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ADICION Y SUSTRACCIÓN DEPOLINOMIOS
Estas operaciones se resuelven eliminando losparéntesis de cada polinomio (tomando encuenta la regla de los signos) y reduciendo lostérminos semejantes.
Ejemplo:
Efectuemos la operación :
(5x2 + 3) + (3zx2 + 2x2y) – (7z2+ 4x2y - 8)
= 5x2y + 3 + 3z2 - 2x2y – 7z2 - 4x2y + 8
= x2y – 4z2 + 11
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Efectúa las siguientes operaciones conpolinomios.
a) (7a2 + 6) + (4a2 - 9)
Solución :
7a2 + 6 + 4a2 – 9 = 11a2 - 3
b) - (2p3 – 4pq) - (pq - qp3)
Solución :
-2p3 – 4pq - pq - p3q
= -2p + 3pq + p3q
c) (4a2 + 5b2) + (7a2 – 9b2)
Solución :
4a2 + 5b2 + 7a2 – 9b2
= 11a2 – 4b2
d) (3pq2 – 4p2q) - (8p2q - 4pq2)
SOLUCIÓN:
3pq2 + 4p2q – 8p2q + 4 pq2
= 7pq2 – 4 p2q
2. Efectúa E + F si :
E = 1 + x – x2
F = x2 - x – 1
a) 0 b) 2 c) xd) 1 e) 2 + 2x + 2x2
Solución : Ordenando
E = x2 + x + 1
F = 0000
12
2
xx
xx
Rpta. ( a )
3. Efectuar M = 3a2 – b - c2
S = b + c2 - 3a2
a) 0 b) 2 c) a2
d) 2a e) 6a2 – 2b – 2c2
Solución :
Ordenando
M = 3a2 – b - c2 +
S =22
22
226
3
cba
cba
Rpta. ( e )
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CONSTRUYENDO
MIS CONOCIMIENTOS
4. Reducir: pq5 + 3p2q4 + 6pq5
- 2 p2q4 + 3pq5
a) - 8pq5 b) 9pq5 +5p2q4c c) 0d) 8pq5 + p2q4 e) p2q4
Solución :
- pq5 + 3p2q4 + 6pq5 - 2 p2q4 + 3pq5
= 8pq5 + 2 p2q4
Rpta. ( d )
1. ¿Cuántos términos tiene el polinomio queresulta de P( x) + Q(x)
Si P( x) = x5 + x3 + 2xQ= x4 + x2 – 2 ?
a) 7 b) 6 c) 3d) 4 e) 5
2) Sean los polinomios
P( x) = 3x5 + 2x4 + 6x3 - 2x2
P( x) = 2x3 + 2x + 3
El coeficiente de x3 que resulta enP( x) = -2Q( x) es :
a) 3 b) 2 c) -2d) -3 e) 4
3. Si P( x) = 3x4 + 2x3 + 3x2
N( x) = 6x2 - 2x3 + 2x4
El resultado de P( x) – N( x) es:
a) x4 + 4x3 – 3x2
b) x4 – 4x3 + 3x2
c) 3x4 – 3x3
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REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
d) 2x4 – 4x3
e) x4 – 4x3 + 3x2
4. Si P( x) = ax2 - bxQ( x) = 2ax2 - 3bx
El coeficiente de x que resulta en P( x) - Q( x)
a) a - b b) –3b c) –4bd) 2b e) 4b
5. Sean P( x) = (3a –1)x2 + 3x + 2 Q( x) = 4x2 - bx - 2Y P( x) + Q( x) = 0, halla a + b
a) a b) 2 c) 3d) -1 e) -2
1. Dado los polinomios:
P( x) = 2x2 + 3x - 5
Q( x) = x2 - x + 7
R( x) = 3x2 + 8x - 10
Hallar
a) P( x) + Q( x)
b) R( x) ) + P( x)
c) Q( x) ) - P( x)
d) R( x) ) - Q( x)
e) P( x) + Q( x) - R( x)
2. Las adiciones se pueden ordenarverticalmente. Halla el resultado de cadaadición de polinomios.
a) P( x) : 13x3 – 3x2 + 5x – 64 +
Q( x) ) : 24x3 – 8x2 - 7x – 48
R( x) ) : 17x2 - 13x – 50
P( x) + Q( x) ) + R( x) :
b) R( y) ) : 235
7
5
4
3
2
1yyy
Q( y) : 345
5
1
3
2
4
3yyy
R(y) + Q( y) :
3. Dado el polinomioR( x) : 30x3 - 7x2 - 0,5x + 7,8 determinar unpolinomio T( x) para que la suma
R( x) :
-- 50 -
T( x) :R( x) + T( x) :
4. De a2 + b + 1 restar la suma de a2 – 2b con3b + 1
a) a2 + b b) 2 a2 + b c) 2a2 +bd) a2 b e) 0
5. Cuánto le falta a 1 – x para ser igual 1 + x?
a) 3x b) 2x c) 2d) 1 e) –2x
6. Si P( x) = 1 - x2 + x Q( x) = 2 – x R( x) = x2 + 2
¿Cuánto le falta a la resta de Q menos R paraser igual a la suma de P más Q?
a) 3 + xb) 2x2 – x - 2
c) x2 – x + 1
d) x - 3x2 + 1
e) 1 – 3x + x2
7. ¿Cuánto le falta a B para que sumado con Cdé A?
A = x +2
1 ; B = 2x -
3
1 ; c = 1 -
2
x
a) x -2
1
b)2
1 + 6
c) x +2
1
d) -2
1x-
6
1
e) 1 -3
x
8. ¿Cuánto hay que restar de –7x2 + 6x + 1para obtener 6x – 7x2 - 7
a) 8 b) – x2 + x - 2 c) 2x-3d) x - x2 – 5 e) x - 7
9. Restar de A, lo que queda de quitarle c a b.
a = 5x2 + x + 3
b = 3x2 – 5x2 – 1
c = 3x2 + 2x – 7
d = 3x2 + x – 1
e = 13x2 – 5
f = 2x - x2 + 2
g = 11x2 – 5x + 1
h = 8x2 – x + 8
10. Efectuar
6 + (x2 + x – 1) (x + 2) -x(x2 3x + 1)
a) 5 b) 2x c) 4d) x -1 e) x + 1
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MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Se resuelve aplicando, la propiedad distributivauna o mas veces según sea necesario.
Ejemplo:
- 6x2y (4x3y2 – 3yz4)= (-6x2y) (4x3y2) + (-6x2y) (-3yz4)= -24x5y3 + 18x2y2z4)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Efectúa las siguientes multiplicaciones.
a) -3(5x4y + 8x2y)
Solución :
b) -5abc2(4ac3 + 1,2ab2)
Solución :
-20a4bc5 – 6,0a4b3c2
Solución :
4x2 - 10x + 10x – 25= 4x2 - 25
d)
2
3
14
9
7
6
3
7 2232 yxyxxy
Solución :
233323
14
9
3
7
7
6
3
7yxxyyxxy
2
3
3
7 3xy
= 2x3y6+ 354
2
7
2
3xyyx
2. Efectuar
(x – 2) (2 + x) + 4
a) 2x2 b) x + 5 c) x2
d) x2 + 1 e) 2x2 - 3
Solución :
(x – 2) (2 + x) + 4
2x + x2 - 4– 2x + 4 = x2
Rpta. ( c )
3. (x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)
a) x2 + 1 b) -2x2 c) x2- 1
d) x + 1 e) 2x2
Solución :
(x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)
= x4 + 2x2 - x2 – 2 – (x2 – 2+ x4 - 2x2)
= x4 + x2 - 2 – (-x2 – 2+ x4)
= x4 + x2 - 2 + x2 + 2- x4 = 2x2
Rpta. ( e )
c)
-- 52 -
CONSTRUYENDO
MIS CONOCIMIENTOS
4. Efectuar:(x + a) (a + b) + (a - b) (x - b)
- (a + b) (a - b) – 2b2
a) 2ax b) ax + b c) ax - b2
d) ax + 2b e) –2ax
Solución :
(x+a)(a+b)+(a - b)(x - b)–(a+b)(a - b)–2b2
22 bbxabaxababxax222 2bbababa
axbbax 2222 22
Rpta. ( a )
5. Efectuar:
(32x2 - 20x3)+ )15105(5
12 2 xxx
a) 11x-6 b) 12x + 3 c) 13x-1
d) 17x - 1 e) 6x + 2
Solución :
(32x2 - 20x3)+ )15105(5
12 2 xxx
32x2- 20x3+10x + 20x3 –30x2 – 1 - 2x2 + 3x
= 13x –1
Rpta. ( c )
1. Si R(x) = 6x(2x – 1) + x (3x –2)Q(x) = x(2x – 1) + 3(x2 –2x+1)Hallar N(x) = R(x) + Q(x)
2. Si P(x) = 3x (1+2x-x2) – 6x + x2
Q(x) = x (1+x) – 3x(1 + x)Hallar A(x) = Q(x) - P(x)
3. Escribir El resultado de las siguientesmultiplicaciones
a) (2x +y) (x –2y)
b) (xy -1) (2x –2)
-- 53 -
REFORZANDO
MIS CAPACIDADES
c) (2 + x2) (3x –1)
d) (x -1) (x +1)
4. Hallar el área de la figura
5. Si P(x;y) = 2xy (x + y) + 3(3x2y+2y2x)
Q(x;y) = (x + y) x + y – 2xy (4-3) (x+y)
El número de términos de:
A(x;y) = P(x;y) + Q (x;y) es
a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e)4
1) Dado los polinomios:
P(x) = 5x2 – 6x + 4
Q(x) = 8x2 – 5x + 3
R(x) = x3 – 2x2 – 5x + 4
Hallar el resultado de las siguientesoperaciones
a) 4 P(x)
b) 7x2 Q(x)
c) – 8 R(x)
d) –5x2y P(x)
e) – 10xy2Q(x)
f) -7x2y3 R(x)
2) Efectuar ls siguientes multiplicaciones y hallarel resultado reducido.
a) (x+5) (x + 2)
b) (2x + 3) (x + 1)
c) (3x - 2y) (5x + 3y)
d) (x - 3) (x - 3)
e) (x + 7) (x - 7)
f) (x - y) (x + y)
3) Hallar el área de la siguiente figura.
-- 54 -
a) 36xy b) 12xz c) 36zyd) 12zy e) 12x(3y + z)
4) Efectúa la siguiente operación combinada.
a) 4a2 – 2a (3a + 5b2)b) 3a (b + 2c) – 4ab
5) Efectúa
2x (3y - x) + y (x + 2y)
6) Halla el área de la región sombreada
a) 3x2 b) x2 – 4 c) 3x2 + 8xd) 3x – 2 e) 2x2 – 2
7. Halla el área de la región sombreada:
a) 12x2 + 3x
b) 15x2 - x
c) 11x2 + 22x
d) 30x - 4x2
e) 15x2 – 8x
8. Efectúa
- 3n (5m3 – n) – 1,5m (-2m2n – 7n)
a) - 12m3n + 10,5 mn
b) –15m3 n + 3 n2
c) 18m3 + 3n2 + 10,5mn
d) 22m3 + 10,5mn
e) 3m3 n + 3 n2
9. Efectúa
- 6xy (3x2 + 2xy)+ 3x2 (9x + y2)+ 4x2y2
10. Halla el área de la región sombreada.
x + 1
POTENCIACION DE POLINOMIOS
Recordemos que:
an = a x a x a x a x …. a = P
n veces
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Es decir: la potencia P es el resultado demultiplicar por si mismo n veces una base a. Siesta base es un POLINOMIO, entoncestendremos POTENCIACION DE POLINOMIOS.
Ejemplo:
(5x+3)2 = (5x+3) (5x+3)
= 25x2= + 15x + 15x + 9
= 25x2= + 30x + 9
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Efectuar:
a) ( x - 1) 2
Solución :
( x - 1)2= ( x - 1) ( x - 1) = x2 - x – x + 1= x2 - 2x + 1
b) (3x2 + 6) 2
Solución:
= (3x2 + 6) 2 = (3x2 + 6) (3x2 + 6)
= 9x4 + 18x2 + 18x2+ 36
= 9x4 + 36x2 + 36
c)2
2 33
1
x
Solución :
22 3
3
1
x =
3
3
1 2x
3
3
1 2x
= 99
1 224 xxx
= 929
1 24 xx
2. Efectuar:
( x + 1) 2 - ( x - 1) 2
a) 2x – 1 b) x + 1 c) 6x – 3d) 7x + 3 e) 2x
Solución :
(x + 1)2 - ( x - 1) 2
= (x + 1) (x + 1) - ( x - 2) ( x - 2)
= x2 + x + x + 1 – (x2 - 2x – 2x + 4)
= x2 + 2x + 1 – (x2 - 4x + 4)
= x2 + 2x + 1 – x2 + 4x - 4)
= 6x – 3
Rpta. ( c )
3. Efectuar:
= 7 ( x – 7 )2 - 7 ( x + 7 )2
a) 196 b) 196x c)-196x
d) 192x e) -192x
SOLUCIÓN:
= 7 (x - 7) (x - 7)- 7 (x + 7) (x + 7)
=7(x2–7x-7x+49)–7(x2 +7x+7x+49)
=7( x2–14x+49 ) – 7( x2 +14x+49 )
=7x2 – 7(14x)+7(49)–7x2– 7(14x)-7(49)
- 2.7 (14x)
= - 14 (14x) = -196x
RPTA ( C )
4. Efectuar:
( x3 - 3x) 2 - )2)(2()1)(1( 2 xxxx
a) 1 b) 5 c) 7 d) 4 e) 8
Solución :
( x3 - 3x) ( x3 - 3x) - )4(1 222 xx
x6 - 3x4 - 3x4 + 9x2 – (x2 - 1) (x2 -1) (x2 - 4)
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CONSTRUYENDO
MIS CONOCIMIENTOSREFORZANDO
MIS CAPACIDADES
x6 - 6x4 + 9x2 – (x4 – 2x2 + 1) (x2 -4)
x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 2x4 + x2 –4x4 + 8x2 -4)
= x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 6x2 + 9x2 –4)
= x6 - 6x4 + 9x2 – x6 – 6x2 + 9x2 –4
= 4
Rpta (d)
1. Ðe que grado es el siguiente polinomio?
P(x) = x3 (x5 – 3)2 + 3x (x8 + 1)2
a) 15 b) 13 c) 17d) 14 e) 8
2. Dar el grado del producto de P(x) y Q(x)
sabiendo que:
P(x) = (x17 + x2 + 1)2 (x + 5) + x3 - 3
Q(x) = (2x7 - 5x3 + 3)x2 - x – 1
a) 12 b) 15 c) 22d) 44 e) 36
3. ¿Cuál es el término independiente al elevar alcubo el binomio (x + 4)?
a) 4 b) 64 c) 8d) 12 e) -12
4. Dar el término que no depende de “y” al
efectuar (2y + 2)3
a) 4 b) 6 c) 8d) 5 e) 7
1. Efectuar:
a) (3m5 + 3)2
b) (3mn2 - 3)2
c) (a – 2b)4
d) (x2 - 1)4
2. Efectuar: (x + 3)2 – (x + 1)
a) 2x + 1
b) 6x + 9
c) 6x + 8
d) 4x + 8
e) 4x + 9
3. Hallar:
(x2 + 3)2 – (x2 - 2)2 (3) + 2x4 – 18x2 – 8
a) 9 b) –12 c) - 8d) - 11 e) 13
4. ¿Cuál es el grado del producto P(x) y Q(x)
sabiendo que:
P(x) = (2x10 + 3)2 – x3 + 1
-- 57 -
Q(x) = (x18 – 3x12) x2 – x + 3
a) 36 b) 24 c) 56d) 20 e) 44
5. ¿Cuál es el término independiente al elevar alcubo el binomio (3m2 + 6)?
a) 36 b) 12 c) 18d) 216 e) -24
6. Dar el término que no depende de “z” alefectuar (3z + 8)3
a) 24 b) 64 c) 512d) 16 e) -32
7. Efectuar :
(x + 3)2 - (x - 1)2 + (x - 3)2 - (x + 1)2
a) 18 b) - 2 c) 16d) - 6 e) 10
8. Efectuar :(x + 5)2 - (x + 2)2 - (x - 2)2 - (x - 5)2
a) 50 b) 25 c) 42d) - 8 e) 21
9. Dar el término independiente al efectuar (x+ 3)2 - (18x + 32)
a) - 32 b) 9 c) - 23d) 41 e) - 9
10.Dar el grado del producto A(x), B(x) y C(x) sise sabe que:
A(x) = (2x3 - 1)2 x4 + x - 6B(x) = (x2 - 3)2 x + 5x2 - 1C(x) = (x - 5)2
a) 10 b) 17 c) 15d) 19 e) 14