Post on 11-Jan-2016
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Teoría Preliminar
Identificar conceptos de cálculo diferencial e integral aplicables a las ecuaciones
diferenciales
Derivadas Parciales
Son aquellas derivadas que se realizan a una función que contiene varias
variables considerando únicamente a una literal como variable y al resto se
considera constante.
Algoritmo de solución:
1. Derivar las variables la ecuación respecto a las funciones indicadas (x, y, z).
2. Encontrar la función respecto a X, se va a derivar solo donde se contengan
variables de X.
3. Encontrar la función respecto de Y, se va a derivar la ecuación solo donde
contenga las variables de Y.
4. Encontrar la función respecto de Z, se va a derivar la ecuación solo donde
contenga las variables de Z.
Ejercicio:
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧
𝝏𝒚
𝝏𝒙= 𝟔𝒙𝒚 + 𝟐𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒙= 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒙= 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚
Integral por Partes:
Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. La regla
que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para
Integración por partes. Permite calcular la integral de un producto de dos
funciones aplicando la fórmula:
∫ 𝑢 ∙ 𝑣´ 𝑑𝑥 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑢´ ∙ 𝑣 𝑑𝑥
Las funciones logarítmicas, arcos y polinómicas se eligen como “u”.
Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno se eligen
como v´.
Fuentes:
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integraci%C3%B3n_por_partes.htm
l
http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html
Algoritmo de solución:
1.- Definir la ecuación de la integral
2.- Identificar U y DV
3.- Dividir en una tabla a U y derivar la función de U hasta llegar a 0
4.- De lado contrario de la tabla DV integrar la función de DV hasta igualar a 0 de
U.
5.- El primer término de U se juntara con el segundo término de DV de manera
que se unan en forma diagonal.
Ejercicio:
∫ 𝟑𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒅𝒙
U DV
3x2 cos x
6x sen x
6 -cos x
0 -sen x
𝑅 = 3𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 6𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 – 6 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
Ecuación diferencial
Identificar la definición y solución de una ecuación diferencia
Una ecuación diferencial es aquella ecuación que cuenta con diferenciales en su
estructura y su resultado es una ecuación
Una ecuación diferencial se puede clasificar por su forma y estructura:
a) Ecuación diferencial ordinaria
Es aquella ecuación que cuenta únicamente con 2 variables (dependiente e
independiente)
𝑑𝑦 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑥 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
b) Ecuación diferencial parcial
Cuenta con una variable dependiente y dos o más variables independientes que
pueden considerarse como variables o incógnitas dependiendo de los requisitos
de la ecuación
Derivada parcial
𝜕𝑦2
𝜕𝑥−
𝜕𝑦
𝜕𝑥+ 𝑦 = 0
Una ecuación diferencial puede clasificarse según su grado el cual se determina
por la diferencial de mayor grado de la ecuación
Algoritmo de solución: 1.- Se identifica el tipo de ecuación es. 2.- Se deriva acorde al tipo de ecuación que era según el grado 3.- Se utiliza el último resultado y se le resta el término mayor multiplicado por el término original
4.- Si el resultado igualado a cero cumple la igualación es una solución correcta
𝑥′′ + 16𝑥 = 0
a) 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠4𝑡
a) 𝑥 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡
𝑥′ = −4𝐶1𝑠𝑒𝑛4𝑡
𝑥′′ = −4 ∗ 4𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡
∴= 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡
−16𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 16𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡 = 0
0 = 0
b) 𝑥 = 𝐶2 𝑠𝑒𝑛4𝑡
c) 𝑥 = 𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡
𝑥′ = −4𝐶2𝑐𝑜𝑠4𝑡
𝑥′′ = −4 ∗ 4𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡
𝑥′′ = −16𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡
−16𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 16𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡 = 0
0 = 0
Familia de curvas de una ecuación diferencial
Una ecuación diferencial cuenta con una solución general que contienen una
constante de integral y un número indefinido de soluciones particulares.
Para encontrar una solución particular se debe identificar el valor de la constante
sustituyendo el punto por donde se desea pase la gráfica de la solución general.
Algoritmo de solución:
1. Haciendo uso de la solución general se procede a identificar con que puntos
será evaluada.
2. Cada punto dado es un sistema de coordenadas (x,y)
3. En la solución general existirá alguno de estos datos x,y y serán sustituidos por
los valores del punto
4. Una vez sustituidos los valores se continuara a realizar la operación para
obtener C
5. El valor de C corresponde al valor de los puntos en el eje de las Y
6. Ahora se procederá a tabular los datos
7. Se escogerá un rango de números para x ,(3,2,1,0,-1,-2,-3)
8. Y con la formula resultado de C se procede a realizar la operación con respecto
a cada punto de X sustituyendo a esta misma en la formula si es necesario
9. Con todos los datos de ambos ejes se procede a graficar los datos.
10. Se repite el proceso según el número de puntos dados.
Ejemplo:
Solución general: 𝑦 = 𝐶 ∗ 𝑋
grafique la familia de curvas que pase por los siguientes puntos:
(1,1)
(1,3)
(4,2)
PUNTO (1,1)
y=C*X
1=C*1
C=1/1
C=1
X Y=1*X
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
PUNTO (1,3)
y=C*X
3=C1
C=3/1=3
X Y=3X
-3 -9
-2 -6
-1 -3
0 0
1 3
2 6
3 9
PUNTO (4,2)
y=C*X
2=C*4
C=2/4=1/2=.5
X Y=.5X
-3 -1.5
-2 -1
-1 -.5
0 0
1 .5
2 1
3 1.5
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Las ecuaciones diferenciales de primer orden (grado) se pueden clasificar por su
estructura en:
a) Ecuaciones diferenciales de variables separadas:
Son aquellas donde puede separarse en cada miembro de la ecuación una
variable y se presenta de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
g(x)
ℎ(𝑦)
Algoritmo de solución:
1. Dada la ecuación, se procede a sustituir ya prima por derivada de y con
respecto a la derivada de x.
2. Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y
colocándole el signo opuesto y se hace lo mismo con la derivada con
respecto a x.
3. Se integran los términos que están a los costados de la igualdad
aplicando la fórmula de integración pertinente tomando en cuenta que una
integración de una derivada se eliminan o es igual a 0.
4. Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la
solución general, en caso contrario se procede a completarla para
obtenerla.
𝑦´ − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
Ejemplo:
𝑦´ − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠𝑥
1) 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
2) ∫ 𝑑𝑦 = cos ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑣 + 𝑐 fórmula para integrar
3) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 solución general
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Graficar la solución particular de una E.D.V.S.
La solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se presenta con
una condición inicial (se conoce un punto por donde pasa) como muestra el
siguiente ejemplo:
Algoritmo de solución:
1. Se sustituye y´ (prima) por derivada de y con respecto a la derivada de x. 2. Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y se hace lo mismo con la derivada con respecto a x. 3. Se integran los términos que están a los costados de la igualdad, tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es igual a 0. 4. Una vez verificando que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso contrario se procede a completarla para obtenerla. 5. Se procede entonces a espejar la constante de integración c para saber su valor. 6. Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3 para obtener la gráfica.
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑦(1) = 2, 𝑥 = 1, 𝑦 = 2
x=1 y=2
𝑦´ − cos 2𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥− cos 2𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑐𝑜𝑠2𝑥
∫ 𝑑𝑦 = 1
2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥2𝑑𝑥
𝑦 =1
2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑐 Solución general
𝑐 = 𝑦 −1
2𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑐 = 2 −1
2𝑠𝑒𝑛 2(1)
𝑐 = 2 −1
2𝑠𝑒𝑛 2
𝑐 = 1.5453
𝑓(𝑥) = 𝑦
𝑦 =1
2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 1.5453 Solución particular
x y
-3 1.0850
-2 1.9237
-1 1.0937
0 1.5453
1 1.9999
2 1.1668
3 1.4055
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Resolver soluciones particulares de una E.D.V.S. y sus aplicaciones
Algoritmo de solución
1. Dada la ecuación, se procede a sustituir y´ (prima) por derivada de y con respecto a la derivada de x. 2. Se despeja la variable x pasándola al otro lado de la igualdad y colocándole el signo opuesto y se hace lo mismo con la derivada con respecto a x. 3. Se integran los términos que están a los costados de la igualdad aplicando la fórmula de integración pertinente tomando en cuenta que una integración de una derivada se eliminan o es igual a 0. 4. Se verifica que la ecuación está completa, ya se obtuvo la solución general, en caso contrario, se completa para obtenerla. 5. Una vez obtenida la solución general, se procede a espejar la constante de integración c para saber su valor. 6. Sabiendo el valor de c, se sustituye en la solución general y se proceda a graficar sustituyendo la variable x por los valores que van desde -3 hasta +3
Ejemplo:
Graficar la solución particular cuando
F (1)=2, F (2)=4, F (3)=2
𝑋𝑦2 𝑦1 − 𝑥2 − 𝑥 = 0
𝑋𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑥2 − 𝑥 = 0
𝑋𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥2 + 𝑥
𝑋𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥
𝑦2 𝑑𝑦 =𝑥2 + 𝑥𝑑𝑥
𝑥
∫ 𝑦2 𝑑𝑦 = ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥
𝑦3
3=
𝑥2
2+ 𝑥 + 𝑐
𝑦 = √(𝑥2
2+ 𝑥 + 𝑐)
33 Solución general
F (1)=2
X = 1 y = (2)
𝑐 =𝑦3
3=
𝑥2
2− 𝑥
𝑐 =8
3−
1
2− 1
𝑐 = 7
6
𝑦 = √((𝑥)2
2+ 𝑥 +
7
6)
33
x y
-3 2
-2 1.5182
-1 1.2599
0 1.5182
1 2.0
2 2.3207
3 2.5712
F (2)=4
X = 2 y = (4)
𝑐 =𝑦3
3=
𝑥2
2− 𝑥
𝑐 =64
3− 2 − 2
𝑐 = 52
3
𝑦 = √((𝑥)2
2+ 𝑥 +
52
3)
33
x y
-3 3.8372
-2 3.7325
-1 3.6962
0 3.7325
1 3.8372
2 4
3 4.5712
F (3)=2
X = 3 y = (2)
𝑐 =𝑦3
3=
𝑥2
2− 𝑥
𝑐 =8
3−
9
2− 3
𝑐 = 29
6
𝑦 = √((𝑥)2
2+ 𝑥 −
29
6)
33
x y
-3 -2.1544
-2 -2.4384
-1 -2.5198
0 -2.4384
1 -2.1544
2 -1.3572
3 2
Aplicaciones de crecimiento y decrecimiento
Cuando se tienen fenómenos de incrementos o decrementos el comportamiento
no es lineal, este se comporta de forma exponencial aplicando la siguiente relación
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝐾𝑇 Regla de crecimiento
Cuando se tienen problemas de crecimiento se deben conocer condiciones
iniciales las cuales se deben sustituir para identificar la solución particular del
problema como muestra
Algoritmo de solución
1.- Se sustituyen las variables correspondientes al problema en la fórmula de la
regla de crecimiento
2.- Se procede a integrar los términos tomando en cuenta que una integración de
una derivada que se encuentra en una fracción se convierte en logaritmo natural y
una simple integración de una derivada se eliminan o es igual a 0.
3.- Se despeja la variable que se desea obtener el valor tomando en cuenta que al
despejar logaritmo natural, al pasarlo al otro lado de la igualdad se convierte en
Euler.
4.- Una vez obtenida la ecuación de crecimiento correspondiente al problema, se
procede a organizar los datos dados en el problema para saber cuáles son las
incógnitas a resolver.
5.- Cuando se tienen claras todas las incógnitas y los datos ya dados en el
problema, se procede a sustituir los valores en la ecuación de crecimiento.
6.- Se despeja la variable de la cual se desea obtener el valor y se resuelve la
ecuación para obtener el resultado al problema.
Ejemplo:
La población de una ciudad ha aumentado un 50% en los últimos 6 años indique el
tiempo que tardara en alcanzar el doble de tamaño
Indique la población que tendrá en 3 años si inicialmente tenían 100 mil habitantes
∫𝑑𝑃
𝑃= 𝐾 ∫ 𝑑𝑡
𝑒[ln 𝑃 = 𝐾𝑡 + 𝑐]
𝑃 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐
𝑃 = 𝑐𝑒𝑘𝑡
𝑃(𝑡) = 𝑐𝑒𝑘𝑡 Ecuación de crecimiento
Ecuación particular
𝑃(𝑡) = 𝑃0 𝑒 [ln 1.5
6] 𝑡
T=? cuando 2 P0
2𝑃0 = 𝑃0𝑒 [𝑙𝑛1.5
6] 𝑡
ln [2 = 𝑒 [𝑙𝑛1.5
6] 𝑡]
ln [𝑙𝑛1.5
6] 𝑡
𝑡 = 𝑙𝑛2
[ln 1.5
6]
= 10.2570 𝑎ñ𝑜𝑠
La población alcanzara el doble de tamaño en 10.2570 años
La población que tendrá en 3 años (𝑙𝑛1.5
6)
3
Población (3 años)= 100000e
Total= 122474.4
𝒍𝒏[𝟏. 𝟓 = 𝒆𝒌]
𝒍𝒏 𝟏. 𝟓 = 𝟔𝒌
𝒌 = 𝒍𝒏𝟏. 𝟓
𝟔
Condiciones iniciales T0 años = 𝑷𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
T6 años =1.5 𝑷𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
P0=𝒄𝒆𝒌(𝟔) C=P0
1.5 P0 = P0 𝒆𝒌(𝒆)