Formulación clásica

Formulación del ProblemaConsiste en distribuír cualquier producto

desde un grupo de Centros de Producción llamados orígenes a un grupo de centros de recepción llamados destinos de manera que conocidos la cantidad de que se dispone en cada origen y la cantidad demandada en cada destino así como el costo unitario de transporte se satisfaga la demanda con el costo total mínimo

Planteamiento del ProblemaExisten m orígenes y se supone que en cada origen

hay a(i) unidades disponibles o almacenados de determinado producto i=1,2, …, m. Existen también n destinos y cada uno requiere b(j) unidades de éste producto j=1,2, …, n. Los a(i) se llaman exigencias por fila y los b(j) exigencias por columna. Estas exigencias son positivas.

El costo de transporte unitario del producto desde el origen i hasta el destino j es c(i,j)

Destinos, orígenes y costos 1 2 . . . n1 c(1,1) c(1,2) . . . c(1,n) a(1)2 c(2,1) c(2,2) . . . c(2,n) a(2)………………………………………………..………………………………………………..m c(m,1) c(m,2) . . . c(m,n) a(m) b(1) b(2) . . . B(n)

Si ∑a(i) = ∑b(j)Una solución al programa de transporte

queda definido por un conjunto m*n números x(i,j)

Siendox(i,j) = número de unidades a enviar del

origen i al destino j

La matriz X es x(1,1) x(1,2) . . . x(1,n) x(2,1) x(2,2) . . . x(2,n) …………………………………..………………………………….. x(m,1) x(m,2) . . . x(m,n)

Dado que no hay envíos negativos.x(i,j) ≥ 0

Formulación Mat del PTMin z = ∑∑c(i,j)*x(i,j)Sujeto a las siguientes restricciones

∑x(i,j) = a(i), j=1, …, n

∑x(i,j) = b(j), i=1, …, m∑a(i) = ∑b(j)

Soluciones básicasSolución factible básica no degenerada, es

una solución factible básica con m+n-1 variables básicas (positivas)

Solución factible básica degenerada, es una solución factible básica con menos de m+n-1 variables básicas

Métodos Para hallar una solución básica factibleMétdo de la esquina noroesteMétodo de la matriz mínimaMétodo de VogelMétodo de Russell

Ejemplo 6.1. M.Esquina N-OUna Compañía tiene fábricas A,B,C los cuales

proveen a los almacenes D,E,F, G. Las capacidades mensuales de las fábricas son 70,90 y 115 respectivamente; los almacenes tienen capacidades 50, 60, 70 y 95. Encuentre una solución básica inicial utilizando el método de la esquina Noroeste.

Tabla de costos y capacidades D E F G a(i)----------------------------------A 17 20 13 12 70B 15 21 26 25 90C 15 14 15 17 115----------------------------------b(i) 50 60 70 95

procedimientoX(1,1)=min{a1, b1]=min{70, 50]=50 /a1=a1-b1=70-50=20X(1,2)=min{a1,b2]=min{20,60]=20 /b2=b2-a1=60-20=40X(2,2)=min{a2,b2]=min{90,40]=40 /a2=a2-b2=90-40=50X(2,3)=min{a2,b3]=min{50,70]=50 /b3=b3-a2=70-50=20X(3,3)=min{a3,b3]=min{115,20]=20 /a3=a3-b3=115-20=95X(3,4)=min{a3,b4]=min{95,95]=95 /

La solución básicaX11=50x12=20X22=40X23=50X33=20X34=95Las otras variables asumen el valor ceroCost=17*50+20*20+21*40+26*50++15*20+17*Costo=5305 soles

Método de Matriz mínimaLa clave es iniciar con la celda cuyo costo

es el mínimo de todos los que integran la matriz, el cual nos da la primera componente de la solución básica inicial y luego se procede como en el caso anterior

Se elimina la fila o columna que corresponda al menor valor, luego se escoge el mínimo de la matriz restante que permite identificar la segunda componente de la solución básica inicial.

Método de Matriz mínima D E F G a(i)----------------------------------A 17 20 13 12 70B 15 21 26 25 90C 15 14 15 17 115----------------------------------b(j) 50 60 70 95

El costo mínimo es c(1,4)=12X(1,4)=min{a1,b4]=min{70,95]=70b4=b4-a1=95-70=25, se elimina fila 1El costo mínimo de la matriz remanente esC(3,2)=14B 15 21 26 25 90C 15 14 15 17 115----------------------------------b(j) 50 60 70 25X(3,2)=min{115,60]=60 /a3=a3-b2=115-60=55, se elimina colum 2

Matriz remanente esB 15 26 25 90C 15 15 17 55----------------------------------b(j) 50 70 25Escogemos el mínimo c(3,3)=15X(3,3)=mín{a3,b3]=min{55,70]=55 /b3=b3-a3=70-55=15, se elimina fila 3

Matriz remanente es

B 15 26 25 90

----------------------------------b(j) 50 15 25Cuyo costo mínimos es c(2,1)=15X(2,1)=min{a2,b1]=min{90,50]=50 /a2=a2-b1=90-50=40, se elimin columna 1

La matriz remanente es B 26 25 40

----------------------------------b(j) 15 25Costo mínimo c(2,4)=25X(2,4)=min{a2,b2]=min{40,25]=25 /a2=a2-b4=40-25=15, elimina columna 4X(2,3)=min{40,15]=15 /

Costo C de la sol. básica inicialC=12*70+15*50+16*15++25*25+

+14*60+15*55 =

Costo= 4270

Método de VogelEs mejor que los anteriores D1 D2 D3 D4 a(i)----------------------------------O1 17 20 13 12 70O2 15 21 26 25 90O3 15 14 15 17 115----------------------------------b(i) 50 60 70 95Se inicia con la medición de costos menores en

filas y c

Penalidades D1 D2 D3 D4 a(i) P2----------------------------------O1 17 20 13 12 70 1O2 15 21 26 25 90 6O3 15 14 15 17 115 1----------------------------------b(i) 50 60 70 95P1 0 6 2 5Elegimos colum 2 que tiene el menor costo 14

Base X32 = min{115, 60} = 60a3=a3-b2=115 – 60 = 55Se elimina columna 2 y se determina nuevas

penalidad D1 D2 D3 D4 a(i)----------------------------------O1 17 20 13 12 70 1O2 15 21 26 25 90 10 O3 15 14 15 17 115 0 ----------------------------------b(i) 50 60 70 95 0 2 5

10 es la mayor penalidad y está en la fila 2, en el que el menor costo es 15, introducimos a basX21 = min {90, 50} = 50a2 = a2 –b1 = 90 – 50 = 40Se elimina columna 1, las nuevas penalidades

son D1 D2 D3 D4 a(i)----------------------------------O1 13 12 70 1O2 26 25 90 1O3 15 17 115 2b(i) 50 60 70 95 2 5

X14 = min {a1, b4} = min{70, 95 } = 70b4= b4 –a1 = 25 D1 D2 D3 D4 a(i)----------------------------------O1 O2 26 25 90 1O3 15 17 115 2b(i) 50 60 70 95 11 8

X33 = min {a3, b3} = min{55, 70} = 55b3= b3 – a3 = 15 D1 D2 D3 D4 a(i)----------------------------------O1 O2 25 90 O3 17 115 b(i) 50 60 70 95 8

X34 = min{a3, b4} = min{55, 25} =25a3=a3 – b4 =30