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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS. SEVILLA
Análisis del comportamiento en fractura de elementos de hormigón
armado mediante X-FEM Proyecto Fin de Carrera
Autor: Ignacio Carranza Guisado
Tutores: Dr. Héctor Cifuentes Bulté
Dr. Fernando Medina Encina
Sevilla, Julio de 2014
Análisis del comportamiento en fractura de elementos
de hormigón armado mediante X-FEM
Autor: Ignacio Carranza Guisado
Tutores: Dr. Héctor Cifuentes Bulté
Dr. Fernando Medina Encina
Proyecto de Fin de Carrera entregado al Departamento de Mecánica de
los Medios Continuos y Teoría de Estructuras como requerimiento para la
obtención del
TÍTULO SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL PLAN 98
Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla, España
Julio de 2014
“El precio del éxito es el trabajo duro, la dedicación para el
trabajo inmediato y la determinación de que ya sea que se gane
o se pierda, se ha dado lo mejor de uno mismo en la tarea
realizada. El único lugar donde el éxito aparece antes que el
trabajo es el diccionario”.
-Vince Lombardi
Agradecimientos.
No son pocas las personas que merecen una mención especial en este proyecto, por
haber contribuido, de alguna u otra forma, a la elaboración y consecución del mismo,
finalizando así mis estudios como Ingeniero Industrial.
En primer lugar agradecer a mis padres la educación que me han proporcionado desde
la infancia, formándome en los valores del esfuerzo y el trabajo duro diario, así como
en la responsabilidad que conllevan nuestros actos y decisiones. Gracias a ellos he
tenido la oportunidad de formarme como Ingeniero en las mejores condiciones
posibles y han servido como un apoyo incondicional, nunca dejándome desfallecer
durante estos años.
A mi hermano Miguel, reflejo de todos los valores que una persona debe tener. Él es el
espejo en el que uno debe mirarse para progresar día tras día. Ha sido mi primera
referencia como Ingeniero y como individuo, y ha demostrado que, si luchas por ello,
los sueños se pueden alcanzar, por muy difíciles o improbables que éstos puedan
parecer.
A mis “hermanos”, por su apoyo constante en los buenos y en los malos momentos, así
como por sus consejos en cualquier ámbito de la vida.
Al Dr. D. Héctor Cifuentes Bulté y al Dr. D. Fernando Medina Encina, por haber
contribuido a mi iniciación en la investigación y haber depositado en mí su confianza
para la elaboración de este proyecto basado en recientes técnicas de análisis
numérico.
Finalmente, no puedo dejar escapar la ocasión de agradecer profundamente a amigos
y compañeros de fatigas que han vivido conmigo estos último años, los cuales han
constituido un pilar fundamental, tanto en el plano personal como en el de estudiante.
Del mismo modo, mostrar mi gratitud a todos aquellos que no creyeron en mí, pues su
falta de confianza hacia mi persona no ha hecho más que servir como fuente de
motivación.
A todos ellos, muchas gracias.
I
Resumen.
El objetivo del presente proyecto es la modelización de la mecánica de la fractura de
un material cuasi-frágil, como es el hormigón, mediante el nuevo método conocido
como X-FEM (Método de los Elementos Finitos Extendido). De esta manera, se
pretende verificar si es posible o no aplicar dicha técnica para el estudio de estructuras
compuestas por elementos de este tipo de material.
El X-FEM consiste en una modificación del tradicional Método de los Elementos Finitos,
incluyendo variaciones que permiten modelar discontinuidades (grietas) sin necesidad
de volver a mallar. Ello se consigue mediante un enriquecimiento de la malla
añadiendo grados de libertad en los nodos de los elementos que se encuentran
intersectados por la fisura en cuestión. Esto permite representar la propagación de las
grietas de manera visual, haciendo más sencilla la interpretación de los resultados,
traduciéndose este hecho en una ventaja novedosa frente a otros modelos. Conviene
destacar que en la actualidad solamente existe un único programa de cálculo que
tenga implementado X-FEM, el software Dassault Systemes Simulia Abaqus, el cual ha
sido utilizado a lo largo de toda la investigación.
Para llevar a cabo la comprobación de la validez de este método aplicado al hormigón,
el trabajo aquí expuesto ha pretendido estudiar varios casos, ordenados de menor a
mayor complejidad. De esta forma, en primer lugar se ha estudiado una viga entallada
de hormigón en masa sometida a una carga en su sección central, de manera que se
está obligando a la misma a romper por dicha entalla. En otras palabras, se conoce a
priori el modo de rotura de la estructura. A continuación se ha realizado un análisis
similar para una viga reforzada con barras de acero, en este caso sometida a flexión en
cuatro puntos, con el fin de comprobar si X-FEM es capaz de realizar análisis numéricos
que resulten de mayor utilidad para el mundo real.
Para añadir veracidad a las simulaciones, se han comparado los resultados obtenidos,
mediante el correspondiente software de cálculo, con datos experimentales y con el
conocido como modelo de daño plástico del hormigón.
Todo esto ha permitido establecer que, efectivamente, X-FEM puede aplicarse a este
tipo de materiales, arrojando resultados verosímiles y ajustados a lo que la experiencia
ha determinado mediante ensayos. Además, se han extraído interesantes conclusiones
acerca de ventajas e inconvenientes que presenta el Método de los Elementos Finitos
Extendido frente a otros modelos en cuanto a precisión de resultados en comparación
con la realidad, y en lo referente a ahorro computacional
II
Índice Resumen. ........................................................................................................................... I
Capítulo 1: Conceptos Previos .......................................................................................... 1
1. Comportamiento del hormigón. ............................................................................... 2
2. Propiedades de fractura del hormigón. .................................................................... 4
3. Mecánica de la fractura del hormigón con MEF. ...................................................... 4
4. Método de los Elementos Finitos Extendido. ........................................................... 5
4.1. Introducción. ...................................................................................................... 5
4.2. Funciones de enriquecimiento. .......................................................................... 6
5. Uso del software Abaqus. ....................................................................................... 10
6. Modelo de daño plástico en el hormigón. .............................................................. 11
6.1. Introducción. .................................................................................................... 11
6.2. Relaciones tensión-deformación. .................................................................... 11
6.3. Función de fallo. ............................................................................................... 13
6.4. Curvas de comportamiento del hormigón. ...................................................... 14
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos ................................................................ 17
1. Introducción. ........................................................................................................... 18
2. Datos de partida. ..................................................................................................... 18
3. Implementación de los modelos. ............................................................................ 20
3.1. Modelo de daño plástico. ................................................................................. 20
3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido. .................................................. 31
3.3. Combinación de modelo de daño plástico y X-FEM......................................... 38
4. Resultados. .............................................................................................................. 41
4.1. Curvas experimentales. .................................................................................... 41
4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP. ............................................. 43
4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM. .......................................................... 46
4.4. Resultados de la aplicación conjunta de CDP y X-FEM. ................................... 50
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos ............................................................ 56
1. Introducción. ........................................................................................................... 57
2. Datos de partida. ..................................................................................................... 57
3. Modelos. ................................................................................................................. 59
3.1. Modelo de daño plástico. ................................................................................. 59
III
3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido. .................................................. 63
4. Resultados. .............................................................................................................. 69
4.1. Curvas experimentales. .................................................................................... 69
4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP. ............................................. 71
4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM. .......................................................... 73
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad ................................................................................ 77
1. Introducción. ........................................................................................................... 78
2. Datos de partida. ..................................................................................................... 78
3. Casos. ...................................................................................................................... 80
4. Cálculo teórico. ....................................................................................................... 80
5. Resultados. .............................................................................................................. 82
5.1. Carga de plastificación de la armadura teórica. ............................................... 82
5.2. Curvas carga-desplazamiento. ......................................................................... 82
5.3. Patrón de fisuras. ............................................................................................. 85
5.4. Análisis de sensibilidad. .................................................................................... 88
Capítulo 5: Conclusiones ................................................................................................ 90
Bibliografía ...................................................................................................................... 93
Referencias.................................................................................................................. 94
Índice de figuras Figura 1. Comportamiento del hormigón a tracción ........................................................ 3
Figura 2. Comportamiento material frágil ....................................................................... 3
Figura 3. Comportamiento material dúctil ....................................................................... 3
Figura 4. Nodos enriquecidos ........................................................................................... 6
Figura 5. Nodos enriquecidos con la función de Heaviside .............................................. 7
Figura 6. Vectores tangenciales y normales ..................................................................... 8
Figura 7. Discretización de una grieta interior ................................................................. 9
Figura 8. Superficies de fallo del hormigón en tensión plana ......................................... 14
Figura 9. Comportamiento del hormigón a compresión ................................................ 15
Figura 10. Comportamiento del hormigón a tracción .................................................... 15
Figura 11. Viga entallada ............................................................................................... 18
IV
Figura 12. Modificaciones de la geometría para Abaqus ............................................... 19
Figura 13. Assembly ........................................................................................................ 22
Figura 14. Geometría ensamblada en Abaqus (CDP) ..................................................... 22
Figura 15. Detalle de la partición manual ...................................................................... 23
Figura 16. Step: información básica ............................................................................... 24
Figura 17. Step: información del incremento ................................................................. 25
Figura 18. Step-1. Especificaciones 1 .............................................................................. 26
Figura 19. Step-1. Especificaciones 2 .............................................................................. 27
Figura 20. Mallado (CDP) ................................................................................................ 28
Figura 21. Detalle mallado (CDP) ................................................................................... 28
Figura 22. Sets de nodos ................................................................................................. 29
Figura 23. Equation (Constraint) .................................................................................... 30
Figura 24. Geometría ensamblada en Abaqus (X-FEM) ................................................. 32
Figura 25. Edición Field-Output ...................................................................................... 33
Figura 26. Cuadro de diálogo Crack Edition ................................................................... 34
Figura 27. Create Interaction .......................................................................................... 34
Figura 28. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (I) .................................................... 35
Figura 29. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (II) ................................................... 35
Figura 30. Mallado (XFEM) ............................................................................................. 36
Figura 31. Detalle del mallado (XFEM) ........................................................................... 36
Figura 32. Extracto de "Extended finite element method for cohesive crack growth".
Moës & Belytschko ......................................................................................................... 37
Figura 33. Modelo completo con interacciones definidas (X-FEM) ................................ 38
Figura 34. Edición de propiedades (CDP+XFEM) ............................................................ 40
Figura 35. Ensayo experimental 1 (viga entallada) ........................................................ 41
Figura 36. Ensayo experimental 2 (viga entallada) ........................................................ 42
Figura 37. Ajuste numérico (viga entallada) .................................................................. 42
Figura 38. Curva P- (CDP Gf=145N/m).......................................................................... 43
Figura 39. Curvas numéricas P- para distintas Gf (CDP) .............................................. 44
Figura 40. Curva P- (CDP Gf=80N/m)............................................................................ 44
Figura 41. Patrón de fisuras viga entallada (CDP) .......................................................... 45
Figura 42. Detalle del patrón de fisuras viga entallada (CDP) ....................................... 45
V
Figura 43. Curva P- (X-FEM Gf=145N/m) ...................................................................... 46
Figura 44. Curvas numéricas P- para distintas Gf (X-FEM) ........................................... 47
Figura 45. Curva P-d (X-FEM Gf=110N/m)...................................................................... 47
Figura 46. Patrón de fisuras viga entallada (X-FEM) ...................................................... 48
Figura 47.Influencia del mallado y Gf (I) ........................................................................ 49
Figura 48. Influencia del mallado y Gf (II)....................................................................... 49
Figura 49. Job-1. Referencia (CDP+XFEM) ...................................................................... 50
Figura 50. Job-2 (CDP+XFEM) ......................................................................................... 51
Figura 51. Job-3 (CDP+XFEM) ......................................................................................... 51
Figura 52. Job-4 (CDP+XFEM) ......................................................................................... 52
Figura 53. Job-5 (CDP+XFEM) ......................................................................................... 52
Figura 54. Patrón de fisuras Job-1 (CDP+XFEM) ............................................................. 53
Figura 55. Patrón de fisuras Job-2 (CDP+XFEM) ............................................................. 53
Figura 56. Patrón de fisuras Job-3 (CDP+XFEM) ............................................................. 53
Figura 57. Patrón de fisuras Job-4 (CDP+XFEM) ............................................................. 54
Figura 58. Patrón de fisuras Job-5 (CDP+XFEM) ............................................................. 54
Figura 59. Geometría viga armada ................................................................................ 57
Figura 60. Sección viga armada...................................................................................... 57
Figura 61. Geometría modificada en Abaqus ................................................................. 58
Figura 62. Creación sección armadura ........................................................................... 60
Figura 63. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada CDP) ................................ 61
Figura 64. Creación de región embebida ........................................................................ 61
Figura 65. Mallado (viga armada CDP) .......................................................................... 62
Figura 66. Cargas y condiciones de contorno (viga armada CDP) .................................. 63
Figura 67. Cuadro de diálogo de propiedades del hormigón (viga armada) ................. 64
Figura 68. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada X-FEM) ............................ 65
Figura 69. Step: información del incremento (Static, Riks) ............................................ 66
Figura 70. Selección de regiones X-FEM ......................................................................... 67
Figura 71. Mallado (viga armada X-FEM) ...................................................................... 68
Figura 72. Detalle del mallado (viga armada X-FEM) .................................................... 68
Figura 73. Cargas y condiciones de contorno (viga armada X-FEM) .............................. 69
Figura 74. Ensayo experimental 1 (viga armada)........................................................... 69
VI
Figura 75. Ensayo experimental 2 (viga armada)........................................................... 70
Figura 76. Ensayo experimental 3 (viga armada)........................................................... 70
Figura 77. Ajuste numérico (viga armada) ..................................................................... 71
Figura 78. Curva P- (Job-1 viga armada CDP) ............................................................... 71
Figura 79. Curva P- (Job-2 viga armada CDP) ............................................................... 72
Figura 80. Patrón de fisuras (viga armada CDP) ............................................................ 73
Figura 81. Detalle patrón de fisruas (viga armada CDP) ................................................ 73
Figura 82. Curva P- (Job-1 viga armada X-FEM) ........................................................... 73
Figura 83. Curva P-d (Job-2 viga armada) ...................................................................... 74
Figura 84. Modos de rotura (Jiménez Montoya) ............................................................ 75
Figura 85. Patrón de fisuras (Job-1 viga armada) .......................................................... 75
Figura 86. Detalle STATUSXFEM (Job-1 viga armada) .................................................... 75
Figura 87. Patrón de fisuras (Job-2 viga armada) .......................................................... 75
Figura 88. Detalle STATUSXFEM (Job-2 viga armada) .................................................... 76
Figura 89. Geometría de la viga armada (II) .................................................................. 78
Figura 90. Sección de la viga armada (II) ....................................................................... 78
Figura 91. Geometría modificada en Abaqus (viga armada (II)) .................................... 79
Figura 92. Curva P- (caso 1) .......................................................................................... 83
Figura 93. Curva P- (caso 2) .......................................................................................... 83
Figura 94. Curva P- (caso 3) .......................................................................................... 84
Figura 95. Curva P- (caso 4) .......................................................................................... 84
Figura 96. Curvas P- (todos los casos) .......................................................................... 85
Figura 97. Patrón de fisuras (caso 1) .............................................................................. 85
Figura 98. Detalle STATUSXFEM (caso 1) ....................................................................... 86
Figura 99. Patrón de fisuras (caso 2) .............................................................................. 86
Figura 100. Detalle STATUSXFEM (caso 2) ..................................................................... 86
Figura 101. Patrón de fisuras (caso 3) ............................................................................ 87
Figura 102. Detalle STATUSXFEM (caso 3) ..................................................................... 87
Figura 103. Patrón de fisuras (caso 4) ............................................................................ 87
Figura 104. Detalle STATUSXFEM (caso 4) ..................................................................... 87
Figura 105. Influencia de Gf y armadura ........................................................................ 88
VII
Figura 106. Influencia del límite elástico ........................................................................ 89
Índice de ecuaciones Ecuación I .......................................................................................................................... 6
Ecuación II ......................................................................................................................... 8
Ecuación III ........................................................................................................................ 9
Ecuación IV ...................................................................................................................... 10
Ecuación V ....................................................................................................................... 11
Ecuación VI ...................................................................................................................... 11
Ecuación VII ..................................................................................................................... 12
Ecuación VIII.................................................................................................................... 12
Ecuación IX ...................................................................................................................... 12
Ecuación X ....................................................................................................................... 12
Ecuación XI ...................................................................................................................... 13
Ecuación XII ..................................................................................................................... 13
Ecuación XIII .................................................................................................................... 13
Ecuación XIV ................................................................................................................... 13
Ecuación XV .................................................................................................................... 13
Ecuación XVI ................................................................................................................... 16
Ecuación XVII .................................................................................................................. 16
Ecuación XVIII ................................................................................................................. 16
Ecuación XIX .................................................................................................................... 16
Ecuación XX ..................................................................................................................... 16
Ecuación XXI .................................................................................................................... 16
Ecuación XXII ................................................................................................................... 19
Ecuación XXIII .................................................................................................................. 20
Ecuación XXIV ................................................................................................................. 20
Ecuación XXV .................................................................................................................. 80
Ecuación XXVI ................................................................................................................. 81
Ecuación XXVII ................................................................................................................ 81
Ecuación XXVIII ............................................................................................................... 81
Ecuación XXIX .................................................................................................................. 81
VIII
Ecuación XXX ................................................................................................................... 81
Ecuación XXXI .................................................................................................................. 82
Índice de tablas Tabla 1. Elastic (hormigón) ............................................................................................. 20
Tabla 2. Plasticity (CDP) .................................................................................................. 20
Tabla 3. Compressive Behavior (CDP) ............................................................................. 20
Tabla 4. Tensile Behavior (CDP) ...................................................................................... 21
Tabla 5. Elastic (acero) ................................................................................................... 21
Tabla 6. Plastic (acero) ................................................................................................... 21
Tabla 7. Condiciones de contorno y carga (CDP) ............................................................ 31
Tabla 8. Elastic (hormigón) ............................................................................................. 31
Tabla 9. Maxps Damage ................................................................................................. 31
Tabla 10. Elastic (acero) ................................................................................................. 32
Tabla 11. Plastic (acero) ................................................................................................. 32
Tabla 12. Condiciones de contorno y carga (X-FEM) ...................................................... 38
Tabla 13. Elastic (hormigón) ........................................................................................... 39
Tabla 14. Plasticity (CDP) ................................................................................................ 39
Tabla 15. Compressive Behavior (CDP) ........................................................................... 39
Tabla 16. Tensile Behavior (CDP) .................................................................................... 39
Tabla 17. Maxps Damage ............................................................................................... 39
Tabla 18. Casos CDP+XFEM ............................................................................................ 40
Tabla 19. Elastic (hormigón viga armada CDP) .............................................................. 59
Tabla 20. Plasticity (hormigón viga armada CDP) .......................................................... 59
Tabla 21. Compressive Behavior (hormigón viga armada CDP) ..................................... 59
Tabla 22. Tensile Behavior (hormigón viga armadaCDP) ............................................... 59
Tabla 23. Density (hormigón viga armada CDP) ............................................................ 59
Tabla 24. Elastic (B-500S) ............................................................................................... 60
Tabla 25. Plastic (B-500S) ............................................................................................... 60
Tabla 26. Condiciones de contorno y cargas (viga armada CDP) ................................... 62
Tabla 27. Elastic (hormigón viga armada X-FEM) .......................................................... 63
Tabla 28. Maxps Damage (hormigón viga armada X-FEM) ........................................... 63
IX
Tabla 29. Plastic (hormigón viga armada X-FEM) .......................................................... 63
Tabla 30. Density (hormigón viga armada X-FEM) ........................................................ 63
Tabla 31. Elastic (B-500S) ............................................................................................... 64
Tabla 32. Plastic (B-500S) ............................................................................................... 65
Tabla 33. Condiciones de contorno y cargas (viga armada X-FEM) ............................... 68
Tabla 34. Casos estudiados para análisis de sensibilidad (viga armada)....................... 80
Tabla 35. Resultados teóricos ......................................................................................... 82
Capítulo 1: Conceptos previos
2
1. Comportamiento del hormigón.
El hormigón es un material cuyo uso está ampliamente extendido en el mundo
estructural que presenta un comportamiento cuasi-frágil y escasa resistencia a
tracción, lo que implica que normalmente se encuentre fisurado, aunque dichas grietas
no sean apreciables a simple vista. Gran parte de los códigos técnicos referidos a
estructuras establecen unos límites para evaluar la aceptación o no de la fisuración del
hormigón, sin entrar en más detalles sobre este defecto. Es cierto que la adición de
armaduras en el hormigón añade resistencia a tracción y evita la propagación de las
fisuras hasta que el acero plastifique, pero ello no quiere decir que no exista una
evidente preocupación por este fenómeno de fisuración del material estudiado. Es por
ello que en las últimas décadas diversos autores como Maurice F. Kaplan o Scordelis
hayan llevado a cabo investigaciones sobre la mecánica de la fractura de aplicación al
hormigón. De hecho en el “ACI Committe 446. Fracture Mechanics of Concrete:
Concepts, Models and Determination of Materials Properties. American Concrete
Institute” se exponen cinco razones para justificar la inclusión del estudio de la
mecánica de la fractura en este material:
1. No sólo es suficiente con especificar cómo se inicia una fisura, sino que es
necesario conocer cómo se propagará. El crecimiento de grieta requiere el
consumo de una cierta cantidad de energía, la cual recibe el nombre de energía
de fractura. Además, la propagación de fisuras sólo puede ser estudiada a
través de un criterio energético.
2. Los cálculos deben ser objetivos.
3. Ausencia de plastificación, lo que quiere decir que durante el ablandamiento
del material, la zona de fallo se propaga a través de la estructura.
4. El área encerrada por la curva P-δ determina la cantidad de energía consumida
durante el proceso de ruptura. Esta energía indica la ductilidad de la estructura
y un análisis de un estado límite no puede dar información sobre esto, ya que el
comportamiento post-pico no es tenido en cuenta.
5. La mecánica de la fractura puede oponerse a criterios de fuerza para predecir la
influencia del tamaño sobre la carga de rotura y la ductilidad.
Como se ha expresado previamente, se trata de un material con una resistencia a
tracción reducida (en torno al 10% de la resistencia a compresión), siendo despreciada
en los cálculos de la mayoría de normativas. Si se representa la curva carga-
desplazamiento (P-δ) mediante el correspondiente ensayo de una barra de hormigón
en masa bajo solicitación de tracción pura, se obtiene una gráfica similar a la siguiente
figura:
Capítulo 1: Conceptos previos
3
Figura 1. Comportamiento del hormigón a tracción
Si el material fuese frágil, una vez alcanzada la carga máxima, se observaría una caída
instantánea de la curva:
Figura 2. Comportamiento material frágil
Si por el contrario se tratase de un material dúctil, se produciría una plastificación tras
alcanzar la carga máxima:
Figura 3. Comportamiento material dúctil
Capítulo 1: Conceptos previos
4
Se comprueba que el hormigón presenta un comportamiento intermedio entre los dos
anteriores, de ahí que suela recibir la denominación de material cuasi-frágil. El
comportamiento que presenta tras la carga máxima es debido a la aparición y
propagación de grietas, originándose previamente a la ruptura una zona llamada zona
de proceso de fractura (ZPF), la cual está estrechamente asociada a factores del
material tales como el tamaño y tipo de áridos. En esta zona suelen producirse unas
fisuras iniciales que son capaces de transmitir tracciones entre ellas hasta un cierto
límite a partir del cual éstas interconectan entre sí dando lugar a una macrogrieta
incapaz de transmitir ninguna fuerza cohesiva.
2. Propiedades de fractura del hormigón.
Se denominan propiedades de fractura aquellas que permiten la definición del
comportamiento en tracción del hormigón. De entre todas ellas tienen una mayor
relevancia:
Energía de fractura (GF): representa el área encerrada por la curva de
comportamiento en tracción en su totalidad.
Resistencia a tracción (fct): representa el valor máximo admisible a tracción
para el material y establece el inicio de la aparición de fisuras y, por tanto, de la
ZPF.
Módulo de deformación longitudinal (EC): define el comportamiento del
material previo a alcanzar el valor máximo de la carga.
Longitud característica (lch): introducido por Hillerborg (1976). Permite un
análisis comparativo entre los distintos hormigones evitando la dificultad que
entraña la determinación de la longitud de la ZPF. Del mismo modo, se
encuentra relacionado con la forma de la curva P-δ.
Fragilidad: permite cuantificar el comportamiento dúctil-frágil. Uno de los más
empleados es el de Hillerborg: βH=D/lch.
3. Mecánica de la fractura del hormigón con MEF.
Desde que se comenzó a aplicar la mecánica de la fractura al hormigón, se han
desarrollado diversos modelos numéricos que permiten predecir y simular la fisuración
del material. Se suelen clasificar en tres tipos: modelo de grieta discreta [Hillerborg
(1976)], modelo de fisuración continua y modelo de grieta elástica equivalente.
Dentro de los modelos de fisuración continua se pueden distinguir:
Modelo de la banda fisurada [Bazant (1983)].
Capítulo 1: Conceptos previos
5
Modelos de fisuración difusa, basados en el anterior para un estado de
tensiones multiaxial.
Del mismo modo, se puede hacer una distinción dentro de los modelos de grieta
elástica equivalente:
Modelo de los dos parámetros de Jenq and Shah (1985).
Modelo de la grieta efectiva [Nallathambi and Karihaloo (1986)].
Conviene destacar que asimismo existen otros modelos tales como los basados en la
mecánica del daño en medios continuos, modelos de redes y partículas o modelos
multiescala, entre otros.
Todos estos modelos deben ser resueltos numéricamente, siendo uno de los métodos
más empleados el de los elementos finitos (MEF). En él, el dominio es discretizado en
elementos de menor tamaño de manera que se consiguen resultados según la ley de
comportamiento en una serie de puntos de cada elemento y extrapolados a todo el
dominio mediante unas funciones de forma.
Sin embargo, en los últimos años se ha desarrollado un nuevo método que
complementa al MEF y permite estudiar la propagación de grietas en elementos. Dicho
método es conocido como el “Método de los Elementos Finitos Extendido” (X-FEM).
4. Método de los Elementos Finitos Extendido.
4.1. Introducción.
El modelar discontinuidades en movimiento con el MEF presenta dificultades debido a
la necesidad de volver a mallar para ajustar la geometría de la discontinuidad. Esta
problemática se ve resuelta por el Método de los Elementos Finitos Extendido
propuesto por Belytschko y Black (1999); Moës et al (1999), en el que sólo se emplea
una única malla. Ésta se extiende al dominio geométrico, que se supone sin grieta, y no
tiene por qué ser demasiado refinada. El método trata a la grieta como una entidad
geométrica independiente y considera su interacción con la malla mediante funciones
de enriquecimiento de la aproximación asociada a los nodos de elementos
intersectados por la ubicación geométrica de la grieta. Lo que proponen los citados
autores es el enriquecimiento de la malla mediante la incorporación de grados de
libertad en los nodos de los elementos que se encuentran intersectados por la grieta.
De esta forma, se consigue que estos nodos puedan representar la discontinuidad y
mejorar la representación de la singularidad en el extremo de la fractura.
Capítulo 1: Conceptos previos
6
4.2. Funciones de enriquecimiento.
En un principio, para representar las grietas de forma independiente de la malla,
Belytschko y Black (1999) enriquecieron la aproximación de los desplazamientos de los
nodos alrededor del extremo y a lo largo de las caras de la grieta con unas funciones
que aumentan los grados de libertad de estos nodos.
En la siguiente figura se muestra en rojo la grieta, en círculos negros los nodos
convencionales y en cuadrados azules los nodos enriquecidos con las funciones de
extremo de grieta:
Figura 4. Nodos enriquecidos
La solución aproximada de elementos finitos es la siguiente:
( ) ∑ ( ) ∑[ ( )∑ ( )
]
Ecuación I
Donde es el conjunto de todos los nodos de la malla y es el subconjunto formado
por los nodos enriquecidos con funciones Fl(x). El eje x está alineado con las caras de
grieta, φ(x) son las funciones de forma convencionales, bil son los grados de libertad
añadidos a los nodos y Fl(x) son las funciones tipo extremo de la grieta. Estas funciones
Capítulo 1: Conceptos previos
7
proceden de la representación del campo asintótico de desplazamientos de extremo
de grieta de la Mecánica de la fractura Elástica Lineal (MFEL) y vienen dadas por:
( ) {√ (
) √ (
) √ (
) ( ) √ (
) ( ) }
Para grietas de mayor tamaño u otra orientación, es decir, no rectilíneas, la
representación mediante las funciones de extremo de grieta resulta imprecisa en los
elementos lejanos. Moës et al (1999) plantearon una manera complementaria para el
enriquecimiento, donde el extremo de grieta es enriquecido de forma análoga al caso
descrito anteriormente. Del mismo modo introdujeron una forma más apropiada para
representar la discontinuidad en los elementos que están intersectados a lo largo de la
grieta y que no están cerca del extremo. Los nodos de estos elementos se enriquecen
con la función de salto de Heaviside, H(x):
( ) { ( ) ( )
En la siguiente figura se representa de nuevo la grieta en rojo, los nodos
convencionales como círculos negros, los enriquecidos con las funciones de extremo
de grieta mediante cuadrados azules, y los nodos enriquecidos con la función de
Heaviside mediante círculos verdes:
Figura 5. Nodos enriquecidos con la función de Heaviside
Capítulo 1: Conceptos previos
8
En la figura 6, dado un punto x del dominio, se toma x* como el punto más cercano
sobre la grieta. En x*, se construyen los vectores tangenciales y normales a la grieta
curva, es y en respectivamente, con la orientación en tomada de manera que es·en=ez,
donde el vector unitario ez apunta hacia fuera del papel. En el caso de una grieta
poligonal donde no existe una única normal y hay dos posibles distancias a cada uno
de los segmentos de grieta, se define un cono de normales en el punto x*. En este
caso, H(x)=1 si (x-x*) pertenece al cono de normales, y -1 en caso contrario.
Figura 6. Vectores tangenciales y normales
De manera general, la aproximación de elementos finitos extendida para una grieta en
el caso bidimensional queda:
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )
∑[ ( )∑ ( )
]
Ecuación II
donde es el conjunto de nodos que se enriquecen con la función de discontinuidad
H(x) para elementos divididos por la grieta.
Por tanto, en un problema bidimensional, un nodo convencional tiene dos grados de
libertad, uno enriquecido con la función de Heaviside tiene cuatro y un nodo
enriquecido con la función de extremo de grieta cuenta con diez grados de libertad.
En Moës et al (1999) se indica el enriquecimiento de los nodos en una discretización
con una grieta interior. Se enriquecen con funciones representativas del campo de
desplazamientos en extremo de grieta los nodos marcados con círculos y con
funciones de discontinuidad los marcados con cuadrados.
Capítulo 1: Conceptos previos
9
Figura 7. Discretización de una grieta interior
La aproximación de elementos finitos extendida para una grieta interior en el caso
bidimensional queda:
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )
∑ [ ( )∑ ( )
]
∑ [ ( )∑ ( )
]
Ecuación III
donde y son los conjuntos de nodos a enriquecer con las funciones de extremo
de grietas correspondientes. Esta formulación de enriquecimiento local es un caso
específico del Método de la Partición de la Unidad [Melenk y Babuska (1996)].
El método retiene la mayoría de las ventajas que caracterizan a la formulación habitual
del MEF, con las modificaciones apropiadas para la integración numérica (en concreto,
subdivisión de los elementos intersectados por la grieta). Es de especial utilidad en el
análisis de propagación de grieta, al evitar el problema del remallado ofreciendo
buenos resultados. En Sukumar et al (2000) se presenta la extensión de método a 3D.
El planteamiento permite el análisis de otros tipos de comportamiento no isótropo así
como problemas no lineales.
De la ecuación (2) queda claro que el desplazamiento físico de un nodo enriquecido i,
está dado por los grados de libertad estándar más la contribución enriquecida H(xi)ai
y/o Fl(xi)bil. Esto implica que los grados de libertad estándar ui no corresponden al
desplazamiento verdadero calculado por X-FEM.
Capítulo 1: Conceptos previos
10
Zi y Belytschko (2003) y Ventura et al (2003) implementaron una variante llamada
formulación “shifted” para que el grado de libertad ui calculado con X-FEM sea la
solución física del desplazamiento nodal. Con esta formulación los grados de libertad
ai, bil se anulan en todos los nodos de coordenadas xi, y así no contribuyen en el valor
del desplazamiento físico del nodo enriquecido i. Esta formulación ha sido utilizada en
Giner et al (2008).
( ) ∑ ( ) ∑ ( )[ ( ) ( )]
∑[ ( )∑[ ( ) ( )]
]
Ecuación IV
Por otro lado hay que destacar un inconveniente del X-FEM. Este método se engloba
dentro del modelo de grieta discreta, el cual sólo representa las grietas dominantes, no
reflejando las microgrietas que se producen en materiales heterogéneos como el
hormigón.
5. Uso del software Abaqus.
Para llevar a cabo los propósitos de este proyecto, se empleará el software Dassault
Systemes Simulia Abaqus. Se trata de un programa informático que emplea el Método
de los Elementos Finitos para resolver problemas de ingeniería, desde análisis lineales
a complejos no lineales. Cuenta con numerosas librerías que permiten diseñar todo
tipo de geometrías y simular materiales mediante la introducción de parámetros
característicos de cada uno de ellos. Cabe destacar que en sus últimas versiones
incluye el Método de los Elementos Finitos Extendido, de ahí que se vaya a recurrir a
este software.
Resulta de especial utilidad, ya que se ha comprobado que se puede ahorrar tiempo y
materiales de ensayo en laboratorio al poder llevar a cabo simulaciones con extremada
exactitud. Es precisamente por esto por lo que se intenta en este proyecto modelar
elementos de hormigón armado mediante X-FEM empleando dicha aplicación
informática, ya que se trata de comprobar si es posible obtener resultados realistas de
la mecánica de la fractura de dicho material.
Del mismo modo, conviene destacar que debido a que las fisuras en el hormigón son
cohesivas, se utilizará el X-FEM comparándolo con el modelo de daño plástico
Capítulo 1: Conceptos previos
11
[Concrete Damaged Plasticity (CDP)] que incluye Abaqus, y que se describe en el
apartado 6 de este capítulo.
6. Modelo de daño plástico en el hormigón.
6.1. Introducción.
El denominado “Concrete Damaged Plasticity” (CDP) es un modelo incorporado en el
programa informático Abaqus que permite emplear dicho software para el análisis de
casos de cargas cíclicas. No obstante, también resulta de gran utilidad para cargas
monotónicas al ser el único que permite modelar los efectos irreversibles del daño
originado. Está diseñado para cargas no demasiado grandes, de hecho entre cuatro y
cinco veces menor que la carga última a compresión uniaxial que resiste el hormigón.
Para cargas de este tipo el comportamiento que sufre el hormigón es frágil,
fisurándose cuando se ve sometido a tracción y sufriendo aplastamiento a compresión.
El CDP se fundamenta en el daño irreversible que provocan estos dos mecanismos de
fallo del material.
6.2. Relaciones tensión-deformación.
La deformación total se descompone en una parte elástica y en otra plástica como se
expresa en la siguiente ecuación:
Ecuación V
Las relaciones tensión-deformación se encuentran gobernadas por la siguiente
expresión:
( ) ( ) ( )
Ecuación VI
donde:
: rigidez elástica inicial del hormigón (sin daño).
: rigidez elástica del hormigón degradada.
: variable de degradación escalar.
La variable d puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1. En un punto material con
d=0, el hormigón se encuentra sin daño alguno, d=1 corresponde a un daño completo
Capítulo 1: Conceptos previos
12
del mismo, y un valor intermedio representa una deformación plástica irreversible. El
colapso del hormigón está además asociado a la degradación de la rigidez elástica. En
este sentido, la teoría expone que dicha degradación es isotrópica y se emplea un
único parámetro para su descripción: d. La tensión efectiva en un punto material se
define como:
( )
Ecuación VII
La tensión de Cauchy se relaciona con la efectiva a través de la variable d del siguiente
modo:
( )
Ecuación VIII
En ausencia de daño, la tensión efectiva en la ecuación (VII) es igual a la de Cauchy. Sin
embargo, para valores d≠0 la tensión efectiva adquiere una mayor relevancia que la de
Cauchy, ya que conlleva fuerzas externas. Es por ello por lo que se emplea para análisis
de plasticidad. La evolución de la degradación se controla mediante la tensión efectiva
y un parámetro de endurecimiento designado como .
Los autovalores del tensor de tensiones efectivas se utilizan en las ecuaciones que
expresan la evolución de las variables de endurecimiento (una para compresión y otra
para tracción):
( ( ))
Ecuación IX
( )
Ecuación X
donde:
: autovalor máximo del tensor de deformación plástica .
: autovalor mínimo del tensor de deformación plástica .
: autovalores del tensor de tensiones efectivas .
Por otro lado, se tiene:
Capítulo 1: Conceptos previos
13
( ) ∑ ⟨ ⟩
∑ | |
Ecuación XI
donde ⟨ ⟩ es el paréntesis de Macauley. Este parámetro expresado en la ecuación (XI)
puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1.
6.3. Función de fallo.
En Abaqus se emplea la función de fallo F( , ), la cual describe una superficie en el
espacio de tensiones efectivas, que determina el fallo o el daño. Viene dada por la
siguiente expresión:
( )
( ( )⟨ ⟩ ⟨ ⟩) (
)
Ecuación XII
donde:
α, γ, β: coeficientes adimensionales.
: tensión efectiva.
: tensión desviadora de von Mises.
: autovalor máximo de .
( )
Ecuación XIII
√
Ecuación XIV
Ecuación XV
Se representa a continuación las superficies de fallo del hormigón en tensión plana:
Capítulo 1: Conceptos previos
14
Figura 8. Superficies de fallo del hormigón en tensión plana
6.4. Curvas de comportamiento del hormigón.
Se muestran a continuación las curvas de comportamiento del hormigón que usa el
software Abaqus para compresión y tracción respectivamente:
Capítulo 1: Conceptos previos
15
Figura 9. Comportamiento del hormigón a compresión
Figura 10. Comportamiento del hormigón a tracción
Durante el desarrollo del presente proyecto se emplearán dichas curvas, para lo cual
se definirán los parámetros necesarios de manera detallada con sus correspondientes
expresiones.
Capítulo 1: Conceptos previos
16
Para ello se recurre a las expresiones recogidas en la normativa EN 1992-1-1:
( )
Ecuación XVI
Ecuación XVII
[ ( ) ( )]
Ecuación XVIII
Ecuación XIX
Sin embargo, en caso de que los parámetros de entrada requeridos por el programa no
incluyan la deformación total, sino la deformación inelástica, observando la figura 9 se
puede deducir la siguiente expresión que permite calcular dicha deformación:
Ecuación XX
Ecuación XXI
Cabe destacar que en principio estas ecuaciones sólo serán necesarias para ayudar a la
convergencia de la solución, ya que el software Abaqus es capaz de construir dichos
comportamientos a partir de datos más sencillos.
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
18
1. Introducción.
En este capítulo se estudiará una viga de hormigón en masa entallada implementada
en el programa Abaqus. Para ello se expondrán varios planteamientos con el objetivo
de intentar simular de forma correcta la ruptura de dicha viga mediante el Método de
los Elementos Finitos Extendido. En primer lugar, se procederá a obtener la curva P-δ
mediante el uso exclusivo de CDP, de manera que se tenga como referencia para los
resultados finales con X-FEM, comparando ambos modelos con resultados
experimentales. En todos los problemas que aquí se plantean se siguen una serie de
pasos estructurados para la correcta implementación de los modelos, los cuales serán
explicados con detalle en los próximos apartados.
Se elige una viga entallada debido a que así se fuerza a la misma a agrietarse por dicha
entalla de un modo conocido. De esta manera se puede comprobar si efectivamente es
aplicable el empleo de este nuevo método para la evaluación de este material. Sin
embargo, conviene destacar que no es posible obtener resultados en Abaqus
relacionados con las microgrietas que se forman en el hormigón, de manera que éstas
no aparecerán en las simulaciones.
2. Datos de partida.
La geometría del problema tipo a estudiar en el caso considerado es la que se muestra
a continuación:
Figura 11. Viga entallada
donde las cotas están expresadas en milímetros, la anchura de la entalla es de 3mm y
la profundidad de la viga es de 60mm.
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
19
A la hora de diseñar el problema en Abaqus se harán varias modificaciones, como se
muestra en la siguiente figura:
Figura 12. Modificaciones de la geometría para Abaqus
Con el fin de evitar concentraciones de tensiones en los apoyos, se emplean unos
bloques de acero en cuyo plano medio se situarán las condiciones de contorno. Del
mismo modo el desplazamiento se impondrá a lo largo de una línea en la zona central
de la viga hasta llegar a la entalla. De esta manera se consigue que el problema
converja de forma más veloz y no aborte prematuramente.
En este apartado se debe aclarar que el diseño de la geometría en Abaqus puede
realizarse mediante elementos bidimensionales tipo “Shell”, de manera que se
simplifique el problema considerablemente. No obstante, el espesor se añade
mediante una opción que incluye el programa al asignar un material a una “part” o
geometría creada.
En cuanto a las propiedades, se tomará un hormigón HA-30 con los siguientes datos de
partida:
fc = 37 MPa.
Ec = 30 GPa.
ν = 0,2.
GF = 145 N/m.
fct,ind = 3,1 MPa.
Atendiendo a las exigencias del Eurocódigo 2, algunos de estos parámetros han de ser
modificados. De esta forma:
Ecuación XXII
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
20
[ ]
Ecuación XXIII
Por otro lado, la resistencia a tracción del hormigón se estima, según el Eurocódigo 2,
del siguiente modo:
[ ] [ ]
Ecuación XXIV
3. Implementación de los modelos.
3.1. Modelo de daño plástico.
Se estudia en primer lugar la definición del modelo empleando “Concrete Damaged
Plasticity”, al tratarse de un método ya verificado. En este apartado se plantean los
pasos a seguir para la introducción de todos los parámetros necesarios para la correcta
convergencia de la solución con Abaqus.
3.1.1. Propiedades.
Los parámetros a introducir requeridos para la definición del hormigón se recogen en
las siguientes tablas:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
33.000.000.000 0,2
Tabla 1. Elastic (hormigón)
Dilation Angle Eccentricity Fb0/fc0 K Viscosity
38 0 0 0 0
Tabla 2. Plasticity (CDP)
Yield Stress [Pa] Inelastic Strain
45.000.000 0
45.000.000 0
Tabla 3. Compressive Behavior (CDP)
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
21
Yield Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]
2.015.000 145
Tabla 4. Tensile Behavior (CDP)
En cuanto al material diseñado para los bloques de apoyo sobre los que se aplicarán
las condiciones de contorno, basta con definir sus propiedades elásticas y plásticas. Se
resumen a continuación:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
200.000.000.000 0,3
Tabla 5. Elastic (acero)
Yield Stress [Pa] Plastic Strain
50.000.000.000.000 0
Tabla 6. Plastic (acero)
Nótese que se ha empleado un límite de plasticidad muy elevado, de manera que se
garantice que el apoyo no vaya a sufrir fenómenos indeseables que puedan alterar los
resultados numéricos, ya que en la realidad dichos bloques de acero no existen como
tales.
Para la definición de las secciones se ha empleado, tanto para la viga como para los
apoyos, una de tipo “Solid, Homogeneous”, especificando en la casilla requerida que el
espesor de las partes es de 60mm.
3.1.2. Ensamblaje.
Una vez definidas las dos partes (viga y apoyo) y asignados los materiales, se procede
al ensamblaje del problema para su posterior estudio. Para ello se debe seleccionar la
opción “Independent (mesh on instance)” como se muestra en la figura:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
22
Figura 13. Assembly
Una vez seleccionadas las dos partes, queda la viga con un solo apoyo. Para añadir el
segundo basta con crear un patrón lineal, desplazándolo en la dirección X
(denominada como dirección 1 en el programa) 480mm.
Finalmente, la viga queda modelada en Abaqus del siguiente modo:
Figura 14. Geometría ensamblada en Abaqus (CDP)
Se observa que se han definido una serie de particiones dentro de la viga. Éstas se han
realizado para poder mallar estructuradamente el elemento de forma manual, ya que
el programa proporcionaba una estructura incoherente. Además, conviene que el
mallado sea más fino en la zona próxima a la entalla, ya que es ahí donde se formará y
propagará la fisura. En la siguiente imagen se muestra una vista más detallada de la
partición creada en la zona central:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
23
Figura 15. Detalle de la partición manual
3.1.3. Módulo “Step”.
En esta sección se crea un “Step” sobre el que trabajará el software. En este caso, al
llevar a cabo la simulación mediante un desplazamiento controlado, se considera uno
del tipo “Static, General”.
En las siguientes figuras se muestra el modo en el que se ha configurado el “Step-1”
creado, siendo este paso el único necesario:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
25
Figura 17. Step: información del incremento
El resto de opciones se mantienen por defecto. No obstante, para no sufrir un aborto
prematuro de la simulación, conviene ir al submenú “Other → General Solution
Controls → Manager” y editar el Step-1. En dicha ventana se marca la casilla “Specify”
y en la segunda pestaña se activa la opción “Discontinuous analysis”. Sin salir de dicha
ventatana, se modifica el valor de IA que corresponde al número de intentos que el
programa realizará antes de abortar y que tiene un valor por defecto de 5. La
configuración debe quedar del siguiente modo:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
27
Figura 19. Step-1. Especificaciones 2
3.1.4. Interacciones. Parte I.
En este módulo ha de definirse el contacto entre la viga y los apoyos de acero. Para
ello basta con crear una restricción tipo “Tie” para cada uno de los bloques
anteriormente diseñados y ensamblados. Conviene destacar que tras el mallado se
volverá a este módulo.
3.1.5. Mallado.
Como se especificó en apartados precedentes, se han modelado manualmente una
serie de particiones para diseñar una malla muy estructurada con elementos de
pequeño tamaño en la zona central de la viga próxima a la entalla. Conforme se avanza
hacia los extremos la malla se hace menos densa, ya que de este modo se consigue un
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
28
considerable ahorro computacional, ya que en esas zonas no se producirá fractura,
como bien quedó explicado previamente.
Se procede a mostrar varias imágenes que ilustran el modelo mallado con detalle:
Figura 20. Mallado (CDP)
Figura 21. Detalle mallado (CDP)
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
29
3.1.6. Interacciones. Parte II.
Una vez generada la malla, se procede a crear un par de “Set” de nodos. Esta
operación se lleva a cabo para lograr obtener posteriormente la carga aplicada
directamente con el propio programa Abaqus, ya que el parámetro introducido ha sido
un desplazamiento, y de otra forma requeriría un cálculo manual considerablemente
más costoso. Para ello, basta con pulsar en “Tools → Set → Create” en la barra de
herramientas dentro del módulo “Interactions”. Aparece una ventana en la que se
establece el nombre del conjunto y se selecciona la opción “Node”. En el caso
considerado se crean dos sets: Nodo de carga y Resto de nodos respectivamente.
Figura 22. Sets de nodos
En la figura 21 se ha representado en rojo el set denominado Resto de nodos, mientras
que el inmediatamente superior corresponde al Nodo de carga.
A continuación se debe crear una restricción de manera que se relacionen ambos
conjuntos. Para ello se crea una “Constraint” tipo “Equation” con las siguientes
características:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
30
Figura 23. Equation (Constraint)
Nótese que lo que se ha llevado a cabo no es sino la restricción de los desplazamientos
y esfuerzos a los que se verán sometidos una serie de nodos, en este caso referidos al
grado de libertad 2 (DOF 2), es decir, a la dirección Y.
Con esto se consigue que, una vez completada la simulación, sea posible obtener los
resultados de la carga aplicada visualizando la “RF2” en el nodo de carga.
Conviene destacar que realmente no se trata de una obligación, pues es posible
obtener los resultados mediante otros procedimientos, si bien éste parece el más
rápido a la hora de obtener los resultados finales tras la simulación de Abaqus.
3.1.7. Cargas y condiciones de contorno.
En este módulo se crean las condiciones de contorno que estarán presentes en todo
momento, esto es, los apoyos. Para ello basta con crear dos “Displacement/Rotation”
en el Step-Initial, de manera que el propio programa las propague para el resto de los
pasos.
Para definir el desplazamiento controlado, se crea otra condición de contorno similar a
las dos anteriores con la diferencia de que en este caso se aplicarán en el Step-1. De
esta forma se podrá especificar el valor del desplazamiento que se quiere imponer. En
el caso considerado, y tras haber creado los sets y su ecuación de restricción
correspondiente, se elige aplicar el desplazamiento sobre el conjunto “Nodo de carga”.
A continuación se exponen los parámetros a introducir en cada uno de los casos:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
31
Desplazamiento Apoyo 1 (fijo) Apoyo 2 (móvil) Carga
U1 0 - -
U2 0 0 -0,001m
Tabla 7. Condiciones de contorno y carga (CDP)
3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido.
En esta sección se pretende analizar la misma viga entallada empleando esta vez el
Método de los Elementos Finitos Extendido. Siguiendo con la metodología
anteriormente descrita, se define paso a paso el proceso de elaboración del modelo, si
bien gran parte, como se detalla en las próximas líneas, es similar al caso estudiado
previamente.
3.2.1. Propiedades.
Los parámetros a introducir para la correcta definición de las propiedades del material
cuasi-frágil estudiado son los siguientes:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
33.000.000.000 0,2
Tabla 8. Elastic (hormigón)
Max Principal Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]
2.015.000 145
Tabla 9. Maxps Damage
Existen varios aspectos a comentar acerca de cómo se definen los campos a rellenar en
Abaqus. En esta ocasión hace falta definir una ley de separación a tracción del material
para que el programa Abaqus pueda implementar el X-FEM. Esto se consigue siguiendo
la siguiente secuencia dentro de la ventana de propiedades: “Mechanical → Damage
for Traction Separation Laws → Maxps Damage”. En la casilla denominada “Max
Principal Stress” lo que se pide es el nivel de tensión para el cual aparecerá la fisura,
siendo para el caso considerado el valor de la resistencia a tracción del hormigón. Sin
embargo, para terminar de crear correctamente esta propiedad del material, es
necesario especificar el criterio para la evolución de la grieta. Para ello se pulsa el
botón “Suboptions → Damage Evolution” y se introduce la energía de fractura.
Llegados a este punto, habría que plantearse el introducir o no plasticidad al modelo.
Como se sabe que la viga entallada no fallará por compresión, no hace falta incluirla si
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
32
bien más adelante se volverá a hablar sobre este tema en concreto. De esta manera, el
material hormigón queda perfectamente definido para llevar a cabo el análisis
numérico que se quiere realizar.
Del mismo modo que en el caso anterior, para los bloques de acero que servirán de
apoyo para evitar concentradores de tensión, se tiene:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
200.000.000.000 0,3
Tabla 10. Elastic (acero)
Yield Stress [Pa] Plastic Strain
50.000.000.000.000 0
Tabla 11. Plastic (acero)
Para las secciones se emplearán nuevamente “Solid, Homogeneous”, especificando las
correspondientes profundidades de las mismas.
3.2.2. Ensamblaje.
Procediendo exactamente igual que en el apartado 3.1.2, la viga ensamblada con el
apoyo creado como geometría y su posterior patrón lineal queda del siguiente modo:
Figura 24. Geometría ensamblada en Abaqus (X-FEM)
El único aspecto relevante es la creación de una partición justo en la mitad de la viga,
donde se aplicará el desplazamiento controlado de la sección.
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
33
3.2.3. Módulo “Step”.
Se crea el Step-1 de forma idéntica a como se hizo con el CDP, es decir, del tipo “Static,
General” y ajustando los parámetros del cuadro de diálogo como se muestra en las
figuras 16 y 17. Asimismo, conviene modificar otra vez los controles generales del step,
tal y como se pudo observar en las figuras 18 y 19.
Por otro lado, hay que introducir una variante en el “Field Output”, puesto que es
necesario activar las casillas de “Failure/Fracture → PHILSM, Level set value phi;
PSILSM, Level set value psi” así como la de “State/Field/User/Time → STATUSXFEM,
Status of xfem element”. El usuario se ve obligado a proceder de esta forma porque en
caso contrario Abaqus no representará las fisuras que se generen, ya que no se
estarían requiriendo los resultados asociados a ellas.
Figura 25. Edición Field-Output
3.2.4. Interacciones. Parte I.
En primer lugar, se crean dos restricciones tipo “Tie” entre los bloques de apoyo y la
viga entallada.
Acto seguido es de suma importancia especificar la región susceptible de sufrir
fisuración, pues de lo contrario Abaqus no permitirá llevar a cabo el análisis, llegando a
abortar antes de cualquier tipo de simulación. Para ello basta con seguir las siguientes
indicaciones en la barra de tareas presente en la parte superior de la ventana: “Special
→ Crack → Create → XFEM”. Una vez seleccionada la región pertinente, en este caso la
viga entallada al completo, aparecerá un cuadro como el mostrado a continuación:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
34
Figura 26. Cuadro de diálogo Crack Edition
Dejando todo por defecto, se pulsa el botón “Ok”. A continuación, en la barra de
herramientas vertical de la izquierda del entorno de trabajo, es necesario hacer crear
una interacción. Se muestra la sucesión de pasos a llevar a cabo para finalizar con este
apartado.
Figura 27. Create Interaction
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
35
Figura 28. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (I)
Figura 29. Cuadro de diálogo "Create Interaction" (II)
3.2.5. Mallado.
En este caso el mallado se impondrá con elementos cuadriláteros de forma
estructurada en su mayor parte. Puede observarse con claridad en la siguiente
ilustración:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
36
Figura 30. Mallado (XFEM)
Figura 31. Detalle del mallado (XFEM)
Se observa con claridad que en las zonas próximas a la entalla la malla se vuelve
irregular. Sin embargo, es necesario comentar que se trata de la malla mejor
estructurada que se ha podido obtener, arrojando resultados coherentes. De hecho, se
han llevado a cabo diversas pruebas con mallas totalmente estructuradas que llevaban
a una total falta de convergencia en Abaqus, lo cual pone de manifiesto una notable
deficiencia del software a la hora de definir el mallado empleando el Método de los
Elementos Finitos Extendido.
Del mismo modo, se ha comprobado que Abaqus no admite elementos triangulares
para implementar un análisis con X-FEM. El programa presentaba errores en la
definición de todos los elementos durante el preprocesado de la información extraída
del CAE. Identificando los elementos concretos que provocaban el problema mediante
el estudio de los archivos generados por el propio Abaqus, se descubrió que eran
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
37
precisamente los elementos triangulares los que no permitían llevar a cabo el análisis
con X-FEM. De nuevo este hecho representa un defecto que debería ser subsanado en
posteriores versiones del programa, ya que existen comprobaciones y estudios de
autores como Belytschko que demuestran que este método es aplicable con mallas
compuestas por elementos cuadriláteros y triangulares.
Figura 32. Extracto de "Extended finite element method for cohesive crack growth". Moës & Belytschko
3.2.6. Interacciones. Parte II.
Siguiendo los pasos indicados en el apartado 3.1.6 de este mismo capítulo, se vuelven
a definir dos sets de nodos denominados “Nodo de carga” y “Resto de nodos”, así
como una ecuación de restricción que los relaciona para, como ya se ha explicado,
simplificar la introducción de las cargas y extracción de los resultados finales.
Así, una vez llevada a cabo esta operación, el modelo completo ensamblado en el
apartado de interacciones debe quedar como el que se muestra a continuación:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
38
Figura 33. Modelo completo con interacciones definidas (X-FEM)
En la imagen se representan mediante círculos amarillos las interacciones tipo
“Constraint”, es decir, los apoyos y la ecuación de restricción de los dos conjuntos de
nodos creados. Por otro lado, las cruces de color verde indican que la región a la que
pertenecen es susceptible de sufrir agrietamiento; en otras palabras, zonas en las que
se implementará el X-FEM.
3.2.7. Cargas y condiciones de contorno.
La definición de las condiciones de contorno en los apoyos y del desplazamiento
controlado en la sección central de la viga entallada se lleva a cabo siguiendo una
metodología idéntica a la del apartado 3.1.7, referente al CDP. De este modo, se puede
volver a expresar:
Desplazamiento Apoyo 1 (fijo) Apoyo 2 (móvil) Carga
U1 0 - -
U2 0 0 -0,001m
Tabla 12. Condiciones de contorno y carga (X-FEM)
3.3. Combinación de modelo de daño plástico y X-FEM.
En esta sección se pretende evaluar lo acertado o no de la aplicación conjunta de los
modelos “Concrete Damaged Plasticity” y X-FEM sobre la viga entallada de hormigón
en masa. Para ello se han planteado diversos casos en los que se ha modificado alguno
de los parámetros de uno u otro método para estudiar cuál de los dos presenta una
mayor influencia sobre el otro.
Se emplean los mismos pasos que para X-FEM, siendo la única novedad la definición de
las propiedades del material, que será una combinación de los dos casos anteriores.
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
39
3.3.1. Propiedades.
Se exponen a continuación los parámetros a introducir para el caso inicial objeto de
estudio:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
33.000.000.000 0,2
Tabla 13. Elastic (hormigón)
Dilation Angle Eccentricity Fb0/fc0 K Viscosity
38 0 0 0 0
Tabla 14. Plasticity (CDP)
Yield Stress [Pa] Inelastic Strain
45.000.000 0
45.000.000 0
Tabla 15. Compressive Behavior (CDP)
Yield Stress [Pa] Fracture Energy
2.015.000 145
Tabla 16. Tensile Behavior (CDP)
Max Principal Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]
2.015.000 145
Tabla 17. Maxps Damage
A modo de resumen se presenta una tabla con la organización de las distintas
simulaciones llevadas a cabo, mostrando los datos que varían en cada caso, para mejor
interpretación posterior de los resultados:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
40
Job Propiedades Yield Stress [Pa] Gf [N/m]
1 X-FEM 2.015.000 145
CDP 2.015.000 145
2 X-FEM 2.015.000 80
CDP 2.015.000 145
3 X-FEM 2.015.000 145
CDP 2.015.000 80
4 X-FEM 20.000.000 145
CDP 2.015.000 145
5 X-FEM 2.015.000 145
CDP 20.000.000 145
Tabla 18. Casos CDP+XFEM
La ventana de edición de propiedades del material hormigón debe quedar con las
siguientes definiciones:
Figura 34. Edición de propiedades (CDP+XFEM)
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
41
4. Resultados.
Siguiendo con la ordenación de los apartados que anteceden al actual, se exponen los
resultados obtenidos mediante el análisis numérico llevado a cabo con el software
Abaqus. Para su verificación se han comparado las curvas carga-desplazamiento de
cada uno de los casos estudiados con los de una viga entallada de idénticas
propiedades y geometría ensayada experimentalmente en un laboratorio.
4.1. Curvas experimentales.
Se han ensayado dos vigas de similar geometría en un laboratorio, de manera que se
han obtenido sendas curvas carga-desplazamiento. A partir de éstas, se ha realizado un
ajuste numérico con el fin de usar la curva resultante como referencia para la
comparación de los análisis numéricos implementados en Abaqus.
Figura 35. Ensayo experimental 1 (viga entallada)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO1
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
42
Figura 36. Ensayo experimental 2 (viga entallada)
Figura 37. Ajuste numérico (viga entallada)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO2
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO1
ENSAYO2
NUM
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
43
4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP.
Se ilustra a continuación la curva carga-desplazamiento obtenida tras simular con
Abaqus la viga entallada de hormigón en masa para las condiciones especificadas a lo
largo del apartado 3.1.
Figura 38. Curva P- (CDP Gf=145N/m)
Se comprueba que, si bien la forma de la curva es la correcta, los valores numéricos se
alejan bastante de la realidad. Como se conoce que la energía de fractura representa el
área encerrada bajo dicha curva, parece lógico que al variar dicho parámetro en
Abaqus, el programa ofrecerá mejores resultados. Es por ello por lo que se ha llevado a
cabo un exhaustivo análisis desarrollando diversos “Jobs” para comprobar si es posible
o no llegar finalmente a una aproximación válida a los datos extraídos del laboratorio.
A modo ilustrativo se plantea en el siguiente gráfico cómo varían los resultados que
proporciona Abaqus al variar la energía de fractura:
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
CDP
NUM
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
44
Figura 39. Curvas numéricas P- para distintas Gf (CDP)
Representando la curva correspondiente a una energía de fractura de 80 N/m frente a
la experimental, se concluye que es posible obtener una aproximación correcta y
acorde con el comportamiento real del hormigón.
Figura 40. Curva P- (CDP Gf=80N/m)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
Gf=145 N/m
Gf=50 N/m
Gf=110 N/m
Gf=80 N/m
Gf=70 N/m
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
CDP
NUM
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
45
En cuanto al patrón de fisuras, Abaqus permite visualizarlo mediante la opción “PE”
dentro de la pestaña de resultados, siempre y cuando se haya definido el material con
las propiedades correspondientes al “Concrete Damaged Plasticity”. De este modo, la
fisura vendrá representada por:
Figura 41. Patrón de fisuras viga entallada (CDP)
Figura 42. Detalle del patrón de fisuras viga entallada (CDP)
De acuerdo con lo que se conoce a priori que sucede en la realidad, la grieta se forma
en la entalla y se propaga hacia la parte superior central de la viga. De esta forma
queda demostrada la aplicabilidad de este método de análisis para la mecánica de la
fractura del material cuasi-frágil que es el hormigón, al haberse conseguido una curva
de comportamiento acorde con los resultados experimentales y un patrón de fisuras
que se corresponde con el mundo real.
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
46
4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM.
Se ilustra a continuación la curva carga-desplazamiento obtenida tras simular con
Abaqus la viga entallada de hormigón en masa para las condiciones especificadas a lo
largo del apartado 3.2.
Figura 43. Curva P- (X-FEM Gf=145N/m)
De nuevo se observa que la curva obtenida por el análisis numérico realizado con
Abaqus tiene la forma correcta pero presenta valores ligeramente alejados de los
datos experimentales. Razonando como en el caso anterior, se concluye que la
modificación de la energía de fractura debe subsanar el problema de manera que los
resultados se adapten mejor. Por ello se han creado un total de hasta diez “Jobs” en
los que se ha ido modificando poco a poco dicho parámetro hasta alcanzar la solución
óptima.
Se procede a mostrar un gráfico en el que figuran los distintos resultados obtenidos
para estos diez estudios numéricos:
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
XFEM
NUM
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
47
Figura 44. Curvas numéricas P- para distintas Gf (X-FEM)
Destaca el hecho de que la elección de la energía de fractura influye sobremanera en la
convergencia del programa, ya que, como bien puede observarse en la imagen, para
valores bajos se produce un aborto prematuro de la simulación.
Representando las curvas correspondientes a una energía de fractura de 110 N/m y la
experimental, se comprueba que es posible obtener resultados ajustados a la realidad:
Figura 45. Curva P-d (X-FEM Gf=110N/m)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
Gf=145 N/m
Gf=50 N/m
Gf=60 N/m
Gf=70 N/m
Gf=80 N/m
Gf= 90 N/m
Gf=100 N/m
Gf=110 N/m
Gf=120 N/m
Gf=130 N/m
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
XFEM
NUM
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
48
Una de las características importantes de X-FEM es que representa la formación y
propagación de las fisuras, por lo que resulta más intuitivo para el usuario la
visualización de cómo se producirá la rotura de la estructura. En concreto, para esta
viga entallada, el patrón de fisuras ya se ha comentado que debe consistir en una sola
que se origine en la propia zona central de la viga y se expanda hacia la parte superior
de la misma. Así, el software proporciona la siguiente ilustración:
Figura 46. Patrón de fisuras viga entallada (X-FEM)
Se observa que el resultado final es prácticamente idéntico al del laboratorio, siendo
incluso mejor que el conseguido mediante “Concrete Damaged Plasticity”. Por tanto,
se concluye que es posible realizar simulaciones numéricas mediante el Método de los
Elementos Finitos Extendido en materiales cuasi-frágiles como el hormigón.
Asimismo, se debe resaltar que el tiempo empleado por Abaqus es considerablemente
menor cuando se implementa X-FEM que con el CDP, lo que se traduce en una ventaja
computacional importante y que debe ser tenida en cuenta.
Por otro lado, al tratarse de una técnica novedosa de diseño, se ha querido llevar a
cabo un análisis de sensibilidad con el objetivo de demostrar cómo afectan los diversos
parámetros de mayor relevancia en la convergencia de la solución. Para ello se han
creado distintos trabajos ordenados por mallados de menor a mayor densidad y, para
cada uno de ellos, se ha ido modificando paulatinamente la energía de fractura
introducida. De este modo, se pretende comprobar si existe influencia del mallado o
no mediante un gráfico de comparación como el que se adjunta seguidamente:
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
49
Figura 47.Influencia del mallado y Gf (I)
Figura 48. Influencia del mallado y Gf (II)
Se observa que existe una evidente dependencia del mallado en este tipo de análisis, si
bien queda demostrado que a partir de una cierta densidad del mismo, los resultados
convergen a los mismos valores. Queda comprobado que para mallas formadas por
pocos elementos la solución proporcionada por Abaqus presenta oscilaciones que no
hacen más que poner de manifiesto un comportamiento que no se ajusta a la realidad.
Por tanto, si al llevar a cabo un análisis se obtienen resultados que presentan claras
anomalías, lo primero que se debe hacer es modificar el mallado para optimizar el
trabajo.
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
50 60 70 80 90 100 110 120 130 145
Car
ga d
e p
ico
[N
]
Energía de fractura [N/m]
1834 ELEMENTOS
4154 ELEMENTOS
1022 ELEMENTOS
658 ELEMENTOS
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
50 60 70 80 90 100 110 120 130 145
De
spla
zam
ien
to c
ríti
co [
mm
]
Energía de fractura [N/m]
1834 ELEMENTOS
4154 ELEMENTOS
1022 ELEMENTOS
658 ELEMENTOS
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
50
Se comprueba igualmente que la variación de la energía de fractura afecta más al valor
de la carga de pico que al desplazamiento para dicha carga, aspecto a tener en cuenta
a la hora de precisar mejor los resultados que se obtengan para que el análisis sea lo
más próximo al mundo real posible.
4.4. Resultados de la aplicación conjunta de CDP y X-FEM.
Como se expresó en apartados anteriores, la combinación de estos dos métodos de
cálculo se ha realizado para comprobar si resulta beneficioso o no la aplicación de
ambos de forma conjunta. Además, al introducir parámetros que son redundantes, se
pretende estudiar cuál de los dos presenta una mayor influencia en el resultado final y
poder así extraer conclusiones fiables.
De este modo, según lo explicado en el apartado 3.3 del presente capítulo, se ilustran a
continuación las diversas curvas carga-desplazamiento resultantes de los distintos
“Jobs” implementados, tomando como referencia los resultados del primero de ellos
para determinar los efectos de los distintos parámetros.
Figura 49. Job-1. Referencia (CDP+XFEM)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
REF
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
51
Figura 50. Job-2 (CDP+XFEM)
Figura 51. Job-3 (CDP+XFEM)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
80;145
REF
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
145;80
REF
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
52
Figura 52. Job-4 (CDP+XFEM)
Figura 53. Job-5 (CDP+XFEM)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
20;2.015
REF
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
2.015;20
REF
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
53
Se exponen ahora los distintos patrones de fisuras a los que se han llegado para cada
uno de estos cinco trabajos, de manera que sean visibles las diferencias entre ellas y
con el modo de rotura real, ya conocido.
Figura 54. Patrón de fisuras Job-1 (CDP+XFEM)
Figura 55. Patrón de fisuras Job-2 (CDP+XFEM)
Figura 56. Patrón de fisuras Job-3 (CDP+XFEM)
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
54
Figura 57. Patrón de fisuras Job-4 (CDP+XFEM)
Figura 58. Patrón de fisuras Job-5 (CDP+XFEM)
Una vez visualizados los resultados, se extraen las siguientes conclusiones:
Si el parámetro que se modifica es la energía de fractura, se observa un claro
dominio del CDP sobre MAXPS.
La variación del “Yield Stress” provoca que la grieta aparezca antes o después,
sin influir demasiado en los resultados. De hecho, entre los Jobs 4 y 5 sólo
difieren en la fisura, presentando idénticos valores numéricos. No obstante, es
cierto que prevalece el valor más alto de dicho dato.
En la mayoría de los casos la rotura no se aprecia de modo correcto de acuerdo
como debería suceder con el Método de los Elementos Finitos Extendido. Ello
se debe a que se está superponiendo el modo de representación del “Concrete
Damaged Plasticity” y del X-FEM, dando lugar a una distorsión a la hora de
visualizar los resultados. Además, en ciertas ocasiones ni siquiera se llega a
formar la grieta, como sucede en el Job-4 por ejemplo.
Abaqus presenta problemas de convergencia para encontrar la solución al
problema, como bien puede observarse en las curvas carga-desplazamiento
ilustradas en esta sección.
Capítulo 2: Análisis de flexión en tres puntos
55
Se ralentiza el tiempo de cálculo, lo que se traduce en un inconveniente
computacional.
Por todas estas razones, se puede establecer que no tiene sentido combinar estos dos
modelos simultáneamente, si bien parece posible que podría llegar a ajustarse la curva
a la experimental, no simula la fisuración de modo correcto y emplea demasiado
tiempo realizando operaciones numéricas para la obtención de los resultados, algo que
no ocurre al aplicar exclusivamente el X-FEM, por lo que se puede decir que no
presenta ninguna ventaja sobre los dos métodos anteriores.
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
57
1. Introducción.
Una vez demostrada la validez del Método de los Elementos Finitos Extendido para el
análisis numérico del hormigón, en este capítulo se pretende ir un paso más allá y
comprobar si es posible modelar una viga de este mismo material reforzada con barras
de acero mediante X-FEM. Por tanto, lo que se persigue es alcanzar una curva de
comportamiento veraz y un patrón de fisuras coherente con la realidad.
Para ello, se cuenta con resultados experimentales de un ensayo de flexión en cuatro
puntos para la geometría que se pretende simular. De esta forma, se llevará a cabo de
nuevo una comparación para concluir si resulta factible y ventajoso el empleo de esta
nueva técnica a este tipo de material.
2. Datos de partida.
La geometría de la estructura objeto de estudio, así como su sección transversal, se
ilustran a continuación con sus correspondientes cotas expresadas en metros:
Figura 59. Geometría viga armada
Figura 60. Sección viga armada
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
58
Como se hizo con la viga entallada, a la hora de introducir la estructura en Abaqus se
añadirán algunas modificaciones, como se ve en la siguiente figura:
Figura 61. Geometría modificada en Abaqus
Sobre la figura anterior se debe mencionar que las cargas distribuidas de la forma
ilustrada serán usadas exclusivamente para X-FEM. En el caso de CDP se empleará un
desplazamiento controlado en el lugar de aplicación de las cargas como se explicará
posteriormente.
Al igual que en apartados anteriores, se ha optado por incluir unos bloques de acero
sobre los que se definirán las condiciones de contorno a fin de evitar efectos
indeseables en la viga. En esta ocasión, se sustituyen las dos cargas puntuales por dos
distribuidas sobre una pequeña región. La razón de esta decisión es que de este modo
se consigue que no aparezcan concentraciones de tensión y, además, permite a
Abaqus representar mejor el patrón de fisuras. Por otro lado, las zonas rayadas
representan regiones donde no se aplicará X-FEM por motivos que se explicarán
posteriormente.
En cuanto a las propiedades del hormigón, se consideran:
fc = 30 MPa.
Ec = 30 GPa.
ν = 0,2.
GF = 110 N/m.
fct,ind = 3 MPa.
Por las ecuaciones XXII, XXIII y XXIV se tendrá:
fcm = 38 MPa.
Ecm = 33 GPa.
fct = 1,95 Mpa.
Para las armaduras se toma un acero B-500S, de manera que los datos son:
Es = 200 GPa.
fyk = 500 MPa.
ν = 0,3.
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
59
3. Modelos.
3.1. Modelo de daño plástico.
Como ya se hiciera en el capítulo anterior, se estudia en primer lugar la definición del
modelo empleando “Concrete Damaged Plasticity”. En este apartado se resumen los
pasos a seguir para implementación del problema en Abaqus.
3.1.1. Propiedades.
Los parámetros a introducir requeridos para la definición del hormigón se recogen en
las siguientes tablas:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
33.000.000.000 0,2
Tabla 19. Elastic (hormigón viga armada CDP)
Dilation Angle Eccentricity Fb0/fc0 K Viscosity
38 0 0 0 0
Tabla 20. Plasticity (hormigón viga armada CDP)
Yield Stress [Pa] Inelastic Strain
38.000.000 0
38.000.000 0
Tabla 21. Compressive Behavior (hormigón viga armada CDP)
Yield Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]
1.950.000 110
Tabla 22. Tensile Behavior (hormigón viga armadaCDP)
Mass Density [kg/m3]
2.400
Tabla 23. Density (hormigón viga armada CDP)
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
60
Para las armaduras, el acero B-500S se creará con las siguientes propiedades:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
200.000.000 0,3
Tabla 24. Elastic (B-500S)
Yield Stress [Pa] Plastic Strain
500.000.000 0
500.000.000 1
Tabla 25. Plastic (B-500S)
Hay que decir que para la creación de las armaduras se emplean elementos tipo “wire”
diseñados como una línea simple para la inferior y para la superior respectivamente.
Este aspecto es de especial importancia a la hora de crear la sección del material B-
500S, ya que el tipo será tipo “Truss” dentro de la categoría “Beam”. Con esto se
consigue que las armaduras trabajen exclusivamente a tracción.
Figura 62. Creación sección armadura
En cuanto al material para los bloques de apoyo, se emplea uno exactamente igual al
del capítulo 2.
3.1.2. Ensamblaje.
Procediendo como se hizo en el apartado 3.1.2 del capítulo 2, la viga ensamblada con
los bloques de apoyo y las armaduras superior e inferior queda como:
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
61
Figura 63. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada CDP)
3.1.3. Módulo “Step”.
En el caso considerado, al llevar a cabo la simulación mediante un desplazamiento
controlado, se considera un “Step” del tipo “Static, General”, donde el único
parámetro a modificar es el referente al incremento mínimo, que se especifica como
1E-050.
El resto de opciones se mantienen por defecto. No obstante, como ya se razonó en el
capítulo 2, para no sufrir un aborto prematuro de la simulación, conviene ir al
submenú “Other → General Solution Controls → Manager” y editar el Step-1 como ya
se hiciera en los casos ya comentados.
3.1.4. Interacciones.
En primer lugar se crean dos restricciones tipo “Tie” para cada uno de los bloques de
apoyo, de manera que se cree una interacción entre la viga y dichos elementos.
Además, al presentar la estructura elementos de refuerzo, se deben introducir dos
regiones embebidas para sendas armaduras. Para ello, basta con pulsar sobre el botón
de la barra vertical de herramientas “Create Constraint → Embedded region”,
seleccionar la barra de acero correspondiente y finalmente la viga, que será la
denominada parte “anfitriona”.
Figura 64. Creación de región embebida
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
62
3.1.5. Mallado.
Para una viga armada se espera que puedan aparecer un mayor número de fisuras que
en una entallada, luego en esta ocasión el mallado será más denso en general , si bien
resulta evidente que, al ser una geometría regular, se pueda realizar este paso de
manera estructurada de una forma mucho más sencilla.
Asimismo, hay que especificar en este módulo que las armaduras son de tipo “Truss”.
Para ello, basta con seleccionar dichos elementos y pulsar sobre el botón de la barra
de herramientas vertical con las siglas “BAR”. Una vez hecho esto, se abre un cuadro
de diálogo donde se cambia el tipo de “Beam” al anteriormente mencionado. Destacar
que si no se lleva a cabo esta operación, Abaqus dará un error fatal antes de simular.
De este modo, la estructura estudiada una vez mallada tendrá el siguiente aspecto:
Figura 65. Mallado (viga armada CDP)
3.1.6. Cargas y condiciones de contorno.
Los apoyos, fijo y móvil respectivamente, se crean en el punto medio de la cara inferior
de los bloques diseñados a tal efecto. Una vez más, para ello bastará con crear una
condición de contorno en el “Step-Initial” de tipo “Displacement/Rotation”.
Por otro lado, la carga de peso propio se introduce como una de tipo “Gravity”,
mientras que el desplazamiento controlado se impone a lo largo de unas líneas de las
secciones transversales, correspondientes a las zonas de aplicación de las cargas del
ensayo de flexión en cuatro puntos. Se ha definido un desplazamiento controlado para
que Abaqus encuentre una solución de una manera más sencilla, dado el tipo de
análisis a realizar.
A modo de resumen, se muestran los valores a introducir en Abaqus en la siguiente
tabla:
Desplazamiento Apoyo1 (fijo) Apoyo2(móvil) Carga
Gravitatoria Desplazamiento
[m]
U1 0 - - -
U2 0 0 -9,81 -0,5
Tabla 26. Condiciones de contorno y cargas (viga armada CDP)
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
63
Si se visualiza la geometría con las cargas aplicadas, Abaqus debe mostrar el siguiente
aspecto:
Figura 66. Cargas y condiciones de contorno (viga armada CDP)
3.2. Método de los Elementos Finitos Extendido.
En esta sección se pretende analizar la misma viga armada empleando esta vez el
Método de los Elementos Finitos Extendido. La implementación será similar al caso ya
estudiado en el capítulo 2, si bien se procede a detallar paso a paso los aspectos de
mayor relevancia.
3.2.1. Propiedades.
Los parámetros a introducir para la correcta definición de las propiedades del material
cuasi-frágil estudiado son los siguientes:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
33.000.000.000 0,2
Tabla 27. Elastic (hormigón viga armada X-FEM)
Max Principal Stress [Pa] Fracture Energy [N/m]
1.950.000 110
Tabla 28. Maxps Damage (hormigón viga armada X-FEM)
Yield Stress [Pa] Plastic Strain
38.000.000 0
38.000.000 1
Tabla 29. Plastic (hormigón viga armada X-FEM)
Mass Density [kg/m3]
2.400
Tabla 30. Density (hormigón viga armada X-FEM)
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
64
Nótese que en esta ocasión se han introducido dos nuevas características al material:
la plasticidad y la densidad. Esto se debe a que así se consigue que el programa
obtenga una solución convergente y, en el caso de la densidad, ayuda a Abaqus a
generar un mayor número de grietas mediante X-FEM.
De este modo, el número de campos a definir para el hormigón se muestran en el
cuadro de diálogo siguiente:
Figura 67. Cuadro de diálogo de propiedades del hormigón (viga armada)
Para las armaduras, el acero B-500S se creará de la misma forma que para “Concrete
Damaged Plasticity”:
Young’s Modulus [Pa] Poisson’s Ratio
200.000.000 0,3
Tabla 31. Elastic (B-500S)
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
65
Yield Stress [Pa] Plastic Strain
500.000.000 0
500.000.000 1
Tabla 32. Plastic (B-500S)
Como ya se especificó anteriormente, el material para los bloques de apoyo será uno
exactamente igual al del capítulo 2.
3.2.2. Ensamblaje.
Procediendo como se hizo en el apartado 3.2.2 del capítulo 2, la viga ensamblada con
los bloques de apoyo y las armaduras superior e inferior queda como:
Figura 68. Geometría ensamblada en Abaqus (viga armada X-FEM)
3.2.3. Módulo “Step”.
Se crea el “Step-1” de tipo “Static, Riks” ya que, al tratarse de una geometría algo
menos sencilla con una distribución de cargas de mayor complejidad, Abaqus podrá
encontrar una solución de manera considerablemente más rápida y fácil. El único
parámetro a modificar es el referente al mínimo incremento de la longitud de arco,
que quedará especificada como se muestra en la siguiente figura:
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
66
Figura 69. Step: información del incremento (Static, Riks)
Como ya se explicó en el capítulo 2, para no sufrir un aborto prematuro de la
simulación, conviene ir al submenú “Other → General Solution Controls → Manager” y
editar el Step-1. En dicha ventana se marca la casilla “Specify” y en la segunda pestaña
se activa la opción “Discontinuous analysis”. Sin salir de dicha ventatana, se modifica el
valor de IA por 50.
Igualmente, no se debe olvidar llevar a cabo la pertinente modificación del “Field
Output”, activando las casillas de “Failure/Fracture → PHILSM, Level set value phi;
PSILSM, Level set value psi” así como la de “State/Field/User/Time → STATUSXFEM,
Status of xfem element”.
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
67
3.2.4. Interacciones.
En primer lugar se crean dos restricciones tipo “Tie” para cada uno de los bloques de
apoyo, de manera que se cree una interacción entre la viga y dichos elementos.
A continuación, se debe proceder como ya se hiciera con la viga armada con el CDP, es
decir, definir las armaduras como embebidas en el hormigón, siguiendo los pasos ya
especificados en el punto 3.1.4 del vigente capítulo.
Como ya se hiciera en la sección 3.2.4 del capítulo 2, se sigue la secuencia “Special →
Crack → Create → XFEM” para crear la interacción que permitirá activar la función de
X-FEM en Abaqus. Se deben seguir los mismos pasos que se expusieron en dicho
apartado con una única diferencia: en esta ocasión, en lugar de toda la viga, se debe
seleccionar geometría a geometría las partes de la viga en las que se implementará
este modelo.
Como se mostró en la figura 61, las dos zonas rayadas situadas justo debajo de las
cargas aplicadas, no deberán ser tenidas en cuenta. Ello es debido a que se ha
comprobado que si en dicha zona, susceptible de sufrir mayores tensiones, se permite
al software aplicar el Método de los Elementos Finitos Extendido, la simulación aborta
prematuramente, proporcionando asimismo resultados incoherentes y un patrón de
fisuras incompleto.
Se representa a continuación en rojo las zonas a seleccionar en Abaqus como regiones
X-FEM:
Figura 70. Selección de regiones X-FEM
Finalmente, recordar que es necesario definir la interacción de crecimiento de grieta
como se ha explicado en apartados precedentes.
3.2.5. Mallado.
Al tratarse de una geometría sencilla y regular, al carecer de particularidades tales
como una entalla, la malla se puede definir estructuradamente con elementos
cuadriláteros. Se ha optado por un mallado de tamaño 0,025, de manera que se
consigue una densidad de la misma correcta sin llegar a suponer un esfuerzo
computacional demasiado grande para el programa.
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
68
De esta forma, se ilustra a continuación la estructura completa mallada en su
totalidad:
Figura 71. Mallado (viga armada X-FEM)
Figura 72. Detalle del mallado (viga armada X-FEM)
3.2.6. Cargas y condiciones de contorno.
Las condiciones de contorno se imponen sobre el punto medio de la cara inferior de
cada bloque de apoyo, mediante la opción “Displacement/Rotation” en el “Step-
Initial”.
Para la creación de las cargas simplemente basta con pulsar sobre el correspondiente
botón de la barra de herramientas, especificar el “Step-1” y seleccionar el tipo
deseado. En el caso considerado, se escogerá una de tipo “Gravity” para el peso propio
y otra “Pressure” para las acciones externas. En este caso, se emplea una carga
distribuida y no un desplazamiento controlado para que el software pueda simular
mejor el patrón de fisuras, ya que se ha comprobado que en caso contrario apenas
simula dos grietas en las zonas en las que se aplica dicho desplazamiento.
En la siguiente tabla se recogen los parámetros a introducir en el programa:
Desplazamiento Apoyo1 (fijo) Apoyo2(móvil) Carga
Gravitatoria Carga
distribuida[Pa]
U1 0 - - -
U2 0 0 -9,81 18.000.000
Tabla 33. Condiciones de contorno y cargas (viga armada X-FEM)
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
69
Si se visualizan las cargas en el módulo “Load”, la estructura debe quedar como:
Figura 73. Cargas y condiciones de contorno (viga armada X-FEM)
4. Resultados.
En la presente sección se exponen los resultados a los que se ha llegado mediante el
análisis numérico llevado a cabo con Abaqus. Para una mejor comprensión de éstos, se
ordenará en diversos apartados, correspondientes a las curvas carga-desplazamiento
experimentales y a los modelos CDP y X-FEM con sus correspondientes gráficas y
patrones de fisuras.
4.1. Curvas experimentales.
Se han ensayado tres vigas con la geometría especificada en un laboratorio,
obteniéndose las siguientes curvas carga-desplazamiento:
Figura 74. Ensayo experimental 1 (viga armada)
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO1
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
70
Figura 75. Ensayo experimental 2 (viga armada)
Figura 76. Ensayo experimental 3 (viga armada)
A partir de estos datos se ha llevado a cabo un ajuste numérico con el objetivo de
emplear la nueva curva como referencia y poder así comparar los resultados de
Abaqus con los experimentales, tal y como se muestra en la siguiente gráfica:
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO2
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO3
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
71
Figura 77. Ajuste numérico (viga armada)
4.2. Resultados obtenidos mediante el modelo CDP.
Se pasa ahora a mostrar la curva carga-desplazamiento que se extrae de los resultados
proporcionados por Abaqus al modelar el problema mediante “Concrete Damaged
Plasticity”, tal y como se ha explicado durante el transcurso del capítulo vigente.
Figura 78. Curva P- (Job-1 viga armada CDP)
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
ENSAYO1
ENSAYO2
ENSAYO3
NUM
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30 35
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
XFEM
NUM
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
72
Se ve claramente que la carga máxima es del mismo orden que la experimental, si bien
resulta algo menor. Sin embargo, se puede decir que se está del lado de la seguridad,
ya que en realidad resiste algo más, y ello puede deberse asimismo a razones propias
de la heterogeneidad del propio material. De hecho éste es uno de los motivos por los
que se realizan varios ensayos en el laboratorio en lugar de uno solo, pues las cargas
máximas pueden varias de un espécimen a otro, si bien no deben alejarse demasiado
entre ellos.
Del mismo modo, se observa que el tramo inicial de la curva presenta una mayor
pendiente que la gráfica del laboratorio. Para tratar de ajustarla se ha procedido a
variar el valor del módulo de deformación del hormigón, pasando de 33 GPa a 10 GPa.
La nueva curva se muestra bajo estas líneas:
Figura 79. Curva P- (Job-2 viga armada CDP)
En esta ocasión, el tramo inicial coincide perfectamente con la curva experimental,
aunque a partir de 20 kN adquiere una menor inclinación que en el caso del “Job-1”.
No obstante, podría decirse que se trata de una buena aproximación numérica por
parte de Abaqus, encontrándose los resultados del lado de la seguridad en el mismo
orden de magnitud.
A continuación se procede a mostrar el patrón de fisuras proporcionado por el
programa tras la simulación, siendo el mismo para los dos trabajos desarrollados:
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30 35
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
XFEM
NUM
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
73
Figura 80. Patrón de fisuras (viga armada CDP)
Figura 81. Detalle patrón de fisruas (viga armada CDP)
4.3. Resultados obtenidos mediante X-FEM.
Se ilustra a continuación la curva carga-desplazamiento obtenida tras simular con
Abaqus la viga armada mediante el Método de los Elementos Finitos Extendido para
las condiciones especificadas a lo largo del presente capítulo.
Figura 82. Curva P- (Job-1 viga armada X-FEM)
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30 35
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
XFEM
NUM
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
74
Se observa que los valores límite son del mismo orden y la forma es aproximada, si
bien no del todo exacta. Salta a la vista que la pendiente inicial es mayor en el caso
estudiado mediante X-FEM, por lo que se ha procedido a modificar el valor introducido
como Ecm con el propósito de intentar ajustarla a la del caso real.
Por tanto, para solventar el problema citado, se ha variado el valor del dato concreto
en 23 GPa, es decir, pasando de 33 a 10 GPa. Los resultados obtenidos se muestran
bajo estas líneas.
Figura 83. Curva P-d (Job-2 viga armada)
Se comprueba ahora que el tramo inicial coincide a la perfección, aunque la carga a la
cual la armadura plastifica es algo menor que en el “Job-1”, es decir, de nuevo se
observa el fenómeno comentado con anterioridad: la carga máxima es algo menor que
la experimental.
Una vez representadas las curvas de comportamiento, se procede a ilustrar la
fisuración reproducida por Abaqus mediante X-FEM para los dos trabajos realizados. Se
sabe a priori que ante un estado de carga como el estudiado, una viga de hormigón
armado que falla por plastificación de la armadura debe presentar unas grietas en la
zona central prácticamente verticales que se van curvando hacia el centro de la viga
conforme se propagan hacia la parte superior y los extremos. A modo ilustrativo, se
adjunta una imagen del libro “Hormigón Armado” de Jiménez Montoya, en el que el
caso de rotura por flexión pura corresponde a la fisuración tipo 1:
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15 20 25 30 35
Car
ga [
kN]
Desplazamiento [mm]
XFEM
NUM
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
75
Figura 84. Modos de rotura (Jiménez Montoya)
Los patrones obtenidos con el software de cálculo empleado son los siguientes:
Figura 85. Patrón de fisuras (Job-1 viga armada)
Figura 86. Detalle STATUSXFEM (Job-1 viga armada)
Figura 87. Patrón de fisuras (Job-2 viga armada)
Capítulo 3: Análisis de flexión en cuatro puntos
76
Figura 88. Detalle STATUSXFEM (Job-2 viga armada)
Se ve claramente que se ha conseguido una representación de las fisuras muy buena y
coherente con el comportamiento real del hormigón armado. En el segundo caso, que
es el que coincide con la misma pendiente en la curva carga-desplazamiento, es incluso
mejor que en el primero.
De nuevo merece la pena citar que el tiempo de cálculo por parte del software es
extremadamente corto y vuelve a arrojar resultados verosímiles.
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
78
1. Introducción.
El objetivo de este capítulo es plantear varios casos teóricos de viga de hormigón
reforzada con barras de acero para poder así llevar a cabo un análisis de sensibilidad y
ver cómo varían los resultados en el Método de los Elementos Finitos Extendido al
modificar determinados parámetros. De nuevo, se simulará un ensayo de flexión en
cuatro puntos, como ya se hiciera previamente.
En esta ocasión, no se explicará detalladamente cada paso del diseño en Abaqus,
puesto que es similar al del capítulo anterior. Lo único que varía son las dimensiones
de la viga y que en esta ocasión sólo se dispondrá de armadura inferior.
2. Datos de partida.
A continuación se muestra la geometría, con las medidas expresadas en metros, del
nuevo caso objeto de estudio, si bien las armaduras no aparecen representadas en la
sección, pues éstas variarán de un caso a otro.
Figura 89. Geometría de la viga armada (II)
Figura 90. Sección de la viga armada (II)
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
79
Una vez más, se deben introducir ciertas modificaciones a la hora de crear dicha
geometría en Abaqus: los ya conocidos bloques de apoyo y, como en el capítulo 3, dos
regiones para diseñar la carga como una presión distribuida con el objetivo de evitar la
aparición de concentraciones de tensión y poder obtener un mejor patrón de fisuras.
Figura 91. Geometría modificada en Abaqus (viga armada (II))
Se han vuelto a representar como regiones rayadas aquellas que quedarán excluidas
del dominio sobre el que se aplicará X-FEM.
En cuanto a las propiedades del hormigón, se consideran:
fc = 30 MPa.
Ec = 30 GPa.
ν = 0,2.
GF = 110 N/m.
fct,ind = 3 MPa.
Por las ecuaciones XXII, XXIII y XXIV se tendrá:
fcm = 38 MPa.
Ecm = 33 GPa.
fct = 1,95 Mpa.
Para las armaduras se empleará en algunos casos un acero B-400S y en otros un B-
500S. Así:
Es = 200 GPa.
fyk = 400 ó 500 MPa (según el caso).
ν = 0,3.
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
80
3. Casos.
Se recogen en la siguiente tabla la casuística de los estudios que se llevan a cabo en el
vigente capítulo:
Caso Hormigón Acero Armadura
1 HA-30 B-400S 4φ16
2 HA-30 B-400S 4φ12
3 HA-30 B-400S 2φ12
4 HA-30 B-500S 4φ16
Tabla 34. Casos estudiados para análisis de sensibilidad (viga armada)
Los casos 1-3 sirven para ilustrar la influencia de la armadura, mientras que una
comparación entre 1 y 4 permite estudiar cómo afecta el límite elástico de las barras
de acero.
Destacar además que, dentro de cada uno de los casos, se elaboran análisis para
distintas energías de fractura del hormigón, de modo que sea posible ver la influencia
de este parámetro en los resultados definitivos. Con este fin se crean varios “Jobs” en
los correspondientes casos.
4. Cálculo teórico.
En esta sección se pretende explicar la metodología empleada para hallar el valor de la
carga a la cual plastifica la armadura de la viga estudiada.
En primer lugar se debe comentar que se considera un recubrimiento mecánico de 3
cm, lo que hace que el canto útil de la sección sea de 0,37 cm.
Del mismo modo, los coeficientes de seguridad para el hormigón y el acero serán:
γc = 1,5
γs = 1,15
Esto hace que se modifiquen ciertos parámetros de partida del siguiente modo:
Ecuación XXV
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
81
Ecuación XXVI
Acto seguido se lleva a cabo una adimensionalización, definiendo el término uc:
Ecuación XXVII
donde “d” es el canto útil de la sección.
Como para cada caso la armadura es conocida, resulta sencilla hallar el área de la
misma, As, y, a partir de ésta, puede calcularse el valor adimensional según la
siguiente expresión:
Ecuación XXVIII
Una vez calculado dicho parámetro, se recurre a la siguiente ecuación para obtener el
momento adimensional
√
Ecuación XXIX
Finalmente, se deshace la adimensionalización para obtener el momento aplicado a la
sección. Para ello se procede de la siguiente forma:
Ecuación XXX
Por Resistencia de Materiales se conoce que para una viga biapoyada sometida a
flexión en cuatro puntos, el momento máximo que resiste la estructura es igual a:
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
82
Ecuación XXXI
donde L representa la distancia entre los apoyos.
Para el caso estudiado, L es igual a 3 metros, luego la carga aplicada coincide con el
momento previamente calculado.
5. Resultados.
5.1. Carga de plastificación de la armadura teórica.
Siguiendo la metodología explicada en el apartado que precede al actual, se obtienen
las siguientes cargas a las cuales se espera que las armaduras plastifiquen. No
obstante, hay que decir que estos valores se encuentran del lado de la seguridad por
haber empleado coeficientes destinados a ese objetivo.
En la siguiente tabla se resumen los valores alcanzados:
Caso Carga de plastificación [N]
1 95.671,5
2 55.740,6
3 28.488,6
4 117.156,4
Tabla 35. Resultados teóricos
5.2. Curvas carga-desplazamiento.
Una vez finalizadas las simulaciones con Abaqus, se extraen los datos correspondientes
a las cargas y a la flecha, de manera que puedan representarse las curvas de
comportamiento de la estructura en cuestión.
A continuación se muestran las distintas gráficas obtenidas, en las que se ha
representado de igual modo una cota orientativa de la carga de plastificación calculada
de forma teórica.
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
83
Figura 92. Curva P- (caso 1)
Figura 93. Curva P- (caso 2)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 2 4 6 8 10
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
XFEM
TEÓRICA
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
0 1 2 3 4 5
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
XFEM
TEÓRICA
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
84
Figura 94. Curva P- (caso 3)
Figura 95. Curva P- (caso 4)
Se comprueba que en todos los casos se ha obtenido un resultado coincidente con los
hallados teóricamente, luego se demuestra, una vez más, que el Método de los
Elementos Finitos Extendido es una herramienta de gran potencial para el estudio del
hormigón.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
0 2 4 6 8 10
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
XFEM
TEÓRICA
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 2 4 6 8 10
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
XFEM
TEÓRICA
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
85
En una última gráfica se ilustran todas las curvas obtenidas para poder ver con claridad
la forma en la que éstas varían al modificar determinados parámetros:
Figura 96. Curvas P- (todos los casos)
5.3. Patrón de fisuras.
Se procede ahora a ilustrar los cuatro patrones de fisuras obtenidos mediante X-FEM
para cada uno de los correspondientes casos. Como ya se expusiera en el capítulo 3, se
sabe a priori cómo deben ser las grietas aproximadamente para este tipo de
problemas.
Los resultados son los siguientes:
Figura 97. Patrón de fisuras (caso 1)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 5 10 15 20
Car
ga [
N]
Desplazamiento [mm]
CASO1
CASO2
CASO3
CASO4
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
86
Figura 98. Detalle STATUSXFEM (caso 1)
Figura 99. Patrón de fisuras (caso 2)
Figura 100. Detalle STATUSXFEM (caso 2)
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
87
Figura 101. Patrón de fisuras (caso 3)
Figura 102. Detalle STATUSXFEM (caso 3)
Figura 103. Patrón de fisuras (caso 4)
Figura 104. Detalle STATUSXFEM (caso 4)
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
88
5.4. Análisis de sensibilidad.
Se exponen dos gráficos en los que se pretende ilustrar la influencia de varios
parámetros en el estudio de una viga de hormigón armado diseñada mediante el
Método de los Elementos Finitos Extendido en Abaqus.
En primer lugar se presenta:
Figura 105. Influencia de Gf y armadura
En este caso, se muestran los casos 1, 2 y 3, de manera que sirva para poder visualizar
la influencia de la energía de fractura del hormigón y de las distintas armaduras. Se
observa que el parámetro Gf apenas influye en los valores numéricos, ya que se
obtiene en todos los casos prácticamente una línea recta. No obstante conviene
destacar que la energía de fractura sí que resulta relevante a la hora de la definición de
las propiedades en Abaqus, puesto que puede hacer que el programa presente una
mejor convergencia. Por tanto, en caso de obtener una simulación demasiado corta, la
principal opción a modificar será ésta. Por otro lado, las armaduras hacen que,
efectivamente, la estructura se comporte como el caso real, es decir, dependiendo de
la que se coloque, la viga aguantará más o menos, verificando de nuevo este método
de diseño.
En segundo lugar se ilustra:
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
50 80 110 145
Car
ga d
e p
last
ific
ació
n [
N]
Gf [N/m]
4φ16
4φ12
2φ12
Capítulo 4: Análisis de sensibilidad
89
Figura 106. Influencia del límite elástico
Con esta sencilla curva se quiere mostrar que el software arroja resultados verosímiles
si se modifica la calidad del acero empleado para el diseño de las armaduras de
refuerzo. Así, para un límite elástico superior, la viga aguantará una mayor carga en
igualdad de condiciones. Asimismo, se vuelve a contemplar como la variación de la
energía de fractura no influye en los resultados numéricos obtenidos.
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
50 80 110 145
Car
ga d
e p
last
ific
ació
n [
N]
Gf [N/m]
4φ16 B-400S
4φ16 B-500S
Capítulo 5: Conclusiones
91
En este capítulo se recogen las principales conclusiones extraídas a lo largo de toda la
realización del proyecto.
Como bien se sabe a estas alturas, el propósito del trabajo es comprobar y verificar si
es posible modelar y analizar materiales cuasi-frágiles mediante la novedosa técnica
del Método de los Elementos Finitos Extendido. En este caso concreto, se han
estudiado diversas vigas de hormigón, tanto en masa como reforzado.
De forma paralela, se ha analizado la misma casuística empleando el método
“Concrete Damaged Plasticity”, con el fin de hacer una comparación cuantitativa y
cualitativa de ambos métodos, identificando ventajas e inconvenientes del uso de una
u otra técnica.
Lo primero que hay que destacar es la total aplicabilidad del X-FEM a este tipo de
materiales. Se han verificado todos los casos estudiados, comparando los resultados
obtenidos mediante el software Abaqus con los datos extraídos de ensayos
experimentales en laboratorio. Asimismo, conviene resaltar el hecho de que las curvas
de comportamiento llegan a ajustarse a las reales incluso mejor que con CDP.
Una vez comprobado el hecho de poder recurrir a este nuevo método para el análisis
numérico del hormigón, se procede a describir las ventajas de mayor relevancia que
aporta. Así, el punto a favor más destacado es la posibilidad que ofrece de representar
la fisuración y su propagación a lo largo de la estructura de manera gráfica. Además, el
tiempo que emplea Abaqus a la hora de llevar a cabo los cálculos es
considerablemente menor que empleando el modelo de daño plástico, lo que se
traduce en un evidente ahorro computacional. Esto hace que, además, los archivos
generados con X-FEM tengan un peso mucho menor que los que se crean con CDP.
Sin embargo, también presenta ciertas desventajas que deben ser tenidas en cuenta. Si
bien el Método de los Elementos Finitos Extendido sí admite una malla compuesta por
elementos triangulares, Abaqus no cuenta con esta posibilidad, lo que hace que X-FEM
pierda parte de su potencial, ya que existen casos en los que empleando este tipo de
elementos se puede conseguir un mallado mejor estructurado. En este orden, se debe
mencionar que durante el desarrollo del proyecto se ha comprobado que, tanto para
X-FEM como para CDP existe cierta influencia del mallado. Esto quiere decir que si el
tamaño de los elementos no es el adecuado, el programa puede aportar una solución
que se aleja de la realidad.
Otro inconveniente que parece tener X-FEM es que hay que tener especial cuidado a la
hora de definir las cargas. Esto quiere decir que, dependiendo del caso estudiado, se
podrá usar, por ejemplo, un desplazamiento controlado o no. No obstante, este hecho
sólo influye en la representación de las fisuras, ya que los resultados numéricos que
arroja Abaqus son los mismos, siempre y cuando la definición de las cargas sea
coherente con la realidad. A modo ilustrativo se puede citar el caso del capítulo 3, la
Capítulo 5: Conclusiones
92
viga armada sometida a flexión en cuatro puntos. En dicho caso, si en lugar de aplicar
la carga como una presión distribuida, se introduce como un desplazamiento
controlado, las curvas que se obtienen son coincidentes, aunque sólo aparecen dos
fisuras en las zonas en las que se ha especificado la condición de contorno. Este hecho
supone, por tanto, un aspecto a tener en cuenta, pues una elección que a priori puede
parecer acertada, puede ofrecer resultados no tan buenos como los esperados.
El módulo “Step” de Abaqus resulta de gran importancia igualmente para que el
programa pueda encontrar una solución de la forma más eficaz posible. Así, para casos
sencillos se puede emplear el tipo “Static, General”, mientras que para otros de mayor
complejidad, la elección de “Static, Riks” parece más adecuada.
Para tratar de mitigar los inconvenientes de ambos métodos, se ha analizado
igualmente el diseño utilizando ambas técnicas combinadas, de manera que actuasen
conjuntamente. Este estudio tiene como consecuencia la total incompatibilidad de los
mismos, ya que no sólo hace que la simulación aborte prematuramente, sino que
ralentiza el software y altera el patrón de fisuras, dando lugar a resultados
incoherentes.
Por todo lo expuesto anteriormente, se puede decir que, a pesar de las limitaciones
que posee, X-FEM constituye una alternativa válida y verosímil para el estudio del
hormigón, si bien parece evidente que en caso de mejorar la implementación del
mismo en el software, por parte de los responsables de Dassault Systemes Simulia
Abaqus, solventando problemas de mallado y definición de cargas sobre todo, el
Método de los Elementos Finitos Extendido puede llegar a convertirse en la principal
herramienta de trabajo para el estudio de la mecánica de la fractura de este tipo de
materiales, suponiendo un avance de suma importancia para futuras investigaciones.
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