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ALGEBRAALGEBRA
CICLO 4
BACHILLERATO A DISTANCIABACHILLERATO A DISTANCIA
IMPORTANTE!IMPORTANTE!
Esta asignatura est conformada
por 5 unidades. Usted tiene 30
das para su estudio y evaluacin.
Esta asignatura est conformada
por 5 unidades. Usted tiene 30
das para su estudio y evaluacin.
Mdulo 1Mdulo 1
UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD
1
Material tomado de
y ejercicios elaborados
por el licenciado
Matemticas
Interactivas
Rene Andrade
Material tomado de
y ejercicios elaborados
por el licenciado
Matemticas
Interactivas
Rene Andrade
Bajo Contrato Exclusivo para:
CAPACITACION 2000
Bajo Contrato Exclusivo para:Bajo Contrato Exclusivo para:
CAPACITACION 2000CAPACITACION 2000
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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AALLGGEEBBRRAA
OORRGGEENN El primero en utilizar esta expresin fue el matemtico AL-JUARISSKI por el ao 825 A.C. AALLGGEEBBRRAA Proviene del rabe ALGABR que significa ecuacin. EECCUUAACCIINN:: Significa igualdad. Modernamente una ecuacin es una expresin matemtica con dos miembros iguales. EEJJEEMMPPLLOOSS DDEE EECCUUAACCIINN
4 = 3 + 1 A = B + C x = 5 + 3
El lgebra se trabaja con smbolos llamados Smbolos Algebraicos as: NNuummrriiccooss Cuando se utilizan nmeros SSMMBBOOLLOOSS AALLGGEEBBRRAAIICCOOSS LLiitteerraalleess Cuando se utilizan letras A parte de los smbolos, en lgebra utilizamos los signos.
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SSiiggnnoo:: Seal que se usa en los clculos algebraicos para indicar relaciones, agrupaciones y operaciones.
DDIIVVIISSIINN DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS
Los signos se dividen as: 1) De operacin SSiiggnnooss 2) De relacin o que relacionan 3) Signos de agrupacin
SSIIGGNNOOSS BBSSIICCOOSS DDEE OOPPEERRAACCIINN
+ Ms o Positivo - Menos o Negativo , x Multiplicacin / Divisin Radicacin
SSIIGGNNOOSS BBSSIICCOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN
( ) Parntesis [ ] Corchete { } Llave
Barra
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SSIIGGNNOOSS BBSSIICCOOSS QQUUEE RREELLAACCIIOONNAANN
1. = Igual 6. >/ No es mayor que 2. No es igual o diferente 7. Menor o igual a 3. > Mayor que 8. No es menor o igual a 4. < Menor que 9. Mayor o igual a 5.
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DDIIVVIISSIINN PPRRCCTTIICCAA DDEE LLAASS EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS
Cuando la expresin consta MMoonnoommiiooss de un solo trmino. Ej: a, abc, b, axd. EExxpprreessiioonneess AAllggeebbrraaiiccaass Cuando la expresin consta PPoolliinnoommiiooss de varios trminos. Ej: a+b, 5a-3b, a+b+c
DDIIVVIISSIINN PPRRCCTTIICCAA DDEELL PPOOLLIINNOOMMIIOO
11)) BBiinnoommiioo Cuando consta de dos trminos Ej: ab+, b+c, ab+c PPoolliinnoommiioo 22)) TTrriinnoommiioo Cuando consta de tres trminos Ej: a+b+c, ab+cx+y 33)) PPoolliinnoommiioo Propiamente dicho cuando la expresin pasa de tres trminos.
DDIIVVIISSIINN PPRRCCTTIICCAA DDEELL GGRRAADDOO DDEE UUNNAA
EEXXPPRREESSIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA
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GGRRAADDOO DDEE LLAASS - GRADO ABSOLUTO EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS - GRADO RELATIVO
GGRR AADDOO AABBSSOOLLUUTTOO DDEE UUNNAA EEXXPPRREESSIINN
AALLGGEEBBRRAAIICCAA
DDEEFFIINNIICCIINN:: Toma este nombre la suma de los exponentes de la parte literal de una expresin algebraica. EJEMPLO: ab Grado absoluto = 4 abc Grado absoluto = 3 abc Grado absoluto = 4 GGRRAADDOO RREELLAATTIIVVOO DDEE UUNNAA EEXXPPRREESSIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA
DDEEFFIINNIICCIINN:: Toma este nombre cuando el grado lo relacionamos con una letra en particular de dicha expresin. EJEMPLO: a6bc5 Grado relativo con relacin a a = 6 cx4 Grado relativo con relacin a c = 3
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CCLLAASSEESS DDEE TTRRMMIINNOOSS
Los trminos algebraicos pueden ser enteros o fraccionarios. Cuando no presenta denominador literal EEnntteerroo Ejemplo: 5/2 b, b, 2abc TTrrmmiinnooss
Cuando presenta denominador literal
FFrraacccciioonnaarriioo Ejemplo: Abc/x, 3ab/c, 4ac/b TTRRMMIINNOOSS RRAACCIIOONNAALLEESS Toman este nombre los trminos algebraicos que no se encuentran bajo signo racional.
EEjjeemmpplloo:: aa,, aabbcc,, 55aacc
TTRRMMIINNOOSS IIRRRRAACCIIOONNAALLEESS Toman este nombre los trminos que se encuentran bajo signo radical, sin tener una raz exacta.
Ejemplo: 3 3,3, acaab
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CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE DDEE UUNN TTRRMMIINNOO
Es la parte numrica escrita al lado izquierdo de la parte literal. Ejemplo: 3 a, 5 abc, bx Los nmeros identificados con la flecha son coeficientes
TTRRMMIINNOO IINNDDEEPPEENNDDIIEENNTTEE El trmino independiente se toma con relacin a un trmino o especialmente con relacin a una letra, cuando no la contiene. Ejemplo: ax+bx+c C se toma como trmino independiente porque no contiene x ab+xb+5 5 se toma como trmino independiente porque no contiene a b
TTRRMMIINNOOSS SSEEMMEEJJAANNTTEESS Toman este nombre los trminos algebraicos que tienen idnticos la parte literal y su exponente, aunque los coeficientes sean diferentes en valor y signo. Ejemplo:
1. 3a y 5a
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2. -8x4 y 3x4
3. 1/5a y 4a
RREEDDUUCCCCIINN DDEE TTRRMMIINNOOSS SSEEMMEEJJAANNTTEESS Reduccin cuando los coeficientes tienen signos iguales.
Regla: Se suman los coeficientes y a la suma se le deja el mismo signo. La parte literal se mantiene.
Ejemplo 1: + 3a + 5a = 8a 3 positivo, ms 5 positivo, arroja 8 positivo Ejemplo 2: -6a + (-2a) = 8a Se suman coeficientes y se les deja el mismo signo. -6 y 2 es igual a 8, la parte literal se mantiene. 2) Reunin de trminos semejantes cuando los coeficientes tienen signos contrarios.
Regla: Se restan los coeficientes y al residuo se le escribe el signo del que posee mayor valor absoluto.
Son semejantes porque la parte literal y su exponente son idnticos.
Son semejantes porque la parte literal y su exponente son idnticos.
Son semejantes porque la parte literal y su exponente son idnticos.
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Ejemplo: 8a - 5a = 3a (8)+(-5)=3 De ocho positivo restar cinco. Como el positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo, la diferencia tres debe llegar el signo del mayor, es decir, el signo del ocho. 3) Cuando se presentan varios trminos semejantes: unos positivos y otros negativos. Regla: Se suman aparte los positivos y aparte los negativos y al resultado de estas dos sumas se le aplica la Regla vista para sumar trminos semejantes con signos diferentes.
Ejemplo: 3a + 8a - 15a - 20a - 2a y tenemos 3a + 8a +20a = 31a -15a-2a = -17a
31a - 17a = 18a
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EEJJEERRCCIICCIIOOSS RREESSUUEELLTTOOSS
1) -5m+8m = Reunimos trminos semejantes as: -5m +8m ; signos diferentes, se restan los coeficientes y el resultado lleva el signo del nmero mayor, luego:
-5m+8m =3m La parte literal se mantiene igual.
2) -4m-11m Reunimos los trminos semejantes. Como los signos son iguales sumamos las cantidades y la Respuesta conserva el signo que tienen en comn, as:
-4m-11m = -15m Sumamos los coeficientes y la parte literal se mantiene igual
3) 2x 4yx +5x +2xy
a) Unimos los trminos semejantes con x, as:
2x +5x = 7x
b) Unimos los trminos semejantes con xy, as: - 4xy + 2xy = - 2xy
CONCLUSIN: 2x-4xy +5x +2xy = 7x-2xy
4) 7mn-4mn + 8mn-3mn + mn Reunimos los trminos semejantes con mn, tenemos:
1. 4mn +mn +8mn = 5mn Reunimos los trminos semejantes con mn y tenemos: 2. 7mn - 3mn = 4mn
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CONCLUSIN: 7mn-4mn + 8mn-3mn + mn = 5mn + 4mn
5) 2ab - 12ab + 7ab - ab + 5ab - 2ab TTeenneemmooss:: 2ab + 7ab-ab = 9ab-ab = 8ab -12ab + 5ab-2ab = -14ab+5ab = - 9ab LLuueeggoo:: 2ab - 12ab+ 7ab - ab + 5ab - 2ab = 8ab - 9ab 6) -d +3d 5d + 4d c 2c + c RReeuunniimmooss:: --dd++33dd 55dd ++ 44dd == --66dd ++ 77dd --cc--22cc++cc == --33cc++cc = d = -2c as: -d+3d 5d + 4d c 2c + c = d 2c 7) 8-5m + 3 7m - m 9 8m TTeenneemmooss:: 8+3-9 = 2 -5m-7m-8m = -20m -m = -m LLuueeggoo:: 8-5m + 3 7m - m 9 8m = 2 m 20m
EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS HHOOMMOOGGNNEEAASS
Toman este nombre las expresiones algebraicas que tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: 1. 33aabb55 yy 55bbxx55 2. 55aa yy 33xx
En ambas expresiones el grado absoluto es 7, luego son homogneas.
En ambas expresiones el grado absoluto es 2, por lo tanto, son homogneas.
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EEXXPPRREESSIIOONNEESS HHEETTEERROOGGNNEEAASS
Cuando el grado absoluto de sus trminos es diferente.
Ejemplo:
1.. 33aa yy 88aa 2.. 88xx55 yy 44xx
PPOOLLIINNOOMMIIOO OORRDDEENNAADDOO
Toma este nombre cuando un polinomio se ordena con relacin a una letra y ms especficamente, con relacin a los exponentes de cierta letra. La letra usada en el polinomio se llama letra ordenatriz y generalmente se ordena en forma descendente de izquierda a derecha, aunque algunas veces podra ser al contrario.
Ejemplo:
1.. aaxx44 ++ bbxx ++ ccxx ++ 33xx De lo anterior se extrae otro concepto IMPORTANTE que es: Polinomio Completo. Toma este nombre cuando la letra usada en forma descendente, como es el caso de la x, su ltimo exponente es la unidad. Ejemplo:
El grado absoluto de cada expresin es diferente, por lo tanto, son heterogneas.
El grado absoluto de cada expresin es diferente, por lo tanto, son heterogneos.
Es un polinomio ordenado en forma descendente con relacin a x
Es un polinomio completo.
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2. Ax4 + Bx + Cx + 3x
UTILIZACIN DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIN
IMPORTANTE
Los signos de agrupacin se utilizan para indicar que los trminos que se encuentran en su interior DEBEN TOMARSE COMO UNA CANTIDAD. Ejemplo: 1. ((33++44++55)) 2. ((aa++bb++cc))
IMPORTANTE Dos o ms signos de agrupacin unidos indican multiplicacin. Ejemplo: 1. ((aa++bb))((aa++bb) 2. ((aa++55))((bb--33))
SSIISSTTEEMMAA PPAARRAA EELLIIMMIINNAARR SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN
1) CUANDO EL SIGNO DE AGRUPACIN EST PRECEDIDO DEL SIGNO MENOS (-).
Deben tomarse como si dijsemos 12
Debe tomarse como si una sola cantidad
Indican que a+b debe multiplicarse por a+b
Indican que a+5 debe multiplicarse por b-3
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Regla: Para eliminar un signo de agrupacin precedido del signo menos, a las cantidades internas se les cambia el signo.
Ejemplo: Eliminar el parntesis de: - (-5)
Aplicando la Regla tenemos: PPrriimmeerroo:: El signo de agrupacin est precedido del signo menos, por lo tanto a la cantidad interna se le cambia el signo. SSeegguunnddoo:: La cantidad interna es negativa, luego al destruir el parntesis debe salir con signo cambiado, es decir, positiva. Y tenemos: Ejemplo: -(-5) = 5 Podramos escribirlo +5, pero cuando el valor es positivo no se le escribe signo, o sea que, +5 = 5 -(3+5-2) SSoolluucciinn 3 es positivo, sale negativo (-3) 5 es positiva, sale negativo (-5) -2 es negativo, sale positivo (2) yy tteenneemmooss:: --((33++55--22)) == --33--55++22 == --88++22==-- 66 Ejemplo: -(a+b-c)
SSoolluucciinn:: a es positivo, sale negativo (-a) b es positivo, sale negativo (-b) -c es negativo, sale positivo (c)
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yy tteenneemmooss:: --((aa ++ bb -- cc)) == --aa bb ++cc Ejemplo 4: -(5-4+ab-c) 5 es positivo, sale negativo 5 -4 es negativo, sale positivo, 4 +ab es positivo, sale negativo, -ab -c es negativo, sale positivo, +c yy tteenneemmooss:: --((55--44++aabb--cc)) == --55++44 aabb ++ cc ddee ddoonnddee:: -- 55 ++ 44 aabb ++ cc == --11 aabb++cc
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EEJJEERRCCIICCIIOOSS
EElliimmiinnaarr llooss ppaarrnntteessiiss ddee:: 1) -(-2+3-9-1) = -2 es negativo, sale positivo, 2 3 es positivo, sale negativo, -3 -9 es negativo, sale positivo 9 -1 es negativo, sale positivo 1 eennttoonncceess --((--22++33--99--11)) == 1122--33 == 99
2) -(b+c-b+2c)
Tenemos: b es positivo, sale negativo b c es positivo, sale negativo c -b es negativo, sale positivo, b 2c es positivo, sale negativo 2c
Luego: -(b+c-b+2c) = -b-c+b-2c = -b+c-b-2c = 0 3c EEnnttoonncceess:: --((bb ++ cc bb ++ 22cc)) == --33cc 3) -(-2+5-8) (-1-2)
Eliminemos el primer parntesis as: -2 es negativo, sale positivo 2 5 es positivo, sale negativo 5 -8 es negativo, sale positivo 8 Eliminemos el segundo parntesis
-1 es negativo, sale positivo 1
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-2 es negativo, sale positivo 2 TTeenneemmooss:: -(-2+5-8) (-1-2) = 2-5+8+1+2 = 13-5 = 8 4) -(-4x+2y) (- 5x-y)
Eliminemos el primer parntesis as: -(-4x+2y) = 4x-2y (cambian de signo) Eliminemos el segundo parntesis as:
-(- 5x-y) = 5x+y LLuueeggoo:: -(-4x+2y) (- 5x-y) = 4x 2y + 5x + y = 4x+5x 2y + y = 9x-y 5) -(3mn 4b+1) (-mn+b+2)
Destruimos los dos parntesis as:
-(3mn-4b+1) = -3mn+4b-1 Cambian --((--mmnn++bb++22)) == mmnn--bb--22 ddee SSiiggnnoo EEnnttoonncceess:
-3mn + 4b 1 + mn b 2 = -3mn + mn + 4b b 1 2
== --22mmnn ++ 33bb -- 33
6) -(-x + y - 4x) (-2x+y) (-5x-y) Eliminemos los tres signos de agrupacin de la siguiente manera:
-(-x+y-4x) = x-y+4x -(-2x +y) = 2x -y -(-5x -y) = 5x +y
TTeenneemmooss:: -(-x +y - 4x) (-2x + y) (-5x -y) = x-y +4x +2x - y + 5x + y = x +x +2x +5x -y -y +y = 12x -y
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2) CCUUAANNDDOO EELL SSIIGGNNOO DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN EESS PPRREECCEEDDIIDDOO PPOORR EELL SSIIGGNNOO MMSS ((++))
Regla: Para eliminar un signo de agrupacin precedido del signo ms, se sacan todos los valores internos conservando su signo.
Ejemplo: +(3+2-5) SSoolluucciinn 33 eess ppoossiittiivvoo,, ssaallee ppoossiittiivvoo 2 es positivo, sale positivo -5 es negativo, sale negativo
y tenemos: ++((33++22--55)) == 33++22--55 == 00
EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCOONN SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN
Ejercicios resueltos pasando de simples a complicados:
Ejemplo: 1) -(2-5+3) + (-1-8+2) El primer parntesis precedido del signo (-), indica cambio de signos as: 2 es positivo, sale negativo, -2 -5 es negativo, sale positivo, 5 3 es positivo, sale negativo, -3
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El segundo parntesis precedido del signo (+), indica que todos los valores internos conservan su signo,
luego:
--22++55--33--11--88++22 == --1144++77 == --77
Ejemplo: 2) -[+(b-a+3c)]
Tenemos un signo de agrupacin interno que eliminamos antes que el corchete; como est precedido del signo (+), nada cambia, as:
-[b-a+3c]
ahora eliminamos el corchete; precedido del signo (-), todo cambia. Y tenemos:
-b+a-3c
Ejemplo: 3) - {3a+[-5-(-2+3b-c)]-4}
Eliminamos los signos de agrupacin de adentro hacia fuera, as:
Primero el parntesis, precedido del signo (-), indica cambio de signo a las
cantidades incluidas en l.
Tenemos: -(-2+3b-c) ; quedar +2-3b+c Tenemos: - {3a+[-5+2-3b+c]-4}
+[-5+2-3b+c]=-5+2-3b+c
ahora eliminamos el corchete, precedido de +, nada cambia.
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LGEBRA 2
OOPPEERRAACCIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS
Las operaciones algebraicas corresponden a las mismas operaciones aritmticas. Es decir:
Adicin (Suma) Sustraccin (Resta) Multiplicacin Divisin Potenciacin Radicacin Logaritmacin
AADDIICCIINN
DDeeffiinniicciinn::
Es la unin de varias expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresin llamada TOTAL.
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IMPORTANTE ! Iremos paso a paso hasta comprenderlo todo
SSUUMMAA DDEE DDOOSS NNMMEERROOSS CCOONN SSIIGGNNOOSS IIGGUUAALLEESS
Regla Se suman los valores absolutos y el total conserva el signo de los sumandos. Ejemplo 3 + 2 = 5 - 3 + (-2) = -5 - 8 + (-10) = -18
SSUUMMAA DDEE NNMMEERROOSS CCOONN SSIIGGNNOOSS DDIIFFEERREENNTTEESS
Regla Al nmero de mayor valor absoluto se le resta el menor y al resultado se le escribe el signo del nmero con mayor valor absoluto.
Los sumandos son positivos (+3 y +2) por tanto el resultado es positivo.
Los sumandos (-3) y (-2) son negativos por tanto el resultado es negativo siguiendo la Regla.
Los sumandos son negativos, el resultado es negativo.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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Ejemplo 6+(-4) = 6-4 = 2 3+(-4) = 3-4 = -1 -7+2 = 2-7 = -5
SSUUMMAA DDEE TTRRMMIINNOOSS SSEEMMEEJJAANNTTEESS
Recordemos que trminos semejantes son los que tienen la parte literal y los exponentes idnticos de cada letra. Ejemplo 3a y 8a. Regla Se suman los coeficientes de acuerdo a las Reglas vistas y al resultado se le agrega la parte literal. Ejemplo 3a + 2a = 5a 5b + 3b = 8b 5a-3a = 2a
El resultado (2) es positivo porque 6 es positivo y tiene mayor valor absoluto que 4.
El resultado es negativo porque (-4) tiene mayor valor absoluto que (-3) por lo tanto el resultado es negativo.
Por la causa explicada.
El procedimiento es sumar 3+2=5 y al resultado en este caso 5 se le agrega la parte literal a.
El procedimiento es 5+3=8 y se le agrega, b.
El procedimiento es 5-3=2 y el resultado se le agrega a.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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3a-8a = -5a
SSUUMMAA DDEE TTRRMMIINNOOSS NNOO SSEEMMEEJJAANNTTEESS
Regla Se escriben como aparecen teniendo en cuenta que lleven cierto orden alfabtico si es posible. Ejemplo 3b + 3a = 3a + 3b -2c + 3b + 5a = 5a + 3b 2c
SSUUMMAA DDEE MMOONNOOMMIIOOSS
Regla 1) Se escriben todos los trminos, uno a continuacin del
otro, separados con los propios signos. 2) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3) Los trminos no semejantes quedan como estn. 4) Lo que quede, despus de reducir los trminos
semejantes, se escriben uno a continuacin del otro incluyendo los no semejantes.
El procedimiento es 3-8= -5 y al resultado se le agrega a.
Por lo menos se ordenan alfabticamente si es posible.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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Ejemplo
Sumar los monomios siguientes:
3a + 5a - 2a + 3b b + c
Segundo punto de la Regla
3a + 5a - 2a = 6a 3b b = 2b
Tercer punto de la Regla
c = c Cuarto punto de la Regla
6a + 2b + c De donde:
3a + 5a 2a + 3b + b + c = 6a + 2b + c
IMPORTANTE ! Trmino y Monomio son sinnimos ya que un monomio es la expresin algebraica que consta de un trmino. Por tanto, todo lo que hemos hechos hasta el momento lo podemos bautizar como suma de monomios. Ejercicios Elaborar la suma correspondiente de los siguientes monomios: -6a; 15b4; - 13m; - 20a; 5b4; 8m; -10y4
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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Primer punto de la Regla
-6a + 15b4 13m - 20a + 5b4 + 8m - 10y4
Segundo punto de la Regla Semejante
-6a + 15b4 13m - 20a + 5b4 + 8m - 10y4
Semejante No semejante
Semejante
De donde:
-6a - 20a = - 26a 15b4 + 5b4 = + 20b4 -13m + 8m = - 5m
Tercer punto de la Regla:
-10y4 queda como est
Cuarto punto de la Regla Uniendo lo que queda tenemos:
-26a + 20b4 5m - 10y4
CONCLUSIN:
-6a + 15b4 13m - 20a + 5b4 + 8m - 10y4 = -26a + 20b4 5m - 10y4
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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NOTA Cuando no se presentan trminos semejantes simplemente se relacionan los trminos dados con los signos correspondiente. Ejemplo: Sumar los monomios siguientes:
8my; - 23n6x; - 4xy; + 12z4; - 15
Respuesta:
8my - 23n6x - 4xy + 12z4 15
SSUUMMAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS
Polinomio es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos algebraicos.
Regla 1) Se escriben los polinomios uno debajo del otro de tal
manera que los trminos semejantes se correspondan. 2) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3) Si no existen trminos semejantes se escriben los
trminos uno a continuacin del otro separados por sus propios signos.
Ejemplo: Sumar los polinomios siguientes:
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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3a5 8mx - 12yz 15; - 3yz + 5myx + 20; -11a5 + 10mx - 2yz
Desarrollo Primer punto de la Regla
3a5 - 8mx - 12yz 15 + 5mx - 3yz + 20 -11a5 + 10mx - 2yz
Segundo punto de la Regla
3a5 - 8mx - 12yz 15 + 5mx - 3yz + 20 -11a5 + 10mx - 2yz -85 + 7mx - 17yz + 5
Resultado de la suma
-8a5 + 7mx - 17yz + 5 Ejemplo Elaboremos la suma de los polinomios siguientes: -10bx + 12b4y5 18y4 6z + 12; 6bx + 3 - 8b4y5 + 3y4 6z; -4b4y5 7bx - 25 + 12z; bx + 8y4 2b4y5
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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Solucin:
-10bx + 12b4x5 - 18y4 - 6z + 12 6bx - 8b4y5 + 3y4 - 6z + 3 - 7bx - 4b4y5 + 12z - 25 bx - 2b4y5 + 8y4 -10bx - 2b4y5 - 7y4 - 10
IMPORTANTE La forma vista facilita el proceso de la suma de polinomio pero no es indispensable hacerlo. Se pueden escribir los polinomios uno a continuacin del otro y reducir los trminos semejantes. Lo que quede es el resultado de la suma. Ejemplo Sumar los siguientes polinomios
3m + 8n - 4x + 6; - 10n + 10m - 15; - 6x + 8m - 5n + 2
Solucin Colocamos todos los sumandos uno a continuacin del otro tachamos los trminos semejantes.
3m + 8n - 4x + 6 - 10n + 10m - 15 - 6x + 8m - 5n + 2
Resultado de la suma:
21m - 7n - 10x - 7
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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IMPORTANTE ! Si los polinomios dados no tienen trminos semejantes, simplemente se escriben uno a continuacin del otro teniendo en cuenta que cada trmino vaya separado del anterior por su propio signo. Ejemplo Sumar los polinomios siguientes:
3a - 8b + 6y; - 5m + 6y4 8z; -2mx + 6bz 12
Solucin: Por no tener trminos semejantes, simplemente los relacionamos uno a continuacin del otro y tenemos como Respuesta:
3a - 8b + 6y - 5m + 6y4 8z -2mx + 6bz 12
Ejercicios 1) SSuummaarr:
3bx 18mx + 15yz; - 24yz + 5bx + 2mx - 9; -bx + 12 3yz
Solucin
3bx 18mx + 15yz 5bx + 2mx - 24yz 9 -bx - 3yz + 12 7bx - 16mx - 12yz + 3
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
30
22)) SSuummaarr
-8ab - 5my + 6by + 4mz; 6ab + 5my 15mz + 15; 2ab - 3mz 3my
Solucin
-8ab - 5my + 6by + 4mz 6ab + 5my - 15mz + 15 2ab - 3my - 3mz - 3my + 6by - 14mz + 15
33)) SSuummaarr::
a + 5bm 3y + 8z; -5 + 3b 12z4; 6b4y5 - 8mx 3bz
Solucin:
a-5a+3b+5bm+6b4y53bz-8mx-3y- 12z4+8z
44)) SSuummaarr
8b + 6b - 5b4 12; - 4b4 + 6b - 15b - 18; 10b4 15b - 16 4b
Solucin:
8b + 6b - 5b4 - 12 6b - 15b - 4b4 - 18 -15b - 4b + 10b4 - 16 -b - 13b + b4 - 46
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
31
5) Sumar:
-2mx + 6mx4 + 2x5 + 8; - 2mx4 + 6x5 3y + 3; 4y + 6x5 4mx4 2; 8mx 3x5 4 2y
Solucin:
- 2mx + 6mx4 + 2x5 + 8 - 2mx4 + 6x5 3y + 3 - 4mx4 + 6x5 + 4y - 2 8mx - 3x5 2y - 4 6mx +11x5 y + 5
SSUUSSTTRRAACCCCIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA
RReeggllaa GGeenneerraall 1) El o los trminos del minuendo conservan su signo 2) Al o a los trminos del sustraendo se les cambia el signo 3) Hecho lo anterior se reducen trminos semejantes si los
hay. NOTA Es IMPORTANTE NOTAr que el minuendo generalmente va precedido de la palabra a o de y el sustraendo va despus de la palabra restar.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
32
SSUUSSTTRRAACCCCIINN DDEE MMOONNOOMMIIOOSS
Regla 1) El trmino minuendo conserva su signo. 2) Al trmino sustraendo se le cambia el signo. 3) Se reducen los trminos semejantes si los hay. Ejemplo:
De 8a restar 5a
IMPORTANTE ! 8a es positivo y es el minuendo; 5a es positivo y es el sustraendo, a 5a le cambiamos el signo por ser sustraendo y tenemos:
8a - 5a = 3a
Minuendo Sustraendo Diferencia
Elaboremos otro Ejemplo: Restar 12my4 de 5my4 5my4 es el minuendo y queda como est; -12ny4 es el sustraendo. Se le cambia el signo y tenemos:
5my4 + 12my4 = 17my4
Minuendo Sustraendo Diferencia Elaboremos otro Ejemplo Restar 2xz de 18xz
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
33
-18xz minuendo, queda como est; -2xz sustraendo, se le cambia el signo, de donde
-18xz + -2xz = -16xz
Veamos un Ejemplo ms: de -4xz4 restar 9mx IMPORTANTE ! Como no hay trminos semejantes la operacin simplemente queda indicada.
-4xz4 minuendo 9mx sustraendo De donde queda: -4xz4 - 9mx
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss 1) De 18ax restar 4ax Solucin
-18ax + 4ax = -14ax 2) Restar 21mxy de 6mxy Solucin
6mxy - 21mxy = -27mxy
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
34
3) Restar 4abz de 6az
Solucin:
6az + 4abz = 6az + 4abz
RREESSTTAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS Regla 1) Se escribe el polinomio minuendo. Cada trmino con su
signo correspondiente. 2) Debajo del minuendo escribimos el sustraendo colocando
cada trmino semejante debajo de su trmino semejante teniendo presenta de cambiarle el signo a cada trmino del sustraendo.
NOTA No debe olvidarse que generalmente al minuendo lo determinara la palabra de o a. Elaboremos un Ejemplo:
De 4a - 5m + 8y 3z restar 9m + 6y + 7z 10a
Solucin: 4a - 5m + 8y 3z +10a + 9m - 6y - 7z +14a + 4m + 2y 10z
El minuendo conserva los signos
A cada trmino del sustraendo le cambiamos el signo.
Diferencia
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
35
Elaboremos otro Ejemplo Restar 8ab - 9b5m 8x + 15 de 3ab - 6b5m - 9z + 13 Solucin
-3ab - 6b5m 9z + 13 { Minuendo
-8ab + 9b5m - 15 + 8x
-11ab + 3b5m 9z - 2 + 8x { Diferencia Elaboramos otro Ejemplo
De 7mx + 12x - 12y - 5z restar 5mx5 + 9z5 + 8 NOTA Observe que en los dos polinomios dados no existen trminos semejantes. Cuando esto sucede se deja planteada la operacin teniendo en cuenta que al sustraendo se le cambia el signo. Solucin
7mx + 12x - 12y - 5z + 5mx5 + 9z5 + 8
MMiinnuueennddoo SSuussttrraaeennddoo
Sustraendo con signo contrario
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
36
EEJJEERRCCIICCIIOOSS RREESSUUEELLTTOOSS
1) De3ab + 5mx + 6yz4 8 restar 5ab - 12mx + 10yz4 + 6 Solucin
3ab + 5mx + 6yz4 8 -5ab + 12mx - 10yz4 6 -2ab + 17mx - 4yz4 14
2) Restar 4y + 5y4 6y5 8y6 de 4y6 3y5 + 2y- 14y + 6y4 9 Solucin
-4y6 3y5 + 6y4 + 2y3 14y 9 +8y6 + 6y5 5y4 4y +4y6 + 3y5 + y4 2y - 14y 9
3) Restar 2mx 3ay - 6z + 8 de 8 6z - 3ay + 2mx Solucin 2mx 3ay - 6z + 8
-2mx + 3ay + 6z - 8 0
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
37
4) De 2ab - 7bn + 6cy restar 2ab + 7bm-6cy Solucin
2ab - 7bm + 6cy 2ab - 7bm + 6cy 4ab - 14bm + 12cy
5) Restar 2a - 5a + 3a - 1 de 7a4 3b + 8cy Solucin
7a4 3b + 8cy 2a + 5a - 3a + 1
6) De 5xy + 4xy - 2xy4 7y5 + 6 restar 4y5 y 2xy - 4z + 3xy4 Solucin
5xy + 4xy - 2xy4 7y5 + 6 -2xy + 3xy4 4y5 + 4z 3xy + 4xy + xy4 11y5 + 4z + 6
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
38
MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA
DDeeffiinniicciinn Es una operacin directa que tiene por objeto conseguir una cantidad (producto que sea con respecto al multiplicando, lo que el multiplicador es con respecto a la unidad). IMPORTANTE ! Para la multiplicacin algebraica se debe comprender en forma clara cuatro puntos bsicos que son:
Ley de los Signos Ley de los Exponentes Ley de los Coeficientes Multiplicacin de Fraccionarios
LLEEYY DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS
Utilizando expresiones consiste en los siguiente:
El producto de 2 signos iguales arroja un signo positivo
El producto de 2 signos diferentes arroja signo negativo
La misma ley usando los signos
ms por ms arroja ms menos por menos arroja ms
ms por menos arroja menos menos por ms arroja menos
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
39
NOTA El punto indica multiplicacin
+ . + = + - . - = + + . - = - - . + = -
Ejemplo a . b = ab + . + = + - a . b = ab - . - = + a . b =-ab + . - = - - a . b =-ab - . + = -
NOTA: Cuando el primer nmero o letra es positivo (+) no se escribe el signo.
LLEEYY DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS CCUUAANNDDOO EEXXIISSTTEENN MMSS DDEE DDOOSS FFAACCTTOORREESS
1) Si en un producto el nmero de factores Negativos que interviene es Par, el producto es Positivo. Ejemplo
a.b.-c.-d = abcd + . + = + . - = - . - = +
-5.3.2.-4 = 120 - . + = - . + = - . - = +
2) Si en un producto el nmero de factores es Negativo es impar, el producto es Negativo.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
40
Ejemplo: a.b.c.-d = -abcd + . + = + . + = + . - = -
-a.-b.c.-d = -abdc - . - = + . + = + . - = -
SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS
1) Sin un producto de varios factores se le cambia el signo a un nmero par de ellos, el signo del producto no vara. Ejemplo:
a . b . c . -d = -abcd Cambiemos el signo de b y c
a . b. c. d = -abcd + . - = - . - = + . - = - 2) Si en un producto de varios factores se le cambia el signo a un nmero impar de ellos, el signo del producto vara. Ejemplo:
-a. b. c. d. = abcd - . - = + . - = - . - = + Cambiemos el signo de a a. b. c. d = -abcd + . - = - . - = + . - = -
Observe que por cambiar el signo a un trmino cambio
el signo del producto
-a. b. c. d = abcd - . - = + . - = - . - = +
Cambiemos el signo de a,b,c,
a . b . c . d = -abcd + . + = + . - = -
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
41
LLEEYY DDEE LLOOSS EEXXPPOONNEENNTTEESS CCOONN RREESSPPEECCTTOO AA LLAA MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN
Para elaborar multiplicaciones algebraicas es necesario que el alumno tenga claro cmo aplicar la ley de los exponentes cuando se multiplican potencias de igual base. La ley es la siguiente: Para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman sus exponentes. En trminos matemticos es igual a decir: am . an = am+n
{ El punto indica multiplicacin
Se lee: a a la m por a a la n es igual a a a la m ms n Ejemplo
am . an = am+n Sea a = a
m = 2 n = 3
y tenemos: Exponentes
a2 . a3 = a2+3 = a5
Igual base
Dicho de otra manera
a2 . a3 = a5
Miremos otros Ejemplos: 1 Multiplicar: X6 . X2 = X6+2
X6 . X2 = X8
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
42
2) Multiplicar: Z4 . Z5 . Z3 Solucin:
Z4 . Z5 . Z3 = Z4+5+3 Z4 . Z5 . Z3 = Z12
IMPORTANTE ! En muchas multiplicaciones algebraicas las bases (letras) no son iguales; entonces para aplicar la ley de los exponentes, decimos que el resultado es igual a cada base (letra) elevada a su propio exponente. En forma general es lo siguiente:
am . bn = ambn
Bases diferentes
Ejemplos: 1) Multiplicar X6 . Y3 Solucin:
X6 . Y3 = X6Y3
2) Multiplicar: c . d4 . y5 Solucin:
c . d4 . y5 = c2d4y5
IMPORTANTE ! Cuando hay multiplicaciones con letras (bases) diferentes pero algunas de estas letras son iguales entre si, se suman los exponentes de stas. Ejemplo: Multiplicar X . X . Y4 . Y5
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
43
Solucin: X . X . Y4 . Y5 = X5 . Y9
Igual Base Igual Base Otro Ejemplo:
X . X4 . Y . Y4 . Z5 . Z = X7 . Y6 . Z7 Igual Base Igual Base Igual Base
Otro Ejemplo:
X . Y4 . Y5 . X3 = X5 . Y9
Igual Base
Igual Base
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
44
LGEBRA 3
LA SUMA DE MONOMIOS CON COEFICIENTE FRACCIONARIO
En la suma de Monomios con coeficiente fraccionario se aplica el mismo proceso de los Monomios con coeficientes enteros, teniendo en cuenta que la suma de los coeficientes se elabora de acuerdo con la suma de fraccionario. Como va de repaso recordemos la Regla de la suma de fraccionarios con igual denominador y la suma de fraccionarios con diferente denominador.
SUMA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
REGLA: Se suman los numeradores y al resultado se le deja el mismo denominador EJEMPLO:
45
423
42
43 =+=+
a45a
423a
42a
43 =+=+
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
45
SSUUMMAA DDEE FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS CCOONN
DDIIFFEERREENNTTEE DDEENNOOMMIINNAADDOORR
Regla: 1) Se simplifican las fracciones si es posible. 2) Se establece un comn denominador, el ms indicado, como
comn denominador, es el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
3) Cada fraccin se pasa al denominador comn. 4) Se suman los numeradores y se deja el denominador
comn. 5) Se simplifica la fraccin si es posible. Veamos un Ejemplo con trminos numricos: SSuummaarr::
+
AApplliiccaannddoo llaa RReeggllaa:: Se simplifican las fracciones si es posible. HHaaggmmoosslloo:: Simplificando
3 = = y
8
6 4 16 10
6 6 3 16 16 8
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
46
2 = =
5 CCOONNCCLLUUSSIINN
83
166 =
y Por tanto queda 52
+83
52
104 =
2. Se establece un comn denominador. El ms indicado es el mnimo comn mltiplo de los denominadores. RECUERDE El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros es el menor nmero que los contiene a todos en una forma exacta. Ejemplo: Porque 6 es el menor a) El m.c.m. de 2 y 3 = 6 nmero que contiene a 2 y 3, en forma exacta Porque 8 es el menor b) El m.c.m. de 8 y 4 = 8 nmero que contiene a 8 y 4, en forma exacta
4 4 2 10 10 5
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
47
Porque 30 es el menor c) El m.c.m. de 2, 3 y 5 = 30 nmero que contiene a 2, 3 y 5 en forma exacta De lo dicho podemos establecer que el comn denominador de 8 y 5 es 40 porque es el menor nmero que los contiene en forma exacta. Por lo tanto:
+ =
3. Cada fraccin se pasa a denominador comn. Regla: Para pasar una fraccin a otra fraccin de denominador dado, el denominador se divide por el denominador de la fraccin y el cociente se multiplica por el numerador. PPaasseemmooss::
1) 83 a denominador 40 y tenemos:
2) x 3 = 15 PPoorr lloo ttaannttoo::
3) 83 =
4015
3 2 8 5 40 Denominador comn
40 8
Numerador de la nueva fraccin
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
48
Pasemos 2/5 a denominador 40 y tenemos:
4) 540 x 2 = 16
Por lo tanto:
4016 =
52
Abreviadamente tenemos:
6) 40
161552
83 +=+
4. Se suman los numeradores y se deja el denominador comn y tenemos:
7) 4031
401615
52
83 =+=+
Elaboramos la misma operacin abreviada SSuummaarr 3 2
4031
401615
104
166 =+=+
8 5
Elaboremos sumas de monomios con coeficientes fraccionarios. Regla: 1) Se escriben todos los trminos, uno a continuacin del otro,
separados por sus propios signos.
numerador de la nueva fraccin
Suma de los numeradores Denominador comn
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
49
2) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3) Los trminos no semejantes quedan como estn. 4) Lo que quede, despus de reducir los trminos semejantes, se
escriben uno a continuacin del otro incluyendo los no semejantes.
Ejemplo: SSuummaarr::
b41- y ,b
32 ,a
21,a
51 ,a
43
AApplliiccaannddoo llaa RReeggllaa:: 1) Se escriben todos los monomios uno a continuacin del otro,
separados en sus propios signos.
2) HHaaggmmoosslloo:: b41- b
32 a
21a
51 a
43 ++
3) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 4) Observe que hay dos clases de trminos semejantes. Por una
parte los que contienen a y por otra parte los que contienen b. RReedduuzzccaammooss llooss qquuee ccoonnttiieenneenn aa yy tteenneemmooss::
a21a
51 a
43 +
Recuerde que para reducir trminos semejantes se suman los coeficientes y se agregan a la parte literal. HHaaggmmoosslloo::
+ - = =
m.c.m. de los denominadores y denominador comn. Reduzcamos los que tienen b.
3 1 1 15 + 4 10 9 4 5 2 20 20
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
50
- = =
m.c.m. de los denominadores y denominador comn
RReessuummiieennddoo::
b125a
209b
41b
32a
21a
51a
43 +=++
Elaboremos otro Ejemplo: Sumar:
4y21m
54;a
52;a
43;a
61;a
21
Se escriben uno a continuacin del otro respetando su signo, y tenemos:
4y21m
54a
52a
43a
61a
21 +++
Trminos semejantes Trminos no semejantes
Reduzcamos los trminos semejantes:
6029
6024151030
52
43
61
21 =++=++
Resumiendo nos queda:
4y21m
54a
52a
43a
61a
21 +++
4y21m
54a
6029 +=
SSUUMMAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS
Regla
2 1 8 - 3 5 3 4 12 12
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
51
1. Se escriben los polinomios uno debajo del otro, de tal manera que los trminos semejantes se corresponda. 2. Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3. Si no existen trminos semejantes se escriben los trminos uno a continuacin del otro, separados por sus propios signos. Elaboremos un Ejemplo: SSuummaarr::
xm51xy
32;15zy
31xm
42a
31 5 ++
zy21
xm43
+a21
;20+ 5
AApplliiqquueemmooss llaa RReeggllaa:: 1. Se escriben los polinomios uno debajo del otro, de manera que los trminos semejantes se corresponda. Hagmoslo:
15zy31xm
42a
31 5 +
20zy32xm
51 ++
zy21xm
43a
21 5 +
Reduzcamos los trminos semejantes:
RReedduuzzccaammooss:: 55 a21a
31
Elaboramos la suma algebraica de los coeficientes y a continuacin dejamos la parte literal.
HHaaggmmoosslloo:: 5a61
632
21
31 ==
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
52
Luego:
555 a61a
21a
31 =
Tomemos la segunda columna y reduzcamos:
xm43xm
51xm
42 ++
Sumando los coeficientes tenemos:
209
2015410
43
51
42 =++=++
Luego:
xm209xm
43xm
51xm
42 =++
Tomemos la tercera columna y reduzcamos:
zy21zy
32zy
31 +
Sumando los coeficientes, tenemos:
21
63
6342
21
32
31 ==+=+
Luego: zy21zy
21zy
32zy
31 =+
Tomemos la cuarta columna y sumemos:
- 15 + 20 = 20
Uniendo, nos queda:
15zy 31
+ xm 42
a 31 5 -
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
53
20 + zy 32
+ xm 51
zy 21
- xm 43
+ a 21
5 - a5 + mx + yz + 5
SSUUSSTTRRAACCCCIINN CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS
Regla El minuendo se deja como est y el sustraendo se le cambia el signo y se hace una suma algebraica comn y corriente. Ejemplo:
ab51 restar ab
43De
HHaaggmmoosslloo::
El minuendo se deja con su signo
ab51 restar ab
43 De
Al sustraendo se le cambia el signo
Elaboramos la suma de los coeficientes y agregamos la parte literal:
2011
20415
51
43 ==
En otras palabras:
1 9 1 6 20 2
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
54
ab2011ab
51ab
43 =
Elaboremos otro Ejemplo:
44 ax43 - restar ax
65 De
Recuerde que para restar algebraicamente, el minuendo se deja como est y al sustraendo se le cambia el signo. HHaaggmmoosslloo:
44 ax43 ax
65 +
Sumamos los coeficientes y agregamos la parte literal.
1219
12910
43
65 =+=+
Por lo tanto:
444 ax
1219ax
43 ax
65 =+
NOTA: Si los monomios no son trminos semejantes la operacin se deja planteada. Ejemplo:
xy65 restar ax
43 De 4
PPllaanntteeaannddoo llaa rreessttaa,, qquueeddaa:
xy65 - ax
43 4
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
55
SSUUSSTTRRAACCCCIINN DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS CCOONN
CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOO
Regla El polinomio minuendo se deja con sus signos correspondientes y al polinomio sustraendo se le cambia el signo, es decir, a cada uno de sus trminos se les cambia el signo y se elabora una suma algebraica comn y corriente. Ejemplo:
cab31ab
23 - restar c-ab
43ab
21 De +
Nos queda:
+ cab31ab
23 - - c-ab
43ab
21
Nos queda:
c-ab43ab
21 +
cab31ab
23 ++
Pasemos a sumar los trminos semejantes y tenemos:
ab224
23
21 ==+
ab1213
1249
31
43 =+=+
En CONCLUSIN, tenemos:
Observe que los trminos del minuendo conservan
sus signos. Observe que los trminos
del sustraendo, cambiaron de signo.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
56
c-ab43ab
21 +
cab31ab
23 ++
2 ab + ab 13 12
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
57
SSUUMMAA YY RREESSTTAA CCOOMMBBIINNAADDAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS
CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOO
Ejemplo:
ab37ab
54 restar ab
52ab
35De +
+ ab21ab
56
1) El minuendo queda como est
ab52ab
35
2) La suma de los dos polinomios del sustraendo quedan:
ab37ab
54 +
ab21ab
56
Luego:
2 3) ab2
510
56
54 ==+
1
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
58
4) ab611
6314
21
37 ==
Por lo tanto:
5) ab37ab
54 +
ab21ab
56
ab611- ab 2
A continuacin tenemos como minuendo:
6) ab53ab
35
y sustraendo el total hallado, es decir:
7)
+ ab611ab2ab
52ab
35
ab52ab
35
ab611ab 2
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
59
Operando trminos semejantes, tenemos:
3
65 = 2
35 -
= -
305512
611
52 = = -
Por tanto
ab52ab
35
ab611ab2
- ab - ab
SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN
SSee pprreesseennttaann ddooss ccaassooss 1. Que el signo de agrupacin est precedido del signo menos ( - ). 2. Que el signo de agrupacin est precedido del signo ms ( + ).
SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN PPRREECCEEDDIIDDOOSS DDEELL SSIIGGNNOO MMEENNOOSS ((-- ))
Regla Para suprimir un signo de agrupacin precedido por el signo menos (-), todos los trminos algebraicos que se encuentren dentro del signo de agrupacin, salen con signo contrario.
1 3
67 30
1 67 3 30
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
60
Elaboremos un Ejemplo: Suprimir el signo en la expresin:
- (ab4 - a b + ab - 5) OJO! Por estar precedido del signo menos ( - ), los trminos internos, salen con signo contrario.
- (ab4 + a b + ab - 5) = -ab4 a b - ab + 5 Elaboremos otro Ejemplo: Suprimir el signo de agrupacin de la expresin siguiente:
- ( - a + ab ac + ax )
Resolviendo tenemos que
- ( - a + ab ac + ax ) = a ab + ac - ax
CCOONNCCLLUUSSIINN:: Cuando un signo de agrupacin est precedido del signo menos ( - ), los trminos internos salen con signo contrario.
SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN PPRREECCEEDDIIDDOOSS DDEELL SSIIGGNNOO MMSS (( ++ ))
Regla Para suprimir un signo de agrupacin precedido del signo ms ( + ), todos los trminos, se sacan del signo de agrupacin conservando su signo. Ejemplo: Suprimir el signo de agrupacin en la expresin:
+ (a b + c) RReessoollvviieennddoo tteenneemmooss:
+ (a b + c) = a b + c
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
61
Observe que todos los trminos conservan su signo. Veamos otro Ejemplo: Suprimir el signo de agrupacin en la expresin:
+ (ax - bx + 4ab 5)
RReessoollvviieennddoo tteenneemmooss:
+ (ax - bx + 4ab 5) = ax - bx + 4ab 5
Observe que todos los trminos conservan su signo
MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA
En el Fascculo anterior vimos la ley de los signos (repsela por favor). Vimos la ley de los signos, cuando existen ms de dos factores. Vimos la ley de los exponentes con respecto a la multiplicacin.
MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN DDEE MMOONNOOMMIIOOSS
Regla 1. Se multiplican los coeficientes por separado siguiendo la ley de
los signos. 2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes. 3. Los dos resultados se unen.
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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Ejemplo:
Multiplicar: 3b por 4b
PPrroocceeddiimmiieennttoo:: 1. Se multiplican los coeficientes por separado, siguiendo la ley de los signos. Hagmoslo:
3 x 4 = 12 { + por + arroja ms }
2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes.
b por b = b2+3 = b5 3. Los resultados se unen
12b5 CCOONNCCLLUUSSIINN
3b por 4b = 12b5 Elaboremos otro Ejemplo:
- 3b por 4b
1. Se multiplican los coeficientes por separado, siguiendo la ley de los signos. Hagmoslo:
- 3 x 4 = - 12 { - por + arroja menos }
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes.
b por b = b2+3 = b5
3. Los resultados se unen
-12b5
CCOONNCCLLUUSSIINN - 3b por 4b = -12b5
MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN DDEE MMOONNOOMMIIOOSS CCOONN
CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS
NOTA La diferencia entre multiplicacin de Monomios con coeficientes enteros y la multiplicacin de Monomios con coeficientes fraccionarios, es el proceso en la multiplicacin. Cuando son enteros se realiza una simple multiplicacin teniendo en cuenta la ley de los signos. Cuando el coeficiente es fraccionario debe tenerse en cuenta que es una multiplicacin de fraccionarios, es decir, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores entre s, teniendo en cuenta la ley de los signos. Ejemplo: Multiplicar: 2
52
156
32x
53 ==
5 Multiplicar:
1 3 3 2 7 14
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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x =
RREEGGLLAA PPAARRAA MMUULLTTIIPPLLIICCAARR MMOONNOOMMIIOOSS
LLaa RReeggllaa eess llaa yyaa vviissttaa:: 1. Se multiplican los coeficientes por separado, siguiendo la ley de
los signos. 2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes. Ejemplo:
1) 24 a32a
53
2) 52
156
32x
53 ==
3) a4 por a = a4+2 = a6
De donde:
4) 624 a52a
32a
53 =
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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Elaboremos otro Ejemplo:
b21 por b
32
Hagmoslo:
31
62
21x
32 ==
b por b = b3+2 = b5
De donde:
5b31b
21 por b
32 =
Elaboremos otro Ejemplo:
5x41 por x
61
Hagmoslo:
241
41
61 =
x por x5 = x7
75 x241x
41 por x
61 =
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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PPRROODDUUCCTTOOSS CCOONNTTIINNUUAADDOOSS
Llamamos productos continuados cuando la multiplicacin contiene ms de dos factores. NOTA La forma ms usada de presentar la multiplicacin, es utilizando signos de agrupacin. Recuerde que dos signos de agrupacin unidos indican multiplicacin. HHaaggaammooss uunn EEjjeemmpplloo: 1) (2a) (2a4) (5b) Solucin
2 x 2 x 5 = 20
2) a x a4 x b = (a3+4) (b) = a7 b De donde:
3) (2a) (2a4) (5b) = 20 a7 b Elaboremos otro Ejemplo: 1) (-2a) (5a) (-3b4) (2b) De donde:
2) -2 x 5 x 3 x 2 = 60
a a b4 b5 = a3+2 b4+5 = 45b9 El punto indica multiplicacin
De donde:
Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000
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(-2a) (5a) (-3b4) (2b5) = 60a5b9
Elaboremos otro Ejemplo:
c35 b
81- b
31 4
De donde:
725
35
81
31 =
b por b4 = b2+4 = b6
De donde:
cb725
=c35
b81
- b31
- 64
DURACION.pdfPgina 1
LUISA.pdfPgina 1