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MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A4 Termofluidos: Electrocinética
Análisis de la distribución del potencial eléctrico para un flujo electroosmótico de dos fluidos inmiscibles en un microcanal rectangular
Escandón Colin Juan Pablo*, Juan Rolando Gómez López, Hernández Roblero Clara Guadalupe
Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av de las Granjas No. 682, Col Santa Catarina, Del. Azcapotzalco, Ciudad de México, C.P.
02250, México
*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: jescandon@ipn.mx
R E S U M E N
En esta investigación se presenta la solución analítica de la distribución del potencial eléctrico para aplicación en un flujo
electroosmótico conduciendo dos fluidos inmiscibles en un microcanal rectangular. El modelo matemático se basa en las
ecuaciones gobernantes de conservación de la cantidad de movimiento y de Poisson-Boltzmann. Los fluidos considerados
son electrolitos simétricos y en el análisis se consideran los efectos de deslizamiento eléctrico y densidad de carga
superficial neta en la interface entre los fluidos. En los resultados se muestran perfiles de distribución del potencial eléctrico
los cuales dependen de parámetros adimensionales como lo son una razón geométrica entre el alto y ancho del microcanal,
potencial zeta especificado en las paredes y un deslizamiento eléctrico interfacial; este último parámetro altera de forma
notable la continuidad de potencial eléctrico a través de la sección transversal del microcanal respecto al transporte de un
solo fluido.
Palabras Clave: Potencial eléctrico, deslizamiento eléctrico, fluidos inmiscibles, flujo electroosmótico, microcanal.
A B S T R A C T
In this research the analytical solution of the electrical potential distribution for application in an electroosmotic flow is
presented, conducting two immiscible fluids in a rectangular microchannel. The mathematical model is based on the
conservation equations of momentum and Poisson-Boltzmann. The considered fluids are symmetrical electrolytes and the
analysis considers the effects of electric slip and net surface charge density at the interface between the fluids. The results
show electrical distribution profiles which depend on dimensionless parameters such as a geometric ratio between the
height and width of the microchannel, zeta potential specified in the walls and an electrical interfacial slip; this latter
parameter significantly alters the continuity of electrical potential across the cross-section of the microchannel with respect
to the transport of a single fluid.
Keywords: Electrical potential, electric slip, immiscible fluids, electroosmotic flow, microchannel.
Nomenclatura
Dh diámetro hidráulico, m
E vector de campo eléctrico, V m-1
Ex campo eléctrico en la coordenada x, V m-1
e carga del electrón, C
h1,2 espesores de los fluidos, m *
1,2h espesores adimensionales de los fluidos
kB constante de Boltzman, J K-1
L longitud del microcanal, m
n0 número de concentración iónica, m-3
p presión, Pa
qs densidad de carga superficial, C m-2
t tiempo, s
T temperatura, K
ui velocidad del fluido, m s-1
iu velocidad adimensional del fluido
uc velocidad característica, m s-1
V vector de velocidad, m s-1
W ancho del microcanal, m
W* ancho adimensional del microcanal
x,y,z coordenadas cartesianas , ,x y z coordenadas cartesianas adimensionales
zi valencia del electrolito
Símbolos griegos
deslizamiento eléctrico, V
ISSN 2448-5551 TF 1 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
i permitividad eléctrica, C V-1 m-1
�̅� parámetro electrocinético
-1 longitud de Debye, m
µi viscosidad del fluido, Pa s
�̅� razón de viscosidades
ρ densidad del fluido, kg m-3
e densidad de carga eléctrica, C m-3
i potencial eléctrico, V
i potencial eléctrico adimensional
i potencial zeta en las paredes, V
i potencial zeta adimensional en las paredes
Subíndices
i fluido, i=1,2
1. Introducción
Desde hace varios años, el bombeo electroosmótico ha sido
empleado como un método de transporte de fluidos en
dispositivos microfluídicos [1-4]. Este fenómeno consiste en
el movimiento de un líquido en relación a una superficie
estacionaria cargada por un campo eléctrico aplicado [5]. La
ventaja de este método es que para su funcionamiento no se
requiere de partes móviles, lo cual es útil en los dispositivos
microfluídicos, donde se requiere la integración de una
microbomba con un tamaño comparable al pequeño
volumen del fluido a bombear.
La comunidad científica ha realizado diversas
investigaciones empleando el bombeo electroosmótico bajo
la consideración de un solo fluido transportándose por los
conductos. Sin embargo en décadas recientes el interés en
bombeo se ha extendido hacia el movimiento de fluidos
inmiscibles y multicapas de fluidos, esto debido a procesos
de coextrusión, procesos de recubrimientos de película y
procesos de transporte lubricados [6]. Debido a ello, existen
diversos trabajos enfocados al transporte de fluidos
inmiscibles, uno de ellos es el realizado por Afonso et al. [7],
quienes obtuvieron una solución analítica para el flujo
electroosmótico de dos fluidos inmiscibles en un microcanal
de placas planas siendo un solo fluido conductor, además,
obtienen la distribución del potencial eléctrico mediante la
solución de la ecuación de Poisson-Boltzman con la
aproximación de Debye-Hückel para potenciales bajos en
las paredes del microcanal. Así mismo, la investigación
realizada por Su et al. [8] consiste en una solución semi-
analítica del flujo electroosmótico de dos fluidos inmiscibles
en un microcanal de placas planas. A diferencia de la
investigación de Afonso et al. [7], en este trabajo se
consideran ambos fluidos conductores y por lo tanto se
introduce la ley de Gauss y un deslizamiento eléctrico como
condiciones de frontera en la interface de ambas capas de
fluido.
Por otra parte, en la investigación de Gao et al. [9] se
obtiene una solución para el flujo electroosmótico de fluidos
inmiscibles en un microcanal rectangular. Para la solución
del potencial eléctrico se emplea el método de separación de
variables, además de considerar únicamente un fluido
conductor y una condición de simetría a lo largo de la
coordenada axial. También se han realizado investigaciones
sobre el transporte de más de dos fluidos inmiscibles, como
el realizado por Haiwang et al. [10] quienes obtuvieron una
solución analítica para el flujo combinado electroosmótico-
presión de tres fluidos inmiscibles transportados en un
microcanal rectangular. En este análisis, los fluidos en la
parte superior e inferior del microcanal son considerados
conductores y el fluido central es movido por arrastre
electro-viscoso en la interface. La ecuación de Poisson-
Boltzman se resuelve de forma analítica para obtener la
distribución del potencial eléctrico y se considera una
condición de simetría.
Es importante resaltar que la mayoría de los trabajos
mencionados sobre flujo de fluidos inmiscibles, han sido
realizados en microcanales de placas planas transportando
un fluido conductor y otro no conductor. Por esta razón, el
presente trabajo realizará una solución analítica de la
distribución del potencial eléctrico de dos fluidos
inmiscibles en un microcanal rectangular, considerando que
ambos fluidos son conductores eléctricos. En el análisis se
asumirán condiciones eléctricas de interface, siendo estas de
deslizamiento eléctrico entre los fluidos y de balance de
carga neta superficial. Esta combinación de condiciones
impuestas para la distribución del potencial eléctrico
respecto a la geometría del conducto y condiciones
eléctricas de interface entre los fluidos, no ha sido tratada
aún por la comunidad científica. Por lo tanto, se debe hacer
énfasis en que el presente trabajo incluye únicamente el
análisis de la distribución del potencial eléctrico en el
microcanal, y sus resultados dejan un panorama
introductorio para la obtención del campo de flujo de fluidos
inmiscibles, en el contexto de la aplicación de flujos
electroosmóticos.
2. Formulación del problema
2.1. Descripción del modelo físico
Esta investigación considera el planteamiento de flujo de
dos fluidos inmiscibles en un microcanal rectangular con
altura h1+h2, ancho W y largo L. Los fluidos son
eléctricamente conductores y se basan en electrolitos
simétricos. El sistema de coordenadas Cartesiano se localiza
en la interface entre los fluidos 1 y 2 como es mostrado en
la Fig. 1. El movimiento de los fluidos se debe a la presencia
de un campo eléctrico Ex en la dirección de la coordenada x
y que contribuye a los efectos electroosmóticos. El potencial
zeta especificado en las paredes del fluido 1 es 1 y en el
fluido 2 es 2, los cuales se mantienen uniformes a lo largo
del microcanal en la coordenada x. Por lo anterior, la
distribución del potencial eléctrico 1,2(y, z) y necesario para
la presencia del flujo electroosmótico se desarrollara en el
plano y-z. En el esquema se muestra la condición de
deslizamiento eléctrico en la interface entre los fluidos.
2.2. Ecuaciones gobernantes
El campo de flujo está gobernado por la ecuación de Navier-
Stokes siguiente
ISSN 2448-5551 TF 2 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
2
, ,i
i i i e i
Dp
Dt
VV E (1)
donde V, ρ, t, p, ρe , y E son el vector de velocidad, la
densidad del fluido, el tiempo, la presión, la densidad de
carga eléctrica, la viscosidad dinámica y el vector de campo
eléctrico, respectivamente. i=1,2 es el número de fluido.
Para la determinación de la densidad de carga eléctrica,
se emplea la ecuación de Poisson-Boltzmann que define la
distribución del potencial eléctrico de la manera siguiente
[5]
,2 02sinh ,
e i i i i
i
i i B i
n z e z e
k T
(2)
donde , , n0, z, e, kB y T son el potencial eléctrico,
permitividad eléctrica, número de concentración iónica,
valencia del electrolito, constante de Boltzmann y
temperatura del fluido, respectivamente.
2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes
La formulación matemática asume las siguientes
consideraciones:
flujo es incompresible y laminar,
flujo en estado permanente y desarrollado,
el alto del microcanal es del orden del ancho, H ~ W,
se desprecian efectos de entrada o salida, i.e.,
L>>(h1+h2),
propiedades físicas constantes de los fluidos,
flujo unidimensional,
aproximación de Debye-Hückel, con sinh(ze/kBT)
ze/kBT, para potenciales bajos con valores de <25
mV, donde ~ [11],
no existe gradiente de presión externo o inducido en el
sistema.
Atendiendo lo anterior, las ecuaciones gobernantes, ecs. (1)
y (2), quedan simplificadas en coordenadas Cartesianas de
la siguiente manera:
2 2
2
2 20 ,i i
i i x
u uE
y z
(3)
2 2
2
2 2,i i
i iy z
(4)
donde ui es la velocidad de cada fluido en la coordenada x
del microcanal. 2 2 2
02 /i i Bn z e k T es el parámetro Debye-
Hückel.
Las condiciones de frontera aplicables al campo de flujo
de la ec. (3) son las siguientes:
Condiciones de no deslizamiento en las paredes del
microcanal:
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 2 2
(0 , 0) (0 , ) 0,
( 0, 0) ( 0, ) 0,
( ,0 ) ( ,0 ) 0,
u y h z u y h z W
u h y z u h y z W
u y h z W u y h z W
(5)
en conjunto con las condiciones de interface entre los
fluidos, siendo estas de continuidad de velocidad:
1 2( 0,0 ) ( 0,0 ),u y z W u y z W
(6)
y de balance de esfuerzos [12]:
1 2
1 2 ,
0 0y y
u u
y y
(7)
En el caso de las condiciones de frontera necesarias para
resolver la ec. (4), se tienen las condiciones de potencial
especificado en la pared como:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
(0 , 0) (0 , ) ,
( 0, 0) ( 0, ) ,
( ,0 ) , ( ,0 ) ,
y h z y h z W
h y z h y z W
y h z W y h z W
(8)
en conjunto con las condiciones de frontera de interface,
siendo de deslizamiento eléctrico:
2 1 0,0,
y z W
(9)
y de balance de carga neta superficial: Figura 1 – Esquema del flujo electroosmótico de dos fluidos
inmiscibles en un microcanal rectangular.
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1 2
1 2
0,0
,s
y z W
qy y
(10)
donde qs es la densidad de carga superficial en la interface
entre los fluidos.
2.4. Modelo matemático adimensional
Para normalizar el modelo matemático conformado por las
ecs. (3)-(10), se introducen las siguientes variables
adimensionales
, , , ,i i i
i i
h h B ic
u z ey zy z u
D D u k T
(11)
donde la velocidad característica del flujo es definida como
1 1 1 1/B xcu k T E z e . Dh=2W(h1+h2)/[W+(h1+h2)] es el
diámetro hidráulico del microcanal. Introduciendo la ec.
(11) en ecs. (3) y (4), se tienen las siguientes ecuaciones de
cantidad de movimiento y potencial eléctrico adimensional
respectivamente
2 2
2
2 2,i i
i i
u u
y z
(12)
2 2
2
2 2,i i
i iy z
(13)
y sus correspondientes condiciones de frontera para la
determinación de la velocidad, de no deslizamiento
* * *
1 1 1 1
* * *
2 2 2 2
* * *
1 1 2 2
(0 , 0) (0 , ) 0,
( 0, 0) ( 0, ) 0,
( ,0 ) ( ,0 *) 0,
u y h z u y h z W
u h y z u h y z W
u y h z W u y h z W
(14)
continuidad de velocidad
* *
1 2( 0,0 ) ( 0,0 ),u y z W u y z W
(15)
y de balance de esfuerzos
1 2.
0 0y y
u u
y y
(16)
En el caso de las condiciones de frontera para potencial
especificado en la pared
*
1 1 1(0 , 0) ,y h z (17)
* *
1 1 1(0 , ) ,y h z W (18)
* *
1 1 1( ,0 ) ,y h z W (19)
*
2 2 2( 0, 0) ,h y z (20)
* *
2 2 2( 0, ) ,h y z W (21)
* *
2 2 2( ,0 ) ,y h z W (22)
de deslizamiento eléctrico en la interface
*2 1 0,0,
y z W
(23)
y de balance de carga neta superficial
*
1 2
0,0
.s
y z W
Qy y
(24)
De este modelo matemático adimensional, surgen los
siguientes parámetros adimensionales
* * *1 2
1 2 1
12 2 1
1 1 1 1
, , , ,
, , , ,
h
i
h h h i
s h
s
B B
Dh h Wh h W
D D D
z eq Dz eQ
k T k T
(25)
donde *
1h , *
2h y *W son las razones geométricas de los
espesores de las capas de fluidos al diámetro hidráulico del
microcanal. i es la razón entre el espesor de cada fluido y
el la longitud de Debye, siendo esta última definida como
1/2
1 2 2
0/ 2 ii i Bk T z e n . y son la razón de
viscosidades y permitividades entre los fluidos. y Q
es el deslizamiento y densidad de carga superficial
adimensionales en la interface entre los fluidos.
3. Metodología de solución
El alcance del este trabajo comprende la solución de las
ecuaciones que determinan la distribución potencial
eléctrico adimensional, siendo estas, las ecs. (13), (17)-(25).
3.1 Fluido 1
De la ec. (13) se tiene la ecuación de Poisson-Boltzmann
para el fluido 1 de la forma siguiente
2 2
21 1
1 12 2.
y z
(26)
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Con las condiciones de frontera de las ecs. (17)-(19) y
(23) y (24) se tiene un problema con condiciones de frontera
no homogéneas, el cual puede ser dividido en cuatro
problemas más simples, en el cual, cada uno considera una
condición de frontera no homogénea [13]. Para cada uno de
estos problemas se utiliza el método de separación de
variables, asumiendo una separación de la siguiente forma:
1 , .y z Y y Z z (27)
Introduciendo la ec. (27) en (26), se tienen los siguientes
problemas separados para el potencial eléctrico en las
coordenadas y y z , respectivamente:
22
20,
d YY
dy (28)
22
20.
d ZY
d z (29)
Donde 2 y 2 2 2
1 son las constantes de separación.
Al resolver las ecs. (28) y (29) se construye la siguiente
solución general del potencial eléctrico a partir de la ec. (27)
1 1 2
3 4
cos( ) sin( )
cos( ) sin( ) .
C y C y
C z C z
(30)
De acuerdo al método de solución empleado, la ecuación
anterior está sujeta a las siguientes condiciones de frontera
para el caso de la pared ubicada en la posición *10 , 0y h z , con potencial especificado en esa pared
y las demás homogéneas:
*
1 1 1,(0 , 0)a y h z
* *
1 1(0 , ) 0,a y h z W (31)
*
1 1( , ) 0,a y h z
1 ( 0, ) 0.a y z
Aplicando las condiciones de frontera de la ec. (31) en la ec.
(30), se determinan las constantes C1-C4. Por lo tanto, la
solución será
*
11 *
1 cos( )2( , )
sinh
sin( ) sinh .
a
n
n n
ny z
n W
y W z
(32)
Este proceso, se repite para obtener la distribución del
potencial en las paredes del microcanal localizadas en las
otras paredes con potencial especificado en las siguientes
posiciones:
*
11 1( , ) ,b y h z (33)
**
111(0 , ) .
cy h z W (34)
3.2 Fluido 2
Para el fluido 2, la ecuación de Possion-Boltzmann a
resolver será
2 2
22 2
2 22 2.
y z
(35)
Para esta solución se emplea el mismo método de solución
empleado para el fluido 1, recordando que al obtener la
distribución del potencial en una de las paredes, las restantes
se considerarán con condiciones de frontera homogéneas.
3.3 Interface
Debido a que en la interface de los fluidos no existe un valor
de potencial especificado, para obtener la distribución del
potencial en esta posición, se realiza un proceso de
acoplamiento mediante las condiciones de frontera dadas en
las ecs. (23) y (24) y considerando todas las paredes con
potencial cero.
3.4 Solución general
De esta forma, la solución general para la distribución del
potencial eléctrico de ambos fluidos serán las siguientes.
Para el fluido 1:
*
1 *1 4
1
*1 1
*1 4
1
1
1
1
2 1 cos( )( , ) sinh( )sinh ( )
sinh( )
1 cos( )2sinh( )sinh( )
sinh( )
2 1 cos( )sinh( )sinh( )
sinh( )
21 cos( )
sin( )sinh (
n n
n
n n
n n
n n
n
n n
n
ny z y W z
n W
nz y
n h
ny z
n W
nn z h
AC
B
* ) ,y
(36)
donde se tienen los siguientes eigenvalores
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2 2 2 2
1 1* *
1
, , , .n n n n n n
n n
h W
(37)
Para el fluido 2 se tiene que:
*
2 *1
*1
*1 2
1
2
2
2
2 1 cos( )( , ) sinh( )sinh ( )
sinh( )
2 1 cos( )sinh( )sinh( )
sinh( )
2 1 cos( )sinh( )sinh( )
sinh( )
21 cos( )
sin( )sinh (
n n
n n
n n
n n
n n
n n
s
n nn
ny z y W z
n W
ny z
n W
nz y
n h
Qn
n zE
DF B
*
2 ) ,h y
(38)
donde se tienen los correspondientes eigenvalores
2 2 2 2
2 2* *
2
, , , .n n n n n n
n n
h W
(39)
Adicionalmente se tienen las siguientes definiciones
* * *
1 1 2sinh( ) cosh( )sinh( ),n
n n n
s
A h h hQ
(40)
* *
2 1sinh( ) cosh( ),n
n n
s
B h hQ
(41)
*
1sinh( ),nC h (42)
*
2cosh( ),n nD h (43)
*
1cosh( ),n nE h (44)
* *
1 1sinh( ) cosh( ).n
n n
s
F h hQ
(45)
4. Resultados
Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de
los parámetros adimensionales utilizados en este trabajo son
los siguientes: 1,210 50h m , 10 50W m ,
0.1 25L mm , 11 250i nm , i ~ 1010 1 1CV m ,
25i mV y iz ~ 010 .
En las Figs. 2 (a)-(d) se muestran diferentes casos de la
distribución del potencial eléctrico 1,2( , )y z como
función de las coordenadas y y z . Los parámetros
adimensionales generales que se consideraron fueron los
siguientes: 1
1 , 2
1 , *1
1h , 2
* 1h , * 1W ,
100i , 0.2 , 1sQ y 1 , con excepción de
cada valor específico analizado en las subfiguras. La Fig.
2(a) muestra un microcanal con geometría cuadrada siendo *
:*1,2
1:1h W . Como puede observarse, en la coordenada
0y y para toda z , se tiene un salto del potencial eléctrico
debido a las características eléctricas de los fluidos
inmiscibles en esa posición con 0.2 , formando zonas
de alta concentración iónica en la interface líquido-líquido,
con un correspondiente balance de cargas eléctricas y
formación de una doble capa eléctrica del lado de cada
fluido con polaridad opuesta. Los valores mayores del
potencial eléctrico se tienen en las cercanías de las paredes
del microcanal, resultado del balance de cargas eléctricas en
la interface sólido-líquido y una doble capa eléctrica. Fuera
de las dobles capas eléctricas se tienen condiciones de
electro-neutralidad con potencial nulo, esto es de un valor
0 en las zonas centrales de la sección transversal de
cada fluido.
La Fig. 2(b) se presenta el caso de distribuciones de
potencial eléctrico de los fluidos inmiscibles con
polaridades opuestas en las paredes del microcanal con
11 y
21 . En el caso del fluido 2, 2
( , )y z
siempre tendrá valores negativos. Indistintamente, se
observa que la alta concentración de cargas eléctricas se
presenta en las interfaces líquido-líquido y sólido-líquido de
los fluidos inmiscibles en el microcanal.
Por otra parte, en la Fig. 2(c), se observa la distribución
del potencial eléctrico para un microcanal rectangular con
una relación de esbeltez *:
*1,2
1: 2h W , siendo el
microcanal mas alargado en la coordenada z y más esbelto
en la coordenada y . Al seleccionar en este caso un valor del
deslizamiento eléctrico adimensional en la interface entre
los fluidos de 0.5 , el desfasamiento del potencial
eléctrico es más pronunciado que en caso de las figuras
anteriores.
Finalmente, en la Fig. 2(d), el parámetro electrocinético
seleccionado con un valor de 20i indica la magnitud del
espesor de la doble capa eléctrica formada por un balance de
cargas entre el fluido electrolítico con una interface sólido-
líquido o bien en una interface líquido-líquido. Cuando la
concentración iónica del fluido electrolítico baja, el espesor
de la doble capa eléctrica aumenta. Así, se observa una
forma más parabólica de la distribución del potencial
eléctrico en los fluidos inmiscibles, si se compara con las
figuras anteriores con un perfil más plano hacia las zonas
centrales de los fluidos.
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(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2 – Distribución del potencial eléctrico en los fluidos inmiscibles y en un microcanal rectangular.
(a) , (b) y , (c) y y y (d) .
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4. Conclusión
En esta investigación se resolvió la distribución del
potencial eléctrico para un flujo electroosmótico de fluidos
inmiscibles en un microcanal rectangular. El considerar la
naturaleza de los fluidos involucrados como conductores
eléctricos y condiciones eléctricas de interface deja los
siguientes aspectos importantes:
La existencia de un balance de carga neto en la interface
entre los fluidos conductores, deja un deslizamiento
eléctrico entre estos fluidos inmiscibles y una densidad
de carga superficial neta que rompe con la condición de
electro-neutralidad fuera de las doble capa eléctrica en las
paredes del microcanal, generando un salto en la
distribución del potencial eléctrico la zona central de la
sección transversal del microcanal.
El parámetro electrocinético, i , determina la forma
parabólica o plana del perfil de distribución del potencial
eléctrico a lo largo de la sección transversal del
microcanal.
La relación de esbeltez entre el alto y ancho del
microcanal, * *
1 :h W y * *
2 :h W , influye en el espesor de la
doble capa eléctrica y correspondientemente en el
espesor de la zona de alta concentración de eléctricas en
el microcanal.
De esta forma el presente trabajo es una contribución para la
teoría de flujos electrocinéticos y como trabajo futuro
derivado de esta investigación se recomienda abordar lo
siguiente:
Resolver el campo de flujo electroosmótico planteado por
las ecs. (12), (14)-(16).
Consideración de interfaces no uniformes.
Propiedades físicas de los fluidos dependientes de la
temperatura.
Agradecimientos
Este trabajo de investigación contó con el respaldo del
proyecto de investigación SIP-20171035 del Instituto
Politécnico Nacional en México.
REFERENCIAS
[1] D. J. Laser, J. G. Santiago, Journal of Micromechanics and Microengineering 14 (2004) R35.
[2]A. Ramos, Microfluidic Technologies for Miniaturized Analysis Systems. Springer (2007).
[3] C. Zhang, D. Xing, Y. Li, Biotechnology Advances 25 (2007) 483.
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