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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
ALGEBRA LINEAL. MATRICES Y DETERMINANTES. 7.1 Vectores en R3. 7.2 Operaciones con vectores (suma de vectores y producto por un escalar) y sus propiedades. 7.3 Dependencia e independencia lineal de vectores. La base canónica. 7.4 Definición de matriz. Terminología. Tipos de matrices. 7.5 Operaciones con matrices. Matriz inversa. 7.6 Determinante de una matriz cuadrada. 7.7 Propiedades de los determinantes. 7.1 Vectores en R3 El conjunto R3=RxRxR está formado por todas las ternas (x,y,z) de números reales. Dos ternas (x,y,z) y (x',y',z') son iguales si se verifica x=x' y=y' z=z'. 7.2 Operaciones con vectores (suma de vectores y producto por un escalar) y sus propiedades. En este conjunto se define la suma y el producto por números reales, del siguiente modo: Suma: (x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z,) Producto por números reales: k(x,y,z)=(kx,ky,kz) Estas operaciones cumplen unas determinadas propiedades, dotando al conjunto R3 de una cierta estructura, que recibe el nombre de espacio vectorial. Las propiedades a cumplir son las siguientes Sea u,v,w ∈ R3 1. Asociativa (u+v)+w=u+(v+w) 2. Conmutativa u+v=v+u 3. Elemento neutro u+0=u 4. Elemento opuesto. u+(-u)=0 5. k(u+v)=ku+kv 6. (k+h)u=ku+hu 7. k(hu)=(kh)u 8. 1u=u El espacio vectorial definido, se designa por (R3,+,⋅R). A los elementos de los espacio vectoriales se les llama vectores. A los elementos de R se les llama escalares. 7.3 Dependencia e independencia lineal de vectores. La base canónica. *Combinación lineal de vectores. Un vector u de R3 es combinación lineal de los vectores de Ru.....,u,u,u n321
3 si se puede expresar así: u ua+....+ua+ua+ua= nn332211
Así pues, para formar una combinación lineal de vectores se utilizan las dos operaciones lineales de vectores. Evidentemente, como consecuencia de la definición se verifica: 1. Todo vector es combinación lineal de sí mismo: u=1⋅u 2. El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores: 0=0u1+0u2+.....+0un
Matrices y determinantes.
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* Dependencia e independencia lineal de vectores. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los restantes. En caso contrario se dice que son independientes. O de otro modo: Los vectores u son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de la forma: u,....,u, n21
con algún . 0=ua....++ua+ua nn2211 0ai ≠Los vectores u son linealmente independientes si cualquier combinación lineal de la forma: u,....,u, n21
todos los a0=ua....++ua+ua nn2211 i son nulos. Para el caso de dos vectores de R3 la dependencia lineal equivale a la proporcionalidad, de tal manera que: Dos vectores son dependientes cuando sus componentes son proporcionales. * Consecuencias de la definición de dependencia e independencia lineal: 1. Todo conjunto de vectores que contiene al vector nulo es linealmente dependiente:
u0...++u0+u0=0 n21 2. Un vector es linealmente independiente si, y solo si, es no nulo. 3. En R3 el número máximo de vectores linealmente independiente es tres. * Base de un espacio vectorial. Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se dice que B es una base de V si verifican las siguientes condiciones: - B es un sistema generador de V - B es linealmente independiente. El espacio vectorial R3 tiene como base canónica: B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} Se llama dimensión de un espacio al número de elementos que tiene cualquiera de sus bases. Luego la dimensión de R3 es tres. 7.4 Definición de matriz. Terminología. Tipos de matrices. * Definición de matriz. Se llama matriz de orden mxn sobre un cuerpo conmutativo R a un cuadro dispuesto en m filas y n columnas. Esquemáticamente:
a..aa
........
a..aa
a..aa
=A
mnm2m1
2n2221
1n1211
* Tipos de matrices: - Matriz nula es la que tiene todos sus elementos iguales a cero. - Matriz fila es la que tiene una sola fila . - Matriz columna es la que tiene una sola columna. - Matriz opuesta de la matriz A es al matriz B tal que B=-A. - Matriz cuadrada es la matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. - Matriz diagonal es la matriz cuadrada cuyos términos no situados en la diagonal principal son nulos. - Matriz escalar es la matriz diagonal que tiene iguales todos los elementos de la diagonal principal. - Matriz unidad es al matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. - Matriz triangular es la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por encima o por
Matrices y determinantes.
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debajo de la diagonal principal. - Matriz simétrica es la matriz cuadrada que tiene iguales sus elementos conjugados. 7.5 Operaciones con matrices. Matriz inversa. * Suma de matrices. La suma o adición de dos matrices A y B del mismo orden mxn es otra matriz de orden mxn, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de A y B que ocupan lugares homólogos. - Propiedades de la suma de matrices: - La suma de matrices es una ley de composición interna. ∀ MC=B+A:MBA, mxnmxn ∈∈ - Propiedad asociativa.
MCB,A,C+B)+(A=C)+(B+A mxn∈∀ - Existe el elemento neutro. A=A+O=O+A - Existe el elemento simétrico o matriz opuesta. O=(-A)+A - Propiedad conmutativa. A+B=B+APor cumplir las propiedades anteriores, el conjunto de matrices de orden mxn tiene estructura de grupo abeliano respecto de la suma. La diferencia de las matrices A y B se representa por A-B, y se define así: A-B=A+(-B) *Producto de una matriz por un número. El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la misma dimensión que A tal que cada elemento de B se obtiene multiplicado k por cada elemento de A.
-Propiedades : k(A+B)=kA+kB (k+h)A=kA+hA k[h(A)]=(kh)A
- Producto de matrices. Dadas dos matrices A de dimensión mxn y la matriz de dimensión nxp, se llama producto de A por B a la matriz C de dimensión mxp en donde el elemento genérico es igual a la suma de los productos siguientes: primer elemento de la fila i de A por el primero de la columna j de B, el segundo elemento de la fila i de A por el segundo de la columna j de B....,el n-ésimo de la fila i de A por el n-ésimo de la columna j de B.
cij
En general no se verifica la propiedad conmutativa. Ejemplos:
−
−
521214321
−
521132
= =
−3010
113206
101023012
213201120111
224305570334
- Matriz inversa. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A tiene inversa si existe una matriz B, cuadrada de orden n, tal que .Se dice que B es la matriz inversa de A. I=BA n⋅La matriz inversa de A, cuando existe, es única. La matriz inversa de A cuando existe, se simboliza por , verificándose: A-1
I=AA=AA -1-1 ⋅⋅
Matrices y determinantes.
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7.6 Determinante de una matriz cuadrada. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama determinante de la matriz A al polinomio cuyos términos son todos los posibles productos de n factores tomados entre los n elementos de A, de modo que en cada término haya un solo factor de cada fila y un solo factor de cada columna, y afectando a cada término del signo + o - según que permutaciones de los índices de las filas y las columnas sean de la misma o distinta clase. El determinante de una matriz cuadrada de orden n se simboliza por |A| o bien det A - Determinante de segundo orden. El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. - Determinante de tercer orden. Es fácil recordar el determinante de tercer orden mediante la regla de Sarrus: Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto Ejemplos:
312045123
−−=-19
011123521
−=-22
- Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Se llama adjunto de un elemento al determinante que resulta de eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento. El adjunto va precedido de un signo + o - , según que la suma de los subíndices de la fila y la columna sea par o impar El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos correspondientes. El valor del determinante es independiente de la fila o columna elegida para su desarrollo. -Cálculo de la matriz inversa por determinantes. Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA , a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. La condición necesaria para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa de una matriz dada es igual a la matriz adjunta de su traspuesta dividida por el determinante de la matriz dada.
||1
AadjAA
t
=−
El primer paso para hallar la inversa de una matriz es calcular su determinante. Si es 0, se termina el proceso. No tiene inversa. Las matrices inversas se utilizan para la resolución de sistemas de ecuaciones y de ecuaciones matriciales. 7.7 Propiedades de los determinantes. 1º- Un determinante no varía si se cambian sus filas por sus columnas, es decir: A|=|A| |t
2º- Si en un determinante se cambian entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo pero no en valor.
3º- Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.
4º- Si todos los elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero.
Matrices y determinantes.
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5º- Si dos filas o columnas son iguales el determinante es cero.
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6º- Si dos filas o columnas son proporcionales el determinante es nulo. 7º- Si dos determinantes tienen iguales respectivamente todas sus filas salvo una de ellas, su
suma es otro determinante con las mismas filas con excepción de la fila desigual, que tiene por elementos la suma ordenada de ambas filas.
8º- Si una fila o columna se le suma un múltiplo cualquiera de otra fila o columna, el determinante no varía.
9º- Si una fila o columna es combinación lineal de otra fila o columna, el determinante es cero. 10º-Un determinante es igual a la suma de los productos de una línea cualquiera por sus
adjuntos correspondientes. 7.8 Rango de una matriz. Rango o característica de una matriz es el mayor orden de los menores distintos de cero que se pueden obtener en la matriz. Se simboliza por rg(A). Ecuaciones matriciales. Puesto que el producto de matrices no es conmutativo, a la hora de multiplicar una matriz por otra conviene si ha de hacerse por la derecha o por la izquierda. Antes de empezar a operar con las matrices dadas conviene despejar la matriz incógnita. Ejemplos.
Si las matrices A, B y C son las siguientes: C
=
4311
A
=
1112
B
=
3121
Expresar el valor de la matriz X en las siguientes ecuaciones: a) XA=B+I b) AX+B=C c) XA+B=2C d) AX+BX=C e) XAB-XC=2C Las soluciones de cada ejercicio son las siguientes:
a) X= b) X= c) X=
−
−1229
−
−13
24
−−
41139
d) X= 1/7 e) X=1/4
− 11
43
−−
623414
ALGEBRA LINEAL. MATRICES Y DETERMINANTES.
PROBLEMAS. - Algebra lineal. 1º-Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores: {(3,3,2),(1,1,-1),(2,2,3)}. 2º-Estudiar la dependencia lineal del conjunto de vectores: {(1,2,3),(2,1,3),(1,0,1)} 3º-Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de la base: B={(1,-1,0),(0,0,2),(3,0,1)}
Matrices y determinantes.
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4º-¿Qué relación debe existir entre α y ß para que los vectores: u=(α,-3,1) v=(3,ß,5) w=(1,-4,3) sean linealmente independientes? 5º-Determina los valores de a para los que los vectores (-2,a,-1), (5,0,6) y (3,-2,4) son linealmente
independientes y , si es posible, expresa (2,2,2) como combinación lineal de (-2,6,-1), (5,0,6) y (3,-2,4). - Matrices y Determinantes. 1º- Dadas las matrices
=
=
011121101
115003102
BA calcular A+B; A-B; AB; BA; AA; BB.
2º- Calcular AB y BA, si es posible, siendo:
−−=
−
−=
043521
430112
BA
3º- Dadas las matrices A= B= comprobar que (A.B)
021
100
11-1
300
01-1
100t= A.B tt
4º- Dadas las matrices determinar la matriz X tal que AX-BX=B.
01
10=B
21
01=A
5º- Sea A una matriz cuadrada tal que se pide: 2I+A=A2
a) Probar que A posee inversa. b) Hallar las matrices diagonales de orden 2 que verifican esta relación.
6º- Dada la matriz Hallar a) A
100
010
501
=A Ac)Ab) n32
7º- Hallar las matrices X e Y tales que:
21
02=Y-3X
12
1-1=3Y+2X
8º- Dada la matriz hallar
10
11=A A2+A+I=B 2
9º- Dada la matriz hallar la matriz M tal que A.M=I siendo I la matriz identidad.
01-
21=A
Matrices y determinantes.
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
10º- Hallar la potencia n-esima de la matriz
100
110
011
=A
11º- Sea A una matriz cuadrada tal que . Si B=2A-I. Demostrar que A=A2 I=B2
12º- Sea la matriz Determinar g y h para que se verifique la ecuación
32
12=A 0=hI+gA+A2
13º-Dadas las matrices : hallar si existe X tal que
21-
11=C
11-2
113=B
10
12
21
=A
2C=CX-BAX
14º- Dada la matriz: A= se pide:
221131122
a) Calcular (A-I)2·(A-5I) b) Obtener la inversa de A
15º- Calcular una matriz X que verifique la igualdad A·X=B con A= B=
2132
−1211
16º- Encontrar una matriz X tal que AX+B=C, siendo
=
=
=
311110
121011
1211
CBA
17º- Encontrar una matriz X que verifique X-B2=AB siendo
=
200131121
A
−=
600222101
B
18º- Hallar A-1 y An siendo A=
100010101
19º- Calcular A100 siendo A=
101011001
Matrices y determinantes.
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20º- Calcular el valor de los siguientes determinantes:
d000
3c21
20b0
503a
b)
x00c
0x0b
00xa
cbax
a)
a00b
ba00
0ba0
00ba
d)
c+xba
cb+xa
cba+x
c)
21º- Demostrar las siguientes igualdades:
)y-(x=
111
2yy+x2x
yxyx
b))c+b+(a=
b-a-c2c2c
2ba-c-b2b
2a2ac-b-a
a) 3
22
3
22º- Demostrar sin desarrollar :
ccab
bbca
aabc
=
cc1
bb1
aa1
b)0=
b+ac1
c+ab1
c+ba1
a)2
2
2
32
32
32
23º- Calcular los siguientes determinantes:
6-2-01
1-111
2132
4321
b)
3214
2143
1432
4321
a)
24º- Hallar la inversa de las siguientes matrices:
551-
203
041
=B
341
113
110
=A
25º- Resolver la ecuación AX=B siendo:
Matrices y determinantes.
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
2=A
234
1-10
012
=B
421
03
1-01
26º- Expresar en forma de producto el valor del siguiente determinante
xaaa
axaa
aaxa
aaax
2
2
2
2
27º- Resolver la siguiente ecuación:
0=
64-1258-x
16254x
4-52-x
1111
3
2
28º- Para que valores de x posee inversa la matriz siguiente
x10
1x1
11-1
=A
PROBLEMAS RESUELTOS.-
1º-Discutir el rango de la matriz B según los valores del parámetro a.
Sol: 3,a ≠
a024
3-31-1
111a
21-11
=B 2=rgB3,=a4;=rgB
2º-Probar que la matriz A tiene inversa y calcularla
1000
m100
0m10
00m1
=A
Matrices y determinantes.
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
3º-Calcular el rango de la matriz A para los distintos valores de t
. Sol: t=0 rg(A)=1 t 0 rg(A)=2
14-32-
2-86-4
0t0t
=A
≠
4º-Hallar la matriz siendo Sol: BBn
111
111
111
=B n=3n-1B
5º-Calcular el valor del determinante:
300303
300303
111
222 logloglog
logloglog Sol: D=2
6º-Sea A la matriz . Hallar . Sol: =A
100
010
101
An
100
010
n01n
7º-Dada la matriz averiguar para que valores del parámetro m existe .
m-14
3m0
1-01
=A A-1
Calcular la matriz inversa para el valor m=2.
Sol: ≠ 1mm
≠
21-8-
3-212
21-7-
=A3 1-
8º-Pruebe que siendo A la matriz . A2=A 1-nn
11
11
9º-Obtener, simplificado, el desarrollo del determinante:
3abccb-cb
ab-b2cb-
aab-abc
222
22
2
Sol: 2 cba 242
10º-Hallar los valores de para los cuales la matriz λ
Matrices y determinantes.
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
1----
1-0--
321-
654-
λλλ
λλ
λ
λ
a) No tiene inversa. b) Tiene rango 3. Sol: 0=λ 3=λ
11º-Se considera la matriz . Calcular ( .
53
21=A A)AA 2-1t
Sol:
103
72
12º-Dadas las matrices:
11
10
1-2
= D 113
1-12 = C
021-
1-30
11-2
= B
2-31
1-03
01-1
= A
Hallar: a) A-1; b) B-1; c) A.B; d) B.A; e) 3A+2B; f) C.A; g) C.B; h) C.D; i) A2; j) B2; k) 3A + A2; l) B2-A.B Soluciones:
2-44
35-7
24-2
= A.B
11/2-1/2
1/31/61/6
1/3-1/31/3
= B
3/2-29/2-
1/2-15/2-
1/2-13/2-
= A 1-1-
3-07
15-4 = C.A
6-131
5-69
25-7
= 2B+3A
2-15
1-3-8
1-10
= B.A
3-72-
3-71
33-3
= B
17-8
26-2
11-2-
= A 1-7
2-3 = C.D
225
11-5 = C.B 22
1-36-
6-126-
111
= A.B-B
5-211
1-6-11
14-1
= A+3A 22
Matrices y determinantes.
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
13º-Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA
120
101
212
= B
011
112
101
= A
235
112
336
= B.A
313
645
332
= A.B
322
332
765
= B2
1-1-1
011
1-1-1-
= B-A
213
325
112
= A2
131
213
313
= B+A
101-
1-12 :l So
101-
011 = B
10
11 = A
Solución: 14º- Halla AX = B donde:
15º-Demostrar que A satisface la relación de recurrencia An = 2n-1 A.
11
11 = A
16º-Halla el determinante de A y su inversa:
7/32-1/81/45/32
3/323/81/4-7/32
1/321/81/419/32-
1/4001/4
= A 32- = A
1-013
1210
21-12
101-1
= A 1-
17º- Aplicando la función de la matriz inversa. Calcula la inversa de la matriz A. Comprueba el resultado.
001/2
1-13/2
2-13
= A : Sol
311-
021-
200
= A 1-
18º- Dadas las matrices siguientes. Calcula la potencia enésima.
Matrices y determinantes.
12
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
1n2
n-n
01n
001
= A :Sol
110
011
001
= A
2
n
1n2
1+n+n
01n
001
= B :Sol
111
011
001
= B
2
n
100
n10
2n-nn1
= C :Sol
100
110
011
= C
2
n
10n
010
001
= D :Sol
101
010
001
= D n
202
010
202
= E :Sol
101
010
101
= E1-n1-n
1-n1-n
n
=
=
FFimparnIFparn
:Sol
01
010
10
= Fn
n
0
0
19º- Calcula los siguientes determinantes de orden 3:
3-12
121
1-01
312
1-11
102
131
1-12
2-11
Sol: -9; 7; -4
20º- Hallar la solución de la ecuación:
Matrices y determinantes.
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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
0 =
2x3
312
1-11
c) 0 =
x63
8x2
421
b) 0 =
x11
1x1
111
a)2
Sol: a) x=-1; x=1; b) x=4; x=12; c) x=2 21º-Resolver aplicando las propiedades de los determinantes:
0 =
cbx
xb-a-
cba
d) 0 =
c-b-x
2cx2a
cba
c) 0 =
xaba
2cx2a
cba
b) 0 =
xba
cxa
cba
a)2
Sol: x = b; x = c; b) x = b/2; x = ac; c) x = -a; x = 2b; d) x=a; x=-c 22º- Según el valor del determinante A calcular razonadamente el valor del determinante B:
2y2z2x
222
2b2c2a
= B zyx
cba
= A βγα
γβα
Sol: B = 8A
23º-Demostrar que el determinante vale 0
0 =
b+ac1
c+ab1
c+ba1
24º- Calcular:
2-21-1
0112
2011-
1021-
021-1
112-0
1-312
21-01
012-2
21-01
1-112
021-1
Sol: 21; -5; -14
25º-Sin desarrollar demostrar la identidad:
ccab
bbca
aabc
=
cc1
bb1
aa1
2
2
2
32
32
32
26º-Resolver las ecuaciones: a) A.X = B; b) A + X = B; c) A-1.X = B; d) 2A-X = 3B, siendo
Matrices y determinantes.
14
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
121
110
01-1
= B
2-01
110
1-12
= A
320
000
12-1-
= X b) ;
3/2-3-1/2-
5/241/2
2-4-0
= X a) :Sol
7-61-
1-1-0
2-51
= X d) ;
2-5-1-
231
03-1
= X c)
27º- Hallar A-1 y B-1 de las matrices del ejercicio anterior:
1/2-3/21/2
1/21/2-1/2-
1/21/2-1/2
= B
1-1/2-1/2
13/21/2-
1-1-1
= A :Sol 1-1-
28º- Calcular por determinantes A-1.
3/5-1/52/5-
2/51/52/5-
2/51/53/5
= A :ol S
1-10
212
01-1
= A 1-
29º-Calcular el rango de M según los valores de t:
63-63
t2-42
21-21
= Mb)
tt03
01-12
121-1
= Ma)
Sol: a) t=1 r(M)=2; t≠1 r(M)=3; b) t=4 r(M)=1; t≠4 r(M)=2 30º- Calcular a para que M tenga inversa:
Sol: a) a≠1; b a≠1); c) a≠3
12a
31-2
1-10
c) ;
2a1
1-01
013
b) ;
312
1a4
510
= M
31º- Dadas las matrices:
1-10
312
01-1
= C
111
11-0
012
= B
2-10
121
1-01
= A
resolver las ecuaciones: a) AX+B=C; b) AX+BX=C; c) AX+2X=B; d) AXB=C
Matrices y determinantes.
15
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
17/134/139/13
1/13-12/131/13
6/137/13-7/13
= X b) ;
12/35/6
04/32/3
14/3-1/6-
= X a) :Sol
1/21/31/6-
11/3-1/3-
1/2-4/35/6
= X d) ;
9/4-4-7/2-
111
3/4-1-1/2-
= X c)
32º-Calcula
aababb
ababab
abbaab
bababa
22
22
22
22
Sol: (a+b)4 . (a-b)4
33º- Demostrar que:
c)-(a sen+ a)-(c sen+ c)-(b sen=
c c sen1
b b sen1
a a sen1
cos
cos
cos
34º- Calcular
27
31101122
23322111
50
12
1123
11
3
=
−−−−−
−−−−
=
−−
−−
−
−
12
12
1-11
27
2110332111201133
4
1200
1110
111
1
=
−−−−−
−−−
=
−
−
−−−
−
1
1-11
24
112202113321213
0001102211
12
02233211121221011101
11110
=
−−−−−−
−−−
=
−−−−−
−−−−−
−−
Matrices y determinantes.
16
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
31
2410022110221113
8
122113320112221
0111210111
−=
−−
−−−−
=
−−−
−−−−−
−−
28
2201110332211221
27
11302211
13220111
=
−−−−−−−−
−=
−−−
−−−
26
121132201133
2111
39
102112311220
2311
=
−−−
−−−
=
−−−
−−−−
90- = 28-
6-21- 38 =
18-
52- 11 =
72
53
81144
713252
0541
712253
001010100
= = 1 = −−
−−
−−
4
1000010011402251
14
1100012111422251
24
1131101213122101
−=−−−
−
−=−
−−−
−=
35º- Dada la matriz A averigua para qué valores del parámetro m existe A-1. Calcula A-1 para m = 2.
21-8-
3-212
21-7-
= A
m-14
3m0
1-01
= A 1- Sol: m ≠ 3 y m ≠ 1
36º-Hallar los valores de x para los cuales la matriz A no tiene inversa.
x 1
2-x 2 = A Sol: -2; 2/3
37º- Resuelve AXB + C = D
Matrices y determinantes.
17
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
21-1
102 = X : Sol
1-00
432 = D
3-10
321 = C
11-1-
110
011
= B 11
01 = A
Matrices y determinantes.
18
38º-Calcular el rango de la matriz A. Sol: r(A) = 2
3723
1-101
5-01-2
= A
39º- Dada la matriz B calcular los valores de y para que su rango sea 2.
Sol: y = -1
712-3
1-101
31y2
= B
40º-Calcular el determinante:
5312
0210
6123
1-211-
a) Haciendo ceros. b) Desarrollándolo por los elementos de una línea. Sol: -12 41º-Comprobar sin desarrollar que son nulos los determinantes:
4004
3113
1331
y+xz+xz+y
zyx
111
4201-
2103
5114
3011
242
1-13
121
42º-Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AB+B2
1862
1666
1033
= P : Sol
310
211
101
= B ;
201
031
111
= A
43º- Resuelve la ecuación matricial X-3A = AB; siendo:
108
14 = X
02
11 = B
31
01 = A
44º- Calcula el rango de las matrices siguientes:
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
112-34
23113
21102
20111
= B
5344
1112
3120
= A
404
1-55-
3-5-1
= C
Sol: r(C) = 2; r(A) = 2; r(B) = 4 45º- Calcula An, siendo:
202
010
202
b)
10n
n12
n+n
001
a) : Sol
101
010
101
= A b)
101
111
001
= A a)1-n1-n
1-n1-n
2
46º-Sabiendo que 3 =
101
zyx
cba
Halla: a)
bca
yzx
011
; b)
11-2
xz-y2z
ac-b2c
;
c)
2-cb2-a
101
1-zy1-x
Sol: a) 3; b) -6; c) 3
47º- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n. ¿Es cierto, en general, la igualdad siguiente?: A2+2AB+B2 = (A+B)2. Sol: No 48º-Halla la matriz enésima de la matriz A:
1n-2
n-n
01n-
001
= A :Sol
11-0
011-
001
= A
2
n
49º- Encuentra los valores de x, y, z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial:
Sol: x = -1; y = 1; z = 2
2
2
2
= z
y
10
12
11
+
0
2
1
x
50º- Encuentra la matriz X tal que: a) AX+B=C; b) AXB=C; c) AX+BX=C; d) AX+X=B; e) 2X+XA=C,
Matrices y determinantes.
19
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
siendo:
310
252
003
= C ;
111
010
001
= B ;
421
021
001
= A
1/20
1/313/12
00
4/5-7/10-
5/31/6
03/2
c)
1/45/4-3/4-
13/23/2-
003
b)
01-3/4-
120
002
1/6-
7/36
1
e)
1/51/151/6
01/31/6-
001/2
d)
1/5
2/3
0
a) :Sol
51º- Sea AB = AC, ¿se puede asegurar que B = C?; y si AB=0; ¿se puede asegurar que A=0 ó B=0?. Sol: No; No 52º-- Hallar k para que la matriz A no tenga inversa. Calcular la inversa para k = 0.
=
=
1-1-2
101-
111-
= A k Sol
111
k1-1
1k1
A 1-;1:
53º- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:
313
313 = X :Sol
4-03-
527 = C
1-10
1-01 = B
12-
20 = A
54º- Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B conmutan, si AB = BA. Obtener las matrices A que conmuta con la B.
x0
yx = A :ol S
10
11 = B
55º- Calcular los determinantes: a) Haciendo ceros; b) Desarrollando por los elementos de una línea:
1121-
211-2
01-12
1-123
222-1
1231
11-21
1111
Sol: 5; -48
56º- Dada la matriz A. Calcula los valores de m para que
tenga inversa. Di para qué valores de m A es una matriz singular. Rango de A.
m1-m
25-4
2m3
= A
Sol: a) m≠-2 y m≠-1/2; b) ; c) m = 2 ó m = -1/2 ─> r(A) = 2; m≠-2 y m≠-1/2 ─> r(A) = 3
Matrices y determinantes.
20
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
57º.- Encontrar la matriz X que verifique que: X-B2 = AB; AX+B=C
877
886
138
= C
211
112
1-01
= B
211
301
021
= A
321
213
2-11
b)
8610
659
2-15
a) :Sol
58º- Calcula el rango de las siguientes matrices:
Sol: r(A) = 2; r(B) = 4
1321-1
02-211
14123-
02-12-1-
= B
87654
76543
65432
54321
= A
59º- Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AB+B2
21914
17911
826
= P :ol S
312
221
101
= B
210
111
101
= A
60º- Calcula el rango de las siguientes matrices:
Sol: r(A) = 2; r(B) = 4
64230
01424
11302
21101
= B
3541
1210
1121
= A
61º- Resuelve la siguiente ecuación:
0 =
6x3
44-x
22-1
Sol: x = 2; x = -6
62º- Calcula sin desarrollarlos el valor de los siguientes determinantes:
11965
11574
5432
3121
;
6535
2102
1312
3121
;
y-xz1
z-xy1
z-yx1
;
1918117
101164
9753
5432
63º- Halla A+B; 2A+3B; siendo:
Matrices y determinantes.
21
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
283922
122126
71217
= 3B+2A
12168
5911
357
= B+A :ol S
476
234
123
= B
892
367
234
= A
Matrices y determinantes.
22
64º- Hallar las inversas de las matrices:
203
24-0
412-
= C ;
341
113
110
= B ;
1277
012-
431
= A
4/353/706/35
2/358/35-3/35
9/351/35-4/35-
= C
1-1/311/3
11/3-8/3-
01/31/3-
= B A existeno :Sol 1-1-1- ;
65º-Hallar el rango de las siguientes matrices según valores de x:
x-1x-1-
x4 x
12 1
;
16-101
5x1-2
21-x1
;
3422
31771
1104x
41-13
Sol: x=0 rango 3 Sol: x=3 rango 2 Sol: x=2 rango 1 x≠0 rango 4 x≠3 rango 3 x≠2 rango 3 66º- Resolver las ecuaciones:
1 =
0x4
2x1
102
1 = 1x
x-1+2x
Sol: 0 y -2; -1/7 67º- Calcular el valor de los determinantes:
5214
1121
3175
2364
;
85-3-2
3-742-
5-825-
45-2-3
;
346-1-
22-31
5-83-2-
2-3-52
Sol = -142; -54; 43 68º- Sin desarrollar los determinantes, utilizando sus propiedades, comprobar:
Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II
0 =
z1/zxy
y1/yzx
x1/xyz
a)-(b a)-(c c)-(d b)-(d a)-(d =
dcba
dcba
dcba
1111
3333
2222
69º.- ¿Existe algún valor de x que haga inversibles las matrices:
x14
2-1-x
213
b)
x6-3
02-1
02-1
a) ? Sol: a) ninguna; b) x ≠ -3 y 2
70º.- Resuelve las ecuaciones matriciales siguientes: a) AXB-C=I; b) CX+AX=B siendo:
21-1
111
200
= C
11-1
101
103
= B
1-11
002
213
= A
002/3
1/2-3/21/6-
1/21/2-1/6
b)
1/37/6-1/6
7/31/35/6-
1-3/20
a) :Sol
Matrices y determinantes.
23