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Moisés Villena Muñoz Números
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5
5.1 CLASIFICACIÓN 5.2 NÚMEROS REALES
• PROPIEDADES • OPERACIONES • EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Nuestra primera incursión con las Matemáticas es quizás cuando interaccionamos con los números. Si queremos contar, mencionar nuestra edad, nuestro peso, la cantidad de dinero que poseemos,..., necesariamente debemos recurrir a los números. Pero para estudios más formales, debemos definirlos, clasificarlos, estudiar sus propiedades…
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OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Clasifique a los números • Aplique las propiedades de las operaciones usuales, suma y producto, con números reales. • Defina operación binaria. • Aplique las propiedades de las operaciones binarias para determinar si una operación dada es binaria o no. • Aplique en ejemplos dados las propiedades conmutativas, asociativas, existencia del elemento idéntico,
existencia del elemento inverso. • Construya ejemplos de operaciones binarias. • Simplifique expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las leyes de los exponentes, radicales, producto
notable, factorización.
5.1 CLASIFICACIÓN
La clasificación de los números la observamos en el siguiente cuadro:
−+
−+
−+
−
aginarios
IesIrracional
iosFraccionar
Znegativos
CeroINNaturalesPositivos
ZEnteros
QRacionalesIRales
CCOMPLEJOS
Im
:
:
0:::
:
::Re
:
Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los
números complejos C . Todo número complejo tiene la forma:
bia + Es decir, se compone de dos partes:
1. Parte real “ a ” 2. Parte imaginaria “ b ”
Si 0=a tenemos a los números imaginarios. Si 0=b tenemos a los números reales.
5.2 NUMEROS REALES: IR
Los números reales están clasificados en dos grandes grupos:
1. Los números Racionales: Q .
2. Los números Irracionales: I .
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5.2.1 NÚMEROS RACIONALES. Q
Los números racionales son todos aquellos que pueden ser
expresados como una fracción qp , donde Zqp ∈∧ .
Por tanto a este conjunto pertenecen:
Los ENTEROS )(Z . Estos números no tienen parte decimal, por ejemplo:
...36
510
242 ====
Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por ejemplo:
10311.3 =
10052323.5 =
Los números que tienen una cantidad infinita de decimales periódicos, por ejemplo:
...131313.3=a ...42535353.2=b
Para estos últimos números surge una pregunta ¿CUÁL ES LA FRACCIÓN
CORRESPONDIENTE?.
Para lo cual, tenemos la siguiente regla:
REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL PERIÓDICO EN FRACCIÓN.
1. Identificar el primer período. 2. Encontrar dos números. Uno, cuyo punto
decimal aparezca después del primer período y el otro, cuyo punto decimal aparezca
antes del primer período.
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3. Restar estos números. Observe que el número resultante es un entero.
4. Encontrar el número.
Bien, apliquemos la regla para convertir los dos últimos números anteriores en sus respectivas fracciones:
Ejemplo 1
Para el número
...131313.3=a los números a restar serían: 000000.31099
...131313.3...131313.313100
==−=
aaa
por lo tanto 99
310=a
Ejemplo 2
Para el número
...53535342.2=b los números a restar serían:
00000.240119900...535353.242100...535353.2425310000
==−=
bb
b por lo tanto
990024011
=b
Finalmente hallemos la fracción equivalente para este otro número racional.
Ejemplo 3
Si
...5125125120.3=c los números a restar serían: ...000000.304829990...512512.3010...512512.3051210000
==−=
ccc
por
lo tanto 9990
30482=c ¿SE PUEDE SIMPLIFICAR? ¿CÓMO QUEDARÍA?
Si dividimos el numerador para el denominador de la fracción se
obtiene el número en forma decimal.
Ejercicios Propuestos 5.1
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1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números: a) 02.2 b) 0101010101.0 c) 14161616.3
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5.2.2 NÚMEROS IRRACIONALES I
Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción. Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos.
Existen infinita cantidad de números irracionales, pero los típicos, usados frecuentemente, son:
...718281.2=e ...1415926.3=π ...41421356.12 = etc.
PREGUNTA: Los números 2π ,
22 , 2e ¿SON RACIONALES O IRRACIONALES? ¿POR QUÉ?
5.2.3 REPRESENTACIÓN
Los números reales se pueden representar sobre la RECTA
NUMÉRICA.
Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir que, a los otros números reales no se los pueda ubicar sobre la recta numérica, es cuestión de observarlos como decimales.
Ejercicio Propuesto 5.2 Ubique en la recta numérica los siguientes números: a) 14.3
b) 54
c) 67
d) 1.2−
e) 43−
f) 49−
5.2.4 RELACIÓN DE ORDEN
En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que quedan a la derecha serán mayores que este número.
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Esquemáticamente sería:
Se puede decir que nm > ó lo que es lo mismo que mn < .
Además, todos los números que están a la izquierda de m son menores que éste, y los que están a la derecha son mayores.
Ejercicios Propuestos 5.3 1. Si IR=Re el conjunto de los números Reales; Q es el conjunto de los números Racionales; I es el
conjunto de números irracionales; Z es el conjunto de los números enteros, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA: a) IIIR =∩ b) IRIZQ =∪∪ )( c) φ=∩ IQ d) ZIIR =− e) QQZI =∪∩ )(
2. Si se consideran los siguientes conjuntos de números:
N : Naturales IR : Reales Z : Enteros I : Irracionales Q : Racionales Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela. a) IRQN ⊆∪ )( b) IRQI =∩ c) QZ ⊆ d) ZN ⊆ e) )( IQN ∪⊆
3. Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?:
a) φ=∩ IQ b) QNQ =∪ c) IRIN C =∩ )( d) IRIQIR ∩=− e) QNQ =−
4. Dados N = números naturales, Z = números enteros, Q = números racionales, I = números irracionales y IR = números reales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA:
a) IRN ⊂ b) φ=∩ IQ c) IRIN ⊂∪ )( d) )( IQIR ∪= e) IRIZN ⊂⊂⊂
5. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) 24 −= siempre que π−2 es un número racional.
b) 35
105 =
+ ó ( ) 215 −− es un número negativo.
c) El número ee)2( es racional.
d) Si 1 es irracional, entonces 413 −=− . e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.
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5.2.5 OPERACIONES
Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros números reales. Existen las operaciones convencionales como son la ADICIÓN y la MULTIPLICACIÓN (RESTA Y DIVISIÓN)
5.2.5.1 ADICIÓN
Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de estos números se la denota como ba + y cumple con las siguientes PROPIEDADES:
1. abba +=+ , CONMUTATIVA 2. cbacba ++=++ )()( , ASOCIATIVA 3. aa =+ 0 , donde 0 es llamado “IDÉNTICO ADITIVO” 4. 0)( =−+ aa , donde a− es llamado “INVERSO ADITIVO DE
a ”
La operación RESTA ba − se la considera como una suma de a con el inverso aditivo de b , es decir: ( )ba −+ .
5.2.5.2 MULTIPLICACIÓN
Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de estos números se la denota como ba ⋅ y cumple con las siguientes PROPIEDADES:
1. abba ⋅=⋅ ; CONMUTATIVA 2. cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()( ; ASOCIATIVA 3. aa =⋅1 donde 1es llamado “IDÉNTICO MULTIPLICATIVO”
4. 1)1( =⋅a
a donde a1 es llamado “INVERSO MULTIPLICATIVO DE a ” ( 0≠a )
La operación DIVISIÓN ba ÷ se la considera como una multiplicación de a con el inverso multiplicativo de b , es decir:
⋅
ba 1 , donde 0≠b .
NOTA: La división entre cero no se define.
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5.2.5.3 OPERACIONES BINARIAS Además de las operaciones anteriores, se pueden definir otras,
ya no convencionales, sobre los números reales o sobre cualquier otro conjunto.
Sea S un conjunto cualquiera y sea SbSa ∈∧∈ . Suponga que se define la operación
“∗”. Esta operación será BINARIA si y sólo si al par ( )ba, le asignamos un único elemento de S , es decir el resultado de ( )ba ∗ debe ser un
elemento de S . Simbólicamente:
( ) babaSSS∗
×∗
,:""
Ejemplo 1 Sea el conjunto IRS = y “ ∗ ” una operación definida de la siguiente manera:
baba 2+=∗ . Es decir que si 2=a y 3=b , entonces ( ) 832232 =+=∗ en otro caso, si 3−=a y 4=b , entonces ( ) ( ) 542343 =+−=∗− . En fin, se podría establecer la correspondencia para cualesquiera dos elementos de S ,
no necesariamente diferentes. Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por tanto ésta es una operación binaria.
Ejemplo 2
En cambio , si tomamos al conjunto += IRS y “ ∗ ” la operación definida de la siguiente manera: baba 2−=∗ .
NO ES BINARIA, porque si 2=a y 4=b entonces +∉−=−=∗ R6)4(2242
Aunque no lo hemos mencionado, porque no era necesario, pero en el conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de disyunción y conjunción son ejemplos de operaciones binarias.
También lo serían las operaciones de Unión e Intersección sobre el Conjunto de todos los conjuntos.
Una operación Binaria podría cumplir con las
siguientes propiedades:
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1. CONMUTATIVA si, [ ]abbaSbSa ∗=∗∈∀∈∀ ,
2. ASOCIATIVA si, ( ) ( )[ ]cbacbaScSbSa ∗∗=∗∗∈∀∈∀∈∀ ,,
3. PROPIEDAD DEL NEUTRO si, [ ]anaSaSn =∗∈∀∈∃ , , n es llamado el elemento
neutro, idéntico o nulo. 4. PROPIEDAD DEL INVERSO si
[ ]nIaSISa =∗∈∃∈∀ , , I es llamado el inverso de
a . Ejemplo 3
La operación binaria baba 2+=∗ definida sobre IRS = . 1. NO ES CONMUTATIVA, porque baabab ∗≠+=∗ 2
2. TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque ( ) ( )
cbacbacba22
2++=∗+=∗∗
es diferente a ( ) ( )
( )cbacba
cbacba
4222
2
++=++=
+∗=∗∗
3. EL NEUTRO sería: ???????
4. El INVERSO sería: ???????
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio Resuelto 1
Si “ ∗ ” es una operación binaria definida sobre Z de la manera abbaba 222 −+=∗ , identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?:
a) ( ) 6352 =∗∗ b) La operación “∗ ” es asociativa c) 010 =∗ d) La operación “∗ ” es conmutativa e) 6252 ∗≥∗
SOLUCIÓN:
a) Calculemos
( ) ( )( )( )( )
( )( )36
39239
39352252352
22
22
=−+=
∗=∗−+=∗∗
más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.
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Entonces es FALSO que: a) ∆∗Ο∗Π=∆∗Ο∗Π )()( b) El neutro de la operación es Π c) ∆=Ο∗Ο∗Π )( d) Ο=∆∗Ο∗Π )( e) La operación es conmutativa
b) Para que la operación sea asociativa debe cumplir ( ) ( )cbacba ∗∗=∗∗ , entonces hallemos
( ) ( )( ) ( )cabbacabba
cabbacba
222
2222222
22
−+−+−+=
∗−+=∗∗
y ( ) ( )
( ) ( )bccbabccba
bccbacba
222
2222222
22
−+−−++=
−+∗=∗∗
los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.
c) ( )( ) 11021010 22 =−+=∗ mas no 0 como se indica, por tanto esta opción también FALSA
d) Para que la operación sea conmutativa debe cumplir que abba ∗=∗ , entonces
como abbaba 222 −+=∗ y como baabab 222 −+=∗ la operación si es conmutativa, por tanto esta es la opción VERDADERA .
e) Es FALSA ¿POR QUÉ?
Ejercicio Resuelto 2 Sea { }ΠΟ∆= ,,S un conjunto sobre el que se define una operación binaria “∗ ” representada en el siguiente cuadro: SOLUCIÓN: Analicemos cada opción:
a) De acuerdo al cuadro ( ) ( ) Π=Π∗Π=∆∗Ο∗Π y como ( ) ( ) Π=∆∗Ο=∆∗Ο∗Π , por lo tanto esta opción es VERDADERA.
b) De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto S con Π se obtiene los mismos elementos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es VERDADERA.
c) ( ) ( ) ∆=∆∗Π=Ο∗Ο∗Π Esta opción también es VERDADERA.
d) ( ) ( ) Π=Π∗Π=∆∗Ο∗Π que es diferente de Ο , por tanto esta es la opción FALSA.
e) Es VERDADERA ¿POR QUÉ?
Ejercicios Propuestos 5.4
1. Sea la siguiente operación: ZZZ →×:* , tal que yxyx += 2* Entonces es VERDAD que: a) ∗ no es una operación binaria. b) )20(12)01( ∗∗=∗∗ c) La operación es conmutativa. d) La operación es asociativa. e) 00)12( =∗∗
2. Sea { }cbaS ,,= ; sobre este conjunto se define la operación binaria " ∆ " por medio de la tabla:
∆ a b c a b a a b b c b c a b c
Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA: a) caa =∆ )( b) La operación binaria “ ∆ ” es conmutativa c) [ ]acbaa ∆∆=∆ )()( d) [ ]ccbbb ∆∆=∆ )()( e) [ ] )()()( bccaba ∆≠∆∆∆
∗ ∆ Ο Π ∆ Ο Π ∆ Ο Π ∆ Ο Π ∆ Ο Π
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5.2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros números. Combinando las operaciones para diversos números puede ser necesario expresarlas para luego obtener su resultado.
Ejemplo 1
341
54
31
+−
−
Sin embargo en ocasiones pueden aparecer además letras y no sólo números. Estamos ante la presencia de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Debemos precisar que una expresión algebraica simple está compuesta por:
Término
LiteralParteeCoeficient
bca 323
Existen expresiones algebraicas compuestas por:
Sólo un término, se llaman MONOMIOS.
Dos términos, se llaman BINOMIOS.
Tres términos, se llaman TRINOMIOS.
Más de un término ó también n términos, se llaman POLINOMIOS.
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5.2.6.1 FRACCIONES
Ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos definiciones sobre las fracciones algebraicas.
Una fracción está compuesta por: rDenominadoNumerador
BA→
5.2.6.1.1 Operaciones
Usted puede realizar las siguientes operaciones con las fracciones:
1. SUMA: BD
CBADDC
BA +
=+
2. MULTIPLICACIÓN: BDAC
DC
BA
=
3. DIVISIÓN: BCAD
CD
BA
DCBA
=
=
No olvide que la división entre cero no está definida.
Con estas operaciones, en ocasiones es necesario reducir una expresión algebraica a la mínima expresión.
Ejemplo 1
Si IRx∈ ( )0=∧¬ x ( )1=∧¬ x , la siguiente expresión algebraica:
x11
11
11
11
−−
−−
se REDUCE a: a) ( )1−xx b) ( ) xx /1− c) x d) x/1 e) ( )x11+
SOLUCIÓN: el objetivo es reducir la expresión dada a la más simple posible, para lo cual deberá ir realizándose las operaciones desde la más interna hasta la externa:
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xx
xx
xxxx
xx
xx
x111
1111
11
11
11
1111
11
11
11
11
111
11
11
11
11
11
11
−=−=
−+−=
−−
−−=
−−−
−−=
−−
−−=
−−
−−=
−−
−−
Por tanto la RESPUESTA es la opción “b”.
Ejercicios Propuestos 5.5
1. Si se simplifica la expresión
21
1
1
x
xx
x−
+
se obtiene:
a) 1 b) x c) x1 d)
21
x e) 2xx −
2. Al simplificar la expresión algebraica:
1
1
+−
+−
vu
ww
vu
uu
se obtiene:
a)wu b)
uv c )
vu d)
wv e) 1
3. Al SIMPLIFICAR:
12
22
12
+−
−
+−+
−
xxx
xx
x
se obtiene: a) 58 +x b) x4 c) 15 −x d) 23 +x e) 1−x
4. Al SIMPLIFICAR la expresión: 1
111
111
1
+
++
−++
−
++
+++
abaab
aba
abaab
aba
se obtiene: a) )1()(
++
abba b) a c) ba − d)
a1 e) 1
5. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:
xx
xx
xx
−−
+
+−
−−+
11
11
11
11
, se obtiene:
a) 1 b) x+1 c) x−1 d) 2− e) 2
6. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )x
xx
x
x
x−
−+
÷−
−1111
1 Se obtiene:
( )( )( )( )
( )( )
( )( ) 2)2
12)
212)
122)
212)
−−−
−++−
+−
xex
xxd
xxxc
xxxb
xxxa
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5.2.6.2 EXPONENTES
Existen expresiones algebraicas que poseen exponentes:
vecesn
n aaaaa .....= donde ≡a base y ≡n exponente
Entonces para simplificar estas expresiones habrá que hacer uso de las leyes de los exponentes, es decir:
1. mnmn aaa +=.
2. mnm
na
aa −=
3. ( )nnn abba =
4. n
n
n
ba
ba
=
5. ( ) nmmn aa =
5.2.6.2.1 Radicales (Exponentes Fraccionarios)
Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los radicales.
nn aa =1
donde 0≥a cuando n es par.
Entonces: ( )mnn mnm
aaa ==
La utilidad de esto último observamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Queremos calcular 3 535
88 = , entonces es mejor observarlo como ( ) 3228 553 == .
Bien, analicemos los siguientes ejercicios.
Además considere que:
1. 11 −= aa
y
2. 10 =a
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107
Ejercicio Resuelto 1
Si )0( =¬∧∈ aIRa , entonces la expresión:
3
1
3 2
213 2
6
6 5
32
2−
−
+
a
a
aa
a
a
aa
es equivalente a: a) 4 b) a
2 c)a
8 d) a4 e) a2
SOLUCIÓN: Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:
[ ][ ]4
22
2
2
2
22
1
11
33
66
66
31
32
67
61
65
61
31
32
21
32
61
65
32
21
31
3 2
213 2
6
6 5
32
==
+=
+=
+=
+=
+
−
−−
−−
−
−
−
−
−
−
aa
aaa
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
aa
a
a
aa
a
a
aa
Por tanto la RESPUESTA es la opción “a”.
Ejercicio Resuelto 2
La expresión: mmm
mmmm
323
3
23
1098
6125274
es equivalente a: a) mmm 32 532 b) m2 c) 1 d) m3 e) m5 SOLUCIÓN: Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes, tenemos:
( )( )
1532532
253232532
2532
32532
1098
6125274
334
334
333
2232
326
33
23332
323
3
23
=
=
=
×
×=
mmm
mmm
mmmm
mmmmm
mmm
mmmm
mmm
mmmm
Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”. Ejercicio Resuelto 3
La expresión: 3
75273216
83285
3−
+
−
Se reduce a: a)8
1− b)8
15− c) 82− d) 8
1 e)8
15
SOLUCIÓN:
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108
33533
2642628
332539
2161624328
332539
2161624328
37527
32168328
5
3
5
3
5
3
5
3
−+
−=
−+
−=
×−×+
×
×−=
−+
−
815
281
221
2321
332
26422
3
35
53
−=
−=
−
=
−
=
−+
=
Por lo tanto la respuesta es la opción “b”.
Ejercicios Propuestos 5.6
1. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica:
31
53
31
211
3
27
−
−−
ba
ba
se obtiene: a) 3
ba b) ab3 c) 3b d) 23ba e) 1−b
2. La siguiente expresión: 1−m m abab
es EQUIVALENTE a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 )1)))) −−− mmm mmm m abeab
dabcabbaba
3. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 33 2
3 232
nmnm
nmnmnm se obtiene:
a) 6
5
32
n
m b) 65
41
nm− c) 4
34
1nm
− d)6
54
11
nm e) 6
54
3 −nm
4. Al RESOLVER la siguiente expresión algebraica: 63
334
2
22 27319
21
z
yx
z
yx+
se obtiene:
46
83
3653
65
3653
653
65
xyzz
xyzz
xyzz
xyzz
xyzz
a) b) c)
d) e)
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109
5. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica: ( )0331
11
111
11
11−−
−
−−
−−−
−−
−−++
−
++
−
+ yxxyxy
yxyx
se obtiene:
a) )(
1yx +
b) )(
1yx +
− c) 1)( 1 ++ −yx d) 1 e) 1−
6. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica
1
21
31
3 3
16
27
−
−
−−
ab
baba se obtiene:
a) ba32 b)
ba
32 c)
ba
23 d)
ab
23 e)
ba
23
7. Al SIMPLIFICAR la expresión 2
2152
212
1
1 +
+
−−
−−
+−
−
−x
xx
xxx
, se obtiene:
a) 1+x
x b)1+
−x
x c) 1−x d)x+2
1 e)x−1
1
8. Si se SIMPLIFICA la expresión algebraica:2
−+
−
++
babaab
babbaa se obtiene:
a) 0 b) 1− c) 4 d) 1 e) 4−
9. Si se SIMPLIFICA la expresión:baba
++ −− 11
y el resultado se lo multiplica con la expresión
)24(25 aabaab +−+ , entonces el resultado final es: a) a1 b) ab c) 1 d) ba + e) ab2
10. La expresión: ( )333
2
1624222
52
1
+
−
−
se REDUCE a:
a) 272 b) 9
4 c) 272− d) 9
4− e) 91
Para otros tipos de expresiones algebraicas es necesario emplear el producto notable y la factorización.
5.2.6.3 PRODUCTO NOTABLE
Al realizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguiente:
1. ( )( )
( ) abxbax
abaxbxxbxax
+++=
+++=++2
2
Si ab = tenemos ( )( ) ( ) 222 2 aaxxaxaxax ++=+=++ Observe también que ( ) 222 2 aaxxax +−=−
Moisés Villena Muñoz Números
110
Si ab −= tenemos ( )( ) 22 axaxax −=−+
2. Otros productos notables a considerar son:
( ) 32233 33 axaaxxax −+−=−
( ) 32233 33 axaaxxax +++=+
5.2.6.4 FACTORIZACIÓN En el proceso de simplificar una expresión algebraica, reducirla a la
mínima expresión, es necesario expresarla en factores.
La factorización es el proceso contrario del producto notable.
5.2.6.4.1 Factor Común Cuando existe un factor común en todos los términos de la
expresión.
Ejemplo
( )
( )( )22
22222322232
36
36661866
aabbcabc
cbaacbbaacbbabcacbacab
++=
++=++
5.2.6.4.2 Diferencia de Cuadrados Del producto notable, tenemos que:
( )( )bababa +−=− 22
Ejemplo 1
)3)(3()9( 2 −+=− xxx
Ejemplo 2
)2)(2)(4(5
)4)(4(5
)16(5805
22
2222
4444
yxyxyx
yxyx
yxyx
−++=
−+=
−=−
Moisés Villena Muñoz Números
111
Ejemplo 3
)8)(8()8( 2 −+=− xxx
Ejemplo 4
( ) ( )55)5( −+=− xxx
5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos
DIFERENCIA ( ) ( )2233 )( babababa ++−=−
SUMA ( ) ( )2233 )( babababa +−+=+
Demuestre que es verdad lo anterior.
5.2.6.4.4 Trinomios
De acuerdo al producto notable
( )
qpxx
abxbaxbxaxqp
++=
+++=++
2
2)()(
Observamos que todo trinomio de la forma qpxx ++2 puede ser expresado como el producto ( )( )bxax ++ donde: qbaypba =⋅=+
Ejemplo
Factoricemos el trinomio 652 +− xx .
Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den 5− –5 y multiplicados, 6. Estos números son –3 y –2. Entonces:
( )( )23652 −−=+− xxxx
NOTA: al primer factor le puede asignar el mismo signo del término lineal x , y al segundo factor el resultado de aplicar la ley de los signos, al signo del término lineal con el signo del término independiente.
Moisés Villena Muñoz Números
112
5.2.6.4.4.1 Trinomio General
Un trinomio de forma general qpxmx ++2 puede ser expresado en factores siguiendo el siguiente proceso:
1. Multiplicamos y dividimos para “ m ”
( )
mmqmxpmx
mmqpmxxm
mqpxmxm
++=
++=
++
)()( 2
222
2. Factorizamos el numerador para “ mx ” de la misma forma que el caso anterior.
Ejemplo
)23)(3(
3)23)(93(
318)3(11)3(6113
22
++=/
+/+/=
++=++
xx
xx
xxxx
Moisés Villena Muñoz Números
113
Ejercicio Resuelto 1
Al SIMPLIFICAR la expresión:
++−
÷
+++
−−−
349
2196
9352
2
22
2
2
xxx
xxx
xxx
se obtiene:
a) 13
+−
xx b) ( )( )
3312
−++
xxx c)
3932
−−+
xxx d)
33
−+
xx e) ( )( )
331
−++
xxx
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos suceptibles de factorizar.
( )
)3()1)(3(
)3()1(
)21()3)(3(
)3)(3()12)(3(
)1)(3()3)(3(
)21(3
)3)(3(2
)12)(62(2
−++
=
−+
⋅+
++−++−
=
++−+
÷
++
−+
+−
=
xxx
xx
xxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “e”
Ejercicio Resuelto 2
Al SIMPLIFICAR la expresión:
+−
−÷
−−
−++
−−
3412
6352
231
2
1
2
2
2
xxx
xxxx
xx se obtiene:
a) x
x 1− b) x1 c) x d)
1−xx e) 1−x
SOLUCIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
xx
xxxx
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxx
xx
xxxx
xx
xxx
xxxx
xx
=−−−
•−−
−=
−−−
•
−−−
=
−−−
•
−++−
•+−+
=
−−−
•
+−−+
+−+
=
−−−
+−
−++−+
=
+−
−÷
−−
−++
−=
−
−
−
−
−
1213
3112
1213
1231
1213
12323
213
1213
23123
232
1213.
232
12622
32
3412
6352
231
1
1
12
1
2
1
2
2
2
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”
Moisés Villena Muñoz Números
114
Por otro lado, tenemos:
( ) ( )( )nnnnnnn bbababaababa +++++−=− −−−− ...342321
( ) ( )( )nnnnnnn bbababaababa −+−+−+=+ −−−− ...342321
Sin embargo, factorizar el binomio de una forma u otra depende del ejercicio que se esté resolviendo.
Ejemplo 1 66 yx − puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o
usando la regla general.
Es decir: 1. ( ) ( ) ( )( )3333232366 yxyxyxyx +−=−=−
2. ( ) ( ) ( )( )422422323266 yyxxyxyxyx ++−=−=−
3. ( )( )5432234566 yxyyxyxyxxyxyx +++++−=−
Ejemplo 2
En cambio, 99 yx − puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o usando la regla general. Es decir:
1. ( ) ( ) ( )( )633633333399 yyxxyxyxyx ++−=−=−
2. ( )( )8762534435267899 yxyyxyxyxyxyxyxxyxyx ++++++++−=−
Ejercicio Resuelto
Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )6699
6336yx
yxyyxx
−−
++ se obtiene :
a) 33 yx − b) 22 yx + c) 33 yx + d) 22 yx − e) yx −
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )33
3333633633
6336
23233333
633666
99
6336
yx
yxyxyyxxyx
yyxx
yxyx
yyxxyxyx
yyxx
+=
+−•++−
++=
−
−
++=−
−
++
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”
Moisés Villena Muñoz Números
115
Finalmente, para RACIONALIZAR una fracción, expresar la fracción sin radicales en el denominador, puede hacerse lo siguiente:
Ejemplo 1
Si tenemos una fracción simple, como 2
3 , se puede multiplicar numerador y denominador
por 2 es decir 2
2322
23
=• .
Ejemplo 2 Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de radicales, multiplique tanto al numerador como al denominador por su conjugado (la suma o diferencia de los radicales presentes con
signo contrario). ( ) ( ) 4
535953
53
535353
531
22
+=
−+
=−
+=
+
+•
− conjugado
Ejercicios Propuestos 5.7
1. SIMPLIFICANDO la expresión algebraica ( )
+
−+
−
+− −−
−−
−−
−−
11
11
11
1122
yxyx
yxyxxy se obtiene:
a) 22 yx + b) 22 xy − c) xy2 d) 22 yx − e) ( )222 yx +
2. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )( )bababa
abbaa
+−−
++− 33122
223 se obtiene:
a) ( )2ba + b) b c) a d) ( )2ba − e) ( )ba −
3. Al SIMPLIFICAR la expresión:
( )( )
( )22
24
2
3
2
22
3
9
3327
93
aa
aa
aaa
aaa
+
−
−+
−
−
−
se obtiene:
a) ( )( )a
aa+−
332
b) 23 3aa − c) ( )( )a
aa++
332
d) 23 3aa + e) 23a
a+
4. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )
12
243
162
2
2
+−
−
+−+
−−−
xxx
xx
xxx
Se obtiene:
a) x b) 12
−−
xx c)
43 cuando 2=x d)
xx
+−
25 e) 2 cuando 1=x
Moisés Villena Muñoz Números
116
5. Al simplificar: ( )[ ]( )
−
+−+
+−
++−
2222
2
1
xa
xaxa
xaaa
xaxxa
se obtiene:
a) xa + b) 1−+ xa c) ( )xa − d) ax − e) ( ) 1−− xa
6. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica
35
15
34
23 2
−+
−
+−−
−
xx
xxxx
se obtiene:
a) 2 b) 10 c)10
1+x d) ( )110 +x e) ( )1+x
7. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 4
234
1 xxxxx
−
−+− se obtiene:
a) x b) 1+x c) 1+x
x d) 1+
−x
x e) 1−x
x
8. Al SIMPLIFICAR la expresión: 66
4224
8
42
ba
bbaa
+
+− se obtiene:
a) ( )22 2ba − b) ( )22 2ba + c) 22 21
ba + d)
( )222 2
1
ba − e)
( )322 2
1
ba −
9. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión:
−
+−−xa
cbbcd
dcb
xxaaxa 2
35
3223 se obtiene:
a) bcd
xacbxa +−
2 b) cbxa
2− c) 3 xa + d) ( )xabcd + e) ( ) 2
1xa +
10. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 2
2
2
2
2
22
12
11
22
++
+
−
−−
+
aa
aa
baba
se obtiene:
a) a b) b c) ab d) ba e)
ab
11. Al SIMPLIFICAR la expresión
444
55376
23
2
−+−+
−+−−+
yxxyyxyx
yxxyyxyyx
se obtiene:
a) 376
52
23
−+
+
xxxx b) ( )( )1332 −+ xx c) ( )( )
( )51332
2 +
−+
xxxx d) ( )( )
( )51332
2 +
−+
xyxxx e) ( )
3765
2
23
−+
+
xxyxx
12. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) ( )( ) ( )2222
333
42228
xaamxmaxmaxmaxam−+−+
++− se obtiene:
a) axm 2+ b) a c) 38a d) 2a e) ( ) 12 −+ axm
13. SIMPLIFICANDO ( )( ) xyxxyxyyxyx
+−
−−22
3223
42 se obtiene:
a)yx
x+
b)yx
y2+
− c)yx
x2
2+
d)yx
y+
−2 e)
yxx−
14. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica 22
3223
462
22
baba
babbaa
++
−−+ se obtiene:
Moisés Villena Muñoz Números
117
a) 2
ba + b)2
ab − c)22ba − d)
22ba + e)
2ba −
15. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO es identidad?
a) ( ) ( ) ( )xyyyxxyx 33 223 +++=+
b) ( )( )yxyxyx +−=− 22
c) ( ) ( ) ( )bababa +−=−
d) ( ) ( )2224 2 yxyxyx ++=+
e) ( ) ( )yxyxyx +−=− 222
16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) ( ) ( ) ( )22 244 yxyxyx −+=−++−
b) ( )( )122326 2 +−=−− xxxx
c) ( )( )xxxx −+=−− 4520 2
d) 2
231
91
+=+ xx
e) ( ) ( )( )12233 +++−=−+− yxyxyxyxyx
17. Al SIMPLIFICAR : 3535
3535
−+
++− Se obtiene:
a) 5 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 18. Indicar ¿cual de las siguientes igualdades es FALSA?
( ) ( ) ( )( )1443)
3213
212
1)
1)
4228)
453
531)
2
2
3 2
3
22
33
−+++=−+++
+=+
+−
−
+=
−
+−
+=+
+=
−
qpqpqpqpe
d
baba
bac
xx
xx
xxb
a
19. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) 0;22211 ≠−+−=−+−
xyxyx
b) 10;11
31
4≠∧≥+=
−+
−− xxx
xxx
c) 00;222≠∧≠+=
+yx
yxyx
d)65
2 54
3 48 >
e) 0;11 ≠=+− xxx
20. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) x
yxy
yxx
yxx
yxy
=
−−
+
−−
+
b) 454 0123
=−+ − xxx , si 4=x
Moisés Villena Muñoz Números
118
c) ( ) 2
322222
2
20=
−
−−
−
d) 242
1
53
1
45
1625 −
−−
−=
yx
yxxy
e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
21. Al SIMPLIFICAR la expresión 3223
3223
22
33
22 yxyxxyyxyx
yxyxyx
−
+−÷
−+
+ se obtiene:
a) 22 yx b) 1 c) yx + d)xy1
e) xy
22. En la expresión algebraica 1
12
325
−
+−−
xxxx . Si se reemplaza a " x " por un número entero mayor que 1
entonces se obtiene como resultado: a) Un número entero positivo. b) Un número fraccionario menor que 1 . c) Un número fraccionario menor que 1− . d) Un número entero negativo. e) El número cero.
Misceláneos
1. Sea el conjunto { }?,,, ∗Ο∆=S . Y la operación binaria “ ⊕ ” en tal que
Entonces es FALSO, que: a) La operación es conmutativa. b) El elemento neutro de la operación es “?” c) ∗⊕∗=Ο⊕∆ d) ( ) Ο=⊕⊕Ο ?? e) ( ) ( )Ο⊕∆⊕∗=Ο⊕∆⊕∗
2. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si RIQ =∩ entonces Z∈2 b) ZQ ⊆ o RN ⊆ c) IN ⊆ y QZ ⊆ d) Si ZN ⊆ entonces RQ ⊆ e) ( ) ( )[ ]ZZNRIQ =∪∧=∪
3. Al SIMPLIFICAR xxxxx
+++−+−−
1111
; se obtiene:
a) 12 +x b) 12 −x c) xx +2 d) xx −2 e)x
x 12 −
⊕ ∆ Ο ∗ ?
∆ ∆ ∗ Ο ∆ Ο ∗ Ο ∆ Ο ∗ Ο ∆ ∗ ∗ ? ∆ Ο ∗ ?
Moisés Villena Muñoz Números
119
4. Si se SIMPLIFICA
12123
12
11
+−
−−
−
aa
, se obtiene:
a) 36
7++
aa b)
7632
+−
−aa c)
732 +a d)
7632
++
aa e) a2
5. Una EXPRESIÓN EQUIVALENTE para 33 43
1+
, es:
a) 7
2129 33 −+ b)7
22129 33 −− c)2
1
21
21
7
129 −
d)7
22129 333 +− e)2
1
21
21
7
129 +
6. Al SIMPLIFICAR xx
x
xxxxxx
−+
⋅−
⋅
−
−−+
+−
33
81
649
8765
2
2
2
2
, se obtiene:
a) 34
22 +−
−
xxx b)
12
−−
−xx c) ( )( )
( )( )xxxx
+−−−
−3182 d)
21
+−
xx e) ( )( )
182−
−−x
xx
7. El RESULTADO de simplificar 642
642
222222
−−−
+++
++++
nnn
nnn, es:
a) 512 b)256 c)260 d)181 e)502
8. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )x
xx
xx
xxx
21
1
−−
+
, es:
a) x b) 1−x c) 1−xx d) xx e) 1+xx
9. Sea el conjunto { }3,2,1=S . y sea “ ⊕ ” una operación en S, definida por la siguiente tabla:
Entonces es VERDAD que: a) La operación ⊕ no es binaria. b) La operación es conmutativa. c) ( )[ ] S∉⊕⊕ 132 . d) La operación ⊕ tiene el elemento neutro. e) ( )[ ] 2321 =⊕⊕
10. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) ZIN ∈∧∈ 22
b) O bien Z∈0 o bien IR∈0
c) Si I∈π , entonces Q∉43
d) ( ) ZQ ∈+∨∈ 23...2323.0
e) IQ ∉π
∧∈2
5.0
⊕ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1
Moisés Villena Muñoz Números
120
11. Al REDUCIR la expresión: 812
23227210
16.03
−
+−+ se obtiene:
a) 64 23+ b)
223 + c)
323 − d)
2683 + e) 223 +
12. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )
+−
+
−−+
bababa
aba
baba
22 2
se obtiene:
a) 2bab + b) ( )baabab
−+ 22 c)1 d)0 e) ba +22
13. Al SIMPLIFICAR la expresión nn
ma
nm 122 −+
− se obtiene:
a) 1 b)m-n c) anm
−
11 d) nm
na−
+
11 e) ( )naam +−
14. Al SIMPLIFICAR
xx11
31
1
11
11
3
−+−
+
++
se obtiene:
a) x b)2 c) 2−x d) x− e)x2
15. Sea la expresión 3561177 22 −+− xyyx . Si 32
1−
=x y 32
1+
=y , entonces la expresión
tiene un VALOR numérico igual a: a) 11 b)10 c)9 d)12 e)13
16. Al SIMPLIFICAR la expresión :( )( )
( )( )yxxxxy
xyx
yxyxx
+++÷
−×
−
−−
932749
23
3
3
32
22
2 . Se obtiene:
a) ( )yxx −34 b)yx
x−
34 c)1 d) yx + e) ( )34 3 +xx
17. Sean los conjuntos R = Números Reales Q = Números Racionales I = Números Irracionales Z = Números Enteros N = Números Naturales Entonces una de la siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) ( ) RZN ⊂∩ b) NQR =− c) IZQ ⊆∪ d) RQI =∩ e) ( )NQZ ∩⊆
18. Al SIMPLIFICAR la expresión mnm
mnmn 2
se obtiene:
a) 8 m b) nm8 c)nm8
d)8 3m
n e) 3 m
19. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )( )( )( )3
32123
232
−−
−−−
xxxxxxx
se obtiene:
a) ( )( )112 2 ++− xxxx b) ( )12 2 ++ xxx c) ( )22 −xx
Moisés Villena Muñoz Números
121
d) ( )( )1
212 2
+−++
xxxxx e) ( )( )122 2 +++ xxxx
20. Al SIMPLIFICAR la expresión
1
4
234
11
1
−
−−
−
−+−xx
xxxx se obtiene:
a) x b)x
x 1+− c)
1
2
+−
xxx d)
1+−
xx e) 1−−x
21. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )[ ]1431612
4332 2
234
2
22 −
−+
+++
−+
+−
−
− xxxxx
xxxx
xxx
x se obtiene:
a) 4 b)2 c)1
1−x
d) 12 −x e) 1−x
22. Al SIMPLIFICAR la expresión
12123
12
11
+−
−−
−
xx
se obtiene:
a) 2212
++
xx b)
321 x+ c)1 d)
7632
++
xx e) 12 −x
23. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ( ) 21
11
1−=
−− x
xx
b) 12 −− = aa aa aa
c) 11
11
1−=
++
+ −− pqqp xx
d) nm
nm
nm
nm
yx
xy
xy
yx
yx
+
+=
−
+
−
+
11
11
e) ( ) ( )( )
832
4104
1200000036.0004.0 −×=
24. Al SIMPLIFICAR
+++
−+
+÷
−+
++
+
+1
11
111
11
11
11
xyxxy
xy
x
xy
y
xy
xyy se obtiene:
a) y b) x c) xy d) xy2 e) yx2
25. Al TRANSFORMAR la expresión ( )xyyx 4−+ se obtiene:
a) 414
1yx − b) yx + c) 4
14
1yx − d) 2
141
yx + e) 41
yx + 26. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela:
a) yxyx +=+ , 0,0 >> yx
b) 81
xxxx = , 0>x
Moisés Villena Muñoz Números
122
c) 43 5
8116
158
<
d) 57
5222
721
−−−=−−
e) )54)(43(2012 222 axyaxyaaxyyx +−=−+
27. Al SIMPLIFICAR la expresión
−
+
++÷
+−
−
14
77777
2221
23
2
2
3
xxxx
xxx se obtiene:
a) 2 b) x2 c) 3 d) 12 −x e)2
12 −x
28. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )
( ) 012
212
2
2
xyxxy
yxyx
−+
+−
−−
−−− se obtiene:
a) x b) 1 c)[ ]yxx
yx22 +
+ d)
[ ]yxxyx22 +
− e) ( )2xy −
29. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) I∈π2
∨ N∈0 b) φ∪=− IQR c) Qee∈
2
d) ( ) Q∈π 22 e)Si I∈1 entonces −3 = 1−4
30. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( ) 44
4
494144
712128
89248
+−+
+− se obtiene:
a) 7
1421 + b)27 c)
71421 − d)
727 − e)
321−
31. Sean ba, y c números reales para los cuales se define la expresiónc
bax += , entonces es FALSO, que.
a) bxca −= 22 b) axcb −= 22 c) 222442 axacxcb +−=
d) ( )xbac
21
+= e)
22
cbax +
=
32. Al SIMPLIFICAR la expresión 3 3 323232 bababa se obtiene:
a) 35
910
ba b) 53
109
ba c) 910
25
ba d) 21
31
ba e) 31
21
ba
33. Si se SIMPLIFICA 12
32
31
29
2250
+−
−− se obtendrá:
a) 3 b) 2 c)23 d)
32 e)
21
34. Al SIMPLIFICAR la expresión
22
23
22
2
2
323523
yxyxyxx
yxyxxyx
xy
+−
−÷
−+
+ tenemos:
Moisés Villena Muñoz Números
123
a) 2y b) x c)xy d)
xy2
e)2
2
xy
35. Al SIMPLIFICAR la expresión
−
+÷
++−
xxpapa
ppp
44
222 2
22 se obtiene:
a) 1 b) 2−p c) 2+p d) pax e)
apx )2( −
36. Al SIMPLIFICAR la expresión
( ) ( )( )
( )ppp
ppp
p
323
3
23
1098
6125274
, IRp∈ y MULTIPLICARLA por
3481415 2
+−+
ppp , se obtiene como resultado:
a) p25− b) 34 +p c) ( )21 p+ d) ( )21 p− e) p 37. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) )2()2(6 224422448448 yxyxyxyxyyxx +−−−=+−
b) )56()4(20196 2 −+=−+ xxxx
c)
−
−=+−
31
31
91
322 xxxx
d) ( ) ( )518151318 2 +−=−− aaaa
e) ( )( )22224224 322322984 bababababbaa +−++=++
38. Sea la operación +++ Ζ→Ζ×Ζ:* , tal que: 22* yxyx += , entonces es VERDAD que: a) * no es una operación binaria. b) ( ) 1694*)2*3( = c) La operación no es Conmutativa. d) ( ) 251*2*1 = e) 2)1*1( =
39. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ( )( )31
31
91
322 −−=+− xxxx
b) ( )( )56420196 −+=−+ xxxx
c) 10
422422
1 33
3+−
=+
d) 2
1262
85243 −=
−+
e) 2525
3−=
+
40. Al SIMPLIFICAR la expresión
−+
−
−
−+
−
−−
−
−−
−−
2
22
2
22
44
11
1111
yyx
xyxyx se obtiene:
a) 2
2222
yyxyx ++ b) 24y c)
2
2222
xyxyx ++−
Moisés Villena Muñoz Números
124
b) 22b e) 2
2222
xyxyx ++
41. Al SIMPLIFICAR la expresión
2
21
31
212
1
39
−
−
÷
b
annb
amse obtiene:
a) 21
ma b) m c) 21
a d) ma + e) 67
ma
42. Al SIMPLIFICAR la expresión 22
33
22
11 yxyx
yx
yyxx
−
+÷
−
+−
se obtiene:
a) yx + b) x c) yx − d) 22 yx + e) x−
43. Al SIMPLIFICAR la expresión:
22
2
22
2
61176613
3332
yxyxxyx
aayaxyx
yxx
yxx
+−
−
−−−
+−
−−+
se obtiene:
a) ( )a
yx +−
2 b) ( )a
yx −−
2 c) ( )a
yx2− d) ( )
ayx
2+ e) yx 22 −
44. Al REDUCIR la expresión: 1
2
3
4
−xxxx
se obtiene:
a) 81−x b) 2
1−x c) 8−x d) 41−x e) 8
1x
45. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:
yxyx
yxy
xyx
yxyx
−−
+−
+−
−+
42
2
se obtiene:
a) 1 b) 2
24x
yxy − c) yx + d) yx − e) ( )
214
xxy −
46. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica )1(11
2
3+−
−
− xxx se obtiene:
a) x
x 1+− b) x c) 1 d)
1+−
xx e) 1−
47. Al simplificar la expresión 1
222222 657
344
232
−
+−
−−
+−
+−
+−
+
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
se obtiene:
a) yxyx
3−− b) ( )( )yxyx
y3−−
c) ( )( )y
yxyx 3−−
d) y
yx − e)y
yx 3−
48. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )( )( )( )
−−
++−
++− yxyxyxyxyxyxyx2222
2233 2 . Se obtiene:
a) 0 b) yx + c) xy d) 1 e) 1−+ yx
Moisés Villena Muñoz Números
125
49. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) dc
ba= si bcad = ; +∈ IRdb,
b) Si ba = y IRc∈ entonces bcac = ; IRba ∈,
c) nn
ab
ba
=
−
; INnIRba ∈∈ + ,,
d) bd
bcaddc
ba +
=+ ; +∈ IRdb,
e) Si ba > y IRc∈ entonces bcac > ; +∈ IRba,
50. Al RESOLVER
411
11
11
1
211
11
11
11
1
−−
−×
++
++
se obtiene:
a) 1 b)132 c)
213 d)
513 e)
135
51. Al SIMPLIFICAR 22
22
22
22
2
2 22 xyyx
yxyxyxyx
yxyxyxyx
+
+−÷
++
−÷
+
− se obtiene:
a) )(2 yxx − b)( )
( )22
yxyxx
−
+ c)
( ))(2
2
yxxyx−
+ d) ( )2yxx − e)
yxyxy
−+ )(2
52. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )2
3223
bababbaa
+
−−+ se obtiene:
a) a b) ba + c) b d)baba
+− e) ba −
53. Si se SIMPLIFICA la expresión ( )
2
22
11
53
20
427
227
−
−−
−
−
yxyx
yxyx se obtiene:
a) 3
23
xy b)
3
3
227
xy c)
3
3
xy d)
3
3
2xy e)
3
327x
y
54. Si se define la operación binaria 22* bababa ++= en el conjunto de los números naturales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a) abba ** = b) 766*4 = c) ( ) 41*11 =+ d) aa ≠0* e) La operación binaria * es asociativa.
55. Al SIMPLIFICAR la expresión: 22
33
33
223
2222
yxyxyx
xyyxxyyxx
++
+÷
−
+− se obtiene:
a) ( )yxy − b) 2 c)yx −
2 d)y2 e) ( )yxy −
2