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7/18/2019 Analisis Dimensional Del Teorema de Buckingham
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INTRODUCCION
No todos los problemas de ingeniería pueden resolverse mediante ecuaciones
basadas en leyes o balances (de materia, energía, cantidad de movimiento..,
debido a !ue por un lado pueden resultar muy comple"os y por otro lado los
problemas involucran un gran n#mero de variables. $or e"emplo, para el %lu"o
de un %luido ne&toniano en r'gimen laminar se pueden deducir ecuaciones de
%lu"o y p'rdidas de %riccin al aplicar un balance microscpico de cantidad de
movimiento, tal y como se )a demostrado previamente* sin embargo, para el
%lu"o de un %luido ne&toniano en un r'gimen turbulento no se pueden obtener
ecuaciones tan simples. Como consecuencia de esta situacin se empleanecuaciones empíricas basadas en e+perimentos. Una %orma de %acilitar la
resolucin de este tipo de problemas y de otros similares consiste en agrupar
las variables en una nueva pseudovariable adimensional para simpli%icar el
an-lisis.
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I. UND/01NTO T1ORICO
1n el estudio de la %ísica, para resolver algunos problemas es
necesario establecer algunas )iptesis o consideraciones !ue son
ob"etables (por e"emplo despreciamos el e%ecto de la resistencia del
aire en el estudio de la caída libre. / trav's de esto obtenemossoluciones apro+imadas a los resultados reales. $ara los casos en
los !ue estas soluciones apro+imadas no resultan adecuadas se
re!uiere utili2ar las ecuaciones completas sin consideraciones. 3in
embargo, la solucin de dic)as ecuaciones es e+tremadamente di%ícil
y en muc)os casos imposibles con los m'todos m-s elaborados, por
lo !ue muc)as veces es necesario basarse en resultados
e+perimentales.
1l desarrollo de muc)as de las ramas de la %ísica (como la mec-nica
de %luidos )a dependido de los resultados e+perimentales por!uemuy pocos problemas reales pueden resolverse de manera e+acta
#nicamente por m'todos analíticos. 4a solucin de problemas %ísicos
reales implica una combinacin de in%ormacin analítica (terica y
e+perimental. 1n general, primero se apro+ima la situacin %ísica real
con un modelo matem-tico !ue sea su%icientemente simple para
obtenerse una solucin. Despu's se e%ect#an mediciones
e+perimentales para veri%icar la valide2 de los resultados analíticos.
5as-ndose en estas mediciones, se pueden )acer re%inamientos al
an-lisis y despu's se sigue veri%icando e+perimentalmente la valide2
de los resultados !ue se van obteniendo. 4os resultadose+perimentales son esenciales en este proceso. /dem-s, soluciones
sin una revisin de los datos e+perimentales disponibles usualmente
son malas y poco adecuadas para aplicar.
$or otro lado, la obtencin de datos e+perimentales en laboratorio no
siempre es posible o es muy cara y re!uiere de muc)o tiempo. $or lo
!ue normalmente se trata de obtener la mayor in%ormacin posible
del mínimo n#mero de e+perimentos. 1l an-lisis dimensional es una
de las )erramientas !ue e+iste para lograr este ob"etivo. 4os
par-metros adimensionales !ue se obtienen sirven paracorrelaciones los datos y encontrar una presentacin ob"etiva con el
mínimo n#mero posible de representaciones gr-%icas.
$ara mostrar m-s claramente esto supngase !ue se !uiere calcular
una %uer2a !ue es %uncin de cuatro variables independientes
di%erentes. $ara poder determinar cmo esta %uer2a va dependiendo
de cada una de las variables con%orme estas van cambiando )abría
!ue probar el e%ecto de variar la primera y mantener las dem-s
constantes. 4uego ir variando la segunda manteniendo el resto
constante y así sucesivamente. $ara poder tra2ar una gr-%ica
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adecuada se re!uerirían 67 variaciones por cada una de las
variables. /sumiendo 67 variaciones por variable se tiene !ue se re!uerirían
67777 e+perimentos di%erentes, lo cual representa muc)ísimo tiempo
sin considerar el re!uerido para el an-lisis de todos esos
e+perimentos. / trav's del an-lisis dimensional se puede encontrar !ue !ui2- dic)a %uer2a se pueda e+presar mediante una relacin
%uncional entre slo dos par-metros adimensionales cuya %orma debe
determinarse e+perimentalmente. 1n este caso se tendría !ue con
slo 67 e+perimentos se podría encontrar la misma relacin !ue con
los 67777. /dem-s de a)orrar muc)o tiempo, el an-lisis se
simpli%icaría considerablemente.
1+isten varios procedimientos dentro del an-lisis dimensional, uno de
los cuales es el teorema p de 5uc8ing)am. 1ste teorema permite
obtener los par-metros adimensionales apropiados para cual!uier %enmeno %ísico.
Dado un problema %ísico en el !ue el par-metro dependiente es%uncin de n-1 par-metros independientes, se puede e+presar larelacin entre las variables de manera %uncional como9
donde q1 es el par-metro dependiente y q2 ,q3 ,...,qn son n-1 par-metrosindependientes. 0atem-ticamente se puede e+presar la ecuacinanterior como9
donde g es una %uncin no especi%icada, pero di%erente de f .
1l Teorema π de 5uc8ing)am establece !ue dada una relacin
entre n par-metros de la %orma
los n par-metros pueden agruparse en n-m par-metros
adimensionales independientes (o par-metros π !ue se e+presan
de manera %uncional como9
o de otra %orma
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1l n#mero m usualmente (pero no siempre es igual al n#meromínimo de dimensiones independientes !ue se re!uieren paraespeci%icar las dimensiones de todos los par-metrosq1 ,q2 ,...,qn.
1l teorema no predice la %orma %uncional de G o G1. 1stas deben ser
determinadas e+perimentalmente.
Procedimiento para el empleo del Teorema de Buckingham en
un análisis dimensional.
1l an-lisis dimensional de un problema se lleva a cabo en tresetapas. Dentro de la segunda de estas etapas se aplica el
Teorema π de 5uc8ing)am para obtener los par-metros
adimensionales !ue el problema re!uiera. 4a aplicacin del Teoremade 5uc8ing)am consta de seis pasos.
6. 1stablecer una lista apropiada de par-metros.
:. Obtener los par-metros Π adimensionales usando el
teorema π de 5uc8ing)am.
1. 4istar todos los par-metros signi%icativos. (3ea n el
n#mero de par-metros.
:. 3eleccionar un con"unto %undamental (primario dedimensiones.
3. 4istar las dimensiones de todos los par-metros,e+pres-ndolos en %uncin de las dimensiones primarias.(3ea r el n#mero de dimensiones primarias.
4. 3eleccionar de la lista de par-metros !ue se elabor enel Paso 1, a!uellos !ue se repetir-n en los par-metrosadimensionales !ue se )an de %ormar. 1stospar-metros !ue se repiten deber-n ser iguales enn#mero a las dimensiones primarias y deber- evitarseomitir alguna de ellas. (3ea m el n#mero de par-metros!ue se repiten.
5. 1stablecer las ecuaciones dimensionales !ue combinenlos par-metros !ue se repiten y !ue se seleccionaronen el Paso 4 con cada uno de los par-metros restantes,buscando %ormar par-metros adimensionales. (3ean n-
m el n#mero de ecuaciones !ue se obtendr-n.
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Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtenerlos n-mpar-metros adimensionales.
;. <eri%icar !ue cada par-metro obtenido resulteadimensional.
6. Determinar e+perimentalmente la relacin %uncional entre los
par-metros Π .
Ejemplo de Aplicación.
1n el tema <II de Ondas se vio !ue la velocidad de propagacin de
una onda es %uncin de la longitud de onda (λ y la %recuencia (% de
dic)a onda y en el caso de ondas estacionarias generadas en ellaboratorio tambi'n era %uncin de la %uer2a ( aplicada a una
cuerda y de la densidad lineal (µ de dic)a cuerda para generar la
onda.
6. ....
:. .
1. V λ f F µ n = > par-metros
2. Dimensiones primarias9 [M], [L] y [T]
3. V λ f F µ
r = ? dimensiones primarias
4. λ , f, µ m = r = ? par-metros repetitivos
5.
3e obtendr-n n-m
= 2par-metro adimensionales.1stableciendo la ecuacin dimensional
Igualando los e+ponentes de 0, 4 y T
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De manera seme"ante
;. <eri%icando los resultados
4a relacin %uncional es Π 1=g( Π 2 ), o bien
4a %orma de la %uncin g debe determinarse
e+perimentalmente.
6. 1+perimentalmente y aplicando teoría se sabe !ue
y si se igualan las e+presiones se puede obtener!ue
1+perimentalmente lo #nico !ue tiene !ue variarse para ver la
relacin con la < es el cociente (F/ λ 2 f 2 µ ) lo cual se puede obtener con
slo variar la %uer2a aplicada o con slo variar la %recuencia.
II. CONC4U3ION13
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• 1l procedimiento anterior en el !ue m = r casi siempre permite
obtener el n#mero correcto de par-metros adimensionales $ .
• 1n algunos casos el valor correcto de m se deber- establecer
determinando el rango de la matri2 de dimensiones.
• 4os n-m par-metros adimensionales !ue se obtienen con este
procedimiento son independientes, pero no son #nicos. 3i seselecciona un con"unto di%erente de par-metros repetitivos, seobtienen di%erentes par-metros adimensionales.
• 3i n-m=1, entonces se obtiene un solo par-metro
adimensional $ . 1n este caso el teorema indica !ue el
par-metro $ #nico debe ser una constante.@
III. 5I54IOAR/I/
• Shames H. Irving , La Mecánica de los Fluidos, McGraw-Hill
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