Post on 20-Feb-2016
ANÁLISIS
MATEMÁTICO III
Ing. Alejandro Ochoa Aliaga
HUANCAYO - PERÚ
INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
Dirección de Educación a Distancia
Huancayo.
Impresión Digital a cargo de
Impresos S.R.L. - Huancayo
Telf. 200198
Indicadores de logroIndicadores de logroIndicadores de logro
ActividadActividadActividad
ObservaciónObservaciónObservación
Bibliografía recomendadaBibliografía recomendadaBibliografía recomendada
NexoNexoNexo
ResumenResumenResumen
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
PR
ES
EN
TA
CIÓ
N
PRESENTACIÓN
Las matemáticas constituyen una herramienta esencial para el desarrollo de
casi todas las áreas del conocimiento: son fundamentales como soporte
estructural para el modelado de diversos fenómenos en ramas que van desde la
física, ingeniería, medicina, biología, estadística, ciencias sociales, economía y
ciencias afines. Esto se ve reflejado en el aporte que prestan en la solución de
diferentes problemas prácticos de ingeniería que de otra forma resultaría
imposible resolver. Enfrentarse y buscar la solución a estos problemas, implica el
conocimiento de los elementos necesarios para lograr tal objetivo. En este curso
de Análisis Matemático III se busca familiarizar al estudiante en la utilización de
las funciones de más de una variable para la solución de problemas.
En el presente texto se exponen un conjunto de instrumentos del análisis
matemático con varias variables cuya finalidad es ayudar a manejar, de una forma
cómoda y útil, la cada vez mayor cantidad de información de tipo cuantitativo con
varias variables.
Inicialmente se introduce una definición de las funciones con más de una variable
como soporte necesario para la interpretación y su aplicación. Una correcta
interpretación de las funciones con varias variables permite al estudiante
encontrar instrumentos en la solución de los diferentes problemas de aplicación.
Luego se presentan los limites y continuidad de funciones de mas de una
variable, las derivadas parciales, diferenciabilidad y diferencial total, regla de
cadena para funciones de mas de una variable, extremos de funciones de mas de
una variable y integración múltiple.
Cada fascículo del presente curso comienza por establecer las definiciones,
principios de los temas a tratar en el. Los ejemplos ilustrativos y los problemas
resueltos que figuran a continuación se han seleccionado no solo con el objeto de
ampliar la teoría, sino también con el que el estudiante adquiera práctica en la
formulación y resolución de problemas; para que este pueda aplicar
repetidamente los principios fundamentales y que la enseñanza sea eficaz.
LOS AUTORES
Excelencia Académica Análisis Matemático III
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Excelencia Académica Análisis Matemático III
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TABLA DE CONTENIDO
.pág
UNIDAD ACAD MICA IÉFUNCIONES CON VARIAS VARIABLES 091.1. Definición del espacio numérico n-dimensional 091.2. Definición de función de n variables 091.3. Definición de función compuesta de dos variables 111.4. Definición de función compuesta de n variables 111.5. Definición de la gráfica de una función de dos variables 121.6. Definición de la gráfica de una función de n variables 12Problemas resueltosAutoevaluación formativa
UNIDAD ACAD MICAÉ IILÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNAVARIABLE 252.1. Definición de la distancia entre dos puntos de r 252.2. Definición de bola abierta en r 262.3. Definición de bola cerrada en r 262.4. Definición del límite de una función de n variables 272.5. Definición del límite de una función de dos variable 282.6. Teorema 302.7. Definición de punto de acumulación 302.8. Definición del límite de una función de dos variables através de un conjunto específico 312.9. Teorema 322.10. Teorema 322.11. Definición de continuidad de una función de n variables 372.12. Definición de continuidad de una función de dos variables 372.13. Teorema 392.14. Teorema 392.15. Teorema 392.16. Definición de continuidad en una bola abierta 402.17. Teorema 40Problemas resueltos 41Autoevaluación formativa 46
UNIDAD ACAD MICAÉ IIIDERIVADAS PARCIALES 513.1 efinición de derivada parcial de una función de dos variablesD 513.2 Definición de derivada parcial de una función de n variables 583.3. Teorema 62Problemas resueltos 62Autoevaluación formativa 66
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UNIDAD ACAD MICA IÉ VDIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL 694.1. Definición de incremento de una función de dos variables 704.2. Definición de función diferenciable de dos variables 704.3. Teorema 714.4. Teorema 734.5. Definición de la diferencial total de una funciónde dos variables 734.6. Definición de incremento de una función de n variables 754.7. Definición de función diferenciable de n variables 754.8. Definición de la diferencial total de una función de nvariables 76Problemas resueltos 79Autoevaluación formativa 86
UNIDAD ACAD MICAÉ VREGLADE LACADENA PARAFUNCIONES DE MÁS DE UNAVARIABLE 915.1. Teorema la regla de la cadena 915.2. Teorema la regla de la cadena general 935.3. Teorema 955.4. Teorema 965.5. Derivadas direccionales y gradientes 97Problemas resueltos 97Autoevaluación formativa 104
UNIDAD ACAD MICAÉ VIEXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 1076.1. Definición de extremos absolutos de funcionesde dos variables 1076.2. Definición de extremos relativos de funcionesde dos variables 1076.3. Teorema 1086.4. Definición de punto crítico 1096.5. Teorema criterio de la segunda derivada 1116.6. Teorema del valor extremo para funciones de dos variables 114Problemas resueltos 119Autoevaluación formativa 126
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UNIDAD ACAD MICAÉ VIIINTEGRALES DOBLES 1317.1. Definición del límite de una suma de Riemann de una función 1317.2. Definición de la integral doble 1317.3. Teorema 1317.4. Teorema 133Poblemas resueltos 140Autoevaluación formativa 146
UNIDAD ACAD MICAÉ VIIIINTEGRALES TRIPLES 1498.1. Coordenadas cilíndricas y esféricas 1498.2. Integrales triples 1538.3. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 157Problemas resueltos 164Autoevaluación formativa 176
FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES
INDICADORES DE LOGRO
Hasta ahora ha aprendido funciones con una o dos variables y algunas de susaplicaciones, el siguiente paso consistirá en aprender a trabajar con funciones devarias variables, has de tener en cuenta que ahora se vana graficar superficies.
Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:- Define funciones de n variables.- Define una función compuesta de n variables- Grafica superficies de nivel para construir la gráfica de una función de varias
variables.
FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES1. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE
Estas funciones se presentan con frecuencia en situaciones prácticas. Por ejemplo,el área de la superficie del cuerpo de una persona depende del peso y de la estaturade la persona. El volumen de un cilindro circular recto depende de su radio y de sualtura. De acuerdo con la ley de los gases ideales, el volumen ocupado por un gases directamente proporcional a su temperatura e inversamente proporcional a supresión. El precio de venta de un artículo particular puede depender de su costo deproducción, del costo de materiales y de los gastos generales.Con el fin de extender el concepto de función a funciones de cualquier número devariables, primero se considerará el espacio numérico n-dimensional. Del mismomodo en que se denotó un punto de R mediante un número real x, un punto de R2
por medio de un par ordenado de números reales (x,y), y un punto de R 3 medianteuna terna ordenada de números reales (x,y,z), un punto del espacio n-dimensionalRn se representa por medio de una n-nada (léase “eneada”) o n-upla ordenada denúmeros reales denotada por P = (x1,x2………xn). En particular, si n = 1, P = x; sin = 2, P = (x,y); si n =3, P = (x,y,z); si n =6, P = (x1,x2,x3,x4,x5,x6).
1.1. DEFINICIÓN DEL ESPACIO NUMÉRICO N-DIMENSIONALEl conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se denomina espacionumérico n-dimensional y se denota por Rn. Cada n-ada ordenada (x1,x2………xn) sellama punto del espacio numérico n-dimensional.
1.2. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE N VARIABLESUna función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P,w) enel que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tiene el mismo primerelemento. P es un punto del espacio numérico n-dimensional y w es un número real.El conjunto de todos los puntos P admisibles recibe el nombre de dominio de lafunción, y el conjunto de todos los valores resultantes de w se denomina contradominio de la función.De esta definición, el dominio de una función de n variables es un conjunto depuntos de Rn y su contra dominio es un conjunto de números de R. cuando n = 1, setiene una función de una variable; de modo que el dominio es un conjunto de puntosde R o, equivalente, un conjunto de números reales. En consecuencia, la definición
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EJEMPLO ILUSTRATIVO 1: Sea la función ƒ, de las dos variables x e y, el conjuntode todos los pares ordenados de la forma (P,z) tales que:
FIGURA 1
El dominio de ƒ es el conjunto (x,y) | x 2 + y2 25. Este es el conjunto de puntosde plano xy sobre la circunferencia x 2 + y2 = 25 y la región interior limitada por esacircunferencia. La figura 1 muestra el dominio de ƒ como una región sombreada deR2.Debido a que )(25 22 yxz , entonces 0 z 5; por tanto el contra dominio de ƒ
es el conjunto de números reales del intervalo cerrado [0,5].
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2: La función g de las variables x y y es el conjunto detodos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que:
25
122
yx
z
1.1 es un caso especial de la definición 1.2. Si n = 2, se tiene una función de dosvariables, y el dominio es un conjunto de puntos de R2 o, equivalentemente, unconjunto de pares ordenados de números reales (x,y).
El dominio de g es el conjunto (x,y) | x2 + y2 > 25. Éste es el conjunto de puntos dela región exterior de la circunferencia x 2 + y 2 > 25. La figura 2 muestra el dominiocomo una región sombreada de R2.Si ƒ es una función de n variables, entonces de acuerdo con la definición 1.2, ƒ esun conjunto de pares ordenados de la forma (P,w), donde P = (x 1,x2………xn) es unpunto Rn y w es un número real. El valor particular de w que corresponde a un puntoP se denota mediante el símbolo ƒ(P) o ƒ(x1,x2………xn) . En particular, si n = 2 y P= (x,y), se puede representar el valor de función como ƒ(P) o como ƒ(x,y). Demanera semejante, si n = 3 y P = (x,y,z), el valor de función se representa comoƒ(P) o como ƒ(x,y,z). Observe que si n = 1, P = x; en consecuencia, si ƒ es unafunción de una variable, ƒ(P) = ƒ(x). Por tanto, esta notación es consistente con lanotación para valores de función de una variable.
50
5
-5
-5
X
Y
FIGURA 2
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Una función ƒ de n variables puede definirse por la ecuación.w = ƒ(x1,x2………xn)Las variables x 1,x2………xn se denomina y w se llamavariables independientesvariable dependiente.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 3: Sea ƒ la función del ejemplo ilustrado 1; es decir,22
25y)ƒ(x, yx
Entonces:
0
16925
)4(325ƒ(3,-4) 22
52
1425
1)2(25ƒ(-2,1) 22
22
22
925
)3(25ƒ(u,3v)
vu
vu
EJEMPLO 1: Sea g la función definida por23 4),,( yzxzyxg
Obtenga: (a) g (1,3, -2); (b) g (2a,-4b,3c); (c) g (x2,y2,z2); (d) g (y,z,-x)
Solución:(a) g (1.3. -2) = 13 – 4 (3)(-2)2
= 1 – 48= -47
(b) g (2a,-4b,3c) = (2a)3 – 4(-4b)(3c)2
= 8a3 + 144bc2
(c) g (x2,y2,z2) = (x2)3 – 4y2 (z2)2
= x6 +4y2z4
(d) g (y,z,-x) = y3 – 4z( -x)2
= y3 – 4x2z
1.3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA DE DOS VARIABLES
Si ƒ es una función de una variable y g es una función de dos variables, entonces lafunción compuesta ƒ o g es la función de dos variables definida por.(ƒ o g )(x,y) = (ƒ ( g (x,y)y el dominio de ƒ o g es el conjunto de todos los puntos (x,y) del dominio de g talesque g (x,y) pertenece al dominio de ƒ.
EJEMPLO 2: Dados ƒ(t) = ln t y g (x,y) = x 2 + y, calcule h(x ,y) si h = ƒ o g , ydetermine el dominio de h.Solución:h(x,y) = (ƒ o g )(x,y)
= ƒ ( g (x,y)= ƒ (x2 + y)
= In (x2 + y)El dominio de g es el conjunto de todos los puntos de R 2, y el dominio de ƒ es elintervalo (0, + ). Por tanto, el dominio de h es el conjunto (x,y) | x2 + y > 0.La definición 1.3 puede extenderse a una función compuesta de n variables como semuestra a continuación.
1.4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA DE N VARIABLESSi ƒ es una función de una variable y g es una función de n variables, entonces lafunción compuesta ƒ o g es la función de n variables definida por
(ƒ o g ) (x1,x2………xn) = (ƒ ( g (x1,x2………xn))y el dominio de ƒ o g es el conjunto de los puntos (x 1,x2………xn) del dominio de g
tales que g (x1,x2………xn) pertenece al domino de ƒ.
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EJEMPLO 3: Dadas
F (x) = sen -1 y G (x,y,z) = 4222 zyx
Obtenga la función F o G y su dominio.Solución:(F o G) (x,y,z) = F(G(x,y,z))
= F( 4222 zyx ) = sen -14222 zyx
El dominio de G es el con junto (x,y,z) | 4222 zyx 0, y el dominio de F es elintervalo [ -1. 1]. Por tanto, el dominio de F o G es el conjunto de todos los puntos(x,y,z) de R3 tales que 0 4222 zyx 1, o equivalentemente,
4 222 zyx 5.Una función polinomial de las variables x e y es una función ƒ tal que ƒ(x,y) es lasuma de términos de la forma cxn ym, donde c es un número real y n y m sonnúmeros enteros no negativos. El grado de una función polinomial está determinadopor la mayor suma de los exponentes de x y y que se tiene en los términos de lafunción.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 4(a) La función ƒ definida porƒ(x,y) = 3223 2 yyxx Es una función polinomial de grado 4 debido a que el término de mayor grado es
222 yx
(b) Si42756),( 22323 yxyxxyyxyxg
Entonces g es una función polinomial de grado 5.La gráfica de una función ƒ de una variable consiste del conjunto de puntos (x,y) deR2 para los cuales y = ƒ(x). De manera similar, la gráfica de una función de dosvariables es un conjunto de puntos de R3.
1.5. DEFINICIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLESSi ƒ es una función de dos variables entonces la gráfica de ƒ es el conjunto de todoslos puntos (x,y,z) de R3 para los cuales (x,y) es un punto del dominio de ƒ y z =ƒ(x,y).
En consecuencia, la gráfica de una función ƒ de dos variables es una superficie queconsta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadascartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x,y,z).Como el dominio de ƒ es un conjunto de puntos del plano xy y puesto que cada parordenado (x,y) del dominio de ƒ corresponde a sólo un valor de z, ninguna rectaperpendicular al plano xy puede intersectar a la gráfica de ƒ en más de un punto.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 5La función ƒ del ejemplo ilustrativo 1 es el conjuntode todos los pares ordenados de la forma (P, z :)tales que
2225 yxz
Por tanto, la gráfica de/es la semiesfera en elplano y por arriba de éste cuyo centro es elxyorigen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestraen la figura 3.
FIGURA 3
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EJEMPLO 4Dibuje la gráfica de la función definida por
f(x,y) = x2 + y2
Solución: La gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z = x2 + y2. La trazade la superficie en el plano se obtiene al utilizar la ecuaciónxy z = 0simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 + y2 = 0, lacual representa al origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtienen al emplear lasecuaciones y = 0 y x = 0, respectivamente, junto con la ecuación z = x2 + y2. Estastrazas son las parábolas z = x2 y z = y2. La sección transversal en el plano z = k,
paralelo al plano xy, es una circunferencia con su centro en el eje z y radio k . Conesta información se obtiene la gráfica requerida, la cual se muestra en la figura 4 yque es un paraboloide circular.Otro método útil para representar geométricamente una función de dos variables essemejante al de representación de un relieve tridimensional por medio de un mapatopográfico bidimensional. Suponga que la superficie z = f(x, y) se intersecta con elplano z = k, y que la curva de intersección se proyecta sobre el plano xy. Esta curvaproyectada tiene a f(x, y) = k como una ecuación, y la curva se denomina curva de
FIGURA 4
nivel (o de contorno) de la función/en k. Cada punto de la curva de nivelcorresponde a sólo un punto de la superficie que se encuentra a k unidades sobreella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es negativo. Al considerardiferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto de curvas de nivelllamado mapa de contornos. El conjunto de todos los valores posibles de k es elcontra dominio de la función f, y cada curva de nivel, f(x,y) = k , del mapa decontornos consiste de los puntos (x, y) del dominio del que tienen un valor defunción igual a k.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 6La figura 5 muestra la gráfica de la función del ejemplo 4 definida porf(x,y) = X
2 + y2
Junto con las curvas de intersección de estasuperficie con los planos z = k donde k es igual a 1,2, 3, 4, 5 y 6. Estas curvas son circunferencias concentros en el eje z y radio k . La figura 6 presentalas curvas proyectadas sobre el plano xy. Lascircunferencias proyectadas, las cuales son curvasde nivel de la función f, representan una vista delas circunferencias de la figura 5 que se obtiene almirar la superficie hacia abajo desde un punto deleje z.
FIGURA 5
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Un mapa de contornos de z = f(x, y) muestrala variación de z con respecto a x e y en elplano xy al considerar las curvas de nivel.Los valores de z cambian más rápidamentecuando las curvas de nivel se encuentranmás cercanas entre sí que cuando estánmás apartadas; esto es, cuando las curvasde nivel se hallan muy próximas entre sí lasuperficie es escarpada, y cuando las curvasde nivel están separadas la elevación de lasuperf icie, relat iva al plano xy, cambiagradualmente. Observe esta situación en laf igura 6 para las curvas de nivel de lasuperficie de la figura 5.
En un mapa topográfico bidimensional de un relieve, se obtiene una noción generalde su inclinación al considerar el espacio entre sus curvas de nivel. También en unode estos mapas, si se sigue la trayectoria de una curva de nivel, la elevación o alturapermanece constante.
EJEMPLO 5 Sea f la función definida porf(x,y) = 8 - x2 - 2y
FIGURA 6
Dibuje la gráfica de f y un mapa de contornos de f que muestre las curvas enintervalos constantes de 2 unidades a partir de 8 y descendiendo hasta -8.
Solución La gráfica de f, mostrada en la figura 7, es la superficie
z = 8 - x2 - 2y
Al considerar z = 0 se obtiene la traza en el plano xy, la cual es la parábolax2 = -2(y - 4). Si se considera y = 0 y x = 0, se obtienen las trazas en los planos xz yyz, las cuales son, respectivamente, la parábola x2 = -(z - 8) y la recta 2y + z = 8. Lasección transversal de la superficie obtenida en el plano z = k es una parábola quetiene su vértice en la recta 2y + z = 8 del plano yz y abre a la izquierda. Lassecciones transversales para z igual a 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 y - 8 se muestran en lafigura.
Las curvas de nivel de f son las parábolas x2 = -2(y - 4 + 1/2k). El mapa de contornosde f junto con las curvas de nivel requeridas se presentan en la figura 8.
FIGURA 7
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A fin de ilustrar la aplicación de las curvas de nivel, suponga que la temperatura encualquier punto de una placa metálica plana está dada por la función f; es decir, si Tgrados es la temperatura, entonces en el punto (x, y), T = f(x,y). Por tanto, las curvasde nivel que tienen ecuaciones de la forma f(x,y) = k. donde k es una constante, soncurvas sobre las que la temperatura es constante. Estas curvas de nivel sedenominan isotermas. Además, si volts proporcionan el potencial eléctrico enVcualquier punto (x, y) del plano xy, y V=f(x,y), entonces las curvas de nivel reciben elnombre de curvas equipotenciales debido a que el potencial eléctrico en cada puntode una de estas curvas es el mismo.Como aplicación de las curvas de nivel en economía, considere la productividad (osalida) que depende de varios insumos (o entradas) en una empresa. Entre losinsumos pueden considerarse el número de máquinas empleadas en la producción,el número de horas-persona disponibles, el monto de capital de trabajo, la cantidad
de material empleado así como el área de te-rreno disponible. Suponga que las cantidadesde las entradas están dadas por y y, y que laxcantidad de salida está representada por z,donde z =f(x,y). Esta función se denominafunción de producción, y las curvas de nivel dela forma y) = donde k es una constante,f(x, k.se llaman curvas de producción constante.
EJEMPLO 6
Sea f la función de producción para la cual
f(x, y) = 2x1/2y1/2
Dibuje un mapa de contornos de f que muestre las curvas de producciónconstante en8, 6, 4 y 2.
Solución El mapa de contornos consiste de las curvas de intersección de lasuperficie
z = 2x1/2y1/2 (1)con los planos z = k. donde k es igual a 8, 6, 4 y 2. Al sustituir z = 8 en (1) se obtiene4 = x1/2y1/2 o, equivalentemente,xy =16 x > 0 y y > 0 (2)
FIGURA 9
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FIGURA 12 FIGURA 13 FIGURA 14
Ejemplo 8 La función está definida por
(x,y,z) = x2 + y2 – z2
Describa las superficies de nivel de para (a) k = (b) k = -4, y (c) k = 0Solución:(a) La superficie de nivel para k = 4 tiene la ecuación
x2 + y2 – z2 = 4Esta superficie, un hiperboloide de una hoja cuyo eje es el eje z, semuestra en la figura 12.
(b) La superficie de nivel para k = -4 tiene la ecuaciónx2 + y2 – z2 = -4 -x2 - y2 + z2 =4Esta superficie es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje z, y sepresenta en la figura 13.
(c) La superficie de nivel para k = 0 tiene la ecuaciónx2 + y2 – z2 = 0Esta superficie, un cono cuyo eje es el eje z, se muestra en la figura 14.
y
z
-2 -2
2 2
4 _6 _ -2
_6
_
_2
x
Curvas de nivel de zyzzyxf 42),,( FIGURA 11
PROBLEMAS RESUELTOS1. Expresar el volumen V del cono en función de su generatriz x y la altura y.
Solución C
X
Y
rA
B
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B
x y
h
A z
Por Pitágoras del triangulo ABC se tiene )1.(..........222 ryx de donde 22
2 yxr además alturayh
El volumen del cono es:3
.2hr
V
),()(3
)(33
. 32222
yxfyyxyyxhr
V
)(3
),( 32 yyxyxV
.
2. Expresar el área S del triángulo en función de sus tres lados zyx ,, .Solución
El perímetro del triángulo ABC es:
),,(2
2 zyxfzyx
pzyxp
Luego el área S en función del perímetro es:
))()(( zpypxppS reemplazando se tiene:
2 2 2 2
x y z x y z x y z x y zS x y z
1
16S x y z x y z x z y y z x
1
4S (x,y,z) x y z x y z x z y y z x
3. Formar la tabla de valores de la función dando a las variablesz = (2x - 3y + 1)
independientes los valores desde 0 hasta 5 con intervalos de una unidad.
C
Solución
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , y = 0, 1, 2, 3, 4, 5
y x 0 1 2 3 5 60 1 3 5 7 9 111 -2 0 2 4 6 82 -5 -3 -1 1 3 53 -8 -6 -4 -2 0 24 -11 -9 -7 -5 -3 -15 -14 -12 -10 -8 -6 -4
4. Hallar los valores de la función.
a)2
arc.tg(x+y)z
para1+
,2
x 2
y
b) sen(x+y)z e para 2x
c)2 21 1x yz y x para 2,x y
a)
22
. ( ) 1 3 1 3 . (1)( , ) ,
( ) 2 2 3
arc tg x y arc tgz f x y f
arc.tg arc.tg
z = (2x - 3y + 1)
3 1 - 3
arc.tg(x-y)
y
2
x - y
Solución
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2
2
1 3 1 3 16 9,
2 2 9 16f
b) ( ) 0( , ) ( 2, 2) 1sen x y senz f x y e f e e
5. La función z = f ( x , y ) , que satisface idénticamente la relación
),(),( yxfmmymxf k para cualquier m, es llamada función homogénea de k–esimoorden. Mostrar que la función de k-esimo orden siempre puede serz = f ( x , y )
representada en forma )/( xyFxz k
SoluciónComo satisface a la relación siguientez = f ( x , y ), ),(),( yxfmmymxf k paracualquier m entonces consideramos 1m
x que reemplazada en la ecuación
),(),( yxfmmymxf k se tiene
),(1
),1( yxfx
xyfk
)1.........().........,1(),( xyfxyxf k
Luego considerando )2........(....................).........(),1( xyFxyf
Reemplazando (2) en (1) se tiene :( , ) (1, ) ( )K Kz f x y x f y x x F y x
Por lo tanto: ( , ) ( )Kz f x y x F y x Por lo tanto la función siempre se puede representar en la forma:z = f ( x , y )
K
6. El carácter homogéneo de una función de cualquier número de variablesindependientes puedes ser determinada de manera análoga a la función de dosvariables, por ejemplo, es una función homogénea de k - ésimo orden sif (x,y ),z
),,(),,( zyxfmmzmymxf k para cualquier m, también tiene lugar a propiedad
),(),,( xzxyFxzyxf k , Demostrarla.SoluciónComo satisface la relaciónf (x,y ),z ),,(),,( zyxfmmzmymxf k haciendo
xm 1 ),,(1
),,1( zyxfx
zxxyfk
de donde f (x,y ),z = ),(),,1( xzxyFxxzxyfx kk Por lo tanto si la función es homogénea de grado k en x, y, z tiene laf (x,y ),z
propiedad
),(),,( xzxyFxzyxf k
7. El dominio está limitado por el paralelogramo de los lados0y , 2y , 2xy , 12 xy
La frontera del mismo se limita, dar este dominio por desigualdades.
02
120: x
yyDdominio
02
120: x
yyD12 xy
2xy
2y
0
D
y
x
z = ( x y )x F /
Solución
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18
8. El dominio representa la figura limitada por las parábolas 2xy y 2yx (incluyendo las fronteras). Dar este dominio por desigualdades.Solución
/),(2
xyyxyxD
/),( 22 xyxyxD
9. Escribir en forma de desigualdad, un dominio abierto que represente untriángulo equilátero, de lados iguales a “a”, cuyo vértice se halle situado en el origende coordenadas, uno de los lados tiene la misma dirección que el semieje positivo ox(el triángulo está situado en el primer cuadrante).Solución
Calculando1L se tiene:
3:1 xyL
Calculando2L se tiene:
3)(:2 xayL
3)(300/),( 2 xayxyaxyxD
10. El dominio está limitado por un cilindro circular infinito de radio R (eliminadaslas fronteras) cuyo eje paralelo al eje oz pasa por el punto (a, b, c ). Dar este dominiomediante las desigualdades.
0X
Y
2yx 2xy
1
)23,( aa1
L
2L
aa
2a 2a
Y
0 a X
Y
22 2 3
4 2
a ay a y
Solución
2223/,, RbyaxzRzyxD
X
Z
Y
22byax
(a,b)
(a,b,c)O
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11. Escribir en forma de desigualdades, el domino limitado por la esfera de radioR cuyo centro se halla se halla en el punto (a, b, c) (incluidas las fronteras)
SoluciónLa ecuación de la esfera es:
Luego el dominio esta dado por:
12. Los vértices de un triangulo rectángulo se hallan situados dentro del circulo deradio R. El área S del triangulo en función de los catetos de los catetos x e y:
),( yxS ¿Cual es el dominio de definición de la función )( yxS ?
X
Z
Y
R
(a, b,c)
2222Rczbyax
22223/,, Rczbyaxzyx
Solución
Ecuación del círculo es: 22
0
2
0 Ryyxx
El área del triangulo ABC es:
2
,xy
yxA
Su dominio de la parte inferior del triangulo.Es decir:
222 4 Ryx
1. La esfera de radio R lleva inscrita en una pirámide de base rectangular cuyovértice se proyecta ortogonalmente en el punto de intersección de las diagonales dela base. El volumen V de la pirámide es función de los lados x e y de su base. ¿Seráesta función unívoca?. Presentar su forma analítica. Hallar el dominio de definiciónde la función.SoluciónLa función no es unívoca puesto que de la ecuación:
2222 Ryxz le corresponde dos valores:222
yxRz
El volumen de una pirámide es3
abh donde la pirámide es inscrita en la esfera22
3
2
2
2
1Rxxx donde los lados de la pirámide son
2,
211
yyx
x
por lo tanto: 222
3 42
1YXRx
Luego el volumen es : )42
1(
3
222 YXRRxy
V
CA
B
Y
XR
RR
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20
donde 2224 YXRR es la altura de la de la pirámide los lados x e y.
)42(6
222 YXRRxy
En los ejercicios del 14 al 22 hallar los dominios de función de las funcionesque se dan a continuación
2.2
2
2
2
1b
y
a
xZ
Solución),( yxfZ esta bien definida si : 01
2
2
2
2
b
y
a
x
De donde
!"
1/),(2
2
2
22
b
y
a
xyxDf #
3. 842 xyLnZ
Solución),( yxfZ esta bien definida si : 0842 $ xy
De donde 84/),(22 $ xyyxDf #
222
1
yxRZ
Solución),( yxfz esta bien definida si : 0222 % yxR
De donde 2222 /),( RxyyxDf % #
Es decir el dominio de f es todo2 menos los puntos de la circunferencia
222 Ryx yxyxz
Solución),( yxfZ esta bien definida si : 00 yxyx
De donde 00/),(2 yxyxRyxDf #
yxyxz
11
Solución),( yxfZ esta bien definida si : 00 $$ yxyx
De donde 00/),( 2 $$ yxyxRyxDf #
x
ysenarcZ
1.
Solución
senzx
y
x
ysenarcZ
11.
Para1
1111
x
ysenz
De donde01
101
1
x
y
x
y
11 yxyx Luego: 11/),(
2 yxyxRyxDf #
2222
sec.2
. yxarcyx
senarcz
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SoluciónSea
2222
2222
2222
secsec.
2012
111
22.
yxuyxarcuSea
yxyx
senwcomopero
yxsenw
yxsenarcw
&
&
22
2222
1
11
sec11sec
yx
yxyx
uucomopero
Sea ),( yxfZ entonces
22222 120/),( yxyxRyxDf # 21/),( 222 yxRyxDf #
21. 22
2
1
4
yxLn
yxz
Solución),( yxfZ esta bien definida si se cumple :
104
0104
0014
1111004
222
22222
22222
22222
&
$&
$&
yxyx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
Luego 104/),( 2222 yxxyRyxDf #
22. yxctgz SoluciónLa función yxctgZ no esta definida en : nyxnyx
Luego ZnnyxRyxDf ## ,/),(2 %
1
1 2
2
X
Y
En este fascículo se realiza la definición de funciones de n variables, así como su funcióncompuesta, para luego poder graficar las superficies de nivel que ayudaran a graficar unafunción de varias variables.
Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú,Tercera Edición. Lima, Perú 1995
Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú2002
Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999
RESUMEN
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
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22
AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA
1. Sea g la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenadosde la forma (P, w) tales que
w = 2224 zyx
g(x,y,z) = 2224 zyx
Obtenga (a) g(1,-1, -1); (b) g(-1,2
3,
2
1); (c)g( zyx
2
1
2
1,
2
1);
(d) ' ( ' (22z)2,y2,g(x-z)y,g(x,
2. Sea la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenadosde la forma (P,w) tales que
W =9
4222 zyx
(x,y,z) =9
4222 zyx
Calcule (a) (1,2,3); (b) (2,-2
1,
2
3); (c)
xxx
1,
2,
2; (d) (x + 2, 1 , x -2)
En los ejercicios 5 a 20, determine el dominio de y dibújelo como una regiónfde R 2. Utilice curvas punteados para indicar cualquier parte de la frontera queno pertenezca al domino y curcas continuas para indicar las partes de lafrontera que pertenezcan al dominio.
3. (x,y) =1
122 yx
4. (X,Y) =22
4
4
yx
5. (x,y) = 221 yx
6. (x,y) = 22416 yx
7. (x,y) = 22 1 yx
8. (x,y) = 16422 yx
9. (x,y) = 122 yx
10. (x,y) = 16422 yx
11. (x,y) =22
1
1
yx
12. (x,y) =22 416
1
yx
13. (x,y) =22
44
yx
yx
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14. (x,y) =yx
yx
15. (x,y) = cos-1(x –y)16. (x,y) = In(x2 + y)17. (x,y) = In(xy-1)18. (x,y) = sen-1(x + y)
En los ejercicios 19 a 26 determine el domino de y represéntelo como unaf
región de R3
19. (x,y,z) =zyx
zyx
20. (x,y,z) =yx
z
2
21. (x,y,z) = 222 416 zyx
22. (x,y,z) = 2229 zyx
23. (x,y,z) = sen-1 x + sen-1 y + sen-1 z24. (x,y,z) = In x + In y + In z25. (x,y,z) = In(4 - x2 – y2) + z
26. (x,y,z) = xz cos-1(y2 – 1)En los ejercicios 27 a 34 determine el dominio de y dibuje su gráficaf
27. (x,y) = 2216 yx
28. (x,y) = 6 – 2x + 2y29. (x,y) = 16 –x2 – y2
30. (x,y) = 22425100 yx
31. (x,y) = x2 –y2
32. (x,y) = 144 – 9x2 – 16y2
33. (x,y) = 4x2 + 9y2
34. (x,y) = yx
En los ejercicios 35 a 46 dibuje un mapa de contornos de que muestre las curvasfde nivel para los números indicados.
35. (x,y) = )(2
1 22yx para 8, 6, 4, 2 y 0
36. (x,y) = (x-3)/(y+2) para 4, 2, 1,4
1,
2
1,0 ,
.2
1,
4
1 , -1 , -2 y -4
37. (x,y) = exy para 1, 2, e, 4,4
1,
2
1 4 ye
38. (x,y) = Inxy para 0,1,2,4, -1, -2 y -439. Sean (x,y) = x – y , g(t) = .t , h (s) = s 2. Calcule (a) 1,5fg
(b) ))9(),3(( ghf (c) ))(),(( yhxgf (d) yxfhg , (e) yxfhg ,
40. Sean (x,y) = x/y2 . g(x) =x2 , xxh )( . Calcule (a) 1,2fh (b)))4(),2(( hgf
(c) ))(),(( 2xhxgf (d) )),)((( yxfgh (e) )),()(( yxfgh
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24
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
DE MAS DE UNA VARIABLE
Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:
- Define el concepto de límite de funciones de más de una variable.- Define el concepto de continuidad de funciones de más de una variable.- Interpreta los teoremas para la resolución de ejercicios de aplicación.
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLELa definición del límite de una variable involucra la distancia entre dos puntos de larecta numérica real. El limite de una función de más de una variable también implicala distancia entre dos puntos; por lo que se inicia el estudio de estos límites con ladefinición de distancia entre dos puntos de R .n
En R la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos
números reales. Esto es, ax es la distancia entre los puntos x y a de la recta
numérica real. En R 2 de la distancia entre los puntos P(x,y) y P0 (X0,Y0) está dada por
la expresión 20
20 yyxx . En R3 la distancia entre los puntos zyxP ,, y
0000 ,, zyxP está determinada por 20
20
20 zzyyxx .En R n la
distancia entre dos puntos se define de manera análoga.
2.1. DEFINICIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE R n
Si nxxxP ....., 21 y naaaA ....., 21 son dos puntos de R n entonces la distancia
entre P y A, denotada por AP , esta determinada por
AP = 22
22
2
11 ... nn axaxax
El símbolo AP representa un número no negativo y se lee como “la distancia
entre P y A”.
En R, R2 y R3 , la fórmula de la definición 2.1 se transforma, respectivamente, enaxax
00 ,, yxyx 20
20 yyxx
INDICADORES DE LOGRO
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FIGURA 1
2.2. DEFINICIÓN DE BOLA ABIERTA EN R n
Si A es un punto de R n y r es un número positivo, entonces la bola abierta B(A;r) es
el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que AP < r.
2.3 DEFINICIÓN DE BOLA CERRADA EN Rn
Si A es un punto de R n y r es un número positivo, entonces la bola cerrada B(A;r) es
el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que. rAP .
Con el fin de ilustrar estas definiciones, se mues tra lo que ellas significan en R, R 2 yR3. En primer lugar, si a es un punto de R, entonces la bola abierta B(a; r) es el
conjunto de todos los puntos x de R tales que rax
FIGURA 3
00 , yx
Bola abierta ryxB ;, 00 en R2
El conjunto de puntos que satisface esta ecuación es el conjunto de todos lospuntos del intervalo abierto (a - r, a + r); de modo que la bola abierta B(a; r) en R(refiérase a la figura 1) es simplemente el intervalo abierto cuyo punto medio es acuyos extremos son a - r y a + r. La bola cerrada ' (raB ; en R (Figura 2) es el
intervalo cerrado ' (rara , .
Si 00 , yx es un punto de R 2, entonces la bola abierta ryxB ;, 00 es el conjunto de
todos los puntos (x,y) de R2 tales que 202
0 yyxx <r.
a – r a a + r
a – r a a + r
bola abierta B ' (ra,
r
000 ,,,, zyxzyx 20
20
20 zzyyxx
en R
FIGURA 2
bola cerrada B ' (ra, en R
FIGURA 4
Bola cerrada2
00 ;, RenryxB
r
(x0, y0)
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26
Si en la definición anterior f es una función de una
variable. aA pertenece a xPIR y , entonces
la definición establece lo siguiente: si f está
definida en algún intervalo abierto centrado en a,
excepto posiblemente en a, entonces.
Lxfax
)
)(lim
Por lo que la bola abierta ryxB ;, 00 en R 2 (figura 3) consta de todos los puntos
de la región interior limitada por la circunferencia que tiene su centro en 00 , yx y
radio r. En ocasiones se llama disco abierto a una bola abierta R 2. La bola cerrada, o
disco cerrado, ' (ryxB ;, 00 de R2 (figura 4) es el conjunto de todos los puntos de la
bola abierta ' (ryxB ;, 00 y la circunferencia con centro en 00 , yx y radio r.
Si 000 ,, zyx es un punto de R 3 , entonces la bola abierta rzyxB ;, 00,0 es el
conjunto de todos los puntos (x, y, z) de R3 tales que
20
20
20 zzyyxx < r
Por tanto, la bola abierta rzyxB ;,, 000 en R 3 (figura 5) consiste de todos los
puntos de la región interior limitada por la esfera que tiene centro en 000 ,, zyx y
radio r. Similarmente, la bola cerrada ' (rzyxB ;,, 000 de R 3 (figura 6) consiste de
todos los puntos de la bola abierta rzyxB ;,, 000 así como de los puntos de la
esfera que tiene centro en 000 ,, zyx y radio r.
r
(x0, y0,z0)
FIGURA 4
y ;,, 000Bola abierta rzxB 3Ren
2.4 DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES
r
(x,y z)00,0
Sea f una función de n variables definida en
alguna bola abierta );( rAB , excepto posiblemente
en el punto A. Entonces, el límite de )(Pf
conforme P tiende a A es L, lo cual se denota por:
LPf )(limAP)
Si para cualquier 0$ , sin importar que unapequeña sea, existe una 0δ $ tal que:
Si δ0 AP entonces LPf )(
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Si para cualquier 0$ , sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ $ talque:
Si δ0 ax entonces Lxf )(
Por lo que la definición de límite de una función de una variable es un caso especialde la definición 2.4.La definición de límite de una función de dos variables es el caso especial de ladefinición 2.4 en donde A es el punto ),( 00 yx y P es punto ),( yx
2.5. DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLESea f la función de dos variables definida en algún disco abierto ));,(( 00 ryxB ,
excepto posiblemente en ),( 00 yx . Entonces el límite de ),( yxf conforme ),( yx
tiende a ),( 00 yx es L , lo que se denota por:
Lyxfyxyx
)
),(lim),(),( 00
si para cualquier 0$ , sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ $ tal que:
Si δ)()x-(x0 20
20 yy entonces f(x,y)-L
En palabras, esta definición establece que los valores de función f(x,y) seaproxima la limite L conforme el punto ),( yx tiende al punto ),( 00 yx si el valor
absoluto de la diferencia entre ),( yxf y L puede hacerse arbitrariamente pequeña
al considerar el p unto ),( yx suficientemente cercano a ),( 00 yx pero sin llegara a
ser ),( 00 yx . En la definición nada se dice acerca del valor de la función en el punto
),( 00 yx , es decir, no es necesario que la función esté definida en ),( 00 yx , es
decir, no es necesario que la función esté definida en ),( 00 yx para que:
),(lim),(),( 00
yxfyxyx )
exista.
En la figura 7 se presenta una interpretación geométrica de la definición 2 .5. En estafigura se muestra la porción de la superficie que tiene ecuación ),( yxfz y que se
encuentra por arriba del disco δ));,(( 00 yxB . Se observa que ),( yxf en le eje z ,
estará entre LL y siempre que le punto ),( yx del plano xy esté en el
disco abierto δ));,(( 00 yxB . Otra forma de establecer esto consiste en que ),( yxf
en el eje z puede forzarse a que este entre LL y al restringir el punto
),( yx del plano xy al disco abierto δ));,(( 00 yxB .
yx
0
L+
L-
L
(x y f(x,y))0 + 0 , 0 0z
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Ejemplo 1:Utilice la definición 2.5 para demostrar que: 11)32(lim
)3,1(),(
)yx
yxSolución: El primer requisito de la definición es que yx 32 debe estar definido en
algún disco que tenga su centro en el punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3).Como yx 32 , está definida en cada punto ),( yx , entonces cualquier disco abierto
centrado en (1,3) satisfará este requisito, Ahora, debe demostrase que paracualquier 0$ existe una 0δ $ tal que:
Si δ)3()1-(x0 22 y entonces )1......(11)32( x
De la desigualdad del triangulo.93221132 yxyx
3312 yxDebido a que
22)3()1(1 yxx
22 )3()1(3 yxy
Se deduce que
Si δ)3()1-(x0 22 y entonces 3δ2δ3312 yx
Esta posición muestra que una elección adecuada para cualquier δ es 5δ , esto
es, 5
1δ . Con esta δ se tiene el argumento siguiente:
δ)3()1-(x0 22 y
δ3-yyδ1 x
δ53-y312 x
5
15)3(3)1(2 yx
1132 yx
De donde se ha probado que para cualquier 0$ se elige 5
1δ a fin de que la
proposición (1) sea verdadera. Esto demuestra que11)32(lim
)3,1(),(
)yx
yx.
Los teoremas de límites estudiados en el curso de Análisis I y sus demostraciones,con pequeñas modificaciones, se aplican a funciones de más de una variable. Porejemplo, en correspondencia con el teorema de límites ya estudiados para unavariable se tiene:
dnbmadnymxbayx
)
)(lim),(),(
Y la demostración es una generalización de la demostración del ejemplo 1. A partirde aquí se utilizarán los teoremas de límites sin volver a establecerlos nidemostrarlos.
Ejemplo ilustrativo 1Al aplicarse los teoremas de límites acerca de suma y productos se tiene.
12)1()1()2(2)2()22(lim223223
)1,2(),(
)yyxx
yx
Ejemplo 2Calcule
),(lim)0,0(),(
yxfyx )
si:22
44
),(yy
xyyxf
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Solución:
22
2222
)0,0(),(22
44
)0,0(),(
))((limlim
xy
xyxy
xy
xy
yxyx
))
22
)0,0(),(lim xy
yx
)
0La gráfica de f , mostrada en la figura 8, es el paraboloide hiperbólico 22 xyz sin considerar el origen. La gráfica apoya la respuesta.El teorema siguiente trata acerca del límite de una función compuesta de dosvariables, el cual es análogo al teorema para funciones de una variable y sudemostración es semejante.
2.6. TEOREMASi g es una función de dos variables y byxg
yxyx
)),(lim
),(),( 00
, y además f es
una función de una variable que es continua en b , entonces.
)(),)((lim),(),( 00
bfyxgfyxyx
)
))yxgyxgf
yxyxyxyx,lim,lim
),(),(),(),( 0000
Ejemplo 3Utilice el teorema 2.6 a fin de calcular 1lnlim
)1,2(),(
)xy
yx
SOLUCIÓN: Sea g la función tal que g(x, y)=xy -1 y sea f la función para la cualf(t)=In t.
11lim)1,2(),(
)
xyyx
y como f es continua en 1, del teorema 2.6
))1lim1lnlim
)1,2(),()1,2(),(xyxy
yxyx
1ln0
A continuación se presentará el concepto de punto de acumulación el cual senecesita para continuar el estudio de límites de funciones de dos variables.
2.7. DEFINICIÓN DE PUNTO DE ACUMULACIÓNUn punto P 0 es un punto de acumulación de un conjunto S de puntos de Rn si todabola abierta B (P0; r) contiene un número infinito de puntos de S.
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30
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2Si S es el conjunto de todos los puntos de R 2 del lado positivo del eje X, entonces elorigen es un punto de acumulación de S debido a que, sin importar que tan pequeñose tome el valor de r, cada disco abierto que tenga su centro en el origen y radio rcontendrá un número infinito de puntos de S. Este es un ejemplo de un conjunto quetiene un punto de acumulación para la cual el punto de acumulación no es un puntodel conjunto. Cualquier punto de este conjunto S también es un punto deacumulación de S.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 3Si S es el conjunto de todos los puntos de R 2 para los que sus coordenadascartesianas son números enteros positivos, entonces este conjunto no tiene puntosde acumulación. Esto se ve al considerar el punto (m, n) , donde m y n son númerosenteros positivos. De este modo, un disco abierto que tenga su centro en (m, n) yradio menor que 1 no contendrá ningún punto de S diferente de (m, n); por tanto, nose satisface la definición 2.7 (consulte la figura 9).
Ahora se considerará el límite de una función de dos variables conforme un punto(x, y)tiende a un punto (x 0, y0) donde (x, y)se restringe a un conjunto específico depuntos.
2.8. DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES ATRAVÉS DE UN CONJUNTO ESPECÍFICO
Sea f una función definida en un conjunto de puntos S en R 2, y sea (x 0, y0)un puntode acumulación de S. Entonces el limite de f(x, y) conforme (x, y)tiende a (x 0, y0) enS es L, lo que se denota por:
enSyx
Lyxfyxyx
,
,lim00 ,,
)
Si para cualquier 0$ , sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ $ tal que
Si Ly*fy* ,entoncesδy*+0 00
Donde (x, y) pertenece a S.En algunos casos el límite de la definición anterior se transforma en el límite de unafunción de una sola variable. Por ejemplo. Considere
y*f
yx,lim
0,,, ). Entonces si
S1 es el conjunto de todos los puntos del lado positivo del eje x.
enSyx
xfyxfxyxyx
,
0,lim,lim0,, 00))
Si S2 es el conjunto de todos los puntos del lado negativo del eje y,
00,0,,0lim,lim yfyxf
yyx ))
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2, enSyx
Si S3 es el conjunto de todos los puntos del eje x.
2
00,0,
,
0,lim,lim
enSyx
xfyxfxyx ))
si S4 es el conjunto de todos los puntos de la parábola y = x2.
4,
,lim,lim 2
00,0,
enSyx
xxfyxfxyx ))
2.9 TEOREMASuponga que la función f está definida para todo los puntos de un disco abiertocentrado en (x0, y0), excepto posiblemente en (x0, y0),y que
Lyxf
yxyx
),lim
00 ,,
Entonces, si S es cualquier conjunto de puntos de R 2 que tiene a (x 0, y0 ) como unpunto de acumulación.
enSyx
yxfyxyx
,
,lim00 ,, )
Existe y siempre tiene el valor L.
Demostración: Como
Lyxfyxyx
)
,lim00 ,,
, entonces, por la definición 2.5, para
cualquier 0$ existe una 0δ $ tal que si
Lyxfyx ,entoncesδyx,0 00
La proposición anterior será verdadera si además se restringe (x, y) debido alrequisito de que (x, y) pertenezca a un conjunto S, donde S es cualquier conjunto depuntos que tenga a (x 0 , y 0) como un punto de acumulación. Por tanto, por ladefinición 2.8
enSyx
Lyxfyxyx
,
,lim00 ,,
)
y L no depende del conjunto S a travé s del cual (x, y) se aproxima a (x 0,y0 ). Estodemuestra el teorema.El teorema siguiente se obtiene como consecuencia inmediata del teorema 2.9.
2.10 TEOREMASi la función f tiene limites diferentes conforme (x, y) se aproxima a (x0,y0) a través dedos conjuntos diferentes de puntos que tienen a (x0 , y0) como un punto deacumulación, entonces
yxf
yxyx,lim
00 ,, )no existe.
DemostraciónSuponga que S 1 y S 2 son dos conjuntos de puntos de R diferentes que tienen a2
(x0, y0) como punto de acumulación, y sean.
1
1,,
,
,lim00
enSyx
Lyxfyxyx
) y
2
2,,
,
,lim00
enSyx
Lyxfyxyx
)
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Excelencia AcadémicaAnálisis Matemático III
32
Ahora suponga que
yxfyxyx
,lim00 ,, )
existe. Entonces, por el teorema 2.9 L1
debe ser igual a L 2 ; pero por hipótesis 21L L% , de modo que se tiene una
contradicción. Por tanto
yxfyxyx
,lim00 ,, )
no existe.
EJEMPLO 4 Sea
22
22
,yx
yxyxf
Utilice el teorema 2.10 para demostrar que
yxfyx
,lim0,0, )
no existe
Solución: La función f esta definida en todos los puntos de R 2 excepto en (0,0).Sean S1 el conjunto de todos los puntos del eje x y S 2 el conjunto de todos los puntosdel eje y. Entonces.
1
0,,
,
0,lim,lim00
enSyx
xfyxfxyxyx ))
2
0y0,0,
,
y)limf(0,),(lim
enSyx
yxfyx ))
=2
2
0lim
x
x
x
)=
2
2
0lim
y
y
x
)
= 1lim0
)x= 1lim
0
)x
= 1 = -1como
21
0,0,0,0,
,,
,lim,lim
SenyxenSyx
yxfyxfyxyx ))
%
Se concluye, por el teorema 2.10, que
yxfyx
,lim0,0, )
no existe.
La figura 10 muestra la gráfica de f. Observe en la figura que conforme (x, y) seaproxima a (0,0) a lo largo del eje x, parece que f(x, y) tiende a 1 y conforme (x, y)se aproxima a (0,0) alo largo del eje y parece, que f(x, y) tiende a - 1. Estasobservaciones apoyan la respuesta.
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EJEMPLO 5Demuestre que no existe el límite siguiente:
220,0,lim
yx
x
yx
)
Solución La expresión 22/ yxx está definida para todos los puntos de R2 excepto(0,0). Sea S el conjunto de puntos del eje x positivo. Entonces
S,
limlim20220,0,
enyx
x
x
yx
x
xyx ))
=xx
1lim
0
)=
Por tanto, el límite no existeLa figura 11 muestra la gráfica de la función cuyos valores son 22/ yxx .Observeque conforme (x, y) se aproxima al origin a lo largo del eje x positivo, parece que losvalores de función crecen sin limite, lo cual apoya la respuesta.
Ejemplo 6 Dada
22
,yx
xyyxf
Calcule
yxfyx
,lim0,0, )
si existe
Solución La función esta definida para todos los puntos de R2 excepto (0,0). SeanS1 el conjunto de todos los puntos del eje x, y S2 el conjunto de todos los puntos dela recta y = x. Entonces.
,
0,lim,lim
1
00,0,
enSyx
xfyxfxyx ))
,
,lim,lim
2
0x0,0,
enSyx
xxfyxfyx ))
=0
0lim
20 ) xx= lim
22
2
0 xx
x
x )
= 0lim0)x
=2
1lim
0)x
= 0 =2
1
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34
Ejemplo 7 Dada
44
22,
yx
yxyxf
Calcule
,lim0,0,
yxfyx )
si existe
Solución La función está definida pata todos los puntos de R 2 excepto (0,0).Sea S1
el conjunto de todos los puntos de cualquier recta que pase por el origen; esto es,para cualquier punto (x, y) de S1, y= mx. Sea S2 el conjunto de todos los puntos de laparábola Y = x2 . Entonces.
,
,lim,lim
1
00,0,
enSyx
mxxfyxfxyx ))
,
,lim,lim
2
2
0x0,0,
enSyx
xxfyxfyx ))
=2
lim224
3
0 xmx
mx
x )=
2lim
44
4
0 xx
x
x )
=220
2lim
mx
mx
x )= 1lim
0)x
= 0 = 1Debido a que
Como
yx,,
,lim,lim
21
0,0,0,0,
SenenSyx
yxfyxfyxyx ))
%
Entonces, por el teorema 2.10
,lim0,0,
yxfyx )
no existe.
La figura 12 muestra la gráfica de f, la cual apoya el hecho de que
,lim
0,0,yxf
yx )no existe.
Entonces
,lim0,0,
yxfyx )
no existe
La figura 13, la cual muestra la gráfica de f, apoya el hecho de que
,lim
0,0,yxf
yx ) no existe.
,,
,lim,lim
21
0,0,0,0,
Senyxen Syx
yxfyxfyxyx ))
%
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Ejemplo 8 Sea
22
4224 22,
yx
yyxxyxf
Calcule
yxfyx
,lim0,0, )
si existe
Solución La función está definida en todos los puntos de R 2 excepto en (0,0). SeaS1 el conjunto de todos los puntos de cualquier recta que pase por el origen; demodo que si f(x, y) es un punto de S 1, entonces y = mx. Sea S 2 el conjunto de todoslos puntos de la parábola y = x2 . Entonces.
,
22xlim,lim
1
222
442224
00,0,
enSyx
xmx
xmxmxyxf
xyx
))
1
121xlim
22
2244
0mx
mxm
x
)
1
121xlim
2
242
0 m
mm
x
)
,
22xlim,lim
2
42
8424
00,0,
enSyx
xx
xxxyxf
xyx
))
23xlim
42
248
0 xx
xx
x
)
1
23xlim
2
26
0 x
x
x
)= 2
Aunque se obtiene el mismo límite 2 si (x, y) se aproxima a (0,0) a lo largo decualquier recta que pase por el origen así como por la parábola y= x2, no se puedeconcluir que el limite exista y sea igual a 2, no obstante se puede esperar que estesea el caso. Cualquier disco abierto centrado en el origen satisface el primerrequisito de la definición 12.2.5. Si puede probarse que para cualquier 0$ existeuna 0$ tal que
δ0 22 yxsi entonces2
2222
4224
yx
yyxx
δ0 22 yxsi entonces 22
44
yx
yx
Entonces se habrá demostrado que 2,lim
0,0,
)yxf
yx
Como 222222 yxyyyxx ,
2 22
22
222222
22
44
yxyx
yxyx
yx
yx
De modo que se tiene una elección adecuada para δ al despejarla de
2 δ 2= así; δ = /2 . Con esta δ se tiene el argumento siguiente:
δ0 22 yx 222 δ22 yx
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36
22
44
yx
yx
Así, si δ = /2 , entonces la proposición (2) se cumple y de este modo se hademostrado que.
2,lim
0,0,
)yxf
yx
La figura 14 muestra la gráfica de f y apoya el hecho de que el límite es 2.
A continuación se definirá la continuidad de una función de n variables en un puntode Rn. Observe que la definición de la continuidad de una función de una variable enun número a es un caso especial de la siguiente definición.
2.11. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE n VARIABLESSuponga que f es una función de n variables y que A es un punto de Rn . Se diceque f es continua en el punto A si y sólo si se satisfacen las tres condicionessiguientes.(i) f (A) existe;(ii)
AP)lim f (P) existe;
(iii)AP)
lim f (P) = f (A)
δ2
2 2
22
222
yx
yx
2
2
2
22
222
22
yx
yxyx
Si una o más de estas condiciones no se cumplen para el punto A, entonces se diceque f es discontinua en A.Si f es una función de dos variables, A es el punto (x0, y 0 ) y P es el punto ( x, y),entonces la definición 2.11 se transforma en la definición siguiente.
2.12. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Se dice que la función f de dos variables x y y es en el punto (xcontinua 0, y0) sisolo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
(i) f (x0,y0) existe;(ii)
yxf
yxyx,lim
00 ,, )existe;
(iii) 00
,,,,lim
00
yxfyxfyxyx
)
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Ejemplo 9 Determinar si la función g es continua en (0,0) si
Solución Se verificaran las tres condiciones de la definición 2.12 para el punto (0,0).(i) 20,0 g por tanto, se cumple la condición (1).
(ii)
yxgyx
,lim0,0, )
=
222
lim22
4224
,, 00
) yx
yyxx
yxyx
Este hecho se demostró en el ejemplo 8
(iii)
0,0,lim0,0,
gyxgyx
)
Por tanto, g es continua en (0,0).
Ejemplo 10 Determine si la función h es continua en (0,0) si
0,0,si0
0,0,si),(
22
-
-!
"
%
yx
yxyx
xy
yxh
Solución Al verificar las condiciones de la definición 2.12 se tiene :(i) oh 0,0 por tanto, se cumple la condición (i)
(ii)cuando (x,y) 22/,,0,0 yxxyyxh % . En el ejemplo 6 se mostro que
22
0,0,/lim yxxy
yx
)no existe; en consecuencia, que
yxh
yx,lim
0,0, )no
existe ;por tanto no se cumple la condición (ii).Así, h es discontinua en (0,0).
0,0,si2
0,0,si22
),( 22
4224
-
-!
"
%
yx
yxyx
yyxx
yxg
Si una función f es de dos variables es discontinua en un punto 00 , yx pero
yxf
yx,lim
0,0, )existe, entonces se dice que f tiene una discontinuidad
removible (o eliminable) en ( 00 , yx ) debido a que si se redefine f en ( 00 , yx ) de
modo que),( 00 yxf
yxfyxyx
,lim00 ,, )
Entonces la nueva función es continua en ( 00 , yx ). Si una discontinuidad no es
removible, entonces se denomina discontinuidad esencial.
Ejemplo ilustrativo 4
(a) Si 224224 /22, yxyyxxyxf , entonces f es discontinua en (0,0)
ya que f(0,0) no esta definido. Sin embargo en el ejemplo 8, se probó que
2,lim
0,0,
)yxf
yxpor tanto la discontinuidad es removible al redefinir f (0,0)
como 2. Refiérase al ejemplo 9.
(b) Considere 22/, yxxyyxf . Entonces f es discontinua en (0,0) debido a
que 0,0f no está definido. En el ejemplo 6, se mostró que
yxfyx
,lim0,0, )
no
existe. Por tanto, la discontinuidad es esencial.
Los teoremas que tratan acerca de la continuidad para funciones de una variablepueden extenderse a funciones de dos variables.
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38
2.13 TEOREMASi f y g son dos funciones continuas en el punto 00 yx , entonces
(i) f + g es continua en ( 00 , yx );
(ii) f - g es continua en ( 00 , yx );
(iii) fg es continua en ( 00 , yx );
(iv) f / g es continua en ( 00 , yx ), es considerando que g ( 00 , yx ) 0%
2.14 TEOREMAUna función polinomial de dos variables es continua en cada punto de R2 .Demostración Toda función polinomial es la suma de productos de funcionesdefinidas por ,,, yyxgxyxf y c, yxh , donde c es un número real.
Puesto que f , g y h son continuas en cada punto de R2, el teorema se deduce
mediante aplicaciones repetidas de los incisos (i) y (iii) del teorema 2.13.
2.15 TEOREMAUna función racional de dos variables es continua en cada punto de sus dominios.Demostración Una función racional es el cociente de dos funciones polinomialesf y g que son continuas en cada punto de R2, según el teorema 2.14. Si
00 yx es cualquier punto del dominio de f / g entonces 0, 00 %yxg ; de
modo que por el inciso (iv) del teorema 2.13, f / g es continua en ese punto.
Ejemplo 11 Determine todos los puntos en lo que f es continua si
1si0
1si),(
22
2222
-
-!"
$
yx
yxyxyxf
Solución La función f esta definida en todos los puntos de R2. Por tanto, se cumplela condición (i) de la definición 2.12 para cada punto 00 , yx .
Considere los puntos 00 , yx si 120
20 % yx
si 120
20 yx , entonces
yxf
yxyx,lim
00 ,, )=
22
,, 00
lim yxyxyx
)
= 20
20 yx
= 00 , yxf
Si 120
20 $ yx , entonces
)yxf
yxyx,lim
00 ,, 0lim
00,, yxyx )= 0= 00 , yxf
Así f es continua en todos los puntos 00 , yx para los que 120
20 % yx
Con el fin de determinar la continuidad de f en los puntos 00 , yx para los cuales
120
20 yx , se considera
yxf
yxyx,lim
00 ,, )para estos puntos.
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Sean S1 el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 122 yx y S2 el conjunto
de todos los puntos (x, y) tales que 122 $ yx . Entonces
1
,,
en,
,lim00
Syx
yxfyxyx
)
1
22
,,
,
lim00
Senyx
yxyxyx
)
= 20
20 yx
= 1
2
,,
en,
,lim00
Syx
yxfyxyx
)
2
,,
,
0lim00
Senyx
yxyx )
= 0Como
1
,,
en,
,lim00
Syx
yxfyxyx
%)
2
,,
en,
,lim00
Syx
yxfyxyx )
Se concluye que
yxfyxyx
,lim00 ,, )
no existe. En consecuencia, f es discontinua
en todos los puntos 00 , yx para los cuales 120
20 yx .
De esta manera se ha demostrado que f es continua para todos los puntos de R2
excepto para aquellos de la circunferencia 122 yx
2.16 DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UNA BOLA ABIERTALa función f de n variables es continua en una bola abierta si es continua en cadapunto de bola abierta.
Ejemplo ilustrativo 5A partir de los resultados del ejemplo 11, la función de ese ejemplo es continua encada disco abierto que no contenga ningún punto de la circunferencia 122 yx .
El teorema siguiente, afirma que una función continua de una función continua escontinua.
2.17 TEOREMASuponga que f es una función de una variable y que g es una función de dosvariables tal que g es continua en 00 , yx y f es continua en 00 , yxg . Entonces lafunción compuesta gf es continua en 00 , yx .
Ejemplo ilustrativo 6
Sea h la función del ejemplo 3 1ln, xyyxh
Si 1, xyyxg , g es continua en todos los puntos de R2. La función logarítmicaes continua en su dominio completo, el cual es el conjunto de todos los númerosreales positivos. De modo que si f es la función definida por ttf ln)( , entonces f escontinua para todo t>0. Por tanto, la función h es la función compuesta gf y por elteorema 2.17 es continua en todos los puntos (x, y) de R2 para los cuales 01 $xy .
EJEMPLO 12Determine todos los puntos en los que f es continua si:
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40
SOLUCIÓN:El domino f es el conjunto de todos los puntos (x, y) de R para los cuales2
2 2250x y $ , Estos son los puntos de la región exterior limitada por la
circunferencia2 2 25x y como se muestra en la figura 15. La función f es el
cociente de las funciones g y h para las que2 2( , ) 1 ( , ) 25g x y h x y x y
Como g es una función constante, es continua en cada punto de R 2. D el teorema2.17, h es cont inua en cada punto de R 2 que satisfacen la desigualdad
2 225x y $ . Por tanto, por el teorema 2.13 (iv), es continua en todos losf
puntos de su dominio.
PROBLEMAS RESUELTOSEn los ejercicios 1 - 5 calcular los límites de las funciones que se dan acontinuación, estimando que las variables independientes tienden, de maneraarbitraria, a sus valores límites.
1.11
lim22
22
)0,0(),(
) yx
yx
yx
SOLUCIÓN:2 2
2 2lim
1
x y
x y(x,y) (0,0))
=
2 2 2 2
2 2
( )( 1 1lim
( 1) 1
x y x y
x y
2 2 2 2
2 2
( )( 1 1lim
x y x y
x y
=
2 2lim 1 1x y
0 0 1 1 1 1 2
2.2 2
1 1lim
x y
x y
2 2lim
x y=
2
2 2 2 2
1 1lim
( )( 1 1)
x y
x y x y
2 2
1
25f(x,y)
x y
SOLUCIÓN:
(x,y) (0,0))
(x,y) (0,0)) (x,y) (0,0))
(x,y) (0,0))
(x,y) (0,0)) (x,y) (0,0))
2 2
22 1 1x y 2
2
2 2 2 2lim
( )( 1 1)
x y
x y x y
Sea: 2^(x,y) IR /S y kx
2 2 2 2lim
( ) 1 1x y x y =
11()1(lim
4422
44
)0,0()( ) xkxk
xk
x
0111
lim442
24
)0,0()(
) xkk
xk
x
(x,y) (0,0))
2
2x y 2
(x,y) (0,0))
) )( (
)
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Ahora demostraremos por la definición que:
2 2lim 0
x y
Dado .$ ,0#
2 2δ 0 / 0 ( ) (0,0) δ δx,y
x y$
pero
0 (x,y) (0,0) δ x δ y δ
Además2 2 2 2 2 2
0( )( 1 1x y x y x y
2δxy x y
Luego es suficiente tomar δ
3.
3 3
2 2
( )lim
sen x y
x y
SOLUCIÓN:Calcularemos por caminos en donde (0,0) es punto se acumulación.
Sea 2( , ) / 0S x y IR y 3 3
2 2
( )lim
sen x y
x y
=
3
20limx
senx
x)=
3
30limx
senxx
x)
0(1) 0(1)
Sea T = ^ (x,y) / IR y x 3 3
2 2
( )lim
sen x y
x y
=
3
20
2lim
2x
sen x
x)=
3
20
2lim
2x
xsen x
x)
2 1 1x y 2
(x,y) (0,0))2 1 1x y 2
2 1 1x y 2 2x y 2
(x,y) (0,0))
(x,y) (0,0))
(x,y) (0,0))
0(1) 0(1)
Ahora demostraremos mediante la definición que3 3
2 2
( )lim 0
sen x y
x y
Sea 0$ , debemos encontrar un
3 3
2 2
(δ 0/0
sen x y
x y
$
Tal que 0 δ, 0 δ; ( , ) (0,0)x y x y %
3 33 3 3 3
2 2 2 2 2 2
( )....(1)
x ysen x y x y
x x y x y
Como2 2 2 2, .....(2)x x y y x y
Reemplazando (2) en (1) se tiene:3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 33 3
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 )( ) x y x y x y x ysen x y
x y x y x y x y
(x,y) (0,0))
)
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2 2 2 22 2 δ δ 2 2δ =x y
δ=2 2
4.
2 2
2 2 2 2
1 cos( )lim
( )
x y
x y x y
SOLUCIÓN:
Sea T: ( ) , ( 1)t t Ln t/ ,( , ) (0,0) 0x y t) )2 2
2 2 2 2
1 cos( )lim
( )
x y
x y x y
=0
1 cos( ( 1))lim
( ( 1)) ( 1)t
t Ln t
t Ln t tLn t)
=
2
0
12 ( ( 1))
2lim( ( 1)) ( 1)t
sen t Ln t
t Ln t tLn t)
2
20
1( ( 1))
1 ( 1)2lim . 1( ' )( ( 1))2 ( 1)
2
t
sen t Ln tL Hospital
tLn t)
(x,y) (0,0))
)
(x,y) (0,0))
t Ln t
t Ln t
Sea : ( ) ( , ) ( , ) (0,0) 0S t t t x y t/ ) )2 2
2 2 2 2
1 cos( )lim
( )( )
x y
x y x y
=30
1 cos2lim
2t
t
t)
=
2
30limt
sen t
t/
)
Como T S% entonces
2 2
2 2 2 2
1 cos( )lim
( )
x y
x y x y
5.222 2 1/ 1/
( , ) (0,0) 0
1lim (1 ) lim(1 )
e
x y z
x y zx y z
) )
SOLUCIÓN:
Sea2 2 , ( , ) (0,0) 0x y z x y z ) )
222 2 1/ 1/
0
1lim (1 ) lim(1 )
e
x y z
zx y z
( , ) (0,0)x y ) )
6. Mostrar que la función ux y
x y
para x 0, y 0) puede tender a cualquier
límite (dependiendo de cómo tienden a cero x e y)Dar ejemplos que muestren tales variaciones a x e y porque
a) lim u = 1
b) lim u = 2
u , ( , ) (0,0)x y
)
( , ) (0,0)x y )
( , ) (0,0)x y )
)
x y
x y
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SOLUCIÓNa) Haciendo y = kx
(1 )u
x y k x k
x y k x k
u 1 cuando k = 0
b)1
u 2 2 1 2 2 1/ 31
kk k k
k
)
Luegou 2 1 / 3cuando k)
7. Hallar los puntos de discontinuidad de la función2 2
2z
x y
¿Qué variaciones
sufre la función en el entorno de punto de discontinuidad?
1
(1 ) 1
SOLUCIÓN:Sea
2 2
2(x,y)z f
x y
, la función está bien definida cuando
2 2x 0y % x e y puede tomar cualquier valor real menos el cero (0), es decir
, es discontinua en el punto (0,0).
Ahora la función en torno del punto (0,0), puede tomar valores positivos tan grandescomo quieran.
8. Hallar los puntos de discontinuidad de la función
2 2
1z
sen x sen y
SOLUCIÓN:La función es discontinua en los puntos donde
0 , esta ecuación se anula en todos los números x, y enteros
por lo tanto los puntos de discontinuidad es el conjunto, de los números enteros.
9. En qué parte es discontinua la función1
zx y
SOLUCIÓN:
La función es discontinua en todos los puntos que a la
ecuación x - y 0Por lo tanto la función es discontinua en todos los puntos de la rectax y
3. ¿En qué parte es discontinua la función1 1
z ?
SOLUCIÓN:
La función es discontinua en los puntos donde
0senx000 ; 0seny000 esto ocurre solamente cuando x , e y son números
enteros.
(x,y)f
(x,y)f
1z
2 2sen x sen y (x,y)f
2 2sen x sen y
z (x,y)f 1x y
z (x,y)f
sen x sen y
z (x,y)f1 1
sen x sen y
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Excelencia AcadémicaAnálisis Matemático III
44
Por lo tanto la función es discontinua en el conjunto de los números
enteros.
11. En qué parte es discontinua la función
2
2
2
2
y xz
y x
?
SOLUCIÓN:
La función
2
2
2
2
y x
y x
es discontinua en, todos los puntos que anulan
a la ecuación 022 xy
Por lo tanto la función es discontinua en todos los puntos de la
parábola2
2y x .
En este fascículo se realiza la definición de límite de funciones de varias variables,además se hace mención a la continuidad estas funciones; se mencionan los teoremasesenciales que desarrollan en este tema para el cálculo inmediato de problemas deaplicación.
Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica delPerú, Tercera Edición. Lima, Perú 1995
Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ LimaPerú 2002
Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999
RESUMEN
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
z (x,y)f
z (x,y)f
z (x,y)f
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En los ejercicios 7 a 10, establezca el límite determinando una δ 0$ paracualquier 0$ tal que se cumpla la definición 2.57. lim (3 4 ) 1x y
8. lim (5 4 ) 6x y
9. lim (3 2 ) 9x y
10. lim (5 3 ) 2x y
En los ejercicios 11 a 16 demuestre que ),(lim)0,0(),(
yxfyx )
no existe:
11.
2 2
2 2
x yf(x,y)
x y
12.
2
2 2
x
x y
13.
44
2 4 3( )
xy
x y
14.
4 2 2 3
2 2 2
3 2
( )
x x y xy
x y
(x,y) (3,2))
(x,y) (-2,1))
(x,y) (-1,3))
(x,y) (2,4))
f(x,y)
f(x,y)
f(x,y)
15.
9
6 2 2( )
x y
x y
16.
2
4 4
x y
x y
f(x,y)
f(x,y)2
5.2 2
limx
6.
4/3 4/ 3
2/ 3 2 /3
( 1) ( 1)lim
x y
x y
(x,y) (0,1))
(x,y) (1,1))
(y 1)
( 1) ( 1)
(y 1)4 4x (x,y) (-2,4))
4. lim 2y x y33
y4x (x,y) (2,-1))3. lim
3x x3
(x,y) (-1,4))2. lim (5 2 )x xy y 2 2
(x,y) (2,3))1. lim (3 2 )x xy y 2 2
En los ejercicios 1 a 6, evalúe el límite mediante teoremas de límites.
AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA
En los ejercicios 17 a 20 demuestre que ),(lim)0,0(),(
yxfyx )
existe:
17.
2 2
2 2
x y xy
x y
f(x,y)
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46
23.
2
2 2lim
x y
x y
24.3 3
limx y
En los ejercicios del 25 al 28, muestre la aplicación del teorema 2.6 para calcular el límite
25.1lim tan
y
x
26. lim x - ye
27.1
lim3 4x y
28. lim 5 5x +123
(x,y) (0,0))
(x,y) (0,0))
x y2 2
(x,y) (2,2))
(x,y) (ln 3,ln 2))
(x,y) (4,2))
(x,y) (-2,3))
1
2y
2 123
En los ejercicios 29 a 52, determine todos los puntos en los que función es continua.
29.2
1x
y
30.1
x y
31.y
sen x
32.2Lnxy
33.
2 24 3
2
x y y
xy
f(x,y)
f(x,y)
h(x,y)
f(x,y)
f(x,y)
21.2 2
limx y
22.4 4
limx y
(x,y) (0,0))
x y2 2
(x,y) (0,0))
x y2 4
18.
3 3
2 2
x y
x y
19.2 2
xy
x y
20.
2
2 2
2x xy
x y
En los ejercicios 21 a 24, determine si el límite existe
f(x,y)
f(x,y)
f(x,y)
36. cos ( )x y f(x,y) 1
35. ( , ) (25 )g x y Ln x y 2 2
16 4x y 2 234. g(x,y)
5 2xy y2
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39.2 2
x y
x y
f(x,y)
si (x,y) % (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)
xy
x y
0
40.-
-!
"
%
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
33
yxsi
yxsiyx
yx
yxf
41. G(x), y
42.
43.2 216
xy
x y
44.2 2 4
y
x y
45.3694 22
yx
x
2 2
3 3
x y
x yf (x), y
% )0,0(),( yxsi
)0,0(),( yxsi
% )0,0(),( yxsi
)0,0(),( yxsi0
f (x), y
f (x), y
f (x), y
Sugerencia: consulte el ejercicio 19
38.
Sugerencia: refiérase al ejercicio 7
2
4 2
2x y
x yf(x,y)
si (x,y) % (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)f(x,y) x y2 2
37. si (x,y) % (0,0)xy
2 2x y46. f (x), y
2 29 x y sec (x,y)
-1
47. f (x,y) 2 2 2 2
48. ( ) ( 9) (1 )f x y Ln x y Ln x y , 1
( , ) ( ) ln( , )f x y sen x y x y 49.1
( , ) ( , )f x y sen x y50.
)( yxsen % 0yxsi51. f (x), y yx 01 yxsi
2 2x y52. si y%f (x), y x y
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Demuestre que f es continua en todos los puntos (x, y) de R2 excepto en
aquellos de la elipse x + 4y = 522
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50
DERIVADAS PARCIALES
La diferenciación de funciones de valor real de n variables se reduce al caso de una dimensiónal considerar una función de una variable como una función de una variable mientras que lasdemás se mantienen fijas. Esto conduce al concepto de derivada parcial Primero se.consideraran las derivadas parciales de una función de dos variables.
Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:- Define derivadas parciales de una función de dos variables- Define derivadas parciales de una función de n variables.- Interpreta los teoremas para la resolución de ejercicios de aplicación.
3.1 DEFINICIÓN DE DERIVADAPARCIAL DE UNAFUNCIÓN DE DOS VARIABLES
INDICADORES DE LOGRO
Sea una función de las variables La derivadax y y. parcial de con respecto a x es lafunción, denotada por D1 , tal que su valor en cualquier punto (x, y) del dominio de está dado por
x
yxyxxflímyxfD
ox 4
4
)4
),(),(),(1
si este límite existe. De manera semejante, la derivada parcial de con respecto ay es la función, denotada por D 2 , tal que su valor en cualquier punto (x, y) deldominio de está dado por
y
yxyyxflímyxfD
oy 4
4
)4
),(),(),(2
si existe este límite.
El proceso para calcular una derivada parcial se denomina diferenciación parcial.D1 que s e lee "D sub 1 de denota la función que es la derivada parcial de conrespecto a la primera variable. D1 (x,,y), que se lee "D sub 1 de de x y y", denota el valorde la función D 1 en el punto (x, y),
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Otras notaciones para D1 son 1 , x , yx
f
5
5Además, se tienen las notaciones 1(x. y),
x (x, y) yx
yxf
5
5 ),(y para D1f(x.y). De manera semejante, las notaciones para D2 son 2,
y , yy
f
5
5y para D2 (x,. v) son2 (x, y) ,y(x. y) y
y
yxf
5
5 ),(. Si z= (x. y),
entonces se puede expresar D1 f (x,y) comox
z
5
5. Una derivada parcial no puede considerarse
como la razón de
separado.
5 z y 5 x puesto que ninguno de estos símbolos tiene significado por
51
Anteriormente se dijo que la notacióndx
dypuede considerarse como el cociente de dos
diferenciales cuando y es una función de la variable x, pero no existe una interpretación
similar parax
z
5
5
EJEMPLO 1 . Aplique la definición de derivada parcial para calcular
yxDyyxfD ,, 21 si 2223, yxyxyxf
Solución
yx
yxx
x
xyxxx
x
yxyxyxyxyxxxx
x
yxyxyyxxxx
x
yxfyxxfyxfD
x
26
236lim
236lim
2322363lim
2323lim
,,lim,
2
22222
2222
01
4
4
444
4444
444
4
4
)4
x 0)4
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x 0)4
x 0)4
x 0)4
y
yxyxyyyyxx
y
yxfyyxfyxfD
4
44
4
4
2222
y)4 0
y)4 0
y)4 0
y)4 0
2
2323lim
,,lim,
yx
yyx
y
yyyyx
y
xyxyyyyyxxyx
y
22
22lim
22lim
232223lim
0
2
2222
4
4444
4
444
)4
y2
52
Si (x 0,y0) es un punto particular del dominio de f, entonces
x
yxfyxxfyxfD
x 44
)4
00000
001
,,lim,
Si este límite existe, y
y
yxfyyxfyxfD
y 4
4
)4
0000
0002
,,lim,
Si existe este límite:
EJEMPLO ILUSTRATIVO 1. Se aplicará la fórmula (1) a fin de calcular D1 f(3, -2)para la función f del ejemplo 1.
22
4318lim
43441231827lim
41227223233lim
2,32,3lim2,3
0
2
0
22
0
01
4
4444
444
44
)4
)4
)4
)4
x
x
xxx
x
xx
x
fxffD
x
x
x
x
Las siguientes son fórmulas alternativas de (1) y (2) para 002001,, yxDyyxfD :
0
000
001
,,lim,
0
xx
yxfyxfyxfD
xx
)
Si este límite existe, y
0
000
002
,,lim,
0yy
yxfyxfyxfD
yy
)
Si existe este límite.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2. Se aplicará la fórmula (3) con el objeto de calcular 2,31 fD para la función f del ejemplo 1.
133lim
3
3133lim
3
3943lim
3
43443lim
3
2,32,lim2,3
3
2
3
2
3
31
)
)
)
)
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
fxffD
x
x
x
x
22
3
)x
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EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 En el ejemplo 1 se probó que:
D1 .(x,y) = 6x -2y
Por tanto.D1 (3, -2) =18+4
= 22
Este resultado concuerda con los resultados de los ejemplos ilustrativos 1 y 2. Alcomparar la definición de derivada parcial (3.1) con la definición de derivada común,se observa que D1 (x, y) es la derivada ordinaria de f si se supone que f es una funciónsólo de la variable x ( esto es, y se toma como una constante) ( X y ) es la, y D 2 derivada ordinaria de f si f se piensa como una función sólo de la variable y(mientras que x se considera constante). De modo que los resultados del ejemplo 1pueden obtenerse más fácilmente al aplicar los teoremas de diferenciación ordinaria si
y se toma como constante cuando se calcula D1 (X y), y si x se considera constante,
cuando se obtiene D .(x, y). El ejemplo siguiente ilustra esto.2
EJEMPLO 2 Calcule x (x, y) y y(x, y)si (X, y) = 3x3 - 4x 2y + 3xy2 + sen xy 2
Solución Si se considera como una función de x y se loma como constantea y, entonces se obtiene
x (x, y) = 9x 2 - 8xy + 3y 2 + y2 cosxy 2
Al considerar como una función sólo de y y se tiene a x como constante resulta
y(x, y) = -4x2 + 6x y + 2xy cos x y2
Las interpretaciones geométricas de las derivadas parciales de una función de dosvariables son semejantes a la de una función de una variable.La gráfica de una función de dos variables es una superficie que tieneecuación z = (x, y). Si y se considera como constante (digamos, y = y0 ).entonces z = (x, y 0) es una ecuación de la traza de esta superficie en elplano y = y0 . La curva puede representarse mediante las dos ecuaciones
y = yo y z = (X, y) (5)
Debido a que la curva es la intersección de estas dos superficies.Entonces. D1 (x 0 ,y0) es la pendiente de la recta tangente a la curva representada porlas ecuaciones (5) en el punto P0 ( x o , y ), ( x o , y o) del plano y = y 0
De manera análoga. D2 (x0 , y 0 ) representa la pendiente de la recta tangentea la curva que tiene ecuaciones
x = X0 y z = (x, y)
en el punto P0 del plano x = x 0. Las figuras 1 y 2 muestran una porción de la curva yde la recta tangente.
o
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P0(x0-y0 (x0-y0)
FIGURA 1
54
FIGURA 2
EJEMPLO 3 Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersecciónde la superficie
22224
2
1yxz
con el plano y = 2 en el punto (2, 2, 3).
Solución La figura 3 muestra la curva de intersección de la superficie y del plano, así como
la recta tangente. La pendiente requerida es el valor dex
z
5
5en el punto (2, 2, 3).Así
222242 yx
x
x
z
5
5
De modo que en (2, 2, 3),
32
1
122
2
5
5
x
z
Cuando se calcula una derivada parcial en un punto particular, en ocasiones es necesarioaplicar las fórmulas (1) a (4) como se muestra en el ejemplo siguiente.
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EJEMPLO 4 . Sea
-
-!
"
%
0,0,0
0,0,, 22
22
yxsi
yxsiyx
yxxy
yxf
Demuestre que 00,000,0 211 fqueyf
SoluciónSe calculará f1 (0,0) a partir de (3) con y0 =0, y f2(0,0) a partir de (4) con x 0 = 0.
00
0lim0lim
00lim00lim
0
0,0,0lim0,0
0
0,00,lim0,0
00
00
02
01
))
))
))
yx
yx
yx
yx
y
fyff
x
fxff
La figura 4, que muestra la superficie definida por la función del ejemplo 4, apoya el hechode que f1 (0,0) y f2 (0,0) son iguales a cero. La intersección del plano y = 0 y la superficie esel eje x, y f1(0,0) es la pendiente del eje x en el plano xz, la cual, por supuesto, es cero. Demanera similar, f 2 (0,0) es la pendiente del eje y en el plano yz, la cual también es cero.
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La figura 4, que muestra la superficie definida por la función del ejemplo 4, apoya elhecho de que 1 (0, 0) y 2 (0,0) son iguales a cero. La intersección del plano y=0 y lasuperficie es el eje x, y 1(0,0) es la pendiente del eje x en el plano xz la cual, porsupuesto, es cero. De manera similar, 2 (0, 0) es la pendiente del eje y en el planoyz la cual también es cero.
56
EJEMPLO 5 Para la función del ejemplo 4, demuestre que:(a) 1 (0, y) = -y para toda y; (b) f2(x, 0) = x para toda x.
Solución(a) Si y % 0.de (3). (b) Si x % 0. de (4).
-
-!
"
%
)0,0(),(0
)0,0(),()(
),( 22
22
yxsi
yxsiyx
yxxy
yxf
x
yx
yxxy
x
yfyxfyf
xx
xx
0)(
lim
0
),0(),(lim),0(
22
22
1
$
$
y
yx
yxxy
y
xfyxfxf
oy
oy
0)(
lim
0
0,(),(lim)0,(
22
22
2
)
)
y
y
y
Yy
yxy
oy
)
2
3
22
22 ),(lim
x
x
x
yx
yxx
oy
)
2
3
22
22)(
lim
(a) Como 1(0, y) = -y si y %0 y, del ejemplo 4, 1(0,0) = 0, se concluye que 1 (0, y) =-y para toda y.(b) Puesto que 2 (x, 0) = x si x% 0 y. del ejemplo 4,2 (0,0) = 0, se infiere que 2 (x, 0) = x para toda x.
Debido a que toda derivada es una medida de una tasa de variación, una derivada parcialse puede interpretar de la misma manera. Si es una función de las dos variables x y y, laderivada parcial de f con respecto a x en el punto P0 (x0,y ) proporciona la tasa de0
variación instantánea, en P0 de (x,y) por unidad de variación de x (x varia y y se mantiene
fija en y0).De manera semejante, la derivada parcial de con respecto a y en P0 proporciona la tasa devariación instantánea, en P0, de (x,y) por unidad de variación de v.
EJEMPLO 6 De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado, si atmósferas esPla presión. V litros es el volumen y T grados es la temperatura absoluta en la escalaKelvin, se tiene la fórmula
PV = kT (6)
Donde k es una constante de proporcionalidad. Suponga que el volumen de un gas de cienorecipiente es de 12 litros y que la temperatura es de 290°K. con k = 0.6. (a) Calcule la tasa devariación instantánea de por unidad de variación de T si V permanece fijo en 12. (b) UtilicePel resultado del inciso (a) para aproximar la variación de la presión si la temperatura seincrementa a 295°K. © Calcule la tasa de variación instantánea de V por unidad de variación deP si T permanece fija en 290°K. (d) Suponga que la temperatura se mantiene constante. Utiliceel resultado del inciso (c) para calcular la variación aproximada del volumen necesario paraproducir la misma variación en la presión que se obtuvo en el inciso (b).
Solución Al sustituir V por 12. T por 290 y k por 0.6. se obtien e P = 14.5.
(a) Si se resuelve (6) para P cuando k = 0.6 resulta
V
TP
6.0
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La tasa de variación instantánea de P por unidad de variación de T, si V se mantiene
constante, esT
P
5
5. esto es
VT
P 6.0
5
5
Cuando T = 290 y V = 12.T
P
5
5= 0.05. lo cual es la respuesta requerida.
(b) Del resultado del inciso (a), cuando se incrementa en 5 unidades (de 290 a 295) y VTpermanece fijo un incremento aproximado de P es 5(0.05) = 0.25.
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Conclusión: Si la temperatura se incrementa de 290°K a 295°K. entonces elincremento de la presión es aproximadamente 0.25 atm.
(c) Al resolver (6) para V cuando k = 0.6, se obtiene
P
0.6VV
La tasa de variación instantánea de V por unidad de variación de P. si T
permanece fijo, esP
V
55
de modo que
2
6.0
P
T
P
V
55
Cuando T = 290 y P = 14.5,
2)5.14(
)290(6.0
55
P
V
= -0.83
la cual es la lasa de variación instantánea de V por unidad de variaciónde P cuando T = 290 y P = 14.5 si T permanece fija en 290.
(d) Si P se incrementa en 0.25 y T permanece fija, entonces del resultadodel inciso (c) la variación de V debe ser aproximadamente.
(0.25)(-0.83) = -0.21
Conclusión: El volumen debe disminuirse aproximadamente en 0.21 litros para quela presión aumente de 14.5 atm a 14.75 atm.
A continuación se extenderá el concepto de derivada parcial a funcionesde n variables.
3.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES
Sea P(x1. x2,... xn) un punto de Rn, y sea f una función de las n variables x 1, x2,..., xn
Entonces la derivada parcial de f con respecto a x k es la función, denotada por Dk f,
tal que su valor de función en cualquier punto P del dominio de está dado porDk(x1,x2……xn)
k
nnkk
oy x
xxxfxxxxxf
44
)
).......,()................(lim 21...................21
si este límite existe.
En particular, si es una función de las tres variables x, y y z entonceslas derivadas parciales de están determinadas por
58
z
zyxfzzyxfzyxfD
y
zyxfzyyxfzyxfD
x
zyxfzyxxfzyxfD
oz
oy
ox
44
44
44
)4
)4
)4
),,(),,(lim),,(
),,(),,(lim),,(
),,(),,(lim),,(
3
2
1
si estos limites existen.
EJEMPLO 7 Dada(x, y, z) = x2y + yz2 + z3, verifique quex1 (x, y, z) - y2(x, y, z) + z 3(x, y, z) = 3 (x,y,z)
Solución Si se mantienen y y z constantes resulta 1 (x.y.z) = 2xyAl considerar x y z constantes se obtiene 2 (x.y.z) = x2 + z2
Cuando x e y se consideran constantes se tiene3(x.y.z) = 2yz + 3z2
Por tanto,x1(x,y,z) + y2(x,y,z) + z3(x,y,z) = x(2xy) + y(x2+z2)+z(2yz+3z2)
= 2x2y + x2y + yz2+yz2+2yz2+3z3
3(x2y+yz2+z3)= 3(x,y,z)
Si es una func ión de dos var iab les, entonces, en genera l , D1 yD2 f también son funciones de dos variables, y si tas derivadas parcialesde estas funciones existen, se denominan segundas derivadas parciales de . Encontraste. D1 y D 2 r e c i b e n e l n o m b r e d e p r i m e r a s d e r i v a d a sparciales de . Existen cuatro segundas derivadas parciales de una funciónde dos variables. Si f es una función de las dos variables x e y, las notaciones
xy
fffDfDD xyf 55
5 2
121212 )(
Expresan la segunda derivada parcial de f que se obtiene al derivar parcialmente con respecto a x y después derivar parcialmente el resultado con respecto a y. Estasegunda derivada parcial está definida por
y
yxfyyxfyxf
oy 44
)4
),(),(lim),( 11
12
Si este límite existe. Las notaciones
2
2
111111 )(x
ffffDfDD xx 5
5
Representa la segunda derivada parcial d e que se obtiene al derivar parcialmentedos veces con respecto a x, y se define como
x
yxfyxxfyxf
ox 44
)4
),(),(lim),( 11
11 (8)
=
Excelencia Académica Análisis Matemático III
Universidad Peruana Los Andes 59
Si existe este límite. Las otras segundas derivadas parciales están definidasde manera análoga.
y
yxfyyxfyxf
x
yxfyxxfyxf
oy
ox
4
4
4
4
)4
)4
),(),(lim),(
),(),(lim),(
2222
2221
Si estos límites existen.Las definiciones de las derivadas parciales de orden superior son similares. Existendiferentes notaciones para una derivada parcial específica,Por ejemplo.
2
33
112112xy
f
xxx
ffDfD xxy 55
5555
5
Representan la tercera derivada parcial de que se obtiene al derivar parcialmentedos veces con respecto a x y después una vez con respecto a y. En la notación desubíndice, el orden de la derivación parcial es de izquierda a derecha; en cambio, en
la notaciónxxy
f
55553
, el orden se considera de derecha a izquierda.
EJEMPLO 8
Sea (x,y) = ex sen y + In xy
Calcule: (a) D11 (.x,y: (b) D12(X,Y); (c)2
3
yx
f
555
Solución
yeyxfDb
xsenyeyxfDa
xsenye
yxy
senyeyxfD
x
x
cos),()(
1),()(
1
)(1
),(
12
211
2
2
1
(c) A fin de calcular2
3
yx
f
555
, se deriva parcialmente dos veces con respecto
a y , después una vez con respecto a x. Así se tiene
senyeyx
f
ysenye
yyye
y
f xxf
x 55
5
55
55
2
3
22
2 11cos
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Excelencia AcadémicaAnálisis Matemático III
Las derivadas parciales de orden superior de una función de n variables se definen demanera análoga a las definiciones de las derivadas parciales de orden superior para unafunción de dos variables. Si es una función de n variables, entonces pueden tenerse n0segundas derivadas parciales de en un punto particular. Esto es, para una función de tres0variables, si todas las segundas derivadas parciales existen, entonces se tienen nueve deestas derivadas:
2
11, 12,13,21,22,23,31,32, y 33.
60
EJEMPLO 9 . Calcule D 132 f(x,y,z) siF(x,y,z) = sen(xy+2z)
Solución
zxyxyzxysenzyxfD
zxyysenzyxfD
zxyyzyxfD
2cos222,,
2(2,,
2cos,,
132
13
1
EJEMPLO 10 Sea (x,y) = x 3y – y cosh xyCalcule: (a) xy(x. y); (b) yx(x. y).
Solución(a) x (x. y) = 3x 2y - y
2 senh xyxy(x, y) = 3x2 - 2ysenhxy - xy2 cosh xy(b) y (x,.y) = x3 - coshxy - xysenhxyyx(x.y) = 3x2 - y senh xy - ysenh.xy – xy2cosh.xy
= 3x 2 - 2y senhxy - xy2 cosh xy
Observe en el ejemplo 10 que las derivadas parciales "mixtas" xy (x,y) (x, y) son iguales.y yx
De modo que para esta función particular, cuando se calcula la segunda derivada parcialcon respecto a x y después con respecto a y, el orden de derivación no importa. Esta condición
nose cumple para muchas otras funciones. Sin embargo, el ejemplo siguiente muestra que estosiempre es verdad.
EJEMPLO 1 1 Calcule 12¡(0,0)y 21(0,0)si
-
-!
"
%
)0,0(),(0
)0,0(),()(
),(),( 22
22
yxsi
yxsiyx
yxyx
yxf
Solución En el ejemplo 5. se demostró que para esta función1(0,y) = -y para toda y (11) y2(x,0) = x para toda x
De (7)
y
yf
y 4
4
)4
)0,0()0,0(lim)0,0( 11
012
y de (11) , 1(0,4y) = -4y 1(0.0) = 0; de modo que
)9(
1)1(lim0
lim)0,0(00
12
De
y
yf
yy
44
)4)4
x
xf
x 44
)4
)0,0()0,0(lim)0,0( 21
021
Sin embargo, de (12), 2(4x, 0) = 4x y 2((0,0) = 0.
Por tanto.
11lim0
lim)0,0(00
21
44
)4)4 xx x
xf
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Universidad Peruana Los Andes 61
Para la función del ejemplo 11 las der ivadas parcia les mixtas12(x,y) y 21 (x,y) no son iguales en (0,0). Un conjunto de condiciones para que12;(.x0.y0) y 21(x0,y0) sean iguales se da en el teorema 3.3, el cual se presenta acontinuación. La función del ejemplo 11 no satisface las hipótesis de este teoremaya que f 12 y f 21 son discontinuas en (0,0). Se deja como ejercicio demostrar esto(refiérase al ejercicio 64).
3.3 TEOREMASuponga que es una función de las variables x e y , que está definidaen e l d i sco ab ie r t o B (x 0,y0 ); r) y que x. y. xy y yx está definidasen B. Además, suponga que xy y yx son continuas en B. Entonces
xy (x0,y0) = yx(x0,y0)
Como un resultado del teorema 3.3 se tiene que si la función / dedos variables tiene derivadas parciales continuas en algún disco abierto, entonces elorden de derivación parcial puede cambiarse sin afectar el resultado; esto es.D112= D121= D211D1122= D12l2= D1221 = D2121 = D2211 etc.
En particular, suponiendo que todas las derivadas parciales son continuas enalgún disco abierto, se puede demostrar que D211 = D112 al aplicar el teorema 3.3de manera repetida. Al hacer esto se obtiene
D211= D1 (D21)= D1 (D12)=D1[D2(D1)]=D2[D1(D1)]= D2(D11)= D112
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PROBLEMAS RESUELTOS1. El volumen del gas v es función de su temperatura y presión v = f(P,T). Elcoeficiente medio de la expansión del gas, a la presión constante y el cambio, de latemperatura T1 hasta T2 se traduce por la expresión
)( 121
12
TTV
VV
¿Qué es lo que podríamos denominar el coeficiente de expansión, a la presiónconstante y a la temperatura dada To ?.
Solución
Como V = f(P,T), PV = nRT == >V =p
nRT… (1)
Como V, T son variables se tiene :
P1
2
V
Vdv = nR
1
2
T
TdT P(V2 - V1) = nR(T2 - T1 )
P
nR=
12
12
TT
VV
… (2)
De (1) se tiene:t
v
55
=P
nR… (3)
De la condición:1
1
V
P
nR=
)( 121
12
TTV
VV
= coeficiente; de expansión de (3), para
volumen = V y una temperatura = To se tiene1
V t
v
55
= coeficiente de expansión.1
62
dado del tiempo a lo largo de la barra.
3. El área S del rectángulo se expresa por la fórmula S = bh, donde b es la base
y h la altura. Hallarh
s
55
,b
s
55
y dar interpretación geométrica de los resultados
obtenidos.Solución
Como S = bh entonces:
2. La temperatura en punto A dado de la barra OX es función de la abscisa x delpunto A y el tiempo T : ?= f(x,t) ¿Cuál sería la interpretación física de las derivadas
parcialest5
56y
x556
y.
Solución
dx
d6= F
1,
dt
dxviene a ser la velocidad del cambio de temperatura en el punto
dado.d6 dt
= F 1 viene a ser la velocidad del cambio de la temperatura en el momentodx dx
,
h
s
55
= b = es la velocidad de variación del área en función de la altura del rectángulo.
b
s
55
= h = es la velocidad de variación del área en función de la base del rectángulo.
4. Sean dadas dos funciones u = 22 xa (a es constante), y
z = 22 xy . Hallardx
duy
x
z
55
, comparar los resultados.
Solución
U = 22 xa = = >dx
du=
22xa
x
Z = 22 xy = = >x
z
55
=
55
22
22
2
)(
xy
xyx =
222
20
xy
x
= = >x
z
55
=22
xa
x
Hallar las derivadas parciales de las funciones que se dan a continuaciónrespecto a cada una de las variables independientes (x, y, z, u, v, t ó y џ sonvariables).
5. z = x – y Solución
z = x – y = = >x
z
55
= 1 ^y
z
55
= -1
6. z = x3 y - y3 x
Solución
z= x3 y – y3x ==>x
z
55
= 3x2 - y3
y
z
55
= x3 – 3y2x
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Universidad Peruana Los Andes 63
7. = axe –t + bt, (a,b constantes)Solución
= axe –t + bt ==>x5
56= ae-t
= axe –t + btt5
56= -axe-t +b
8. z =v
u+
u
v
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Solución
u
z
55
=2
1
u
v
v ,
v
z
55
= -uv
u 12
9. z =22
33
yx
yx
Solución
z =22
33
yx
yx
= = >x
z
55
= 222
3224 234
yx
xyyxx
z =22
33
yx
yx
= = >y
z
55
= 222
3224 23
yx
yyyxy
10. z = (5x2y – y3 + 7) 3
Solución
z = (5x2y – y3 + 7) 3 = = >x
z
55
= 3(5x2y – y3 + 7) 2 (10xy)
y
z
55
= 3(5x2y – y3 + 7) 2 (5x2-3y2)
11. z =x
y
yx3
Solución
z =x
yyx
3 = = >
x
z
55
=3
4
3x
yy
y
z
55
=xy
x3
1
2
12. z = Ln (x + 22 yx )Solución
z = Ln (x + 22yx ) = = >
x
z
55
=22
221
yxx
yx
x
=22
1
yx
z
55
=22
22yx
y
= y
y yxx 2222 ( yxxyx
64
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x13. z = arc.tg
ySolución
z = arc.tgy
x= = >
x
z
55
=2222 /1
/1
yx
y
yx
y
y
z
55
=2222
2
/1
/
yx
x
yx
yx
14. z =
x
ytgarc.
1
Solución
z =
x
ytgarc.
1==>
x
z
55
=)/(.
/1
/
)/(.
))/(.(
2
22
2
2 xytgarc
xy
xy
xytgarc
xytgarcx
55
=)/(.)( 222 xytgarcyx
y
y
z
55
=)/(.
/1
/1
)/(.
)/.(
2
22
2xytgarc
xy
x
xytgarc
xytgarcy
55
=)/(.)( 222 xytgarcyx
x
15. ¿Qué ángulo forma la tangente a la línea z=4
22 yx y=4 en el punto (2,4,5)
con la dirección del eje de abscisas?Solución
Como tiene la dirección de eje x entonces:
tg =x
z
55
1)5,4,2(2
)5,4,2( X
tg = 1 = = >4
6
16. ¿Qué ángulo forma la tangente o la línea Z= 221 yx x=1 en el punto
(1,1, 3 ) con la dirección positiva del eje de ordenadas?Solución
Como tiene la dirección de eje y entonces:
tg =y
z
55
)3,1,1(1
)3,1,1(22 yx
y
6
6
6
tg =3
3
3
1
111
1
como tg =3
3= = > 30º
17. ¿Qué ángulo forma al cortarse las líneas planas engendradas por la
intersección de las superficies:6
22 y
xz y3
22 yxz
por el plano y = 2?
6
6 6
65
Solución
Para y=2, z = x2 +3
2, z =
3
42 x
Z = x2 +3
2= = > x2 +
3
2=
3
42 x= = > x2 =1 = = > x=1
Z =3
42 x
xx
z2
55
= = > 155
xx
z= 2
3
2x
x
z
55
15
5x
x
z=
3
2
7
4
)3/2(21
3/22
1.1
13
1
21
21
5
5
5
5
5
55
x
x
z
x
z
xx
zx
x
z
tg6
7
46tg = = > ? = arc.tg
7
4
En este fascículo se realiza la definición de derivadas parciales de una función de n variables,además se mencionan los teoremas esenciales que desarrollan en este tema para el cálculoinmediato de problemas de aplicación.
Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú,Tercera Edición. Lima, Perú 1995Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú2002Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999
RESUMEN
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
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AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA
En los ejercicios 1 a 6 explique la definición 3.1 a fin de calcular la derivada parcial.
1. ),( yxf = 6x + 3y - 7; D1 ),( yxf
2. ),( yxf = 4x2 - 3xy ; D1 ),( yxf
3. ),( yxf = 3xy + 6x - y2; D2 ),( yxf
4. ),( yxf = xy2 – 5y + 6: D2 ),( yxf
5. ),( yxf = ),(;22 yxfyx x
6. ),( yxf = ),(:2
2yxf
yx
yxy
66
En los ejercicios 7 a 10, apliqué la definición 3.2 para determinar la determinar la derivada parcial7. ),,( zyxf = -x2y – 3xy2 + 2yz ; D2 ),,( zyxf
8. ),,( zyxf = -x2 + 4y2 + 9z2 ; D1 ),,( zyxf
9. ),,,,( trzyxf = xyr + yzt + yrt +zrt ; r(x,y,z,r,t)
10. (r,s,t,u,v,w) = 3r2st + st2y- 2tuv2 - tvw +3uw2 ; v(r,s,t,u,v,w)11. Sea (x,y) = x 2 – 9y2. Calcule D 1 (2, 1) al aplicar (a) la fórmula (1); (b) laFórmula (3); (c) la definición 3.1 y después sustituir x y y por 2 y 1. respectivamente.12. Para la función del ejercicio 11. Calcule D2 (2, 1) mediante la aplicación de (a)la fórmula (2): (b) la fórmula (4); ( c) la definición 3.1 y después remplazando x e ypor 2 y 1, respectivamente.
En los ejercicios 13 a 24, calcule la derivada parcial considerando todas lasvariables, excepto una, como constantes y aplicando los teoremas para laderivación ordinaria.
13. ),(;4),( 1
223 yxfDyxyyxf
14. ),(;;
),( 222yxfD
xy
yxyxf
15.(6,7)= sen36 cos27; 0(6,7)16. (r,6) = r2cos6 - 2 r tan 6;0(r,6)
17. z= ey/x Iny
z
y
x
55
,2
18. r = e-6 cos (6 + 7) ;655r
,
19. u = (x2+y2+z2)-1/2
z
u
55
,
20 u = tan -1 (xyzw);w
u
55
21. (x,y,z) = 4xyz + In (2xyz); 3(x,y,z)22. (x,y,z)= exy senh 2z – e xy cosh 2z ; z(x,y,z)23. (x,y,z) = exyz + tan-1 ; y(x,y,z)24. (r, 6,7)= 4r2 sen6 + 5er cos 6 sen 7 - 2 cos 7 2(r, 6,7)
25. (r, 6) Si = r tan 6 - r2 sen 6. (a)calcule 1( ;4
1,2 ) (b) (3,).
26. Si (x,y,z)=2xye + ln(y +z). calcule (a) 1 (3, 0, 17); (b) 2 (1,0,2);(c) 3(0,0,1).
En los ejercicios 27 y 28, calcule f x(x, y) y y(.(x y).
27. (x,y,) = 8y
xInsentdt
28. dteyxfy
x
t8 cos),(
En los ejercicios 29 a 38 haga lo siguiente: (a) calculeD11 (x,y,z) ; (b) obtenga D 22f(x, y); (c ) pruebe que D 12 (x,y) y D21f(x, y) soniguales.
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29. (x,y,z) = 2
2
xy
yx
30. (x,y,) = 2x3 – 3x2y + xy2
32. (x,y,)= e-x/y + In xy
31. (x,y,) = e2xsen y
67
35. (x,y,) = 4x senhy + 3ycosh.x36. (x,y,) == xcos y – y ex
37. (x,y,) =ex cos y + tan-Ix ln y38. (x,y,) = 3x cosh y – sen-1 ex
En los ejercicios 39 a 46 calcule las derivadas parciales indicadas.
39. (x,y) = 2x3y + 5x2y2 + 3xy2 (a) 121 (x,y) (b) 211(x,y)40. G(x,y) = 3x3y2 + 5x2y3 + 2x; (a) Gxyx(x.y): (b) Gyxy (xy)41. (x,y,z) = yex + zey +ez ,(a) xz (x,y,z); (b) yz(x,y,z)42.g(x,y,z) = sen (x,y,z);(a)g 23(x,y,z); (b) g12(x,y,z)43. (x,,z) = w2 cos ez;(a) 121 (w,z): (b) 212(w,z)44. (u,v) =In cos(u-v); (a) uuv (u,v): (b) uuv(u,v)45. g(r,s,t) =In(r2 +4s2-5t2);(a)g 132 (r,s,t) (b) g122(r,s,t)46. (x,y,z) =tan-1(3xyz);(a) 113 (x,y,z) (b) 123(x,y,z)
47.Sea ( u=sen tr + In r
t . Verifique que r dtdu +r dr
du = 0.
48.Sea w = x2 y+ y2z +z2 x. Verifique quedxdw +
dydw +
dzdw =(x+y+z) 2
En los ejercicios 49 a 52 demuestre que u(x,y) satisface la ecuación
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2
2
axua + 2
2
ayua = 0, lo cual se conoce como ecuación de Laplace en R 2.
49. u(x,y) = In(x2 +y2)
50. u(x,y) = tan-122
2yx
xy
33. (x,y,) = (x2 + y2)tan-1 xy
34. (x,y,) = sen-12
3xy
51. u(x,y) = tan-122 yx
xx
y
52. u(x,y) = ex seny + ey cos x
53. La ecuación de Laplace en R3es2
2
x
u
55
+2
2
y
u
55
+2
2
z
u
55
= 0
Pruebe que la función U(x, y, z) = (x2 +y2+ z2) -1/2 satisface esta ecuación.54. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de lasuperficie
36x2 - 9 y2 + 4z2 +36 = 0 con el plano x=1 en el punto )3,12,1( . Interprete estapendiente como una derivada parcial.
68
DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL
Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:
- Define la diferencial total de funciones de mas de una variable
- Aproxima el valor de una función de mas de una variable
DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTALSe definirá la diferenciabilidad de funciones de más de una variable por medio de una ecuaciónque involucra el incremento de una función. A fin de motivar esta definición, primero se obtieneuna representación del incremento de una función de una variable que es semejante alpresentado en la definición (4.2) de diferenciabilidad.
Recuerde que si f es una función diferenciable de x y y = f(x), entonces:
0lim x
yf(x)
x4 )4 4
Donde x4 y y4 son los incrementos de x e y, y
( ) ( )y f x x f x4 4 Cuando x4 es pequeño y 0,/x y x4 % 4 4 difiere de )(' xf por un número
pequeño que depende de x4 , el cual se denota por . Asíyx
4 4si 0x4 %
Donde es una función de x4 . De esta ecuación se obtienexxxfy 444 )('
Donde es una función de x y 0 conforme 0xDe lo anterior se deduce que si la función f es diferenciable en
0x , entonces el
incremento de f en 0x , denotado por 0f(x)4 , está determinado por:
xxxfxf 444 )(')( 00 dondelim 0
0r
4 )
INDICADORES DE LOGRO
f ’(x)
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En el caso de las funciones de dos más variables, se utiliza una ecuación semejante a la anteriora fin de definir la diferenciabilidad de una función, y de la definición se establecen criterios con elpropósito de determinar la diferenciabilidad de una función en un punto. A continuación sepresentan los detalles para una función de dos variables y se inicia con la definición deincremento de una función de este tipo.
69
4.1. DEFINICIÓN DE INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Si f es una función de las variables x e y, entonces el incremento de f en el punto
denotado por 4 , está dado por:
0 0 0 0 0 0, , ,f x y f x x y y f x y4 4 4
La figura 1 ilustra esta definición para una continua en un disco abierto que contiene
los puntos y 0 0,x x y y 4 4 . También la figura muestra una porción
de la superficie z= 4 . Se observa que f QR4 , donde Q es el
punto 0 0 0 0, , ,x x y y f x y 4 4 y R es el punto que tiene coordenadas
0 0 0 0, , ,x x y y f x x y y 4 4 4 4 .
4.2. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE DE DOS VARIABLESSi f es una función de las variables x y y, y el incremento de f en (x 0,y0 ) puedeescribirse como.
0 0 1 0 0 2 0 0, ( , ) ( , )f x y D f x y x D f x y y4 4 4 Donde
1 y
2 son funciones de x4 y y4 , tales que
conforme , entonces f es diferenciable en .
Ejemplo ilustrativo 2Se utilizará la definición 4.2 para demostrar que la función del ejemplo ilustrativo 1es diferenciable en todos los puntos de R 2, Se debe probar que para todo punto
de R2 se puede determinar 1 y 2 , tales que:
0 0 1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , ) ( , )f x y D f x y x D x y y x y4 4 4 4 4
0f x , y0 0
x , y0
0x , y
0
0x , y
0 f x, y
yx 44 21
1 20 y ) ) 0
( x, y) (0,0)4 4 ) 0(x , y )0
0(x , y )0
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Y1 2
0 y 0) ) conforme
Como2( , ) 3 ,f x y x xy entonces
1D f 2 0 0D x y
Con estos valores y el valor de
0 0 1 0 0 2 0 0 0 0
El miembro derecho de la ecuación anterior puede expresarse en las siguientesformas:
a)2
0 02 ( ) ( )y y y x x y y1 9 4 4 4 4 43 :b) 0 0( 2 ) ( )y y x x y x y y 4 4 4 4 4 4
0 0( 2 )x y x x y y4 4 4 4
d) ' (0 00 2x y x x y x y y4 4 4 4 4 4g
( x, y) (0,0)4 4 )
0(x , y )0f
0(x , y )03 - y
0
2
c) ' (2)( y4
70
Observe que sólo es necesario de determinar un par de valores de1 2
y El teorema siguiente afirma que para determinar una función de dos variables, ladiferenciabilidad implica la continuidad, de igual manera que para una función deuna variable.
4.3 TEOREMA
Si una función f de dos variables es diferenciable en un punto, entonces es
continua en ese punto.
Demostración.- Si f es diferenciable en el punto , entonces, de la
definición 4.2. se tiene:
0 0 0 0( , ) ( . )f x x y y f x y 4 4
1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , )D f x y x D f x y y x y 4 4 4 4
0(x , y )0
Por lo que existen al menos cuatro posibles de valores de2
1 0 2 02 ( ) yy y y x y 4 4 4
1 0 2 02 yy y x y x y 4 4 4 4
2
1 2 0 0( ) y 2y y x x y 4 4 40 y 2y x x y x y 4 4 4 4 1 2 0 0
Para cada par:
lim 0 y lim 0 1 2( . ) (0,0) ( . ) (0,0)x y x y4 4 ) 4 4 )
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Donde:1 2
0 y 0) ) conforme . Por tanto,
0 0( )f x xy y 4 4
0 0 1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , ) ( , )f x y D f x y x D f x y y x y 4 4 4 4
Al tomar el límite de la ecuación en terror conforme se obtiene.
0 0lim ( , ) ...................(1)f x x y y f 0 0( , )x y 4 4
Si se considera0 0
yx x x y y y4 4 , entonces “ ”
equivalente a que . Así, de (1)
lim ( , )f x y f
Lo cual demuestra que f es continua en
( x, y) (0,0)4 4 )
( x, y) (0,0)4 4 )
( x, y) (0,0)4 4 )
( x, y) (0,0)4 4 )
“ (x, y) ) (x , y ) ”0 0
(x, y) ) (x , y )0 0
0 0( , )x y
0 0( , )x y
Se dijo que para una función f de una variable, la existencia de la derivada de fen un número implica la diferenciabilidad y, por tanto, continuidad en ese número.Sin embargo, como lo muestran los ejemplos siguientes, para una función de dosvariables la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica ladiferenciabilidad n ese punto.
71
Ejemplo 1
Dada:
Demuestre que1 2
(0,0) y (0,0)D f D f existen y que, sin embargo, f no es
diferenciable en (0,0).
Solución:
1 20 0
( ,0) (0,0) (0, ) (0,0)(0,0) lim (0,0) lim
0 0x x
f x f f y fD f D f
x y) )
0 0
0 0 0 0lim limx xx y) )
0 0lim0 lim0
x x) )
0 0
Por tanto 1 2(0,0) y (0,0)D f D f existen.
2 2si (x,y) (0,0)
xy
x y%
0 si (x,y) = (0,0)
( , )f x y
En el ejemplo 6 del fascículo 2 se demostró que para esta función
lim no existe; en consecuencia, f no es continua en (0,0) ,
entonces, por el teorema 4.3 f no es diferenciable en (0,0) .En la figura 2 se muestra una porción de la gráfica de esa función. Las derivadasparciales en el origen existen aunque la función no es continua en el origen, esto sedebe a que , dependen sólo del comportamiento de
a lo largo de los ejes x y y, mientras que la continuidad de f en (0,0)
depende de comportamiento de f en un disco abierto que tenga su centro en el
origen.
Aunque la existencia de las derivadas parciales de una función de dos variables enun punto no garantiza la diferenciabilidad en ese punto, existen condicionesadicionales que se le piden a la función que proporcionan tal garantía. Estascondiciones se enuncian en el teorema siguiente, cuya demostración se presenta enel suplemento de esta sección.
(x, y) ) (0, 0)
1 2(0,0) y (0,0)D f D f
( , )f x y
( , )f x y
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72
4.4. TEOREMA
Sea f una función de x y y tal que1 2
yD f D f existen en un disco abierto
0B(P ,r) donde
0P es el punto ),( 00 yx . Si
1 2yD f D f son continuas en
0P
entonces f es diferenciable en 0P .
Este teorema es mucho más fácil de aplicar que la definición 4.2 para demostrar ladiferenciabilidad de una función de dos variables. Por ejemplo, debido a que lasderivadas parciales de cualquier función polinomial son también funcionespolinomiales y como estas funciones son contínuas en cualquier punto de sudominio, el teorema 4.4. establece que las funciones polinomiales son diferenciablesen cualquier punto de su dominio.
Ejemplo 2: Utilice el teorema 4.4 para demostrar que la función definida por:( , ) lnyf x y xe y x
Es diferenciable en su dominio.Solución: El dominio de f es el conjunto de todos los puntos de
2IR para los
cuales 0x . Al calcular las derivadas parciales se obtiene.
1 ( , ) y yD f x y e x 1 ( , ) lnyD f x y xe x
Como 1 2yD f D f son continuas en todos los puntos de2
IR para los cuales
0x $ , entonces, 4.4 f es diferenciable en todos los puntos de su dominio.En el ejemplo 5 al final de este fascículo, se muestra cómo el teorema 4.4. puedeaplicarse para probar que una función particular definida a trozos es diferenciable.Si una función satisface las hipótesis del teorema 4.4 en un punto entonces sedefine que es continuamente diferenciable en el punto. Aunque la difenciabilidadcontinua en un punto es una condición suficiente para demostrar que una funciónsea diferenciable en un punto, no es una condición necesaria. Esto es, es posibleque una función sea diferenciable en un punto aunque sus derivadas parciales nosean continuas en ese punto. En los ejemplos 42 a 24 se presentan ejemplos deeste tipo de funciones.
La ecuación de la definición 4.4 es
0 0 1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , ) ( , ) ..(2)f x y D f x y x D f x y y y y4 4 4 4 4La expresión formada por los dos primeros términos del miembro derecho de esta
ecuación se denomina parte principal de f4 o diferencial total deenf
0(x , y )0
0(x , y )0
4.5. DEFINICIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN DE DOSVARIABLES
Si f es una función de las variables x y y, si f es diferenciable en (x,y), entoncesla diferencial total de f es la función de d f que tienen valores de función
determinados por:
1 2( , , , ) ( , ) ( , )df x y x y D f x y x D f x y y4 4 4 4Obsérvese que df es una función de las cuatro variables , si
(x)z f , en ocasiones se emplea dz en lugar de df( ), y se escribe
1 2( , ) ( , ) .........(3)dz D f x y x D f x y y 4 4
x, y4 4x, y,
x, y4 4x, y,
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Si en (3), x , entonces1
z x, D f (x,y)= 1 y ; de
modo que (3) proporciona dz x4 . Puesto que z = x , para esta función
dx x4 . De manera semejante, s i se considera y , entonces
; por lo que de (3) se obtiene dz y4como , entonces para esta función dy y4 . En consecuencia se define lasdiferenciales de las variables independientes como dx x4 y dx y4 , Entonces
(3) se puede expresar como:
................(4)
Y en le punto
0
En (2) sea z f dx x4 4 4 y dy y4 . Entonces
1 0 0 2 0 0 1 2( , ) ( , )z D f x y dx D f x y dy dx dy4 Al comparar esta ecuación y (5), se observa que cuando dx (es decir x4 ) y
dy (esto es y4 ) están cercanos a cero, y como 1 y 2 también estarían cerca de
cero, entonces dz es una aproximación para z4
La ecuación (4) con la notaciónz
x
55
yz
y
55
y se transforma en:
.....(6)z z
z dx dyx y
5 55
5 5Ejemplo 3Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto 6 pulg. de alturainterior, de 2 pulg de radio interior y de 0.1 pulg de grosor. Si el costo del metal es de40 centavos por pulgada cúbica, aproxime mediante diferenciales el costo total delmetal empleado en la elaboración del envase.
( , )f x y2
z x, D f (x,y)= 0
( , )f x y
1z x, D f (x,y)= 0 y
2z x, D f (x,y)= 1
z = x
1dz = D f (x,y)dy
0(x , y )0
1dz = D f (x ,y )dx + D f (x ,y )dy
0 2 0 0
0(x , y )0
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Solución:La figura 3 muestra el envase. Si V pulgadas cúbicas es el volumen de un cilindrocircular recto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces.
2V r h
74
22 rhdr r dh Con r = 2, h = 6, dr = 0.1, y dh = 0.2
22 (2)(69(0.1) (2) (0.2)dV
3.2De este modo, 3.2V 4 , por lo que el metal empleado en el envase es
aproximadamente3
3.2 pulg . Puesto que el costo del metal es de 40 centavos
por pulgada cúbica, entonces el número aproximado de centavos del costoaproximado es 128 402 .Conclusión: El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.Ahora se extenderán los conceptos de diferenciabilidad y de diferencial total parafunciones de n variables.
4.6. DEFINICIÓN DE INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN DE N VARIABLES
Si f es una función de las variables , y P es el punto
, entonces el incremento de f en P está determinado por:
1 1 2 2( ) ( , ,......., ) ( )n nf P f x x x x x x f P4 4 4 4
4.7. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE DE n VARIABLES
Si f es una función de n variables y el incremento de f en el
punto P puede escribirse como:
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) .... ( )
.......
n n
n n
f P D f P x D f P x D f P x
x x
4 4 4 4
4 4 4Donde:
, conforme
1x , x , x ,........ x2 3 n
1( x , x ,........ x )2 n
1x , x , x ,........ x2 3 n
1 20, ) ) 0 ....... 2 ) 0
El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre losvolúmenes de dos cilindros circulares rectos para los cuales r = 2.1, h=6.2 y r = 2 y h= 6, respectivamente. El incremento V proporciona e volumen exacto del metal,
pero como únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV . De (6)
V vdV dr
r h
5 5
5 5h5
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Entonces se dice que f es diferenciable en P .De igual manera que con el teorema 4.4 se puede demostrar que las condiciones
suficientes para que una función de n variables sea diferenciable en un punto P son
que las derivadas parciales existan en una bola abierta
B ( P, r ) y que sean continuas en P . Como en el caso de las funciones de dos
variables, para las funciones de n variables la diferenciabil idad implica lacont inu idad. S in embargo, la ex is tenc ia de las der ivadas parc ia les
en un punto no implica la diferenciabilidad de la función en
ese punto.
( x , x , x ,..... , x ) (0,0,0, ......,0)4 )1 4 2 34 4 n
1D f. D f........D f
2 n
1D f. D f........D f
2 n
75
4.8. DEFINICIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN DE nVARIABLES
Si f es una función de las n variables y f es diferenciable en P,
entonces la diferencial total de f es la función df que tiene valores de funcióndeterminados por
1 1 2 2( ) ( ) ...... ( )n nD f P x D f P x D f P x 4 4 4Si se considera se definen 1 2 2. ...... ndx x dx x dx 4 4 y
además se usa la notacióni
xx55 en lugar de se puede expresar la
ecuación de la definición 4.8 como
1 2
1 2
........ ..........(7)n
n
w w wdw dx dx dx
x x x
5 5 5 5 5 5
Ejemplo 4Las dimensiones de una caja son 10 cm. 12 cm. y 15 cm. Con un posible error de0.02 en cada medición (a) Aproxime mediante diferenciales el máximo error si elvolumen de la caja se calcula a partir de estas medidas. (b) Aproxime también elerror relativo.
1x , x ,........ x2 n
df (P, x , x , x ,..... , x )4 1 4 2 34 4 n
w f( ) 1x , x ,........ x2 n
D f(P)1
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Solución:La figura 4 muestra la caja.(a) Si V centímetros cúbicos es el volumen de la caja cuyas dimensiones son x,y y zcentímetros, entonces su volumen es:
V xyzEl valor exacto del error se de V4 , sin embargo, se empleará V4 como unaaproximación de V . De (7), para tres variables independientes
V V VdV dx dy dz
x y z
5 5 5 5 5 5
yzdx xzdy xydz
De la información dada 0.02, 0.02 y z 0.02x y4 4 4 Para determinar el máximo error del volumen se considera los errores máximos delas tres mediciones. Por lo que tomando
0.02, 0.02, 0.02, 10, 12 y 15dx dy dz x y z , se obtiene:
(12)(15)(0.02) (10)(15)(0.02) 9dV Así, 9V
76
2
2 2si (x,y) (0,0)
x y
x y%
Conclusión:El mayor error posible al calcular el volumen de la caja a partir de las medidas dadases aproximadamente 9 cm3.(b) El error relativo se obtiene al dividir el error entre el valor real. Por tanto, el errorrelat ivo al calcular el volumen de la caja a part ir de las mediciones
dadas V dVV V4 , como 9
1800V
V4 , entonces
0,005VV4
Conclusión:El error aproximado en porcentaje es de 0.5%
EJEMPLO 5Dada
Utilice el teorema 4.4 para demostrar que es diferenciable enf(0,0) .
f(x,y)
2
0 si (x,y) = (0,0)
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Solución:
Para calcular 1D f , se considerarán dos casos:
Si , entonces:
1 0
f f(x,0) - (0,0)(0,0)
0xD f
x)
0
0 - 0=limx x)
= 0
( , ) = (0,0) yx y ( , ) = (0,0)x y( , ) = (0,0)x y
lim
Si (x,y) (0,0)% , entonces . A fin de calcular se utiliza el
teorema para la derivada ordinaria de un cociente y se considera y como constante.2 2 2 2 2
2 2 2
2 ( ) 2 ( )
( )
xy x y x x y
x y
4
2 2 2
2
( )
xy
x y
2
2 2( )
x y
x y
( , )f x y
2
( , )x yD f1
Por lo tanto, la función está definida por
4
2 2
2
( )
xy
x y
D f1
( , )x yD f1
si (x,y) (0,0)%
0 si (x,y) = (0,0)
De la misma forma se obtiene la función , definida por
4
2 2 3
2
( )
xy
x y
D f2
( , )x yD f2
si (x,y) (0,0)%
0 si (x,y) = (0,0)
77
Por tanto como existen en todo disco abierto que tenga su centro en elorigen. Queda por demostrar que y son continuas en (0,0) . Como
, entonces será continua en (0,0) si:
lim
Por tanto, debe probarse que para cualquier 0$ existe una 0 $ tal que
2 20si x y entonces
4
22 2
2xy
x y
(8)
D f1
D f2
D f1
D f2
1(0,0) = 0D f D f
1
1(0,0) = 0D f
(x, y) ) (0, 0)
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4
22 2
2xy y
x y
4
22 2
2 xy
x y2 22 x y
De modo que una elección adecuada para δ es 2δ =, esto es1
δ=2 con esta
δ se tiene el argumento siguiente:
2 2 10 δ y δ =
2x y 2 2 1
2 x 22
y
78
Por lo tanto, se ha demostrado que se cumple (8). N consecuencia. escontinua en (0,0). En la misma forma se puede probarse de que es continua
D f1
D f2
2 2 2 2 2
22 2
2 x ( )y x y
x y
2
22 2
2 x y
x y
222
4
)(
2
yx
xy
en (0 ,0 ). Por lo que se concluye, por el teorema 4.4. que es diferenciable enf(0,0).Las figuras 5, 6 y 7 muestran gráficas generadas en computadora de f
, las cuales apoyan los resultados de este ejemplo.
PROBLEMAS RESUELTOSEn los ejercicios 1 - 3. Hallar las diferenciales de las funciones que se dan acontinuación, respecto a cada una de las variables independientes.
1. 4223 23 yyxxyz SOLUCION
dxxyyzdyyxxyz x234223 623
dyyyxxyzd y322 863
D f1
D f2
y
2. 22 yxz
SOLUCION
22
22
yx
dxxzdyxz x
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SOLUCION
222
22
22
2.
yx
dxxxyyyxzd
yx
xyz x
dx
yx
yxydx
yx
yxyyx222
23
222
232 2
dyxdy2.
222
23
222
22
yx
xy
yx
yxyxyxzd y
En los ejercicios del 4 al 8 hallar la diferencial total de las funciones que sedan a continuación
22 yxz
22 yx
dyyzd y
3.xy
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4. 243342 yxyxyxz
SOLUCION
dyδ
δz
δx
δz dxdz es la diferencial total
dyyxyxyyxyxydz 243342243342 xδy
δdxx
δx
δ
dz= dy234xy432x 32223324 xyxxydxyxyxy
5. z = 22
2
1yxLn
SOLUCION
dyδ
δz
δx
δz dxdz es la diferencial total
dyyxLndxyxLndz
2222
2
1
δy
δz
2
1
δx
δz
ydyxdxyx
dyy
dxyx
x
222222
1
x
y
80
6.y-x
yx z
SOLUCION
22
δx
δz
yx
y
22
δx
δz
yx
x
dz
dydx22
y-x
2x
y-x
2ydy
δx
δzdx
δx
δz
xdyydx
yxdz
2
2
7. yxsenz .
y-x
yx
z
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SOLUCION
dyδy
δzdx
δx
δzdz es la diferencia total.
xdyydxcosxydyxcosxydxcosxyydz
8.
xy
yxtgarcz
1.
SOLUCION
2222
2
1
21
δx
δz
yxyx
yxy
xy
yxtgarcz
1. 2222
2
1
1
δx
δz
yxyx
x
' (dyxdxyxyyxyx
dyy
zdx
x
zdz )1()21(
1
1 22
2222
55
55
9.22
22
yx
yxz
222
24
δx
δz
yx
xy
22
34
δx
δz
yx
y
22
22
yx
yxz
2
81
APLICACIONES A LOS CALCULOS
10. Hallar el valor de la diferencial total de la función
22z yxyx para x=3, y = 4
0,2y,1,0 44x
SOLUCION
dyyx
ydx
yx
x
222211dz la diferencial total
Reemplazando los valores x = 3, y = 4, 0,2y,1,0 44x
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2,0169
411,0
169
31dz
2.05
411.0
5
31dz
50
4
50
2
50
22,0
5
11,0
5
2
08.0252dz
11. Hallar el valor de la diferencial total de la funciónxy
ez para x= 1, y=1,0.1y,15.0 44x
SOLUCIONdyxedx xy
dz xyye reemplazando
eee 25.01.015.0dz
12. Hallar el valor de la diferencial total de la función
22 yx
yxz
para x = 2 , y =1 , 0,03y,01,0 44x
SOLUCION
dyδx
δzdx
δx
δzdz es la diferencia total
dx
yx
xyxdx
yx
yyx222
23
222
32
dz
03.09
1001.0
9
5dz
36
1dz
13. Calcular aproximadamente la variación de la función
xy
yx
3
3z
al variar x desde x1= 2 hasta x2= 2,5 e y desde y1 =4 hasta y2= 3.5
SOLUCION ff δδ yxyx 1111f 4444
,,f yxyxyyx ; ,,x 1111
δyδx
82
5,012 4 xxx , 5,012 4 yyy
5,0δy
4,2δ5,0
δx
4,24,20,50,5,42f
fff
5;
5,7;14. Calcular aproximadamente Ln 198.003.1 43
SOLUCIONSea 1y,1,1yx,f 43 xyxLn
-0.02y,03,0 44x
y
fx
ff 44;
δy
1,1δ
δx
1,1δ1,10,02-0,03,11f
005,0;
15. Calcular aproximadamente (1.04)2.02
SOLUCION
Sea yxyx,f donde x=1 , y= 2, -0.02y,04,0 44x
; 2,102,02,04,01 ff
yf
xf
44δy
2,1δ
δx
2,1δ
08,1;
16. Hallar la longitud del segmento de la recta x = 2, y = 3 comprendido entre lasuperficie z = X 2+Y 2 y su plano tangente en el punto (1,1,2).
SOLUCIONHallando la recta L= Rtt /1,0,00,3,2
(intersección de dos planos paralelos al eje z)
Sea la función f(x,y,z)= zyx 22
1,2,22,1,11,2,2,, << fyxzyxf
P: 2-z,1-y,12,1,1 < xf = 0
02-z,1-y,11,2,2 x
P: 222 zyx
calculando L^ P PLp ^
tpPPLp ,3,2^ como 8264 ttPp
luego 8,3,2PAhora calculando las intersección de:
13032^ 22 ttFLLuego A (2,3,13)
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5,58133322, 21222
21 ppdppd
17. El cuerpo ha sido pesado en el aire fg.1.01.4 % y en el agua fg.2.08.1 %hallar el peso especifico del cuerpo e indicar el error del cálculo.
SOLUCION
Sabemos queVol.
PesoEP
Llamamos el peso en el aire 1P
Llamamos el peso n el agua 2P
83
El peso del cuerpo es 1P y el volumen es 2P - 1P (ya que la diferencia de pesos es
2.3 gf y esto se explica por el empuje del agua = Vol.x peso del líquido desplazadoentonces V= 2P - 1P , porque el EP del agua es f 1gf/cm3 entonces:
31 3.2V,1.4P cmgf
12
121 P,
PP
PPPf E
8.17826.13.2
1.41.8,1.4 ;f
calculando el error:
1.8,1.4df 22
11 δp
δ
δp
δdp
fdp
f
donde dp1= 0.1, dp2= 0.2
1.8,1.4 df 22
11 δp
δ
δp
δdp
fdp
f
12.08.112.078.1 ;
18. El radio de la base del cono mide cm1.02.10 , la generatriz mide cm1.06.44 hallar el volumen del cono e indicar el error del cálculo.
SOLUCION
cmr 1.02.10 1.0drcmg 1.06.44 1.0dg
r
gh
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hrVc2
3
1
Por Pitágoras se tiene 22 rgh entonces:
Vcono222
3
1rgr luego se tiene: 222
3
1, rgrgrV volumen
drdggrdVδr
δV
δr
δV, (error)
2222.106.442,10
36.44,2.10
V
340.730,4 cm
==
:
9
22
3
1
dg
rg
grdr
rg
rrggrdV
22
2
22
32 32
3,
' (687.10128.863
6.44,2.10
dV
384.10131007304 cm; ,
84
19. Para calcular el área S del triangulo por su lado a y los ángulos B,C se usa lafórmula:
CBsen
CsensenB
2
2
aS hallar el error relativo s para calcular S si los
errores relativos al calcular los elementos mencionados son a , B , Crespectivamente.
SOLUCION
Como S =2
a2
CBsen
senCsenB
.
s =a
s
a +B
s
B +C
s
C
CBsensenC.
.
CBsensenB.2
senBsenC
5
555
CB CBas
20. Un lado del triangulo mide 2.4m y aumenta con la velocidad de 10 cm/seg elsegundo lado mide 1.5m y disminuye con la velocidad de 5cm/seg el ángulo formadopor estos dos lados mide 60 º y aumenta con la velocidad de 2º al segundo ¿Cómovaría el área del triangulo y con que velocidad?.
SOLUCION10cm/segdx -5cm/segdy
º2d 6si A= área del triangulo
Luego el área crece con la velocidad igual a: 444cm2/seg.
60º
B
C
zy
En este fascículo se considera la diferenciabilidad de funciones de más de una variable pormedio de una ecuación que involucra el incremento de una función, para ello primero se obtuvouan representación del incremento de una función de una variable para luego trabajar con dosvariables.
Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú,Tercera Edición. Lima, Perú 1995
Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú 2002
Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999
RESUMEN
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
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AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA
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