Post on 24-Jan-2016
Análisis de la ecuación vectorial deSwift-Hohenberg
por
Matías G. dell`Erba
Director: Miguel Hoyuelos
Introducción
Estabilidad y bifurcaciones
Ecuaciones de amplitud
Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg Ecuaciones de
amplitud
Ecuaciones de amplitud: describen la dinámicade un conjunto de sistemas físicos entorno desu inestabilidad.
Para R < Rc sistema estable
Para R > Rc
sistema inestable
Sistema físico
Para R = Rc bifurcación
Bifurcación de Hopf:
Im0
Re│R = Rc > 0R
Solución (R)1/2
Bifurcación: cambio cualitativo en la solución deuna ecuación diferencial.
Ventaja de las ecuaciones de amplitud:
Deducción de las ecuaciones de amplitud:
Se parte de las ecuaciones de un sistema físico particular.Se linealiza el sistema en torno de una solución conocida.Se toman en cuenta las no-linealidades apartir de un escaleo apropiado.
Cada ecuación de amplitud describe un conjunto de sistemas físicos de naturaleza diferente. Esto se debe al número restringido de tipos de bifurcaciones.
Deducción de la ecuación vectorialde Swift-Hohenberg
Ecuaciones vectoriales de Maxwell-Bloch (MB).
Linealizando en torno de E±= P±= N±= M = 0,la solución queda:
Con ella se puede obtener
El cálculo de autovalores conduce a:
Escribimos i ,y hacemos y
Modo más inestable k = 0, rc = 1,
Curva de estabilidad neutral o marginal
Para tomar en cuenta los términos no-lineales:
R: parámetro de control del sistema. ( )
Escaleamos las variables espaciales y temporales:
Escribimos las ecuaciones de MB como:
donde
Igualando términos del mismo orden en llegamos a:
con
Ecuación vectorial de Swift-Hohenberg
Análisis de casos particulares
Estabilidad de soluciones homogéneasInestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana
Dependencia en los parámetros y
Estabilidad de soluciones homogéneas
Proponemos como solución:
Buscamos soluciones estacionarias. ( )
Calculamos los autovalores de la matriz jacobiana.Para
donde I: solución inestable, E: solución estable, PE: punto de ensilladura, X: sin solución.
Campo vectorial:
Campo vectorial:
Campo vectorial:
Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana.
Proponemos como solución:
Hacemos una perturbación en A±
donde
Analizamos los casos y
Escribiendo
Caso k+ = k- = k:
Definimos y
Reemplazando en el sistema se llega a ± = 1 ±
Ecuación de difusión
La estabilidad de la onda plana esta dada por:
además, como Q > 0:
Para , los autovalores (aproximados) son:
Caso k+ = -k- = k:
Escribiendo en función de q << 1, las ecuacionesparaquedan:
La estabilidad de la onda plana esta dada por:
Como antes Q > 0, entonces:
Dependencia en los parámetros y
Para soluciones con poca dependencia espacial:
Para , el sistema converge a la solución nulaPara , el sistema diverge.Para y una componente del campo se anula.
Análisis numérico
Resolución numérica y análisis de solucionesVelocidad de los defectos
Resolución numérica y análisis de datos.
Gráfico modelo
Región principal de análisis:
Defectos topológicos:
Región A:
El sistema diverge o se anula:
a partir de :
A± se anula
A± diverge
A± se anula
Región B:
│A+│2 +
(
│A+│2 +
(
│A+│2 │A-│2
(
Región C:
│A+│2 +
(
│A+│2 │A-│2
(
Región D:
│A+│2 │A-│2
(
+ +
Esquema de las regiones A, B, C y D en el plano
Velocidad de los defectos.
Láser clase C He-Ne: m, P torr
s-1, s-1
cm256 pixels
Escaleo en las coordenadas x y t:
xsd = x × # pixels = 1 × 85 = 85tsd = 2 × t × # iteraciones = 2 × 0.2 × 50 = 20
vdef = 5.4 105 m/s
Conclusiones
AnálisisNumérico
Nuevas estructuras:defectos móviles espirales de doble brazo
Los resultados más importantes obtenidos son:
SoluciónHomogénea
Fuerte dependencia de laestabilidad en y
Onda Plana
El carácter vectorial modi_fica la estabilidad respectoal caso escalar