Post on 08-Jul-2015
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CIRCUNFERENCIA
Es una línea curva plana, donde cada uno de sus puntos equidistan de un punto interior llamado centro.
AB
C
d O
ELEMENTOS:
O
S
A B
C
D
E
T
Centro:
Diámetro:
Radio:
Cuerda:
Recta tangente:
Recta secante:
O
AB
OC
DE
T
S
PROPIEDADES EN LA CIRCUNFERENCIA
1.Todo diámetro divide a la circunferenciaen dos arcos congruentes, llamadas semicircunferencias.
A BO
180°
180°
2.Radio y tangente.-el radio trazado por el punto de tangencia es perpendicular a dicha recta.
o
A
B
3.Tangentes exteriores:
A
B
C
D
AC = BD
P
QR
S
QS = PR
A
B
P
PA = PB
5.Cuerda y mediatriz.la mediatriz «L» de una cuerda AB pasa por el centro de la circunferencia.
L
A
B
M
6.Si
O
A BM
P
A B
C D
AB
P
R
AM = MB
OP AB AM = MB
AP = PB
7.Si AB / / CD los arcos comprendidosson iguales.
8.Si las cuerdas son iguales los arcos no comprendidos son iguales.
9.Si AB = CD
O
A
B
C
D
a
a
10.Si A y B son puntos de tangencia
a aA B
Problemas resueltos
1.En la figura, a = b y MN = 10u , halla PC
Desarrollo:
Por propiedad: PC = 10u
2.En la figura halla BP, si el perímetro del triánguloABC = 24cm y AC = 7m
Desarrollo:
x x
a
a
b
b
Por propiedad de los tangentes:
24 = 2 a + 2 b + 2 x
12 = a + b + x
Pero a + b = 7
12 = 7 + x
X = 5
3.En la figura «o» es el centro y T es punto de tangenciahalla: m ATP
Desarrollo:
23°
Por radiotangente
67m ATP
4.En el grafico AB // CD y EB // ADhalla el arco EC.
Desarrollo:
Si AB // CD, sus arcos comprendidosson iguales.
X – 20° = 140° - x
X = 80°
Los arcos comprendidos entre lasparalelas AD Y EB son iguales
Rta: 60°
5.Halla «x» si A y B son puntos de tangencia.
Desarrollo:
9
37°
O
En el triángulo rectángulo PAOpor ángulos notables de 37° y 53°
X = 74°
6.Si a y b son puntos de tangencia, q = 85°halla la medida de a
aq
Por propiedad a = 85°
PROPIEDADES:
1.Angulo central
El ángulo central está formadopor el radio y mide igual que el arco.
O
A
B
a a
2.Ángulo inscrito.
El ángulo inscrito está formado pordos cuerdas y mide la mitad de su arco correspondiente.
A
B
C
2 aa
3.Angulo semi-inscrito
El ángulo semi-inscrito está formado por unacuerda y una recta tangente.Es la mitad del arco correspondiente.
A
T
B
2 a
a
4.Ángulo interior.
El ángulo interior está formadopor la intersección de dos cuerdasy es igual a la semisuma de los arcoscomprendidos.
A
B
C
D
a
b
q
2
a bq
4.Ángulos exteriores.
A
B
Pqa b
2
a bq
A
B
Pq
a
b
2
a bq
A
B
Pq
a
b
2
a bq
Además: a b 180
Problemas resueltos
1.En los siguientes gráficos encuentrael valor de «x»
a )
Por ángulo inscrito:
X = 220°
b)
Por ángulo inscrito:
X = 40°
C )
Por ángulo semi –isncrito:
X = 120°
d)
Por ángulo interior:
60 20
2x
X = 40°
e)
Por ángulo exterior:
100 60
2x
x = 20°
f)
78° + X = 180°
X = 102°
2.En el siguiente gráfico AB // CD, halla q .Si:
AB + CD = 260°
Desarrollo:
AB // CD entonces los arcos comprendidosson iguales.
xx
Sumando los arcos tenemos:
260° + 2x = 360°
X = 50°
Por ángulo interior:
100
2q
50q
3. En la figura, halla el arcoAB.
Desarrollo:
a b
Por ángulos internos:
502
a b
a + b =100°
Por ángulos exteriores:
102
a b
a – b = 20°
Sumando ambas ecuaciones:
a + b = 100°a – b = 20°
Resolviendo :
a = 60°
4. AB es diámetro y PQ//AB,halla el arco PT ( P punto de tangencia)
Desarrollo:
20°40°
x
X + 40°
2 x + 80° 180°
X = 50°
20mQAB Por alternos internos
Arco TB = 40° por ángulo inscrito.
Arco AP = X + 40° por propiedad de las paralelas
5.Halla «x» si arco AD = 70°
Desarrollo:
70°
Por ángulo interior:
7090
2
x
X = 110°