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5/9/2018 Analisis Dimensional - slidepdf.com
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ANALISIS DIMENSIONAL
Los fines de la formulación dimensional son:
1. Verificar cualitativamente la homogeneidad dimensional de las ecuaciones que
representan las leyes físicas.
2. Determinar las dimensiones de los coeficientes empíricos y en su caso identificar
sus magnitudes.
3. Generalización de resultados
4. Formular leyes de semejanza para diseño de experimentos y/o simulación en
laboratorio.
Las magnitudes físicas se cuantifican en términos de las dimensiones fundamentales:
En el Sistema Internacional (SI): [M, L, T]
En el Sistema Gravitacional (Sistema Técnico): [F, L, T]
TEOREMA π (Buckingham – Vaschy)
Toda relación dimensionalmente homogénea como la relación representada por la
ecuación: 0 )A, . . . ,A,A,A(F m321 = , entre m magnitudes físicas Ai
susceptibles de ser expresadas en términos de n magnitudes físicas fundamentales de
medida, implica la existencia de otra relación de la forma:
0 ), . . . ,,,(f n-m321 =ππππ , entre m-n parámetros: iπ .
Donde los iπ tienen propiedades de ser : funciones monómicas, adimensionales e
independientes entre si; y son los productos de grupos distintos de las potencias de:
A, . . . ,A,A,A m321 , de la forma:
m321 k
m
k
3
k
2
k
1i A. . .AAA=π
Los exponentes k j ( j = 1, 2, . . . , m) se relacionan entre si de acuerdo con lasdimensiones de cada magnitud (variable) A i , de tal manera que con las n dimensiones
fundamentales se obtiene un sistema de n ecuaciones lineales con m variables:
k 1, k 2, . . . , k m.
LA ECUACION GENERAL DE LA HIDRAULICA
El análisis y planteamiento del problema general del flujo de agua en la hidráulica a
partir del análisis dimensional luego de un vasto análisis y reflexión se formaliza de la
siguiente manera:
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
Se elegirán n de las m magnitudes físicas Ai para que aparezcan en cada uno de los
( m -n ) paramentos iπ , las cuales se llamaran variables repetitivas y deben cumplir
las siguientes propiedades:
a) En conjunto deben contener las n magnitudes físicas fundamentales
b) En el caso de la hidromecánica serán: una dimensión geométrica importante, una
propiedad intrínseca del fluido y una característica cinemática del flujo.
c) Si de la función: 0),...,,,(f n-m321 =ππππ se desea despejar una de las variables,
esta no debe usarse como variable repetitiva.
LA ECUACION GENERAL DE LA HIDRULICA
0 )E,,,, ,v,d,,cb,a,(F =σμ γρΔp
0 ), ,,,,,,(f 8321 =ππππππππ 7654
Donde: Evdcba 111098754321 kkkkkkkkkk
i σμ γρΔ=π 6k p
Cada parámetro tiene sus dimensiones en el sistema M, L, T; de acuerdo a la matriz:
a b c d v pΔ ρ γ μ σ E
M 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
L 1 1 1 1 1 -1 -3 -2 -1 0 -1
T 0 0 0 0 -1 -2 0 -2 -1 -2 -2
De donde, tomando como variables repetitivas a, v, ρ ; resulta:
b
a b va
1-zyx
1111 =ρ=π
c
a c va 1-zyx
2222 =ρ=π
d
a d va 1-zyx
3333 =ρ=π , rugosidad relativa
Eu p
v p va
21-zyx
4444 =
Δ
ρ=Δρ=π ; Número de Euler
Fr / a
v
v va
221-zyx
5555 =
ρ γ=
γ
ρ= γρ=π
a; numero de Froude
Re /
av
va va
1-zyx
6666 =
ρμ=
μ
ρ=μρ=π ; numero de Reynolds
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We /
av
va va
221-zyx
7777 =
ρσ=
σ
ρ=σρ=π ; numero de Weber
Ma Ca E/
v
E
v E va
221-zyx
8888 ==
ρ=
ρ=ρ=π ; numero de Cauchy o Mach
)/ E
v
/
va
/
va ,
/ a
v
/ p
v
d
a
c
a ,
b
a (f
2222
ρρσρμρ γρΔ,,,,,
Despejando el número de Euler, se tiene la velocidad del flujo en función de los otros
números y/o parámetros; y representa la ecuación general de la hidráulica obtenida a
partir del análisis dimensional.
)Ca We,Re, Fr, ,d
a
,c
a
,b
a
(
p
v Φρ
Δ
=
La magnitud de las dimensiones geométricas y velocidad del flujo a superficie libre en
la naturaleza son grandes para que pueda ser perceptible la influencia de la tensión
superficial y por tal razón y por tanto se la omite en la solución; de manera análoga
ocurre con el coeficiente de elasticidad volumétrica E, puesto para este tipo de flujo no
interesa la deformabilidad volumétrica del agua o la transmisión de ondas de presión
por el agua, por consiguiente también se descarta para el flujo a superficie libre.
Por tanto la ecuación para flujo a superficie libre queda:
)Re Fr, ,d
a ,
c
a ,
b
a (
p v Φ
ρ
Δ=
Esta simplificación, enfoca el análisis en términos de la geometría del flujo, la
rugosidad relativa, el número de Froude que representa la influencia de las fuerzas del
peso propio del agua y el número de Reynolds que representa la influencia de las
fuerzas de disipación de energía debido a la viscosidad del fluido.