Post on 07-Feb-2016
2014-I
Análisis de Sensibilidad
Introducción
¿Cómo cambian la solución y la función objetivo cuando los parámetros varían?
Rpta:
Resolver de nuevo el problema Análisis de sensibilidad.
Introducción
Luego de encontrar la solución a un PL; suelen aparecer problemas concernientes con el cambio de la información contenida en el tablero Simplex, tales como : Problemas que envuelven cambios discretos en los
parámetros : A,b,c. Problemas que envuelven cambios continuos en los
parámetros, incluyendo problemas en los que uno o más parámetros son perturbados en alguna dirección.
Problemas que envuelven cambios estructurales: reformular el problema adicionando o eliminando variables y restricciones.
Introducción
El análisis que viene a continuación se basa en la forma estándar de un PL para la maximización: Max z = cx sa :
Ax = b x 0
Donde: A es una matriz de m x n
B-1 es la matriz inversa de la basexB = B-1b es el vector solución.
Cambios en el vector c
El cambio del vector costo c , es fácilmente realizado. Una vez encontrada la solución óptima, se tiene :
¿Qué pasa cuando el costo cj cambia a c’j en una variable no básica?
básicas no variables, 0
básicas variables, 0
j
jj
ccz
jB aBc 1
Cambios en el vector c
Cuando cj corresponde a una básica, se modifica el vector cB ; luego
z’j -c’j = c’BB-1aj - c’j
= c’Bj - c’j ; j = B-1aj
La variable xj que se encuentra en la base tiene la forma de un vector columna :
j = ej y
z’j -c’j = 0 , variables básicas
Cambios en el vector c
Pero el problema se encuentra en las variables no básicas, puesto que son afectadas por la expresión: z’j -cj = c’BB-1aj - cj
lo que indica que deben evaluarse los cambios para j J (J es el conjunto de las variables no básicas).Desde la expresión
c’Bj - cj
en el caso de ser todas las (z’j -cj) 0, la solución sigue siendo óptima; en otro caso, habrá que recurrir al pivote.
Desarrollo en el vector c
Sea cj = c’j - cj
y zj -c’j = cBB-1aj - c’j cB no cambia
= cBB-1aj - (cj + cj ) = (cBB-1aj - cj )-cj
zj -c’j = (zj -cj) - cj
En el caso de continuar (zj -c’j ) 0 , el tablero sigue siendo óptimo; en otro caso , utilizar xj como variable de entrada y efectuar la acción del pivot.
Ejemplo
Una factoría tiene tres productos. Tres recursos: soporte técnico, labor y administración son requeridos para producir esos productos. La siguiente tabla ofrece los requerimientos de cada recurso para cada producto. Existen 100 horas disponibles para soporte técnico, 600 horas de labor y 300 horas de administración. ¿ Cómo maximizará la utilidad total?
Producto Ganancia Soporte Labor Adminis.1 10 1 10 22 6 1 4 23 4 1 5 6
Desarrollo
El PL, se presenta a continuación:
Maximizar = 10x1 + 6x2 + 4x3
sa. x1+ x2 + x3 < 100
10x1+ 4x2 + 5x3 < 600 2x1+ 2x2 + 6x3 < 300 x1, x2, x3 > 0
Tablero Simplex
El tablero Simplex queda de la siguiente manera:
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 RHS
Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/6 x 2 0 1 5/6 10/6 -1/6 0 400/6
x 1 1 0 1/6 -4/6 1/6 0 200/6
s 3 0 0 4 -2 0 1 100
Pregunta 1
¿Qué ocurre cuando c3 se hace igual a 6?El cambio para una variable no básica , como:
j = 3, cj = c’j – cj = 6-4=2, Luego: zj -c’j = (zj -cj) - cj = (16/6)- 2 = 2/3.
Se observa que el valor es positivo. En el caso que el incremento hubiera sido mayor 16/6, es decir un aumento mayor de 2.666; la solución cambia. Se observa que cualquier valor de decremento, no cambia el óptimo.
Pregunta 2
¿Qué ocurre cuando c1 se hace igual a 14? El cambio para una variable básica , como j = 1, trae como consecuencia el análisis de todas las variables no básicas. Luego de
z’j -cj = c’BB-1aj - cjj = c’B j - cj ; se tiene que:
Para la variable x3 = 6(5/6) +14(1/6)+0(4)-4 = 20/6; Para la variable s1 = 6(10/6)+ 14(-4/6)+0(-2)-0 = 4/6; Para la variable s2 = 6(-1/6) +14(1/6)+0(0)-0 = 8/6 Se observa que el valor es positivo.
... Pregunta 2
¿Qué ocurre cuando c1 se hace igual a 15?
En el caso que el incremento hubiera sido mayor 15, es decir un aumento mayor de 5; la solución cambia.Se observa que un valor de decremento de 4 unidades, hace cambiar el óptimo. Así para la variable no básica:
s1 = 6(10/6)+ 15(-4/6)+0(-2)-0 = 0En consecuencia para c1 mayor que 15, cambia el óptimo.
Cambios en el vector b
El análisis post óptimo para el cambio en el vector de la mano derecha , debe garantizar que se cumpla la condición de factibilidad :
x’B = B-1b’ 0 Al cambiar b por b’ , se define b = b’-b , luego
x’B = B-1(b + b) = B-1b + B-1b
x’B = xB + B-1b
Ejemplo
Del tablero Simplex :
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 RHS
Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/6 x 2 0 1 5/6 10/6 -1/6 0 400/6
x 1 1 0 1/6 -4/6 1/6 0 200/6
s 3 0 0 4 -2 0 1 100
Pregunta 1
¿Qué ocurre cuando b3 cambia de valor?
0
0
102
06/16/4
06/16/10
100
6/200
6/400
' , 0
0
11
bbBxΔb
Se observa que cualquier cantidad de incremento en b3 (que inicialmente es 300), no afecta a la solución. Por otro lado el decremento para conservar la factibilidad no puede sobrepasar el valor de 100.
Pregunta 2
¿Qué ocurre cuando b1 cambia de valor de 100 a 60?
Lo que origina :
0
0
40
102
06/16/4
06/16/10
100
6/200
6/400
' ,
0
0
40
BxΔb
,0)40(2100 ,0)40(6
4
6
200 ,0)40(
6
10
6
400
... Pregunta 2
Se observa que cualquier cambio hasta la cantidad de decremento de 40 (que inicialmente es 100 y se reduce a 60), no afecta a la solución; mas de ese valor hay cambio en el óptimo.
Por otro lado un incremento para conservar la factibilidad no puede sobrepasar el valor de 50.
La regla del 100%
Sea una variable j que pertenece al conjunto J de variables básicas; por análisis de sensibilidad, se puede conocer cuanto puede aumentar o disminuir su coeficiente de costo, para que se siga manteniendo la solución óptima.
J j, z 1
jjBjj caBcc
z 1jjBjj caBcc
La regla del 100%
De donde se desprende que:
, disminución , incremento
0, )(
max
kjkj
jjk
czD
0, )(
min
kjkj
jjk
czI
Ejercicio A la pregunta: ¿Cuál es el rango de variación de c1?
56/4
6/20Min
46/1
6/4,
6/1
6/16Max
1
1
I
D
Rpta. Se encuentra en D1 ≤ c1 ≤ I1
-4 ≤ c1 ≤ 5
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 RHS
Z 0 0 16/6 20/6 4/6 0 4400/6 x 2 0 1 5/6 10/6 -1/6 0 400/6
x 1 1 0 1/6 -4/6 1/6 0 200/6
s 3 0 0 4 -2 0 1 100
Ejemplo aplicativo A la pregunta: ¿Cuál es el rango de variación de c1?
56/4
6/20Min
46/1
6/4,
6/1
6/16Max
1
1
I
D
Rpta. Se encuentra en D1 ≤ c1 ≤ I1
Gracias