ⊃⊃⊂⊂( ) ( ) ( ) R# RSl RS# nnn ∩=
• SUBGRUPOS:
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ⊂ . Entonces se dice que $ es un SU=GRUPO de G ,
y se escribe G $ ≤ si ( )∗, $ es un %rupo.
Por tanto, para ver si un subconjunto es sub%rupo es necesario comprobar si !
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2 Es ∗ operación en $ 5
2 Es ∗ asociativa en $ 5
2 Es ∗ conmutativa en $ 5
2 E*iste elemento neutro en $ 5
2 E*iste elemento inverso en $ 5
TEOREMA: Sea ( )∗,G un %rupo, G $ ⊂ , ∅≠ $ . Entonces!
$ es %rupo $ y x $ y x ∈∗→∈∀⇔ −1
,
$emostración!
⇒
Si G $ ≤ 2 $ y x $ y x ∈∗→∈∀ −1, 5
$ y ∈−1 por ser $ %rupoide
$ y x ∈∗ −1 por ser $ %rupoide
⇐
Si $ y x $ y x ∈∗→∈∀ −1, 2 G $ ≤ 5 ⇔ 2 ( )∗, $ %rupo5 ⇔
∗∃
∃
52
5..2
5..2
ope%ación
ie
ne
$ e $ x x $ x $ ∈⇒∈∗⇒∈∃⇒∅≠ −1
$ a $ ae $ a
$ e∈⇒∈∗⇒
∈∈ −− 11
( ) $ ba $ ba $ b
$ a
$ b
$ a∈∗⇒∈∗⇒
∈
∈⇒
∈∈ −−
−
11
1
&ue%o queda demostrado
OBSERVACIÓN: Si G es aditivo entonces y x y x −≈∗ −1
EJEMPLO:( ) ( ) ( ) ( )+≤+≤+≤+ ,,,, C RQ Z
TEOREMA(de La!a"e#: Sea G un %rupo finito y G $ ≤ . Entonces el orden de $ divide al
orden de G .
Este teorema se aplica al c:lculo del n+mero de sub%rupos.
EJEMPLO: eamos los sub%rupos de /S !
>/ =S
Sub%rupo de orden 1! { }1σ
Posibles sub%rupos de orden 0!{ } >,9,,/,0,,1 =iiσ σ
Posibles sub%rupos de orden /!
>,..,>>,9,,/,0,,,1 iii ji −==σ σ σ
Sub%rupo de orden >! /S
ease p:%ina
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Estudiemos los posibles sub%rupos de orden /!
{ } >,9,,/,,, 01 =iiσ σ σ
{ }iσ σ σ σ σ σ ,, 019/0 ∉=∗ (o es sub%rupo para /=i
{ }01/0 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para =i
{ }901>90 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para 9=i
{ }>019>0 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i
{ } >,9,,,, /1 =iiσ σ σ { }/1>/ ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para =i
{ }9/109/ ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para 9=i
{ }>/1>/ ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i
{ } >,9,,, 1 =iiσ σ σ
{ }9119 ,, σ σ σ σ σ σ ∈=∗ Si es sub%rupo para 9=i
{ }>1/> ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i
{ } >,,, 91 =iiσ σ σ { }>910>9 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i
&ue%o el +nico sub%rupo de orden / es { }91 ,, σ σ σ
TEOREMA: Sea ( )∗,G un %rupo y{ }
jii $ ∈ sub%rupos de ( )∗,G . Entonces
G $ ji
i ≤∈
.
$emostración!
Sea
ji
i $ $ ∈
=
2
5,252 1 $ y x $ y xG $ ∈∗→∈∀⇔≤ −
$ $ y x ji $ y x ji $ y x $ y x ji
iii =∈∗⇒∈∀∈∗⇒∈∀∈⇒∈∈
−−
11 "",,
&ue%o la intersección de sub%rupos es un sub%rupos.
OBSERVACIÓN: &a union de sub%rupos, en %eneral no es un sub%rupo.
• SISTEMA GENERADOR:
IDEA INTUITIVA: Si S es un subconjunto de G , y no es sub%rupo, 23u4 8ay que aadirle paraque lo sea5.
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y ∅≠⊂ S GS , . Entonces se define el SU=GRUPO
GE(ER<$O POR S, denotado porS
como!
$ S G $
$ S
⊂≤
=
Podemos decir queS
es el sub%rupo Am:s pequeoB que contiene a S
OBSERVACIÓN: Por el teorema anteriorGS ≤
, y $ S $ S G $ G $ ≤→⊂≤⊂∀ ,-
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• GRUPO COCIENTE:
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ≤ . Entonces se establece una relación binaria tal que!
$ y x y xRG y x $ ∈∗⇔→∈∀ −1,
OBSERVACIÓN:
1" $ R es una relación de equivalencia.
$emostración!
525252 1 $ e $ x x x xRG x $ ∈⇔∈∗⇔∈ − Si, por G $ ≤ .
5252,-, 1 $ x y x yR y xRG y x $ $ ∈∗⇔∈ −
( ) ( ) $ x y x y y x $ y x y xR $ ∈∗=∗=∗⇒∈∗⇒ −−−−−−− 1111111
Si
5252,-,, 1 $ ( x ( xR ( yR y xRG ( y x $ $ $ ∈∗⇔∈ −
( ) ( ) $ ( y y x $ ( y ( yR
$ y x y xR
$
$ ∈∗∗∗⇒
∈∗⇒
∈∗⇒ −−
−
−11
1
1
( ) ( ) $ ( x ( y y x ( y y x ∈∗=∗∗∗=∗∗∗ −−−−− 11111
Si
0" < la relación anterior se le llama A<djunción por la iDquierdaB y se suele escribir "mod $ y x ≡ F
/" [ ] { } { } =∈∗∈=∈= − $ y xG y y xRG y x $
1-- { } x$ $ x $ hGh x ≡=∈∈ @-@ H
" $e forma similar se define $ x y y R x $ ∈∗⇔′ −1. Se demuestra que es de equivalencia y
se llama A<djunción por la derec8aB. <dem:s, las clases de equivalencia son! [ ] $x x =
9" En %eneral $x x$ ≠
>" Sea $ a∈ . En tal caso $a $ a$ ==
EJEMPLO:( ) ( ) Z $ nnZ $ Z G ≤>=+= ?,
n x ynZ x y $ y x y xR $ =−⇔∈−⇔∈+−⇔ ""
EJEMPLO:
{ } G $ id $ S G ≤=
== 1/ ,
0/1
/01,
/01
/01τ
F
=
/10
/01σ
σ σ
σ σ τ
σ τ σ
$ $
$
$
≠⇒
∈
=
∈
=
1/0
/01
01/
/01
1
1
pues poseen elementos distintos
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ≤ . Entonces se dice que $ es (OR'<&,
#(<R#<()E o $#S)#(GU#$O, y se representa por G $
si!
H Si es aditivo entonces serCaF 4ase p:%ina
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$x x$ G x =→∈∀
PROPOSICIÓN: Si G es abeliano, entonces todo sub%rupo es normal.
TEOREMA(Ca!a$%e!&'a$&" de )*+!*,-) "-!.a/e)#: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ≤ . Entonces!
$ xh x $ hG xG $ ∈∗∗→∈∀∈∀⇔ −1,
$emostración !4ase ap4ndice.
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ . Se representa por $ G
al conjunto cociente $ RG
ó
$ RG
′ 1?. Si definimos!
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]bababa
$ G
$ G
$ G
∗=∗
→∗∗
,
!
Entonces se tiene que( ∗,
$ G
es un %rupo llamado GRUPO ;O;#E()E.
$emostración!
eamos que ∗ es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero 2$epende del
representante5
Sean!
[ ] xa∈ $ xa ∈∗−1" h xa $ h =∗∈∃ −1
- "
[ ] yb∈
$ yb ∈∗−1
"
h yb $ h ′=∗∈′∃ −1-
"
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 52525252 1
$ y xba y x Rba y xba y xba $ ∈∗∗∗⇔∗∗⇔∗=∗⇔∗=∗ −
( ) ( ) ( ) ( ) =∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗∗ −−−−− yhb y xab y xba y xba 11111
11 hhh yb ′′∗′=′′∗∗−1
$ hh ∈′′∗′&ue%o no depende del representante. Por tanto es operación interna.
eamos a8ora que( ∗,
$ G
posee elemento neutro
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5-2 aaa $
G $
Ga =∗=∗=∈∃→∈∀
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Geaaaaa =⇒=∗=∗=∗=∗
Por tanto posee elemento neutro.
Estudiamos a8ora si es asociativa!
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] 5,,2 cbacba $
Gcba ∗∗=∗∗→∈∀
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]cbacbacbacbacba ∗∗=∗∗=∗∗=∗∗=∗∗
&ue%o es asociativo.
1? Son el mismo por ser11
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erificamos a8ora que posee elemento inverso!
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5-2 1111
$ eaaaa $
Gaa $
Ga G ==∗=∗∈=∃→∈∀ −−−−
555
[ ] [ ] [ ] [ ] $
GG eeaaaa ==∗=∗ −− 11
[ ] [ ] [ ] [ ] $
GG eeaaaa ==∗=∗ −− 11
&ue%o tiene elemento inverso.
Por tanto queda demostrado que∗,
$ G
es %rupo
EJEMPLO:( ) nZ $ Z G =+= ,
Por ser G abeliano se verifica que G $
[ ] { } Z nanZ aa ∈+=+= λ λ -
&ue%o
n Z nZ
Z =
• HOMOMORFISMO DE GRUPOS:
DEFINICIÓN: Sean ( )11 ,∗G y ( )00 ,∗G %rupos. Entonces se dice que la aplicación 01! GG f → es
un 8omomorfismo de %rupos si se verifica que!
( ) ( ) ( ) y f x f y x f G y x 011, ∗=∗→∈∀
OBSERVACIÓN:1" Se introducen los conceptos de auto, epi, 8omomorfismo, etc..
0" Se dice que dos %rupos son isomorfos si e*iste un isomorfismo entre ellos, y se escribe
01 GG ≈
PROPOSICIÓN:
1" ( ) 01 ee f =
$emostración!
Sea 1G x∈
( ) ( ) ( ) ( )1011 e f x f e x f x f ∗=∗=( ) ( ) 00 e x f x f ∗=
&ue%o ( ) 01 ee f =
0" ( ) ( ) 11
1
−− =→∈∀ x f x f G x
$emostración!
Sea 1G x∈ ( ) 0G y x f ∈=
( ) ( ) 5@252 1
0
1
1
11 −−−− =′→′=∗⇔= y y y y x x f y x f
( ( ) 01
1
1 ee f x x f ==∗ −
( ) ( ) ( ) y y x f x f x x f ′∗==∗ −−0
1
0
1
1 @
00 e y y =′∗
;omo el inverso es +nico , resulta que y y ′=−1
&ue%o efectivamente ( ) ( ) 11 −− = x f x f
DEFINICIÓN: Sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un 8omomorfismo de %rupos. Entonces se define!
7/26/2019 Actividad Nro 6 (Rafael Garcia)
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El n+cleo de f como el conjunto ( ) ( ){ }01 -Ier e x f G x f =∈=
&a ima%en de f como el conjunto ( ) ( ){ } ( )110 -#m G f y x f G xG y f ==→∈∃∈=
TEOREMA: Sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un 8omomorfismo de %rupos. Entonces se verifica que!
1" ( ) 1Ier G f
$emostración!
( ) 5Ier 2 1G f
Evidentemente ( ) ∅≠ f Ier , ya que ( ) f e Ier 1 ∈
( ) ( ) ( ) ( ) 5Ier ,25Ier Ier ,2 0
1
1
1
1 e y x f f y x f y x f y x =∗→∈∀⇔∈∗→∈∀ −−
( ) 0e x f =( ) 0e y f =( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
000
1
0
1
0
1
1 eee y f x f y f x f y x f =∗=∗=∗=∗ −−−−
&ue%o es sub%rupo. eamos si es normal.
( ) ( ) ( ) 525Ier Ier ,2 0
1
11
1
111 e x y x f f x y x f yG x =∗∗⇔∈∗∗→∈∀∈∀ −−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∗=∗∗=∗∗=∗∗ −−−− 1
0
1
000
1
00
1
11 x f x f x f e x f x f y f x f x y x f
( ) ( ) ( ) ( ) 0
1
0
1
0 e x f x f x f x f =∗=∗= −−
&ue%o es sub%rupo normal. 3ueda demostrado
0" f es monomorfismo si y solo si ( ) { }1Ier e f =
$emostración!
⇒
;omo f es monomorfismo resulta que f es inyectivo.
( ) { } ( ) 5Ier 25Ier 2 11 e x f xe f =→∈∀⇔=( ) ( ){ }01 -Ier ea f Ga f =∈=
Sea ( ) f x Ier ∈( ) ( ) 110 e xe f e x f =⇒== por ser f inyectivo
&ue%o ( ) { }1Ier e f =
⇐
( ) { }1Ier e f =
2 Es f monomorfismo 5 ⇔ 2 Es f inyectivo5 ⇔ 2 ( ) ( ) y x y f x f G y x =→=∈∀ -, 1 5
Sean ( ) ( )( ) y f x f G y x =∈ ,, 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x ye y f y f x f y f x f y f x y f Ier 1
1
00
1
0
1
0
1
1
1 ∈∗⇒=∗=∗=∗=∗ −−−−−
( ) x ye x y f x y =⇒=∗⇒∈∗⇒ −−
11
1
1
1
Ier
/" ( ) 0#m G f ≤
$emostración!
Evidentemente ( ) ∅≠ f #m , ya que ( ) f e #m0 ∈
( ) ( ){ } ( )110 -#m G f ba f GaGb f ==→∈∃∈=( ) ( ) ( ) 5-25#m#m,2 1
01
1
0
−− ∗=∈∃⇔∈∗→∈∀ y xc f Gc f y x f y x
( ) ( ) xa f Ga f x =∈∃⇒∈ -#m 1
( ) ( ) yb f Gb f y =∈∃⇒∈ -#m 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11
11
11
01
01
0 Gbacba f b f a f b f a f y x ∈∗=⇒∗=∗=∗=∗ −−−−−
&ue%o queda demostrado
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" f es epimorfismo si y solo si ( ) 0#m G f =
$emostración!
⇒
;omo f es epimorfismo resulta que f es suprayectiva
Por tanto ( ) y x f G xG y =∈∃→∈∀ -10
( ) ( ){ } ( )110 -#m G f ba f GaGb f ==→∈∃∈=
;omo la condición de pertenecer a ( ) f #m se verifica 0G y∈∀ resulta que ( ) 0#m G f =
⇐
( ) 0#m G f =
Por tanto ( ) y x f G xG y =∈∃→∈∀ -10 , lue%o f es suprayectiva y por tanto
epimorfismo
TEOREMA(I)-.-!01a#: Sean ( )11 ,∗G y ( )00 ,∗G dos %rupos, y sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un
8omomorfismo de %rupos. Entonces se verifica que!
( ) ( ) f f
G#m
Ier 1 ≈
Sabemos que ( ) 1Ier G f . eamos, pues, el %rupo cociente!
( )
∗,
Ier 1
f G
2;u:les son las clases5
[ ] ( ) ( ){ } ( ){ }01111 -Ier -Ier eh f ha f hha f aaGa =∗=∈∗=∗=∈∀
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a f y f ea y f f a ya yRa y f =⇔=∗⇔∈∗⇔⇔∈ −−
01
1
1
1
Ier Ier 10
$emostración!
eamos que !
( ) ( )( )
[ ] [ ]( ) ( )a f aa
f f
G
=
∗→
∗
ϕ
ϕ
011 ,#m,Ier
!
es aplicación, 8omomorfismo y es
suprayectiva.
Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante!
Sea [ ] [ ]( ) [ ]( ) 52 aaaa ϕ ϕ =′∈′
[ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )aaa f a f aa ϕ ϕ =′⇒=′⇒∈′&ue%o no depende del representante
eamos a8ora que es 8omomorfismo!
[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) 5Ier
,2 011 baba
f G
ba ϕ ϕ ϕ ∗=∗→∈∀
[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )bab f a f ba f baba ϕ ϕ ϕ ϕ 00111 ∗=∗=∗=∗=∗&ue%o es 8omomorfismo
eamos a8ora que es inyectivo!
10 &o que 8acemos al crear es fracturar en subconjuntos;lases de equivalencia" y tratarlos como elementos, de talmanera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma ima%en, podemos considerar cadasubconjunto como un elemento del conjunto $e 8ec8o, lo son", e*istiendo entonces un isomorfismo entre ambosconjunto e "
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[ ] [ ] ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 52525-Ier
,2 Ier 1 b f a f baRbaba
f G
ba f =⇔⇔=→=∈∀ ϕ ϕ
Pero [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )b f a f ba =⇒= ϕ ϕ
&ue%o es inyectivo
eamos a8ora que es suprayectivo
( ) [ ] ( ) [ ]( ) 5-Ier
#m2 1 ba f
Ga f b =∈∃→∈∀ ϕ
Por definición de ima%en!
( ) [ ]( )aba f Ga ϕ ==∈∃ -1
&ue%o es suprayectivo.
Por tanto e*iste un 8omomorfismo biyectivo entre ambos %rupos, y son isomorfos.
PROPOSICIÓN: <l i%ual que 8icimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente
un 8omomorfismo!
EJEMPLO:
$emostrar que
( )( ) ( )⋅≈ ∗
, R RS"
RG"
n
n
. Para ello vamos a convertir a( ) RS"n en el nucleo de
un isomorfismo.
$efinimos!
( )( ) ("det
,,!
A A
R RG" f n
⋅→• ∗
1/
eamos que f es 8omomorfismo!
( ) ( ) ( ) ( ) 5,2 B f A f B A f RG" B A n ⋅=•→∈∀( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B f A f B A AB B A f ⋅=⋅==• detdetdet
&ue%o es 8omomorfismo
Evidentemente( ) ( ) f RS"n Ier =
, ya que( ) ( ) ( ) ( ) f RS" A RS" A nn Ier 1det =⇒=→∈∀
eamos quien es la ima%en!
( ) ( ) λ
λ
λ ==
=∃→∈∀ ∗ A A f A R det-
1
1
&ue%o ( ) ∗
= R f #m , y por tanto son isomorfos, se%+n el )eorema de #somorfCa
OBSERVACION:
1" Si f es suprayectivoepimorfismo", entonces ( ) ( ) 01 #mIer
G f f
G ≈≈
1/
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0" Si f es inyectivomonomorfismo", entonces ( ) ( ) f f
GG #m
Ier 1
1 ≈≈
/" Si f es biyectivoisomorfismo", entonces ( ) ( ) 01
1 #mIer
G f f
GG ≈≈≈
EJEMPLO:( ) ( )
( ) [ ]aa f a
Z Z f m
=
+→+
,,!
eamos que f es un 8omomorfismo!
( ) ( ) ( ) 5,2 b f a f ba f Z ba +=+→∈∀( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 5b f a f bababa f +=+=+=+
&ue%o es 8omomorfismo
eamos si es inyectivo!
( ) ( ) [ ]{ } [ ] [ ]{ } mZ oa Z aoa f Z a f ==∈==∈= --Ier
&ue%o f no es inyectiva
Evidentemente es suprayectiva, pues( ) m Z f =#m
Por tanto se verifica que!
m Z mZ
Z ≈
EJEMPLO:( ) ( )
( ) [ ]λ λ λ =
+→+
n f n
Z nZ f n
,,!
eamos que f es un 8omomorfismo!
( ) ( ) ( ) 5,2 b f a f ba f nZ ba +=+→∈∀( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( )n f n f n f nn f µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ +=+=+=+=+
&ue%o es 8omomorfismo
eamos si es inyectivo!
( ) ( ) [ ]{ } [ ] [ ]{ } { } Z mn Z nZ mnonZ non f nZ n f "---Ier =∈∈==∈==∈= µ µ λ λ λ λ
&ue%o f no es inyectiva
Evidentemente es suprayectiva, pues( )
m Z f =#m
Por tanto se verifica que!
n Z Z mn
nZ ≈"
• GRUPOS CICLICOS:
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo. Entonces se dice que G es cCclico si!
{ } G g G g =∈∃ -
Es decir, si!
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Grupo multiplicativo{ } Z k g g G k ∈== -
Grupo aditivo{ } { } Z k gk g G ∈== -
EJEMPLO:
( )+, Z { } { } Z k k Z ∈== -11
( )+,m
Z
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } Z k k Z k k Z m ∈=∈== --11( )⋅∗ ,9 Z [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]{ }H,,0,1-0-009 =∈=∈==∗ Z k Z k Z
k k
eamos a8ora un caso de un %rupo no ciclico!
( )+,Q
=uscamos{ } Q g Q g =∈ -
{ } { } ??? ≠⇒≠= g Q
Si ?≠ g resulta que como{ } { } Q g g
g k Z k ≠⇒∉⇒≠⇒∈
001
&ue%o ( )+,Q no es ciclico.
PROPOSICIÓN: )odo %rupo cCclico es abeliano.
$emostración!
Sea ( )∗,G un %rupo cCclico multiplicativo1. Por tanto{ } G g G g =∈∃ -
, es decir!
x g Z k G x k =∈∃→∈∀ -
Sean Gba ∈,
k g a =
l g b =
Entonces!
ab g g g g ba k l l k ∗=∗=∗=∗
PROPOSICIÓN: )odo sub%rupo de un %rupo cCclico es normal
OBSERVACIÓN: Para ser cCclico 8a de ser abeliano.
TEOREMA: )odo sub%rupo de un %rupo cCclico es cCclico.
$emostración!
Sea( )
∗,G
un %rupo cCclico y G $
2 $ es cCclico55-2 $ x $ x =∈∃⇔ 19
G g G g =∈∃ -
Sea $ g N k A k ∈∈= - , y sea m el Cnfimo de A , que siempre e*iste por el a*ioma del
supremo.
eamos que $ g m =
⊂
=asta utiliDar que &
es el menor sub%rupo que contiene a & .
Si { }m g & = , y como $ g m ∈ resulta que $ g
m
⊂
1 $emostración an:lo%a para %rupos aditivos
19 $e a8ora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos como
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⊃ Sea $ y∈
( ) 5-252 k mm g y Z k g y =∈∃⇔∈
n g y N n g G y =∈∃⇒=∈ -
<quC distin%uimos tres casos!
1" ( ) ⇒∗===⇒<≤+=⇒≤⇒> + % )m% )mn g g g g ym% % )mnnmn "?,?
( ) g% y g )m =∗⇒
−
como!( ) $ g
)m ∈−
1>
$ y∈y!
m% <≤?
ocurre que ?=%
&ue%o )mn = , y por tanto( ) m)m)mn g g g g y ∈===
0" ( ) mm g g e g yn ∈===⇒=
???
/" ?<n En este caso basta comprobar sim g g ∈−1
, ya que por serm g un
sub%rupo ser verifica que!
( ) k k g g 1=−
con lo que volveriamos al caso 1
Sabemos que!( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnm g g g y y g y y 11
11111 ====⇒∈= −−−−−
, lo que nos
lleva al caso 1
DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G x∈ . Entonces se define el orden de x como el orden del
sub%rupo que %enera, y se escribe ( ) x xo%d =
PROPOSICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo finito. Entonces si G x∈ , el orden de x es el menor entero
positivo k tal que e x k = . <dem:s, en ese caso se verifica que!
{ }e x x x x x x k k == − ,,,,, 1/0
ya que!
xe x x x k k ∗=∗=+ 11
;on lo que volverCamos a empeDar.
PROPIEDADES:
1" Sea ( )∗,G un %rupo finito de orden n . Entonces
n xG x =→∈∀1
0" Sea ( )∗,G un %rupo y G x∈ con% x =
. Entonces si ?>k y e xk = se verifica que
" N % k ∈= λ λ
/" Sea ( )∗,G un %rupo finito, con% G =
y % primo. Entonces G es cCclico
" )eorema pequeo de 7ermat" En∗ p Z
se verifica que [ ] [ ]11 =− pa
1> Por definición de1 JPor el )eorema de &a%ran%e
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$emostración!
Sea[ ] [ ] [ ] [ ]1==⇒=⇒∈ ∗
∗
p Z
k
p eaak Z a
Por otro lado!
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]111 1 ====⇒=−⇒=⇒= −• λ λ λ
λ k k p
p aaak pk Z ak
TEOREMA(De $/a)&0&$a$&"#: Sea ( )∗,G un %rupo cCclico. Entonces!
1" Si G tiene orden infinito entonces Z G ≈
0" Si G tiene orden finito entonces m Z G ≈
$emostración!
1" Sabemos que{ } Z k g g G k ∈== -
$efinimos un isomorfismo tal que!
( ) ( )
( )
k
g k k
G Z
=
∗→+
ϕ
ϕ
,,!
eamos que es 8omomorfismo!
( ) ( ) ( ) 52 0101 k k k k ϕ ϕ ϕ ∗=+
( ) ( ) ( )01010101 k k g g g k k
k k k k ϕ ϕ ϕ ∗=∗==+ +
&ue%o es 8omomorfismo.
eamos a8ora si es suprayectivo!
( ) 5-2 xk Z k G x =∈∃→∈∀ ϕ
;omo G es cCclico g G =
( )k g x Z k Z k g x k k ϕ ==∈∃⇒∈= -"
&ue%o es suprayectivo
eamos a8ora si es inyectivo!
2ϕ es inyectivo5 { } 5?"Ier2 =⇔ ϕ
{ }e g Z k k =∈= -"Ierϕ
Supon%amos que e*iste e g k k => -? . Eso implica que G es un %rupo finito de k
elementos, lo que es imposible
Supon%amos que e*iste ( ) e g ee g e g k k k k =⇒==⇒=< −−− 11
-? , lo que es imposible,
como ya 8emos visto, por ser G infinito.
Por tanto { }?"Ier =ϕ , y ϕ es inyectivo.
&ue%o efectivamente ϕ es un isomorfismo y Z G ≈
0" SimG =
, entonces
{ }e g g g g G mm == − ,,,, 10
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$efinimos entonces un isomorfismo!
( ) ( )
[ ] [ ]( ) k
m
g k k
G Z
=
∗→+
ϕ
ϕ
,,!
que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto m Z G ≈
COROLARIO: $os %rupos cCclicos del mismo orden son isomorfos.
TEOREMA: Sea ( )∗,G un %rupo y G x∈ ,n x =
. Entonces, si Z k ∈ , ?>k , se tiene que!
( )k n
n x k
,mcd=
$emostración!
Sea ( )∗,G un %rupo, G x∈ ,n x = , Z k ∈ , ?>k , ( )k nd ,mcd= , k d k ′= , nd n ′= ,
k x=α . Entonces!
( ) ee x x x x k k nnk d nk nk ===== ′′′′′′
Por tanto n′Kα
( ) ( )( ) α α α α α
K,mcdKKK nk nk nk d nd k ne xk ′⇒′′′′⇒′/′/⇒⇒=
L como n′Kα , α Kn′ , resulta que n′=α , lue%o d n=α
, que es lo que queriamos
demostrar.
OBSERVACIÓN: Si ( )∗,G es un %rupo cCclico finito, el teorema anterior nos da una formula para
calcular en orden de cualquier elemento de G
EJEMPLO:
( )+,m Z
[ ] m=1
[ ] [ ]( )m
m
./mcd1// =⋅=
1H
COROLARIO(Ca!a$%e!&'a$&" de /-) e"e!ad-!e) de *" !*,- $1$/&$-#: Sea ( )∗,G un %rupo
cCclico, g G =
. Entonces!
1" SimG =
entonces los %eneradores de G son% g , donde m% ≤≤1 y ( ) 1,mcd =m%
0" Si ∞=G entonces los %eneradores de G son g y1
− g
1H )en%ase en cuenta que el %rupo es aditivo
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TEOREMA(Ca!a$%e!&'a$&" de /-) )*+!*,-) de *" !*,- $1$/&$-#: Sea ( )∗,G un %rupo cCclico,
g G =, y
nG =. Entonces los sub%rupos de G son!
k n
g , donde nk ≤≤1 y nk K
<dem:s, solo e*iste un sub%rupo por cada orden.
PROPOSICIÓN: Sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un 8omomorfismo de %rupos y 1G cCclico, g G =
.
Entonces para conocer f basta con conocer ( ) g f .
$emostración!
Sik
g xG x =⇒∈ , ?>k . Por tanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) k k k
k g f g f g f g g f g f x f =∗∗=
∗∗== 0011
TEOREMA: Sean ( )11 ,∗G , ( )00 ,∗G dos %rupos cCclicos, 11 g G = , 00 g G = . Entonces todos los
posibles isomorfismos entre 1G y 0G son todos los posibles 8omomorfismos entre 1G y 0G tales
que llevan un %enerador de 1G en otro de 0G .