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Universidad Nacional Autonoma de HondurasCarrera de Matematica
Lecturas de Analisis Matematico II
M.Sc. Luis Berlioz
Febrero-Mayo, 2012
Integral de Riemann∫ b
a
f dx f funcion acotada, [a, b] intervalo acotado, dx diferencial
Definicion
Una particion de [a, b] es un conjunto P ⊂ [a, b] finito
P = x0 , x1 , . . . , xn a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b
Definimos ∆xi
= xi+1− x
i∨ ∆x
i= x
i− x
i−1∆xi ≥ 0 (i = 1, 2, . . . , n)
Definimos Mi = sup[xi−1 ,xi ]
f(x) ∧ mi = inf[xi−1 ,xi ]
f(x) i = 1, 2, . . . , n
Definimos L(P, f) =∑xi∈P
mi∆x
i∧ U(P, f) =
∑xi∈P
Mi∆x
i
∫a
¯
b
f dx = supP de [a,b]
L(P, f) (1)
∫a
b
f dx = infP de [a,b]
U(P, f) (2)
Definicion
f es Riemann integrable si y solo si∫a
¯
b
f dx =
∫a
b
f dx f ∈ R
=
∫ b
a
f dx
Integral de Riemann-Stieltjes
Sea α estrictamente creciente en [a, b] α(a) < α(b) acotada∫ b
a
f dα
∆xi
= xi− x
i−1≥ 0 Mi = sup f(x) x ∈ [x
i−1, x
i]
∆αi
= α (xi)− α
(xi−1
)m
i= inf f(x)
L(P, f, α) =∑
mi∆α
i
sup=⇒
∫a
¯
b
f dα U(P, f, α) =∑
Mi∆αiinf
=⇒∫a
b
f dα
1
Analisis Matematico II 2 M.Sc. Luis Berlioz
Si
∫¯
=
∫=⇒ f ∈ R(α) en [a, b]∫
f dx es un caso particular de
∫f dα α(x) = x
Refinamiento de una Particion
Definicion
P∗
es un refinamiento de P si y si solo si P∗ ⊃ P
Hay particiones que no se pueden comparar. P 6⊃ P ′ , P 6⊃ P ′
Teorema
Sea [a, b] ⊂ R. Sea P, P∗
particiones de [a, b]. P∗
refinamiento de PSea α : [a, b] −→ R creciente, y sea f : [a, b] −→ R acotadaSi P
∗ ⊃ P entonces
L(P, f, α) ≤ L(P∗, f, α)
U(P, f, α) ≥ U(P∗, f, α)
Demostracion
Sea P = x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn y P∗
= x0 , x1 , . . . , x∗, . . . , xn−1 , xn
Sea P = 0, 1, 2, . . . , 10 =⇒ P∗
= 0, 1, 2, 2.5, . . . , 10P.D. L(P, f, α) ≤ L(P
∗, f, α)∑
mi∆α
i?∑
m∗
i∆α
i
mi∆α
i?∑
m∗
i−1∆α
i−1+m
∗
i∆α
i
Comparamos
mi≤ m
∗
i−1
mi≤ m
∗
i
mi∆α
i= m
i(∆α
i−1+ ∆α
i)
≤ m∗
i−1∆α
i−1+m
∗
i∆α
i=⇒
∑xi∈P
mi∆α
i≤∑xi∈P
∗
mi∆α
i
L(P, f, α) ≤ L(P∗, f, α)
U(P∗, f, α) ≤ U(P, f, α)
Donde P∗
es un refinamiento de P
Teorema
Si P, P ′ son particiones cualquiera, entonces L(P, f, α) ≤ U(P ′, f, α)
Demostracion
L(P, f, α) ≤ L(P ′, f, α) ≤ U(P ′, f, α)∑m
i∆x
i≤∑
Mi∆xi
Teorema
Sea f : [a, b] −→ R (acotada) es R(α) entonces
∫ b
a
f dα existe si y solo si
∀ ε > 0 ∃P : U(P ; f, α)− L(P, f, α) < ε
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 3 M.Sc. Luis Berlioz
Demostracion
(=⇒) ∫ b
a
f dα existe⇐⇒∫a
b
f dα =
∫a
¯
b
f dα
⇐⇒ supL = infU
∀ ε2> 0 :U(P1 , f, α)−
∫ b
a
f dα <ε
2∫ b
a
f dα− L(P2 , f, α) <ε
2
∴ U(P, f, α)− L(P, f, α) < ε P = P1 ∪ P2
(⇐=) P.D. Si ∀ ε > 0 ∃ δ : U(P )− L(P ) < ε =⇒ sup(L) = inf(U)∀ ε > δ ∃ δ : U(P ) ≥ inf(U) ≥ sup(L) ≥ L(P ) =⇒ inf(U)− sup(L) < ε∴ inf(U)− sup(L) = 0
Teorema
Si f es continua en [a, b] entonces f ∈ R(α)
Demostracion
Primero, sea η > 0 tal que
[α(b)− α(a)] =⇒ ∃ δ > 0/∀x, t ∈ [a, b] : |x− t| < δ
=⇒ |f(x)− f(t)| < η
A |f(x)− f(t)| < η se le llama continuidad uniformeTomamos una P tal que ∆x
i< δ ∀ i = 1, n entonces Mi −mi
≤ η
∀ ε > 0 ∃P : U(P )− L(P ) =∑
(Mi −mi)∆x
i
≤∑
η∆αi
η∑
∆αi
= η[α(b)− α(a)]
< ε
Teorema
Si f es creciente en [a, b]. α es continua en [a, b] (siempre es creciente) entonces f ∈ R(α) o∫ b
a
f dα
Demostracion
Sea P una particion tal que ∆αi<α(b)− α(a)
n
Es necesario que α sea continua para garantizar ∆αi<α(b)− α(a)
n
P = x0 , x1 , x2 ∆αi
= α(xi)− α(x
i−1) ∆x
i= x
i− x
i−1
Entonces como f es creciente
Mi = f(xi) m
i= f(x
i−1)
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 4 M.Sc. Luis Berlioz
Vemos que L(P ) =∑
mi∆α
i∧ U(P ) =
∑Mi∆αi , tomando
P = x0 , x1 , x2 :∑
(Mi −mi) = [f(x1)− f(x0)] + [f(x2)− f(x1)]
= f(x2)− f(x1)
U(P )− L(P ) =∑
(Mi −mi)∆α
i
≤ α(b)− α(a)
n
∑(Mi −mi
)
=α(b)− α(a)
n[f(b)− f(a)]
∀ ε > 0 ∃n ≤ N =⇒ α(b)− α(a)
n[f(b)− f(a)] < ε
Observacion
limx→b−
f(x) = f(b) f, α : [a, b] −→ R
α(x) =
0 x < 1
2
1 x ≥ 12
α(b)− α(a)
n=
1
2n = 2
Teorema
Supongamos que f es continua en [a, b] excepto en un numero finito de puntos y acotada. α escontinua en toda discontinuidad de f , entonces f ∈ R(α)
Demostracion
Definimos M = sup |f(x)| x ∈ [a, b]
E = x f es discontinua enx #E = m
Los intervalos [ci, d
i] son tales que
∑di− c
i< ε para un ε > 0
f es continua en el compacto [a, b]∪]ci, d
i[
f sigue siendo continua en un compacto =⇒ ∃δ > 0 : |f(x)− f(t)| < ε para cualquier pareja x, ytal que |x− t| < δTomamos una particion que incluya cada c
i, d
ital que∑
(Mi −mi)∆α
i=∑
(Mi −mi)∆α
i︸ ︷︷ ︸/∈E
+∑
(Mi −mi)(d
i− c
i)︸ ︷︷ ︸
∈E
Truco util: Mi −mi≤ 2M en cada [c
i, d
i]. Si P es tal que ∆x
i< δ∑
(Mi −mi)∆α
i+ 2Mε ≤
∑ε∆α
i+ 2Mε
≤ ε[α(b)− α(a)] + 2ME
≤ [α(b)− α(a)] + 2ME
Ejercicio
Sean
β1(x) =
0 x < 0
0 x = 0
1 x > 0
β2(x) =
0 x < 0
1 x = 0
1 x > 0
β3(x) =
0 x < 01
2x = 0
1 x > 0
1. Probar que f ∈ R(β1) si y solo si f(0+
) = f(0) o sea limx→0+
f(x) = f(0)
Las funciones continuas no son un dominio integral
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 5 M.Sc. Luis Berlioz
Cuando f ∈ R(β1) digamos en [−1, 1] notemos que [xi−1, x
i] 63 0
δβi = 1− 1 = 0 ∨ 0· 0 = 0
U(P, f, β1) = M0· 1 M0 = max f(x) en el intervalo que contiene a cero
= M0
L(P, f, β1) = m0· 1 m0 = min f(x)
= m0
I0 es el intervalo de la particion P que contiene a cero
U(P ) = maxI0
f(x) L(P ) = minI0
f(x)
= M0 = m0
Si 0 ∈ P [0, x], si limx→0+
f(x) = f(0)
limx→0+
M0 = limx→0+
[max[0,x]
f(x)
]limx→0+
m0 = limx→0+
[min[0,x]
f(x)
]= f(0) = f(0)
U(P )− L(P ) = M0 −m0 porque f ∈ R(β1)
< ε
max[0,x]
[f(x)]−min[0,x]
[f(x)] < ε ∀ ε > 0∃ δ : si
|f(x)− f(0)| ≤ M0 −m0
< ε
∴ limx→0+
f(x) = f(0) por definicion
2. De y pruebe una proposicion analoga para β2
f ∈ R(β2) si y solo si limx→0−
f(x) = f(0)
U(P, f, β2) =∑
f(xi)∆β
i∆β1 = β(x1)− β(x0) ∆β2 = β(0)− β
(−1
2
)= M0∆β0 = β
(−1
2
)− β(−1) = 1
= M0· 1 = 0
∆β3 = β
(1
3
)− β(0) ∆β4 = 0 ∆β5 = 0
= 0
Teorema
Sea f ∈ R(α) en [a, b] m ≤ f(x) ≤M φ : [m,M ] −→ R (funcion continua)Si h(x) = φ[f(x)] ∀x ∈ [a, b] entonces h ∈ R(α) en [a, b]
Demostracion
Podemos decir que φ es uniformemente continua (φ es continua en un compacto) en [m,M ]
∀ ε > 0∃ δ > 0 ∧ δ < ε : |s− t| < δ =⇒ |φ(s)− φ(t)| < ε
Ademas como f ∈ R(α) existe P tal que U(P, f, α)− L(P, f, α) < δ2
Denotamos para P lo siguiente:
Mi = sup f(x) en [xi−1, x
i] M
∗
i = sup h(x)
mi
= inf f(x) en [xi−1, x
i] m
∗
i = inf h(x)
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 6 M.Sc. Luis Berlioz
Caso A Mi −mi< δ
Si x, y ∈ [xi−1, x
i] =⇒ | f(x)︸︷︷︸
s
− f(y)︸︷︷︸t
| ≤ Mi −miM∗i −m
∗i ≤ δ
Caso B Mi −mi≥ δ ∑
i∈B
δ∆αi≤∑i∈B
(Mi −mi) ∆α
i
< δ2∑
i∈B
δ∆αi< δ
2
=⇒∑i∈B
∆αi< δ
U(P, h, α)− L(P, h, α) =∑
CasoA
(M∗
i −m∗
i
)∆α
i+∑
CasoB
(M∗
i −m∗
i
)∆α
i
≤ ε∑
∆αi+ 2Zδ
= ε[α(b)− α(a)] + 2Zδ dondeZ = sup |h| en [a, b]
∴ h ∈ R(α)φ : R(α) −→ R(α) φ(f) ∈ R(α)
Propiedades de la Integral
Si f, g ∈ R(α) y c ∈ R entonces
1. f + g ∈ R(α)
2. cf ∈ R(α), ademas ∫ b
a
(f + g)dα =
∫ b
a
f dα +
∫ b
a
g dα∫ b
a
cf dα = c
∫ b
a
f dα
3. Si f, g ∈ R(α) y ∀x ∈ [a, b] , f(x) ≤ g(x) entonces
∫ b
a
f dα ≤∫ b
a
g dα
4. Si f ∈ R(α) entonces
∣∣∣∣∫ b
a
f dα
∣∣∣∣ ≤ M [α(b)− α(a)] f = sup[a,b]
|f |
5. Si f ∈ R(α1) y f ∈ R(α2) entonces f ∈ R(α1 + α2) por lo tanto∫ b
a
f d(α1 + α2) =
∫ b
a
f dα1 +
∫ b
a
f dα2
Demostracion
1. Notemos que en [xi−1, x
i]
max f + g ≤ max f+ max g L(P, f, α) + L(P, g, α) ≤ L(P, f + g, α)
min f + g ≥ min f+ min g ≤ U(P, f + g, α)
≤ U(P, f, α)U(P, g, α)
Se puede hacer U(P1 , f, α)− L(P1 , f, α) <ε
2Si P es el refinamiento comun de P1 , P2 . De manera identica para g tenemos
U(P2 , g, α)− L(P2 , g, α) <ε
2
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 7 M.Sc. Luis Berlioz
2. Vamos a usar para toda particion P∫ b
a
f dα = sup L(P, f, α)
= inf U(P, f, α)
Si c > 0
L(P, cf, α) =∑
cmi∆α
i
= c∑
mi∆α
i
Si c < 0 ∑cMi
Si c > 0
L(P, cf, α) = c L(P, f, α)
Si c < 0
L(P, cf, α) = c U(P, f, α)
Si c > 0
sup L(P, cf, α) = sup c L(P, f, α)= c sup L
Si c < 0
sup L(P, cf, α) = sup c L(P, f, α)= c inf U
c supL =
∫ b
a
f dα
3. ∫ b
a
f dα = sup L(P, f, α)∫ b
a
g dα = sup L(P, g, α)
Para cualquier P : L(P, f, α) ≤ L(P, g, α) entonces
∫ b
a
f dα ≤∫ b
a
g dα
4. ∣∣∣∣∫ b
a
f dα
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f | dα f ≤ |f | ∧ −f ≤ |f |∫ b
a
f dα ≤∫ b
a
|f | dα
−∫ b
a
f dα ≤∫ b
a
|f | dα |f | ≤M∫ b
a
|f | dα ≤∫ b
a
M dα
= M [α(b)− α(a)]
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 8 M.Sc. Luis Berlioz
5. El hecho de que existan f ∈ R(α1) y f ∈ R(α2) implica que se puede encontrar una particionP tal que
U(P, f, α1)− L(P, f, α1) <ε
2
∑(M ′
i −m′i)∆α′i<
ε
2+∑
(M2
i −m2
i)∆α
2
i
U(P, f, α2)− L(P, f, α2) <ε
2<
ε
2
=∑
(Mi −mi)(
∆α′i+ ∆α
2
i
)< ε
En [xi−1, x
i] lo que necesitamos [α1(x
i) + α2(x
i)]− [α1(x
i−1) + α2(x
i−1)]
Pero tenemos ∆α′i+ ∆α
2
i
(a)
∫ b
a
f d(α1 + α2) existe
(b)
∫ b
a
f d(α1 + α2) =
∫ b
a
f dα1 +
∫ b
a
f dα2)
¿Sera cierto el reciproco?Si f ∈ R(α1 + α2) =⇒ f ∈ R(α1) ∧ f ∈ R(α2) no es cierto∫ b
a
f(dα + c dβ) =
∫ b
a
f dα + c
∫ b
a
f dβ
Como α tiene que ser creciente tenemos que pedir c ≥ 0
Teorema
Si c ≥ 0
∫ b
a
f dα existe ( f ∈ R(α) ) entonces
∫ b
a
f f [cα] = c
∫ b
a
f dα
Demostracion
Para toda particion P : U(P, f, cα) =∑
Mi∆(cα)i
∆(cα)i
= cα(xi)− cα(x
i−1)
∑Mi∆(cα)
i= c
∑Mi∆αi
= c∆αi
= cU(P, f, α)
Teorema
Si f, g ∈ R(α) entonces f · g ∈ R(α)
Demostracion
Como f, g ∈ R(α) entonces
f + g ∧ f − g ∈ R(α) =⇒ (f + g)2 ∧ (f + g)
2 ∈ R(α)
=⇒ f · g =1
4
(f + g)
2 − (f − g)2∈ R(α)
c = x2
c(f + g)
Definicion
Sea Ix =
1 x > 0
0 x ≤ 0
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 9 M.Sc. Luis Berlioz
Teorema
Sea S ∈]a, b[. f acotada en [a, b] y continua en S
α(x) ≡ I(x− s) entonces
∫ b
a
f dα = f(s)
Demostracion
Sea U(P, f, α) = Mf · 1 donde Mf = sup(s−δ,s+δ)
f
Analogamente L(P, f, α) = mf
donde mf
= inf(s−δ,s+δ)
f
Por continuidad ∀ ε ∃ δ : |x− s| < 2δ =⇒ |f(x)− f(s)| < ε
2De ahi que Mf −mf
≤ ε
2< ε
Teorema
cn es convergente.+∞∑n=1
cn < +∞ (cn ≥ 0). sn ⊂]a, b[ (creciente)
α(x) =+∞∑n=1
cnI(x− sn)
Teorema
Si f es continua en [a, b] entonces
∫f dα =
+∞∑n=1
cnf(sn)
Demostracion
α(x) converge ∀x ∈ R si:
1. x < a α(x) = 0
2. x ∈]a, b[ sucesion convergente
3. x > b α(x) =∑
cn
α tambien es creciente
x < x′ α(x) =∑
cnI(x− sn) + . . .+ cn−1I(x′ − sn) + . . .︸ ︷︷ ︸≥0
α(x) ≤ α(x′)
Primero la suma finita
∫ b
a
f dα =N∑n=1
f(sn)cn ++∞∑n=N
f(sn)cn
Si f es acotada en [a, b] y continua en s, t α(x) = I(x− s) entonces∫ b
a
f dα = f(s)
∫ b
a
f dα = f(s) + f(t)
α(x) = I(x− s) + I(x− t) α(x) = c1I(x− s1) + . . .+ cnI(x− sn)∫ b
a
f dα = c1f(s1) + . . .+ cnf(sn)
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 10 M.Sc. Luis Berlioz
∀ ε > 0 ∃N :+∞∑
n=N+1
cn < ε
Se parte en dos a α : α1 =N∑n=1
cnI(x− sn) y α : α2 =N∑
n=N+1
cnI(x− sn)
∫ b
a
f dα1 =N∑n=1
cnf(sn)N∑n=1
cnI(x− sn)−N∑n=1
cnI(x− sn) = α2(x)
α(x)− α1(x) < ε < ε∣∣∣∣∫ b
a
f dα2
∣∣∣∣ ≤ Mα2(b)︸ ︷︷ ︸<ε
−α2(a)︸ ︷︷ ︸=0
∣∣∣∣∣∫ b
a
f dα−N∑n=1
cnf(sn)
∣∣∣∣∣ < εM
< εM
∣∣∣∣∣A−N∑n=1
cnf(sn)
∣∣∣∣∣ < εM
Observacion
]a, b[=]0, 1[ cn =
1− 1
n
para n = 2, 3, . . . y
∑sn no converge
N∑n=2
(1− 1
n
)= N −
N∑n=2
1
nα
(3
4
)=
1
2· 1 +
1
4· 0 +
1
8· 0 +
1
16· 0
cn =
1
2n
α(1) =
1
2· 1 +
1
4· 1 +
1
8· 1 + . . .
α(x) =+∞∑n=1
1
2nI(x− sn+1) = 1
Teorema
1. α es creciente
2. α′ ∈ R en [a, b]
3. f es acotada en [a, b] entonces f ∈ R(α)⇐⇒ fα′ ∈ R
Demostracion
Como α′ ∈ R entonces ∀ ε > 0 ∃P : U(P, α′, x)− L(P, α′, x) < ε (∗)Por el teorema del valor medio
∆αi
= α′(ti)∆x
idonde t
i∈ [x
i−1, x
i]
= α(xi)− α(x
i−1)
Como f es acotada entonces M = sup |f | en [a, b]Por otro lado
∑f(s
i)∆α
i=∑
f(si)α′
i(ti)∆x
isi
es cualquier valor en [xi−1, x
i] De (∗) tenemos
que∑|α′
i(ti)− α′
i(s
i)|∆x
i< ε∑
f(si)α′
i(ti)∆x
i︸ ︷︷ ︸?
−∑
f(si)α′
i(s
i)∆x
i︸ ︷︷ ︸†
=∑
f(si)[α′i(ti)− α′
i(s
i)]
∆xi
< εM
? :∑
f(si)∆α
i−→
∫ b
a
f dα † :∑
f ·α′(si)∆x
i−→
∫ b
a
f ·α′ dx
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 11 M.Sc. Luis Berlioz
Ejemplo
Sea f(x) = x2, encontrar
∫ 5/2
0
f dα
Recordando α(x) =∑
cnI(x− sn)∫f dα =
∑cnf(sn)
∫ 5/2
0
f dα =
∫ 1
0
x2
ex
dx+
∫ 5/2
1
x2
dx
Teorema
Sea φ creciente y continua. φ : [A,B] −→ [a, b]. α es creciente y f ∈ R(α) en [a, b]Definimos β(y) = α(φ(y)) ∧ g(y) = f(φ(y)) entonces g ∈ R(β) y ademas∫ B
A
g dβ =
∫ b
a
f dα∫ B
A
f(φ(y))dα(φ) =
∫ b
a
f dα∫ b
a
f ′(g)g′ dx =
∫ g(b)
g(a)
f ′ dx
Cambio de Variable
1. Suponga φ : [A,B] −→ [a, b]. α es estrictamente creciente y sobre (parametrizacion)
2. α es creciente en [a, b]. f ∈ R(α) en [a, b]
β(y) = α(φ(y)) g(y) = f(φ(y)) g ∈ R(α) entonces
∫ b
a
g dβ =
∫ b
a
f dα
Si α(x) = x ,
∫ b
a
f(x) dx
Demostracion
Sea P = x0 , . . . , xn particion de [a, b] y Q = y0 , . . . , yn particion de [A,B] tal que
U(P, f, α) = U(Q, g, β)
L(P, f, α) = L(Q, g, β)
Ejemplo
1. ∫ 1
0
√1− x2dx =
∫ π/2
0
cos y[cos u du] x = sin y dx = cos y dy
=
∫ π/2
0
f(φ(y))dφ(y)
2. Considere la distribucion de probabilidad x ∈ [0, 1]
Pr(x = 1) =1
2Pr(0 ≤ x < 1) =
1
2Funcion de probabilidad acumulada
F (x) =
∫ x
0
f dx f ≡ 1 α(x) = x cuando x ∈ [0, 1[ α(x) = 32
cuando x ≥ 1
∫ 1/2
0
1 dx =1
4
∫ 0.999
0
1 dx ≈ 1
2
∫ 1
0
1 dx = 1
∫ 100
0
1 dx = 1
α = cI(x)
∫ 1
−1
f dα = f(0)· c
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 12 M.Sc. Luis Berlioz
3. Sea f(x) = x2
α =
ex
x ∈ [0, 1]
3 x ∈]1, 2]
4 x ∈]2, 3]∫ 5/2
0
f dα =
∫ 1
0
f dα +
∫ 5/2
1
f dα
=
∫ 1
0
x2
dx
= e− 2 + (1)2
(3− e) + (2)2· 1
= 5
Recordando que
∫f dα = f(sn)cn y α =
∑cnI(x− sn)
ex
I(x− 0) + I(x− 1) + I(x− 2)
4. ∫ b
a
xf(x)f ′(x) dx =x
2f
2
(x)
∣∣∣∣ba
−∫ b
a
1
2f
2
(x)dx u = x du = dx
= 0− 1
2dv = f(x)f ′(x)dx v =
1
2f
2
(x)
= −1
2
5. Sea α una funcion creciente fija sobre [a, b]. Si u ∈ R(α) se define
‖u‖2 =
∫ b
a
|u|2dα1/2
Si f, g, h ∈ R(α) demuestrese ‖f − h‖2 ≤ ‖f − g‖2 + ‖g − h‖2
Usando la desigualdad de Holder
∫ b
a
|uv| dα ≤(∫ b
a
|u|pdα)1/p(∫ b
a
|v|qdα)1/q
|uv| ≥ 0 y si tomamos p = q = 2 tenemos que∫ b
a
|uv| dα ≤(∫ b
a
|u|2dα)1/2(∫ b
a
|v|2dα)1/2
∫ b
a
|u+ v|2 dα =
∫ b
a
|u|2dα + 2
∫ b
a
uv dα +
∫ b
a
|v|2dα
≤∫ b
a
|u|2dα + 2
(∫ b
a
|u|2dα)1/2(∫ b
a
|v|2dα)1/2
+
∫ b
a
|v|2dα
=
[(∫ b
a
|u|2dα)1/2
+
(∫ b
a
|v|2dα)1/2
]2
|u+ v|2 =
(∫ b
a
|u+ v|2dα)1/2
≤
[(∫ b
a
|u|2dα)1/2
+
(∫ b
a
|v|2dα)1/2
]2
1/2
=
(∫ b
a
|u|2dα)1/2
+
(∫ b
a
|v|2dα)1/2
= |u|2 + |v|2
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 13 M.Sc. Luis Berlioz
Si cambiamos u = f − g y v = g − h nos queda finalmente
|f − h|2 ≤ |f − g|2 + |g − h|2
≤
[(∫ b
a
|u|2dα)1/2
+
(∫ b
a
|v|2dα)1/2
]2
1/2
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 14 M.Sc. Luis Berlioz
Teoremas Fundamentales del Calculo
1.
∫ x
a
f(t)dt = F (x)
2.
∫ b
a
F (t)dt = F (b)− F (a)
Teorema
Sea f tal que F (x) =
∫ x
a
f(t)dt (la integral existe en [a, b]) entonces
1. F es continua en [a, b]
2. f es continua en x0 entonces F es diferenciable y F ′(x0) = f(x0)
Demostracion
1. Sea M = sup |f(x)| ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x− x0| < δ =⇒ |F (x)− F (x0)| < ε
Aseveramos que δ =ε
Mpuesto que
∣∣∣∣∫ x
a
f(t)dt−∫ x0
a
f(t)dt
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∫ x
x0
f(t)dt
∣∣∣∣∣ ∨∣∣∣∣∫ x0
x
f(t)dt
∣∣∣∣≤ M |x− x0|
< ε ⇐⇒ |x− x0 | <ε
M= δ
P.D.
∣∣∣∣F (x)− F (x0)
x− x0
− f(x0)
∣∣∣∣ −→ 0 cuando x→ x0
Sabemos que F (x)− F (x0 =
∫ x
x0
f(t)dt
f(x0) =
∫ x
x0
f(x0)
x− x0
dt
∣∣∣∣∣∫ x
x0
f(t)− f(x0)
x− x0
dt
∣∣∣∣∣ ≤ ε
x− x0
|x− x0|
= f(x0)x− x0
x− x0
= ε
= F (x0)
Usaremos la continuidad de f en x0 la cual nos dice
limx→x0
f(x) = f(x0)⇐⇒ ∀ ε > 0∃ δ > 0 : |x− x0| < δ
=⇒ |f(x)− f(x0)| < ε
Como
x ∈ [x0 , x] : |t− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε
∴ F (α) =
∫ x
a
f(t) dα
2. Tenemos un teorema que dice que
∫ b
a
f(t) dt existe si y solo si ∃P : |U(P, f, α)−L(P, f, α)| <ε
P.D.
∣∣∣∣F (b)− F (a)−∫ b
a
f(t) dα
∣∣∣∣ < ε
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 15 M.Sc. Luis Berlioz
Por el teorema del valor medio, si P = x0 , x1 , . . . , xi−1, x
i, . . . , xn
F (xi)− F (x
i−1) = F ′(z
i)(x
i− x
i−1)
= f(zi)∆α
i
L(P, f, α) ≤ F (x1)− F (x0) + F (x2)− F (x1) + . . .+ F (xn)− F (xn−1)
= F (xn)− F (x0)
= F (b)− F (a)
≤ U(P, f, α)
L(P, f, α) ≤∑
f(zi)∆α
i
≤ U(P, f, α)
L(P, f, α) ≤∫ b
a
f(t) dα
≤ U(P, f, α)
Ejemplos Especiales
1.d
dx
∫ x
0
ext
dt = e2x
2.d
dx
∫ x
0
f(t) dt = f(x)
3.d
dx
∫ x→x1
0
e
x︸︷︷︸x2
t
dt = 2ex2
− 1
x2 ex2
− 1
H(x1 , x2) =
∫ x1
0
ex2t
dt dH = ex1x2 dx1 +
∫ x1
0
t ex2t
dt dx2
dH(x, x)
dx= e
x2
+
∫ x
0
t ext
dt
∫ x
0
t ext
dt =t
xext
∣∣∣∣x0
− 1
x
∫ x
0
ext
dt
= 2 ex2
− 1
x2 ex2
− 1 = ext − 1
x2 ex2
− 1
Se logro haciendo a = t da = dt db = ext
b =1
xext
Formas Vectoriales o Parametricas
Definicion
Una funcion parametrica es una funcion f : R −→ Rn
f : A ⊂ R −→ Rn
: f(t) 7−→ [f1(t), f2(t), . . . , fn(t)]
Definicion
Sea
f : R −→ Rn
: f(t) 7−→ [f1(t), . . . , fn(t)]
fi
es acotada (i = 1, 2, . . . , n), α creciente en [a, b]. Se define∫ b
a
f dα =
(∫ b
a
f1 dα ,
∫ b
a
f2 dα , . . . ,
∫ b
a
fn dα
)
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 16 M.Sc. Luis Berlioz
Teorema
Sea f : R −→ Rnentonces∫ b
a
f(t) dt = F (b)− F (a)
= [F1(b)− F1(a), F2(b)− F2(a), . . . , Fn(b)− Fn(a)]
Donded
dtFi = f
i
Teorema
Sea f : R −→ Rnentonces
∣∣∣∣∫ b
a
f dα
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f | dα
Demostracion
Sea
∣∣∣∣∫ b
a
f dα
∣∣∣∣ = |y| yi
=
∫ b
a
fidα
|y|2 =∑
y2
i
=∑
yi
∫ b
a
fidα
=
∫ b
a
∑yifidα
=
∫ b
a
〈y | f〉dα
≤∫ b
a
|y| |f | dα por el teorema de Cauchy-Schwarz
∴
|y|2 ≤ |y|∫ b
a
f dα =⇒ |y| ≤∫ b
a
|f | dα |y| 6= 0
=⇒∣∣∣∣∫ b
a
f dα
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f | dα
Curvas Rectificables
Sea f una funcion acotada en [a, b]. f : R −→ RSea P una particion de [a, b]. P = x0 , x1 , . . . , xn
n∑i=1
∣∣f(xi)− f(x
i−1)∣∣
Ejemplo
1. f es creciente:n∑i=1
∣∣f(xi)− f(x
i−1)∣∣ = f(xn)− f(x0)
f es decreciente:
n∑i=1
∣∣f(xi)− f(x
i−1)∣∣ = −f(x1) + f(x0)− f(x2) + f(x1) + . . .− f(xn) + f(xn−1)
= −f(xn) + f(x0)
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 17 M.Sc. Luis Berlioz
2. [−1, 1] −→∑ ∣∣f(x
i)− f(x
i−1)∣∣
P = −1, 0, 1 −→∑
= 0
P =
−1,−1
2,1
2, 1
−→
∣∣∣∣f (−1
2
)− f(−1)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣f (1
2
)− f
(−1
2
)∣∣∣∣+
∣∣∣∣f(1)− f(
1
2
)∣∣∣∣ =3
2
P =
−1,−
√1
3,
√1
3, 1
−→
∑= 1.54
Definicion
Recorrido de f : supP de [a,b]
∑ ∣∣f(xi)− f(x
i−1)∣∣
Curva rectificable: una funcion f con recorrido finito
Ejemplo
1. Curva acotada y rectificable. f(x) =
sin(πx
)x 6= 0
0 x = 0La curva del topologo no es rectificable
P1 = 0, 1 P2 =
0,
2
5, 1
P3 =
0,
2
5,2
7, 1
P4 =
0,
2
5,2
7,2
9, 1
lim
Pn→+∞
∑ ∣∣f(xi)− f(x
i−1)∣∣ ≤ sup
P de [a,b]
∑ ∣∣f(xi)− f(x
i−1)∣∣ (recorrido de f)
2. Probar f(x) = x cos(πx
), f(0) = 0, es continua pero no es rectificable
limx→0
x cos
(1
x
)= 0
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 (ε = δ) : si |x− 0| < δ =⇒ |f(x)− f(0)| < ε
|x| < ε, sabemos que
∣∣∣∣x cos
(1
x
)∣∣∣∣ ≤ |x| < ε x 6= 0
Cuando x = 0 es obvio que 0 < ε
P1 = 0, 1 −→ | cos π − cos 0| = 1
P2 =
0,
1
2, 1
−→
∣∣∣∣12 cos 2π − 0
∣∣∣∣+
∣∣∣∣cos π − 1
2cos 2π
∣∣∣∣ = 2
P3 =
0,
1
3,1
2, 1
−→
∣∣∣∣13 cos 3π − 0
∣∣∣∣+
∣∣∣∣12 cos 2π − 1
3cos 3π
∣∣∣∣+
∣∣∣∣cos π − 1
2cos 2π
∣∣∣∣ =8
3
3. Probar que γ1 y γ2 son rectificables, pero no γ3
γ1(t) = eıt
γ2(t) = e2ıt
γ3(t) = e2πıt sin(1/t)
= cos t+ ı sin t = cos 2t+ ı sin 2t = cos 2πt sin
(1
t
)+ ı sin
[2πıt sin
(1
t
)]∣∣cos 2πt sin
(1t
)∣∣ ≤ ∣∣∣e2ıt sin(1/t)∣∣∣ se prueba solo la parte real
Si γ es una curva parametrica y P una particion, entonces
Λ(P, γ) =n∑i=1
∣∣γ(xi)− γ(x
i−1)∣∣
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 18 M.Sc. Luis Berlioz
supP de [a,b]
Λ(P, γ) = Λ(γ) deberia de ser la longitud de arco
S =
∫ b
a
(x′
2
+ y′2)1/2
dt γ(t) =)x(t), y(t))
=
∫ b
a
|γ′|dt
Teorema
Si γ′ es continua en [a, b] entonces γ es rectificable en [a, b]
Λ(γ) =
∫ b
a
|γ′|dt ds = |γ′|dt
Demostracion
Trabajamos en un intervalo cualquiera [xi−1, x
i]
∣∣γ(xi)− γ(x
i−1)∣∣ =
∣∣∣∣∣∫ xi
xi−1
γ′(t)dt
∣∣∣∣∣≤∫ xi
xi−1
|γ′(t)|dt
Sumando
Λ(P, γ) ≤∫ b
a
|γ′(t)|dt
Entonces
Λ(γ) ≤∫ b
a
|γ′(t)|dt
P.D.
∫ b
a
|γ(t)|dt < Λ(γ) + ε
γ es uniformemente continua en [a, b]∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |t− s| < δ =⇒ |γ′(t)− γ′(s)| < εLa particion P tal que ∆x
i< δ. Si [x
i−1, x
i] es un pedazo de P y x
i−1≤ t ≤ x
i
|γ′(t)− γ′(xi)| < ε
|γ′(t)| − |γ′(xi)| ≤ |γ′(t)− γ′(x
i)|
< ε
|γ′(t)| < ε+ |γ′(xi)|∫ xi
xi−1
|γ′(t)| dt <∫ xi
xi−1
ε+ |γ′(xi)|dt
≤ ε∆xi+ |γ′(x
i)|∆x
i
|γ′(xi)|∆x
i=
∫ xi
xi−1
γ′(xi) dt
=
∣∣∣∣∣∫ xi
xi−1
[γ′(t)− γ′(xi)− γ′(t)] dt
∣∣∣∣∣≤
∣∣∣∣∣∫ xi
xi−1
γ′(t) dt
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∫ xi
xi−1
γ′(xi)− γ′(t) dt
∣∣∣∣∣≤∣∣γ(x
i)− γ(x
i−1)∣∣+ ε∆x
i
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 19 M.Sc. Luis Berlioz
Nos queda ∫ xi
xi−1
|γ′(t)| dt ≤ 2ε∆xi+∣∣γ(x
i)− γ(x
i−1)∣∣
Simplemente nos queda∫ b
a
|γ′(t)| dt ≤ 2ε(b− a) + Λ(P, γ)
≤ 2ε(b− a) + Λ(γ)
Entonces
Λ(γ) ≤∫ b
a
|γ′(t)| dt
≤ 2ε(b− a) + Λ(γ)
∴ Λ(γ) =
∫ b
a
|γ′(t)| dt
Sucesiones y Convergencia de Funciones
Definicion
fn : n ∈ N es un conjunto de funciones en E. fn : E −→ RDefinimos lim
n→+∞fn = f = fn converge (puntualmente) a f si y solo si lim
n→+∞fn = f(x) ∀x ∈ E
1.d
dxlim
n→+∞fn = lim
n→+∞
d
dxfn
2. limx→a
limn→+∞
fn = limn→+∞
limx→a
fn(x)
Ejemplo
1. fn(x) =nx
x+ 1limx→1
[lim
n→+∞
nx
x+ 1
]= 1 lim
n→+∞
[limx→1
nx
x+ 1
]= 1
2. fn(x) = xn
x ∈ [0, 1] Pn(x) = x− 1
6x
3
+ . . .+(−1)
2n
(2n+ 1)!x
2n+1
Pn(x) −→ sin(x)
3. Contraejemplo
fn(x) =n
n+1
x
x 6= 0 fn(0) = 1 limx→0
limn→+∞
n
n+1
x
= 1 limn→+∞
limx→0
n
n+1
x
= 0
fn son funciones continuas, fn −→ f y f no es continua
Convergencia Uniforme
Definicion
Sea fn una sucesion de funciones, fn : E −→ RDecimos que fn converge uniformemente a f. (fn
u−→ f) si y solo si
∀ ε > 0 ∃N : ∀x ∈ E ∧ ∀n ≥ N : |fn(x)− f(x)| < ε
Convergencia puntual: ∀ ε > 0 ∧ ∀x ∈ E ∃N : n ≥ N =⇒ |fn(x)− f(x)| < ε
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 20 M.Sc. Luis Berlioz
Ejemplo
1. fn −→ f pero no fnu−→ f
fn(x) =n+ 1
nxE =]0, 1[
∀x ∈ E : limn→+∞
fn(x) =1
x≡ f(x)
2. x2 − 2 = 0 xn+1 = xn −
x2
n− 2
2xnx1 = 1 xn −→
√2
x1 = 1 x2 = 1−(−1
2
)x3 =
3
2−
(3
2
)2
− 2
3
=3
2=
13
12
Espacio Completo: espacio metrico donde todas las sucesiones de Cauchy convergen dentro delespacio
Sucesiones de Cauchy y Convergencia
Definicion
fn es una sucesion (de funciones) de Cauchy si y solo si para todo ε > 0 existe N tal queparan,m ≥ N y para todo x en el dominio de las fn tenemos que |fn(x)− fm(x)| < εfn
u−→ f si y solo si fn es una sucesion de Cauchy. fn : E −→ R
Demostracion
Si
fnu−→ f =⇒ ∀ ε > 0∃N :∀n ≥ N ∧ ∀x ∈ E =⇒ |fn(x)− f(x)| < ε
2
∀m ≥ N ∧ ∀x ∈ E =⇒ |fm(x)− f(x)| < ε
2=⇒ |fn(x)− fm(x)| ≤ |fn(x)− f(x)| − |fm(x)− f(x)|
< ε
Metiendo a f(x) de colado y la desigualdad triangular∴ fn es una sucesion de CauchyAhora sea fn una sucesion de Cauchy∀x ∈ E fn(x) converge a f(x) y ∀ ε > 0∃ N comun a todos x ∈ tal que
n ≥ N ∧ x ∈ E =⇒ |f(x)− fn(x)| < ε
∴ fnu−→ f
Ejemplo
Dar una sucesion convergente pero no uniformemente convergente
fn(x) =n+ 1
nx]0, 1[ fn(x) −→ f(x) =
1
xpero fn
u
6−→ f ε = 0, 1∣∣∣∣10
9x− 1
x
∣∣∣∣ = |fn(x)− f(x)|
=1
x
∣∣∣∣19∣∣∣∣
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 21 M.Sc. Luis Berlioz
El problema es que si x =1
90
11
90
∣∣∣∣ 1
90
∣∣∣∣ = 10 > 0.1
∀ ε > 0 ∧ ∀N ∃x ∈ E : |fn(x)− f(x)| > ε (ε = 1)P.D. Siempre existe x ∈]0, 1[: |fn(x)− f(x)| > 1∣∣∣∣n+ 1
nx− 1
x
∣∣∣∣ =1
n
1
x
=1
n
1(1
n+ 1
)=
n+ 1
n> 1
Teorema
Suponga que limn→+∞
fn(x) = f(x) ∀x ∈ EDefinimos Mn = sup
x∈E|f(x)− fn(x)|
fnu−→ f si y solo si lim
n→+∞Mn = 0
Demostracion
1. P.D. limn→+∞
Mn = 0 =⇒ fnu−→ f
Sea
ε > 0 =⇒ ∃N : n ≥ N
=⇒ Mn < ε
Tambien
∀x : |f(x)− fn(x)| ≤ Mn
< ε
∴ fnu−→ f
2. fnu−→ f =⇒ lim
n→+∞Mn = 0
∀ ε2> 0∃N/n ≥ N ∧ ∀x ∈ W : |fn(x)− f(x)| < ε
2=⇒ sup
x∈E|fn(x)− f(x)| = Mn
≤ ε
2
∴ limn→+∞
Mn = 0
Teorema de Weierstrass
Sea fn : E −→ R tal que |fn(x)| ≤Mn ∀x ∈ ESi∑Mn converge, entonces
∑fn(x) converge uniformemente
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 22 M.Sc. Luis Berlioz
Demostracion
P.D. Sk =+∞∑n=1
fn(x) es de Cauchy
Es decir, |Sp − Sp+1| = |fp+1(x)| es tan pequeno como queramosSi∑Mn converge entonces Mn −→ 0, esto quiere decir que
∀ ε > 0 ∃N : ∀n ≥ N , |Mn| < ε =⇒ |Sn − Sn+1| < ε
=⇒ Sk es de Cauchy
Ejemplo
ex
= 1 + x+x
2
2+ . . .+
xn
n!+ . . . hay convergencia uniforme. Tomamos
fn(x) =
∣∣∣∣xnn!
∣∣∣∣≤ Nn
n!= Mn
Si |x− a| < R tomamos sup|x−a|<R
|x| = M
∑Mn = e
Mpor lo tanto
∑ xn
n!converge uniformemente en |x− a| < R
Continuidad y Convergencia Uniforme
Supongamos fnu−→ f en E (espacio metrico). Sea x punto limite de E
Si limt→x
fn(t) = An (n = 1, 2, . . .) entonces An y limt→x
f(t) = limn→+∞
An
limt→x
[lim
n→+∞fn(t)
]= lim
n→+∞
[limt→x
fn(t)]
Recordatorio
x es punto limite de E si y solo si para todo vecindario de x (Vx) entonces E ∩ [Vx − x] 6= ∅
Demostracion
Sea ε > 0 entonces existe N ≥ 0 tal que si n,m ≥ N . Para todo t |fn(t)− fm(t)| < ε
Individualmente fn(t)t→x−→ An o simplemente lim
t→xfn(t) = An
Tenemos entonces que cuando t→ x , |An − Am| < εNos queda que An es de Cauchy entonces convergeP.D. lim An = lim
t→xf(t) An −→ A
|f(t)− A| ≤ |f(t)− fn(t)|+ |fn(t)− An|+ |An − A|
≤ ε
3+ε
3+ε
3< ε
∃N : |f(t)− A| < εEsto es cierto para todo t ∈ E incluido x ∈ E
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 23 M.Sc. Luis Berlioz
Ejemplo
limx→0
ex
= limx→0
[+∞∑n=0
xn
n!
]
=+∞∑n=0
[limx→0
xn
n!
]= 1
Teorema
Si fnu−→ f. fn es continua en E (n = 1, 2, . . .) entonces f es continua en E
1. Garantizar convergencia uniforme
2. Cn es continua
Demostracion
P.D. limx→t
f(t) = f(x) ∀x ∈ E
limx→t
[lim
n→+∞fn(t)
]= lim
n→+∞
[limx→t
fn(t)]
por convergencia uniforme
= limn→+∞
fn(x)
= f(x)
Teorema
Sea K un compacto en un espacio normado si
1. fn funciones continuas en K
2. fn converge puntualmente a una funcion continua f
3. fn(x) ≥ fn+1(x) ∀x ∈ K entonces fnu−→ f en K
Teorema
fnu−→ f y fn son continuas entonces f es continua en E
Demostracion
Astucia: gn = fn − fVamos a demostrar que si ε > 0. Kn = x : gn(x) ≥ ε =⇒ ∃N : n ≥ N.Kn = ∅Primero Kn es compacto. Kn es cerrado dentro de un compacto entonces es compactoSegundo Kn ⊃ Kn+1
Si ningun Kn = ∅ (n = 1, 2, . . .) entonces ∩Kn 6= ∅Como fn(x) −→ f(x)∗ ∀x ∈ K podemos encontrar N ≤ p : fp(x)− f(x) < ε. Si suponemos que
∩Kn 6= ∅ =⇒ ∃ x : Kn (n = 1, 2, . . .) junto con ∗=⇒ fp(x)− f(x) < ε ≥ ε −→←−
∴
∩Kn = ∅ =⇒ ∃N : n ≥ N , Kn = ∅=⇒ ∀ x : fn(x)− f(x) < ε
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 24 M.Sc. Luis Berlioz
Integracion y Convergencia
Teorema
Sea α creciente. Sea fn ∈ R(α) en [a, b] (n = 1, 2, . . .) y fnu−→ f entonces fn ∈ R(α) en [a, b] y∫ b
a
f dα = limn→+∞
∫ b
a
fn dα
Demostracion
εn = sup[a,b]
|fn(x)− f(x)|∫ b
a
(fn(x)− εn) dx ≤∫a
¯
b
f dα
εn ≥ |fn(x)− f(x)| ≤∫ b
a
f dα
fn(x)− εn ≤ f(x) ≤∫ b
a
(fn(x)− εn) dα
≤ fn(x) + εn
Cuando εn → 0
∫ b
a
f dα existe (por convergencia uniforme)
Cuando n→ +∞ : ∫ b
a
f dα = limn→+∞
∫ b
a
fn(x) dα
=
∫ b
a
limn→+∞
fn(x) dα
Truco
1
1 + x= 1− x+ x
2 − x3
+ . . .+ (−1)n
xn
+ . . .∫1
1 + x= ln(1 + x)∫ [
1− x+ x2 − x3
+ . . .+ (−1)n
xn
+ . . .]
= x− x2
2+x
3
3− x
4
4+x
5
5+ . . .+ (−1)
n+1 1
nxn
+ . . .
ln(2) =+∞∑n=1
(−1)n+1 1
n
Series y Convergencia Uniforme
1. Series de potencia y series de Taylor
2. Series de Fourier1
2π
∑an sin
(nl
2πx
)+ bn cos
(nl
2πx
)3. Series de funciones ortogonales (polinomios de Lebesgue, Laguerre
fn para trabajar con series tomamos fn =n∑i=0
aixi
Si fnu−→ f entonces:
1. limt→x
[lim
n→+∞fn(t)
]= lim
n→+∞
[limt→x
fn(t)]
Sea n ≤ m : |fn(x)− fm(x)| =∣∣∣an+1x
n+1+ . . .+ amx
m∣∣∣ donde |fn(x)− fm(x)| es la sucesion
de Cauchy
2. Si fn es continua, f es continua (especificamente para series de potencia si aixi
es continua)
3. limn→+∞∫ bafn(t) dt =
∫ ba
limn→+∞ fn(t) dt
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 25 M.Sc. Luis Berlioz
Ejemplo
e = limx→1
ex
= limn→+∞
[limx→1
+∞∑k=0
xk
k!
]
= limn→+∞
+∞∑k=0
1
k!
Observacion
La convergencia no uniforme implique limn→+∞
∫ b
a
fn(t) dt 6=∫ b
a
limn→+∞
fn(t) dt
Ejemplo
limn→+∞
n∑m=0
1
m+ 1= lim
n→+∞
n∑m=0
1
1 +1
m
· 1
m
=
∫ 1
0
1
x+ 1dx
1
m−→ dx
= ln(x+ 1)
∣∣∣∣10
= ln(2)
Diferenciacion y Convergencia Uniforme
Teorema
Sea fnu−→ f. fn (∀n) y f ′ son C ′ entonces lim
x→x0
df
dx(x) = lim
n→+∞
[limx→x0
dfndx
(x)
]Ejemplo
2x
= ex ln(2)
limx→0
d
dx2x
= limn→+∞
[limx→0
ex ln(2)
ln(2)]
= ey
= limn→+∞
ln(2)
= 1 + y +y
2
2+ . . .+
yn
n!+ . . . = ln(2)
φ(x) = x cuando x ∈ [−1, 1]φ(x+ 2) = φ(x) (periodica con p = 2)
Proposicion φ
1. 0 ≤ φ(x) ≤ 1 ∀x ∈ R
2. |φ(s)− φ(t)| ≤ |s− t|
3. φ es continua
Si |s− t| < δ tomamos ε = δ entonces |φ(s)− φ(t)| < ε
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 26 M.Sc. Luis Berlioz
Definicion
f(x) =+∞∑n=0
(3
4
)nφ(4n
x) +∞∑
n=0
(3
4
)n=
1
1− 3
4= 4
4nω :frecuencia
Si fk(x) =
k∑n=0
(3
4
)nφ(4n
x)
fk u−→ f
Ocupamos una cota para ∣∣∣∣(3
4
)nφ(4n
x)∣∣∣∣ ≤ (3
4
)n= Mn
Si fn(x) =+∞∑n=0
φn(x) y |φn(x)| ≤M donde∑Mn converge, entonces fn
u−→ f
f es continua en R. Para probar que nunca es diferenciable
f(x+ δ)− f(x)
δ=
+∞∑n=0
(3
4
)n [φ(4n
(x+ δ))− φ
(4n
x)]
δ
Para n, x arbitrario φ′ =φ(4n(x+ δ)
)− φ
(4nx)
δδ′ = 0 δ
2= 1 δm = 4
−m (12
)φ(4(x+ δn)) = φ
(4n
x+1
2
)Encuentra φ′ cuando n < m , φ′ = 0Ahora cuando n ≤ m nunca es cero
φ(4n(x+ δ)
)− φ
(4nx)
δ≤ 4
n(x+ δ)− 4
nx
4−m(
1
2
)≤ 1
φ′ > 1
Series de Potencias (Funciones Analıticas)
Sea f(x) =+∞∑n=0
cnxn
cn ∈ R (n = 1, 2, . . .)
Teorema
Si f(x) =+∞∑n=0
cnxn ∀ |x| < R entonces
+∞∑n=0
cnxn
u−→ f(x) en [−R+ε, R−ε] compacto (∀ ε > 0).
Ademas f es diferenciable y f ′(x) =+∞∑n=1
n cnxn−1
Demostracion
P.D.∑
cnxn
converge uniformementeSea [−R + ε, R− ε]⇐⇒ |x| ≤ R− ε ∣∣cnxn∣∣ ≤ ∣∣cn(R− ε)n
∣∣= Mn
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 27 M.Sc. Luis Berlioz
Notemos que∑
Mn converge∑Mn existe =⇒
n∑k=0
ckxk
u−→ f(k) lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h←− dx
n
dx= nx
n−1
P.D. Las sumas parciales convergenn∑k=0
k ckxk−1
converge con el mismo radio de convergencia
Ejemplo
+∞∑k=0
xn
=1
1− x|x| < 1
Criterio de la Razon
limk→+∞
∣∣∣∣∣(k + 1)ck+1xk
k ckxk+1
∣∣∣∣∣ = limk→+∞
k + 1
k
∣∣∣∣ck+1
ck
∣∣∣∣ |x|= lim
k→+∞
∣∣∣∣ck+1
ck
∣∣∣∣ |x|Que es exactamente el limite de f(x)
f ′(x) =+∞∑n=0
n cnxn−1
cn ∈ R (n = 0, 1, 2, . . .)
Teorema de Abel
Suponga f(x) =+∞∑n=0
cnxn
(−1 < x < 1) entonces limx→1
f(x) =+∞∑n=0
cn (continuidad tanto cualita-
tiva como cuantitativamente)
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 28 M.Sc. Luis Berlioz
Teorıa de la Medida
Definicion
R es un anillo o algebra de conjuntos si y solo si R es una familia tal que si a,B ∈ R entoncesA ∪B ∈ R ∧ A−B ∈ R
R es un anillo o σ-algebra si y solo si R es un anillo de conjuntos y si An ∈ R entonces+∞⋃n=1
An ∈ R
Ejemplo
R es un anillo de R , R = ∅,R
Observacion
1. Si R es un anillo entonces R tambien es cerrado para la interseccionSi A,B ∈ R entonces A−B ∈ R
A ∪B = A− (A−B) ∈ R ∪R tiene que existir
A−B = A ∩B
A− (A ∩B)
= A ∩[A ∩B
]= A ∩
[A
∪B]
(A ∩ A
)∪ (A ∩B) = A ∩B
2. Si R es un σ-algebra+∞⋂n=1
An
∪R =
(+∞⋃n=1
An
)
= ∪R
[+∞⋂n=1
A
n
]
=+∞⋂n=1
A
n
Ejemplo
Algebra pero no σ-algebra en RR = r ⊂ R ∧ |r| = n
Simplemente K donde K ∈ N+∞⋃k=1
K = N /∈ R
Observacion
La diferencia entre algebra y σ-algebra
Algebra Si Ai : i ∈ N ⊂ R A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ⊂ R
σ-algebra A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ⊂ R
Funcion de Conjuntos
Definicion
Es una funcion φ : 2Ω −→ R. En general φ : R −→ R donde R es σ-algebra
Eventos ←→ R un algebra
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 29 M.Sc. Luis Berlioz
Ejemplo
1. Un dado con Pr(x = 1 ∨ 2) =1
3x = 1 ∨ 2 no es un numero, es un eventoPara nosotros va a ser un subconjunto de Ω. 1, 2 ⊂ Ω
2. Lanzamiento de dados. Pr(x = 1 ∨ 2) = Pr(x = 1) + Pr(x = 2)En general Pr(A ∪B) = Pr(A) + Pr(B)− Pr(A ∩B)
Funcion Aditiva
Definicion
Es una funcion de conjuntos φ : R −→ R (R es algebra) tal que si A,B ∈ R y A∩B = ∅ entoncesφ(A ∪B) = φ(A) + φ(B)
Funcion Contablemente Aditiva
Definicion
Es una funcion aditiva definida en un σ-algebra tal que φ
(⋃i∈N
Ai
)=∑i∈N
φ(Ai)
Ejemplo
Funcion aditiva
R : A ∈ R ⇐⇒ A ⊂ R ∧ #A = n
=⇒ φ(A) = #A
No es contablemente aditiva ya que R no es σ-algebra
Propiedades
Si φ es una funcion aditiva sobre R entonces
1. φ(∅) = 0 φ ∩ A = ∅ donde A ∈ R
φ(∅ ∪ A) = φ(∅) + φ(A)
= φ(A) =⇒ φ(∅) = 0
2. Si Ai ∩ Aj = 0 entonces φ (A1 ∪ . . . ∪ An) = φ(A1) + . . .+ φ(An)H0 : A1 ∩ A2 = ∅ =⇒ φ (A1 ∪ A2) = φ (A1) + φ (A2)Hn: funciona para n− 1
φ(A1 ∪ . . . ∪ An−1
)= φ (A1) + . . .+ φ
(An−1
)P.D. Hn implica Hn+1(A1 ∪ . . . ∪ An−1
)∩ An = ∅ y esto implica la conclusion
3. φ (A1 ∪ A2) + φ (A1 ∩ A2) = φ (A1) + φ (A2)
(A1 − A2) ∪ (A2 − A1) ∪ A1 ∩ A2 = A1 ∪ A2
φ (A1 ∪ A2) = φ (A1 − A2) + φ (A1 − A2) + φ (A1 ∩ A2) + φ (A1 ∩ A2)
− φ (A1 ∩ A2)
= φ (A1) + φ (A2)− φ (A1 ∩ A2)
Nos queda
φ (A1 ∪ A2) + φ (A1 ∩ A2) = φ (A1) + φ (A2)
(a) Si φ(A) ≥ 0 ∧ A1 ⊂ A2 =⇒ φ (A1) ≤ φ (A2) monotonia
(b) Si φ(A−B) = φ(A)− φ(B) donde B ⊂ A y |φ(B)| < +∞
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 30 M.Sc. Luis Berlioz
Recordatorio
f es continua si y solo si ∀ xn −→ x entonces f(xn) −→ f(x)
Teorema
Sea φ una funcion contablemente aditiva definida en un σ-algebraSea A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . y A = ∪An entonces φ(An) −→ φ(A)
Demostracion
Como φ es aditiva contable entonces
φ(A) = φ(∪An)
=+∞∑n=1
φ(An)
Definimos la sucesion de conjuntos Bn
B1 = A1 B2 = A2 − A1 B3 = A3 − A2 − A1 Bn = An −
n−1⋃k=1
Ak
= An − An−1
∀ i 6= j : Ai ∩ Aj = ∅. Sin perdida de generalidad i < j , j ≤ i− 1 entonces Ai − Ai−1∩ A
i−1= ∅
An = B1 ∪B2 ∪ . . . ∪Bn φ(An) = φ(B1) + . . .+ φ(Bn)
= A1 ∪ A2 − A1 ∪ A3 − A2 ∪ . . . ∪ An − An−1 =n∑k=1
φ(Bk)
Esto quiere decir n→ +∞ , φ(An) −→ φ(A)
Definicion
Intervalo o caja [a1 , b1 ]×]a2 , b2 [×[an , bn ]
Medida de una caja m(I) =n∏i=1
(bi− a
i)
Conjunto elemental] Es la union finita de cajas
E : familia de todos los conjuntos elementales de Rn
Si A ⊂ E y A = I1 ∪ I2 ∪ . . . ∪ In (disjuntos o pares) y ∀ i 6= j : Ii ∩ Ij = ∅
m(A) = m(I1) +m(I2) + . . .+m(In)
Ejemplo
En R E esEn R2 E es
Observacion
1. E es un algebra pero no un σ-algebra
An =
[n.n+
1
2
]∪ An /∈ E
2. Si A ∈ E entonces se puede escribir (poner) como la union finita de cajas disjuntas
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 31 M.Sc. Luis Berlioz
3. Si A ∈ E la m(A) esta bien definida
4. m es aditiva en E
A ∩ C = ∅. Como A ∈ E podemos decir que A = A1 ∪ . . . ∪ AnI1 ∩ I2 = [a1 , b1 ]× [a2 , b2 ] B1 = A1 B2 = A2 − ∪A2 ∩ A1
H0 : A1 es la union de cajas disjuntasHipotesis de induccion, asumimos Hn (n son union de cajas disjuntas)P.D. Hn+1
A = B1 ∪B2 ∪ . . . ∪Bn B1 = [a1 , b1 ]× . . .× [am , bm ]
An+1 = [a′1, b′
1]× . . .× [a′
m, b′
m]
Tomamos
min b1 , b′1 = d1 max a1 , a
′1 = c1
Aa
n+1= [b1 , b
′1]× . . . A
b
n+1= [a′
1, b′
1]× . . .
Cada interseccion de Bi con An+1 se puede escribir como la union de cajas disjuntas∴ Hn+1 es cierto
Ejemplo
1. Vamos la medida alternativa de E (conjunto elemental de R)Sea α : R −→ R una funcion estrictamente creciente (α no necesariamente continua)
µ]a, b] = α(b
+)−(a
+)
µ[a, b] = α(b
+)−(a−)
µ]a, b[ = α(b−)−(a
+)
µ[a, b[ = α(b−)−(a−)
Por el contrario m[a, b[= b− a donde α(b
+)
= limx→b+
α(x) ∧ α(b−)
= limx→b−
α(x)
2. Sea α =
0 x < 0
x+ 1 0 ≤ x ≤ 2
ex
+ 1 2 < x < +∞µ]0, 2] = e
2 − 1 µ[0, 2] = e2
µ[0, 2[= 3 µ]0, 2[= 2
Con esta misma idea se puede medir cualquier E en Rn
R2
µ(]0, 2[×[1, 2[) = µ]0, 2[·µ[1, 2[
m(]0, 2[×[1, 2[) = (2− 0)× (2− 1)
= m]0, 2[·m[1, 2[
La idea es crear m∗ = supE∈E ∧E⊂A
m(E)
Definicion
Sea φ : E −→ R donde φ es:
1. No negativa
2. Aditiva
Decimos que φ es regular si y solo si ∀A ∈ E y ∀ ε > 0 ∃F,G ∈ E donde F es cerrado, G es abierto.Donde F ⊂ A ⊂ G y
φ(G)− ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + ε φ(F ) ≤ φ(A) ≤ φ(G)
Para todo ε > 0 se puede encontrar F,G tal que φ(G)− ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + εAseveracion m(]a, b]) = b− a es una funcion regular
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 32 M.Sc. Luis Berlioz
Ejemplo
Sea A = [1, 2[ ε = 0.01. Encuentre F y G
F = [1, 2− ε[ m(G)− 0.01︸ ︷︷ ︸1
≤ m(A)︸ ︷︷ ︸1
≤ m(F ) + 0.01︸ ︷︷ ︸1
G = ]1− ε, 2[
Teorema
m]a, b] = b− a es una funcion regular
Demostracion
Por induccion para n = 1
Para todo ε > 0 si A = [a, b] entonces tomamos F =[a+
ε
2, b− ε
2
]∧ G =
]a− ε
2, b+
ε
2
[Notemos que mF = b− a− ε ∧ mG = b− a+ εTomamos el caso para n como cierto. Demostramos que implica n+ 1
A = [a1 , b1 ]× . . .× [an , bn ]× [an+1 , bn+1 ]
Por hipotesis de induccion para A−1 existen mG−1 − εn/n+1 ≤ mA−1 ≤ mF−1 + ε
n/n+1
Notemos que mA = mA−1
(bn+1 − an+1
). Tomamos
G = G−1 ×]an+1 − ε
1/n+1
, bn+1 + ε1/n+1
[F = F−1 ×
[an+1 + ε
1/n+1
, bn+1 − ε1/n+1
]mG = mF−1
(bn+1 − an+1 + ε
2/n+1)
Definicion
Sea Ai un cubrimiento de conjuntos elementales de un conjunto EAi : i = 1, . . . , n. Recordando Bi : i = 1, . . . , n Bi ⊂ E
m∗(E) = supn⋃i=1
Bi
m∗ es aditiva (medida exterior). Se define µ∗
(medida exterior) como
µ∗(E) = inf
+∞∑i=1
µ(Ai) −→ µ(]a, b]) = b− a
Ejemplo
Sea E = [0, 1]+∞∑n=0
1
2n= 2 medida deseable
No se puede medir con conjuntos elementales, pero con familias numerables
An = [n, n+ 1] : n = 0, 1, . . .+∞∑n=0
µAn = +∞ µ∗(E) < +∞
Simplemente tomamos A =
[0, 1], n+[2n, 2
n+1]
: n = 0, 1, . . .
al sumar n se traslada al intervalo
µ∗(E) =
∑Ai∈A
µ(Ai)
= 2
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 33 M.Sc. Luis Berlioz
Conjunto de Cantor
C0
C1
C2
C3
C∞Medida de lo que se quita:
+∞∑n=0
2n
3n+1 =1
3
+∞∑n=0
(2
3
)n
=1
3
1
1− 2
3
= 1
Medida de lo que queda
1−+∞∑n=0
2n
3n+1 = 0
Medida exterior A = A1 , . . . , An Ai ∈ E son numerables
∀A : µ∗
= infA
+∞∑i=1
µ(Ai)
C∞ es a la vez totalmente desconexo, no numerable µ∗(C∞) = 0
Tenemos definido Ci donde C0 = [0, 1] ∧ C1 = [0, 13], [2
3, 1]
µ∗(B) ≥ 0
Los Ci siempre cubren C∞
0 ≤ µ∗(C∞)
≤ µ∗(Cn) para cualquiern
= 0
∴ µ∗(C∞) = 0
Observacion
Intervalo medida cero # [a, a] = 1
C∞ =⋃
a∈C∞
[a, a] no se puede reducir mas
Si x, y ∈ C∞ tiene que existir n tal que y − x > 3−n
=⇒ y = x + 3−n
que es lo que se quito delconjunto de CantorRecordemos que µ : E −→ R donde µ es:
1. No negativa
2. Regular
3. Aditiva
4. Finita
µ∗(A) = inf
A
∑µ∗(En) donde A = En : n = 1, 2, . . .. A ⊂ ∪A
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 34 M.Sc. Luis Berlioz
Teorema
1. Si A ∈ E entonces µ∗(A) = µ(A)
2. Si E =+∞⋃n=1
En entonces µ∗(E) =
+∞∑n=1
µ∗(En) subaditividad
Demostracion
1. P.D. Como µ es regular entonces existe F ⊂ A ⊂ G (F cerrado, G abierto, F,G ∈ E) tal quepara todo ε > 0
µ(G)− ε < µ(A) < µ(F ) + ε
µ(G) < µ(A) + ε
Por definicion
µ∗(A) ≤ µ(A)
Por definicion de µ∗(A) existe
A = En :+∞∑n=1
µ(En) ≤ µ∗(A) + ε
N∑n=1
1
2n≥ 1− ε
Recordemos que F es un conjunto elemental (union finita de cajas). F compactoComo ∪A ⊃ A.A es un cubrimiento abierto de F entonces existen
E1 ∪ . . . ∪ En ⊃ F : µ∗(A) ≤ µ(F ) + ε
≤ µ(E1 ∪ . . . ∪ EN) + ε
≤N∑i=1
µ(Ei) + ε por aditividad
≤ µ∗(A) + 2ε
(a) µ∗(A) ≤ µ(A)
(b) µ(A) ≤ µ∗(A) + 2ε ∀ ε > 0
∴ µ(A) = µ∗(A)
2. P.D. ∀ ε > 0 ∧ En ∃ Ank k = 1, 2, . . . tal que+∞∑n=1
µ(Ank) ≤ µ∗(En) + 2
−nε ∗
Recordando que∑
µ(En) ≤ µ∗(A) + ε de la parte anterior
µ∗(E) ≤
+∞∑n=1
+∞∑k=1
µ(Ank)
≤+∞∑n=1
µ∗(En) + ε
+∞∑n=1
2−n
︸ ︷︷ ︸ε
Por ∗ En ⊂+∞⋃n=1
Ank
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 35 M.Sc. Luis Berlioz
Medida y Topologıa
R: ¿Habra algun abierto con medida cero?Si A ⊂ R es abierto (topologıa habitual) A 6= ∅x ∈ A =⇒ ∃ ]a, b[ vecindario de x. Sea x ∈]a, b[⊂ A
µ∗]a, b[ ≤ µ
∗(A)
0 < (b− a) ≤ µ∗(A)
¿Compacto con medida cero? 1 , 1, 2
Teorema
Compacto con medida cero es finitoSi K es compacto+medida cero (en R) entonces K es finito
Demostracion
Asumamos que K es compacto e infinitoSi K es compacto =⇒ K es acotado
B =
1
n: n ∈ N
∪ 0 es compacto
Cubrimos cada+∞∑n=1
ε
2n= ε
µ∗(B) = 0
Todo conjunto numerable es de medida cero, pues para cada x ∈ B tomamos un vecindario de
medida ceroε
2n
µ∗(B) ≤
+∞∑n=1
ε
2n
= ε
Observacion
No hay ninguna relacion con los conjuntos cerrados y la medidaφ es regular si y solo si ∀A∃F,G : φ(G)− ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + ε
Teorema
Si A es abierto y denso. µ∗A ≥ µ
∗K para todo conjunto medible
Definicion
Diferencia simetrica Si A,B ⊂ Rnentonces:
S(A,B) = (A−B) ∪ (B − A)
S(A,B) = S(B,A)
Distancia entre conjuntos d(A,B) = µ∗(S(A,B))
Convergencia An −→ A⇐⇒ d(An, A) −→ 0Metrica d : E −→ R
1. d(a, b) = 0 si y solo si a = b
d(A,A) = µ∗(S(A,A))
= µ∗((A− A) ∪ (A− A))
= 0
Editado por Mauricio Zelaya Aguilar
Analisis Matematico II 36 M.Sc. Luis Berlioz
2. d(a, b) = d(b, a) queda por la diferencia simetrica
3.
d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)
d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B)
µ∗(S(A,B)) ≤ ?
d(Cantor, ∅) = 0
µ-medible (M(µ))
Definicion
Sea E los conjuntos elementales de Rpentonces:
A es infinitamente µ-medible (A ∈MF
(µ)) si y solo si ∃ An ⊂ E : An −→ AE es µ-medible (E ∈M(µ)) si y solo si E es la union numerable de conjuntos Fmµ-medible ⇐⇒ ∃An ⊂M
F(µ)/E = ∪An
Cubren a CantorA0 = C0
A1 = C1
An = Cnd(Cn, C) −→ 0 d(Cn, C)︸ ︷︷ ︸
=0
≤ d(Cn, I)︸ ︷︷ ︸=0
+ d(C, I)︸ ︷︷ ︸=0
Observacion
Cn, C singular
d(A,B) = det(A·B)
≤ d(I, Cn)︸ ︷︷ ︸0
+ d(I, C)︸ ︷︷ ︸0
= 0
Recordatorio
µ∗A = inf
E
∑µAn donde A ⊂ ∪An
Teorema
1. M es un σ-algebra
2. µ∗
es contablemente aditiva en M(µ)
Demostracion
P.D. Los conjuntos finitamente medibles son un σ-algebra (MF
(µ))
1. La union de dos conjuntos finitamente medibles es medible
2. La diferencia de dos conjuntos finitamente medibles es medible
Supongamos A,B ∈MF
(µ)⇐⇒ ∃An ∧ Bn ∈ E : An −→ A ∧ Bn −→ BEn general
An ∪Bn −→ A ∪BAn −Bn −→ A−B
An −→ A ⇐⇒ d(An, A) −→ 0m
∀ ε∃N : n ≤ N
µ : M(µ) −→ R ∧ µ∗A = µA
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Analisis Matematico II 37 M.Sc. Luis Berlioz
Medida de Lebesgue
Definicion
La extension a M(µ) donde µ = m.m]a, b[= b− a
Resultados
1. Sea A un abierto, entonces A ∈M(µ)Notemos que B ⊂ E donde B = todas las cajas abiertasb ∈ B si y solo si b =]− [× . . .×]− [B es una base de la topologıa habitual de Rn
A es la union contable de elementos de B, o sea de E∴ A ∈M(µ)
2. µ (extension) es regular si y solo si para todo A ∈ M(µ) y ε > 0 existen F (cerrado) y G(abierto) donde F ⊂ A ⊂ G tal que µG− ε ≤ µ(A) ≤ µF + εSea g
i: i ∈ N un cubrimiento de A por abiertos tal que µg
i≤ 2
−ıε
Cubrimos a A con una familia numerable de abiertosPor otro lado A ∈M(µ) existe tal que An ∈MF
(µ) y A = ∪An
(a) Entonces existe G tal que A ⊂ G.G abierto y µ(G− A) < εRecordemos que
µA = µ∗A
= inf+∞∑n=0
µAn
Entonces para ε existe un cubrimiento abierto y elemental En tal que
+∞∑n=0
µEn − µ∗A < ε G = ∪En µG ≤
∑µEn
Podemos ver que A ⊂ G
0 ≤ µG− µA
≤∑
µEn − µA
< ε
Tenemos que µG− µA < ε =⇒ µ(G− A) < ε , [(G− A) ∩ A = ∅]
µ(G− A) ≥ µG− µAµ(G− A) + µA ≥ µG
µ(G− A) + µA = µG
µ(G− A) = µG− µA
(b) Entonces existe F tal que F ⊂ A.F cerrado y µ(A− F ) < ε.A ⊂ F
Notemos que quiere decir F ⊂ A. Sabemos que µ(F
− A)< ε
P.D. µ(A− F ) < ε
F − A
= F ∩ A µ(A− F ) = µ
(F
− A)
= A ∩ F < ε
= A− F
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Analisis Matematico II 38 M.Sc. Luis Berlioz
Conjuntos de Borel
B(R) = BEs la σ-algebra mas pequena que contiene a todos los intercvalos abiertosEquivalentemente son todos los conjuntos generados por las intersecciones y uniones de abiertos ycerrados
B ∈ B ⇐⇒ B = ∪Kn ∨ ∩An
Teorema
Para toda µ los conjuntos de medida cero forman un σ-algebra
Espacio Medible
Un conjunto X es medible si y solo si existe un σ-algebra de subconjuntos de X (M) y una funcionµ
1. No negativa
2. Contable
3. Aditiva
Ejemplo
N = 0, 1, . . . son un conjunto medible. M = 2N
µ(n) =λn
eλn!distribucion de Poisson
Buscar Pr(n ∈ N)
Pr(n ∈ N) =+∞∑n=1
µ(n)
=1
eλ∑ λ
n
n!
=eλ
eλ
= 1
Funcion Medible
Definicion
Sea f : X −→ R (X medible). f es medible si y solo si para todo a ∈ R entonces x : f(x) > aes medible
Ejemplo
Si f : R −→ R y f es continua entonces f es medibleSabemos que todo abieto es medible. Notemos que f(R) ⊃ f(x) : f(x) > a Y = f(X) Y ⊂ RLos conjuntos del tipo A = f(x) > a : x ∈ R. A ⊂ Y son abiertos en Y
f−1
(A) = x ∈ R : f(x) > a
Como A es abierto y f es continua: x ∈ R : f(x) > a es abierto∴ Es medible
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Analisis Matematico II 39 M.Sc. Luis Berlioz
Teorema
1. x : f(x) > a es medible
2. x : f(x) < a es medible
3. x : f(x) ≥ a es medible
4. x : f(x) ≤ a es medible
Demostracion
1 =⇒ 2 Si todo x : f(x) > a es mediblePor definicion f es medible entonces x : f(x) < a tambien es medible∴ Es medible
2 =⇒ 4 Notemos que+∞⋂n=1
x : f(x) < a+
1
n
= x : f(x) ≤ a
∀ a ∈ R x : f(x) ≤ a
4 =⇒ 3 Es identico a 1 =⇒ 2
4 =⇒ 1 Es evidente
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