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PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: OPERACIONES CON MATRICES Y DETERMINANTES Problema 1: Sean las matrices:
[ ]2 1 1 3 3 2
2 1 ; 0 ; 2 1 3 ; 2 1 21 2 2 5 2 8
xA y B C D
z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Calcular los valores de x, y, z para que se verifique la siguiente igualdad:
A+BC=D SOLUCIÓN:
• Producto [ ]1 2 1 30 2 1 3 0 0 02 4 2 6
BC BC⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Por tanto : A = D - BC
3 3 2 2 1 3 3 2 3 1 2 3 1 2 12 1 2 0 0 0 2 1 2 2 1 25 2 8 4 2 6 5 4 2 2 8 6 1 0 2
A− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Igualando términos 2 1 1 2 1
2 1 2 1 21 2 1 0 2
xy
z
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x = 1 y = 2 z = 0
• NOTA: Dos matrices de distinto orden no se pueden sumar ni restar. Así, dos matrices del mismo orden se dice que son conformes respecto a la suma.
• NOTA: El producto AB está definido (puede realizarse) cuando el numero de columnas de A es igual al número de renglones de B. Cuando esto ocurre se dice que las matrices A y B son conformes respecto a la multiplicación.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Demostrar que ( )2 2 22A B A AB B+ ≠ + + a) Suponiendo que A y B son matrices cuadradas del mismo orden:
11 12
21 22
a aA
a a⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
y 11 12
21 22
b bB
b b⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Se tiene: 11 11 12 12
21 21 22 22
a b a bA B
a b a b+ +⎡ ⎤
+ = ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
11 11 12 12 11 11 12 122
21 21 22 22 21 21 22 22
22 11 11 12 12 21 21 11 11 12 12 12 12 22 22
211 11 21 21 21 21 22 22 22 22 12 12 21 21
( )a b a b a b a b
A Ba b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a bA B
a b a b a b a b a b a b a b
+ + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + + + + + + + +⎢ ⎥+ =⎢ ⎥+ + + + + + + + +⎣ ⎦
2
11 12 11 122 11 12 21 11 12 12 222
21 22 21 22 11 21 12 21 22 12 21
a a a a a a a a a a aA
a a a a a a a a a a a⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
11 12 11 122 11 12 21 11 12 12 222
21 22 21 22 11 21 12 21 22 12 21
b b b b b b b b b b bB
b b b b b b b b b b b⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22
21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
2 2 2a a b b a b a b a b a b
ABa a b b a b a b a b a b
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2
2 2 11 12 21 11 12 21 11 11 12 21 11 12 12 22 11 12 12 22 11 12 12 222 2
11 21 22 21 11 21 22 21 21 11 22 21 22 12 21 11 12 21 21 12 22 22
2 2 2 22
2 2 2 2a a a b b b a b a b a a a a b b b b a b a b
A AB Ba a a a b b b b a b a b a a a b b b a b a b⎡ ⎤+ + + + + + + + + +
+ + = ⎢ ⎥+ + + + + + + + + +⎣ ⎦
( )2 2
2 11 11 11 12 21 11 12 21 12 21 12 21 11 12 11 12 11 12 11 12 12 22 12 22 12 22 12 222..... .....
a a b a a b a b b a b b a a a b b b b a a a a b b a b bA B
⎡ ⎤+ + + + + + + + + + + + ++ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )22 22A AB B A B∴ + + ≠ +
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
b) Utilizando propiedades de matrices
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
( ) 2( )( ) 2
( ) ( ) 22
2
A B A AB BA B A B A AB B
A A B B A B A AB BA AB BA B A AB B
AB BA AB
+ ≠ + +
+ + ≠ + +
+ + + ≠ + +
+ + + ≠ + +∴ + ≠
NOTA: La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es: En general AB BA≠ ; pero cuando AB BA= se dice que las matrices son permutables o que conmutan. De esta manera, es importante poner énfasis en el orden en que dos matrices se multiplican; asi en los siguientes productos:
" " " "
" " " "
AB A premultiplica a B
BA A postmultiplica a B
→
→
Problema 3: Calcular la inversa de la matriz 1 2 31 3 31 2 4
A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
por transformaciones
elementales. SOLUCIÓN:
1 2 1 3
1 2 3 1 0 01 3 3 0 1 0 ( 1) ; ( 1)1 2 4 0 0 1
A R R R R⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 1
1 2 3 1 0 00 1 0 1 1 0 ( 2)0 0 1 1 0 1
R R⎡ ⎤⎢ ⎥≈ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
3 1
1 0 3 3 2 00 1 0 1 1 0 ( 3)0 0 1 1 0 1
R R⎡ − ⎤⎢ ⎥≈ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
1 0 0 6 2 30 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1
⎡ − − ⎤⎢ ⎥≈ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Por lo tanto 1
6 2 31 1 01 0 1
A−
− −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Comprobación 1 1AA A A I− −= =
1 2 3 6 2 3 6 2 3 2 2 0 3 0 3 1 0 01 3 3 1 1 0 6 3 3 2 3 0 3 0 3 0 1 01 2 4 1 0 1 6 2 4 2 2 0 3 0 4 0 0 1
A− − − − − + + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = − − − + + − + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Si cumple, 1AA I− = NOTAS:
• Operaciones entre renglones → de arriba hacia abajo. • El resto de los elementos de la columna donde esta el pivote “1” deben ser
CEROS. • Los ceros de las columnas deben obtenerse de izquierda a derecha.
Problema 4: Sean las matrices
1 0 10 1 00 1 01 0 0
M
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
y 2 3
0 2 0 30 4 31 0 1 2
xM x x x
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Determinar el conjunto de valores de x R∈ tales que tr(MN) = 0 SOLUCIÓN:
• Multiplicando:
2 3
1 0 10 2 0 3
0 1 00 4 3
0 1 01 0 1 2
1 0 0
xMN x x x
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
2 2
2 2
0 0 1 2 1 3 20 4 30 4 30 2 0 3
xx x x
MNx x xx
+ + − +⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
2
2
( ) 1 4 3 0
( 2) 4 4 0
4 16 4(1)(4)2(1)
4 16 16 4 22 2
2
tr MN x x
x x x
x
x
x
∴ = + + + =
+ ⇐ + + =
− ± −=
− ± − −= = = −
∴ = −
• Comprobación
Si x = -2
1 0 1 1 4 1 3 20 4 0 3
0 1 0 0 8 4 240 8 4 24
0 1 0 0 8 4 241 0 1 2
1 0 0 0 4 0 3
( ) 1 8 4 3 8 8 0
MN
tr MN cumple
− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∴ = − + + = − =
Problema 5: Sean las matrices:
1 0 2 2 40 0 2
0 1 ; 2 2 01 1 0
2 0 4 4 8A B y C
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Determinar la matriz X que satisface la ecuación matricial:
1 02
AXB C− =
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SOLUCIÓN:
• 1 11* *2
X A C B− −=
como A y C no son matrices cuadradas no tienen inversa • Estableciendo el sistema de ecuaciones lineales:
1 0 1 1 2
0 0 20 1 1 1 0
1 1 02 0 2 2 4
a bc d
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1 2
0 0 21 1 0
1 1 02 2 2 2 4
a bc da b
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 1 1 22 1 1 0
2 2 4 2 2 4
b b ad d cb d a
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Igualando términos
1b = 2 2
1a
a==
1d = − 2 0
0c
c− ==
• Finalmente
1 10 1
X ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 6: Calcular el determinante de la siguiente matriz por el método de la matriz triangular:
1 2 1 32 2 1 53 5 1 81 1 2 2
A
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
SOLUCIÓN:
• Convirtiendo la matriz “A” en una matriz triangular superior:
1 2 1 3 1 4
1 2 1 32 2 1 5
( 2) ; (3) ; (1)3 5 1 81 1 2 2
R R R R R R
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ − + + +⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
No varía el determinante
3 2 3 4
1 2 1 30 2 1 1
(2) ; ( 1)0 1 2 10 1 1 1
R R R R
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥≈ + − +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
3 2
1 2 1 30 0 3 10 1 2 10 0 3 0
R R
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥≈ ⇔⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
No varía el determinante Intercambio de filas, cambia de signo el determinante
3 4
1 2 1 30 1 2 1
(1)0 0 3 10 0 3 0
R R
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥≈ +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2 1 30 1 2 10 0 3 10 0 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥≈⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
No varía el determinante matriz triangular superior
• Calculando el determinante
det(A) = 3
det( ) (1)(1)( 3)(1) ( 3)A = − − = − −
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 8 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 7: Calcular por el método del desarrollo del desarrollo por cofactores el valor del siguiente determinante:
2 1 5 24 6 0 10 2 1 01 6 7 1
A
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
SOLUCIÓN:
• Los ceros del tercer renglón sugieren que el desarrollo por cofactores se lleve a cabo por el mismo, es decir:
31 32 33 34det( ) (0* ) (2* ) (1* ) (0* )A C C C C= + − +
• Calculo de cofactores:
3 232 32
32
32
32
32
( 1)
2 5 24 0 11 7 1
(0 56 5 0 14 20)
( 51 34) ( 17)
17
C M
C
C
C
C
+= −
−= −
− −
= − − + − + +
= − − + = − −
=
3 333 33
33
33
33
33
( 1)
2 1 24 6 11 6 1
12 48 1 12 12 4
36 29 7
7
C M
C
C
C
C
+= −
= − −−
= − + − − − −
= − =
=
• Finalmente
det( ) 2(17) 1(7) 34 7det( ) 27
AA
= − = −=
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 9 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 8: Calcular el determinante de la siguiente matriz empleando el método de condensación:
1 1 5 2 33 2 1 0 11 1 2 1 00 2 1 3 11 2 4 0 1
A
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
SOLUCIÓN:
• Los ceros de la cuarta columna sugieren que se trabajen con ella; y tomar como pivote el (1) del tercer renglón:
3 1 3 4
1 1 5 2 3 1 1 1 0 33 2 1 0 1 3 2 1 0 1
(2) ; ( 3)1 1 2 1 0 1 1 2 1 00 2 1 3 1 3 5 5 0 11 2 4 0 1 1 2 4 0 1
R R R R
− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Desarrollando por cofactores según la cuarta columna:
4 3
1 1 1 3 1 1 1 33 2 1 1 3 2 1 1
det( ) (1)( 1) ( 1)3 5 5 1 3 5 5 1
1 2 4 1 1 2 4 1
A +
− − − −− −
= − = −− − − − − −
• Eligiendo ahora el primer renglón para el desarrollo y tomando como pivote al (1)
de la primera columna:
1 2 1 3 1 4
1 1 1 3 1 0 0 03 2 1 1 3 5 4 10
det( ) ( 1) (1) ; (1) ; ( 3)3 5 5 1 3 2 8 8
1 2 4 1 1 3 5 2
A C C C C C C
− −− −
= − + + − +− − − − −
−
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Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 10 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Desarrollo por cofactores según el primer renglón
11C = [ ] [ ]det( ) ( 1) 80 100 96 240 200 16 ( 1) 192 540 ( 1)( 348)
det( ) 348
A
A
= − − + − − + = − − = − −
∴ =
Problema 8: Determinar la inversa de la matriz 1 0 23 1 42 1 0
A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
por medio de la adjunta.
SOLUCIÓN:
• Calculando cofactores de los elementos de “A”:
211
312
413
431
532
1 4( 1) 0 4 4
1 0
3 4( 1) (0 8) 8
2 0
3 1( 1) 3 ( 2) 5
2 1
0 2( 1) 0 ( 2) 2
1 4
1 2( 1) (4 6) 2
3 4
C
C
C
C
C
−= − = − = −
= − = − − =
−= − = − − =
= − = − − =−
= − = − − =
321
422
523
633
0 2( 1) (0 2) 2
1 0
1 2( 1) 0 4 4
2 0
1 0( 1) (1 0) 1
2 1
1 0( 1) 1 0 1
3 1
C
C
C
C
= − = − − =
= − = − = −
= − = − + = −
= − = − − = −−
• Matriz adjunta:
4 8 5 4 2 2( ) 2 4 1 8 4 2
2 2 1 5 1 1
T
Adj A− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Calculo del determinante:
1 0 2det( ) 3 1 4 0 6 0 ( 4 4 0) 6 det( )
2 1 0A A
⎡ ⎤⎢ ⎥= − = + + − − + + = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Operaciones con Matrices y Determinantes
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 11 de 11 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Calculando la inversa: Inversa de la matriz “A”
[ ]1
1
1
1 ( )det( )
4 2 21 8 4 26
5 1 1
2 1 13 3 3
4 2 13 3 35 1 16 6 6
A Adj AA
A
A
−
−
−
=
−⎡ ⎤⎢ ⎥∴ = −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∴ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: ESPACIOS VECTORIALES
Problema 1: Sea V = {a} el conjunto con el único elemento “a”. Determinar si V es un
Espacio Vectorial sobre los reales con las operaciones de adición y multiplicación por un
escalar definidas por:
: a + a = a
: a = a R
SOLUCIÓN:
1.- Cerradura para la suma: u v x V
a + a = a V cumple por definición
2.- Conmutativad de la suma: u v v u
a + a = a +a
a = a cumple
3.- Asociatividad de la suma: u v w u v w
a + [a + a] = [a + a] + a
a + a = a + a
a = a cumple
4.- Existencia de vector neutro: e a
*Izquierda: e u u *Derecha: u e u
a + a = a a + a = a
a = a cumple a = a
5.- Existencia de inverso aditivo: z a
*Izquierda: z u u *Derecha: u z u
a + a = a a + a = a
a = a cumple a = a
6.-Cerradura para la multiplicación: u y V
α a = a V cumple por definición
7.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: u v u v
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
α (a + a) = α a + α a
α a = a + a
a = a cumple
8.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares: u u u
(α + β) a = α a + β a
a = a + a
a = a cumple
9.- Asociativa de la multiplicación: u u
α (β a) = (α β) a
α a = a
a = a cumple
10.- Unicidad: 1 u u
1 a = a
a = a cumple
Por tanto, “V” sí es un Espacio Vectorial sobre los reales.
Problema 2: Sea el conjunto A = {(x,y) | x,y R} y las operaciones de adición y
multiplicación por un escalar definidas por:
: u v = (x1 + y2,x2 + y1) u = (x1,x2); v = (y1,y2) A
: u = ( x1, x2) R y u = (x1,x2) A
Determinar si A tiene estructura de Espacio Vectorial.
SOLUCIÓN:
1.- Cerradura para la suma: u v x A
u v = (x1 + y2,x2 + y1) A cumple por definición
2.- Conmutativad de la suma: u v v u
(x1,x2) + (y1,y2) = (y1,y2) + (x1,x2)
(x1 + y2,x2 + y1) (y1+x2,y2+x1) no cumple
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
3.- Asociatividad de la suma: u v w u v w
(x1,x2) + [(y1,y2) + (w1,w2)] = [(x1,x2) + (y1,y2)] + (w1,w2)
(x1,x2) + (y1+w2,y2+w1) = (x1 + y2,x2 + y1) +(w1,w2)
(x1+y2+w1,x2+y1+w2) (x1+y2+w2,x2+y1+w1) no cumple
4.- Existencia de vector neutro: 1 2( , )e e e
*Derecha: u e u *Izquierda: e u u
(x1,x2) + (e1, e2) = (x1, x2) (0,0) + (x1,x2) = (x1,x2)
(x1+e2,x2+e1) = (x1,x2) (0+ x2,0+ x1) = (x1,x2)
Igualando términos: (x2,x1) (x1,x2)
x1+e2 = x1 x2+e1 = x2
e2 = 0 e1 = 0 No existe vector neutro,
(0,0)e no se cumple el axioma
5.- Existencia de inverso aditivo: 1 2( , )z z z
Puesto que no existe vector neutro, entonces no existe inverso-aditivo,
no se cumple el axioma
6.-Cerradura para la multiplicación: u y V
α ( x1, x2) = (αx1,x2) V cumple por definición
7.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: u v u v
α [(x1,x2) + (y1,y2)] = α(x1,x2) + α(y1,y2)
α (x1+y2,x2+y1) = (αx1,x2) + (αy1,y2)
(αx1+αy2,x2+y1) ( αx1+y2,x2+αy1) no cumple
8.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares: u u u
(α + ) (x1,x2) = α(x1,x2) + (x1,x2)
(αx1 + x1,x2) = (αx1,x2) + ( x1,x2)
(αx1 + x1,x2) (αx1+x2,x2+ x1) no cumple
9.- Asociativa de la multiplicación: u u
α [β (x1,x2)] = (α β) (x1,x2)
α (β x1,x2) = (α β x1,x2)
(α β x1,x2) = (α β x1, x2) cumple
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
10.- Unicidad: 1 u u
1 (x1,x2) = (x1,x2)
(x1,x2) = (x1,x2) cumple
Por tanto, “A” no es un Espacio Vectorial sobre los reales.
Problema 3: Sea el conjunto F = (x,y) x 0; y 0; x, y R , el campo de los reales y la
adición y multiplicación por un escalar definidas por:
: u v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) u = (x1,y1); v = (x2,y2) F
: u = (x1,y1) = ( x1, y1) R y u = (x1,y1) F
Si por todo (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) F y , R se cumple que:
1.- (x1,y1) + (x2,y2) F cerradura para la suma
2.- (x1,y1) + (x2,y2) + (x3,y3) = (x1,y1) + (x2,y2) + (x3,y3) Asociativa de la suma
3.- (x1,y1) + (x2,y2) = (x2,y2) + (x1,y1) Conmutativa de la suma
4.- 1 (x1,y1) = (x1,y1) F, donde uno es la unidad del campo R Unicidad
5.- (x1,y1) = ( ) (x1,y1) Asociativa de la multiplicación (no cumple si ó 0)
Determinar si F es un Espacio Vectorial sobre R; en caso de afirmativo dar al vector
neutro; en caso negativo, decir cuales axiomas no se cumplen.
SOLUCIÓN:
Se verifican únicamente los axiomas que no se dieron:
6.- Existencia de vector neutro: 1 2( , )e e e
*Izquierda: e u u *Derecha: u e u
(e1,e2), (x1,y1) = (x1,y1) (x1,y1) + (e1,e2) = (x1,y1)
(e1 + x1,e2 + y1) = (x1,y1) (x1+e1,y1+e2) = (x1,y1)
Igualando: Igualando:
e1 + x1 = x1 e2 + y1 = y1 x1 + e1= x1 y1 + e2 = y1
e1 = 0 e2 = 0 e1 = 0 e2 = 0
e = (0,0) F no cumple e = (0,0) F
7.- Existencia de inverso aditivo: 1 2( , )z z z
*Izquierda: z u e *Derecha: u z e
(z1,z2) + (x1,y1) = (0,0) (x1,y1))+(z1,z2) = (0,0)
(z1+x1,z2+y1) = (0,0) (x1+z1, y1+z2) = (0,0)
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Igualando: Igualando:
z1+x1 = 0 z2+y1 = 0 x1+z1 = 0 y1+z2 = 0
z1 = -x1 z2 = -y1 z1 = -x1 z2 = –y1
z =(-x1,-y1) F no cumple z =(-x1,-y1) F
8.-Cerradura para la multiplicación: u y V
α (x1,y1) = (αx1,αy1) F no cumple si 0
9.- Distributiva de la multiplicación para la suma de vectores: u v u v
α [(x1,y1) + (x2,y2)] = α (x1,y1) + α (x2,y2)
α (x1+x2,y1+y2) = (αx1,αy1) + (αx2,αy2)
(α x1 + α x2,α y1 + α y2) = (α x1 + α x2,α y1+ α y2) no cumple si 0
10.- Distributiva de la multiplicación para la suma de escalares: u u u
(α + ) (x1,y1) = α (x1,y1) + (x1,y1)
(α x1 + x1,α y1 + y1) = (α x1,α y1) + ( x1, y1)
(α x1 + x1,α y1+ y1) = (α x1 + x1,α y1+ y1) no se cumple si α= =0
Por tanto, el conjunto F no es un espacio vectorial sobre el campo de los reales.
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL Problema 1: Sea el conjunto { }, ,A u v w= , donde ( )2,1u = , ( )2,4v = y ( )5,4w = .
Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v . SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
Con la ecuacion de combinacion lineal:
Sustituyendo valores:5,4 2,1 2,4
5,4 2 , 2 ,4
5,4 2 2 , 4
w u v
•
= α + α
•
= α + α
= α α + α α
= α + α α + α
1 2
1 2
Igualando terminos:2 2 5
4 4
•α + α =α + α =
2
1 2 1 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
2 2 5 1 4 4 1 4 41 4 4 0 6 3 0 1 1/ 2
12
4 4 4 2 2
Por tanto:
122
w u v
•
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α =
α + α = → α = − → α =
•
= +
Combinación lineal pedida
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:
( ) ( ) ( ){ }1,0,2 , 0, 4,2 , 2,0, 4A = − − − es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( )( ) ( )
Con la ecuacion de dependencia lineal:
0
Sustituyendo valores:
1,0,2 0, 4,2 2,0, 4 0
2 , 4 ,2 2 4 0,0,0
Igualando terminos:2 04 0
2 2 4 0
u v w
•
α +β + γ =
•
α − +β − + γ − =
−α + γ − β α + β − γ =
•−α + γ =
− β =α + β − γ =
Resolviendo el sistema anterior matricialmente:
1 0 2 1 0 2 1 0 20 4 0 0 1 0 0 1 02 2 4 0 2 0 0 0 0
De donde se obtiene:
0 0
0
2 0 2
a R
a
•
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
•
γ = → γ = ∈
β =
α − γ = → α =
• Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, el conjunto “A” es linealmente dependiente (es un conjunto generador).
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 3: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:
( ) ( ) ( ){ }1,0, 2 , 4,2,0 , 0,2, 4B = − − − es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 31 2 3
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2
2 3
1 3
Con la ecuacion de dependencia lineal:
0
Sustituyendo valores:1,0, 2 4,2,0 0,2, 4 0,0,0
4 ,2 2 , 2 4 0,0,0
Igualando terminos: 4 02 2 02 4 0
b b b
•
α + α + α =
•
α − + α − + α − =
α − α α + α − α − α =
•α − α =α + α =
− α − α =
3
2 3 2
1 2 1
Resolviendo el sistema anterior matricialmente:1 4 0 1 4 0 1 4 0 1 4 00 2 2 0 1 1 0 1 1 0 1 12 0 4 0 8 4 0 0 4 0 0 1
De donde se obtiene:
0
0 0
4 0 0
•
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
•
α =
α + α = → α =
α − α = → α =
• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base).
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 4: Para el conjunto: ( ){ }2 2 2A 5 ,2 2 3,2 3 3k x x x x x x= − + − + + −
Obtener el valor de k R∈ , tal que “A” sea linealmente dependiente. SOLUCIÓN:
1 2 3
Con la ecuacion de dependencia lineal:
0a a a
•
α + β + γ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2
Sustituyendo valores:
5 2 2 3 2 3 3 0
Aplicando isomorfismo y realizando operaciones: 5,1,0 2, 2,3 2,3, 3 0,0,0
5 2 2 , 2 3 ,3 3 0,0,0
k x x x x x x
k
k
•
⎡ ⎤α − + + β − + + γ + − =⎣ ⎦
•
α − + β − + γ − =
α − α + β + γ α − β + γ β − γ =
( )
( )
( )
Igualando terminos:5 2 2 0
2 3 03 3 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:1 2 3 1 2 3 1 2 35
5 2 2 0 2 8 3 17 0 1 12 80 3 3 0 1 1 0 0 9
k
kk k k
k k
•
α − + β + γ =
α − β + γ =β − γ =
•
− − −− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− → − − + → −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )Del ultimo renglon de la matriz escalonada anterior se observa que:
9 0k•
− + γ =
Donde se debe cumplir que:
0 9 0y k•
γ ≠ − + =
• Por tanto, para que A sea linealmente dependiente: 9k = .
A es linealmente dependiente
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 5: Sea { }A = u, ,v w un conjunto de vectores linealmente independiente de un
espacio vectorial “V”. Determinar si el conjunto de vectores { }B = u 2 , ,v w u v u v− + + − es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( )
1 2 3
Ecuacion de dependencia lineal para la base "B":
0 Sustituyendo valores:
2 0
2 0
b b b
u v w u v u v
u v w u v u v
•
α +β + γ =•
α − + +β + + γ − =
α − α + α +β +β + γ − γ =
( ) ( ) ( ) Factorizando:
2 0
"A" es linealmente independiente, por tanto:0
2 00
u v w se obtiene la ecuacion dedependencia lineal para A
•
α +β + γ + − α +β − γ + α = ←
•α +β+ γ =
− α +β − γ =α =
Resolviendo matricialmente:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 3 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1
•
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − → → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• De la matriz escalonada anterior, se obtiene que:
0γ =
0 0β + γ = → β =
0 0α +β+ γ = → α =
• Los escalares α, β y γ son iguales a cero, por tanto, el conjunto “B” es linealmente independiente (es una base).
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Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: MATRIZ DE TRANSICIÓN Y VECTOR DE COORDENADAS Problema 1: Sean las bases A y B de un espacio vectorial definido sobre los números complejos:
( ) ( ){ }( ) ( ){ }1,0, , 1 ,1,1
1, ,1 , 1,1,0
A i i
B i i
= −
= +
Obtener la matriz de transición de la base A a la base B. SOLUCIÓN:
• Combinación lineal de { }1 2,A a a= respecto a { }1 2,B b b= :
1 1 1 2 2
2 1 21 2
a b b
a b b
= α +α
= β +β
( ) ( )
( ) ( )1 1 2
2 1 2
,
,
T
BT
B
a
a
= α α
= β β 1 1
2 2
ABM
α β⎛ ⎞= ⎜ ⎟α β⎝ ⎠
A B
• Sustituyendo los valores conocidos:
*Para la 1er combinación lineal: *Para la 2ª combinación lineal: ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1
1,0, 1, ,1 1,1,0
1,0, , , (1 )
i i i
i i i
= α + +α
= α +α α +α α +
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1
1 ,1,1 1, ,1 1,1,0
1 ,1,1 , , (1 )
i i i
i i i
− = β + +β
− = β +β β +β β +
Igualando Términos: Igualando Términos:
1 2
1 2
1
10
(1 )i
i i
α +α =α +α =α + =
( )
1 2
1 2
1
11
1 1
ii
i
β +β = −β +β =
β + =
*de : *de :
( )( )
2
1
1 11 1 1
ii ii i i i
− −α = ⋅ =
+ − + − 2
12
ii
+=
− ( )
( )1
11 11 1 1
i ii i i i
− −β = ⋅ =
+ − + − 2
12
ii
−=
−
11 12 2
i∴α = + 11 12 2
i∴β = −
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
*de : *de :
2 1
22
1 12 2
1 1 1 12 2 2 2
i i i
i i i
⎛ ⎞α = −α = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
α = − − = − +
22 1
2
1 1 1 11 1 12 2 2 2
1 1 1 112 2 2 2
i i i i i
i i
⎛ ⎞β = −β = − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
β = − − = −
21 12 2
i∴α = − 21 12 2
i∴β = −
• NOTA: Los escalares obtenidos arriba deben satisfacer las ecuaciones
correspondientes.
• Finalmente:
1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2
AB
i iM
i i
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠
Matriz de transición de “A” a “B”
Problema 2: Sea V un espacio vectorial sobre el campo de los reales, y sean { }1 2 3, ,A v v v= y { }1 2 3, ,B w w w= dos bases de V donde:
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2
2
2
w v v v
w v v v
w v v
= − +
= + −
= −
(a) Determinar la matriz de transición de la base A a la base B. (b) Expresar al vector 1 2 3x v v v= + + como combinación lineal de los vectores de la base B. SOLUCIÓN: (a) • De acuerdo con los datos del problema se conoce la matriz B
AM .
• Para obtener entonces ABM , sólo se calcula la inversa de
1B AA BM M
−⎡ ⎤ =⎣ ⎦ :
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
11 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 02 1 1 0 1 0 0 5 1 2 1 0 0 1 1 5 2 5 1 5 0
1 1 0 0 0 0 0 3 1 1 0 1 0 3 1 1 0 1
BAM
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ = − − → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 0 3 5 1 5 2 5 0 1 0 3 5 1 5 2 5 0 1 0 0 1/ 2 1/ 2 3/ 20 1 1 5 2 5 1 5 0 0 1 1 5 2 5 1 5 0 0 1 0 1 2 1/ 2 1/ 20 0 1 5 1 5 3 5 1 0 0 1 1 2 3 2 5 2 0 0 1 1 2 3 2 5 2
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ 1 2 1 2 3 2 1 1 3
11 2 1 2 1 2 1 1 12
1 2 3 2 5 2 1 3 5
ABM
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Matriz de transición de “A” a “B”
(b) • Se busca ahora escribir al vector “ 1 2 3x v v v= + + ” como combinación lineal de “B”.
• Para ello, se puede hacer 1 2 3x v v v= α +β + γ ( )A
xα⎡ ⎤⎢ ⎥= β⎢ ⎥⎢ ⎥γ⎣ ⎦
A Vector de coordenadas de x en la base A
• Es decir, del vector 1 2 3x v v v= + + dado, se sabe que ( )111
Ax
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
• Por tanto, realizando la multiplicación ( ) ( )A
BB Ax M x= ⋅ con los datos ya conocidos,
se obtiene:
( )1 1 3 1 1 1 3 5
1 1 11 1 1 1 1 1 1 32 2 2
1 3 5 1 1 3 5 9B
x⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ ( )5 23 29 2
Bx
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Vector de coordenadas de x en la base B
• Finalmente, la combinación lineal pedida se escribe como:
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
1 2 35 3 92 2 2
x w w w= + − x como combinación lineal de la base B
Problema 3: Sean 3P≤ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres con coeficientes reales y { }3 2 22 , 2 , 1,1B t t t t t= + + + una base de 3P≤ . Determinar el vector de coordenadas del vector p(t) = a + bt + ct2 + dt2 en la base B. SOLUCIÓN:
• “p(t)” como combinación lineal de la base “B”:
1 2 3 4( )p t b b b b= α +β + γ + δ • Sustituyendo valores:
( ) ( ) ( )
2 3 3 2 2
2 3 3 2 2
2 3 3 2
( 2 ) (2 ) ( 1)2 22 2
a bt ct dt t t t t ta bt ct dt t t t t ta bt ct dt t t t
+ + + = α + +β + + γ + + δ
+ + + = α + α + β +β + γ + γ + δ
+ + + = α + α + β + β+ γ + γ + δ
• Igualando los términos correspondientes, se tiene:
3 3t dtα = ( ) 2 22 22 22 2
t ctc
c
α + β =
α + β =β = − α
( ) t bt
bb
β+ γ =
β+ γ =γ = −β
2
aca a b d
γ + δ =
δ = − γ = − + −
d=α 22
c d−β =
2cb dγ = − +
2ca b dδ = − + −
• Finalmente:
[ ]
22
( )2
2
B
dc d
p t cb d
ca b d
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− + −⎢ ⎥⎣ ⎦
Vector de coordenadas de p(t) en la base “B”
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 4: Sean { }1 2 3, ,A v v v= y { }1 2 3, ,B w w w= dos bases de un espacio vectorial “V”.
Si la matriz de transición de la base “B” a la base “A” es 1 2 00 1 2 2 0 1
BAM
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
y
{ }2 2 2A , 1,x x x x= + − , obtener la base “B”. SOLUCIÓN:
• De “B” como combinación lineal de “A” se sabe:
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
3 1 1 2 2 3 3
w v v v
w v v v
w v v v
= α +α +α
= β +β +β
= γ + γ + γ
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 2 00 1 22 0 1
BAM
α β γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= α β γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟α β γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B A
• Sustituyendo valores en las combinaciones lineales correspondientes:
2 21 (1)( ) (0)( 1w x x= + + 2
2 2
) (2)( )
2 2
x x
x x x
+ −
= + − → 2
1 3 2w x x= −
2 2
22 2
(2)( ) (1)( 1) 0 2 +1w x x
x x= + + +
= + → 2
2 3 1w x= +
2 2
3
2 2
0 (2)( 1)) (1)( ) 2 2w x x x
x x x= + + + −
= + + − → 2
3 3 2w x x= − +
• Finalmente:
{ }2 2 23 2 ,3 1, 3 2B x x x x x= − + − + es la base “B” pedida
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 5: En el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden dos con
elementos reales sobre el campo de los reales, se tienen las bases 1 0 1 0
,0 1 0 1
A⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ y
2 0 1 0,
0 0 2B
α⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭. Si la matriz de transición de la base B a la base A es
2 1 20
BAM
m−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, determinar los valores de m y α.
SOLUCIÓN:
• Escribiendo a “B” como combinación lineal de “A” se sabe:
1 1 1 2 2
2 1 1 2 2
b a a
b a a
= α +α
= β +β 1 1
2 2
2 1/ 20
BAM
mα = β = −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥α = β =⎣ ⎦
B A
• Sustituyendo valores (con isomorfismo) en las combinaciones lineales anteriores, se tiene:
( ) ( ) ( )2,0,0, (2) 1,0,0,1 (0) 1,0,0, 1α = + − ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2,0,0, 2
1,0,0, 2 ( 1 2) 1,0,0,1 ( ) 1,0,0, 1 1 2,0,0, 1 2 ,0,0, 1 2 ,0,0, 1 2m m m m m
=
− = − + − = − − + − = − + − −
• Por igualación de vectores en cada expresión anterior, se obtienen los valores de m
y α pedidos:
*De la ec. : α = 2
*De la ec. :
1 1 31 12 2 2
1 1 3: 2 22 2 2
m m
o bien m m
= − + ⇒ = + =
− = − − ⇒ = − = m = 3/2
Ec.Ec.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 6: . Sea F el espacio vectorial de las funciones reales variable real sobre el campo de los reales y W el subespacio generado por la funciones ƒ:R→R y g: R→R definidas por ƒ(x)=sen2x y g(x)=cos2x. Para las bases { }2 2, cosA sen x x= y { }1,cos 2B x= de W determinar: (a) La matriz de transición de la base A a la base B. (b) El vector de coordenadas respecto a la base B del vector cuyas coordenadas respecto a
la base A son 2
2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
SOLUCIÓN: (a) • Combinación lineal de “B” en “A”:
1 1 1 2 2
2 1 1 2 2
b a a
b a a
= α +α
= β +β 1 1
2 2
BAM
α β⎡ ⎤= ⎢ ⎥α β⎣ ⎦
B A • Sustituyendo valores: *Con identidades trigonométricas:
2 21 2
2 21 2
1 coscos 2 cos
sen x xx sen x x
= α +α
= β +β
2 2
2 2
1 coscos 2 cos
sen x xx sen x x
= +
= − + ⇒
1 11 1
BAM
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Calculando la inversa de la matriz anterior B
AM :
( ) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 21 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2
BAM
− ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞= → → →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 1 21 2 1 2
ABM ⎡ ⎤
∴ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ Matriz de transición de “A” a “B”
(b) • El vector de coordenadas respecto a la base B se obtiene multiplicando:
( ) ( )ABB A
v M v= ⋅ , donde ( ) 22A
v−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
proporcionado como dato del problema
• Sustituyendo valores:
( ) 1 1 2 2 2 01 11 1 2 2 2 22 2B
v− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ → ∴ ( ) 0
2Bv ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Vector de Coordenadas
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA. SUBESPACIOS VECTORIALES
Problema 1: Determinar si el subconjunto W es un subespacio vectorial bajo la
condición dada:
W = a, b,c 4 2 0; , ,a b c a b c R
SOLUCIÓN:
Tomando en cuenta la condición dada c = 4a + 2b , el nuevo conjunto W es:
W = a, b, 4a + 2b ,a b R
Verificando axiomas:
1.- Cerradura para la suma:
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
, ,4 2 , ,4 2
, ,4 4 2 2
, ,4 2
u v a b a b a b a b
a a b b a a b b
a a b b a a b b
Si 1 2 3 1 2 3;a a a b b b , entonces:
3 3 3 3, ,4 2u v a b a b W cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
, ,4 2
, ,4 2
u a b a b
a b a b
Si 4 4;a a b b , entonces:
4 4 4 4, ,4 2u a b a b W cumple
Por tanto, el subconjunto W sí es un subespacio vectorial de R3.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Sea nP el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n
con coeficientes reales. Determinar cuál de los siguientes subconjuntos son subespacios
vectoriales de nP :
(a) ( ) | (7) 0A p x p
(b) ( ) | ( 5) 2 (3)B p x p p
SOLUCIÓN:
(a) Verificando axiomas para el subconjunto A:
1.- Cerradura para la suma:
1
2
1 2
(7) 0
(7) 0
( )(7) 0
u p
v p
u v p p
Si 1 2 3p p p entonces:
3(7) 0u v p A Cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
(7) 0 ( )(7) 0u p p
Si 4p p entonces:
4(7) 0u p A Cumple
Por tanto, el subconjunto A sí es un subespacio vectorial de nP .
(b) Verificando axiomas para el subconjunto B:
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
1.- Cerradura para la suma:
1 1
2 2
( 5) 2 (3)
( 5) 2 (3)
u p p
v p p
1 2 1 2( )( 5) 4 ( )(3)u v p p p p B No cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
( 5) 2 (3) ( )( 5) 2 ( )(3)u p p p p
Si 4p p entonces:
4 4( 5) 2 (3) 1u p p B No cumple
Por tanto, el subconjunto B no es un subespacio vectorial de nP .
Problema 3: Sean M y N dos subespacios del espacio vectorial real de las matrices de
m n, donde:
; , , ,0 0
2 ; , , ,0 0
a b cM b a c a b c d R
d
a b cN c a b a b c d R
d
Demostrar que el conjunto M N es un subespacio vectorial de las matrices de m n.
SOLUCIÓN:
La intersección es:
; 2 ; , , ,0 0
a b cM N b a c c a b a b c d R
d
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Tomando en cuenta las condiciones del conjunto intersección anterior:
0
2 0
a b c
a b c
Se tiene, matricialmente que:
1 1 11 1 1 1 1 1
21 2 1 0 3 2 0 1
3
De donde: 2
03
b c 2
3b c
0a b c 2
3a c c
1
3a c
Por tanto, la intersección se transforma en:
1 2
,3 3
0 0
c c cM N c d R
d
Conjunto intersección
Verificando axiomas:
1.- Cerradura para la suma:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
0 0 0 0 ( ) 0 0
c c c c c c c c c c c cu v
d d d d
Si 1 2 3c c c y 1 2 3d d d , entonces:
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
3 3 3
3
1 2
3 3
0 0
c c cu v M N
d
Cumple
2.- Cerradura para la multiplicación:
1 2 1 2
3 3 3 3
0 0 0 0
c c c c c cu
d d
Si 4c c y 4d d , entonces:
4 4 4
4
1 2
3 3
0 0
c c cu M N
d
Cumple
Por tanto, queda demostrado que M N sí es un subespacio vectorial de las
matrices de m n.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: VARIEDAD LINEAL
Problema 1: Expresar al conjunto 3
,a a
A a b Rb a
⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
como una variedad lineal
para: a) a = b = 0 b) a = b = 1
SOLUCIÓN:
(a) Para a = b = 0 0 30 0ov
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
vector de apoyo
• Escribiendo la variedad lineal:
L = w + ov w = L – ov = 3a a
b a−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
- 0 30 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ w = a ab a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
vector asociado
• Por tanto:
0 3,
0 0a a
L a b Rb a
⎧ ⎫−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
Variedad lineal para a = b = 0
w ∈ W (sí es S.E.V.)
(b) Para a = b = 1 1 21 1ov
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
• La variedad Lineal: L = w + ov w = L – ov
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Sustituyendo Valores:
3 1 2 1 3 2 1 11 1 1 1 1 1
a a a a a aw w
b a b a b a− − − − + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vector asociado
Pero: c c
wd c⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
vector asociado si se considera a –1 = c b – 1 = d
• Por tanto:
1 2,
1 1c c
L c d Rd c
⎧ ⎫−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
Variedad lineal para a = b = 1
w ∈ W (sí es S.E.V.)
Problema 2: Determinar si el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene estructura de variedad lineal: -x - 3y + 2z = 10 3x + 8y – 4z = -26 2x + 5y – 2z = -16 En caso afirmativo, dar su espacio asociado, su dimensión y una base. En caso contrario, justificar su respuesta. SOLUCIÓN:
• Resolviendo el sistema matricialmente:
1 3 2 10 1 3 2 10 1 3 2 103 8 4 26 0 1 2 4 0 1 2 42 5 2 16 0 1 2 4 0 0 0 0
− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − → − − → − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Se llega al sistema de ecuaciones equivalente:
x + 3y – 2z = -10 y – 2z = -4 0 z = 0
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
z = a ∈ R y = 2a – 4 x = - 3y + 2z – 10 = -3 ( 2a – 4) + 2a – 10 = -6a + 12 + 2a – 10 x = -4a + 2 • Por tanto, el conjunto solución (C.S.) resulta:
C.S. = ( ){ }4 2,2 4,a a a a R− + − ∈
• El vector de apoyo se obtiene para a = 0 → ov =(2,-4,0)
• De la variedad lineal L = w + ov se despeja w = L – ov .
• En donde sustituyendo valores:
w = (-4a + 2,2a - 4,a) – (2,-4,0) = (-4a + 2 – 2, 2a -4 + 4, a – 0) ∴ w = (-4a , 2a , a) Vector asociado
• Finalmente:
{ }( 4 ,2 , ) (2, 4,0)L a a a a R= − + − ∈ Variedad lineal
• Donde ( ){ }4 ,2 ,W a a a a R= − ∈ Espacio asociado
• Cuya dimensión y base canónica son:
dim W = 1 ; { }. ( 4, 2,1)canB = −
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 2. Espacios Vectoriales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 3: Determinar si el siguiente subconjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos:
( ) ( ){ }21 3 5 ,L a x b x b a b R= − − + + ∈ tiene estructura de variedad lineal; si es así, dar su espacio asociado, y su base canónica. SOLUCIÓN:
• Vector de apoyo para a = b = 0 → 2 3 5ov x x= − − + • Nuevamente del concepto de variedad lineal L = w + ov se puede despejar y
sustituir:
( ) ( )( ) ( )2 21 3 5 3 5
1 1
ow L v a x b x b x x
a
= − = − + − + + − − +
= − +( ) 2 3 3x b+ − +( ) 5 5x b+ + −( ) 2ax bx b w= + + =
• Por tanto:
( ) ( ){ }2 2 3 5 ,L ax bx b x x a b R= + + + − − + ∈ “L” sí es variedad lineal
• Espacio asociado:
{ }2 ,W ax bx b a b R= + + ∈ Espacio asociado (sí es S.E.V.) dim W = 2 Bcan. de W = { }2 , 1x x + Base canónica
vector asociado
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema 1: Sean 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación 3
2:F P≤→ definida por:
1 2( , , ) ( )F a b c a b v cv= + − ; donde 21 1v x= + ; 2 23 1 , ,v x P a b c≤= − ∈ ∀ ∈
Determinar si F es lineal. SOLUCIÓN:
• Se define la función sustituyendo los valores de 1v y 2v dados: 2 2( , , ) ( )( 1) (3 1) ( ) 3 ( )F a b c a b x c x a b x cx a b c= + + − − = + − + + + 2( , , ) ( ) 3 ( )F a b c a b x cx a b c= + − + + +
• Se verifican los dos axiomas para que una función sea una transformación lineal: 1.- Superposición: ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = + : Sean 1 1 1( , , )u a b c= → 2
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 ( )F u a b x cx a b c= + − + + +
2 2 2( , , )v a b c= → 22 2 2 2 2 2( ) ( ) 3 ( )F v a b x c x a b c= + − + + +
1 2 1 2 1 2( , , )u v a a b b c c+ = + + +
( )F u v+ = 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3( ) ( )a a b b x c c x a a b b c c+ + + − + + + + + + +
• Sustituyendo en el axioma ( ) ( ) ( )F u v F u F v+ = + :
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2( ) 3( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )a a b b x c c x a a b b c c a b x cx a b c a b x c x a b c⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − + + + + + + + = + − + + + + + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( )a a b b x c c x a a b b c c a a b b x c c x a a b b c c+ + + − + + + + + + + = + + + − + + + + + + +
2.- Homogeneidad: ( ) ( )F u F uα = α ⋅ : Sea 1 1 1( , , )u a b cα = α α α → 2
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 3 ( )F u a b x c x a b cα = α +α − α + α +α +α • Sustituyendo en el axioma ( ) ( )F u F uα = α ⋅ : ( )2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 ( ) 3 ( )a b x c x a b c a b x c x a b c⎡ ⎤α +α − α + α +α +α = α + − + + +⎣ ⎦
( ) ( )2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 ( ) 3 ( )a b x c x a b c a b x c x a b c⎡ ⎤ ⎡ ⎤α + − + + + = α + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Por tanto, la transformación F sí es lineal.
Nueva función
Cumple
Cumple
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Sea la transformación 22:S P R≤ → , definida por:
2( ) ( , )S ax bx c a b c+ + = +
Determinar: (a) Si S es una transformación lineal (b) El núcleo de la transformación S (c) El recorrido de la transformación S (d) Verificar ( ) ( )2 2dim P dim N S dim S P≤ ≤= +
SOLUCIÓN: (a) Para determinar si S es lineal, se verifican los dos axiomas siguientes:
1.- Superposición: ( ) ( ) ( )1 2 1 2S v v S v S v+ = +
Sean: 21 1 1 1v a x b x c= + +
→ ( ) ( )1 1 11S v a b ,c= +
2
2 2 2 2v a x b x c= + +
→ ( ) ( )2 2 22S v a b ,c= +
( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 2v v a a x b b x c c+ = + + + + +
● Sustituyendo en el axioma, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2S v v a a b b ,c c S v S v+ = + + + + = + ← Cumple
2.- Homogeneidad: ( ) ( )1 1S v S vα = α ⋅
Sea 2
1 1 1 1v a x b x cα = α +α +α → ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1S v a b , c S vα = α +α α = α ⋅ ← Cumple
• Por tanto, la transformación S sí es lineal. (b) El núcleo N(S) de la transformación se define como ( ) { ( ) }20R2N S v P S v .≤= ∈ =
● Se propone al vector 2
2v ax bx c P≤= + + ∈ . ● Se iguala la imagen de v con el vector cero del codominio:
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( ) ( )2 , 0,0S v S ax bx c a b c= + + = + =
● Igualando términos en los vectores anteriores: 0;a b+ = 0c = ● De donde a b= − y 0=c . ● Por tanto, el vector propuesto se transforma en: 2 2v ax bx c bx bx= + + = − + . ● Finalmente, el núcleo es: ( ) { }2 N S bx bx b R= − + ∈ ( ) 1dim =SN (c) El recorrido de la transformación se determina a partir de la base canónica del dominio
{ }22P ax b x c a,b,c R≤ = + + ∈ :
}{ 22 1canonicaB de P x ,x,≤ =
● Se obtienen las imágenes de los vectores de la base canónica anterior:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 1 0
1 0
1 0 1
S x ,
S x ,
S ,
=
=
=
● Las imágenes anteriores constituyen el Conjunto Generador del recorrido:
( ){ ( ) ( )}1 0 1 0 0 1C.G , , , , ,= ● Se determina el Espacio Renglón del conjunto generador anterior:
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛→
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
001001
100001
100101
( ) ( ) ( )}{2 1 0 0 1canonicaB de S P , , ,≤ =
● Obteniendo el vector genérico con la base canónica anterior:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0w a , b , a, ,b a,b= + = + =
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
● Finalmente, el recorrido es: ( ) ( ){ }2S P a,b a,b R≤ = ∈ .
( ) 22dim S P≤ =
(d) Verificando ( ) ( )2 2dim P dim N S dim S P≤ ≤= + se tiene:
3 1 2= + ← Cumple Problema 3: Para la transformación lineal 3
2:S R M→ definida por:
2( , , )
x y y zS x y z
y z x y z− +⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦
donde 2M es el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden dos con elementos reales, obtener: (a) El núcleo ( )N S de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (b) El recorrido 3( )S R de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (c) Demostrar que: 3 3dim dim ( ) dim ( )R N S S R= + . SOLUCIÓN: (a) • Esquemáticamente la transformación es:
• El núcleo está dado por el conjunto { }23( ) ( ) 0MN S v R S v= ∈ = .
• Para determinar N(S), se propone al vector: 3( , , )v x y z R= ∈ .
• Cuya imagen es:
2 0 0( )
0 0x y y z
S vy z x y z− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
20M
Núcleo Recorrido
3R =Dominio S 2M =Codominio
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Igualando términos en los vectores anteriores, se llega al sistema de ecuaciones:
2 0
00
x yy z
x y z
− =+ =
− + =
• Resolviéndolo matricialmente, se tiene:
1 2 0 ( 1) 1 2 0 1 2 0 2 00 1 1 0 1 1 ( 1) 0 1 1 01 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
x yy z
z
− − − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼ ∼
• Es decir, el vector ( , , )v x y z= propuesto originalmente se transforma en:
( 2 , , )v z z z= − −
• Por tanto: { }( ) ( 2 , , )N S z z z z= − − ∈ Núcleo de transformación S
dim ( ) 1N S = Dimensión
{ }( ) ( 2, 1,1)canonicaB de N S = − − Base canónica (b) • El recorrido es un conjunto de la forma: { }3 3( ) ( )S R S u u R= ∈ .
• El dominio de la transformación S es { }3 ( , , ) , ,R x y z x y z= ∈ .
• La base canónica del dominio es { }3 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)canonicaB de R = .
• Las imágenes de los vectores de la base canónica anterior son: 1 0
(1,0,0)0 1
S ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
; 2 1
(0,1,0)1 1
S−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦;
0 1(0,0,1)
1 1S ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Las cuales, constituyen al conjunto generador del recorrido:
1 0 2 1 0 1. . , ,
0 1 1 1 1 1C G
⎧ − ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
2
2
x y
x z
=
∴ = −
y z
z z
= −
=
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Se obtiene el espacio renglón generado por el conjunto anterior (aplicando isomorfismo):
3
1 0 0 1 (2) 1 0 0 11 0 0 1
2 1 1 1 0 1 1 1 ( ) ,0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 0canonicaB de S R
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ↵ ⇒ = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼
• Vector genérico del recorrido (haciendo combinación lineal con los vectores de la base canónica anterior):
1 0 0 10 1 1 1
a bw a b w
b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Finalmente:
( )3
3
,
dim ( ) 2
a bS R a b R
b a b
S R
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥+⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
=
(c) •Se verifica el teorema: 3 3dim dim ( ) dim ( )R N S S R= +
3 1 2= + Cumple Problema 4: Para la transformación lineal 3 3:T R R→ definida por:
( ) ( ), , 3 ,6 ,2T x y z x y x z y z= + − +
Obtener: (a) El núcleo de T y su dimensión. (b) El recorrido de T y su dimensión. SOLUCIÓN: (a) • El núcleo está dado por el conjunto ( ) { ( ) }33R T v 0RN T v= ∈ =
• Se propone al vector ( ) 3, ,v x y z R= ∈ , cuya imagen es:
Matriz canónica escalonada
Recorrido de la transformación S
Dimensión
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( )33 ,6 ,2 0 0,0,0RT v x y x z y z= + − + = =
● Igualando términos: 020603
=+=−=+
zyzxyx
● Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
000120013
120121
013
120106
013
000203
==+=+
zzyyx
Rkz ∈= ; zy −=2 → ky21
−= ; yx −=3 → =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−= kx
21
31 xk =
61
● Por tanto, el vector propuesto originalmente se transforma en:
( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −== kkkzyxv ,
21,
61,, ( ) vkkk =− 6,3,
● Siendo el núcleo de la transformación T:
( ) { }( , 3 ,6 ) RN T k k k k= − ∈ ( ) 1dim =TN (b) ● Para determinar el recorrido de la transformación, se toma en cuenta el dominio:
( ){ }3 , , , ,R x y z x y z R= ∈ ; 3dim 3 =R
● La base canónica del dominio R3 es ( ) ( )( )}{3 1,0,0 , 0,1,0 0,0,1 .canonicaB de R =
● Las imágenes de la base canónica anterior, constituyen al conjunto generador C.G. del recorrido:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )}{1,0,0 3,6,0
0,1,0 1,0,2 . . 3,6,0 , 1,0,2 , 0, 1,1
0,0,1 0, 1,1
T
T C G
T
= ⎫⎪
= = −⎬⎪= − ⎭
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 8 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
● Determinando el espacio renglón a partir del conjunto generador anterior:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⇒
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 000110
201
110110
201
110660
201
110063201
110201063
escalonadacanonicaForma
● De la matriz en forma canónica escalonada se obtiene:
( ) ( )}{3( ) 1,0,2 , 0,1, 1canonicaB de T R = −
● El vector genérico es por tanto:
( ) ( ) ( )1,0,2 0,1, 1 , ,2w a b a b a b w= + − = − =
● Finalmente, el recorrido es:
( ) ( ){ }3 , ,2 ,T R a b a b a b R= − ∈ ; ( )3dim 2T R = (c) ● Verificando el axioma ( ) ( )3 3dim dim N T dim :R T R= +
3 1 2 = + ← Se cumple
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: MATRICES ASOCIADAS A UNA TRANSFORMACIÓN Problema 1: Sean 2P≤ y 3P≤ los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea 2 3:T P P≤ ≤→ la transformación definida por:
( ( )) ( )T p x x p x= ⋅
(a) Determinar la matriz asociada con T . (b) Obtener la matriz asociada con T y referida a las bases:
{ }2 2 2: 1 ,1 3 2 ,5 4 4A x x x x x− + + + + y { }2 3: 1, , ,B x x x
(c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector 21 5v x x= + − . SOLUCIÓN: (a) • Para obtener la matriz asociada con T , ( )M T , se calculan las imágenes de la base canónica del dominio { }2
2 , ,P a bx cx a b c R≤ = + + ∈ .
• Imágenes de { }2
2 1, ,canonicaB de P x x≤ = :
2
2 3
(1)( )( )
T xT x xT x x
=
=
=
• Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las columnas de la matriz buscada:
0 0 01 0 0
( )0 1 00 0 1
M T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Matriz asociada con T
(b) • La imagen del vector 21 5v x x= + − se determina con la expresión ( ) ( )T v M T v= ⋅ ,
es decir, multiplicando:
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
2 2 3
0 0 0 01
1 0 0 1( ) ( ) 5 (1 5 ) 5
0 1 0 51
0 0 1 1
T v M T v T x x x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = = ⇒ + − = + −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(c) • Para determinar la matriz asociada con T y referida a las bases A y B , se calculan primero las imágenes de los vectores de la base A :
2 31(1 ) ( )T x x x T a− = − =
2 2 32(1 3 2 ) 3 2 ( )T x x x x x T a+ + = + + =
2 2 33(5 4 4 ) 5 4 4 ( )T x x x x x T a+ + = + + =
• Se escriben a las imágenes anteriores como combinación lineal de los vectores de la base B , es decir:
3 2 31 1 2 3 4( ) (1) ( ) ( ) ( )T a x x x x xα α α α= − = + + +
Igualando términos: - 1 0α = ; 2
2 1
x xα
α
=
=;
2 23
3
0
0
x xα
α
=
=;
3 34
4 1
x xα
α
= −
= − 1
01
( )01
BT a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
2 3 2 32 1 2 3 4( ) 3 2T a x x x x x xβ β β β= + + = + + +
Igualando términos: 1 0β = ; 2
2 1
x xβ
β
=
=;
2 23
3
3
3
x xβ
β
=
=;
3 34
4
2
2
x xβ
β
=
= 2
01
( )32
BT a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2 3 2 33 1 2 3 4( ) 5 4 4T a x x x x x xγ γ γ γ= + + = + + +
Igualando términos: 1 0γ = ; 2
2
5
5
x xγ
γ
=
=;
2 23
3
4
4
x xγ
γ
=
=;
3 34
4
4
4
x xγ
γ
=
= 3
05
( )44
BT a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Imagen pedida (obtenida con ( )M T )
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Finalmente la matriz buscada es:
0 0 01 1 5
( )0 3 41 2 4
ABM T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
(d) • La imagen del vector 21 5v x x= + − se obtiene con la expresión:
( ) ( ) ( )AB AB
T v M T v⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦
• Escribiendo a 21 5v x x= + − como combinación lineal de la base { }2 2 21 ,1 3 2 ,5 4 4A x x x x x= − + + + + , se tiene:
2 2 2(1 ) (1 3 2 ) (5 4 4 )v x x x x x= α − +β + + + γ + + 2 21 5 ( 5 ) (3 4 ) ( 2 4 )x x x x+ − = α +β+ γ + β+ λ + −α + β+ γ
• Igualando términos:
5 13 4 5
2 4 1
α +β+ γ =β+ γ =−α + β+ γ = −
• Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente:
1 1 5 1 (1) 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 10 3 4 5 0 3 4 5 ( 1) 0 3 4 5 0 3 4 51 2 4 1 0 3 9 0 0 0 5 5 (1/ 5) 0 0 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼ ∼ ∼
• Se llega a:
5 1
3 4 5
1
α +β+ γ =β+ γ =
γ = −
; donde: 5 4 5 4( 1)
3 33
− γ − −β = =
β = y
1 51 3 5( 1)
3
α = −β− γα = − − −
α =
( )331
Av
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
• Realizando la multiplicación:
Matriz asociada con T y referida a las bases A y B
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
0 0 0 0 03
1 1 5 3 3 5 1( ) 3
0 3 4 9 4 51
1 2 4 3 6 4 1
BT v
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦− − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Escribiendo a ( )T v como combinación lineal de la base { }2 31, , ,B x x x= :
2 3 2 3( ) (0)(1) (1)( ) (5)( ) ( 1)( )T v x x x x x x= α +β + γ + δ = + + + −
• Se obtiene finalmente, la imagen pedida:
2 2 3(1 5 ) 5T x x x x x+ − = + − Problema 2: Sea 2 2:H R R→ la transformación lineal cuya matriz asociada es
1 2( )
2 3AAM H
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
, y donde { }( 1,0), (0, 2)A = − . Determinar:
(a) La regla de correspondencia de la transformación H . (b) La imagen del vector ( 1,3)u = − utilizando la matriz ( )A
AM H . SOLUCIÓN: (a) • A partir de la expresión ( ) ( ) ( )A
A AAH v M H v⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ puede determinarse la regla de
correspondencia de H , de la siguiente manera:
• Se propone al vector ( ) 2,v x y R= ∈ .
• Se escribe a v como combinación lineal de la base A:
( 1,0) (0, 2) ( , 2 )( , ) ( , 2 )vx y= α − +β = −α β
= −α β
Vector de coordenadas de ( )T v en la base B
Imagen del vector v pedida (obtenida con ( )A
BM T )
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Igualando términos: ( )12 1
2A
xx y v
y−⎡ ⎤
α = − β = → = ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Multiplicando:
( ) ( )312 2
1 222 3A A
x x yH v H v
y x y− +− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Escribiendo a ( )H v como combinación lineal de la base A :
( ) ( ) 32( 1,0) 0,2 ( )( 1,0) (2 )(0,2) ( , 4 3 )H v x y x y x y x y= γ − + δ = + − + + = − − +
• Se llega finalmente a:
( ) ( ), , 4 3H x y x y x y= − − + (b) • La imagen de u se determina con la misma expresión ( ) ( ) ( )A
A AAH u M H u⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ .
• Se escribe a u como combinación lineal de la base A :
( )1,0 (0, 2)
( 1,3) ( , 2 )u = α − +β
− = −α β
• Igualando términos: ( )32 3
2
11
Au ⎡ ⎤
α = β = → = ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Multiplicando:
( ) ( )3 9 52 2 2
1 2 1 1 3 22 3 2A A
H u H u− − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Escribiendo a ( )H u como combinación lineal de la base A :
Vector de coordenadas de v en la base A
Vector de coordenadas de
( )H v en la base A
Regla de correspondencia de H
Vector de coordenadas de u en la base A
Vector de coordenadas de ( )H u en la base A
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( ) 521,0 0,2 (2)( 1,0) ( )(0,2) ( 2,0) (0,5) ( 2,5)H u = γ − + δ = − + = − + = −
• Se obtiene finalmente: ( ) ( 2,5)H u = −
Problema 3: Sea la transformación lineal 2 3 : S R R→ , cuya matriz asociada es
1 1 0 1
1 0
ABM
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, referida a las bases ( ) ( )}{ 1,1 , 0, 1A = − del dominio y
( ) ( ) ( )}{ 1,0,1 , 0,1,1 , 1,1,0B = del codominio. Determinar la regla de correspondencia de la transformación S. SOLUCIÓN:
• Para determinar la regla de correspondencia se utiliza la expresión:
( ) ( ) ( )[ ] vT v S BA =⋅ABM
• Se propone al vector ( ) 2 x,yv R= ∈ .
• Se escribe a v como combinación lineal de la base A: 1 21 2 v a a= α + α .
• Sustituyendo e igualando términos se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2, 1,1 0,-1 , x y = α + α = α α −α
∴ 1 xα = 2 x-yα =
( ) ( )1 2 , T
Av = α α = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− yxx
• Realizando la multiplicación ( ) ( ) ( )[ ]BA
AB vSM v S = , se obtiene el vector de
coordenadas de ( )vS en la base B:
Imagen del vector u
Vector de coordenadas de v en la base A
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )1
1
1
1 1 x x-y 2x-y x
0 1 0 x-y x-y x-y
0 1 x 0 xB
S vβ+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⋅ = + = = β =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ β⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Escribiendo a ( )vS como combinación lineal de v :
( ) 1 1 2 2 3 3 S v b b b= β +β +β
• Sustituyendo valores:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2x-y 1,0,1 0,1,1 x 1,1,0S v x y= + − +
( ) ( ) ( )2x-y,x-y x,2x-y x-y 3x-y,2x-y,3x-2yS v = + + =
• Se llega finalmente a: ( ) ( ), 3 ,2 ,3 2 S x y x y x y x y= − − − Regla de correspondencia pedida
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Problema 1: Utilizar el Teorema de Cayley-Hamilton para obtener:
(a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2 3 1 1-
A donde 3A
(b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
1- 1- 6 1 0 4- 2 2 11-
B donde 1B
SOLUCIÓN: (a) • Se calcula la matriz A I− λ :
-1 1 1 0 -1- 1
3 2 0 1 3 2-
A Iλ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− λ = −λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Se determina el polinomio característico:
( )( ) 2 2 1 2 3 -2-2 3 5A I− λ = − − λ − λ − = λ + λ + λ − = λ − λ − • Se evalúa ( ) 0P A = , sustituyendo la matriz A en el polinomio característico anterior:
( ) 2 A 5 0P A A I= − − = • De donde: IAA 52 += . • Y por tanto: 3 6 5A A I= + . • Finalmente, sustituyendo valores, se obtiene A3:
3 -1 1 1 0
6 5 3 2 0 1
A⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
17 18 6 1- 3A
(b) • Se calcula la matriz B I− λ :
-11 2 2 0 0 -11- 2 2 -4 0 1 0 0 -4 - 1
6 -1 -1 0 0 6 -1 -1- B I
λ λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥− λ = − λ = λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥λ λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Se determina el polinomio característico:
( ) 12811-11- det 322 ++−−=− λλλλλIB 3 212 8 1= − λ − λ − λ + • Se evalúa ( ) 0P B = , sustituyendo la matriz B en el polinomio característico anterior:
( ) 3 12 8 0P B B B B I= + + − = • Factorizando:
2( 12 8 )B B B I I+ + = • La inversa resulta:
1 2 12 8B B B I− = + + • Finalmente, sustituyendo valores, se obtiene B-1:
1
-11 2 2 -11 2 2 -11 2 2 -4 0 1 -4 0 1 12 -4 0 1
6 -1 -1 6 -1 -1 6 -1 -1 B−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
8 0 0 0 8 0 0 0 8
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
1 0 2 2 -1 3 4 1 8
B−
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 3 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: INVERSA DE UNA TRANSFORMACIÓN
Problema 1: Sean 2P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a
dos con coeficientes reales, 2M el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden
dos con elementos reales, 2 , ,1A x x una base de 2P , 1 0 0 1 0 0
, ,0 0 1 0 0 1
B una
base de 2M y 2 2:S P M una transformación lineal. Si la matriz asociada con S y
referida a las bases A y B es 12
1 0 0
0 0
0 0 1
A
BM S . Determinar:
(a) La regla de correspondencia de S .
(b) La regla de correspondencia de 1S .
SOLUCIÓN:
(a) Para determinar la regla de correspondencia de S , se utiliza la expresión:
A
BAB
S v M S v
Se propone al vector 2
2v ax bx c P , y se escribe como combinación lineal de
la base A: 2 2v x x ax bx c
Se igualan términos en la expresión anterior:
A
a
a b c v b
c
Se realiza la multiplicación A
BAB
S v M S v :
1 12 2
1 0 0
0 0
0 0 1B
a a
b b S v
c c
Vector de coordenadas
de v en la base A
Vector de coordenadas
de S v en la base B
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 3 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Se escribe a S v como combinación lineal de la base B :
121
2 12
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
a bS v a b c
b c
Finalmente se obtiene:
1
22
12
a bS ax bx c
b c
(b) Para la regla de correspondencia de 1S se utiliza 1
1( )B A
A BM S M S .
Calculando la inversa de 12
1 0 0
0 0
0 0 1
A
BM S :
111
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
A B
B AM S M S
Para obtener la regla de correspondencia de la transformación inversa se utiliza la
expresión 1 1B
AB A
M S w S w .
Se propone por tanto al vector 2
a bw M
b c, y se escribe como combinación
lineal de la base B :
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
a bw
b c
Regla de correspondencia
de “ S ”
Matriz asociada con la
transformación inversa 1S
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 3 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Se igualan términos:
B
a a
b w b
c c
Realizando la multiplicación 1 1B
AB A
M S w S w :
1
1 0 0
0 2 0 2
0 0 1A
a a
b b S w
c c
Escribiendo a 1S w como combinación lineal de la base A :
1 2( ) (2 ) ( )S w a x b x c
Finalmente se llega a:
1 2 2a b
S ax bx cb c
Vector de
coordenadas de
w en la base B
Vector de coordenadas
de 1S w en la base A
Regla de correspondencia de
la transformación inversa 1S
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS Problema 1: Sea 2M el espacio vectorial real de las matrices de 2x2 con elementos reales y el operador lineal 2 2:S M M→ definido por:
( ) TS A A=
Determinar: (a) Los valores característicos de S. (b) Los espacios característicos correspondientes a cada uno de los valores característicos de S, sus dimensiones y una de sus bases. SOLUCIÓN: (a) • Se determina primero la matriz asociada M(S) = A, calculando las imágenes de los
vectores de la base 2
1 0 0 1 0 0 0 0 = , , ,
0 0 0 0 1 0 0 1canonicaB de M⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎭⎩
del dominio
2
b a,b,c,d R
c da
M⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎪ ⎭⎩
:
1 0 1 0 0 0 0 0
S⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0 0 1 1 0 0 0
S⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 1 0 0 0 0 0 1
S⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0 0 0 0 1 0 1
S⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Se determina la matriz :IA λ−
1 0 0 0 1 0 0 0 1- 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
A I
λ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− λ = − λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 1 - 0 0 0 0 1-
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎢ ⎥λ⎣ ⎦
( )
1 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
M S A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Se calcula ( ) 0det A I−λ = :
( ) 2 2
- 1 0det (1- ) 1 - 0 (1- ) ( )(1- ) (1- ) (1- )(1- )( 1) 0
0 0 1-A I
λ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− λ = λ λ = λ λ λ − λ = λ λ λ − =⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥λ⎣ ⎦
• Resolviendo la ecuación anterior, se obtienen los valores característicos del operador lineal S: 1λ = y -1λ =
(b) • Los espacios característicos se determinan con la expresión ( )v 0A I−λ = , para cada valor característico obtenido anteriormente.
• Es decir, para 1λ = se tiene la matriz
0 0 0 00 1 1 0
0 1 1 00 0 0 0
A I
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥− λ =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
.
• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( )v 0A I− λ = , donde
2
a bv M
c d⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 00 -1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 00 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a b c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
6447448
• Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene:
0b c− = ; 0 0a = ; 0 0d = • De donde: b c= ; a a= ; d d= .
• Por lo que, el vector a bv
c d⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
original se transforma en a bv
b d⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Finalmente se obtiene que:
( )1 , ,a b
E a b d Rb d
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪λ = = ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
→ Espacio característico para 1λ =
( )1 0 0 1 0 0
1 , ,0 0 1 0 0 1canonicaB de E
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤λ = = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ → Base canónica
( )1 3dim E λ = = → Dimensión
• Ahora bien, para el otro valor característico -1λ = se tiene la matriz:
2 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 2
A I
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− λ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Resolviendo matricialmente el sistema de ecuaciones ( )v 0A I− λ = , donde
2
a bv M
c d⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
:
a b c d
2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥≈ ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
6447448
• Del sistema de ecuaciones equivalente final, se obtiene: 0a = ; 0b c+ = ; 0d = b c= −
• Por lo que, el vector a bv
c d⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
original se transforma en 00c
vc
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Finalmente se obtiene que:
( )0
10c
E c Rc
⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪λ = − = ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
→ Espacio característico para 1λ = −
( )0 1
11 0canonicaB de E
⎧ ⎫−⎡ ⎤λ = − = ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦⎩ ⎭ → Base canónica
( )1 1dim E λ = − = → Dimensión
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
TEMA. MATRIZ DIAGONALIZADORA Y MATRIZ DIAGONAL Problema 1: Sea la transformación lineal 3 3:T → y su matriz asociada
1 0 2( ) 0 1 0
3 0 2M T
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(a)Determinar, si es posible, una matriz diagonalizadora. (b)Obtener, si existe, la matriz asociada a “T”. SOLUCIÓN:
(a)•Matriz diagonalizadora: 1D P A P−= i i ; donde: A= matriz diagonalizable, P= matriz diagonalizadora o diagonalizante
•Matriz ( )A I M T Iλ λ− = − =
1 0 2
0 1 03 0 2
A Iλ
λ λλ
−⎛ ⎞⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
•Polinomio característico:
(1 )( 1 )(2 ) [6( 1 )] 0λ λ λ λ− − − − − − − =
( 1 )[(1 )(2 ) 6] 0λ λ λ− − − − − = 2( 1 )[2 2 6] 0λ λ λ λ− − − − + − =
2( 1 )( 3 4) 0λ λ λ− − − − =
1
1 0
1
λ
λ
− − =
= −
2
2 3
3 4 0
3 9 4(1)( 4) 3 9 16 3 52(1) 2 2
4 , 1
λ λ
λ
λ λ
− − =
± − − ± + ±= = =
∴ = = −
Valores característicos.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
•Vectores característicos: Para 1 1λ = −
1 1( ) 0A I Vλ− = 2 0 2 00 0 0 03 0 3 0
xyz
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x y z x y z 1 0 13 0 30 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
↵ ∼1 0 10 0 00 0 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0
0 0x zy
y y
+ ==
=
Para 2 4λ =
2 2( ) 0A I Vλ− = 3 0 2 (1)
0 5 03 0 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
∼3 0 2
0 1 0 3 2 00 0 0
x z−⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
•Por tanto, una base de R3 es:
{ }3 ( 1,0,1), (0,1,0), (2,0,3)Basede = − (b)•Por tanto:
1 0 20 1 01 0 3
P−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Por tanto: 1 0 0
0 1 00 0 4
D−⎛ ⎞⎜ ⎟= − →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Matriz diagonal asociada a “T” donde: 1D P A P−= i i
( 3)−
2 3
23
z x
x z
=
=
0y =
( )
{ }{ }
2 2
2
.
2 ,0, ´ 2 ,0,33
( ) (2 ,0,3 )
(2,0,3)can
v z z o v z z
E z z z
B
λ
⎛ ⎞∴ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∈
={ }{ }
1
1
.
( , , )
( ) ( , , ) ,
( 1,0,1), (0,1,0)can
v z y z
E z y z z y
B
λ
∴ = −
= − ∈
= −
x z= −
Conjunto linealmente independiente
Es una matriz diagonalizadora.
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Comprobación:
•Multiplicando:
1
3 0 2 1 0 2 1 0 21 0 5 0 0 1 0 0 1 05
1 0 1 3 0 2 1 0 3
3 6 0 6 4 1 0 2 3 0 2 1 0 21 10 5 0 0 1 0 0 5 0 0 1 05 5
1 3 0 2 2 1 0 3 4 0 4 1 0 3
3 2 0 6 61 0 5 05
4 4 0 8 12
D P A P−
− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
− + − + − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
− − −⎛ ⎞⎜= −⎜⎜− + +⎝ ⎠
i i
5 0 0 1 0 01 0 5 0 0 1 05
0 0 20 0 0 4D
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
•Cálculo de la inversa:
1
1 0 2 1 0 0 (1) 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 3 0 0 5 1 0 1 (1/ 5) 0 0 1 1/ 5 0 1/ 5 (2)
1 0 0 3/ 5 0 2 / 5 3 0 210 1 0 0 1 0 0 5 05
0 0 1 1/ 5 0 1/ 5 1 0 1P−
⎛ − ⎞ ⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ − ⎞ −⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∼ ∼
∼
Problema 2: El operador 3 3:S → tal que
( , , ) ( 3 , 2 6 , 4 6 5 )S x y z x y z x y z x y z= + + − + + − + +
tiene los valores característicos 1 2 3λ λ= = y 3 6λ = .¿Tiene S una representación matricial diagonal correspondiente, así como una base de 3 a la que esta referida dicha diagonal?; en caso negativo, explicar la razón de esa negativa.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SOLUCIÓN: Determinando la matriz asociada: Dominio { } { }3 3
.( , , ) , , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)canx y z x y z B de= ∈ ⇒ = • Imágenes:
(1,0,0) (1, 2, 4)(0,1,0) (3,6,6)(0,0,1) (1,1,5)
SSS
= − −==
•Matriz:
1 3 12 6 14 6 5
A Iλ
λ λλ
−⎛ ⎞⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
Vectores característicos: Para 1 2 3λ λ= =
1 1( ) 02 3 1 ( 1);( 2) 2 3 1 2 3 02 3 1 0 0 0 34 6 2 0 0 0 2
A v x y z
x y zy zx
λ− =
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼
Para 3 6λ =
Valores característicos:
{ }{ }
1
1 2
.
2 3 ( , , 2 3 )
( ) ( , , 2 3 ) ,
(1,0, 2), (0,1, 3)can
z x y v x y x y
E x y x y x y
B
λ λ
= − ∴ = −
= = − ∈
= −
1 2 3
1 3 1( ) 2 6 1 3 6
4 6 5M S A λ λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = − = ⇒ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
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Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
1 02
33 02
0 0
x z
y z
z
z z
− =
− =
=
=
12
32312
x z
zy
y z
=
=
=
{ }{ }
3
3
.
1 1, ,2 2
( ) ( , , 2 )
(1,1, 2)can
v z z z
E z z z z
B
λ
⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠= ∈
=
•Por tanto, “S” sí tiene una representación matricial diagonal.
•Base de { }3 (1,0, 2), (0,1, 3), (1,1, 2)= −
•Matriz:
1 0 10 1 12 3 2
P⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
base a la que está referida la matriz diagonalizadora.
x y z 3 3( ) 05 3 1 5 3 1 1 0 1/ 2 1 0 1/ 22 0 1 ( 2) 1 0 1/ 2 (5) 0 3 3/ 2 ( 2) 0 3 3/ 24 6 1 0 6 3 0 6 3 0 0 0
A I vλ− =
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼ ∼ ∼
3 0 00 3 00 0 6
D⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1D P A P−= i i
Matriz diagonalizadora.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 3: Determinar si la matriz: 1 2 10 1 10 0 2
A−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
es diagonalizable. En caso afirmativo, obtener una matriz P tal que 1P A P− i i sea diagonal; en caso negativo, justificar su respuesta. SOLUCIÓN:
•Obtención de matriz ( )A Iλ− : 1 2 1
0 1 10 0 2
A Iλ
λ λλ
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
•Polinomio característico:
1 2 3
det( ) (1 )(1 )(2 ) 01 0 1 0 2 0
1 1 2
A Iλ λ λ λλ λ λ
λ λ λ
− = − − − =∴ − = − = − =
= = =
•Vectores característicos: Para 1 1λ =
1 1( ) 00 2 1 00 0 1 00 0 1 0
A I vxyz
λ− =
−⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
Valores característicos
0 2 10 0 10 0 0
x y z−⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
{ }{ }
1
1
.
( ,0,0)
( ) ( ,0,0)
(1,0,0)can
v x
E x x
B
λ
∴ =
= ∈
=
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 3. Transformaciones Lineales
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 7 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
2 0 0
0 0 0
y z y
z x
x x
− = ⇒ =
= =
=
Para 3 2λ =
3 3( ) 0
1 2 1 00 1 1 00 0 0 0
A I v
xyz
λ− =
− −⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 10 1 10 0 0
x y z− −⎛ ⎞
⎜ ⎟− ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 0 2
0
0 0
x y z x y z x z
y z y z
z z z
− + = → = − ∴ =
− = → =
= → =
{ }( ){ }
3
3
.
( , , )
( ) ( , , )
1,1,1can
v z z z
E z z z z
B
λ
∴ =
= ∈
=
•A lo más se puede obtener un conjunto:
( ){ }3 1,0,0 , (1,1,1)=
•Con lo cual se concluye que: “A” no es diagonalizable.
•Por tanto, no hay una matriz diagonalizadora “P”, y la matriz “A” no tiene una representación matricial diagonal.
Con sólo dos vectores y se requieren 3!
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: PRODUCTO INTERNO Problema 1: Determinar si la siguiente función es o no un producto interno:
( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 1 2 2 3 3; , , , , ,u v x x y y u x y v x y w x y= − ∀ = = = ∈
SOLUCIÓN: 1.- Simetría o conmutatividad: ( ) ( )u v v u=
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1, , , ,x y x y x y x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 2 1 2 2 1 2 1x x y y x x y y cumple− = − ←
2.- Aditividad o distributividad: ( ) ( ) ( )u v w u v u w+ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 3, , , , , ,x y x x y y x y x y x y x y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3x x x y y y x x y y x x y y+ − + = − + −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3x x x y y y x x x y y y cumple+ − + = + − + ← 3.- Homogeneidad: ( ) ( )u v u vα α=
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , , ,x y x y x y x yα α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y yα α α− = −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y y cumpleα α− = − ←
4.- Positividad: ( ) 0 0u u para u> ← ≠
( ) ( ) ( ) 2 21 1 1 1 1 1 1 1, ,u u x y x y x y no cumple si x y⎡ ⎤= = − ← =⎣ ⎦
1 2 2
1
1(1) (1) 0
1x
Siy= ⎫
− =⎬= ⎭
por tanto, ( )u v no es un producto interno bajo la función dada.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Determinar el conjunto de valores de “k” ∈ , para que la función:
( ) ( ) ( ) 21 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2; , , ,u w u w u w u w ku w u u u w w w= − − + ∀ = = ∈
Sea un producto interno en 2 , tomando en cuenta que la función cumple con la propiedad:
( ) ( ) ( )u w v u w u v+ = +
SOLUCIÓN: • La propiedad que se da como dato es la “aditividad”. Las otras dos propiedades (simetría y homogeneidad) no sirven para determinar “k” ya que son igualdades; por tanto: 4.- Positividad: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2, ,u u u u u u u u u u u u ku u⎡ ⎤= = − − +⎣ ⎦
¿ ( ) 2 21 1 2 22 0u u u u u ku= − + > ?
( ) ( )1,1 ; 1, 1
1 2 0 1 2 01 3
Si u uk k
k k
= = −
− + > + + >> > −
( )
( )
( )
2 21 1 2 21 2 0
1, 1 1 2 1 04 0
1,0 1 0 0 01 0
1,1 1 2 1 00 0
Si k u u u u
ucumple
ucumple
uno cumple
= ⇒ − + >
∗ = − ⇒ + + >
> ←
∗ = − ⇒ + + >
> ←
∗ = ⇒ − + >
= ←
( )
2 21 1 2 22 2 2 0
1, 1 1 2 2 05 0
Si k u u u u
ucumple
= ⇒ − + >
∗ = − ⇒ + + >
> ←
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )
( )
( )
1,1 1 2 2 05 0
1,0 1 0 0 01 0
0, 1 0 0 2 02 0
ucumple
ucumple
ucumple
∗ = − ⇒ + + >
> ←
∗ = ⇒ + + >
> ←
∗ = − ⇒ + + >
> ←
Por lo tanto, el valor de “k” para que la función dada sea un producto interno es 1k > Problema 3: En el espacio vectorial 2 se define la función:
( ) ( ) ( ) 21 2 1 2, ; , , ,
Tf v w vAw v v v w w w= ∀ = = ∈
donde v y w están representados como vectores renglón y 2 11 2
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. Determinar si la
función dada es un producto interno. SOLUCIÓN: * Definiendo la función:
( ) ( )
( ) ( )
( )
11 2
2
11 2 1 2
2
1 1 2 1 1 2 2 2
2 1,
1 2
2 2
2 2
wv w v v
w
wv w v v v v
w
v w v w v w v w v w
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ = + + +
1.- Simetría o conmutatividad:
( ) ( )
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
v w w v
v w v w v w v w w v w v w v w v
v w v w v w v w v w v w v w v w cumple
=
+ + + = + + +
+ + + = + + + ←
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
2.- Aditividad o distributividad:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , ,
v w z v w v z
v v w z w z v v w w v v z z
+ = +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2v w z v w z v w z v w z v w v w v w v w v z v z v z v z+ + + + + + + = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 2v w z v w z v w z v w z v w z v w z v w z v w z
cumple
+ + + + + + + = + + + + + + +
↵
3.- Homogeneidad:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2
, , , ,
2 2 2 2
2 2 2 2
v w v w
v v w w v v w w
v w v w v w v w v w v w v w v w
v w v w v w v w v w v w v w v w cumple
α α
α α α
α α α α α
α α
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ + + = + + +
+ + + = + + + ←
4.- Positividad:
( )( ) ( ) ( )
( )
2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 21 1 2 2
0
, , 2 2
2 2 2 0; 0
v v
v v v v v v v v v v v v
v v v v v v v cumple
>
⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦
∴ = + + > ∀ ≠ ←
Por tanto, la función dada si es un producto interno. Problema 4: Determinar si la función:
( ) ( ) ( )2
3 3 21 2 1 2
1, , , ,i i
if u v x y u x x v v v
=
= ∀ = = ∈∑
es un producto interno en 2 . SOLUCIÓN: * El producto interno es: ( ) 3 3 3 3
1 1 2 2,f u v x y x y= +
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
1.- Simetría o conmutatividad:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
, , , ,
u v v u
x x y y y y x x
x y x y y x y x
x y x y x y x y cumple
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ = +
+ = + ←
2.- Aditividad o distributividad:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
; ,
, , , , , ,
u v w u v u w sea w z z
x x y z y z x x y y x x z z
+ = + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2x y z x y z x y x y x z x z+ + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 31 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z x y z no cumple+ + + ≠ + + + ←
3.- Homogeneidad:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
3 33 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2
, , , ,
u v u v
x x y y x x y y
x y x y x y x y
x y x y x y x y no cumple
α α
α α α
α α α
α α α α
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ = +
+ ≠ + ←
4.- Positividad:
( )( ) ( ) ( )
( )
2 23 3 3 3 3 31 1 2 2 1 2
6 61 2
0
0 0
u u
u u x x x x x x
u u x x u cumple
>
= + = +
∴ = + > ∀ ≠ ←
Por tanto, la función dada no es un producto interno.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
DEMOSTRACIONES Problema 1: Sea V un espacio vectorial real y sean ,u v V∈ . Demostrar que si
u v u v+ = − entonces u y v son ortogonales. SOLUCIÓN: Demostración:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 12 2
21 12 2
u v u v u v u v
u v u v u v u v
u v u v u v u v
u u v v u v u u v v u v
u u u v v u v v u u u v v u v v
u u
+ + = − −
⎡ ⎤+ + = − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ + = − −
+ + + = − − −
+ + + = − − +
( ) ( )2 u v v v+ + ( )u u= ( ) ( )2 u v v v− +
( ) ( )( )
2 2 0
4 0
u v u v
u v
+ =
=
( ) 0 Por tanto y v son ortogonalesu v u∴ = ←
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Sea V un espacio vectorial real y sean ,u v V∈ . Demostrar que:
2 2 2 22 2u v u v u v+ + − = +
SOLUCIÓN: Demostración:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 21 1 1 12 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
u v u v u v
u v u v u v u v u u v v
u v u v u v u v u u v v
u u v v u v u u v v u v u u v v
u u u v
+ + − = +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ + + − − = +
+ + + + − − − = +
+ ( )v u+ ( ) ( ) ( )v v u u u v+ + − ( )v u− ( ) ( ) ( )2 2v v u u v v+ = +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 Queda demostrada la igualdadu u v v u u v v∴ + = + ←
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: ÁNGULO Y DISTANCIA Problema 1: En el espacio vectorial M de las matrices de mxn con elementos en R, se tiene el siguiente producto interno:
( ) ( ) ,TA B tr A B A B M= ∀ ∈
Si 1 00 0 1
Aα−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y
1 0 00 1 0
B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. Determinar Rα ∈ , tal que:
(a) La distancia entre A y B sea 3 .
(b) El ángulo entre A y B sea 603π= ° .
SOLUCIÓN:
(a) La distancia se obtiene con: ( ),d A B A B B A= − = −
• De donde:
1 0 1 0 00 0 1 0 1 0
0 00 1 1
A B
A B
α
α
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
• Realizando el producto interno:
( )
( )
2
2 2
( ) ( )
0 0 0 0 00 0
0 1 0 1 10 1 1
1 0 1 1
0 1 1 2
TA B A B tr A B A B
tr tr
A B A B
α
α α
α α
⎡ ⎤− − = − −⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∴ − − = + + + = +
• Por tanto: ( ) 2, 2d A B α= +
• Tomando en cuenta la condición dada ( ), 3d A B = :
( ) 2, 2 3d A B α= + =
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Despejando el valor de α buscado:
2
2
2 31
α
α
+ =
=
1α∴ = ± ← Valor para el cual ( ), 3d A B =
(b) El ángulo se obtiene con: ( )
cosA B
A Bθ =
⋅
• Calculando los productos internos necesarios:
( )
( )
( )
2 2
2
1 0 1 0 01 0 0
0 0 0 0 0 10 1 0
1 0 1 0
1 0 1 01 0
0 0 0 0 0 2 20 0 1
1 0 1
1 01 0 0
0 10 1 0
0 0
A B tr tr
A A tr tr A
B B tr
α
αα
α αα α α
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = + → = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
1 0 00 1 0 2 20 0 0
tr B⎛ ⎞⎜ ⎟ = → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
• Sustituyendo valores en la expresión para determinar el ángulo:
2
1 1cos cos6022 2
θα
= = ° =+ ⋅
• Despejando α:
( )
2
22
2 2 2
( 2)(2) 2
α
α
+ ⋅ =
+ =
2
2
2
2 4 42 0
0
α
α
α
+ =
=
=
0α∴ = ← Valor para el cual cos 60θ = °
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Calcular la distancia y el ángulo entre los vectores ( )1 , 2z i i= − − y
( )2 ,2w i i= − que pertenecen al espacio vectorial 2C , respecto al producto interno usual definido por:
( ) ( ) ( ) 21 1 2 2 1 2 1 2, , ,z w z w z w z z z w w w C= + ∀ = = ∈
donde 1w y 2w son los conjugados de 1w y 2w , respectivamente. SOLUCIÓN: (a) La distancia se obtiene con: ( ),d z w z w= − • De donde: ( ) ( ) ( )1 , 2 2 ,2 1 3 , 2z w i i i i i i− = − − − − = − − −
• Calculando se producto interno:
( ) ( ) ( )1 3 , 2 1 3 , 2 (1 3 )(1 3 ) ( 2 )( 2 )
1 3
z w z w i i i i i i i i
i
⎡ ⎤− − = − − − − − − = − + + − − − +⎣ ⎦
= + 3i− 29 4 2i i− + − 2i+ 2 1 9 4 1 15 15i z w− = + + + = → − =
• Por tanto:
( ), 15d z w∴ = ← Distancia entre los vectores z y w
(b) El ángulo se calcula, en este caso, con la expresión: ( )
cosR z w
z wθ ≅
⋅
• Calculando los productos internos necesarios:
( ) ( ) ( )
2
1 , 2 2 ,2 (1 )( 2 ) ( 2 )(2 )
2 2
z w i i i i i i i i
i i
⎡ ⎤= − − − = − − + − +⎣ ⎦
= − + 24 2i i− − 6i= −
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( )1 , 2 1 , 2 (1 )(1 ) ( 2 )(2 )
1
z z i i i i i i i i
i
⎡ ⎤= − − − − = − + + −⎣ ⎦
= + i−
( ) ( ) ( )
2 2
2
4 1 1 4 6 6
2 ,2 2 ,2 (2 )( 2 ) (2 )(2 )
4 4 2
i i z
w w i i i i i i i i
i i
− − = + + = → =
⎡ ⎤= − − = − + − +⎣ ⎦
= − + + 2i− 2 4 4 1 9 9i w− = + + = → =
• Sustituyendo valores se llega a:
0cos 06 9
θ ≅ ≅⋅
90θ∴ ≅ ° ← Ángulo entre los vectores z y w Problema 3: Sean F el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [-1,1] y el producto interno definido por:
( ) 1
1( ) ( ) ,f g f t g t dt f g F
−= ⋅ ∀ ∈∫
Para las funciones ( ) 1( )
( ) 1
f tg t t
h t t
=⎧⎪ =⎨⎪ = +⎩
determinar: (a) el ángulo entre f y h; y (b) la distancia
entre g y h. SOLUCIÓN:
(a) Ángulo entre f y h: ( )
cosf h
f hθ =
⋅
• Calculando los productos internos necesarios:
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 5 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )
( ) [ ] ( )
( )
121 1
1 11
1 1 1
11 1
131 1 2 2
1 11
1 1(1)(1 ) (1 ) 1 1 22 2 2
(1)(1) 1 1 2 2
1 1(1 )(1 ) (1 2 ) 1 1 1 13 3 3
2 8 823 3 3
tf h t dt t dt t
f f dt dt t f
th h t t dt t t dt t t
h
− −−
−− −
− −−
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = + = + = + − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= = = = − − = → =
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + + = + + = + + = + + − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= + = → =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
• Sustituyendo valores en la expresión del ángulo:
2 2cos823
θ = =⋅ 2
1 1 1 322 (2)(2) 4 12 2
3 3 3 3
= = = =⋅ ⋅ ⋅
• Por tanto:
3cos
2θ∴ = ← Ángulo entre f y h
(b) Distancia entre g y h: ( , )d g h g h= − • Realizando el producto interno: (1 ) 1g h t t− = − + = −
( ) [ ] ( )1 1 1
11 1( 1)( 1) 1 1 2g h g h dt dt t
−− −− − = − − = = = − − =∫ ∫
• Finalmente: ( , ) 2d g h g h∴ = − = ← Distancia entre g y h
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: PROCESO DE GRAM-SCHMIDT Problema 1: Sean 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, { }21, ,B x x= una base de 2P≤ y el producto interno en 2P≤ definido por:
( ) 1
1( ) ( )p q p x q x dx
−= ∫
(a) A partir de B, determinar una base ortogonal de 2P≤ . (b) Obtener el vector de coordenadas de 2( ) 1 2 3h x x x= + − en la base ortogonal del inciso anterior. SOLUCIÓN: (a) ¿La base B es ortogonal?
( )121 1
1 2 1 11
1 11( ) 02 2 2xv v x dx xdx
− −−
⎡ ⎤= = = = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫
( )131 12 2
1 3 1 11
1 1 1 1 21( ) 03 3 3 3 3 3xv v x dx x dx
− −−
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = = − − = + = ≠⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ ← B no es ortogonal
• Mediante el proceso de Gram-Schmidt:
( )( )( )( ) [ ] ( )
1 1 1
2 1
2 2 1
1 1
1 1
2 1 1 1
1 1 11 1 11 1
2
1
(1) 0
1(1) 1 1 2
0 (1)2
w v w
v ww v w
w w
v w x dx xdx
w w dx dx x
w x
− −
−− −
= → ∴ =
= −
= = =
= = = = − − =
∴ = −
∫ ∫
∫ ∫
2w x→ =
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
1 12 23 1 1 1
141 33 2 1
1
1 1 22 2 1 1
23
21( )3
1 1 04 4 4
2( )3
2 / 3 0(1) ( )2 2 / 3
v w v ww v w w
w w w w
v w x dx x dx
xv w x dx
w w x x dx x dx
w x x
− −
−−
− −
= − −
= = =
⎡ ⎤= = = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
= = =
∴ = − −
∫ ∫
∫
∫ ∫
23
13
w x→ = −
• Por tanto:
2 11, ,3OGB x x⎧ ⎫= −⎨ ⎬
⎩ ⎭ ← Base ortogonal
(b) El Vector de coordenadas en la base ortogonal BOG del inciso anterior buscado es:
( )1
2
3
BOGh
ααα
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
; donde sus coordenadas se obtienen con: ( )( )
11
1 1
h w
w wα = ,
( )( )
22
2 2
h w
w wα = y
( )( )
33
3 3
h w
w wα = .
• Calculando los productos internos correspondientes:
( )( ) ( )
( )( )
1 11 2 21 1 1 1
1 1
12 311
1 1
; (1 2 3 )(1) (1 2 3 )
1 1 1 ( 1 1 1) 0
2
h wh w x x dx x x dx
w w
x x x h w
w w
α− −
−
= = + − = + − =
⎡ ⎤= + − = + − − − + + → =⎣ ⎦
=
∫ ∫
1 0α∴ =
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )( ) ( )
( )
( )
1 12 2 2 32 2 1 1
2 2
123 4
21
2 2
2
; (1 2 3 )( ) ( 2 3 )
2 3 1 2 3 1 2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4 3
23
43
h wh w x x x dx x x x dx
w w
x x x h w
w w
α
α
− −
−
= = + − = + − =
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − = + − − − − → =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
=
∫ ∫
23
24 22
α= → ∴ =
( )( ) ( )
( )
( )
1 13 2 2 2 3 4 23 3 1 1
3 3
12 41 2 3 4 3 5
11
3
23 3
1 1 2; (1 2 3 ) 2 33 3 3
1 2 2 32 2 33 3 3 3 3 2 5
1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 83 3 3 2 5 3 3 3 2 5 15
13
h wh w x x x dx x x x x x dx
w w
x x xx x x x dx x x
h w
w w x
α− −
−−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − − = + − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + − = − − + + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= − − + + − − − − + + → = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜⎝ ⎠
∫ ∫
∫
( )
12 51 1 4 2 3
1 11
3 3
3
2 1 23 9 5 9 9
1 2 1 1 2 1 85 9 9 5 9 9 45
8
x xdx x x dx x
w w
α
− −−
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + =⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= − + − − + − → =⎜ ⎟⎝ ⎠
−=
∫ ∫
158 3
45 315
45
α= − → ∴ = −
• Por tanto:
( )023
OGBh
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
← Vector de coordenadas
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 2: Sea 2P≤ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, y el producto interno en 2P≤ , definido por:
( )2
0 1 20 0 1 1 2 2 22
0 1 2
( )2 3
( )p x a a x a x
p q a b a b a b Pq x b b x b x ≤
= + += + + ∀ ∈
= + +
Obtener una base ortogonal de 2P≤ , a partir de la base { }21 ,1 ,1B x x x= + + + . SOLUCIÓN: • Utilizando el proceso de Gram-Schmidt:
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
1 1
21
2 1
2 2 1
1 1
22 1
2 21 1
2 2 22 2
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
23 1
1
1 1 1(1) 2(1)(1) 3(0)(1) 3
1 1 1(1) 2(1)(1) 3(1)(1) 6
3 1 1 1 1 1 11 (1 ) 16 2 2 2 2 2 2
11 1(1
w v
w x x
v ww v w
w w
v w x x x
w w x x x x
w x x x x x x w x x
v w v ww v w w
w w w w
v w x x
=
∴ = + +
= −
= + + + = + + =
= + + + + = + + =
∴ = + − + + = − + − − → = + −
= − −
= + + =
( )
( )
23 2
2 22 2
2 23 3
) 2(0)(1) 3(0)(1) 1
1 1 1 112 2 2 2
1 1 1 1 1 1 32 2 2 2 2 2 2
1 1/ 2 1 1 1 2 11 (1 )6 3/ 2 2 2 2 3 3
v w x x
w w x x x x
w x x x x w x
+ + =
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞∴ = − + + − + − → = −⎜ ⎟⎝ ⎠
• Finalmente: 2 21 1 1 2 11 , ,2 2 2 3 3OGB x x x x x⎧ ⎫= + + + − −⎨ ⎬
⎩ ⎭ ←Base ortogonal
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
Problema 3: Sea 2P≤ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales, y sea el conjunto { }21,1 ,1B x x x= + + + una base de 2P≤ . Determinar a partir de B una base ortonormal de dicho espacio, considerando el producto interno en 2P≤ definido por:
( )2
1 1 11 1 2 2 3 3 22
2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )p x a b x c x
p q p x q x p x q x p x q x Pq x a b x c x ≤
= + += + + ∀ ∈
= + +
donde 1 1x = − ; 2 0x = ; 3 1x = . SOLUCIÓN: • El producto interno dado es: ( ) ( 1) ( 1) (0) (0) (1) (1)p q p q p q p q= − − + +
• ¿B es ortogonal?: ( )1 2 11 (1)(0) (1)(1) (1)(2) 3 0v v x⎡ ⎤= + = + + = ≠⎣ ⎦ ← B no es ortogonal
• Utilizando el proceso de Gram-Schmidt:
( )( )( )( ) ( ) ( )
1 1
1
2 1
2 2 1
1 1
2 1
1 1 1 1
1
3
11 (1)(1) (1)(1) (1)(1) 3
w v
w
v ww v w
w w
v w
w w w w
=
∴ =
= −
=
= = + + → =
2313
w x∴ = + − (1) 1= 1x+ − 2w x→ =
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 6 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )( )
( )( )
( ) ( )
3 1 3 2
3 3 1 2
1 1 2 2
23 1 1 1 1(1) (1)(1) (3)(1) 5
v w v ww v w w
w w w w
v w x x
= − −
= + + = + + =
( ) ( )( ) ( )
( )
23 2
2 2
2 23 3
1 (1)( 1) (1)(0) (3)(1) 2
( 1)( 1) (0)(0) (1)(1) 2
5 2 21 (1)3 2 3
v w x x x
w w x x
w x x x w x
= + + = − + + =
= = − − + + =
∴ = + + − − → = −
• Por tanto: 2 21, ,3OGB x x⎧ ⎫= −⎨ ⎬
⎩ ⎭ ←Base ortogonal
• Para la base ortonormal:
( )
1 1 11
2 2 22
2 23 3 3 3
3
2 2 23
1 1 1(1)3 3
1 1 1( )2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 6 2;3 3 3 3 3 3 3 3 9 3
1 2 3 2 3 23 2 3 2 32
3
e w ew
e w e x xw
e w w w x xw
e x x x
= → ∴ = =
= → ∴ = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = − − = + − − + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• Finalmente:
21 1 3 2, ,2 33 2ONB x x
⎧ ⎫⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
← Base ortonormal
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: COMPLEMENTO ORTOGONAL Problema 1: Sean 2 2M × el espacio vectorial de las matrices de 2×2 con elementos reales
sobre el campo de los reales y ,a b
W a b Rb a
⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
un subespacio de 2 2M × . Con el
producto interno en 2 2M × definido por:
( ) ( ) 2 2,TA B tr AB A B M ×= ∀ ∈ Determinar: (a) El complemento ortogonal de W.
(b) La matriz de A cuya distancia a la matriz 1 11 1
B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
sea mínima.
SOLUCIÓN: (a) El complemento ortogonal se determina con: ( ){ }2 2 0;W v M v u u W⊥
×= ∈ = ∀ ∈ .
• Se proponen los vectores: 2 2x y
v Mz w ×⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
y a b
u Wb a−⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
.
• Se realiza el producto interno ( ) 0v u = :
( )
( ) ( ) 0
x y a b x y a bv u tr
z w b a z w b a
ax by bx aytr ax by bz aw
az bw bz aw
a x w b y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞− + +⎡ ⎤= = − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥− + +⎣ ⎦⎝ ⎠
= − + + + =
• Para que se cumpla la expresión anterior:
0 00 0
( ) ( ) 0a x w b y z≠ ≠= =
− + + + =
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• Es decir: 0
0
x w x w
y z y z
− + = → =
+ = → = −
• Con los valores anteriores, el vector 2 2x y
v Mz w ×⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
propuesto, se transforma en
w zv
z w−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
• Finalmente:
,w z
W w z Rz w
⊥ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
← Complemento ortogonal
• Otra solución para determinar el complemento ortogonal es considerar el mismo vector
2 2x y
v Mz w ×⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
, y como vectores u , a los vectores de la base canónica del subespacio
W:
.
1 2
1 0 0 1,
0 1 1 0canB
u u
⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭↑ ↑
• Y realizando los productos internos:
( )11 0 1 0
0 1 0 1
0
x y x yv u tr
z w z w
x ytr x w x w
z w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞−⎡ ⎤= = − + = → =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦⎝ ⎠
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( )20 1 0 11 0 1 0
0
x y x yv u tr
z w z w
y xtr y z y z
w z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎡ ⎤= = + = → = −⎜ ⎟⎢ ⎥
⎣ ⎦⎝ ⎠
• Obteniéndose, al igual que en la primera solución, que el vector v inicial se transforma
en w z
vz w
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
, y por consiguiente el complemento ortogonal es:
,w z
W w z Rz w
⊥ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
.
(b) Para determinar la matriz A cuya distancia a la matriz 1 11 1
C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
sea mínima, se utiliza:
C A B= + donde A W∈ ; B W ⊥∈ y 2 2C M ×∈
• Considerando los vectores: a b
A Wb a−⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
y w z
B Wz w
⊥−⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
, y sustituyendo
valores en la sumatoria anterior, se tiene:
1 11 1
1 11 1
C A Ba b w z
b a z w
a w b zb z a w
= +
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Igualando términos:
1 (1)1 (2)1 (3)1 (4)
a wb zb za w
= − + →= − →= + →= + →
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• De (1): 1w a= + ; sustituyendo en (4): 1 1 2 0 0a a a a= + + → = → = • Por tanto: 1w = • De (2): 1b z= + ; sustituyendo en (3): 1 1 2 0 0z z z z= + + → = → = • Por tanto: 1b =
• Con los valores encontrados se tiene que: 0 11 0
A W⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
y 1 00 1
B W ⊥⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
• Donde 0 11 0
A W⎡ ⎤
= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
← Matriz cuya distancia a la matriz 1 11 1
C ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
es mínima.
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO Problema 1: Verificar que los vectores (1 5 , )z i i= + y (5 , )w i i= − que pertenecen al espacio vectorial C2, satisfacen la desigualdad del triángulo respecto al producto interno definido por:
( ) 21 1 2 2 1 2 1 25 ( , ), ( , )z w z w z w z z z w w w C= + ∀ = = ∈
donde 1w y 2w son los conjugados de 1w y 2w , respectivamente. SOLUCIÓN: * La desigualdad del triángulo es: z w z w+ ≤ +
* La sumatoria es:
(1 5 , ) (5 , ) (1 5 5 , ) (6 4 , 2 )
(6 4 , 2 )
z w i i i i i i i i i i
z w i i
+ = + + − = + + − + = +
+ = +
* Calculando los productos internos necesarios: a) ( ) (6 4 , 2 ) (6 4 , 2 ) 5(6 4 )(6 4 ) (2 )(2 )z w z w i i i i i i i i+ + = ⎡ + + ⎤ = + + +⎣ ⎦
( )
2 2
5(6 4 )(6 4 ) (2 )( 2 )5(36 24 24 16 ) ( 4 )5(36 16) 45(52) 4260 4
264
i i i ii i i i
z w z w
= + − + −
= − + − + −= + += += +
+ + =
264z w∴ + =
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
b) ( ) (1 5 , ) (1 5 , ) 5(1 5 )(1 5 ) ( )( )z z i i i i i i i i= ⎡ + + ⎤ = + − + −⎣ ⎦
( )
5(1 25) 15(26) 1130 1
131z z
= + += += +
=
131z∴ =
c) ( ) (5 , ) (5 , ) 5(5 )(5 ) ( )( )w w i i i i i i i i= ⎡ − − ⎤ = − + + −⎣ ⎦
( )
5(25 1) 1130 1
131w w
= + += +
=
131w∴ =
* Sustituyendo valores en la desigualdad del triángulo: z w z w+ ≤ +
264 131 131
264 2 131
264 4(131)264 524
≤ +
≤
≤
≤
* Por tanto: 264 524< ← Se cumple la desigualdad del triángulo
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 1 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SUBTEMA: ORTOGONALIDAD Y TEOREMA DE PITÁGORAS Problema 1: Determinar el valor de k para que los vectores:
( )f t t k= + y 2( )g t t= sean ortogonales, utilizando el producto interno definido por:
( ) 1
0( ) ( )f g f t g t dt= ∫
SOLUCIÓN: • Los vectores f(t) y g(t) son ortogonales cuando ( ) 0f g = .
• Por tanto, sustituyendo valores e igualando con cero:
( )
( )
14 31 12 3 2
0 00
1 1( )( ) ( )4 3 4 3
1 1 04 3
t tf g t k t dt t kt dt k k
f g k
⎡ ⎤= + = + = + = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= + =
∫ ∫
• Despejando:
34
k∴ = − ← Para que f(t) y g(t) sean ortogonales
Problema 2: En el espacio vectorial C2 se define el producto interno:
( ) ( ) ( )2
21 2 1 2
1
; , , ,n nn
z w z w z z z w w w C=
= ∀ = = ∈∑
donde nw es el conjugado de nw . Si ( ),z k i= y ( )2 ,2w i i= − .
(a) Obtener k C∈ , para que los vectores z y w sean ortogonales. (b) Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, verificar que z y w satisfacen el teorema de Pitágoras.
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 2 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
SOLUCIÓN: (a) El producto interno dado es: ( ) 1 1 2 2z w z w z w= +
• Haciendo ( ) 0z w = se tiene:
( ) ( ) ( )
( )2, 2 ,2 (2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 0
2 2 0
z w k i i i k i i i k ki i k ki
z w k ki
⎡ ⎤= − = + + − = + + − = + + =⎣ ⎦
∴ = + + =
(2 ) 2
2 2 (2 ) 4 22 2 (2 ) 4 2
k ii ik
i i i i
+ = −− − − − +
= = ⋅ =+ + − + 2i− 2
4 2 4 24 1 5 5
i ii
− + −= = +
+−
4 25 5
k i∴ = − + ← Para que z y w sean ortogonales
(b) Teorema de Pitágoras:
2 2 2z w z w+ = +
• Calculando los productos internos necesarios:
( ) ( ) ( ) 4 2, 2 ,2 2 , 2 2 ,35 5
z w k i i i k i i i i i i⎛ ⎞+ = + − = + − + = − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
6 3 ,35 5
z w i i⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
o bien: ( )1 6 3 ,155
z w i i+ = −
( ) ( ) ( ) [ ]1 1 16 3 ,15 6 3 ,15 (6 3 )(6 3 ) (15 )( 15 )
5 5 251 (36 1825
z w z w i i i i i i i i
i
⎡ ⎤+ + = − − = − + + − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − 18i+ 2 2 1 19 225 ) (36 9 225) (270)25 25
i i− − = + + =
∴ ( ) 545
z w z w+ + =
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 3 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
( ) ( ) ( ) [ ]1 1 14 2 ,5 4 2 ,5 ( 4 2 )( 4 2 ) 5 ( 5 )5 5 25
1 (16 825
z z i i i i i i i i
i
⎡ ⎤= − + − + = − + − − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦
= + 8i−
( ) ( ) ( )
2 2 1 1 94 25 ) (16 4 25) (45)25 25 5
2 ,2 2 ,2 (2 )(2 ) 2 ( 2 ) 4 2
i i
w w i i i i i i i i i
− − = + + = =
⎡ ⎤= − − = − + + − = +⎣ ⎦ 2i− 2 24
454 1 4 95
i i− − =
= + + = =
• Sustituyendo valores en el teorema de Pitágoras:
2 2 254 9 455 5 5
54 9 455 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
• Finalmente: 54 545 5= ← Queda demostrado el teorema
Problema 3: Obtener con el producto interno usual en 3R , un vector unitario que sea ortogonal a los vectores ( )1,1, 1x = − , ( )2,1,2y = − y ( )1,0,1z = − . SOLUCIÓN: • Se propone el vector ( ) 3, ,v a b c R= ∈
• Para que sea ortogonal a los vectores x , y , z , se realizan:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , 1,1, 1 0 ............(1)
, , 2,1,2 2 2 0 ....(2)
, , 1,0,1 0 ...............(3)
v x a b c a b c
v y a b c a b c
v z a b c a c
⎡ ⎤= − = + − =⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = − + + =⎣ ⎦
⎡ ⎤= − = − + =⎣ ⎦
PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 4 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Profra. Norma Patricia López Acosta
• De la ecuación (3) se tiene que: c a= • Sustituyendo en la ecuación (1): a b a+ − 0= → ∴ 0b = • Comprobando en la ecuación (2): 2 2 0a b c− + + = → 2a− 2b a+ + 0= → ∴ 0b = • Por tanto: ( ),0, Vector ortogonal a , ,v a a x y z= ←
• Asimismo, para que el vector v sea unitario, se realiza:
( )( )( ) ( ) ( )
12
2 2
1
1
,0, ,0, 1
v v v
v v
v v a a a a a a
= =
=
⎡ ⎤= = + =⎣ ⎦
2
2
2 112
12
a
a
a
=
=
= ±
• Finalmente, el vector unitario pedido es:
1 1,0,2 2
v ⎛ ⎞= ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠
← Vector unitario y ortogonal a los vectores x , y , z