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F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
Ingeniería de Telecomunicaciones
SEGUNDO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURACALCULO II
Elaborado por:Ing. José Jaime Barrancos Quiroz
Gestión Académica II/2007
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A1
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
UDABOLUNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y Competitividad al servicio de la sociedad.
.Estimado (a) estudiante;El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos.Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
Aprobado por: Fecha: julio de 2007
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SYLLABUS
I.- DETALLE DE LA ASIGNATURA
Asignatura: CALCULO II
Código: MAT 112A
Requisito: MAT 102A
Carga Horaria: 100 horas
Horas teóricas 80 horas
Horas practicas 20 horas
Créditos: 10
II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
• El objetivo de la materia es estudiar las funciones reales de n-variables, sus propiedades básicas y los fundamentos de derivación, diferenciación e integración, así como sus aplicaciones en el problema de optimización.
• Aplicar las definiciones y propiedades de la geometría analítica, funciones, límites, derivadas e integrales en la solución de problemas.
• Aplicar métodos y técnicas de derivación e integración en la solución de funciones reales de variable real.
• Analizar y utilizar técnicas de Cálculo de varias variables para resolver problemas en diferentes áreas aplicados a la ingeniería.
III.- PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
TEMA 1. Geometría Analítica.
1.1. Vectores: Operaciones, Producto Escalar y Vectorial, Aplicaciones.
1.2. Coordenadas Cartesianas. Distancia entre Dos Puntos, División de un Segmento.
1.3. Cosenos Directores.1.4. La recta: Ecuación Vectorial,
Paramétrica, Cartesiana y Simétrica.1.5. El plano: Ecuación Vectorial y Punto -
Normal.1.6. Ecuación General y Reducida del Plano.1.7. Nociones de Cuádricas.
UNIDAD II: DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TEMA 2. Funciones de Varias Variables.
2.1. Funciones de varias variables.2.1.1. Dominio.2.1.2. Límite.
TEMA 3. Derivadas.
3.1. Derivadas Parciales, Definición analítica y geométrica.
3.2. Derivación Implícita.3.3. Derivadas Totales, Regla de la Cadena.3.4. Derivadas Parciales de Orden Superior.3.5. Diferenciales.3.6. Jacobianos, Propiedades, Aplicación.3.7. Aplicaciones de las Derivadas Parciales:
Máximos y Mínimos de Funciones de dos Variables.
3.8. Máximos y Mínimos de Funciones de Tres Variables.
3.9. Aplicaciones de Máximos y Mínimos.
UNIDAD III: INTEGRALES MULTIPLES, SUCESIONES Y SERIES
TEMA 4. Integrales.
4.1. Integrales Múltiples, Definición, Teoremas.4.2. Integrales Dobles, Teoremas.4.3. Cálculo de Integrales Dobles.
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4.4. Integrales Triples, Teoremas.4.5. Cálculo de Integrales Triples.4.6. Aplicaciones de Integrales Dobles en
Cálculo de Áreas.4.7. Aplicaciones de Integrales Dobles en
Física.4.8. Cálculo de Volúmenes por Integrales
dobles.4.9. Cálculo de Volúmenes por Integrales
Triples en Coordenadas Cartesianas.4.10. Cálculo de Volúmenes por Integrales
Triples en Coordenadas Cilíndricas.4.11. Cálculo de Volúmenes por Integrales
Triples en Coordenadas Esféricas.
TEMA 5. Series numéricas y funcionales
Sucesiones, Límites de sucesiones.
5.1. Series, Teoremas, Criterios de convergencia.
5.2. Serie “P”, Serie Geométrica.5.3. Series de Potencias: Series de
Taylor y Mc – Laurin.
IV.- ACTIVIDADES A REALIZAR EN LA COMUNIDAD.
Consideramos que la formación de nuestros estudiantes esta basada en tres pilares: Académico, Investigativo y la Interacción con la comunidad, denominando a esta triada el aprendizaje productivo, que implica el desarrollo de procesos cognitivos superiores y complejos que son superiores a los meramente de repetición memorística (conductivista), aplicación de formulas y algoritmos prefabrica-dos para la solución del problema.El enfoque que daremos es la construcción (constructivismo) del conocimiento combinando el trabajo de aula y laboratorio (Universidad) con el trabajo de campo (comunidad) en condiciones que estarán estructuradas por la naturaleza y características de cada proyecto y materia.El trabajo social comunitario de la Universidad esta dirigido a los sectores más deprimidos de la sociedad y esta destinado a la:
• Investigación e identificación de los problemas más acuciantes de las comunidades más pobres.
• Elaboración de proyectos de desarrollo comunitario para dar solución a los problemas detectados, considerando una gestión financiera con instituciones nacionales e internacionales que apoyan con recursos.
• Implementación de los respectivos proyectos.
La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:
• Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con procesos académicos de enseñanza y aprendizaje de verdadera “aula abierta”.
• Trabajar en equipos, habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas.
• Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y en que los avances tecnológicos conllevan la aparición de nuevas y más delimitadas especialidades.
• Desarrollar una mentalidad, crítica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.
El trabajo a realizar en esta asignatura es de apoyo a iniciativas que requieran mayor compromiso con las sociedades deprimidas, donde la relación materia – problema social sea más directo y un desempeño mas visible .
i.- Tipo de asignatura para el trabajo social
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Directamente vinculada
ii.- Resumen de los resultados del diagnóstico realizado para la detección de los problemas a resolver en la comunidad.
De acuerdo a información obtenida por los estudiantes de nuestra Universidad, las unidades educativas públicas en colegios secundarios del departamento tienen un déficit en la enseñanza de las matemáticas y un índice alto de reprobación, especialmente reflejado en el ingreso a la universidad.
iii.- Nombre del proyecto
Elaborar una base de datos con los proyectos de desarrollo sostenible requeridos por los sectores mas deprimidos.
iv.- Contribución de la asignatura al proyecto
Se realizara el levantamiento de la información, considerando grupos focales, de funcionarios de la Prefectura del Dpto., Alcaldías, Organizaciones Sociales para recuperar las necesidades de la población mas necesitada y traducirlo en un proyecto de grado, que aportara a la Base de Datos que la universidad tendrá para orientar los proyectos de las diferentes carreras.
v.- Actividades a realizar durante el semestre para la implementación de los proyectos.
Detallamos en el cuadro adjunto
V.- EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
• PROCESUAL O FORMATIVA.
En todo el semestre se realizarán preguntas escritas, exposiciones de temas, trabajos prácticos, Work Papers, DIF’s, además las actividades planeadas para los respectivos trabajos sociales. Estas evaluaciones tendrán una calificación entre 0 - 50 puntos.
• PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.
Se realizarán dos evaluaciones parciales con contenidos teóricos y prácticos.
El examen final consistirá en la defensa de un proyecto que se realizará a lo largo de todo el semestre.
Cada uno de estos exámenes tendrá una calificación entre 0 - 50 puntos.
1° evaluación parcialFecha 7ma semanaNota 33.3%
2° evaluación parcial
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Trabajo a realizar por los estudiantes
Localidad, aula o laboratorio
Incidencia social Fecha
Directamente vinculado Colegios secunda-rios fiscales (est.)
Investigación grupo focal Antes del 1er parcial
Directamente vinculado Colegios secunda-rios fiscales. (prof)
Investigación grupo focal Antes del 2do parcial
Directamente vinculado Aula Informe de conclusiones Antes del Ex. Final
5
Nombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carrera Nombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carrera
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Fecha 14va semanaNota 33.3%
Examen finalFecha 21mo semanaNota 33.3%
VI.- BIBLIOGRAFIA.
BIBLIOGRAFÍA BASICA.
• AYRES, FRANK Y ELLIOT
MENDELSON. Schaum. Cálculo
Diferencial e Integral. Editorial McGraw
Hill. México 1997. (515.33 Ay74, 515.33 Ay74
c.2)
• CHUNGARA CASTRO, VÍCTOR. Apuntes
y problemas de Cálculo II. Bolivia 2005.
(515.35 C47 t.2)
• DEMIDOVICH, 5000 problemas de
análisis matemático, Moscú, Editorial MIR,
1980. (515 D39)
• LARSON, ROLAND E. Cálculo. Editorial
McGraw-Hill Interamericana. México,
1999. (515.15 L32, 515.15 L32 c.2)
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
• Piskunov, “Calculo diferencial e integral”,
Editorial Mir, Moscú, 1983.
Apuntes
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VII. PLAN CALENDARIO
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SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES
30 de julio al 4 de agostoAvance de materia Tema 1: 1.1 a 1.2
6 al 11 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.3 a 1.4
13 al 18 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.5 a 1.6
20 al 25 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.7
27 de agosto al 1 de sept Avance de materia Tema 2: 2.1
3 al 8 de septiembre Avance de materia Tema 2: 3.1 a 3.3
10 al 15 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.4
10 al 15 de septiembre Primera Evaluación
17 al 22 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.5 a 3.6
24 al 29 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.7 a 3.8
1 al 6 de octubre Avance de materia Tema 3: 3.9
8 al 13 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.1 a 4:2
15 al 20 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.3 a 4:4
22 al 27 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.5 a 4.6
29 de oct al 3 de nov Avance de materia Tema 4: 4.7 a 4.8
29 de oct al 3 de nov Segunda Evaluación
5 al 10 de noviembre Avance de materia Tema 4: 4.9 a 4.10
12 al 17 de noviembre Avance de materia Tema 4: 4.11
19 al 24 de noviembre Avance de materia Tema 5: 5.1 a 5.2
26 de nov al 1 de dic Avance de materia Tema 5: 5.3
3 al 8 de diciembre Avance de materia Tema 5: 5.4
10 al 15 de diciembre Evaluación final
17 al 21 de diciembre Evaluación del 2do turno
17 al 21 de diciembre Presentación de Notas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TITULO: Funciones y Limites de Varias Variables
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa
Una manera de visualizar una función es por medio de una gráfica. La gráfica de una función de una variable, por lo general, es una curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representación de una función. Para que una curva represente una función no puede tener dos puntos en la misma vertical (criterio de la recta vertical), ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea función, la imagen tiene que ser única.
FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Una función de varias variables es una correspondencia entre más de dos magnitudes. En este caso, las imágenes también serian números reales, pero los originales no serian números individuales, sino parejas o ternas de números reales. Es decir, para poder dar el resultado de la función necesitamos tener varios datos. En consecuencia, los valores de la función (las imágenes), que serian números reales, dependen (son función) de mas de una variable.Ejemplo: Si expresamos el área de un triangulo en función de la base y de la altura, tendremos una función de dos variables.
En general será: ( ) ( )yxfzzyxf
Df
,,:
: 2
=→
ℜ→ℜ⊆
El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir
V(r,h) = r2h.
Es decir, como una función de dos variables r y h. V : (r,h) r2 h
DEFINICIÓN DE FUNCION: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un numero real f(x, y), entonces se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de
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bhA2
1= ( )hbfA ,=⇒
hrV 2π=
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f(x, y) es el recorrido de f. Para la función dada por z = f(x, y), a x e y se les llaman variables independientes, y a z variable dependiente.
Ejemplo. La ecuación de la esfera x2 + y2 + z2 = r2 no representa (globalmente) una función, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos valores de la tercera, lo que viola el concepto de función.
2222222 yxrzrzyx ++±=⇒=++ No es función pero si separamos en dos funciones
222 yxrz +++= Si es función
222 yxrz ++−= Si es función
FUNCIONES VECTORIALES. Una función se dice que es vectorial cuando el resultado no es un número, sino un vector, es decir, una pareja de números o una terna de números.
Ejemplo. Si las ecuaciones paramétricas de una
recta son las siguientes:
+=+=
−=
tz
ty
tx
1
32
1
para cada valor del parámetro tiempo t, obtenemos las tres coordenadas del punto de situación (x, y, z).
En general, tendremos
( )
+=+=
−=→
ℜ→ℜ⊆
tz
ty
tx
zyxtf
Df
1
32
1
,,:
: 3
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: El dominio de una función se define como el conjunto de puntos que tienen imagen. En la práctica el dominio de una función de varias variables, normalmente, viene determinado por el contexto del problema. Por
eso, para definir las funciones es usual dar simplemente la fórmula z = f(x,y), sin especificar el dominio D.
DOMINIO IMPLÍCITO EN LA FÓRMULA: Cuando no se dispone de un contexto de aplicación, también es usual definir las funciones dando simplemente la regla z = f(x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que el dominio viene implícito en la propia formula, y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la fórmula que define la función. O sea, el dominio esta formado por todos aquellos valores tales que al sustituirlos en la fórmula y realizadas las operaciones indicadas se obtiene un valor numérico y no una operación imposible. Es decir, se entiende que el dominio de la función f es el mayor subconjunto D de Rn para el cual la regla f(x) tiene sentido (si el dominio es mas pequeño hay que indicarlo).
El dominio de una función de dos variables f(x, y) será una región del plano, y el dominio de una función de tres variables f(x, y, z) una región del espacio. Y vendría determinado por la propia formula (dominio implícito), o bien, por una restricción arbitraria que nosotros impongamos.
Se llama Rango o Recorrido de una función al conjunto de elementos que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y sólo en casos particulares nos ocuparemos del Recorrido.
Ejemplos: definir gráficamente el dominio de función de las siguientes funciones:
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222
2
1
1
yx
x
xy
yxz
−−−+
−=
2yx
yz
−=
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Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.
LIMITES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
Para calcular lim f (x, y) cuando (x, y) --> (xo, yo) se calculan: 1. Límites sucesivos o reiterados (primero calculamos el límite cuando x tiende a xo y después cuando y tiende a yo o al revés) 2. Límites direccionales a través de las rectas que pasan por el punto (xo, yo). y = yo + m (x - xo) Estos límites direccionales deben ser independientes del valor de m (y coincidir con los límites sucesivos o reiterados calculados anteriormente) 3. Comprobamos el resultado mediante el cambio a polares: x = xo + r cosθ , y = yo + r senθ
CUESTIONARIO WORK PAPER # 2
1. Calcular el dominio de las siguientes funciones y representarlo geométricamente.
a) 22 yx4z −−=
b)x
yx9z
22 −−=
c)y
y2x3z
22 −=
d) 2xy
yz
−=
e)x
yx9z
22 −−=
f) 22 11 yxz −+−=
g)4
)xyln(z =
h)4
1222
2
−+−=yx
yxz
2. Graficar las siguientes Funciones:
a) 12 −= xZ
b) ( )1−= ysenZ
c) ( )2cos += xZ
d) 24 xZ −=
e) 22 −= yZ
f) 123 −−= yxZ
g)1
222 ++
=yx
Z
h) 369 22 −−= yxZ
3. Calcular los siguientes límites de varias variables.
a)yx
yxyx +
−→
22
)0,0(),(lim
b) )73(lim 2
)1,2(),(yx
yx+
→
c)y
xysenyx
)(lim
)0,3(),( →
d) ( )
⋅+
→ 2
23
)2,0()y,x( y
xsenyxlim
e) ( )
+
++→
2y2x
1
22
)0,0()y,x(yx1lim
f)9xy3
xylim
)0,0()y,x( +−→
g)x
)3,()y,x( x
y1lim
+
∞→
h)12
)1(lim
)0,1(),( −−
→ xy
y
yx
esen
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d)( ) 4yx
8yx2xyLim
22
33
1,2r −
−+−→
→
i)( )
( )( )6xy3arctan
2xyarcsenLim
1,2r −−
→→
j)24
2
00lim
xy
xy
yx +→
→
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
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WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
TITULO: Funciones en Varias Variables
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDA ETAPA
SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO.- Es un sistema de coordenadas de tres dimensiones formado por la intersección de tres rectas perpendiculares entre sí, donde cada recta pertenece a los números reales.
Un sistema de coordenadas en el espacio está formado por ocho octantes y cada octante se forma por 3 planos que son xzyzxy ,,
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- La distancia formada por una línea de segmentos entre dos puntos se calcula a partir del teorema de Pitágoras.
PUNTO MEDIO DE DIVISION.- Sea una línea de segmentos formada por dos puntos cualquiera, para encontrar los puntos medios de división mediante una relación de distancias “r” dada por las siguientes ecuaciones:
La relación “r” dependerá de cuantas partas iguales se va a dividir la línea de segmentos.
La recta.- Es el lugar geométrico de puntos que satisfacen simultáneamente a dos ecuaciones lineales en tres variables de la forma:
Ecuación General de la recta en el espacio.
3
0
2
0
1
0
azz
ayy
axx −=−=−
Ecuación Cartesiana de la recta
aPP t0
→→→
+=Ecuación Vectorial de recta
+=+=+=
30
20
10
tazz
tayy
taxx
Ecuación Parametrica de la recta
Distancia de un punto hacia una recta: La distancia mínima que existe desde un punto
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X
y
P0
P1
z
X
y
z
P0
P1
P.P.2
1=r2=r
X
y
z
P0
P
..→
a
=+++=+++
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111
13
xy
xz
++=++=++=
=
r
rzzz
r
ryyy
r
rxxx
zyxP
1
1
1
),,(
21
21
21
201
201
201 )()()( zzyyxxd −+−+−=
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hacia una recta cualquiera es igual a la distancia de la línea de segmento perpendicular a la recta y el punto, esta distancia esta definida por la siguiente ecuación:
El plano.- Es el lugar geométrico de puntos que satisfacen a una ecuación lineal en tres variables de la forma:
Ecuación general del plano en el espacio. ( ) ( ) ( ) 0zzCyyBxxA 000 =−+−+−
Ecuación Punto Normal.
0NPP 0 =
−→→→
Ecuación Vectorial del plano.
Distancia de un punto hacia un plano: La distancia mínima que existe desde un punto hacia una plano cualquiera es igual a la distancia de la línea de segmento perpendicular al plano y el punto, esta distancia esta definida por la siguiente ecuación:
SUPERFICIES CUADRICAS: Son figuras geométricas ubicadas en el espacio las cuales están representadas por la siguiente ecuación general:
0222 =+++++++++ KIzHyGxFyzExzDxyCzByAx
Entre estas figuras geométricas tenemos: la esfera, el elipsoide, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas, paraboloide circular, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cono, cilindro elíptico, cilindro circular cilindro hiperbólico, etc.
LA ESFERA: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante. El punto fijo se llama centro y la distancia radio. Su ecuación es muy parecida a la de la circunferencia, esta es: ( ) ( ) ( ) 2222 Rjzkyhx =−+−+− , donde R es el radio y (h, k, j) es el centro del cual hablamos, la forma general de la ecuación de la esfera es : 0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx , en donde A = B = C = 1.
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X
y
z
P0
Pe
..
→a
d
→
→→→
−
=a
axpp
de 0
X
y
N
z
P0
X
y
N
z
P0 d
Pe
14
→
→→→
−
=N
Nppd
e 0
0DzCyBxA =+++
→
→→→
−=
N
Nppd
0e
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EL ELIPSOIDE: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−+−+−c
jz
b
ky
a
hx
Donde a, b c son los semiejes del elipsoide y (h, k, j) es el centro, la forma general de la ecuación del elipsoide es:
0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx , en donde BA ≠ ó CA≠ ó CB ≠ .
HIPRBOLOIDE DE UNA HOJA: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−+−+−−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje X
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−+−−−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Y
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−−−+−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z
Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el centro, la forma general de la ecuación del hiperboloide de una hoja es:
0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx
En donde 0;0;0 >>< CBA ó 0;0;0 ><> CBA ó 0;0;0 <>> CBA .
HIPRBOLOIDE DE DOS HOJA: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−−−−−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje X
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−−−+−−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Y
( ) ( ) ( )1
2
2
2
2
2
2
=−+−−−−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z
Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vértice, la forma general de la ecuación del hiperboloide de dos hojas es :
0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx
En donde 0;0;0 <<> CBA ó 0;0;0 <>< CBA ó 0;0;0 ><< CBA .
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PARABOLOIDE CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )a
hx
c
jz
b
ky −±=−+−2
2
2
2
Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c elíptico
( ) ( ) ( )b
ky
c
jz
a
hx −±=−+−2
2
2
2
Se proyecta en el eje Y; a=c circular, a ≠ c elíptico
( ) ( ) ( )c
jz
b
ky
a
hx −±=−+−2
2
2
2
Se proyecta en el eje Z; a=b circular, a ≠ b elíptico
Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vértice del paraboloide, la forma general de la ecuación del paraboloide circular o elíptico es:
0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx
En donde 0;0;0 >>= CBA ó 0;0;0 >=> CBA ó 0;0;0 =>> CBA .
PARABOLOIDE HIPERBOLICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )a
hx
c
jz
b
ky −±=−−−2
2
2
2
Se proyecta en el eje X
( ) ( ) ( )b
ky
c
jz
a
hx −±=−−−2
2
2
2
Se proyecta en el eje Y
( ) ( ) ( )c
jz
b
ky
a
hx −±=−−−2
2
2
2
Se proyecta en el eje ZDonde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vértice del paraboloide, la forma general de la ecuación del paraboloide hiperbólico es:
0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx
En donde 0;0;0 <>= CBA ó 0;0;0 <=> CBA ó 0;0;0 =<> CBA .
CONO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )0
2
2
2
2
2
2
=−+−+−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c elíptico
( ) ( ) ( )0
2
2
2
2
2
2
=−+−+−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Y; b=c circular, b ≠ c elíptico
( ) ( ) ( )0
2
2
2
2
2
2
=−+−+−c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z; b=c circular, b ≠ c elíptico
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A16
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
CILINDRO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( )1
2
2
2
2
=−+−c
jz
b
ky
Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c elíptico
( ) ( )1
2
2
2
2
=−+−c
jz
a
hx
Se proyecta en el eje Y; a=c circular, a ≠ c elíptico
( ) ( )1
2
2
2
2
=−+−b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z; a=b circular, a ≠ b elíptico
CILINDRO HIPERBOLICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( )1
2
2
2
2
=−−−c
jz
b
ky → Se proyecta en el eje
X
( ) ( )1
2
2
2
2
=−−−c
jz
a
hx→ Se proyecta en el eje
Y
( ) ( )1
2
2
2
2
=−−−b
ky
a
hx→ Se proyecta en el eje
Z
CILINDRO PARABOLICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( )c
jz
b
ky −±=−2
2
→ Se proyecta en el eje
X
( ) ( )c
jz
a
hx −±=−2
2
→ Se proyecta en el eje
Y
( ) ( )b
ky
a
hx −±=−2
2
→ Se proyecta en el eje
Z.
CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1
1) Vectores: Dado los siguientes vectores:A = (2, 4, 5) B = (-5, -4, 3)C = (1, 2, -4) D = (4, -3, -5)Realizar las siguientes operaciones vectoriales y graficarlas:a) A + B C + Db) B – C A – Dc) A ° B C ° Dd) B x C A x D
2) Geometría Analítica: Encontrar la distancia que existe en los siguientes puntos y graficarlosa) P0(3, -3, 6); P1(5, -4, 2)b) P0(-2, 4, 5); P1(-4, -3, 1)
3) Si los puntos dados son vértices de un triangulo, demostrar que:a) P0(4, 2, 4); P1(10, 2, -2); P2 (2, 0, -4);
determinan un triangulo equilátero.b) P0(3, -1, 2); P1(0, -4, 2); P2 (-3, 2, 1);
determinan a un triangulo isósceles4) Una línea de segmento esta formado por
los puntos:
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A17
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
a) P0(-1, 8, 5); P1(9, -7, 0); dividir la línea de segmento en 3 partes
b) P0(-2, -1, 3); P1(7, 6, -3); dividir la línea de segmento en 3 partes
5) La recta, graficar:a) Dado el punto P0 (4, -2, 5) y la dirección
el vector A = (3, 1, 2); hallar la ecuación vectorial, parametrica y cartesiana.
b) Dado los puntos P0 (5, -2, 1); P1(3, 1, -4); encontrar la ecuación cartesiana, el vector dirección, la ecuación paramétrica y vectorial.
c) Calcular la ecuación general de la recta L1, que pasa poel punto Po(4, -5, 2) y es perpendicular a la recta L2: P0(5, 3, 1); P1(-3, 1, 4)
d) El punto Pe(1, -2, 4) hacia la recta
2
4
6
42
5
2 zyx −=−=−
e) La recta L1:2
4
8
42
5
2 zyx −=−=−
y L2: 5
1
4
12
6
3 zyx −=−=−
6) El Plano, graficar:a) Hallar la ecuación del plano que pasa por
el punto P0(4, -2, 3) y su normal es N(2, -4, 3)
b) Pasa por el punto P0(-5,2,4) y el paralela al plano 5x - 3y + 6z – 2 =0
c) El plano esta sobre las dos rectas L1:
2
3
6
4
5
2 −=−=− zyx
L2: 2
2
6
1
5
3 −=−=− zyx
d) Calcular la distancia que existe del punto Pe(2, -1,4) al plano 3x - 2y + 5z – 4 =0
e) Calcular la distancia que existe del plano 3x -2y + 5z -4=0 al otro plano 3x -2y + 5z + 6=0
7) Cuádricas, graficar:a) Hallar la ecuación de la esfera que tiene
su centro (4,-3, 5) y su radio es 3b) Hallar la ecuación de la esfera que tiene
diámetro en los puntos P0(2, 4, -1); P1(-4, 2, 3)
c) Hallar la ecuación de la esfera que tiene su centro (1,-4, 5) y tangente a 5y -3x + 2z - 4=0
d) Hallar la ecuación del elipsoide que tiene su centro en (3, -1, 4) y los semiejes: 4; 2; 1.
e) Hallar la ecuación de la superficie cónica, y efectuar su representación grafica.
( )0,1,1;2;922 −==+ vxzy
8) Reconocer y graficar las siguientes superficies:
a) 0197y90x32z36y9x 222 =−+−++
b) 036z9y4x36 222 =−++
c) 04zy4x4 222 =−+−
d) 016z4yx4 222 =−−−
e) 0zyx 22 =−+
f) 036z9yx4 222 =−+−
g) 4x2 - y + 9z2 – 36 = 0
h) 03z1y6x8zy3x2 222 =−−+−++
i) ( ) ( ) 22 1y1xz −−−=
j) 01z4x2zyx 222 =+−+++
k) 012z12y4z3x4 22 =++−+
l) 222 y12z4x3 =+
m) 9yx 22 =+
n) 1z2y2x 222 =−−
o) ( ) 222 zy5x4 +=−
p) 22 zy4x −−=
q) z48y2x 22 −=+
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A18
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
TITULO: Derivadas
FECHA DE ENTREGA:
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A19
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa
DERIVADAS PARCIALES: Las derivadas parciales de funciones de varias variables se denotan y define analíticamente por el siguiente límite:
Sea la función: ( )yxfz ,=( ) ( )
h
yxfyhxf
x
zh
,,lim
0
−+=∂∂
→
Derivada parcial de la función con respecto a x
( ) ( )h
yxfhyxf
y
zh
,,lim
0
−+=∂∂
→
Derivada parcial de la función con respecto a y
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERVADAS PARCIALES: geométricamente las derivadas parciales son las pendientes de las rectas tangentes en los planos XZ, YZ, estas rectas tangentes permiten encontrar el plano tangente a la función en el punto P(x0,y0,z0).
xz
m1 ∂∂= ;
yz
m2 ∂∂=
REGLA DE LA CADENA: Esta regla se utiliza cuando las funciones son compuestas y sus derivadas parciales están definidas por el siguiente análisis:
Sea ( )vufz ,= y ( )( )
==
yxfv
yxfu
,
, entonces las
derivadas parciales serán:
y
v
v
z
y
u
u
z
y
zx
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂=
∂∂
∂∂⋅
∂∂+
∂∂⋅
∂∂=
∂∂
DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES.
Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones:
(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A20
)
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.
Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).
Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:
Análogamente se define la diferencial de tercer orden.
Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:
DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. La
derivada de la función implícita
definida mediante la ecuación puede calcularse: o bien despejando la y, o bien, mediante la siguiente fórmula:
, siempre que
Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.
Las derivadas parciales de una función
implícita de dos variables definida
mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:
; , siempre que
Dada la ecuación Si el punto
cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas
en un entorno de y
entonces la ecuación define una
función explícita en un entorno de
con
Dada la ecuación Si el punto
cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas
en un entorno de y
entonces la ecuación define una
función explícita en un entorno de dicho punto.
Calcula y', siendo
Tenemos:
Por lo tanto:
CUESTIONARIO WORK PAPER # 3
1. Hallar las derivadas parciales
a)
−+=
yxyx
lnz
b) ( )22 yxez +−=
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A21
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
c) ( )yx2arctanz −=
d)xy2
y8xz
33 +=
e) xcosseny yxz +=
f) ( )322 y2x4lnz −=
g)
=y
xtgz
2
h) ( )yxsen.xz +=2. Demostrar las siguientes
ecuaciones:
a) 0yz
yxz
x =∂∂+
∂∂
; si: yx2
yx2Z
−+=
b) 0yz
y2xz
x =∂∂−
∂∂
Si la función es: ( )yxarctanyxlnZ 22 +=
c) Zyz
yxz
x =∂∂+
∂∂
; si : yx
xyZ
+=
d) 0zu
yu
xu =
∂∂+
∂∂+
∂∂
Si la función es: ( )( )( )xzzyyxU −−−=3. Calcular las derivadas
parciales de las siguientes funciones implícitas:
a)
x2xy
zln
z
ylnx
y
e x
+=+
b)0y3)xz2ln(e 2yz =−+
c)1xcoszzcosyycosx =++
d) zezyx =++e) 33 3 axyzz =−4. Calcular las derivadas
parciales de orden superior:
a)zyx
u
∂∂∂∂3
si
xyzeu =
b)yx
u
∂∂∂.2
3
si
senxysenyxu 33 +=
c) 3
3
xu
∂∂
si
2222322 yyx4yx3xyxy2xu +−−+++=
d)xy
z2
∂∂∂
si
22 yx1z +−=
e)xy
z2
∂∂∂
si
( ) ( )xy2arctanyxlnxz −+=
f)xy
z2
∂∂∂
si
22
xy
yx
ez
+=
5. Demostrar las siguientes ecuaciones:
a) 02
2
2
2
=∂∂+
∂∂
y
z
x
z
si:
=x
yZ arctan
b) 042
2
2
2
=∂∂−
∂∂
x
z
y
z
si:
)2cos()2( yxeZ yx −= −
c)
022
22
2
2
22 =
∂∂+
∂∂∂+
∂∂
y
zy
xy
zxy
x
zx
Si la función es:
=x
yxZ ln
d)
024
4
22
4
4
4
=∂∂+
∂∂∂+
∂∂
y
z
yx
z
x
z
Si la función es: yxeZ x cos=
e)2
2
x
u
∂∂
+ 2
2
y
u
∂∂
= 0
Si la función es: ( ) ( )( )22byaxlnu −+−=
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A22
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
f)xy
u
yx
u 22
∂∂∂=
∂∂∂
si: y
xu arccos=
g)
0zu
yu
xu
2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
Si la función es: ( ) 2
1222 zyxu
−++=6. Calcular las derivadas parciales
de las funciones compuestas:
a)t
z
∂∂
; para la función y
xZ =
Donde tyex t ln; ==
b)t
z
∂∂
; para la función
=
y2
xlnZ
Donde 1;3 22 +== tytx
c)y
z
x
z
∂∂
∂∂
; ; para la función vuZ =
Donde xyvy
xu == ;
d)yu
;xu
∂∂
∂∂
; si: ( )tfu = donde t = x + y
e)yu
;xu
∂∂
∂∂
; si: ( )tfu = donde yx
t =
f)yu
;xu
∂∂
∂∂
; si: ( )222 zyxfu ++=
g)yu
;xu
∂∂
∂∂
; si:
=
zy
,yx
fu
h)yu
;xu
∂∂
∂∂
; si:
=
yx
,xfu
7. Demostrar las siguientes ecuaciones:
a) 2
11
y
z
y
z
yx
z
x=
∂∂+
∂∂
si: )( 22 yxyfZ −=
b) ( ) xyzy
zxy
x
zyx =
∂∂+
∂∂− 22
Si la función es:
=
2
2
2 y
x
y yefeZ
c) 02
22
=∂∂
∂∂−
∂∂∂
∂∂
x
z
y
z
yx
z
x
z
Si la función es: ( )( )ygxfZ +=
d) y 0=∂∂−
∂∂
y
zx
x
z si:
( )22 yxz += ϕ
e) 022 =+∂∂−
∂∂
yy
zxy
x
zx si
( )xyx
yz ϕ+=
3
2
f) 1yz
ysecxz
xsec =∂∂+
∂∂
Si ( )yxfyz sinsinsin −+=
8. Determinar los diferenciales totales de las siguientes funciones:
a)yx
yxZ
+−
=2
22
b)
−=
xy
yxZ
22arctan
c) 22ln yxu += d) Hallar )1.1.1(df , si:
( )y
XZz,y,xf =
e) Cuanto variara la diagonal y el área de un rectángulo de lados x = 6m e y = 8m, si el primer lado se aumenta en 2 mm y el segundo se disminuye en 5 mm?
f) El ángulo central de un sector 60=α
aumento 1=∆α ¿cuanto hay que
disminuir el radio del sector R=20 cm, para que su área no varié?
9. Calcular los puntos extremos de la función:
a) yxz += si 1=+ yx
b) 22 yxz += si 1=+b
y
a
x
c) xyxxyz −−= 22 24
d) 21y8x4yxz 22 +−−+=
e) 322 xyyxxy8z −−=
f) 22 yxy6x26z −−++−=
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A23
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
g) 22 y4xy4xz +−=
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES
TITULO: Aplicación de las Integrales Simples
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A24
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
INTEGRALES SIMPLES: Estas integrales se subdividen en integrales definidas, curvilíneas, de revolución, etc.INTEGRALES DEFINIDAS: Sea una función continua definida en [a,b] .Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a,x1] , [x1,x2] , [x2,x3] ..........., [xn-2,xn-1] , [xn-1,b] Podríamos calcular la suma de todas las áreas de los rectángulos superiores e inferiores y obtendríamos:
Ssup(f) = M1(x1-x0)+ M2(x2-x1)+ M3(x3-x2)+................... Mn(xn-xn-1) siendo M1 , M2 , etc los máximos de f en cada uno de los intervalos .
Sinf(f) = m1(x1-x0)+ m2(x2-x1)+ m3(x3-x2)+................... mn(xn-xn-1) siendo m1 , m2 , etc los mínimos de f en cada uno de los intervalos .
Lógicamente Sinf < Área de f(x) < Ssup
Cuando n tiende a infinito es decir , cuando aumenta el número de subintervalos entonces :
∫===∞→∞→
b
asupninfn
dx)x(f)x(fdeÁreaSlimSlim
La función está por debajo del eje x la amplitud de los intervalos sigue siendo + pero las Mi y las mi son por lo que la suma dará una cantidad negativa y por tanto el área será negativa. En este caso se debe tomar el valor absoluto, si una curva cruza el eje x tendrá una parte positiva y otra negativa. Si queremos calcular el área total debemos de calcular los puntos de corte con el eje X y calcular el área de la parte
de arriba y la de abajo. El área total será la suma de todas las áreas en valor absoluto.Regla de Barrow: Sea S(x) y F(x) dos primitivas de f(x) que se diferencian lógicamente en una constante.
S(x) = ∫x
a
dx)x(f =F(x)+C
Si x=a entonces S(a) = 0 = F(a) +C luego F(a) = -C por lo tanto:
S(x) = ∫x
a
dx)x(f =F(x) + C = F(x) -F(a) ⇒
∫x
a
dx)x(f =F(x)-F(a)
Si calculamos toda el área encerrada en el
intervalo [a,b] : ∫b
a
dx)x(f =F(b)-F(a)
INTEGRALES CURVILÍNEAS: Son integrales que permiten calcular la longitud de curva que sigue una función, entre las aplicaciones de estas integrales tenemos el calculo de perímetros de figuras geométricas.
INTEGRALES DE REVOLUCIÓN: Son integrales cuyas funciones giran alrededor del eje x o y, al girar sobre estos ejes siguiendo el perímetro de una circunferencia generan figuras sólidas las cuales podemos calcular su superficie o volumen de dichos cuerpos.
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A25
voluciondeVolumendxyVb
a
Re2 →= ∫π
( ) voluciondeSuperficiedxyySb
a
Re122' →+⋅= ∫π
( )∫ += dxyL2'1
b
a
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
CUESTIONARIO WORK PAPERS # 4
1. Calcular, en unidades cuadradas, las áreas
de las regiones , limitados por las curvas
que se indican :
a) ( )∫−
−1
1
322 dxxx
b) ∫e
xdx1
ln
c) dxx∫ +8
1
31
2. Calcular las siguientes integrales
curvilíneas:
a) Calcular el perímetro formado por la
circunferencia 0922 =−+ yx
b) Calcular la línea formado por la curva
)2ln( += xy en el intervalo 51 ≤≤− x
c) Calcular la línea formado por la parábola
02482 2 =+− yx entre el rango 53 ≤≤ y
3. Calcular, en unidades cuadradas, las áreas
de las regiones:
a. Calcular el área formado por la
elipse 03649 22 =−+ yx
b. Calcular el área formado por las
curvas 1−= xey ; 32 −= xey ; 0=x
c. Calcular el área formado por las
curvas 21
1
xy
+= ;
2
2xy =
4. Calcular, en unidades cuadradas, las
superficies y volumen de revolución:
a) Calcular el área de la superficie del cilindro
generado por la recta 3=y al girar
alrededor del eje x entre los rangos
61 ≤≤ x
b) Calcular el área de la superficie del cono
generado por la recta 22 −= xy al girar
alrededor del eje x entre los rangos
61 ≤≤ x .
c) Calcular el área de la superficie del
elipsoide generado por la elipse
164 22 =+ yx al girar alrededor del eje x.
d) Calcular el volumen “elipsoide” del sólido
de revolución que forma la elipse
164 22 =+ yx cuando gira alrededor del eje
x
e) Calcular el volumen “cono” del sólido de
revolución que forma la recta xy2
3=
cuando gira alrededor del eje x entre los
rangos 41 ≤≤ x .
f) Calcular el volumen generado al girar
alrededor del eje x la parábola 22 =+ yx
cuando gira entre los rangos 21 ≤≤− x
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A26
F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES
TITULO: Integrales Dobles
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa
INTEGRALES DOBLES: Son integrales cuyas funciones dependen de dos variables independientes, estas integrales permiten
realzar el calculo de aras, volúmenes, centro de masa, momento de inercia, etc.
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Para resolver una integral doble se resuelve por medio del cálculo de dos integrales simples reiteradas.
Teorema 1: Sea { }∆ = ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / ,x y a x b c y d2 . Si f(x,y)
es integrable en ∆ , entonces:
La demostración de este teorema se apoya en las definiciones de las integrales simple y doble que aparecen, como límites de las correspondientes sumas de Riemann.
Una vez deducida la ecuación se tendrá la
siguiente ecuación: K f x y dx dy=∫∫ ( , )∆ ,
para resolver esta integral doble recurrimos a las integrales reiteradas:
dx f x y dy dy f x y dxa
b
c
d
c
d
a
b
∫ ∫ ∫ ∫=( , ) ( , )
es decir que la integral será:
f x y dx dy dy f x y dx dx f x y dyc
d
a
b
a
b
c
d( , ) ( , ) ( , )= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫∆
Teorema 2: Sea
{ }R x y a x b x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / , ( ) ( )21 2ϕ ϕ
Se trata de una región R como la mostrada
en la figura, siendo rectificables las curvas Γ Γ1 2y . Se supone por tanto que la región es tal, que cualquier recta x = cte, con a x b≤ ≤ , corta a la frontera de R únicamente en dos puntos, o en un segmento.
Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:
f x y dx dy dx f x y dyx
x
a
b
R( , ) ( , )
( )
( )= ∫∫∫∫ ϕ
ϕ
1
2
Teorema 3: Sea: { }R x y c y d y x y= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / , ( ) ( )2
1 2ψ ψ
Ahora se trata de una región R como la mostrada en la figura próxima, donde Γ Γ1 2y son rectificables. Cualquier recta y = cte con c y d≤ ≤ , corta a la frontera de R únicamente en dos puntos, o en un segmento.
Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:
f x y dx dy dy f x y dxy
y
c
d
R( , ) ( , )
( )
( )= ∫∫∫∫ ψ
ψ
1
2
COORDENADAS POLARES: Las coordenadas polares se utilizan para facilitar la integración de aquellas funciones circulares, elípticas, parabólicas o hiperbólicas. Para utilizar las coordenadas polares se debe realizar n cambio de variable en la función y la región R utilizando las siguientes relaciones. En este caso es
Φ :cos
,x r
y rsencon r
==
≥ ≤ ≤θ
θθ π0 0 2
Entonces Φ es biyección entre [ )A = ℜ ×+ 0 2, π
y { }ℜ −2 0 0, siendo además Φ continuamente diferenciable y cumpliendo:
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J rr
rrΦ Φ( , )
cos sen
sen cos=
−= >
θ θθ θ
0
No hay biyección si se añade el (0,0), que corresponde a r = 0 y cualquier θ. Pero no influye en la integración. Por tanto:
Si R es una región del plano XY, y f(x,y) es continua en R entonces :
[ ]f x y dx dy f r rsen r dr dR R( , ) cos ,*∫∫ ∫∫= θ θ θ
CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES PLANAS: Para realizar el calculo de areas utilizando las integrales dobles se debe considerar la definición de la integral doble de la función z = f(x,y) = 1 en la región R
acotada, es : µ( )R dx dyR
=∫∫ , en efecto,
basta reducir este problema a calcular el valor numérico ( y expresarlo luego en unidades de área, no de volumen ) del volumen del sólido comprendido entre la superficie de ecuación z = f(x,y) = 1 y la región R.
CALCULO DE VOLÚMENES: Se inició el estudio de la integral doble con un ejemplo que motivaba dicho concepto. De lo visto en el ejemplo y de la posterior definición de integral doble, se deduce que si R es una región cerrada y acotada en el plano XY y f(x,y) es no negativa en R e integrable en R,
entonces la f x y dx dyR
( , )∫∫ representa el
volumen del sólido cilíndrico W limitado por R, la superficie Σ del espacio de ecuación z = f(x,y) y la superficie cilíndrica de generatrices paralelas al eje OZ y directriz la frontera Γ de R.
De manera análoga, si f(x,y) no cumple f x y( , ) ≥ 0 en R, pero es integrable sobre R, entonces el volumen de W es : V W f x y dx dy
R( ) ( , )=∫∫
O, si se trata de un sólido W, como el mostrado en la Figura más próxima, entonces: V W f x y f x y dx dy
R( ) ( , ) ( , )= −∫∫ 2 1
APLICACIONES A LA FISICA: Se considera una región plana R, en la cual está distribuida de manera continua una masa con densidad superficial δ( , )x y . En la realidad física se trataría de una lámina L delgada, que ocupa la región R y en la que no se considera su grosor.
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Masa de la lámina: Se efectúa una partición de R en subregiones R k Nk ( ,...., )= 1 . En cada Rk , se escoge un punto ( , )x yk k . Considerando la densidad en Rk, como constante e igual a δ( , )x yk k , una aproximación a la masa de la lámina L sería :
δ µ( , ) ( )x y Rk kk
N
k=
∑1
.
Se trata de una suma de Riemann de la función continua δ( , )x y en R.
La masa de la lámina L será el límite de las sumas de Riemann, cuando tiende a cero el diámetro d(P) de la partición P, es decir :
M L lim x y Rd P
k kk
N
k( ) ( , ) ( )( )
=→
=∑
01
δ µ . Luego:
M L x y dx dyR
( ) ( , )=∫∫ δ
Momentos de inercia de L: El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o un punto P0 es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto. Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a r o P0, es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto.
Por tanto, con un razonamiento análogo al utilizado para la masa de la lámina L, se tendría para los momentos de inercia I(L) de L:
Momento de Inercia respecto al eje OX : I L yx R( )=∫∫ 2 δ(x, y) dx dy
Momento de Inercia respecto al eje OY : I L xy R( )=∫∫ 2 δ(x, y) dx dy
Momento de Inercia respecto al origen : I L x y
R02 2( ) ( )= +∫∫ δ(x, y) dx dy
Momentos estáticos respecto a los ejes: El momento estático M Px ( ) (respectivamente M Py ( ) ) de un punto material P(x,y) de una masa m , respecto al eje OX (respecto OY) es el producto de la masa por su distancia al eje OX (respecto OY) , es decir : Mx (P) = my , My
(P) = mx.
Con un razonamiento como los anteriores se obtendría para los momentos estáticos de la lámina L :
M L yx R( )=∫∫ δ(x, y) dx dy
M L xy R( )=∫∫ δ(x, y) dx dy
Centro de gravedad: Partiendo de la expresión de las coordenadas del centro de gravedad de un sistema S de puntos materiales P x yi i i( , ) ( i = 1,...,n ) , con masa respectivas m i :
x Sx m
m
M S
M SG
i ii
n
ii
ny( )( )
( )= ==
=
∑
∑1
1
y Sy m
m
M S
M SG
i ii
n
ii
nx( )( )
( )= ==
=
∑
∑1
1
CUESTIONARIO WORK PAPER # 5
1. Utilizando integrales dobles calcular el área representada por:
a)32 ; xyxy ==
b) 9;9 22 −=−= xyxy
c) 24 34; xyxy −==
D) xxseny −== 2xy ; )(π
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e) Calcular el área de una parte del plano azyx =++ que esta cortada por el
cilindro axy =2 y el plano ax = .
f) Calcular el área de una parte de la
superficie del cilindro 222 azx =+ que
esta cortado por el cilindro ( )xaay −=2 .
g) Calcular el área de una parte de la esfera 2222 2azyx =++ que esta dentro del
cono 222 zyx =+ .
2. Hallar el valor numérico de las siguientes integrales
a) ∫∫ +3
0
2
1
)81( dxdyxy
b) dxdyxxyyx )( 325
3
24
2−+∫∫
C) ( ) dxdyyI ∫ ∫
−=
3
0
2
0
21 4
D) dxdyysenxIx
∫ ∫
=
π
0 0
1
E) ( ) dxdyyxIx
x∫ ∫
+=
1
0
221
2
F) ( ) dxdyxeIx
y∫ ∫
=
1
0 0
1
G) ∫∫ +=G
xaI 221
3. Aplicaciones de las integrales dobles:
a) Una placa delgada de espesor uniforme y
densidad δ = k cubre la región limitada por
la elipse x
a
y
b
2
2
2
21+ = . Hallar el momento de
inercia de la placa, respecto al origen.
b) Se tiene una lamina cuyo área esta acotada
por las funciones
0;1;;2 ==== xxxyxy cuya
densidad es 2. Calcular el centro de masa y
momento de inercia.
c) Hállese la masa y la densidad media de un cuerpo limitado por las superficies
azyx =−+ 22
, 0=z , az = . ( )0a , si la densidad en cada punto es proporcional a la coordenada z y en el plano z = a es igual a
0γ .
d) Calcular el centro de masas de un cuerpo homogéneo limitados por las superficies,
( )22
2xy
a
hz −= , ( )ohoa , z = 0 , y = 0
e) Hállese las coordenadas del centro de masa de un cuerpo homogéneo, limitado por las
superficies 2
2x
a
by = , ( )yb
b
hz −= , z = 0.
( )ohoboa ,, . f) Volumen del sólido acotado W, limitado por
el paraboloide 221 yxz −−= y el plano
XY.
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WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES
TITULO: Integrales Triples
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa
INTEGRAL TRIPLEEs una generalización del concepto de integral doble.
• Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones elementales Rk
(k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones de R.
• Actuando de forma análoga a la vista para las integrales dobles, tras la elección de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:
S P eR ( , )
( ) ( )≅=
∑f x y z V Rk k k kk
N
, ,1
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• Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de integral triple de f(x,y,z) en R.
Se escribe: lim( )δ P →0 ( ) ( )f x y z V Rk k k k
k
N
, ,=
∑1
=∫f x y z dVR
( , , )
Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría:
S P eR ( , )
( )≅===∑∑∑ f x y z x y zk k kk
p
j
m
i j ki
n
, ,111
∆ ∆ ∆
Y el límite antes citado suele designarse como:
f x y z dxdydzR( , , )∫∫∫
Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se verifica:
a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del espacio, cerrada y acotada, entonces f es integrable en R.
b) También es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es continua en la misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un conjunto A del espacio se dice de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de intervalos del espacio, cuya suma de volúmenes sea tan pequeña como se quiera).
CUESTIONARIO WORK PAPER # 6
1. Calcular las siguientes integrales triples:
a)∫∫ ∫− −−1
0
2 3
03
y
y
yxdzdxdy b)
∫ ∫ ∫−
−
−−
a ax
ax
yax
yaxdzdydxx
3
0
4
4
22
2
c) ∫ ∫ ∫Π
Π
Π
2
6
2
1 0
2
cosxxy
dzdydxy
z
y
xz
2. Calcular el volumen del sólido limitado por
arriba por el paraboloide 224 yxz −−= y
por debajo por el plano xz 24 −=
3. Determine el volumen que forma la
superficie: xyz 22 −= sobre la región del
plano xy.
4. Calcular el área de la región limitado por:
5y-3x-25=0, 5y+3x-25=0; y=x2+2.
5. Calcular el volumen limitado por las
siguientes superficie x2+y2=a2, x2+z2=a2 ;
en coordenadas cartesianos.
6. Calcular el volumen limitado por las
siguientes superficie x2+y2=25, x+y+z=8; en
coordinas rectangular y graficar.
7. Hállese el volumen del solidó en el primer
octante limitado por el paraboloide
22 yxz += , el cilindro 422 =+ yx y los
plano coordenados.
8. Volumen de la región acotada en el primer
octante por los planos x z+ = 1 e
y z+ =2 2 .
9. Volumen de la región limitada por la
superficie cilíndrica y z2 24 16+ = y los
planos x = 0 , x y+ = 4 .
10. Volumen del sólido limitado superiormente
por la esfera x y z a2 2 2 22+ + = e
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inferiormente por el paraboloide
az x y= +2 2 .
11. Volumen de la región W determinada por :
( ){ }W x y z R z x y x y= ∈ ≤ ≤ − − + ≥, , / ,3 2 2 2 20 9 1
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DIF´S # 1
UNIDAD OTEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: La Recta y El plano
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa
La Recta se forma por la intersección de dos planos en el espacio tridimensional. Para esto tome como puntos de análisis los siguientes:
• Definición de cada uno• Ecuaciones
• Caso de Rectas paralelas y perpendiculares
• Caso de Planos paralelos y perpendiculares
• Aplicaciones.
CONCLUSIONES (Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA
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DIF´S # 2
UNIDAD OTEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: Superficies Cuadricas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa
Las ecuaciones F (x, y, z ) = 0 que son de grado superior a uno y por consiguiente son superficies no planas, se llaman superficies cuadricas.
Investigue lo siguiente: • Ejemplo de cada una de las
superficies cuadricas describiendo sus ecuaciones, sus aplicaciones y graficas.
Además de la bibliografía de la materia puede usar:
http://www.biologia.edu.ar/matematica/cuadricas_archivos/frame.htm#slide0001.htm
CONCLUSIONES (Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
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AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA
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DIF´S # 3
UNIDAD OTEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TITULO: Funciones
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa
Usando bibliografía y/o internet responda las siguientes preguntas:
a) Como se realiza la composición de
funciones en le espacio tridimensional.
De dos ejemplos resueltos.
b) Como se efectúa el cálculo del dominio
de una función primitiva con varias
variables.
c) Como se resuelve o calcula un límite de
funciones en varias variables.
CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA
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DIF´S # 4
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa
Usando bibliografía y/o internet responda las siguientes preguntas:
a) Porque estudiamos a la integral triple y
no solamente la integral doble.
b) Que aplicaciones podemos efectuar
con la integral triple.
c) Desde el punto de vista geométrico
que diferencia existe entre la integral
doble y triple
CONCLUSIONES (Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA
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