Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

de primer orden

ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Aplicaciones Geométricas

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TL

Y

NL

)(: xfY

A

),( yxP

C D EX

)(' xXyyY

I

TL

Y

NL

)(: xfY

A

),( yxP

C D EX

Ec. Recta Tangente:

22)'

(),( yy

yEPd

)('

1xX

yyY

'0 xyyYx Punto A:

Punto E: '

0y

yxXy

Ec. Recta Normal:

Punto C: '0 yyxXy

Long. Tg.

22)'(),( yyyCPd Long.Normal

'0)

'(),( 22

y

y

y

yEDd Sub. Tg.

'0)'(),( 22 yyyyCDd Sub. No.

• Problema: Un triangulo formado por la tangente a una curva en un punto cualquiera de P de ellos ,el eje Y y OP (donde O es el origen de coordenadas) es isósceles y tiene su base en el eje Y. Hallar la familia de curvas que cumplan lo requerido.

Solución: Datos: OP=AP

Además por ser isósceles:𝐵 =𝐴+𝑂

2 , pero B=(0,y) A=(0,2y)

Además : y’=𝑦−2𝑦

𝑥−0 = -

𝑦

𝑥

𝑑𝑦

𝑦= −

𝑑𝑥

𝑥 Lny=-lnx + lnc , de donde.

xy=c

u

uxuu

u

uxu

u

uxuu

uxx

uxxuu

xuuyuxy

yx

yyyx

y

y

yxy

y

1'

1'

1''

'' Sea

''

0y'

y Si a)

:casos 2Habrán

. tangenciade punto el es y)P(x, donde '

:Solución

" tangenciade punto del scoordenada de suma la a igual es

esubtangent la de longitud la" :propiedad siguiente la satisfacen quexy

plano elen curvas de familia la deecuación laHallar : 2 Ejemplo

2

c

yyLnxCyLn

y

x

CyLny

xCxLnxLnyLn

y

x

CxLnx

yLn

y

x

x

yuCxLnuLn

u

x

dxduuu

x

dxdu

u

u

1

11

1

1

12

2

:entonces Como .1

:obtenemos Integrando

1

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22222

22

2

2

2

22

1

2

2

2

21

11222

1

22

1

2

1

1

2'

1'

1''

'' Sea

''

0'

Si b)

cyxyxcyxx

c

x

yx

x

cu

x

cuu

x

cLnuuLn

CxLnuuLn

x

dxdu

uu

u

u

uuxu

uu

uxu

u

uxuu

uxx

uxxuu

xuuyuxy

yx

yyyx

y

y

y

y

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Problema:

Determinar la ecuación de la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad: “ El área del trapecio limitado por los ejes coordenados, la tangente en un punto cualquiera de la curva y la ordenada del punto de tangencia sea siempre igual a “b” unidades cuadradas”.

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Por dato: (PB+OA) . OB/2 = b ……………………..(1) Sabemos que PB = y, OB =x, OA =? Sea A = (0; y1) Entonces y'= ( y-y1)/x Entonces y1 = y-x y' luego OA =y1 = y-x y' Reemplazando en (1) (y+ y-x y')x/2 = b → (2xy-2b)-x2 = 0 → (2xy – 2b)dx – x2dy = 0…..(1) M = 2xy – 2b → = 2x N = -x2→ = -2x Son diferentes por ello buscamos el factor integrante

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Si depende de X → u(x)= Donde g(x)= → = →u(x) = x-4 X F.I: (2xy -2b)x-4dx – x-2dy = 0 →M* = 2x-3 -2bx-4, N* = – x-2 Sea F(x;y) = c la solución entonces

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= M* y = N* De = N* F(x; y) = dy + h(x) = -x-2y + h(x) ……(2) De = M* → 2x-3y + h'(x) = 2x-3y – 2bx-4 h'(x) = – 2bx-4 → h(x) = bx-3 En (2): F(x;y) = -x-2y + bx-3 = c

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Problema

• Hallar una curva que tenga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.

• .

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1d

d

0

Y

X

tL

00 , yxp

xfy

.0xd

0'| xymL pt

00: xxmLyyL tt

0: 0

1

000

1 xyyxyyxxyLt

1',0

2

0

0

1

00

xy

xyxyLd t

0,0 xLd t

Por dato del problema

Además y la ecuación de la tangente es:

Por condición del problema se tiene:

02

0

0

1

00

1'

,x

xy

xyxy

generalizando en cualquier punto se tiene:

211

21

1

11

yxxyyxy

xyy

212221212 2 yxxYxxyyy

02 122 xyyxy de donde

,0222 xydydxxy es homogénea

sea xduudxdyuxy

02 2222 xduudxuxdxxxu

0212 xduudxudxu

,0212 uxdudxu separando las variables.

01

22

duu

u

x

dx

Lncduu

u

x

dx

1

22

, integrando

cuxLncuLnLnx 11 22

x

yu de donde

por lo tanto: .22 cxyx

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•Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY, al radio vector es una cantidad constante positiva

PROBLEMA

• Por dato se tiene La ecuación de la recta tangente es:

Lt : y0= y-M(x-xo) , de donde Lt :

Para x=0 se tiene

luego : , generalizando se tiene :

,

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• Sea :

Remplazando:

→

separando las variables:

→

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Entonces:

→

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PROBLEMA03:

Hallar la curva cuyas tangentes corten en los ejes coordenados

segmentos cuya suma se igual a 2a.

De la ecuación de la pendiente tenemos:

- (X-x)…………………………………*

Para el punto (0, y1)

Reemplazando en * tenemos: y1= -

Para el punto (X1,0)

Reemplazando en * tenemos: X1= -

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Reemplazamos en el dato:

X1 +y1= 2 a

- + - =2 a

Ahora derivamos respecto a “x”:

1-( )- - =0

=

de ahí tenemos dos soluciones:

=0 Y=CX+C1

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x=

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PROBLEMA 7. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante S =2a

Solución:

(0,h)

(b,0)

h

b

Y=f(x)

(x,y)

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Nos dicen:

aSbxh

A 22

Es decir bxh=4a …..(1)

Pero xyyh

x

hyy ''

También: '

'y

yxb

bx

yy

Reemplazando en (1)

2.....'4''4´

'4'4'

'4'.

'

'

4''

22

ayxyyayxyy

ayxyyay

xyyaxyy

y

yxy

axyyy

yx

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Sea:

)3....(4' apxpypy

Derivando (3)

0'4

2

'442

1'' 2

1

pap

ax

apapxppy

Si p=0

generalsoluciónacxcy

En

ctecp

4

:3

.

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Cálculo de la solución singular del sistema del sistema:

04

2

4

ap

ax

acxcy

Eliminado “p” obtenemos: x

ay

Rpta: curva

x

ay

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•La tangente en un punto P de la curva, es bisectriz del ángulo formado por la ordenada y la recta que une P con el origen .Hallar la ecuación de la curva.

PROBLEMA

• Sub – Tang :

• Como: entonces

SOLUCION

Sea

Entonces

• Entonces la ecuación de la curva seria

PROBLEMA

Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal a cualquiera de sus puntos, es igual desde este punto al origen de coordenadas.

Solución:

DATO: OB = OT , donde

Problema: Por un punto P(x;y) de una curva que pasa por el origen se trazan dos rectas paralelas a los ejes coordenados, las que determinen un rectángulo con dichos ejes. Hallar la ecuación diferencial de la curva, de modo que ésta divida al rectángulo formado en dos regiones, donde el área de la parte derecha sea el triple del área de la parte izquierda.

Por dato y de la figura deducimos: 3A = ; 4A = xy = 3

x

0

ydx

x

0

ydx4

x

Solución:

x

0

ydx 4 = 3xy

Derivando y aplicando el primer teorema fundamental del cálculo resulta: 4y = 3xy’ + 3y Así, la ecuación diferencial pedida es la siguiente:

3xy’ = y

PROBLEMA

Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY, al radio vector es una cantidad constante positiva