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8/17/2019 Calculo Integral Capitulo 3 - Integracion Por Partes
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---------------------CAPITULO 3--------------------
60
INTEGRACION POR PARTESINTEGRACION POR PARTESINTEGRACION POR PARTESINTEGRACION POR PARTES
Un motivo de complicación en la técnica de integración es la ausencia de una regla de
integración de los productos de dos funciones, por tanto en este capítulo introducimos el
método básico de integración por partes, el cual viene a ser útil para este efecto,además se basa en la regla de la derivación del producto de funciones.
Por otra parte también se hace referencia a la integración tabular, la cual es efectiva
cuando se reuieren muchas repeticiones en la integración por partes.
3333.1.1.1.1 FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTESFORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTESFORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTESFORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES
!upón ue tenemos dos funciones ( ) xu " ( ) xv continuamente diferenciables " definidasen un intervalo abierto I . #e acuerdo con la regla de la diferencial del producto,
( ) udvvduuvd += o, de forma euivalente
( ) vduuvd udv −=
$l integrar cada miembro de esta ecuación, se obtiene la fórmula de integración por
partes,
%a fórmula anterior es útil cuando ∫ udv no es una integral sencilla, pero las integrales
∫ dv " ∫ vdu sí lo son.
∫ ∫−= duvvudvu ...
OBSERVACIÓN: Cuando se aplica la formula anterior a una integral, debedescomponerse el integrando en dos factores (integración por partes), a saber u y
dv . Aunque no pueden darse instrucciones generales para la elección de esos
factores, son útiles los siguientes:
• La expresión que se usa para dv debe incluir la diferencial dx .
• e toma u como el resto de la integrando y se encuentra du .
!i )(),( xgv x f u == " si f ′ " g′ son continuas entonces
∫ ∫−= duvvudvu ...
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6&
Para el caso de integrales definidas, la fórmula de integración por partes está dada por'
• (alcular las siguientes integrales
a) ∫ xdxln b) ∫ ⋅ dxe x x
c) d)
a) $plicando la fórmula de integración por partes a la integral dada tenemos'
!ean xu ln= " dxdv = , entonces
1C xv
dxdv x
dxdu
+=
== ∫ ∫
dxe
e
x
x
∫+1
2
dx x x∫ 2
0cos
π
• !legir u y dv apropiadamente de modo tal que la segunda integral
∫ vdu sea m"s sencilla que la primera ∫ udv ,
• e elige dv de tal manera que se pueda integrar directamente (debe ser
posible integrar dv .)
!i ( ) xu " ( ) xv son funciones continuamente diferenciales definidas en un intervaloabierto I , entonces para todo I ba ∈, tenemos
∫∫ −=b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Ejemplo 3333.1.1.1.1:
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
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6)
#e modo ue'
( ) ( )
2
211
11
ln
lnlnln
lnln
C x x x
C xC x xC x x
x
dxC xC x x xdx
+−=
+−−+=
+−+= ∫∫
b) !ean "
$plicando la fórmula de integración por partes se obtiene,
*omemos una escogencia inadecuada de " de la integral anterior
" , #e manera ue
+ótese ue la integral del segundo miembro es más complea ue la original
.
dxdu
xu
=
=
x
x
ev
edv
=
=
C xe
C ee xdxee xdxe x
x
x x x x x
+−=
+−=−= ∫∫)1(
...
u dv
2
.
2 x
v
dx xdv
=
=
∫ ∫−= dxe xe xdxe x x x x
221..
22
∫ dxe
x x
2
2
dxe x x
∫ .
Observación: %a primera constante de integración no aparece en la respuesta
final. Por tanto, de ahora en adelante cuando se determine mediante
debe omitirse la constante de integración, es decir . #e modo ue al
resultado final debe adicionarse la constante de integración.
1C
v ∫ dvx v =
Observación: %a escogencia adecuada de " , al aplicar la integración porpartes, permitió obtener ue la segunda integral sea más sencilla ue la
integral inicial.
u dv( )∫ dxe x
dxedu
eu
x
x
.=
=
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6-
c) eescribiendo la integral, tenemos
(omo puede integrarse fácilmente haciendo 1 ,tomamos
"
"
$plicando la fórmula de integración por partes, tenemos ue'
/n la integral del segundo miembro hacemos'
, entonces'
donde
d) !ean "
$plicando la fórmula de integración por partes, obtenemos'
/n el eemplo siguiente se ilustrará la observación anterior.
( )∫ ∫∫
−
+=
+
=
+
.)1(.
11
21
2
1
2
dxeeedxe
e
edx
e
e x x x x
x
x
x
x
dxee x x 21
)1( −
+
xeu = dxeedv
x x 21
)1( −
+=
dxedu x= 2
1
)1(2 xev +=
∫ ∫ +−+=+
dxeeeedxe
e x x x x x
x
21
21
2
)1(2)1(21
dxedze z x x
=⇒+=1
∫ ∫−+=+
dz zeedxe
e x x x
x
21
21
2
2)1(21
C zee x x +−+= 23
21
3
4)1(2
,)1(3
4)1(2 2
32
1
C eee x x x ++−+= x
e z +=1
xu = xdxdv cos=
dxdu = senxv =
] ( )
12
)0cos()0(0)2
cos()2
(2
cos
cos
2
2
0
2
00
2
0
−=
+−
+=+=
−= ∫∫
π
π π π π
π
π π
sensen x xsenx
senxdx xsenx xdx x
Observación: $ veces es necesario aplicar reiteradamente la formula de integraciónpor partes a una integral para obtener el resultado.
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6
• (alcular la integral
*omando "
/ntonces integrado por partes, se tiene
%a integral del segundo miembro es análoga a la original, luego integrando por partes
nuevamente la integral obtenemos'
!ean
"
/ntonces
∫ ∫−= dxe xedx xe x x x 333
3
1
3
1
1inalmente, reempla2ando en la integral original se obtiene'
3
3
∫ dxe x x32
2 xu = dx e dv
x 3=
dx xdu .2= xev 3
3
1=
∫ ∫−= dx xee xdxe x x x x 33232
3
2.
3
1
∫ ,3 dx xe x
xu = dxevd x3=
dxud = xev 3
3
1=
1
33
9
1
3
1 C e xe
x x+−=
∫
+−−= 1
333232
9
1
3
1
3
2
3
1C e xee xdxe x
x x x x
C xee x x x ++−
27
2
9
2
3
1 332
C e x x x +
+−
32
3
1
9
2
3
2
Ejemplo 3."3."3."3.":
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
Observación: Un artificio usual consiste en utili2ar la integración por partes para
hallar en términos, otra ve2 de , " después despear en la ecuación
resultante.
∫ h ∫ h ∫ h
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64
/l eemplo siguiente ilustra la observación anterior.
• (alcular la integral
$plicando la fórmula de integración por partes,
!ean
"
/ntonces'
%a segunda integral es análoga a la primera, salvo ue tiene en lugar de ,
por tanto aplicamos nuevamente la integración por partes, a la integral
luego
!ea "
#e manera ue'
eempla2ando en la integral original, se obtiene'
∫ ∫−−= xdxsene xe xsene xdxsene x x x x 3
493cos
433
213 2222
$hora bien, la integral ue vamos a calcular aparece en el miembro
i2uierdo con coeficiente uno " en el derecho con un coeficiente 5 Pasando este último
término a la i2uierda obtenemos,
.32 xdxsene x∫
xsenu 3= dxedv x2
=
xdxdu 3cos3= xev 2
2
1=
∫ ∫−= xdxe xsene xdxsene x x x
3cos2
33
2
13
222
x3cos xsen3
∫ ,3cos2
xdxe x
xu 3cos= dxevd x2=
xdxsenud 33−= x
ev2
2
1=
∫ ∫+= xdxsene xe xdxe x x x
32
33cos
2
13cos 222
∫ ∫
+−= xdxsene xe xsene xdxsene
x x x x3
2
33cos
2
1
2
33
2
13 2222
.32 xdxsene x
∫
.4
9
Ejemplo 3.33.33.33.3:
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
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66
3
3333."."."." INTEGRACIÓN TA#ULARINTEGRACIÓN TA#ULARINTEGRACIÓN TA#ULARINTEGRACIÓN TA#ULAR
emos visto ue las integrales de la forma
en las ue puede diferenciarse repetidamente hasta convertirla en cero, " puede
integrarse repetida veces sin dificultad, son candidatas naturales a la integración por
partes. !in embargo si se reuieren muchas repeticiones, los cálculos pueden resultar
algo laboriosos. /n esos casos una manera de organi2ar los cálculos ue ahorra mucho
trabao es la llamada integración tabular
%a técnica ueda ilustrada en los siguientes eemplos
• (alcular , mediante integración tabular.
(on " tenemos,
( ) derivadassusy x f ( ) integralessusy xg 2
x
xe
3
x2 xe3
3
1
2 xe3
9
1
0 x
e3
27
1
∫ ∫ +−=+ 13cos43
32
13
4
93 2222 c xe xsene xdxsene xdxsene
x x x x
∫ +−= .3cos43
32
13
4
131
222 c xe xsene xdxsene x x x
∫ +−= .3cos133
313
23 222 C xe xsene xdxsene x x x
.)3cos3325(13
1 2 c x xene x +−
∫ dx xg x f )()( f g
∫ dxe x x32
( ) 2 x x f = ( ) xe xg 3=
Ejemplo 3.$3.$3.$3.$:
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
+
+
-
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Por tanto, el resultado de la integral es igual a la suma de los productos de las funciones
conectadas mediante las flechas con signos alternados, esto es'
C x xe
C e xee xdxe x
x
x x x x
+
+−=
++−=∫
9
2
3
2
3
1
27
2
9
2
3
1
23
333232
• (alcular mediante integración tabular.
(on " se tiene,
( ) derivadassusy x f ( ) integralessusy xg 3
x
senx
23 x xcos−
x6 senx−
6 xcos
0 senx
Por tanto, nuevamente sumamos los productos de las funciones unidas con las flechas con
los signos alternados, esto es'
∫ +−++−= C senx x xsenx x x xsenxdx x 6cos63cos233
8lustramos lo anterior en el siguiente eemplo'
• (alcular mediante integración tabular
∫ senxdx x3
( ) 3 x x f = ( ) xsen xg =
xdxe x cos2∫
Ejemplo 3.%3.%3.%3.%:
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
+
+
-
-
Observación: %a técnica de la integración tabular se aplica también a integrales de
la forma cuando ninguna de esas dos funciones puede ser
diferenciada repetidas veces hasta convertirse en cero.
dx xg x f ∫ )()(
Ejemplo 3.&3.&3.&3.&:
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(omen2amos igual ue antes, con una tabla ue muestre derivadas sucesivas de e
integrales de xcos .
( ) derivadassusy x f ( ) integralessusy xg x
e2
xcos
xe
22 senx
xe
24 xcos−
#eamos de diferenciar e integrar en cuanto llegamos a una fila igual a la primera e:cepto
por las constantes multiplicativas. /sto lo interpretamos como'
*omamos productos con sus signos, unidos por las flechas diagonales, " una integral con
su signo para la última flecha hori2ontal. $l transponer la integral del lado derecho al lado
i2uierdo, tenemos'
; bien,
$ continuación más eemplos sobre integración por partes.
• (alcular los siguientes integrales'
a) b)
a) $plicando la fórmula de integración por partes, elegimos
"
xe
2
∫ ∫ −+−−= dx xe xesenxe xdxe x x x x )cos()4())cos(2()(cos 2222
∫
∫
++
=
+=
C xesenxe
xdxe
xesenxe xdxe
x x x
x x x
5
cos2cos
cos2cos5
222
222
∫ arcsenxdx x2 ( )
∫ +
dx x
x xe x ln1
arcsenxu = dx xdv 2=
dx x
du21
1
−
=3
3
3
1
3 x
xv ==
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
+
+
-
Ejemplo 3.'3.'3.'3.':
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
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6<
#e donde resulta ue,
$hora, sea para calcular $ hacemos entonces
, , #e modo ue'
( )
( ) ( ) ( )21
2
12
12
2
32
1
3
1
32
1113
1
3
1
3
11
xt C x x
C t t
C t t dt t
−=+−−−=
+−=
++−=−−= ∫
donde ,
eempla2ando en la integral original se obtiene'
( ) ( )
( ) ( )
( ) C x xarcsenx x
C x xarcsenx x
C x xarcsenx x xdxarcsen x
+−+−=
+−+−−=
+
−−−−=∫
223
2
122
323
2
12
2
3232
12
9
1
3
1
13
11
9
1
3
1
113
1
3
1
3
1
b= eescribiendo la integral, tenemos
$hora, se conoce con el nombre de logaritmo integral " no se puede e:presar
mediante funciones elementales.
Para calcular la segunda integral aplicamos la fórmula de integración por partes,
(on " , entonces
!ustitu"endo en la integral original se obtiene,
∫∫−
−=2
332
13
1
3
1
x
dx xarcsenx xarcsenxdx x
∫ −= ,1 23
dx x
x A ⇒−=
21 xt 22 1 t x −=
tdt xdx 22 −= tdt xdx −=
∫ ∫ ∫ −
−=
−
=
−
= tdt t
t
x
xdx xdx
x
x A .
)1(
1
.
1
2
2
2
2
3
A
( )∫ ∫ ∫+=
+ xdxedx
x
edx
x
x xe x x x
lnln1
∫ dx xe x
x
dxdu xu =⇒= ln x x evdxedv =⇒=
∫ ∫−= dx xe
xe xdxe x
x x lnln
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$ continuación ilustramos la observación anterior con un eemplo
• (alcular ∫ dxe x
.
8nicialmente hacemos un cambio de variable en la integral,
!ea entonces , de modo ue
$plicando la fórmula de integración por partes o aplicando integración tabular a la
integral ∫ dt tet , obtenemos
∫ +−= 12 C etedt te t t t
1inalmente reempla2amos en la integral original,
( ) C xe xt C ee x
C etedxe
x
x x
t t x
+−=
=+−=
+−=∫
12
22
22
donde
• Utilice la integración por partes para demostrar ue'
( )
C xe
xedx x
edx
x
edx
x
x xe
x
x x x x
+=
+−=+
∫ ∫ ∫ln
lnln1
xt xt =⇒= 2 dxtdt =2
∫ ∫= ,2 dt tedxe t x
∫ ∫ −− −
+−= .1
cos1 21 xdxsen
n
n x xsen
n xdxsen nnn
Observación: /n algunos casos, antes de aplicar la fórmula de integración porpartes se hace necesario reali2ar cambio de variable " luego aplicar ésta.
Ejemplo 3.(3.(3.(3.(:
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
Ejemplo 3.)3.)3.)3.):
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7&
eescribiendo la integral tenemos
$plicando la fórmula de integración por partes,
acemos "
#e modo ue,
termino
Pero , reempla2ando se tiene
$hora la integral aparece en el miembro i2uierdo con coeficiente uno " enel derecho con un coeficiente 1.Pasando este último término a la i2uierdaobtenemos,
xsenxdxsen xdxsen nn
∫∫ −=
1
xsenu n 1−
= senxdxdv =
( ) xdx xsenndu n cos1 2−−= xv cos−=
xdx xsenn x xsen xdxsen nnn
∫∫ −−
−+−=221
cos)1(cos
xsen x,22
1cos −=
dx xsen xsenn x xsendxsen nnn )1()1(cos221
−−+−= ∫∫ −−
xdxsenn xdxsenn x xsen xdxsen nnnn
∫∫∫ −−−+−= −− )1()1(cos 21
xdxsenn xsen xdxsenn xdxsen
nnnn
∫∫∫
−−−+−=−+
21
)1(cos)1( xdxsenn x xsen xdxsenn
nnn
∫∫ −−
−+−=21 )1(cos
.1
cos1 21 xdxsen
n
n x xsen
n xdxsen nnn ∫∫
−− −+−=
Soluci!:Soluci!:Soluci!:Soluci!:
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7)
3333.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES.3 INTEGRALES POR PARTES M*S COMUNES
/l siguiente resumen, nos permite escoger adecuadamente el u " dv de las integrales más
comunes ue se resuelven por integración por partes.
#ntegrales de la forma.
1.
Donde es un polinomio de rado !
"acemos #
E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3.1
• (alcular las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes.
$! %!
&! '!
(! !
*! +!
,! $-!
$$! $&!
$(! $*!
$%! $'!
;)( dxe x p ax
n∫ ∫ ,)( senaxdx x pn ( )∫ axdx x pn cos( ) x pn ℜ∈an ,
( ) x pu n= .cos , , axdxsenaxdxdxedv ax=
∫ xdx x 3cos ∫ dx x2)(ln
∫ arcsenxdx dxe x x23 −
∫ xdx x∫ ln dx x
x
∫ −2
∫ dx xcos ∫2
02
π
xdx xsen
dxe x x
33 −
∫ dxe x x x−+−∫ )52(
2
∫ xdx x arctan dx x x
∫ 2cos∫ dx xsen )(ln ∫ dx xarctan
dx x
x∫ +
2)1(
lndx
x
x∫
+
+
1
)1ln(
2.
"acemos . #
3.
"acemos #
∫ ,1)( naxdx x pn ∫ ,)( arcsenaxdx x pn ∫ axdx x pn arctan)(
axarcsenaxaxu arctan , ,ln= ( )dx x pdv n=
,senbxdxeax∫ .cos bxdxeax
∫
bxsenbxu cos ,= dxedv ax=
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7-
$! $+!
$,! &-!
&$! &&!
&(! &*!
&%! &'!
&! &+!
&,! (-!
($! (&!
((! (*!
(%! ('!
(! (+.
(,. *-.
*$. *&!
*(! **!
*%! *'!
*! *+!
*,! ∫ xdxsen xe x 2
%-!
( )dx
x
x∫
+ 23
21
ln
%$!
( )dx x x∫ + 1arctan %&!
dx x x∫ arctan
%(! ( )dx x xarcsen∫ −1 %*! ∫ dx xarcsen
%%! ∫ dx x
x1
arccos %'! ∫ +
dx x
xarsen
1
2
%!
( )dx
x
x∫
− 23
21
arccos %+!
( )dx
x
x x∫
− 23
21
arccos
∫ xdx x 2tan2 dxarcsenx∫
2)(
∫ dx xsenx )ln(tan xdxsene x
54∫
dx x
x∫
+
1
0 2
3
1dz
z
zarc∫
cot
dx x
xe x
∫ +
2)1(dx x x∫ ++ )1ln(
2
senhxdx x∫3 dx
x
x x
+
−
∫ 11
ln
∫ xdx xsenx cos dx x
xarcsen∫
−1
dx x
x∫
)ln(lndx x)(lncos2∫
dxe
xsen
x
∫
2
dx x
x
∫2
2ln
dx xsen
x x∫ 2
cosdxe x
x
∫ xdx
x cos3∫ senbxdxeax
∫
dxe
earc x
x
∫cot
( )∫
+
dx
x
xe x
2
32
arctan
1
( )∫ dx x x2
arctan ∫ xdxsenxsene x 3
( )∫ ++
dx x
xe x
2
2
1
1
∫ +++
dx x
x x x
2
2
1
1ln
∫ dx xsensenx
2
)ln(dx x xsen∫
∫ xdx x2ln ∫ dxe x
x35
∫ xdx x arccos2
( )∫
+
dx
x
e x
2
32
arctan
1
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7
%,!
( )∫ + dx x x x2
1lnarctan '-! ( )∫
+
++
2
32
2
1
1ln
x
dx x x
'$! ( )∫ dx x5
sec
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---------------------CAPITULO 3--------------------
74
E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."E+ERCICIOS , PRO#LEMAS -3."
• / $ 0 * ) Use integración por partes para deducir las siguientes formulas dereducción.
$!
&! para
(!
*! si
4. Use el método tabular para mostrar ue
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
,1...32
−++
′′′−
′′+
′−=∫ n
nn
mxmx
m
xP
m
xP
m
xP
m
xP xP
m
edx xPe
#onde ( ) xP es un polinomio de grado 0>n " 0≠m .
AUTOE/ALUACION AUTOE/ALUACION AUTOE/ALUACION AUTOE/ALUACION
$! 8ndica la opción ue contiene el resultado de ( )∫ dx x x ln .
a) ( )( ) C x x +223
ln b) C x +
27ln c)
( )( ) C x x +− 2ln3
9
22
3
d)( )
C x
x+
+
2
ln2
&! alla la opción ue contiene el resultado de ( )( )dx x∫ lncos .
a) ( )( ) ( )( )[ ] C xsen x x
++ lnlncos2
c)
( )( )[ ] C xsen x
x x++cos
2
ln
b)
( )( ) ( )( )[ ] C xsen x x +− lnlncos d)( )( )
C x
xsen+
− ln
(! /ncuentra la opción ue contiene el resultado de ( )∫ dt t arcsen .
a) C t
+
−21
1 c)
( ) C t t tarcsen +−+ 21
xdxn
n xsenxn
dx nnn ∫∫ −− −+=
21 cos1cos1cos
∫∫ −
−
−
−−
−= xdx
m
m
m
x x xdx m
mm 2
2
sec1
2
1
tansecsec 1≠m
dxnxmnx xdxnxm
mm1
)1()1()1(−
∫∫ −=
)(ln
11
)1()1(
1
x x
r
q
r
nx xdxnx x r
qr qr
∫∫ +
−
+
=
+
,1dxq−
1−≠r
8/17/2019 Calculo Integral Capitulo 3 - Integracion Por Partes
17/17
---------------------CAPITULO 3--------------------
76
b)
( ) C t +− arccos d)
( ) C t t tarcsen +−− 21ln
*! #etermina la opción ue contiene el resultado de ( )dx x x ln3∫ .
a) ( )( ) C x x
+− 3ln44
3 34
c)
( )( ) C x x
+− 3ln416
3 34
b)
( )( ) C x x
++ 3ln416
3 34
d) ( )( ) C x x
+− 3ln48
3 34
%! /ncuentra la opción ue contiene el resultado de ( )dx x x∫ ln4 .
a) C x x +− 343
4 c)
( ) C x x ++ 43 4ln
b)
( )[ ] C x x
+−1ln525
5
d)
( )[ ] C x x ++ ln413