Caos

" Despiertos, ellos duermen"

 HERÁCLITO:

El orden.

El desorden. El orden desorganizador .

El desorden organizador.

María del Consuelo Valle E.

Determinismo

Galileo - Kepler – Newton – Laplace

“ La inmutable población de las estrellas obedece a una inexorable mecánica”

“El Universo como una evocación al más perfecto de

los relojes”

Galileo:

Fecha de nacimiento : 15 Feb 1564 en Pisa

Muere el 8 de Enero 1642 en Florencia

Galileo"De la hipótesis y la deducción al

experimento"

Deducir y formar axiomas a partir de la experiencia ... deducir y derivar nuevos experimentos de los axiomas .... Pues el camino no se halla a un solo nivel sino que asciende y desciende; primero ascendiendo hacia los axiomas, descendiendo luego hacia las obras.

Kepler:

Nacimiento: 27 Diciembre 1571 en Weil der Stadt, Württemberg, Holy Roman Empire (Alemania)

Muerte: 15 Noviembre 1630 en Regensburg (Alemania)

Poliedros de Kepler:

En su búsqueda fanática de armonías derivó sus tres leyes

Leyes de Kepler:

Los planetas se mueven en elipses con el Sol en uno de sus focos.

La línea recta que une al Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

El cuadrado del tiempo de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de su distancia media del Sol.

Isaac Newton:

1643 a 1727 Creador del Cálculo Diferencial e Integral. Sus trabajos en óptica y gravitación hacen de él uno de los científicos más grandes del mundo.

Newton:El matemático del firmamento

TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

 La mecánica celeste de Newton fue la primera gran síntesis de los fenómenos naturales.

Laplace:

Nacimiento: 23 de Marzo 1749 en Beaumont-en-Auge, Normandy, Francia.

Muere: 5 de Marzo 1827 en Paris.

Laplace:

"Si podemos imaginar una conciencia lo suficientemente grande como para conocer las ubicaciones exactas y velocidades de todos los objetos en el universo actualmente, como también todas sus fuerzas, entonces no habría secretos para esta conciencia. Se puede calcular todo acerca del pasado o futuro de las leyes de causa y efecto."

El universo mecánico:

Determinismo significa que el universo es comparable a un reloj tremendamente preciso, en el cual el estado presente de todas las cosas es la consecuencia de su estado anterior, y en la otra mano, la causa de su estado futuro

El paradigma Analítico

Cosmos significa orden

Fenómeno ordenado :

Cuando sus movimientos se pueden explicar en un esquema de causa y efecto

El proceder analítico

AislarSeparar

Reducir a la unidadMedir

El proceder analítico quiere decir que una entidad investigada es resuelta en partes unidas, a partir de las cuales, puede por lo tanto, ser constituida o reconstruida, entendiéndose estos procesos en sentido conceptual y no sólo en sentido material.

Modo de actuar analíticamente:

Resolución en encadenamientos causales aislables.

Búsqueda de unidades atómicas.

Condiciones que debe cumplirse:

No existen interacciones entre partes, o estas son tan débiles que pueden dejarse de lado en ciertas investigaciones.

Las relaciones que describen el comportamiento de las partes satisfacen la condición de aditividad.

Principio:

“Él todo es igual a la suma de las partes”

 

Debido a la generalidad de ésta forma de pensar, su proceder es aplicable a cualquier entidad; siempre y cuando la naturaleza particular de las partes o relaciones entre sus elementos se hagan a un lado, no se quieran investigar o se desconozcan.

Fenómenos dinámicos:

Sistemas

Lineales No lineales

Conducta de las ecuaciones de los sistemas lineales:

En una ecuación de un sistema lineal, un pequeño cambio en una variable produce un un efecto pequeño en las otras variables. Su respuesta a cualquier perturbación es proporcional a la intensidad de la misma.

En las ecuaciones de sistemas lineales la solución de una ecuación permite generalizaciones que conduce a las otras soluciones.

Sin embargo, en los últimos años, gracias al desarrollo de las computadoras y de mejores métodos numéricos se ha encontrado que existen sistemas !IMPREDECIBLES!

IMPORTANTE:

“Sistemas que a pesar de estar gobernados por relaciones precisas y bien conocidas (ecuaciones deterministas), para algunos valores de sus condiciones iniciales (a partir se las cuales se quiere estudiar su evolución) se pierde la capacidad de predecir el futuro.

Cualquier pequeño cambio en el estado inicial tiene dramáticos efectos sobre el comportamiento futuro. Para predecir el fenómeno se necesitan conocer los datos iniciales con precisión infinita, así como un control extremo del proceso; esto es imposible, independientemente de qué tanto logremos mejorar nuestros aparatos de medición, y de qué tan bien conozcamos las relaciones matemáticas que rigen su comportamiento.

Esta característica es una propiedad intrínseca del sistema que no se evita acumulando más información y, sorprendentemente, su presencia es más una regla que la excepción.

Muchos sistemas son capaces de tener un comportamiento predecible o impredecible, de acuerdo con las condiciones a las que están sujetos.

El desorden

" La más bella disposición

es un montón de inmundicias

dispuestas al azar" 

 HERÁCLITO

Termodinámica:

En el siglo XIX una arruga de desorden aparece en el corazón del orden físico, las leyes de la termodinámica.

 Carnot - Kelvin - Clausius

Sadi Carnot:

Nacimiento: 1 Junio 1796 en Paris, Francia

Muerte: 24 Agosto 1832 en Paris, Francia

Rudolf Julius Emmanuel Clausius:

Nacimiento: 2 Enero 1822 en Koslin, Prussia (Koszalin, Polonia)

Muerte: 24 Aug 1888 in Bonn, Alemania

William Thomson (Lord Kelvin):

Nacimiento: 26 Enero 1824 en Belfast, Irlanda.

Muerte: 17 Diciembre 1907 en Netherhall Ayrshire, Escocia

Primer principio:

La energía es una entidad indestructible dotada de un poder poliforme de transformaciones.

Segundo principio:La energía calorífica no puede reconvertirse enteramente y pierde una parte de su aptitud para efectuar trabajo.

El segundo principio introduce la idea, no de disminución (la cual contradiría el primer principio) , sino de degradación.

Entropía:

Es la degradación irreversible de la aptitud para

transformarse y efectuar trabajo, propia del calor.

Clausius

Ludwig Boltzmann:

Botzman introduce la probabilidad en la física desarrollándose la mecánica estadística.

Mecánica Estadística:

Botzman definió la entropía de un sistema (variable microscópica) en relación con el número de configuraciones microscópicas que pueden tomar los átomos o moléculas, según la fórmula :

El calor es la energía propia de los movimientos desordenados de las moléculas en el seno de un sistema cerrado, todo incremento de calor corresponde a un incremento de la agitación, a una aceleración de estos movimientos. Es por eso, que la forma calorífica de la energía comporta desorden en sus movimientos, debido a la degradación inevitable de la aptitud para el trabajo.

El caos de la entropía:

Es lo que sucede cuando las formas y sistemas agotan la energía que los ha aglutinado.

Sistemas cerrados:Enfoque Newtoniano:

  Un sistema cerrado está compuesto por cuerpos interactuantes aislados del medio, estos sistemas son ordenados, consecuentemente previsibles. Sus perturbaciones son debidas al azar, el caos que los perturban solo pueden provenir de contingencias aleatorias exteriores.

El caos determinístico

Henri Poincaré :

En matemáticas aplicadas realiza trabajos en óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, electricidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica, teoría de la relatividad y cosmología.

El problema de los tres cuerpos:

En el campo de la mecánica celeste estudia el problema de los tres cuerpos. Él es considerado junto con Albert Einstein y Hendrik Lorentz creadores de la teoría de la relatividad.

El problema de los tres cuerpos:

En cualquier sistema idealizado de DOS cuerpos las órbitas son estables. Pero la ecuación para TRES cuerpos no tiene solución exacta, ya que el pequeño efecto adicional del tercer cuerpo se debe sumar a la solución del sistema de dos cuerpos, en una serie de aproximaciones sucesivas, donde cada aproximación es menor que la anterior.

El secreto de Poincaré:

Poincaré sabía que el método de aproximaciones parecía funcionar bien con los primeros términos,

¿ pero qué ocurría con el sinfín de términos cada vez más pequeños que venían a continuación ?.

¿ Que efectos tendrían ? . ¿ Mostrarían que en decenas de millones de

años las órbitas se modificarían y el sistema comenzaría a desintegrase por obra de las fuerzas internas ?

Poincaré reveló que el caos, o el potencial para el caos, es la esencia misma de un sistema no lineal y la retroalimentación puede magnificar los efectos más pequeños. Así un sistema simple puede estallar en una perturbadora complejidad.

Teoría del Caos:

En la década de los sesentas Edward Lorenz (meteorólogo del MIT) retoma los descubrimientos de Poincaré y publica los primeros trabajos de la teoría del caos, “Deterministic Nonperiodic Flow” (1963).

El efecto mariposa:

Edward Lorenz en su computador quiso recortar el número de cifras significativas con las que había calculado un pronóstico, y para su sorpresa, el resultado después de un tiempo fue totalmente diferente. “El aleteo de una mariposa en Beijing puede ocasionar una tormenta en Texas”.

Conceptos de la Teoría del Caos:

No linealidad

Retroalimentación

Entropía Desequilibrio

Algunos de sus tópicos:

Sensibilidad. Periodicidad. Bifurcaciones. Ciclos límites Atractores

extraños.

Un ejemplo de fenómeno caótico

Sistemas sencillos hacen cosas complejas:

James Yorke descubrió en 1972 el trabajo de Lorenz,lo difundió y lo analizó con Robert May (matemático, biólogo y ecólogo). Así hizo el gran descubrimiento de que "sistemas sencillos hacen cosas complejas", el que da a conocer en el artículo "Period three Implies Chaos" (1975). Se descubrieron luego efectos similares en genética, economía, dinámica de fluidos, epidemiología, fisiología .

Sistema demográfico de un insecto

(Primer modelo)

Hipótesis: 1).- El insecto vive en verano y

muere con el frío después de poner los huevos.

 2).- El porcentaje de huevos es

similar cada año.

Ecuación:Sea xt donde x tamaño de la población, el sub número t el año y a es una constante de proporcionalidad que mide la capacidad reproductiva del insecto, entonces:

NOTA: 

Esta ecuación de crecimiento exponencial

funciona bastante bien

cuando la población es pequeña o se desarrolla en un ambiente donde hay

mucho alimento y espacio.

NOTA: 

Esta ecuación de crecimiento exponencial

funciona bastante bien

cuando la población es pequeña o se desarrolla en un ambiente donde hay

mucho alimento y espacio.

Sistema demográfico de un insecto

(Segundo modelo)

Si ahora tomamos en cuenta el efecto de la muerte de los insectos. Como primera aproximación podríamos decir que el mayor número de decesos se da por competencia entre individuos, digamos que muy pocos se mueren de viejos

Entre más insectos haya, más difícil será que sobreviva cada uno, por lo que se pude suponer que la probabilidad de que muera un individuo es proporcional a la población total de ese año xt . Como esto se vale para cada uno de ellos, el ritmo de decesos para toda la población será proporcional a (xt)^2

Entre más insectos haya, más difícil será que sobreviva cada uno, por lo que se pude suponer que la probabilidad de que muera UN individuo es proporcional a la población total de ese año xt . Como esto se vale para cada uno de ellos, el ritmo de decesos para toda la población será:

Si ahora combinamos ambos efectos (nacimientos menos muertes) resulta la siguiente ley de crecimiento:

Con el fin de facilitar el modelo, ahora supondremos que las constantes a y b son iguales, esto es: a = b = r, así obtenemos el siguiente modelo matemático que es una versión no lineal del fenómeno demográfico:

Conducta de la ecuación:

La población se extingue

En la medida que pasa el tiempo la población se estabiliza

Dos ciclos

4 ciclos

16 ciclos

Caos total

Bifurcaciones:

En esta ruta hacia el CAOS vemos que hay cambios cualitativos abruptos(cada vez el periodo se duplica), llamados bifurcaciones, que marcan la transición del orden hacia el CAOS.

Ciclos límites:

hay un ciclo estable de periodo 2 para

3 < r < 3.4495hay un ciclo estable de periodo 4 para

3.4495 < r < 3.5441hay un ciclo estable de periodo 8 para

3.5441 < r < 3.5644hay un ciclo estable de periodo 16 para

3.5644 < r < 3.5688

Diagrama de Feigenbaum:

Como podemos observar, a medida que r aumenta, los periodos se duplican con mayor sensibilidad

  Podemos graficar el desarrollo de estas bifurcaciones hacia CAOS.

Los fenómenos modelados con ecuaciones no lineales alcanzan valores "críticos" que representan procesos complejos donde hay inestabilidades o caos, en ellos la predicción exacta es práctica y teóricamente imposible. En tales puntos de "presión" , un cambio pequeño puede producir un impacto desproporcionadamente grande.

El desorden organizador

Autorganizándose:

En los últimos años se han empezado a estudiar sistemas que, en condiciones adecuadas, tienen la capacidad de autorganizarse.

Características comunes:

Su habilidad para generar estructuras macroscópicas complejas y organizadas.

Su extrema susceptibilidad a las perturbaciones externas

Su increíble capacidad para autorregularse y funcionar como una entidad única que responde creativamente y se adapta a las condiciones del medio

Sistemas que se autorganizan:

Los sistemas que se autorganizan siempre se encuentran en condiciones que los mantienen muy alejados de su estado de equilibrio; son entidades que están en contacto con el medio externo y utilizan la energía que éste les proporciona para organizarse y formar estructuras complejas.

Ejemplo 1: Una capa horizontal de

algún fluido se somete a una diferencia de temperaturas. Para lograrlo basta calentar el líquido en su parte inferior o, aún más fácil, trabajar con un líquido volátil permitiendo que se evapore. Esto enfriará la superficie y provocará la diferencia de temperatura deseada. El fenómeno se presenta a gran escala cuando el Sol calienta la superficie terrestre y la atmósfera se toma como fluido de trabajo.

En este experimento, el líquido más caliente cercano a la base es menos denso y tratará de ascender; el más frío cercano a la superficie es más denso y tratará de descender. Si la diferencia de temperaturas es pequeña, la viscosidad del fluido impedirá su movimiento, pero si se sigue calentando se alcanza una condición crítica en la que repentinamente el líquido comienza a desplazarse y se organiza en celdas de flujo convectivo a las que se denomina celdas de Bénard

La aparición de los patrones de Bénard en un fluido es un fenómeno completamente reproducible. Si se aseguran las mismas condiciones de trabajo, las celdas se presentarán al alcanzar la misma diferencia de temperatura. Sin embargo, su posición o el sentido en el que rota el líquido dentro de ellas es algo impredecible e incontrolable. Sólo el azar determina cómo será el patrón en cada caso.

Esta posibilidad de elegir entre muchas opciones y de que el azar decida cuál se selecciona es típica de sistemas que se autorganizan. Se acostumbra decir que el sistema es arrastrado hasta un punto en el que repentinamente se le presentan muchos caminos, pero es imposible predecir cuál seguirá.

El resultado de la selección puede conducirlo a un nuevo estado más complejo y organizado, pero también puede perderlo en el reino del caos. Lo que es indudable es que se trata de un mecanismo muy efectivo para explotar la creatividad del sistema, generando formas complejas muy parecidas pero no idénticas.

Ejemplo 2: El Solitón de John Russell

Si arrojamos una piedra en un estanque de agua la misma generará una perturbación, produciendo pequeñas olas, las cuales se diluirán en un tiempo breve, dependiendo en principio de la fuerza con que se la haya arrojado y las condiciones del agua en ese momento.

John Rusell observó un fenómeno increíble. En situaciones muy especiales, cuando las condiciones iniciales se presentan de una manera única, hay olas en el océano que se unen formando una nueva con características propias. Esta nueva ola, llamada SOLITON viaja centenares de kilómetros sin perder su forma.

Si un barco la atraviesa, al instante recobra su estructura original y sigue adelante. No importa si hay vientos o tormentas, la misma sigue su trayectoria inmutable.

Este fenómeno es muy famoso y ha sido muy estudiado. Se ha intentado reproducir artificialmente en universidades por alumnos de matemática y física, hay conferencias especializadas en el tema, y cursos especiales solamente referidos a este raro fenómeno, que puede englobar todos los misterios del Caos.

Para finalizar:

El caos es un hecho, pero también es una circunstancia extrema. Un ejemplo bastante aclaratorio es el de las órbitas planetarias, que si bien tienen una ínfima componente caótica, están muy cerca de la estabilidad.

Consciente de que la realidad está plagada de elementos semejantes, Steve Wolfram ha definido un estado entre el comportamiento ordenado y el caos, denominado "límite del caos".

Quizá deambulamos constantemente por esa zona gris, más cerca del caos que del orden, mientras nos convencemos de que jamás alcanzaremos la posición del reduccionismo de Laplace.

El arte de la ciencia:

A causa de los infinitos matices de la realidad, puede haber muchos modos de ver qué está haciendo la naturaleza.

Reconocer que la teoría , diga lo que dijere acerca de la realidad, no es esa realidad, porque toda teoría es una abstracción a partir del todo y en cierto sentido es una ilusión. El que recurre a una teoría debe de tener en cuenta las limitaciones de dicha teoría.

Posiblemente, en las bifurcaciones que conducen a nuestro futuro, la ciencia y las artes se unan para presentar a nuestro mundo un mundo donde allí todos estemos juntos

“No hay modo de trazar una frontera entre las cosas, sin conciencia de la unidad de las cosas la ciencia sólo nos puede dar pedazos de naturaleza.

Para terminar solo me queda recordar las palabras de la genetista Barbara McClintock:

"Básicamente TODO es UNO". Hemos desquiciado el ambiente y pensamos que estábamos bien, porque usábamos técnicas de la ciencia.

Luego se transforma en tecnología y nos devuelve la bofetada porque no reflexionamos sobre sus consecuencias.

Adoptábamos supuestos que no teníamos derecho a adoptar.

Desde el punto de vista de como funciona el todo, sabemos como funciona la parte....

Ni siquiera preguntamos, ni siquiera vimos como andaba el resto.

Todas esas cosas estaban pasando y ni siquiera lo vimos.

El TODO es un sitio hospitalario porque allí estamos juntos"

Nota histórica:

Hibris: desmesura furiosa

Dike: Ley del equilibrio

Hybris contra Dike

Urano el furioso copula con su madre Gea y destruye a sus hijos del cosmos universo organizado donde reina la ley y el orden

Escuela filosófica de Atenas:

Platón

Escuela filosófica de Alejandría:

Hybris y Dike Antes de la distinción, la separación y la oposición estaba la indistinción, la confusión entre:

 * Potencia destructora y potencia creadora.

 * Orden y desorden.* Desintegración y

organización.

Heráclito

REFERENCIAS:

Aleksandrov A. D.,Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. (1981)."La Matemática: su contenido, métodos y significado" (Vol. 3). Editorial Alianza Universidad. Madrid: p.p. 408.

Beltrami E. (1987)."Mathematics for Dynamic Modeling". Academic Press, Inc. London: p.p. 277.

Bertalanffy L. V. (1976)." Teoría General de Sistemas". Fondo de Cultura Económica: México. p.p. 306.

J. Briggs y F. D. Peat “Espejo y reflejo”. CONACYT GEDISA.

Frijotz K (1992)."The Tao of physics". Academic Press, Inc. London

Percival I. P., Richards D. (1982). "Introduction to Dynamics". Cambridge University Press. N. Y. USA: p.p. 228.

Morin E. (1997). "El Método: La naturaleza de la naturaleza". Ediciones Cátedra, S. A. Madrid. p.p. 448.

Sitios de Internet consultados:

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/sec_9.htm

http://www.arrakis.es/~sysifus/

http://www.fractaltec.org/