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Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
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Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema mecánico alrededor de su
posición de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como por ejemplo el movimiento pendular que
controla el movimiento de un reloj, o la vibración de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en
muchas aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. Así por ejemplo la vibración
excesiva de máquinas y estructuras puede ocasionar que se aflojen las uniones y las conexiones llegando en
algunos casos a producir el colapso de la estructura.
El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un conjunto de publicaciones e
investigaciones destinados al tema. Nuestra intención en este trabajo es presentar los principios básicos de las
vibraciones que deben ser entendidos por los alumnos de ciencias e ingeniería y que sirven de base para el
estudio de otros cursos de su especialidad. En este sentido solo estudiaremos las vibraciones con un solo grado
de libertad, es decir aquel movimiento en el cual la posición se puede expresar con una sola coordenada por
ejemplo x, o y en la figura 2.1a, o 2.1b y por θ en el movimiento pendular figura 2.1c.
(a) (b) (c)
Figura 2.1. Vibraciones mecánicas con una sólo grado de libertad.
Las dos componentes básicas en toda vibración son la masa y la fuerza recuperadora. Esta última que con
frecuencia es proporcionada por un mecanismo elástico, tiende a regresar a la masa a su posición de equilibrio
cuando ella es separada de dicha posición y liberada. En forma general las vibraciones se clasifican en
vibraciones libres y vibraciones forzadas. Las primeras son originadas y mantenidas por fuerzas elásticas o las
gravitatorias y las segundas son producidas por fuerzas periódicas aplicadas exteriormente.
Las vibraciones libres y forzadas se dividen a su vez en amortiguadas y sin amortiguamiento. Cuando las
fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora son despreciables se dice que la vibración es sin
amortiguamiento. Cuando las fuerzas como el rozamiento del tipo viscoso no es despreciable se denominan
vibración con amortiguamiento
Es sabido que en todo sistema real está presente las fuerzas disipativas como el rozamiento que tiende a
extinguir la vibración. Sin embargo, en muchos sistemas la pérdida de energía debido al rozamiento es tan
pequeña que a menudo pueden ser despreciables resultando entonces una vibración libre.
2.2 VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE UNA PARTÍCULA.
Consideremos una partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura 2.2.
Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de un solo grado de libertad. Cuando m está en
equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son el peso, W = mg y la fuerza elástica ste kF . Si se
aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene
0 xF
0 stkmg (2.1)
Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δ st desde la posición de equilibrio y se suelta sin
velocidad inicial la partícula se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la posición de equilibrio
generando de esta forma una vibración libre.
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Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la partícula en una posición
arbitraria x medida a partir de la posición de equilibrio como se muestra en la figura 2.2b,
Figura 2.2. Diagrama de cuerpo libre de m: (a) en equilibrio estático y (b) en movimiento.
Del diagrama de cuerpo libre y cinético se observa que la ecuación de movimiento de la masa es
xx maF
xmxkmg st (2.2)
Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta
0 kxxm (2.3)*
El movimiento definido por la ecuación (3)* se conoce como movimiento armónico simple y se caracteriza por
que la aceleración es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento. También se puede escribir en la
forma
0 xx n (2.4)
En donde ωn se denomina frecuencia natural circular o pulsación natural, y se expresa
m
kn (2.5)
La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes cons tantes dada por la ecuación
(2.4) es de la forma
tBtAsenx nn cos (2.6)
Donde A y B son constantes que se determinan de las condiciones iníciales.
A veces es más conveniente escribir la ecuación (2.6) en una forma alternativa dada por
tsenxx nm (2.7)
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La velocidad y la aceleración están dadas por
txxv nnm cos (2.8)
tsenxxa nnm2
(2.9)
La gráfica de la posición x en función del tiempo t muestra que la masa m oscila alrededor de su posición de
equilibrio. La cantidad xm se le denomina amplitud de la vibración, y el ángulo φ se denomina ángulo de fase.
Como se muestra en la figura 2.3, τ es el período de la vibración, es decir el tiempo que tarda un ciclo.
2
2n
m
k
(2.10)
La frecuencia natural de vibración que representa el número de ciclos descritos por unidad de tiempo está dada
por
1 1
2
kf
m (2.11)
Figura 2.3. Gráfica desplazamiento en función del tiempo para una oscilación libre
2.2.1 Péndulo simple.
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida de un punto fijo por medio de
una cuerda de longitud l y de masa despreciable (figura 2.4). Si la partícula se desplaza un ángulo θ0 de
su posición de equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará simétricamente respecto a su posición de
equilibrio.
Fígura 2.4. Péndulo simple: (a) Instalación y (b) Diagrama de cuerpo libre.
Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL de la masa m resulta.
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tt maF
mlmgsen
0 senl
g (2.12)
Para ángulos pequeños, sen , donde θ se expresa en radianes. Entonces la ecuación (12), se
escribe en la forma
0 l
g (2.13)
Por tanto, el péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia circular dada por
l
gn (2.14)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
g
l 2 (2.15)
2.2.2 Péndulo compuesto.
Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones finitas que oscila alrededor de un eje horizontal
fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la acción de la fuerza gravitacional (peso). El cuerpo
rígido oscilará en un plano vertical cuando se le separe de su posición de equilibrio un ángulo θ 0 y se
suelte. Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento consideremos un cuerpo de
forma arbitraria tal como se muestra en la figura 2.5 en donde ZZ’ es un eje horizontal y C es su centro
de masa situado a una distancia b del punto de oscilación O.
Figura 2.5. Diagrama esquemático de un péndulo físico
Para una posición angular θ, respecto a la vertical las fuerzas que actúan sobre el sólido son su peso mg
y la reacción en el punto de oscilación. Aplicando las ecuaciones de movimiento al diagrama se
encuentra
OM I
OImgbsen (2.16)
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Donde IO es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto O y �̈� es la aceleración angular, el
signo menos se debe a que el peso produce un momento de restitución. Para ángulos pequeños,
sen , entonces la ecuación (16) se escribe
0 mgbIO (2.17)
La ecuación (2.17) es la ecuación diferencial de un MAS y la solución de la ecuación diferencial es de
la forma
tsen n0 (2.18)
Por tanto, el péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia circular dada por
O
nI
mgb (2.19)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
mgb
IO 2 (2.20)
Por otro lado el momento de inercia con respecto al punto de oscilación se puede expresar utilizando el
teorema de los ejes paralelos en función del momento de inercia con respecto al centro de masa, esto es
2mbII CO (2.21)
Teniendo en cuanta la definición de radio de giro, mIK OC / , la ecuación anterior se puede
escribir
22 mbmKI CO (2.22)
Al remplazar la ecuación (2.22) en la ecuación (2.20) se obtiene
mgb
mbmKC22
2
gb
bKC22
2
(2.23)*
Esta ecuación es muy importante porque nos permite determinar en el laboratorio la aceleración de la
gravedad y el radio de giro del péndulo físico.
2.2.3 Péndulo de torsión.
Este péndulo está constituido por un cuerpo rígido soportado por un eje en la forma indicada en la
figura 2.6. Si el ángulo de torsión es pequeño y el sistema inicia su movimiento desde el reposo, los
esfuerzos desarrollados en el eje producen y mantienen un movimiento angular armónico simple.
Suponga que el movimiento vibratorio del cuerpo B se iniciara induciendo en el péndulo el ángulo de
torsión θ, pequeño y liberándolo a continuación.
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Figura 2.6. Representación de un péndulo de torsión
En la mecánica de materiales se demuestra que si no se excede el límite de proporcionalidad del
material de un eje macizo circular, el momento de torsión que se aplica al eje es proporcional al ángulo
de torsión y se determina mediante la ecuación.
kL
Gr
L
GIM P
2
2
(2.24)
Donde IP = πr4/2, es el momento polar de inercia del área de la sección transversal del eje macizo, G es
el módulo de rigidez del material, L es la longitud del eje y θ es ángulo de torsión.
La ecuación que describe el movimiento de éste péndulo es
Z
zz
IM
IM
Al remplazar el valor del momento de torsión en esta ecuación, resulta
ZIk
0 kIZ (2.25)
La ecuación (2.25) indica que el movimiento es angular y armónico con una frecuencia circular natural
dada por
ZZ
nLI
Gr
I
k
2
4 (2.26)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
Gr
LIZ
4
22
(2.27)
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Solución
En la figura (a) se muestra el DCL de la charola en posición de equilibrio y en (b) el DCL de la charola A para
una posición fuera del equilibrio.
(a) (b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a (a), se tiene
0 0y B C D sF mg k k k (1)
Aplicando las ecuaciones de movimiento a (b) resulta
( )y y B C D sF ma mg k k k y my (2)
Remplazando la ecuación (1) en la ecuación (2), obtenemos
0B C Dmy k k k y (3)
La ecuación (c) es la ecuación diferencial de un M.A.S con frecuencia circular
B C Dk k k
m
(4)
El período de vibración será
1
2 B C D
mT
k k k
(5)
Remplazando el valor de kC se tiene
1
1
2 100 /B D
mT
k N m k
(6)
Ejemplo 2.1. Una charola A está unida a tres resortes como se
muestra en la figura. El período de vibración de la charola vacía es de
0,75 s. Después de que el resorte central C se ha suprimido se observa
que el período es de 0,9 s. Si se sabe que la constante del resorte central
es 100 N/m. Determine la masa m de la charla.
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Cuando no existe el resorte C, el período es
2
1
2 B D
mT
k k
(7)
Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) resulta
2
1
100 /
100 /0,9
0,75
227, 27 /
B D
B D
B D
B D
B D
T k N m k
T k k
k k N m
k k
k k N m
Remplazando esta última expresión en la ecuación
10,9
2 227,27
4,66 kg Rta
m
m
Solución
En la figura (a) se muestra el DCL de la barra en posición de equilibrio y en (b) el DCL de la barra para una
posición (θ) fuera del equilibrio.
(a) (b)
Ejemplo 2.1. Una barra de 0,8 m de longitud y 60 N de peso
se mantiene en posición vertical mediante dos muelles idénticos
cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000
N/m. ¿Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia natural de la
barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeñas
oscilaciones.
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Aplicando la segunda condición de equilibrio se tiene
2 2 1 10 0,2 0,8 0AM k k (1)
Aplicando la segunda ley de newton para el movimiento de rotación de la varilla
A AM I
2 2 2 1 1 10,2cos 0,8cos 0,4 0,8 Ak x k x W sen P sen I (2)
Para ángulos pequeños cos 1 y sen , entonces la ecuación (2) se escribe
2 2 2 1 1 10,2 0,8 0,4 0,8 Ak x k x W P I (3)
Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta
2 2 1 10,2 0,8 0,4 0,8 Ak x k x W P I
2 10,2 0,2 0,8 0,8 0,4 0,8 Ak k W P I
Teniendo en cuenta que 2
1 2 A
1 y I
2k k k ml , resulta
210,04 0,64 0,4 0,8
3k k W P ml
210,68 0,4 0,8 0
3ml k W P
Remplazando valores se tiene
21 600,8 0,68 5000 0,4 60 0,8 0
3 9,8
1,306 3376 0,8 0
P
P
La frecuencia circular será
3376
1,306n
P
Para que la frecuencia sea cero se tiene
3376P N Rta.
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Solución
En la figura (a) se muestra el DCL del cilindro en la posición (xG) fuera del equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la figura para una posición de equilibrio estático se tiene
,
,0
( ) 0
14 0 (1)
(0) 0
0 0 (2)
x G x
roz e
G G G
roz roz
F ma m o
mgsen F F
M I I
F r F
Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta
,014 0
14 0 (3)
e
s
mgsen F
mgsen k
La ecuación de movimiento de traslación en la dirección x, nos da
,
14
15 (4)
x G x
roz e G
roz s G G
F ma
mgsen F F mx
mgsen F k x mx
La ecuación de movimiento de rotación nos da
21
2
1 (5)
2
G G
roz G
roz G
roz
M I
F r I
F r I mr
F mr
Ejemplo 2.3. Un cilindro uniforme de 7 kg puede rodar sin
deslizarse por un plano inclinado y está sujeto por un muelle como
se muestra. Si su centro se mueve 10 mm plano abajo y se suelta,
hallar: (a) el período de la oscilación y (b) la velocidad máxima del
centro del cilindro.
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2.3 VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS.
En análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la fricción o el amortiguamiento del
sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una aproximación cercana al movimiento
real. Debido a que todas las vibraciones se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe
incluirse en el análisis.
Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía. Existen varios tipos
de amortiguamiento: amortiguamiento viscoso, lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad
Sumando las ecuaciones (3) y (5), resulta
1
14 (6)2
s G Gmgsen k x mx mr
Remplazando (3) en (6), se tiene
10 (7)
2G Gmx mr kx
La relación entre la aceleración lineal y angular se obtiene tomando como centro instantáneo el punto CI de la
figura.
Gx
(8)
G
GG
r
x r
xx r
r
Remplazando (8) en (7) y simplificando resulta
3 3
0 7 790 02 2
75.24 0
G G G G
G G
mx kx x x
x x
El periodo se determina a partir de la frecuencia circular
2 2 2
75.24
0,72 s Rta
n
n
TT
T
Para determinar la velocidad máxima se aplica las condiciones iníciales.
3 3
Gx 50.10 8,67(0) 50.10
cos 0 8,67 cos 8,67 0 0 8,67cos
y A= 50 mm2
n
G n
Asen t Asen Asen
x A t A
La velocidad para cualquier posición es
0,43 8,67 / 2Gv x sen t
La velocidad máxima será
max 0,43 m/s Rtav
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moderada en el interior de fluidos; amortiguamiento de Coulomb , producido por el movimiento relativo de
superficies secas; y el amortiguamiento estructural, es producido por la fricción interna del material elástico. En
esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio del amortiguamiento viscoso.
2.3.1 Amortiguador viscoso lineal.
Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el
interior de un medio fluido. También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la
vibración. Una forma de representarlo es la mostrada en la figura 2.7. Este tipo de amortiguador está
formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso
como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios
practicados en el émbolo.
Figura 2.7. Representación de un amortiguador
Para nuestro estudio vamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de fricción
debido al amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad lineal siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de amortiguamiento (c). Esta fuerza se expresa
xcFV (2.28)
2.3.2 Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso.
Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa,
resorte y amortiguador como el mostrado en la figura 2.8.
Figura 2.8. Diagrama de cuerpo libre de una partícula de masa m con amortiguamiento
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque se tiene
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xmFX
xmxcxkmg st (2.29)
Recordando que en el caso de equilibrio estático, stkmg , la ecuación anterior se escribe
0 kxcxm (2.30)*
La ecuación (2.30)* es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes. La teoría de las ecuaciones diferenciales nos dice que la solución es de la forma
tAex (2.31)
Remplazando la ecuación (2.31) conjuntamente con sus derivadas en la ecuación (2.30) se obtiene la
ecuación característica expresada por
02 kcm (2.32)
cuyas raíces son
m
mkcc
2
42
2,1
(2.33)
La solución general de la ecuación se escribe
tt
CeBex 21 (2.34)
Las constantes B y C se determinan a partir de las condiciones iníciales , mientras que λ1 y λ2 se
determinan de la ecuación característica. Debe observarse además que el comportamiento del sistema
depende de la cantidad subradical, ésta puede ser positiva, nula o negativa.
Coeficiente de amortiguamiento crítico ccr. Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para el cual
se hace cero la cantidad subradical de la ecuación (2.33), en consecuencia
ncr mm
kmc 22 (2.35)
El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida
para que el movimiento no sea vibratorio.
La solución de la ecuación diferencial (2.30) tiene tres formas.
A. Movimiento sobre amortiguado. En este caso c > ccr, entonces las dos raíces de la ecuación
característica son reales y diferentes. Por tanto la solución puede escribirse
ttBeAex 21
(2.36)
B. Movimiento críticamente amortiguado. Aquí c = ccr, en este caso las dos raíces son iguales.
La solución general será
tneBtAx
(2.37)
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C) Movimiento subamortiguado. Las raíces de la ecuación (33) son complejas y conjugadas.
di
m
c
m
ki
m
c
2
2,122
(2.38)
Donde α =c/2m y ωd es la frecuencia circular amortiguada dada por
2
2
m
c
m
kd (2.39)
El período de la vibración amortiguada será
2
2
22
m
c
m
kd
d
(2.40)
Remplazando la ecuación (2.38) en (2.31) resulta
tSenexx dt
0 (2.41)
El movimiento de la ecuación (2.41) se dice que es periódico en el tiempo de amplitud
decreciente tal como se muestra en la figura 2.9. En donde se observa que el “período” es el
tiempo entre dos valles o picos
Figura 2.9. Representación de la posición en función del tiempo para un movimiento
subamortiguado
Decremento logarítmico. Es una cantidad que nos permite medir la velocidad de decaimiento de una
oscilación, se expresa como el logaritmo de la razón entre cualquier par de amplitudes sucesivas
positivas (o negativas). Esto es
101
texx
(2.42)
y la amplitud siguiente es
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88
)1(
02dt
exx
(2.43)
la razón entre las dos amplitudes es
d
de
ex
ex
x
xt
t
1
1
0
0
2
1 (2.44)
Por lo tanto el decremento logarítmico será
dex
x lnln1
1
m
c dd
2
(2.45)
Razón de amortiguamiento. También conocido como factor de amortiguamiento, es una cantidad
definida como la razón entre el coeficiente de amortiguamiento (c) y el coeficiente de amortiguamiento
cítrico (ccr), esto es
ncr m
cc
mk
c
c
c
22 (2.46)*
En función de esta cantidad se pueden obtener las siguientes relaciones
122,1 nn i (2.47)
En función de la razón de amortiguamiento se puede decir que un movimiento es sobre amortiguado si
(ξ > 1), es críticamente amortiguado si (ξ =0) y subamortiguado sí (ξ < 1).
Para el caso de un movimiento subamortiguado, la pulsación propia amortiguada, el período
amortiguado y el decremento logarítmico se escriben en la forma.
21 nd (2.48)
21
2
n
d (2.49)
21
2
(2.50)
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Solución
En la figura (a) se muestra el DCL del cuerpo en la posición de equilibrio estático y en (b) el DCL del cuerpo para
una posición (y) fuera del equilibrio.
(a) (b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama A, se tiene
,
1 2 3
( ) 0
0 (1)
y G y
s s s
F ma m o
mg k k k
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del bloque resulta
,
1 2 3 1 2 3 (2)
y G y
s
F ma
mg k k k y y my
Remplazando la ecuación (1 en (2) resulta.
1 2 3 1 2 3my+ 0y k k k y
Al sustituir los valores dados en el problema se tiene
12 3 420 0 (3)y y y
La solución de la ecuación diferencial es de la forma
2
y D
D
t
t
t
e
y De
y e
Ejemplo 2.4. El cuerpo W de 12 kg mostrado en la figura es
sustentado por tres resortes y tres amortiguadores viscosos como se
muestra en la figura. Si k1 = k2 = 150 N/m; k3= 120 N/m; β1 = β2 = 0,8
N.s/m y β3=1,4 N.s/m y para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo
100 mm hacia abajo y se suelta desde el reposos. Determine: (a) La
ecuación diferencial que describe el movimiento, (b) la frecuencia (si
existe) y (c) el decremento logarítmico.
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Remplazando estas cantidades en la ecuación (3) nos permite obtener la ecuación característica, dada por
2
2
D 12 3 420 0
12 3 420 0 (4)
te
La solución de la ecuación (4) nos da
1,2
1,2
0,125 5,9 (5)
d
i
i
La ecuación (5) indica que el movimiento es subamortiguado por tanto existe una “frecuencia amortiguada”.
2 5,9
0,94 hertz Rta.
d f
f
Como el movimiento es subamortiguado la solución de la ecuación diferencial (3) es de la forma
0,125 5,9 (6)ty Ae sen t
La velocidad es
0,125 [5,9cos 5,9 0,125 5,9 ] (7)ty Ae t sen t
Remplazando las condiciones iniciales en las ecuaciones (6) y (7) resulta
0,1
0 [5,9cos 0,125 ]
Asen
A sen
Los valores de A y φ son
0,1 m
=89°
A
La posición en cualquier tiempo será
0,1250,1 5,9 89ty e sen t
El decremento logarítmico es
0,125
0,125(
0,1ln
0,1
1 10,125 0,125 0,125
0,94
0,133 Rta
d
t
t T
d
e
e
Tf
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Solución
En la figura (a) se muestra el DCL del cuerpo en la posición de equilibrio estático y en (b) el
DCL del cuerpo para una posición (y) fuera del equilibrio.
Aplicando la segunda condición de equilibrio a la figura (a) resulta
0
1,125 1,25 0 (1)
B
s
M
mg k
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación se tiene
1,125cos 1,25cos 1,85cos (2)
B B
s e B
M I
mg k x cv I
Para ángulos pequeños senθ≈ θ y cosθ=1, entonces se tiene
1,125 1,25 1,85 (3)s e Bmg k x cv I
Remplazando la ecuación (1) en (3) resulta
1,25 1,85
1,85 1,25 (4)
e v B
B v e
k x cx I
I cx k x
De la figura (b) se tiene que
e
v
x 1,25 (5)
x 1,85 (6)
Ejemplo 2.5. Se muestra una barra de 2,25 m de longitud y
200 N de peso en la posición de equilibrio estático y soportada
por un muelle de rigidez k =14 N/mm. La barra está conectada a
un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento c = 69
N.s/m. Determine: (a) La ecuación diferencial para el
movimiento angular de la barra, (b) el tipo de movimiento
resultante, (c) el período y la frecuencia del movimiento (si
procede) y (d) la razón de amortiguamiento.
mg
1,125 m
Bx
1,25 m
KδS By
mg Ax
FV=cv By
k(δS + xe)
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
92
Remplazando (5) y (6) en (4) se obtiene
211,85 1,85 1,25 1,25 = (7)
3ml c k
Remplazando los datos del enunciado y simplificando se tiene
34,4 236,2 21875 0 (8)
La frecuencia circular natural es
n
2187525,22 rad/s
34,4
La razón de amortiguamiento se determina a partir de
236,2
2 2 34,4 25,22
0,136 Rta,
eff
eff n
c
m
La ecuación anterior nos indica que el movimiento es subamortiguado por tanto existe la
frecuencia y el período amortiguados
2
1,2
1,2
34,4 256,2 21875 0
3,43 24,98
d
i
i
La frecuencia amortiguada es
24,98 / 2 2 /
3,97
0,25 s
d d
d
rad s f T
f s
T
Ejemplo 2.6. Un cilindro uniforme que pesa 35 N, rueda sin deslizar por una superficie horizontal como se muestra
en la figura. El resorte y e amortiguador están conectados a un pequeño pasador exento de fricción situado en el
centro G del cilindro de 20 cm de diámetro. Determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
93
Solución
En la figura se muestra el DCL del cilindro para una posición arbitraria cualquiera respecto a la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento de traslación, se tiene
(1)
x G
G roz v G
G roz G G
F mx
kx F F mx
kx F cx mx
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación, se tiene
21
2
1 (2)2
G G
roz
roz
M I
F r mr
F mr
Remplazando (2) en (1), y teniendo en cuenta que 𝑥𝐺 = 𝑟�̈�, obtenemos
1 1 (3)
2 2
GG G G G G
xkx cx mr kx cx mr mx
r
30
2
3 3533,3 120 0
2 9.8
5,36 33,3 120 0 Rta
G G G
G G G
G G G
mx cx kx
x x x
x x x
Parte (b) Cálculo de la razón de amortiguamiento
33.3
2 2 5,36 120 / 5,36
0,656 Rta
eff
eff n
c
m
Parte (c). Tipo de movimiento. Como ξ < 1; el movimiento es subamortiguado
mg
Fe = k xG FV = c v
Froz
NC
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
94
2.4 VIBRACIONES FORZADAS.
2.4.1 Vibraciones forzadas sin amortiguamiento.
Uno de los movimientos más importantes en el trabajo ingenieril es las vibraciones forzadas sin
amortiguamiento. Los principios que describen este movimiento pueden aplicarse al estudio de las
fuerzas que originan la vibración en varios tipos de máquinas y estructuras.
Fuerza armónica de excitación. El sistema mostrado en a figura 2.10, proporciona un modelo de un
sistema masa resorte sometido a una fuerza de carácter armónico dada por F = F0 sen(ωt), donde F0 es
la amplitud de la vibración armónica y ω es a frecuencia de la vibración armónica.
(a) (b)
Figura 2.10. (a) Bloque sometido a una fuerza periódica externa, (b) DCL y cinético.
Aplicando las ecuaciones de movimiento según el eje x, resulta
xmkxtsenF
maF xx
0
tsenFkxxm 0 (2.51)*
La ecuación (2.51)* es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes
constantes. Su solución está compuesta por: i) una solución complementaria; y ii) una solución
particular.
La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación
(2.51)*, y resolviendo la ecuación homogénea, es decir
0 kxxm
La solución de esta ecuación es de la forma
)( tsenxx nm (2.52)
Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma
tBsenxP (2.53)
Determinando la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuación (2.53) y remplazando en la
ecuación (2.51) da por resultado
tsenFtbsenktsenBm 02
Despejando el valor de la constante B resulta
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
95
2
0
2
0
)(1
//
n
kF
m
k
mFB
(2.54)
Remplazando la ecuación (2.54) en (2.53), resulta
tsenkF
x
n
P
2
0
1
/
(2.55)
La solución general será
tsenkF
tAsenxxx
n
nPC
2
0
1
/
(2.56)
De la ecuación (2.56) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento.
Una vibración libre de frecuencia ωn figura 2.11a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior
figura 2.11b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o
particular como lo muestra la figura 2.11c.
(a) (b) (c)
Figura 2.11. (a) vibración libre, (b) vibración permanente y (c) Superposición de ambas.
En la ecuación (2.55) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las
frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la
vibración estable y la deflexión estática.
20
max
1
1
/
)(
n
P
kF
xMF
(2.57)
De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son
aproximadamente iguales esto es 𝜔
𝜔𝑛= 1. El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones
de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la
estructura.
Desplazamiento excitador periódico. Las vibraciones forzadas también pueden surgir a parir de la
excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura 2.12, representa la
vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ 0senωt.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
96
Figura 2.12. Vibración forzada debido a un desplazamiento periódico.
En la figura 2.13, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir
del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo
tanto el desplazamiento general del resorte será (x –δ0senωt)
Fig. 13. Diagrama de cuerpo libre y cinético
Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tiene
xmtsenxk
maF xx
0
tsenkkxxm (2.58)
Comparado la ecuación (2.58) con la ecuación (2.51) se observa que su forma es idéntica por tanto su
solución seguirá el mismo procedimiento establecido anteriormente.
2.4.2 Vibración libre con amortiguamiento viscoso.
En nuestras consideraciones sobre las vibraciones de un solo grado de libertad y con amortiguamiento
viscoso, encontramos que la energía era disipada por el amortiguador y la amplitud disminuía con el
tiempo. Sin embargo, si proporcionamos una fuente de energía externa podemos mantener las
oscilaciones con una amplitud constante. Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este
movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica
externa P =P0senΩ, tal como se muestra en la figura 2.14.
(a) (b)
Figura 2.14. (a) Sistema mecánico forzado, (b) Diagrama de cuerpo libre.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
97
Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.
xmxckxtsenP
maF xx
0
tsenPkxxcxm 0 (2.59)*
La ecuación diferencial (2.59)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y
con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una solución complementaria y una
solución particular. La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución
particular es una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total
se escribe
)()()( txtxtx PC (2.60)
La solución complementaria estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según el valor del
coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución particular o permanente o de estado
estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada por.
tsenxx mP (2.61)
Remplazando la ecuación (61) en la ecuación (60) resulta.
tsenPtsenkxtxctsenxm mmm 02 cos
Haciendo (Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y π/2, resulta
senPxc m 0 (2.62)
cos02 Pxmk m (2.63)
Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores, resulta y sumándolos, resulta
20
2222 Pxcmk m
(2.64)
De la ecuación (64), se obtiene la amplitud la misma que está dada por
222
0
cmk
Pxm
(2.65)
El desfasaje φ se obtiene dividiendo las ecuaciones (62) y (63)
2
mk
ctg (2.66)
Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe
tsen
cmk
Px
222
0 (2.67)
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
98
Pero la frecuencia natural está dada por, mkn / , y el valor del coeficiente crítico de
amortiguamiento es ccr = 2mωn, el factor de amplificación será
2220 //2/1
1
/ncrn
m
cckP
xMF
(2.68)
2/1
//2
n
ncrcctg
(2.69)
En la figura 2.15, se muestra el factor de amplificación en función de la razón de frecuencias para
distintos valores de la razón de amortiguamiento. Observe que a medida que se va disminuyendo la razón de amortiguamiento la amplitud de la vibración va creciendo. La resonancia se produce cuando
la razón de amortiguamiento tiende a cero y las frecuencias son aproximadamente iguales
Figura 2.15. Relación entre el factor de amplificación y la razón de frecuencias.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
99
2.5 PROBLEMAS RESUELTOS
2.5.1 Vibraciones libres
Problema 01.
Un instrumento que se utiliza para medir la vibración de
una partícula realiza un movimiento armónico simple de
frecuencia propia 5 Hz y aceleración máxima de 40
m/s2. .Determinar la amplitud y la máxima velocidad de
la vibración.
Solución
Datos e incógnitas
????;..;/48;..5 max
2
max vAsmaHzf
Cálculo de la amplitud
.......................6,48
).2(
).2(
2
max
22
max
RtammA
f
aA
AfAa
Cálculo de la velocidad máxima
Rtsmv
fAv
....................../53,1
)0486,0)(5(2.2.
max
max
Problema 02
Una partícula vibra con un movimiento armónico
simple. Cuando pasa por su posición de equilibrio, su
velocidad es de 2 m/s. Cuando se halla a 20 mm de su
posición de equilibrio, su aceleración es de 50 m/s2.
Determine el módulo de la velocidad en esta posición.
Solución
Datos e incógnitas.
??,../50
;..20;../2;..0
2
0
vsma
mmXsmvX
Es sabido que la posición en cualquier tiempo está dada
por
)1.......(.....................
).(..
).(.
22 XAX
tCosAX
tSenAX
Si cuando X = 0, v0 =2 m/s; entonces se tiene
)2(...............................2
02 2
A
A
Además se tiene que
)3.....(..................../50
/50 22
2
srad
Xsm
Xa
La velocidad cuando X = 20 mm, será
.............................../73,1
02,004,050 22
Rtasmv
v
Problema 03
Un bloque de masa m se desliza por una superficie
horizontal exenta de rozamiento, según se muestra en la
figura. Determine la constante k del resorte único que
podría sustituir los dos representados sin que cambiara
la frecuencia del bloque.
Solución
Datos e incógnitas
??;..;..;..0;.. 21 ek kkkm
En la figura se muestra el DCL del bloque en una
posición X a partir del equilibrio.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
100
Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección X,
resulta
)1.(....................0)(
.
.
21
21
21
XkkXm
XmXkXk
XmFF
amF
ee
xx
Para sustituir los resortes por uno equivalente sin
modificar la frecuencia, debe cumplirse que
)2.......(..............................0 XkXm e
Comparando las ecuaciones (1) y (2), resulta
..........................................21 Rtakkke
Problema 04
Una masa de 2 kg está suspendida en un plano vertical
por tres resortes, según se muestra en la figura. Si el
bloque se desplaza 5 mm hacia abajo a partir de su
posición de equilibrio y se suelta con una velocidad
hacia arriba de 0,25 m/s cuando t = 0. Determinar: (a)
La ecuación diferencial que rige al movimiento, (b) El
periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La posición
de la masa en función del tiempo y (d) El menor tiempo
t1 > 0 del paso de la masa por su posición de equilibrio
Solución
Datos e incógnitas
??);..(??;..??;..??;....
;..0;../25,0;..5;..2
1
0
ttfXATDifEc
tsmvmmXkgm
En la figura se muestra el DCL de la masa en la
posición de equilibrio. Se supone que los resortes están
estirados
Aplicando las ecuaciones de equilibrio en la dirección
vertical, se tiene
)1........(..........0
0
332211
kkkmg
Fy
En la figura se muestra el DCL de la mas a en una
posición arbitraria Y, a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando la ecuación de movimiento
)2.....()(
)()()(
321221133
22113
213
YmYkkkkkkmg
YmYkYkYkmg
YmFFFmg
YmF
eee
y
Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta
)3....(....................03500
070002
0)( 321
YY
YY
kkkYm
El periodo de vibración se obtiene de la frecuencia
circular
)4........(..............................1062,0
35002
segT
T
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
101
Calculo de la amplitud. La solución de la ecuación
diferencial (3), tiene la forma
)5(....................)..........(. tSenAY
Su velocidad viene expresado por
)6.(..........).........2,59(.2,59 tCosAY
Remplazando las condiciones iniciales, se tiene
)8........(.....................2,5925,0
)7.......(..............................005,0
CosA
ASen
Resolviendo simultáneamente las ec.(7)y (8),resulta
º86,49
54,6
mmA
La posición en cualquier tiempo t, será
...........).........87,02,59(54,6 RtatSenY
El tiempo t1>0, será
.......................................015,0
)87,02,59(54,60
1
1
Rtasegt
tSen
Problema 05
En la figura, la coordenada X mide el desplazamiento de
la masa de 10 kg respecto a su posición de equilibrio.
En t =0, la masa se suelta del reposo en la posición X
=0,1 m. Determinar: (a) El período y la frecuencia
natural de las vibraciones resultantes, (b) La posición de
la masa en función del tiempo
Solución
Datos e incógnitas
)(??;..??;..
0..1,0:0;../90;..10
tfXfT
XymXtmNkkgm
En la figura se muestra el DCL de m en una posición
arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección
horizontal, se tiene.
)1.........(..............................09
09010
0
.
XX
XX
kXXm
XmkX
XmF
XmF
e
x
La frecuencia circular está dada por
)2..(............................../.39 srad
El período será
RtaSegT
T
........................................09,2
32
La frecuencia natural, es
RtaHzf
Yf
........................................48,0
09,2
11
La solución de la ecuación diferencial (3), tiene la
forma
)3..(....................).........3( tASenX
La velocidad está dada por
)4(....................).........3(3 tACosX
Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
102
)6.(........................................20
)5.(........................................1,0
ACos
ASen
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores,
resulta
mA 1.0
2
La posición en función del tiempo será
)2/3(1,0 tSenX Rta
Problema 06
Un collar de 4 Kg está unido a un resorte de constante k
= 800 N/m como se muestra en la figura. Si al collar se
le desplaza 40 mm hacia abajo desde su posición de
equilibrio y se le suelta, determinar: (a) El tiempo
necesario para que el collar se mueva 60 mm hacia
arriba y (b) La velocidad y aceleración
correspondientes.
Solución
Datos e incógnitas
????;..;..60??;..
0,..40:0;../800;..4
avmmXt
XmmXtmNkkgm
En la figura se muestra el DCL de m en posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1....(....................0.
0
skmg
F
En la figura se muestra el DCL de m en una posición
arbitraria Y, a partir de su posición de equilibrio
Aplicando la segunda Ley de Newton, en dirección
vertical, se tiene
)2........(....................)( YmYkmg
YmFW
maF
s
e
yy
Reemplazando la Ec.(1) en (2), resulta
)3........(..............................0200
08004
0
YY
YY
kYYm
La ecuación (3), es la ecuación diferencial de un M.A.S.
de frecuencia circular 𝜔 = √200rad/s, y la posición en
función del tiempo está dado por
)4.........(..........).........14,14( tASenY
La velocidad se expresa como
)5(..........).........14,14(14,14 tACosY
La amplitud A y el desfasaje φ, se determina utilizando
las condiciones iniciales, esto es:
)7.......(....................14,140
)6......(..............................40
ACos
ASenmm
Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta
)9.......(........................................2/
)8.....(........................................40
mmA
La posición, velocidad y aceleración como función del
tiempo se expresa en la forma
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
103
2
40 (14,14 )
565,6 (14,14 / 2) /
79.97 (14,14 / 2) /
Y Sen t mm
Y Cos t mm s
Y Sen t m s
El tiempo cuando Y = 60mm↑ será
segt
tsen
15,0
)2/14,14(4020
La velocidad y la aceleración cuando t = 0,15 s. serán
RtasmmY
SenY
smmY
CosY
.............................../3991
2/)15,0(14,1479.79
/485
2/)15,0(14,1440
Problema 07
Una plataforma A que tiene una masa desconocida esta
soportada por cuatro resortes teniendo cada uno una
constante elástica k. Cuando no hay nada sobre la
plataforma el período de vibración vertical es de 3,9 s;
mientras que si soporta un bloque de 2 kg sobre la
plataforma el período de vibración vertical es de 4,10 s.
Calcular la masa de un bloque colocado sobre la
plataforma (vacía) que hace que la plataforma vibre
verticalmente con un período de 4,6 s. ¿Cuál es el valor
de la constante elástica k del resorte?.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la plataforma cuando
sobre ella está colocado un bloque de masa mi, en
estado de equilibrio estático.
Aplicando la ecuación de equilibrio, se tiene
)1.....(....................04)(
0
sPB
y
kgmm
F
En la figura se muestra el DCL de la plataforma más un
bloque de masa mi en posición Y, a partir de la posición
de equilibrio.
Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene
)2..(..........)()(4)( YmmYkgmm
YmF
BPsBp
sy
Reemplazando la ecuación (1), en (2), resulta
)3.....(....................04
04)(
Ymm
kY
kYYmm
BP
BP
La ec (3) es la ecuación diferencial de un M.A.S. con
una frecuencia circular
)4..(....................42
BP
nmm
k
El período está expresado por
)5..(..............................4
2k
mmT BP
Por condición del ejercicio, cuando mB = 0, entonces T1
= 3,9 s, es decir
)6.........(..............................4
29,3k
mP
Además, cuando mB = 2 kg; T2 = 4,1 s, entonces
)7....(..............................4
221,4
k
mP
Resolviendo simultáneamente las ecuación (6 ) y (7),
resulta
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
104
)9........(............................../33,12
)8....(........................................19
mNk
kgmP
Además cuando se coloca sobre la plataforma un bloque
de masa desconocida, el período es T3 = 4,6 s, se tiene
Rtakgm
m
k
mmT
x
x
xP
........................................43,7
)33,12(4
1926,4
423
Problema 08
Un bloque que pesa 100N se desliza por una superficie
horizontal sin fricción como se muestra en la figura. Los
dos resortes están sometidos a tracción en todo
momento y las poleas son pequeñas y exentas de
rozamiento. Si se desplaza el bloque 75 mm hacia la
izquierda de su posición de equilibrio y se suelta con
velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0,
determine: (a) La ecuación diferencial que rige el
movimiento; (b) El período y la amplitud de la
vibración, (c) La posición del bloque en función del
tiempo
Solución
Datos e incógnitas
smvmmxtNW ooB /25,1;.75:0;.100
En la figura se muestra el DCL del bloque para una
posición “x” a partir de la posición de equilibrio
Cuando el bloque esta en equilibrio estático, x = 0,
entonces Fe0= k1δs y T = T0
)1..(........................................0
0
110
kT
Fx
Cuando el bloque está en movimiento, la segunda ley de
Newton, establece
)2.....(....................)( 11 Xg
WXkT
XmFx
En la figura se muestra el DCL de la polea móvil para
una posición Y a partir de la posición de equilibrio
estático
Cuando la polea está en equilibrio, Y = 0 entonces Fe2 =
k 2 δ2 y T = T0, entonces
)3........(....................02
02)(
0
022
022
Tk
TYk
Fy
Cuando la polea se está moviendo hacia abajo, se tiene
2 2
2 2 2
( ) 2 0
2 0.....................(4)
y P PyF m a
k Y T
k k Y T
Remplazando la ecuación (1) en (3), resulta
)5....(..............................02 1122 kk
Remplazando la ecuación (4) en (2), resulta
)6......(.22
)()(2
111
222
112
2
Xg
WXkkY
kk
Xg
WXkY
k
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
105
Sustituyendo la ecuación (5) en (6), resulta
)7....(....................02
2
1 Yk
XkXg
W
De la geometría de la figura se tiene
)8(..................................................2
XY
Remplazando la ecuación (8) en la ecuación (7),
tenemos
0)4
(
0)2
(2
21
21
Xk
kXg
W
XkXkX
g
W
)9.......(..........03,114
0)4
1333833(
8,9
100
XX
XX
El período de la vibración resultante, será
........................................59,0
3,1142
RtasegT
T
La frecuencia de vibración es
.........................7,159,0
11RtaHz
Tf
La posición y la velocidad en función del tiempo están
dadas por las ecuaciones
)11(..........).........7,10(7,10
)10.......(..........).........7,10(
tACosX
tASenX
Aplicando las condiciones iníciales, se tiene
)13......(....................7,1025,1
)12...(..............................075,0
CosA
ASen
Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta
0,138
0,642
A m
tg
Por lo tanto la posición en función del tiempo está dada
por la ecuación
...........).........7,10(138,0 RtatSenX
Problema 09.
Cuando el sistema representado en la figura está en
equilibrio, el resorte 1 (k1 =1,2 kN/m) está alargado 50
mm y el resorte 2 (k2 =1,8 kN/m) lo está 10 mm. Si se
tira de la masa m hacia abajo una distancia δ y se suelta
a partir del reposo, determinar: (a) la ecuación
diferencial que rige el movimiento, (b) La distancia δmax
tal que los hilos se hallen siempre a tensión, (c) La
frecuencia y la amplitud de la vibración resultante y (d)
La posición de la masa en función del tiempo
Solución
Datos e incógnitas
)(?;..?;..?;....;..90
;/1800;..50;../1200
max2
211
tfYfDifEcmm
mNkmmmNk
En la figura se muestra el DCL del bloque en posición
de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)1.(..............................
0
1122
0
1
0
2
mgkk
mgFF
F
ee
y
Remplazando valores, se tiene
)2........(....................41,10
)(8,9)05,0(1200)09,0(1800
kgm
m
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
106
En la figura se muestra el DCL del bloque en una
posición arbitraria Y, a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección
vertical, resulta
)3....()()( 2211
21
YmYkYkmg
YmFFmg
YmF
ee
y
Remplazando la ecuación (1) y (2) en (3), resulta
)4.......(....................02,288
030001,14
0)( 21
YY
YY
kkYm
Debido a que el resorte 1 está estirado 50 mm, entonces
para que los dos resortes actúen siempre a tensión, la
distancia máxima, será
)5......(....................50max mm
Cálculo de la frecuencia natural. De la ecuación (4), se
tiene
)6....(........................................7,2
2,288.2
Hzf
f
La posición en función del tiempo tiene la forma
)7...(....................)..........( tASenY
La velocidad instantánea es
)8.........().........98,16(98,16 tACosY
Remplazando las condiciones iníciales, se tiene
)10....(..............................0
)9.....(..............................50
ACos
ASenmm
Resolviendo simultáneamente se tiene
2
50
mmA
La posición del cuerpo en cualquier tiempo es
.........).........2/98,16(50 RtatSenY
Problema 11.
Una placa plana P realiza un movimiento armónico
simple horizontal sobre una superficie sin fricción con
una frecuencia f = 1,5 Hz. Un bloque B descansa sobre
la placa, como se muestra en la figura, y el coeficiente
de rozamiento entre el bloque y la placa es µs =0,60.
¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede
tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la
placa?. ¿Cuál es el valor de la velocidad máxima?.
Solución
Datos e incógnitas
????;..;..60,0;..5,1 max vAHzf s
En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto
por el bloque más la placa en una posición arbitraria X.
Aplicando las ecuaciones
XmmkX
XmmF
XmF
PB
PBe
sx
)(
)(
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
107
Ordenando la ecuación anterior
)1........(....................0
Xmm
kX
PB
La frecuencia circular natural es:
)2........(............................../.3
)5,1(2.2
srad
HZfmm
k
PB
La solución de la ecuación diferencial (1) es de la forma
)3(....................)..........3( tASenX
La velocidad en cualquier tiempo será
)4....(..........)..........3(.3 tACosX
Su aceleración está dada por la ecuación
)5(..........)..........3(9 2 tASenX
La aceleración máxima esta dado por
)6...(........................................3 2 AX
Ahora se analiza el movimiento del bloque B. Según
condición del problema el bloque B no debe moverse
respecto a la plataforma. Por lo tanto su diagrama
cinético es el que se muestra
Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL se
tiene
)9......(..............................
)8.....(..............................
)7.......(..............................
0
/
/
gX
Xmgm
XmN
XmF
XmF
gmN
F
s
BBs
BPBs
Bs
x
BPB
y
Como el bloque no debe moverse respecto de la
plataforma, entonces 2
max
max 2 2
max
0,6(9,8)
9
0,066 .................................. .
s
S
X A g
gA
A m Rta
La velocidad máxima del sistema será
max
max
0,066(3 )
0,62 / .................................. .
v A
v m s Rta
Problema 12
Las dos masas de la figura se deslizan por sendas
superficies horizontales exentas de fricción. La barra
ABC está en posición vertical en el equilibrio y su masa
es despreciable. Si los resortes están sometidos a
tracción en todo momento, escribir la ecuación
diferencial del movimiento para la posición X(t) de la
masa de 10 kg y determinar la frecuencia y el período
de la vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de
pequeñas amplitudes).
Solución
Datos e incógnitas
.????;..
??;..;../3500;../2000
/2000;..0;..15;..10
32
121
fT
DifEcmNkmNk
mNkmkgmkgm ABC
En la figura se muestra el DCL de m1 en la posición de
equilibrio estático
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
108
Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección
horizontal, se tiene
)1.(..............................
0
1101 kT
Fx
En la figura se muestra el DCL de m2 en la posición de
equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2........(....................
0
2202 kT
Fx
En la figura se muestra el DCL de la barra ABC en la
posición de equilibrio
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene
)3.........(2,02,01,0
)2,0()2,0()1,0(
0
223311
020301
kkk
mTmTmT
M B
En la figura se muestra el DCL de m1 en una posición
arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento, tenemos
)4...().........(
)(
1111
111
11
XkXmT
XmXkT
amF xx
En la figura se muestra el DCL de m2 en una posición
arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
)5(..........)(
)(
222222
22222
22
XmXkT
XmXk
amF xx
En la figura se muestra el DCL de la barra ABC, cuando
se ha girado un ángulo θ a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento a la barra
ABC, se tiene
)(0)2,0()2,0()1,0( 21
CosTCosTCosT
IM BB
Para ángulos pequeños, Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces
la ecuación anterior se escribe
)6.(..............................2,02,01,0 231 TTT
Remplazando la ec.(4) y(5) en (6), resulta
22)22(22)23(32111 XmXkXkXkXm
..(7)
Remplazando la ec.(3) en (7), resulta
)8(..........222 22222311 XmXkXkXkXm
Del gráfico por triángulos semejantes, se observa que
)9......(..............................2
1,02,0
2
2
XX
XX
Remplazando la ec.(9) en (8), se tiene
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
109
1 1 3 2 2
1 2 1 2 3
2 (2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) 0
( 4 ) ( 4 4 ) 0
(10 60) (2000 14000 8000) 0
342,86 0.......(10)
m X k X k X k X m X
m m X k k k X
X X
X X
La ecuación (10) es la ecuación diferencial de un MAS,
con frecuencia circular
srad /52,1886,342
La frecuencia natural será
...........95,22
52,18
2RtaHzff
El período de la vibración es
...............34,095,2
11RtasegT
fT
Problema 13
Encuentre la ecuación diferencial del movimiento y el
período de vibración del sistema mostrado en la figura.
Desprecie la masa de la barra rígida a la cual está unida
la esfera (partícula).
Solución
Datos e incógnitas
“a”; “L”; “m”; “g”; Ec. Dif. =??; T=??
En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto
por la barra más la esfera en la posición de equilibrio
estático.
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene
0
( ) ( ).............................(1)
A
s
M
K a mg L
En la figura se muestra el DCL del sistema para una
posición angular θ en sentido horario
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación al
sistema, se tiene
)2(..........).)(( 2
mLCosaYKmgLCos
IM
s
AA
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces
la ecuación (2), se escribe
)3..(............ 2 mLYaKaKmgL es
Remplazando la ec.(1) en la ec. (3), resulta
)4.(..............................0.
0.
2
2
22
mL
aK
aKmL
La ec. (4) es la ecuación diferencial de un MAS, con
frecuencia circular
.......................................2
2.2
2
RtaK
m
a
LT
TmL
aKn
Problema 14
La esfera maciza y homogénea de 10 kg mostrada en la
figura gira sin deslizar cuando se desplaza a partir de su
posición de equilibrio. La tensión inicial de cada resorte
es 250 N/m y las constantes elásticas son K1 =900 N/m
y K2 =1200 N/m. Para iniciar el movimiento se desplaza
el centro de la esfera 75 mm hacia la derecha y se suelta
a partir del reposo. Calcular la frecuencia del
movimiento resultante y la rapidez máxima del centro
de masa de la esfera.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
110
Solución
Datos e incógnitas
????;..;../1200
;/900;..250;..10
max2
10
XfmNK
mKNKNFkgm e
En la figura se muestra el DCL de la esfera cuando su
centro está desplazado una distancia XG a partir de su
posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
)1....(..........0)(
)()(
21
1020
12
sGG
GsGeGe
Gsee
Gx
FXKKXm
XmFXKFXKF
XmFFF
XmF
)2...(..............................5
2
5
2)( 2
mRF
mRRF
IM
s
s
GG
Remplazando la ec.(2) en (1), resulta
)3......(05
2)( 21 mRXKKXm GG
Para el caso en el cual la esfera rueda sin deslizar la
fuerza de fricción es estática, entonces existe una
relación entre la aceleración lineal y la aceleración
angular, esto es
)4........(.............................. RX G
Remplazando la ec, (4) en (3), resulta
)5....(0150
0)10(7
)1200900(5
0.7
)(5
05
2)(
21
21
GG
GG
GG
GGG
XX
XX
Xm
KKX
XmXKKXm
La ec.(5) constituye la ecuación diferencial de un MAS
de frecuencia circular dada por
sradn /25,12150
La frecuencia de vibración será
.........................................95,1
2
25,12
2
RtaHzf
f
La solución de la ecuación diferencial (5), es de la
forma
)6....(..........).........25,12( tASenXG
La velocidad del centro de masa de la esfera es
)7.....().........25,12(25,12 tACosX G
Remplazando las condiciones iníciales, se tiene
CosA
SenAm
.25,120
.075,0
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores,
se tiene
2
75
mmA
Entonces la velocidad y la aceleración del centro de
masa de la esfera son:
smtCosX
mmtSenX
G
G
/2
25,12918,0
225,1275
La velocidad máxima será
.................................../92,0max RtasmX
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
111
Problema 15
La barra uniforme AB de 8 kg está articulada en C y
sujeta en A a un resorte de constante K = 500N/m. Si el
extremo A recibe un pequeño desplazamiento y se
suelta, hallar: (a) La frecuencia de las pequeñas
oscilaciones, (b) El mínimo valor de la constante K del
resorte para el que habrá oscilaciones.
Solución
Datos e incógnitas
????;..;/500;8 min KfmNKkgm
En la figura se muestra el DCL de la varilla en una
posición definida por un ángulo θ, a partir de la
posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación a
la varilla se tiene
)1......(165,0()04,0(
)cos165,0()04.0(
)
2
C
Ce
CC
ICosSenKSenmg
IKXSenmg
IM
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces
la ecuación (1), se escribe
)2.......(..........165,004,0 2 IKmg
El momento de inercia con respecto al punto C, es 20,055 .I kg m
Donde la ecuación (3) en (2), resulta
2
2
0,04 0,165 0,055
0,055 (0,165 0,04 ) 0....(4)
mg K
K mg
La ec. (4) constituye la ec. Diferencial de un MAS de
frecuencia circular
)4.....(..........055,0
04,0165,0
2
1
055,0
04,0165,0.2
2
2
mgKf
mgKfn
Remplazando valores se tiene
RtaHzf
f
.......................................22,2
055,0
)8,9)(8(04,0)500(165,0
2
1 2
El mínimo valor de K, será aquel valor para el cual
siempre se mantenga positiva la raíz cuadrada de la
ecuación(4), esto es
.................../3,115
)8,9)(8(04,0
04.0165,0
min
2
RtamNK
mgK
Problema 16
Dos barras uniformes cada una de masa m =12 kg y
longitud L = 800 mm, están soldadas formando el
conjunto que se muestra. Sabiendo que la constante de
cada resorte K = 500N/m y que el extremo A recibe un
pequeño desplazamiento y luego se suelta, determine la
frecuencia del movimiento subsiguiente.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
112
Solución
Datos e incógnitas
??;..8,0
/500;..12;..12 21
fmL
mNKKkgMkgm BDAc
En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto
por las dos varillas en la posición de equilibrio estático,
asumiendo que los dos resortes están estirados
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)1.......(..............................
)2
()2
(
0
2211
0
2
0
1
KK
LF
LF
M
ee
C
En la figura se muestra el DCL de las barras cuando se
ha girado un ángulo θ respecto a la posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación al
sistema se tiene
)2...()2
()22
(2
)11
(1
)2
(
CICos
LYKYKSen
Lg
ACm
CCIM
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces
la ecuación (1), se escribe
)3...()2
()22
(2
)11
(1
)2
( C
IL
YKYKL
gAC
m
Remplazando la ec. (1) en (3), resulta
)4(..........)2
()1
)(21
()2
( C
IL
YKKL
gAC
m
Reordenando la ecuación anterior se tiene
)5.......(022
2
21
Lgm
LKKI ACC
El momento de inercia del sistema respecto del punto C
será
)6........(...............................2,3
)8,0)(12(12
1)8,0)(12(
3
1
12
1
3
1
2
22
22
mkgI
LmLm
III
C
BDBDACAC
BDCACCC
Remplazando la ec (6) en la ec,(5), se tiene
).7......(03,35
02
8,0)8,9(12
2
8,05005002,3
2
La frecuencia circular está dado por
sradfn /94,53,35.2
La frecuencia de vibración será
..........................................95,0
2
94,5
2
RtaHzf
f n
Problema 17
Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g están
unidas a los extremos de una varilla rígida de masa
despreciable que puede girar en un plano vertical
alrededor de un eje que pasa por B. Hallar el período de
las pequeñas oscilaciones de la varilla.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
113
Solución
Datos e incógnitas
??;...0;...28,0;..4,0 Tmkgmkgm ACCA
En la figura se muestra el DCL del sistema para una
posición θ a partir de la posición de equilibrio.
La ecuación se movimiento de rotación para el sistema
nos da
)1.(..........2,0125,0
BCA
BB
ISengmSengm
IM
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces
la ecuación (1), se escribe
)2.........(2,0125,0 BCA Igmgm
El momento de inercia respecto al punto B, será
)3..(...............................0175,0
2,028,0125,04,0
02,0125,0
2
22
22
var
mkgI
mm
IIII
B
CA
illaBCBACB
Al sustituir la ec.(3) en (2) resulta
)5........(..........036,3~
00588,00175,0
)4.......(0175,02,08,928,0125,08,94,0
La frecuencia circular será
sradn
/833,136,3
El período de la vibración resultante será
RtasegT
T
.......................................43,3
833,1
22
Problema 18
Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg como se
muestra en la figura, mediante un pasador sin fricción
que pasa por su centro. Escriba la ecuación diferencial
del movimiento para la posición YG(t) del centro de
masa del cilindro y determine el período y la frecuencia
del movimiento vibratorio resultante
Solución
Datos e incógnitas
????;...??;....
/800;...25,0;...4;...6
TfDifEc
mNKmRkgmkgm CB
En la figura se muestra el DCL del bloque en posición
de equilibrio estático
La ecuación de equilibrio nos da
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
114
)1.......(..............................86,58
)81,9(6
0
0
0
NT
gmT
F
B
y
En la figura se muestra el DCL del cilindro en posición
de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos
)3......(..............................
)()(
0
)2...(..............................1,98
86,5881,94
0
10
10
10
10
010
s
s
G
s
s
Cs
Y
KT
RTRK
M
NKT
KT
TWKT
F
Reemplazando la ecuación (3) en (2) resulta
)4..(........................................1,982
1,98
s
ss
K
KK
En la figura se muestra el DCL del bloque cuando se ha
desplazado una distancia Y a partir de su posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque,
se tiene
)5.......(..............................686,58 G
ByBY
YT
amF
En la figura se muestra el DCL del cilindro en
movimiento
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
1
139,4 4 ..........(6)
y C Gy
C e C G
s e G
F m a
T m g F T m Y
T K Y T Y
)7........(..........2
1)(
2
1)()(
1
2
1
RmYKT
RmRFRT
IM
Ces
Ce
GG
Sumando las ecuación (5) y (6), se tiene
)8....(..........101,98 1 Ges YTYK
Sumando las ecuación (7) y (8), resulta
)9...(2
11021,98 RmYYK CGes
Remplazando la ecuación (4) en (9), resulta
)10(....................016005,010
02)25.0)(4(2
110
eG
eG
YY
KYY
De la cinemática de los desplazamientos se tiene
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
115
)12.....(....................22
)11.....(....................25,0
Ge
eG
G
G
G
YYR
Y
R
Y
Además
YRY
RY
Remplazando las ecuación (11) y(12), en la ecuación
(10), resulta
.......0320012
02160025,0
5,010
RtaYY
YY
Y
GG
G
G
G
La ecuación anterior constituye la ecuación diferencial
de un M.A.S con frecuencia circular
sradfn /33,1667,266.2
La frecuencia de vibración es
.............6,22
33,16
2RtaHzff
El período
RtasegTf
T ...............38,06,2
11
Problema 19
Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin
deslizar por un plano inclinado 15º. A su perímetro está
sujeta una correa y un muelle lo mantiene en equilibrio
como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo
50 mm y se suelta. Determinar: (a) El período de la
vibración, (b) La aceleración máxima del centro del
cilindro
Solución
Datos e incógnitas
????;..;..125,0;..15;..6,13 max
0 aTmrkgm
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la
posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2....(....................).........()(
0
)1........(....................º15
0
0
0
rFrF
M
FFmgSen
F
se
G
es
x
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3..(..............................2º15 sKmgSen
En la figura se muestra el DCL del cilindro para un
desplazamiento instantáneo XG a partir de la posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
Traslación
)4.......(..........º15
º15
Gess
Ges
Gx
XmXKFmgSen
XmFFmgSen
XmF
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
116
Rotación
)5..(..........))(()(
)()(
Gess
Ges
GG
IrXKrF
IrFrF
IM
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
)6.......(..2
122º15 rmXmKXKmgSen Ges
Remplazando la ec.(3) en (6), se tiene
)7.......(..........02..2
1 eG KXrmXm
De la geometría y teniendo en cuenta que el centro
instantáneo de rotación es el punto de contacto, resulta
)9..(2.2..2
)8.....(..
Ge
G
e
G
GG
XXr
XrrX
r
XrXrX
Remplazando la ec.(8) y (9) en (7), resulta
)10.......(..........04,1029
0)5250(4)6,13(2
3
042
3
022.2
1
GG
GG
GG
GG
G
XX
XX
KXXm
XKr
XrmXm
La ec. (10) es la ecuación diferencial de una MAS con
una frecuencia circular
)......(..............................196,0
/08,324,10292
RtasegT
sradT
n
La solución de la ecuación diferencial (10), es
)11..(....................08,32. tSenAX G
La velocidad y la aceleración en cualquier tiempo
)13..(..........08,3208,32
)12......(..........08,3208,32
2
tSenX
tCosX
G
G
Remplazando las condiciones iníciales, resulta
CosA
SenA
.08,320
.05,0
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores,
se tiene
2
50
mmA
Remplazando estos valores obtenidos resulta
tCosX
RtatSenX
G
G
08,32)08,32(05,0
...............2
08,32.50
2
La aceleración máxima será
Rtasma
Aa
......................./45,51
)05,0()08,32(
2
max
22
max
Problema 20
Una rueda escalonada que pesa 90 N rueda sin deslizar
por un plano horizontal, según se indica en la figura.
Los resortes están unidos a hilos arrollados de manera
segura sobre el cubo central de 30 cm de diámetro. Si el
radio de giro del cilindro escalonado vale 225 mm,
escribir la ecuación diferencial del movimiento para la
posición XG(t) del centro de masa del cilindro y
determinar el período y la frecuencia del movimiento
vibratorio resultante.
Solución
Datos e incógnitas
????;..
225;.30;..15;..90 21
TtX
mmKcmRcmRNW
G
G
En la figura se muestra el DCL de la rueda para una
posición cualquiera X. Las fuerzas que obran son: el
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
117
peso (W), la reacción normal (NC), la fuerza de fricción
(Fs) y las fuerzas elásticas Fe en cada uno de los resortes
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
)1.(....................1122
12
Gs
Gsee
Gx
XmFXkXk
XmFFF
XmF
)2.(..........
)()()(
2
2
2
1
1
2
1
22
11122
R
mK
R
RXk
R
RXkF
mKRFRFRF
IM
G
s
Gees
GG
Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta
2
1 12 2 1 1
2 2 2
21 1
2 2 1 2 2 112 2 2
1 1 ........(3)GG
mKR R Gk X k X k X k X mXG
R R R
mKR Rk X k X mX
R R R
La cinemática para la rueda muestra una relación entre
las deformaciones de los resortes y el desplazamiento
del centro de masa de la rueda
)6.......(
)5......(
)4...(....................
2
12121
2
12122
22
R
XRRRRX
R
XRRRRX
RXRX
G
G
GG
Remplazando las ec. (4), (5) y (6) en la ec (3), resulta
2
2
122
22
21
122
21
22
2R
GK
GXmR
RR
GXkR
RR
GXk
Remplazando valores se tiene
2
30
5.22118,9
230
215
230
10002
30
215
230
1400G
XG
XG
X
Simplificando la ecuación anterior se tiene
)8...(..............................0131 GG XX
De la ecuación diferencial (8), se obtiene la frecuencia
circular.
sradT
n /45.111312
El período de la vibración es
......55,045,11
22RtasegTT
Problema 21
Un cilindro de masa m y radio R está conectado con
muelles idénticos de constante k y gira sin rozamiento
alrededor del punto O. Para pequeñas oscilaciones,
¿cuál será la frecuencia natural?. El cordón que soporta
a W1 está enrollado alrededor del cilindro.
Solución
Datos e incógnitas
?? ,"W" ,k"" ,r"" ,R"" ,m"" n1
En la figura se muestra el DCL del bloque.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
118
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al bloque, se
tiene
(1) T 0 0 MgFy
En la figura se muestra el cilindro en equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio para el cilindro
-
(2) 0)()(k)(k-
0M
21
O
RMgrr
En la figura se muestra el DCL del bloque pero
desplazados de su posición de equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque
se tiene
(3)
yF MY
Mg T MY
T Mg MY
En la figura se muestra el Dcl del cilindro cuando gira
un ángulo θ
Aplicando las ecuaciones de movimiento al cilindro, se
tiene
Gee
GO
IrCosXkrCosXkRT
IM
)())(()( 12
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces
la ecuación anterior, se escribe
2 1( ) ( )( ) ( ) (4)
O G
e e G
M I
T R k X r k X r I
Remplazando la ec. (3) en (4), resulta
(5) 21 oee IrkXrkrkXrkYMRMgR
Al sustituir la ec (2) en (5), resulta
(6) 2
12 2 mRrkXYMR e
De la cinemática se tiene que
(7) .R Yy rX e
Remplazando la ec (7) en (6), resulta
(8) 0
2
4
02 2
1
2
1)(2)(
2
2
222
2
RMm
kr
kRMRmR
mRrrkRMR
La ec.(8) constituye la ecuación diferencial de un MAS
cuya frecuencia circular natural es
........
2
42
2
RtaRMm
krn
Problema 22
Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano vertical
en el seno de un hilo ligero, como se muestra en la
figura. Si el cilindro de 250 mm de radio no se desliza
por el hilo, escribir la ecuación diferencial del
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
119
movimiento para la posición YG(t) del centro de masa
del cilindro y determinar el período y la frecuencia de la
vibración resultante.
Solución
Datos e incógnitas
??)(;../800;..250;..4 tYmNkmmrkgm G
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la
posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2..(....................).........()(
0
)1.....(..............................
0
0
0
rkrT
M
mgkT
F
S
G
S
y
Remplazando la ec.(1) en la ec (2), resulta
)3........(..............................2 mgk S
En la figura se muestra el DCL del cilindro para una
posición arbitraria a partir de su posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento de traslación y
rotación, se tiene
)5....(..........
)4(....................
2
1
2
2
1
mrykT
mrrykrT
IM
ymTykmg
ymF
eS
eS
GG
eS
Gy
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
6........222
1 mrymkykmg eS
Remplazando la ec.(3) en la ec. (6), tenemos
)7....(....................22
1 mrymkye
La cinemática para el cilindro muestra una relación
entre la deformación del resorte y el desplazamiento del
centro de masa del cilindro
)9........(........................................
)8...(..........22
ry
r
ysentg
yyr
y
r
ytg
G
G
Ge
eG
Remplazando lasa ec. (8) y (9) en la ec. (7), resulta
.................................03
8
4
22
2
1
2
1
RtaYm
kY
YmmkY
r
YmrymYk
GG
GG
G
La ecuación anterior constituye la ecuación diferencial
de un MAS cuya frecuencia circular es
)11...(............................../09,23
43
8008
3
8
srad
m
k
n
n
El período de la vibración será
.....Rta...............................s......... 272,0
09,23
22
T
TT
n
La frecuencia natural de vibración será
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
120
a.........Rt....................Hz........ 68,3
272,0
11
f
Tf
Problema 23.
La partícula B de 0,25 kg de masa está colocada sobre
una barra rígida BC de masa despreciable como se
muestra en la figura. El módulo de cada uno de los
resortes es 150 N/m. La tensión en cada uno de los
resortes es 10 N cuando la barra BC está en posición
vertical. Para iniciar el movimiento oscilatorio se
desplaza al punto B 25 mm hacia la derecha y se libera a
partir del reposo. Calcular: (a) La ecuación diferencial
del movimiento, (b) La frecuencia natural de la
vibración, (c) La posición angular en función del
tiempo.
Solución
Datos e incógnitas
????,....;..0,25:0
;..10;../150;..25,0
00
021
fDifEcvmmxt
NTmNkkkgmB
En la figura se muestra el DCL de la barra más la
partícula B en la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1.........(....................
15,015,0
0
0,20,1
0,20,1
TT
mTmT
M C
En la figura se muestra el sistema barra más partícula B
para una posición arbitraria θ, a partir de su posición de
equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación, se
tiene
)2...(cos15,025,0 00
C
CC
IkXTkXTSenmg
IM
Para ángulos pequeños se tiene
1cosy sen
Bajo esta condición la ecuación (2) se reduce a:
)3....(015625,015,0456125,0
25,025,015,0150225,08,925,0
25,015,0225,0
2
2
X
mkXmg B
Simplificando se tiene
)4....(..............................08,392
La frecuencia natural se determina a partir de la
ecuación que define la frecuencia circular, es decir:
ta..........R....................Hz........ 15,3
/8,392.2
f
sradfn
La solución de la ecuación diferencial (4), es de la
forma
)5..(....................82,190
0
tsen
tsen n
Aplicando las condiciones iniciales, se tiene
cos82,190
1,0
0
0
sen
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
121
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores,
resulta
2
1,00
rad
Por lo tanto la ecuación (5) se escribe
.....................2
82,191,0 Rtatsen
Problema 24.
Un cilindro uniforme de masa m y radio R está flotando
en agua. El cilindro está unido a un punto central
superior a un resorte de constante k . Si el peso
específico del agua es γ, encuentre la frecuencia así
como el período de la vibración resultante.
Solución
Datos e incógnitas
????;....;....;..;..;.. TfkRm
En al figura se muestra el DCL del cilindro en la
posición de equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1(....................
0
2
0
mghRk
mgVk
mgEk
F
S
SS
S
y
En la figura se muestra el DCL del cilindro cuando se
ha desplazada una distancia Y hacia abajo a partir de su
posición de equilibrio
Aplicando la ecuación de movimiento según el sistema
de referencia, se tiene
)2(..........2 YmYkYhRmg
YmYkVmg
YmFEmg
YmF
S
S
e
y
Remplazando la ec. (1) en la ec. (2), resulta
)3.....(....................0
0
2
2
Ym
RkY
YkRYm
La ecuación (3) es la ecuación diferencial de un MAS,
con frecuencia circular
............................2
1
2
2
2
Rtam
Rkf
m
Rkfn
El período de la vibración resultante será
....................21
2Rta
Rk
m
fT
Problema 25.
Una masa de 6 kg pende de un hilo que está arrollado a
un cilindro de 10 kg y 300 mm de radio, como se
muestra en la figura. Cuando el sistema está en
equilibrio, el punto A se encuentra 200 mm
directamente encima del eje, el cual está exento de
rozamiento. Si se tira de la masa hacia abajo
desplazándolo 50 mm y se suelta el sistema a partir del
reposo, determinar: (a) La ecuación diferencial que rige
el movimiento vertical de la masa, (b) La frecuencia y
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
122
la amplitud de la vibración y (c) La posición de la masa
en función del tiempo.
Solución
Datos e incógnitas
.??)(??;...
??;??;...;..0;..50..:0
2,0;..3,0;..10;..6
0
tYA
fDifEcvmmyt
mdmrkgmkgm
B
CCB
En la figura se muestra el DCL del cilindro
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1.......(....................
0
0
0
rTdk
M
S
En la figura se muestra el DCL del bloque en posición
de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)2.........(..............................
0
0 gmT
F
B
y
Remplazando la ec.(1) en la ec. (2), resulta
)3...(...............................rgmdk BS
En la figura se muestra el DCL del cilindro para una
posición arbitraria θ a partir de la posición de equilibrio.
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación
resulta
)4.......(cos 0
00
IdxkrT
IM
eS
Del gráfico se observa que xe = d senθ, entonces la
ecuación (4) se escribe
)5...(cos. 0 IdsendkrT S
Para ángulos pequeños se tiene que
6).........(1.........cosy sen
Remplazando la ec. (6) en la ec. (5), da
)7....(..........
.
2
2
12
0
rmkdkrT
IddkrT
CS
S
En la figura se muestra el DCL del bloque en una
posición Y a partir de la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
123
)8.....(..........YmgmT
YmTgm
YmF
BB
BB
By
Remplazando la ec. (8) en (7),
)9....(. 2
2
12
2
2
12
rYmrmkddkrgm
rmkddkrYmgm
CCSB
CSBB
Remplazando la ec.(3) en (9) resulta
)10...(..........2
2
12 rYmrmkd BC
Teniendo en cuenta que
)11........(.................... rYrY
La ecuación (10) se escribe
)12...(08,80
03,0
2,02006
2
10
0
0
2
2
2
1
22
2
1
YY
YY
Yr
dkYmm
r
YkdrYm
r
Yrm
BC
BC
La ec. (12) es la ecuación diferencial de una MAS con
frecuencia circular dad por
...........43,18,802
1
/ 8,802
RtaHzff
sradfn
La solución de la ecuación diferencial (12), es
)13..(....................99,80 tsenYY
La velocidad será
)14........(..........99,8cos99,8 0 tYY
Remplazando las condiciones iniciales, se tiene
/2y 05,0Y
tienese ,Re
cos99,80
05,0
0
0
0
m
solviendo
Y
senY
Finalmente la posición en función del tiempo será
....................2
99,805,0 RtatsenY
Problema 26.
Determine la pulsación natural ωn del sistema mostrado
en la figura. Se desprecian la masa de las poleas y el
rozamiento en ellas.
Solución.
Datos e incógnitas
.??;..;..;.. 21 nmmmk
En la figura se muestra el DCL del carro, en posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las
direcciones mostradas, se tiene
)1.......(....................
0
0 mgsenkT
F
S
x
En la figura se muestra el DCL del sistema del bloque
más la polea
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
124
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)2...(........................................2
0
0 mgT
Fy
Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene
)3.....(....................2
mgsenkmg
S
En la figura se muestra el DCL del carro cuando se ha
desplazado una cierta distancia X hacia arriba a partir
de la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
)4........(XmXkmgsenT
XmXkmgsenT
XmF
S
S
x
En la figura se muestra el DCL del bloque más la polea
cuando se ha desplazado una distancia Y hacia abajo a
partir de su posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
)5......(..............................2 YmTmg
YmFy
Remplazando la ec. (4) en (5), resulta
)6......(222 YmXmXkmgsenmg S
Por cinemática de movimientos dependientes, se tiene
)7..(....................202
tan2
YXYX
teconsYX BA
Remplazando la ec (7) en (6) resulta
)8...(2
222
XmXmXkmgsenmg S
Al sustituir la ec. (3) en (8), se tiene
)10.........(..........05
4
045
0222
Xm
kX
kXXm
kXXmX
m
La ec. (10) constituye la ecuación diferencial del MAS
con una frecuencia circular expresada por
.................................5
4Rta
m
kn
Problema 27.
Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre un
plano inclinado mediante un resorte cuya constante es k
= 400 N/m. El radio de giro del cilindro con respecto a
su centro de masa es KG = 125 mm; los radios son r1=
100 mm y r2 = 200 mm. Determine: (a) La ecuación
diferencial del movimiento del carrete, (b) El período y
la frecuencia para pequeñas oscilaciones.
Datos e incógnitas
1 2
3 ; 400 / ; 125
100 ; 200 ; . '??
Gm kg k N m K mm
r mm r mm E dif
En la figura se muestra el DCL del cilindro escalonado
en posición de equilibrio
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
125
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
0
0
0 (1)
x x
s e
s s
F ma
mgsen F F
mgsen F k
1 2
2
1
0
( ) ( )
200( ) ( )
100
2 (2)
G G
s e
s e e
s s
M I
F r F r
r mmF F F
r mm
F k
Remplazando la ecuación (2) en (1), resulta.
2 0
3 0 (3)
s s
s
gsen k k
gsen k
En la figura se muestra el DCL del cilindro escalonado
para un desplazamiento xG a partir de su posición de
equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
( ) (4)
x x
R e x
R s e G
F ma
mgsen F F ma
mgsen F k x mx
1 2( ) ( )
G G
R e G
M I
F r F r I
1 2
2 1
1
( ) ( )( )
( )( / ) (5)
R s e G
GR s e
F r k x r I
IF k x r r
r
Sumando las ecuaciones (4) y (5) se tiene
2 1
1
( ) ( )( / ) (6)Gs e s e G
Imgsen k x k x r r mx
r
Remplazando la ecuación (3) en (6) resulta
2
1
( )3 0 (7)G
G e
mKmx kx
r
Cinemática para determinar la relación entre la
deformación del resorte y el desplazamiento.
1 1 2
tg sen G ex x
r r r
1
(8)Gx
r
1 2
1
100 200( ) 3 (9)
100e G G G
r r mm mmx x x x
r mm
Remplazando la ecuación (8) y (9), en la ecuación (7)
resulta
2
1 1
2
2
( )3 (3 ) 0
3(0,125)3 9(400) 0
0,1
7,68 3600 0
G GG G
G G G
G G
mK xmx k x
r r
x x x
x x
La frecuencia circular será
3600468,75 21,65 /
7,68rad s
El periodo será
221,65 0, 29
1 13, 45
0, 29
T segundosT
f f HzT
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
126
Problema 28.
La plataforma A de 50 kg está unida a los resortes B y
D de constante k = 1900 N/m cada uno. Se desea que la
frecuencia de vibración de la plataforma no varíe
cuando sobre ella se deposita un bloque de 40 kg, por lo
que se añade un tercer muelle C. Determine la constante
del resorte C.
Solución
Datos e incógnitas
50 ; 1900 / ; 40 ; ???
var
A x xm kg k N m m kg k
f no ía
En la figura se muestra el DCL del sistema cuando se
añade el resorte y el bloque, en estado de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
1 2
0
( ) ( ) 0
y
A x s C s s
F
m m g k k k
En la figura se muestra el DCL del sistema para un
desplazamiento y a partir de la posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
1 2( ) ( )( ) ( )
y A x
A x C s A x
F m m y
m m g k k k y m m y
Remplazando la ecuación (1) en (2) se tiene
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) 0
y A x
C A x
A x C
F m m y
k k k y m m y
m m y k k k y
Cuando todavía no se coloca mx y kC, la ecuación
anterior se escribe
1 2( ) 0
40 3800 0
Am y k k y
y y
La frecuencia será
1
1
38008,72 2
50
1,39
n f
f hz
Cuando se coloca mx y kC, se tiene
1 2( ) ( ) 0
(40 50) (3800 ) 0
90 (3800 ) 0
A x C
C
C
m m y k k k y
y k y
y k y
En este caso la frecuencia es
2
2
38002
90
38001
2 90
Cn
C
kf
kf
Como las frecuencias son iguales, se tiene
1 2
380011,39
2 90
C
f f
k
Resolviendo la ecuación se tiene
3040 /Ck N m Rta
Problema 29
Un bloque de 25 kg está soportado por un cable, que se
enrolla sobre un disco circular de 35 kg y 0,5 m de radio
y está sujeto a un resorte como se muestra en la figura. Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m desde su posición de
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
127
equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuación
diferencial para el movimiento del bloque, (b) el
período natural de la vibración y (c) la velocidad
máxima del bloque.
En la figura se muestra el DCL del bloque en equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
0
0
y
B
F
m g T
(1)
En la figura se muestra el DCL del disco en equilibrio
estático
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0OM
0
0
( ) ( ) 0s
s
T R k R
T k
(2)
Remplazando (1) en (2) resulta
0B sm g k (3)
Bloque desplazado una distancia y a partir de la
posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
B Bm g T m y (4)
En la figura se muestra el DCL del disco cuando gira un
ángulo θ en sentido horario
Ecuación de movimiento de rotación
( ) ( )
O O
s e O
M I
T R k x R I
( ) Os e
IT k x
R (5)
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
2( / 2)
( ) DB s e B
m Rm g k x m y
R
2
DB s e B
m Rm g k kx m y (6)
Remplazando la ecuación (3) en (6), resulta
02
DB e
m Rm y kx
De la cinemática de los desplazamientos se tiene
/ /
/ /
e e
e
x R x R y R
x R y R
(7)
Al remplazar la ecuación (7) en (6) se tiene
( / ) 02
DB
m Rm y y R ky
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
128
02
(2 ) 2 0
DB
B D
mm y y ky
m m y ky
85 900 0y y (8)
La frecuencia circular será
900 2
10,58885
nT
De donde se obtiene el período
1,93T s
La solución de la ecuación diferencial es
( ) ( 10,588 )nx Asen t Asen t
La velocidad será
10,588 ( 10,588 )x A cos t
Remplazando las condiciones iniciales resulta
0,2
0 10,588 cos
Asen
A
2
0, 2A
Remplazado estos valores en la velocidad se tiene
6,5 ( 10,588 / 2)x cos t
La velocidad máxima será
max max 2 10,588 0,65 /v x m s
Problema 30
Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está
articulada en A y unida a dos resortes, ambos de
constante elásticas k = 300 N/m. Halle: (a) la masa m
del bloque C para que el período de las pequeñas oscilaciones sea T = 0,4 s, (b) Si el extremo se desplaza
40 mm y se suelta desde el reposo, halle la velocidad
máxima del bloque C.
Solución
Datos e incógnitas
1 2
max
0,75 ; 300 /
( ) ??; 0,4 ;( ) ??
AB
C
m kg k k N m
a m T s b v
En la figura se muestra el DCL de la barra más el
bloque m.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
2 2 1 1
0
(0,8) (0,55) (0,5) (0,5) 0
A
C AB s s
M
m g m k k
2 1(0,8) (0,55) ( )(0,5) 0C AB s sm g m k (1)
En la figura se muestra el DCL del sistema barra más
bloque cuando se ha desplazado un ángulo θ en sentido
anti horario.
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación a la
barra se tiene.
2 2
1 1
(0,8cos ) (0,55cos ) ( )(0,5cos )
( )(0,5cos )
A A
C AB s e
s e A
M I
m g m k y
k y I
Para ángulos pequeños 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≅ 1 y 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃,
1 2
1 2
(0,8) (0,55) ( 2 )(0,5)
(0,8) (0,55) ( )(0,55) 0,5 (2 ) (2)
C AB s s e A
C AB s s e A
m g m k y I
m g m k k y I
Remplazando la ecuación (1) en (2) resulta
0A eI ky (2)
De la gráfica se tiene
0,5 0,5ey sen (3)
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
129
El momento de inercia está dado por
2 2
var
2 2
1(0,8 )
3
1(0,75)(1,1) (0,8)
3
A illa collar AB C
A C
I I I m L m m
I m
20,3025 (0,8)A CI m (4)
Remplazando la ecuación (3) (4) en (2) resulta
0,64 0,3025 (0,5 ) 0
1500
(0,64 0,3025)
C
C
m k
m
La frecuencia angular viene dada por
150 2
0,64 0,3025n
Cm T
El período es
(0,64 0,3025)2 0,4
150
CmT
La masa se obtiene despejando de la ecuación anterior
0,477Cm kg
Remplazando este valor en la frecuencia circular
15015,7 /
0,64(0,477) 0,3025n rad s
Aplicando las condiciones iniciales resulta
0 0
0 0
( ) 0,036
cos( ) 0 cos
n
n n n
sen t sen
t
0
2
0,036
La velocidad angular máxima será
max
0,036(15,7)cos 15,7
0,5652 /
t
m s
La velocidad lineal máxima es
max
max
0,5652(0,8)
0,45 /
mas Cv r
v m s
2.5.2. Vibraciones amortiguadas
Problema 31.
Un bloque de masa m se desliza por una superficie
horizontal exenta de fricción, como se muestra en la
figura. Determine el coeficiente de amortiguamiento c
del amortiguador único que podrá sustituir a los dos
representados sin que cambiara la frecuencia de
vibración del bloque.
Solución
Datos e incógnitas
?? c ,0 ; K m
En la figura se muestra el DCL de la masa m, para un
desplazamiento x a partir de la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento según las
direcciones mostradas, se tiene
0)()(
)(
2121
2121
2121
XkkXccXm
XmXcXcXkk
XmFFXkXk
maF
vv
xx
Por lo tanto el coeficiente de amortiguamiento único
será
21 ccc Rta.
Problema 32
Un bloque que pesa 50 N pende, en un plano vertical,
de dos resortes y de un amortiguador, como se muestra
en la figura. Si se desplaza el bloque 175 mm por
encima de su posición de equilibrio y se suelta dándole
una velocidad inicial hacia arriba de 3,75 m/s cuando t
= 0, determine: (a) La ecuación diferencial que rige el
movimiento, (b) El período de la vibración resultante,
(c) la posición del bloque en función del tiempo y (c) El
primer instante t1 > 0 en que el bloque pasa por su
posición de equilibrio.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
130
Solución
Datos e incógnitas
W = 50 N; k1 =1333N/m;k2 = 1000N/m; c =
83,3 N/m; Para t0 = 0, y0 = 175 mm, v0 = 3,75
m/s;
Ec dif= ¿??; T=??; Y = f(t); t1 > 0
En la figura se muestra el diagrama del bloque en la
posición de equilibrio, aquí la fuerza viscosa es nula.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
(1) 0
0
2211
Wkk
Fy
En la figura se muestra el DCL del bloque para una
posición arbitraria Y a partir de la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento en dirección Y
se tiene
(2) )()( 2211 YmYcWYkYk
YmFy
Remplazando la ec (1) en (2), resulta
(3) 026,45734.16
0100013333,838,9
50
021
YYY
YYY
YkkYcYm
La solución de la ec diferencial (3) Es de la forma tAey
tAey
tAey 2
Remplazando las ecuaciones anteriores se obtiene
06,45734,162 tAe
La ecuación característica es
06,45734,162
La raíces de la ecuación característica son
)76,19(17,82,1 i
De la ecuación anterior se obtiene que
γ = 8,17
ωd = 19,76
El período será
Td = 0,318
La posición del bloque en cualquier instante es
tsenAey d
t
tsenAey t 76,1917,8
La velocidad es
)76,19cos(76,19)76,19(17,817,8 ttsenAey t
Aplicando las condiciones iniciales
cos76,1917,875,3 AAsen
Resolviendo estas ecuaciones se tiene
mmA
rad
177,0
41,1
La posición en cualquier instante será
Asen175,0
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
131
14,176,19177,0 17,8 tseney t
El tiempo t1 > 0, se determina haciendo Y = 0
14,176,19177,00 17,8 tsene t
Calculando el valor de t se obtiene
T = 0,1 seg Rta.
Problema 33
Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento c para
el cual el sistema está críticamente amortiguado si la
constante de cada resorte es k = 70 kN/m y m = 90 kg.
Solución
En la figura se muestra el DCL del bloque m en
equilibrio
Aplicando la ecuación de equilibrio se tiene
0
3
y
s
F
k mg
En la figura se muestra el DCL del bloque m en
movimiento, para una posición y
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
3 ( ) 2
y
s
F my
mg k y cy my
Remplazando la ecuación (1) en (2) se tiene
2 3 0
90 2 3(70000) 0
90 2 210000 0
22333,3 0
90
my cy ky
y cy y
y cy y
cy y y
La razón de amortiguamiento está dada por
2 / 90
2 2 1(2333,3)
eff
eff eff
c c
m k
El amortiguamiento crítico ocurre cuando
/ 901
1(2333,3)
4347,4 . /
c
c N s m
Problema 34.
Un bloque que pesa 100 N se desliza por una superficie
sin fricción, según se indica. Los dos resortes están
sometidos a tracción en todo momento y las poleas son
pequeñas y sin fricción. Si se desplaza al bloque 75 mm
a la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta
dándole una velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha
cuando t = 0, determine: (a) la ecuación diferencial que
rige el movimiento, (b) el período de la vibración
resultante, (c) la posición del bloque en función de
tiempo.
Solución
Datos e incógnitas
W = 100 N; k1 = 833N/m;k2 = 1333N/m; c = 167 N.s/m;
Para t0 = 0, x0 = 75 mm, v0 = 1,25 m/s;
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
132
Ec dif= ¿??; T=??; Y = f(t); t1 > 0
En la figura se muestra el diagrama del bloque en la
posición de equilibrio, aquí la fuerza viscosa es nula.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
110
0
kT
Fx
(1)
En la figura se muestra el DCL de la polea móvil
Aplicando las ecuaciones de equilibrio
12202
0
kT
Fy
(2)
Comparando las ecuaciones (1) y (2), se tiene
22112 kk (3)*
En la figura se muestra el DCL del bloque para un
desplazamiento x hacia la derecha.
Aplicando la segunda ley de newton, se tiene
xF mx
1 1T cx k x mx (4)
En la figura se muestra la DCL de la polea
imponderable, para un desplazamiento Y hacia abajo
Aplicando la segunda ley de newton se tiene
YF my
2 2 2 0k y T
22
2
kT y
(5)
Remplazando la ec (5) en (4), resulta
22 1 1( )
2
ky cx k x mx (6)
Remplazando la ec (3) en (6) se tiene
21 0
2
kmx cx k x y (7)
Por cinemática de movimiento dependiente se obtiene
2
/ 2
x y
y x
(8)
Al remplazar la ec (8) en (7), resulta
1 2 / 4 0
133310,2 167 833 0
4
mx cx k k x
x x x
16,37 1144,34 0x Xx x (9)
La solución de la ecuación diferencial es de la forma
tAey
tAey
tAey 2 (10)
Remplazando las ecuaciones anteriores se obtiene
034,11437,162 tAe
La ecuación característica es
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
133
034,11437,162 (11)
Las raíces son
)9,6(2,82,1 i (12)
De la ecuación anterior se obtiene que
γ = 8,2 (13)
ωd = 6,9 (14)
La posición del bloque en cualquier instante es
t
dx Ae sen t
8,2 6,9tx Ae sen t (15)
La velocidad en función del tiempo es
8,2 8,2 (6.9 ) 6,9cos(6,9 )tXx Ae sen t t
Remplazando las condiciones iniciales
Asen 075,0
cos9,62,825,1 AAsen
Resolviendo estas ecuaciones se tiene
mA
rad
119,0
68,0
Por lo tanto la posición en cualquier tiempo es
8,20,119 6,9 0,68tx e sen t
El tiempo t > 0 para el cual v = 0, se obtiene de la
velocidad
1
8,2
8,2
1 1
0,119 8,2 (6.9 0,68) 6,9cos(6,9 0,68)
0 0,119 8,2 (6.9 0,68) 6,9cos(6,9 0,68)
t
t
x e sen t t
e sen t t
Resolviendo eta última ecuación se determina el tiempo
solicitado
t1 = 0,19 s Rta.
Problema 35
Dos barras esbeltas están soldadas según se indica. La
barra ABC pesa 10 N y en la posición de equilibrio está
horizontal. La barra BD pesa 15 N y en la posición de
equilibrio está vertical. Determine: (a) a) la razón de
amortiguamiento ζ. (b) el tipo de movimiento y (c) la
frecuencia y el período del movimiento (si procede).
Solución
Datos e incógnitas
WABC = 10 N; WBD =15N k = 40N/m c = 167 N.s/m; (a)
ξ = ??; (b) Tipo de mov; (c) T = ??, f = ¿?
En la figura se muestra el DCL del sistema de varillas
para una posición angular θ cualquiera
Aplicando las ecuaciones e movimiento al sistema, se
tiene
BB IM (1)
0,3 0,2cos 0,2cosBD v Bm g sen kY F I
Para ángulos pequeños senθ = θ y cosθ =1,
2 2
0,3 0,2 0,2 0,2
15(0,3) 40(0,2 ) 80(0,2 )
BD B
B
m g kY c I
I
La ecuación diferencial de la vibración será
01,62,3 BI (2)
Se procede a determinar el momento de inercia de las
varillas respecto al punto B
2 2 2 210 151 1 1 1
12 3 12 9,8 3 9,8( )(0,4) ( )(0,6)B ABC ABC BD BDI m L m L
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
134
2.197,0 mkgI B (3)
Remplazando la ec. (3) en (2), se tiene
096,302,3197,0 Rta.
Parte (a). Cálculo de la razón de amortiguamiento
)96,30(197,02
2,3
2
effeff
eff
km
c
46,1 Rta.
Parte (b) Tipo de movimiento. Como la razón de
amortiguamiento es mayor que la unidad, el movimiento es sobre amortiguado.
Parte (c). Como el movimiento es sobre amortiguado
no hay período ni frecuencia.
Problema 36.
Un cilindro uniforme de 5 kg rueda sin deslizar por un
plano inclinado, según se muestra. El resorte está unido
a un hilo ligero inextensible, arrollado sobre el cilindro
y el amortiguador lo están a un pequeño pasador sin
fricción situado en el centro G del cilindro de 400 mm
de diámetro. Determine: (a) la razón de
amortiguamiento. (b) el tipo de movimiento y (c) la
frecuencia y el período del movimiento (si procede).
Solución
Datos e incógnitas
m = 5kg, k = 1200 N7m; c= 400 N.s/m; θ = 15º
(a) ζ = ??; (b) tipo de mov.; (c) T = ¿? f =¿?
En la figura se muestra el DCL del cilindro en posición
de equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
0
kFmgsen
F
R
x
(1)
0
0
0,
rkrF
M
e
G
(2)
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
02 kmgsen (3)
En la figura se muestra el DCL del cilindro para un
desplazamiento x del centro de masa.
.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
XmXcXkFmgsen
maF
GeR
Gxx
)( (4)
GeR
GG
IrXkrF
IM
)(
rIXkF GeR / (5)
Sumando la ec. (4) y (5), resulta
r
IXmXcXkmgsen G
Ge
)(2
Remplazando la ec. (3) en (5), se tiene
2 0 (6)Ge
ImX cX kX
r
Relaciones cinemáticas. Tomando como centro
instantánea al punto de contacto
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
135
rX
rX
rX
e
G
G
2
(7)
Remplazando la ecuación (7) en (6) y el valor del
momento de inercia, resulta
042
3 GG kXXcXm
Remplazando valores, se tiene
0)1200(4400)5(2
3 GG XXX
048004005,7 GG XXX
La razón de amortiguamiento será
)4800(5,72
400
2
effeff
eff
km
c
05,1
Como la razón de amortiguamiento es mayor que la
unidad el movimiento es sobre amortiguado. Por lo
tanto no existe período ni frecuencia.
Problema 37
Calcular la razón de amortiguamiento ξ del sistema
representado en la figura si la masa y el radio de giro
del cilindro escalonado son m = 9 kg y KG = 140 mm, la
constante del resorte es k = 2,6 kN/m y el coeficiente de
amortiguamiento del cilindro hidráulico es c = 30
N.s/m. El cilindro rueda sin deslizamiento sobre su
radio r = 150 mm y el resorte tanto a tracción como a
compresión.
Solución
Datos e incógnitas
M = 9 kg; KG =140 mm; k = 2600 N/m; r = 0,15m
c =30 N.s/m
En la figura se muestra el DCL de la rueda en posición
de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta
0 xF
0 sR kF (1)
0GM
FR(r) = 0 (2)
Remplazando (2) en (1), resulta
0sk (3)
En la figura se muestra el DCL de la rueda para un
desplazamiento XG de su centro de masa.
Aplicando las ecuaciones de movimiento resulta
XmFx
XmFFF VeR
XmXckXF GR (4)
GG IM
rmKF
mKrF
GR
GR
/
)(
2
2
(5)
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
r
mKXmXckX G
GGG
2
(6)
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
136
Relaciones cinemáticas. Tomando como centro
instantáneo el punto de contacto de la rueda con el piso.
r
X
rX
rX
G
G
G
(7)
Remplazando la ec. (7) en (6), se tiene
r
X
r
mKXmXckX GG
GGG
2
012
2
GGG
G kXXcXr
Km
Remplazando lo valores dados en el problema resulta
026003084,16 GG XXX
La razón de amortiguamiento será
)2600(84,162
30
2
effeff
eff
km
c
0716,0 Rta.
Problema 38.
Para el sistema representado escribir su ecuación
diferencial de movimiento en función de la variable x.
Hallar la expresión del índice de amortiguamiento en
función de las constantes del sistema indicadas.
Desprecie la masa de la palanca AB y suponer que se
efectúan pequeñas oscilaciones en torno a la posición de
equilibrio representada.
Solución
Datos e incógnitas
M; k; c; a; b; ec. Dif = ¿?
En la figura se muestra el DCL del bloque m
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0yF
SkmgT 0 (1)
En la figura se muestra el DCL de la palanca acodada
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0 oM
0)(0 aT (2)
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
Skmg 0 (3)
En la figura se muestra el DCL del bloque para un
desplazamiento Y a partir de su posición de equilibrio
Aplicando la segunda ley de Newton se tiene
YmFy
YmYkmgT S )(
)( YkmgYmT S (4)
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
137
En la figura se muestra el DCL de la palanca acodada
para una posición angular cualquiera.
Aplicando las ecuaciones de movimiento, resulta.
OIM 0
Debido a que la palanca es de masa despreciable, el
momento de inercia es nulo
0)cos()cos( bFaT V
Para ángulos pequeños cosθ = 1, entonces
0)()( bFaT V (5)
Reemplazando la ec (5) en (4), se tiene
0)( bcvaYkmgYm S (6)
Al sustituir la ec. (3) en (4), resulta
)(bcvakYYm (7)
De la geometría de la figura se obtiene
b
Y
a
Ysen V
Ya
bYV
Ya
BvV
(8)
Remplazando la ec. (8) en (7), se tiene
02
kaYa
YcbYma
02
Ym
kY
a
cbY (9)
La razón de amortiguamiento será
mk
macb
km
c
effeff
eff
/12
/
2
22
mka
cb2
2
2 Rta.
2.5.3 Vibraciones forzadas.
Problema 39
Dos esferas de M = 2 kg de masa cada una están
soldadas a una barra ligera que está articulada en el
punto B. Una segunda barra ligera AC está soldada a la
anterior. Se aplica una perturbación en el punto A igual
a F =F0 Senωt. En el otro extremo C, se encuentra un
muelle recuperador que cuando AC está horizontal no
presenta deformación. Si la amplitud de la rotación
estacionaria del sistema se mantiene por debajo de
20.10-3 rad, ¿Qué rango de frecuencias ω está
permitido?. Utilizar los siguientes datos: l = 300 mm; K
= 7000N/m; F0 = 10 N; a = 100 mm.
Solución
En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto
por las dos masas más las dos varillas
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
138
BB IM
Be IaFlsenMgMgaF cos)()cos(
Para ángulos pequeños 1cos , entonces
Be IaFaF
akxItsenaF eB 0
akxMlMltsenaF e 220
akxMltsenaF e 20 2
22 )1,0(7000)3,0)(2(2)10(1,0 tsen
tsen 7036,0 (1)
La solución permanente es de la forma
tsen 0 (2)
La velocidad y la aceleración se expresan
t cos0 (3)
tsen 02 (4)
Remplazando las ec. (2), (3) y (4), en(1) resulta
tsentsentsen 002 7036,0
Simplificando se tiene
17036,0 002
136,070 20
Remplazando valores se obtiene
srad /45,7
Problema 40
Dos barras uniformes iguales cada una de masa m están
soldadas formando un ángulo recto y están suspendidas,
tal como se muestra, de un eje horizontal que pasa por
O: hallar la pulsación excitadora crítica ωC del bloque
B capaz de producir en el sistema unas oscilaciones de amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es m.
Solución
En la figura se muestra el DCL del sistema formado por
las dos varillas.
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
oo IM
'
2 2 2cos cosl l l
e e oF F mg sen I
Para ángulos pequeños, senθ ≈ θ y cosθ ≈ 1.
2 2 2 2 2l l l l l
B ok k y mg I
Simplificando la ecuación anterior, resulta
2
2 2 2o B
kl mgl klI y (1)
El momento de inercia esta dado por
2
1212
31 mlmlIo
12
5 2mlIo (2)
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
tbsenklmglklml
22212
5 22
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
139
Simplificando resulta
tsenml
kb
ml
mgkl
5
6
5
66
La ecuación obtenida es una ecuación diferencial que
describe el movimiento forzado sin amortiguamiento.
Su frecuencia natural circular está dada por la ecuación
l
g
m
kn
5
6
La pulsación para la resonancia es
l
g
m
knC
5
6 Rta.
Problema 41
EL elemento de fijación B recibe un movimiento
horizontal xB = b cos ωt. Deducir la Ecuación
diferencial del movimiento de la masa m y definir la
pulsación crítica ωC para la cual las oscilaciones de la
masa se hacen excesivamente amplias.
Solución
En la figura se muestra el DCL de m para un
desplazamiento x a partir de su posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL,
resulta
xVee maFFF '
xmxcxxkxk B 21
Bxkxkkxcxm 221
tbkxkkxcxm cos221
La frecuencia natural es
1 2( ) /n k k m
La frecuencia de resonancia está dada por
m
kknC
21 Rta.
Problema 42
Los dos bloques mostrados en la figura pende, en un
plano vertical, de una barra de masa despreciable que
está horizontal en la posición de equilibrio. Si se aplica
al punto D de la barra una fuerza P(t) = 20 sen(Ωt),
determine la máxima amplitud de la oscilación
estacionaria del bloque de 50 N.
Solución
En al figura se muestra el DCL del bloque de 50 N en
equilibrio estático.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0yF
0500 NT (1)
En la figura se muestra el DCL del bloque de 75 N.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0yF
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
140
075'0 NkT (2)
En la figura se muestra el DCL de la barra de masa
despreciable en equilibrio
Tomando momentos respecto a B, se tiene
0BM
'
0 0(0,15) (0,450) 0T T (3)
En la figura se muestra el DCL del bloque de 50N para
una posición Y.
La segunda ley de Newton nos da
yy maF
yycT 8,9
50501
yycT 1,5501 (5)
En la figura se muestra el DCL para el bloque de 75N
para un desplazamiento respecto a su posición de
equilibrio.
Aplicando la segunda ley de Newton
yy amF 22
2228,9
7575 yTyk
222 65,775 yykT (6)
En la figura se muestra el DCL de la barra para un
desplazamiento angular cualquiera
Aplicando las ecuaciones de movimiento, resulta
BB IM
2 10,15 cos 0,45 cos 20 0,225cos 0T T sen t
Para ángulos pequeños cosθ ≈ θ, entonces se tiene
2 10,15 0,45 20 0,225T T sen t (7)
Remplazando (5) y (6) en (7), y en este resultado se
reemplaza la ecuación (4), se tiene
tsenyyy 5,412585,1468.2
La solución particular tiene una amplitud
222
,0
effeff
eff
m
cmk
Fy
222 85,1468,2125
5,4
my
La máxima amplitud se obtiene derivando la ecuación
anterior respecto de Ω. Al realizar la derivada e
igualarlo a cero se tiene
srad /59,5
Remplazando el valor de la frecuencia circular obtenida
en la amplitud de la vibración de estado permanente se
tiene
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
141
222 )59,5(85,14)59,5(68,2125
5,4
my
mmy 5,48max Rta.
Problema 43
El movimiento del bloque E mostrado en la figura es
armónico y lo define la ecuación yE =0,15 sen10t,
donde yE y t se expresan en metros y segundos,
respectivamente. La constante de R1 es 150 N/m y la
constante de R2 es 250 N/m. Se considera despreciable
la masa de las barras que soportan al cuerpo W de 15
kg. Halle la solución estable que describe el
movimiento del sistema.
Solución
En la figura se muestra se muestra el DCL del sistema
girado un ángulo θ respecto a la posición de equilibrio
Las ecuaciones de movimiento serán
2 2 2 1 1 1( )(1,2cos ) ( )(0,6cos )
(1,2 )
A A
E e e
A
M I
k y y k y
mg sen I
2 2 2 1 1 1( )(1,2) ( )(0,6) (1,2 ) (1)E e e Ak y y k y mg I
En el equilibrio, θ = 0°, y1e = 0, y2e = 0, y yE = 0,
entonces se tiene
2 2 1 1( )(1,2) ( )(0,6) 0k k (2)
Remplazando al ecuación (2) en (1) resulta
2 2 1 1 21,2 0,6 1,2 1,2A e e EI k y k y mg k y
2 1 2
2 2 2
2 1 2
2 2 2
2 1 2
1,2 (1,2 ) 0,6 (0,6 ) 1,2 1,2
(1,2) 1,2 0,6 1,2 1,2
(1,2) (1,2 0,6 1,2 ) 1,2
A E
E
E
I k k mg k y
m k k mg k y
m k k mg k y
Remplazando los valores del enunciando resulta
21,6 590,4 45 10sen t (3)
La solución estable será
10
10 cos10
100 10
m
m
m
sen t
t
sen t
(4)
Al remplazar las ecuaciones (4) en (3), resulta
21,6( 100 10 ) 590,4( 10 ) 45 10
2160 590,4 45
0,028
m m
m m
m
sen t sen t sen t
Por tanto la solución estable será
0,028 10
0,028 10
sen t
sen t
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
142
2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS.
2.6.1 Vibraciones libres
1. En la figura mostrada, la coordenada x mide el
desplazamiento del centro de gravedad del carrito
de masa m = 10 kg respecto a su posición de
equilibrio. Si en t = 0 el carrito está en la posición
en la cual el resorte de constante k = 90 N/m está
sin deformar y tiene una velocidad de 0,3 m/s hacia
la derecha. Determine: (a) el período y la
frecuencia del movimiento del centro de masa del
carrito y (b) la posición como función del tiempo.
2. El cilindro de 2 kg se encuentra suspendido de un
resorte de constante k = 98 N/m como se muestra
en la figura. Si se desplaza al cilindro 100 mm hacia
abajo y se suelta desde el reposo cuando t = 0.
Determine: (a) la elongación y la velocidad cuando
t = 3 s; (b) la aceleración máxima del cilindro.
3. El carrito de masa m = 4 kg y el resorte unido al
muelle de constante k = 64 N/m, se encuentran
inicialmente en reposo como se muestra en la
figura. Si el carro se desplaza hacia 10 mm hacia
abajo del plano inclinado y se libera desde el
reposo. Determine: (a) el período y la frecuencia de
la vibración resultante, (b) La posición en función
del tiempo del carrito.
4. Con la hipótesis de ausencia de deslizamiento,
hallar la masa m del bloque a colocar encima del
carrito de 6 kg para que el período del sistema sea
de 0,75 segundos. ¿Cuál es el coeficiente de
rozamiento estático mínimo μS del sistema para el
cual el bloque no resbala sobre el carrito cuando
éste se aparta 50 mm de la posición de equilibrio y
luego se suelta?.
5. Si los dos resortes están sin deformar cuando la
masa se halla en la posición central representada,
determine el desplazamiento estático de la misma,
¿Cuál es el período de las oscilaciones en torno a la
posición de equilibrio?.
6. Al cilindro de masa m se le da un desplazamiento
vertical y0 desde su posición de equilibrio y se
suelta desde el reposo. Despreciando la masa y la
fricción en la polea. Determine: (a) la ecuación
diferencial de la vibración vertical del cilindro y (b)
el período y la frecuencia natural de las
oscilaciones pequeñas.
7. Durante el diseño de un sistema de soporte con
resortes cuya plataforma es de 4000 kg, se ha
decidió que las vibraciones libres verticales en la
condición de descargado no debe exceder de f1 = 3 ciclos/s. (a) Determine la constante máxima k
aceptable para cada uno de los tres resortes
idénticos y (b) Para esta constante de los resortes, ¿cuál podría ser la frecuencia natural fn de las
vibraciones verticales de la plataforma cargada con
un camión de 40 Mg?.
8. En la posición de equilibrio, el cilindro de 30 kg
causa una deformación estática de 50 mm en el
resorte helicoidal. Si el cilindro es desplazado una
distancia adicional de 25 mm y liberado desde el
reposo, determine la frecuencia natural resultante fn
de la vibración vertical del cilindro en Hz.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
143
9. Hallar la frecuencia natural fn de las oscilaciones
verticales del cilindro de masa m. despreciar la
masa del cilindro escalonado y el rozamiento del
mismo.
10. El carrito de masa m se encuentra unido a dos
resortes k1 y k2. Si ambos resortes se encuentran sin
deformar cuando el carrito se encuentra en
equilibrio. Determine la frecuencia natural para
pequeñas oscilaciones.
11. Calcular la frecuencia natural ωn del sistema
mostrado en la figura. Desprecie la masa, el tamaño
y el rozamiento de las poleas.
12. Un bloque de 35 kg está soportado por el
dispositivo de muelles que se muestra. Desde su
posición de equilibrio sufre un desplazamiento
vertical descendente y se suelta. Sabiendo que la
amplitud del movimiento resultante es 45 mm,
halle: (a) la ecuación diferencial que gobierna a
cada uno de los movimientos de los bloques (b) el
período y la frecuencia del movimiento, (c) la
velocidad y la aceleración máximas del bloque.
13. En el sistema mostrado en la figura, desprecie la
masa y la fricción de las poleas y determine la
frecuencia angular para oscilaciones pequeñas del
bloque de masa m
14. El período de vibración del sistema mostrado en la
figura es 0,80 s. Si el cuerpo A es removido, el
período del sistema es 0,7 s. Determine: (a) la masa
del cuerpo C, (b) el período de vibración del
sistema cuando los bloques A y B son removidos.
15. Una corredera de 5 kg descansa sobre un muelle sin
estar unida a él. Se observa que si la misma se
empuja 180 mm o más hacia abajo y se suelta
pierde contacto con el muelle. Halle: (a) la
constante del muelle, (b) la posición, velocidad y
aceleración de la corredera 0,16 s después de
haberse empujado 180 mm hacia abajo y soltado.
16. El embolo vertical tiene una masa de 2,5 kg y está
sujeto entre dos resortes que se encuentran siempre
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
144
comprimidos. Determine la frecuencia natural fn si
el mismo se aparta de su posición de equilibrio y se
suelta. Desprecie el rozamiento en la guía
17. El proyectil de 0,1 kg se dispara contra el bloque de
10 kg que inicialmente se encuentre en reposo sin
que en el resorte sin que en el resorte actué fuerza
alguna. El resorte tiene ambos extremos sujetos.
Determine la elongación horizontal máxima xmax
del resorte y el período de la oscilación
subsiguiente del bloque con el proyectil incrustado.
18. El disco de 89 N de peso y radio R = 152,4 mm
rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal. El
resorte tiene una constante k = 218,9 N/m . Si en
t = 0, el resorte está sin deformar y el disco tiene
una velocidad angular en sentido horario de
2 rad/s. Determine: (a) el período y la frecuencia de
la vibración resultante y (b) la amplitud de la
vibración resultante del centro del disco.
19. El engranaje de masa m y de radio de giro
alrededor de su centro O de K0. Los resortes de
constantes k1 y k2 se encuentran inicialmente sin
deformar cuando la rueda se encuentra en posición
de equilibrio. Si a la rueda se le da un pequeño
desplazamiento angular θ como se muestra y se
libera desde el reposo. Determine: (a) la ecuación
diferencial del movimiento de la rueda y (b) el
período y la frecuencia para pequeñas oscilaciones.
20. Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en
A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C a
un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle
sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el a
posición representada. Si el punto B se mueve
25 mm hacia abajo y se suelta, halle: (a) el período
de la vibración, (b) la velocidad máxima del punto
B.
21. La longitud del resorte se ajusta de tal manera que
en la posición de equilibrio el brazo se encuentra en
posición horizontal como se muestra en la figura.
Despreciando la masa del brazo y del resorte,
determine la frecuencia natural fn de las pequeñas
oscilaciones.
22. La masa de la barra esbelta mostrada en la figura es
m. El resorte no está estirado cuando la barra está
en posición vertical. El collarín ligero C se desliza
sobre la barra vertical lisa, quedando el resorte
horizontal. Determine la frecuencia natural de las
pequeñas oscilaciones de la barra.
23. La barra uniforme AC de 5 𝑘𝑔 de masa está unida
en B a un resorte de constante 𝑘 = 500 𝑁 /𝑚 y en
A y unida a un resorte de constante 𝑘 = 620 𝑁 /𝑚
pudiendo ambos muelle trabajar a tensión o a
compresión. Si el extremo C se desplaza levemente
y se suelta. Determine: (a) La ecuación diferencial
para el movimiento de la barra, (b) la frecuencia de
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
145
la vibración y (c) la amplitud del movimiento del
punto C sabiendo que la máxima velocidad de ese
punto es 0,9 m/s.
24. Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g
están unidas a los extremos de una varilla AC de
560 g que puede rotar en un plano vertical
alrededor de un eje que pasa por B. Halle el período
de las pequeñas oscilaciones de la varilla.
25. El bloque tiene una masa m y es soportada por una
barra rígida de masa despreciable. Si el resorte
tiene una constante elástica k . Determine el período
y la frecuencia de la vibración del bloque.
26. Determine el período natural de la vibración de la
esfera de masa m = 3 kg. Desprecie la masa de la
barra y el tamaño de la esfera
27. La boya cilíndrica flota en agua salada (densidad,
1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 kg con un
centro de masa bajo para que se mantenga estable
en la posición vertical. Hallar la frecuencia fn de sus
oscilaciones verticales. Suponga que la superficie
del agua permanece tranquila en sus proximidades.
28. La rueda de 50 lb tiene un radio de giro con
respecto a su centro de gravedad G de kG = 0,7
pies. Determine la frecuencia de vibración si se
desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y
se suelta. Suponga que no existe deslizamiento.
29. La polea de 50 kg de masa es unida a dos resortes
como se muestra en la figura. Si la polea es
desplazada una pequeña cantidad y liberada,
determine el período y la frecuencia. El radio de
giro de la polea es KG = 250 mm.
30. Una barra uniforme esbelta de 3 kg está atornillada
a un disco uniforme de 5 kg. Al disco está sujeto un
muelle de constante 280 N/m que está sin deformar
en la posición representada. Si el extremo B de la
varilla recibe un pequeño desplazamiento a la
izquierda y se suelta, halle el período de la
vibración del sistema.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
146
31. Una barra esbelta AB de 7,5 kg está atornillada a un
disco uniforme de 6 kg. A su perímetro está sujeta
una correa y un muelle de constante k = 5
kN/m ayuda a mantener la barra en equilibrio en la
posición representada. Si el extremo A de la barra
se mueve 20 mm hacia abajo y se suelta desde el
reposo. Determine: (a) el período de la vibración
del sistema y (b) la velocidad máxima de A.
32. Determine la frecuencia natural para pequeñas
oscilaciones de la esfera de 10 lb de peso cuando la
barra es desplazada un pequeño ángulo y liberada.
Desprecie el tamaño de la esfera y la masa de la
barra. El resorte tiene una longitud no deformada
d = 1 pie y una constante k = 5 lb/pie.
33. El peso G = 25 lb está fijo en el extremo de la barra
como se muestra en la figura. Si ambos resortes de
contantes k = 2 lb/pulg están sin deformar cuando
el ensamblaje está en la posición vertical.
Determine el período y la frecuencia natural de la
vibración del peso cuando es desplazado
ligeramente un ángulo θ y liberado. Desprecie el
tamaño del bloque y la masa de las barras.
Considere que r = 12 pulg, y d = 6 pul.
34. Un brazo ABC de 635 g está sujeto en B por un
pasador y en C a un muelle: En C está conectado a
una masa de 11,4 kg unida a un muelle. Sabiendo
que ambos muelles pueden trabajar a compresión o
a tracción, halle la frecuencia de las pequeñas
oscilaciones del sistema cuando la masa reciba un
leve desplazamiento vertical y se suelta.
35. Sobre una superficie horizontal se deposita un
semicilindro macizo de radio r y se le hace rotar un
pequeño ángulo y se suelta. Suponiendo que rueda
sin deslizar. Determine la frecuencia de sus
oscilaciones pequeñas.
36. Una masa de 4 kg está suspendida en un plano
vertical según se muestra. Los dos resortes están
sometidos s y tracción en todo momento y las
poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a la
masa a 15 mm por encima de su posición de
equilibrio y se suelta con una velocidad de 750
mm/s hacia abajo cuando t = 0. Halla: (a) La
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
147
ecuación que rige al movimiento, (b) el periodo y la
amplitud de la vibración resultante, (c) la posición
de la masa en función del tiempo.
37. Una barra de peso despreciable está articulada en A
y en el extremo B lleva una esfera puntual de 4 kg
de masa. Si a la varilla se gira un ángulo θ0 = 0,1
rad y se le da una rapidez angular de ω = 0,6 rad/s
en sentido horario en t = 0. Determine: (a) la
ecuación diferencial que describe el movimiento
del sistema, (b) la posición angular en cualquier
tiempo.
38. Un disco delgado de 2 kg y radio r = 200 mm
pende por su borde de un pequeño pasador sin
fricción, como se muestra en la figura. Escribir la
ecuación diferencial del movimiento para la
posición angular θ(t) del disco y determinar el
período y la frecuencia del movimiento vibratorio
resultante.
39. La cáscara semicilíndrica de espesor despreciable.
Pero uniforme, y radio r oscila con pequeña
amplitud sobre la superficie horizontal.
Despreciando el deslizamiento, determine: (a) la
ecuación diferencial para oscilaciones pequeñas y
(b) el período de las oscilaciones.
40. La varilla esbelta uniforme de longitud l y masa
m2nestá fija al disco uniforme de radio l/5 y masa
m1. Si el sistema está representado en su posición
de equilibrio. Determine la pulsación natural ωn y
la velocidad angular máxima ω de las pequeñas
oscilaciones de amplitud θ0 en torno al eje O.
41. Con una barra delgada y uniforme se forma un
semianillo de radio r como se muestra en la figura.
Determine el período y la frecuencia para pequeñas
oscilaciones cuando la barra pivota en su centro
sobre la cuchilla horizontal.
42. Dos cuerdas elásticas están unidas a una pelota de
masa m y estiradas a una tensión inicial T. Si la
pelota recibe un pequeño desplazamiento lateral y
se suelta, determine la frecuencia de la vibración
resultante.
43. El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la figura
está arrollado a un cilindro uniforme de 35 N. Si el
hilo no se desliza por el cilindro, escribir la
ecuación diferencial del movimiento para la
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
148
posición y(t) del bloque de 50 N y determine el
período y la frecuencia de la vibración resultante.
44. El radio del disco mostrado en la figura es R = 100
mm, y su momento de inercia es I = 0,005 kg.m2.
La masa del cilindro pequeño es m = 2 kg y la
constante del muelle es k = 200 N/m. El sistema se
encuentra inicialmente en reposo. En el instante
t = 0, se le da al cilindro una velocidad inicial hacia
debajo de 1 m/s. Determine: (a) El período y la
frecuencia de la vibración resultante y (b) La
posición del cilindro respecto a su posición de
equilibrio como función del tiempo.
45. ¿Cuál es la frecuencia natural de vibración torsional
del cilindro escalonado?. La masa del cilindro es de
45 kg y su radio de giro es de 0,46 m. Utilizar los
datos siguientes: D1 = 0,3 m; D2 = 0,6 m; K1 = 875
N/m; K2 = 1800N/m y WA = 178 N.
46. Un cilindro uniforme de 30 lb puede rodar sin
deslizamiento por un plano inclinado 15°. A su
perímetro está sujeta una correa y un muelle lo
mantiene en equilibrio como se muestra. Si el
cilindro se desplaza hacia abajo 2 pulgadas y se
suelta. Determine: (a) el período de vibración, la
aceleración máxima del cilindro.
47. Derivar la ecuación diferencial del movimiento del
sistema mostrado en la figura en función de la
variable x1. Las masas de las piezas articuladas es
despreciable. Formular la pulsación natural n en
rad/s para el caso k1 = k2 = k y m1 = m2. Se supone
que las oscilaciones son pequeñas
48. Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por un
pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A está
conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede rodar
sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo que
ambos muelles pueden trabajar a tracción o a
compresión, determine la frecuencia de las
pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra
se gira levemente y se suelta.
49. Sobre dos poleas A y B que rotan en sentidos
opuestos descansa una barra de masa m y longitud
L. Siendo μK el coeficiente de rozamiento cinético
entre la barra y las poleas, halle la frecuencia de
vibración si la barra recibe un leve desplazamiento
hacia la derecha y se suelta.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
149
50. Hallar el período T del sistema si la pieza articulada
AB de masa m2 está horizontal en la Posición de
equilibrio estático representada. El radio de giro de
AB con respecto a O es K0 y su centro de gravedad
está ubicado en el punto G. Suponga pequeñas
oscilaciones.
51. Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3
kg. Halle la posición x en que debe encontrarse el
cursor de 1 kg de masa para que el período del
sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas
oscilaciones en torno a la posición horizontal de
equilibrio representada.
52. El disco semicircular tiene una masa m y un radio r
se encuentra articulado en O como se muestra en la
figura. Determine el período natural para pequeñas
oscilaciones del disco si se desplaza ligeramente de
su posición de equilibrio y se suelta desde el
reposo.
53. Los dos bloques mostrados en la figura se deslizan
por sendas superficies horizontales sin fricción. Las
barras de conexión tienen peso despreciable y en la
posición de equilibrio, ABC está vertical.
Supóngase oscilaciones de pequeña amplitud y
determine. (a) la ecuación diferencial del
movimiento del bloque de 75 N y (b) la pulsación
propia de la oscilación.
54. Una barra de 1 m de longitud y 120 N de peso se
mantiene en posición vertical mediante dos muelles
idénticos cada uno de los cuales tiene una constante
k igual a 50 000 N/m. ¿Qué fuerza vertical P hará
que la frecuencia natural de la barra alrededor de A
se aproxime a un valor nulo para pequeñas
oscilaciones.
55. Si el disco de r = 100 mm tiene una masa de 8 kg
y la constante de cada uno de los muelles es k =
400 N/m. Determine la frecuencia natural para
pequeñas oscilaciones del disco.
56. El disco de masa m y radio r rueda sin deslizar
sobre una superficie horizontal como se muestra en
la figura. Determine el período y la frecuencia pata
pequeñas oscilaciones.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
150
57. Un trozo de masilla de 3 kg se deja caer desde el
reposo desde una altura de 2 m sobre un bloque
inicialmente inmóvil el cual se encuentra sostenido
por cuatro resortes cada uno de los cuales tiene una
constante k = 800 N/m. determine la elongación x
en función del tiempo durante la oscilación
subsiguiente, donde x se mide desde la posición
original del bloque representado.
58. Si el extremo inferior de la barra de 1,5 kg es
desplazado ligeramente de su posición de equilibrio
y liberada desde el reposo. Determine la frecuencia
natural de vibración si cada uno de los resortes
tienen una constante k = 120 N/m.
59. Determine la ecuación diferencial del movimiento
de la posea de 15 kg de masa. Asuma que no existe
deslizamiento entre la superficie de contacto de la
polea y el plano. El radio de giro de la polea es
KG = 125 mm, la contante de cada resorte es
k = 200 N/m y se encuentran sin deformar en la
posición de equilibrio.
60. El bloque de 50 N de peso se desliza por una
superficie horizontal sin fricción mientras que el
bloque de 25 N se mueve en un plano vertical. Los
resortes están sometidos a tracción en todo
momento y las poleas son pequeñas y sin fricción.
Escribir la ecuación diferencial para el movimiento
x(t) y determine el período y la frecuencia de la
vibración resultante.
61. La barra tiene una masa M = 8 kg y se encuentra
suspendida de dos resortes cada uno de los cuales
tiene una constante k = 40 N/ m tal que cuando
está en equilibrio forman un ángulo = 45° como
se muestra en la figura. Determine el período de
vibración de la barra si es desplazada ligeramente
hacia debajo de su posición de equilibrio y liberada
desde el reposo.
62. El pequeño cañón dispara una bala de 4,5 kg con
una velocidad absoluta de 250 m/s que forma un
ángulo de 20° con la horizontal. La masa conjunta
del cañón y su afuste es de 750 kg. Si el
mecanismo de retroceso se compone de un resorte
de constante k = 27 kN/m y el amortiguador de
coeficiente viscoso c = 9000 N.s/m. Determine el
retroceso máximo xmax del cañón.
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
151
63. Una barra de masa m y longitud L está fija en la
posición vertical mediante dos muelles idénticos
cuya constante es K. Una carga vertical P actúa en
el extremo superior de la barra ¿Qué valor de P, en
función de m, L y K, hará que la barra tenga una
frecuencia natural de oscilación alrededor de A
próxima a cero para pequeñas oscilaciones?. ¿Qué
significado físico tiene esto?
64. Una varilla AB de 800 g está atornillada a un disco
de 1,2 kg. Al centro de éste está sujeto un muelle de
constante k = 12 N/m cuyo otro extremo C está
unido a una pared. Sabiendo que el disco rueda sin
deslizar. Determine el período de las pequeñas
oscilaciones del sistema.
65. Dos barras de masa m y longitud l están soldadas
en forma de L y sostenidas en equilibrio en un
plano vertical por dos resortes como se muestra en
la figura. Si la constante de cada uno de los muelles
es k . Determine la frecuencia para pequeñas
oscilaciones del sistema.
66. Dos bloques de 1,5 kg de masa cada uno, se
encuentran unidos mediante eslabones cortos a una
barra rígida BC. La masa de la barra y de los
eslabones es despreciable, y los bloques pueden
deslizar sin fricción sobre las superficies
horizontales. El bloque D se encuentra unido a un
resorte de constante k = 720 N/m. Si el bloque A se
desplaza 15 mm a partir de su posición de
equilibrio y se suelta, determine la velocidad
máxima del bloque D durante su movimiento.
67. Dos esferas pequeñas A y C cada una de masa m se
encuentran unidas a una barra AB horizontal de
masa despreciable la cual se encuentra sostenida
por un pasador en A y un resorte CD. Determine la
frecuencia para pequeñas oscilaciones del sistema.
68. Determine la ecuación diferencial del movimiento
del carrete de 3 kg y a partir de ella encuentre el
período y la frecuencia para pequeñas oscilaciones.
Suponga que no existe deslizamiento del carrete
sobre la superficie de contacto cuando el carrete
oscila. Considere que el radio de giro del carrete
con respecto a su centro de masa es KG = 125 mm y
que R1 = 100 mm; R2 = 200 mm y k = 400 N/m.
69. El bloque de 8 kg está sujeto a un disco escalonado
de radios r1 = 0,15 m y r2 = 0,25 m, como se
muestra en la figura. El disco es soportado por una
articulación en A y un resorte k = 500 N/m. Si el
momento de inercia del disco escalonado respecto a
su centro de masa A es IA = 0,5 kg.m2. Determine:
(a) la ecuación diferencial para la posición y(t) del
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
152
bloque, (b) el período y la frecuencia para pequeñas
oscilaciones
70. La polea doble tiene un momento de inercia IA
respecto a su eje de rotación que pasa por A.
Determine: (a) la ecuación diferencial del
movimiento para el sistema y (b) el período y la
frecuencia para pequeñas oscilaciones.
71. El bloque de masa m se encuentra sujeto a un disco
escalonado cuyo momento de inercia respecto a su
eje de rotación que pasa por A es I. Si el bloque se
desplaza hacia abajo y se suelta desde el reposo.
Determine: (a) la ecuación diferencial para el
movimiento del bloque y (b) el período y la
frecuencia para pequeñas oscilaciones.
72. La polea doble tiene un momento de inercia IA
respecto a su eje de rotación que pasa por A.
Determine: (a) la ecuación diferencial del
movimiento para el sistema y (b) el período y la
frecuencia para pequeñas oscilaciones.
73. Calcular la frecuencia natural fn de la oscilación
vertical del sistema mostrado en la figura. La polea
de 40 kg tiene un radio de giro de 200 mm respecto
a su centro O y la constante del muelle es k = 2
kN/m.
2.6.2. VIBRACIONES AMORTIGUADAS.
74. Halle el valor de la razón de amortiguamiento del
dispositivo sencillo compuesto de una masa,
amortiguador y resorte.
75. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento
viscoso para el cual la razón de amortiguamiento
del sistema vale. (a) 0,5 y (b) 1,0
Física General II Vibraciones Mecánicas Optaciano Vásquez García 2012
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76. Halle la razón de amortiguamiento del sistema
representado. Se desprecian las masas de las poleas
y el rozamiento en las mismas y se supone que el
cable está siempre tenso.
77. (a) Deduzca la ecuación diferencial de movimiento
para el sistema que se muestra. (b) Determine la
amplitud de la vibración de estado estable y el
ángulo por el que x se atrasa a y si m = 6 kg, k = 8
kN/m, c = 40 N.s/m, Y = 80 mm y = 30 rad/s.
78. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento
viscoso para el cual es crítico el amortiguamiento
del sistema representado.
79. El bloque de 4 kg se encuentra unido a los dos
resortes de constantes k1 = 1,5 N/m; k2 = 0,5 N/m y
al amortiguador c = 0,25 N.s/m como se muestra en
la figura. Si al bloque es desplazado 15 cm a la
derecha de su posición de equilibrio y liberado
desde el reposo. Determine: (a) la ecuación
diferencial del movimiento del bloque, (b) la
frecuencia natural y la razón de amortiguamiento y
(c) la posición en función del tiempo
80. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento
viscoso para el cual es crítico el amortiguamiento
del sistema representado.
81. Se muestra una barra de 2,25 m de longitud y 250 N
de peso en la posición de equilibrio estático y
soportada por un muelle de rigidez k =12 N/mm.
La barra está conectada a un amortiguador con un
coeficiente de amortiguamiento c = 50 N.s/m. Si un
momento impulsivo proporciona a la barra una
velocidad angular en el sentido de las agujas del
reloj de 0,5 rad/s en la posición que se muestra.
¿Cuál será la posición angular de A para t = 0,2 s?.
82. La barra rígida AB de masa m y longitud L se
encuentra articulada en O y está en posición
horizontal como se muestra en la figura. Si el
sistema mecánico se gira un ángulo pequeño en
sentido anti horario y se suelda desde el reposo,
determine: (a) La ecuación diferencial del
movimiento de la barra, (b) el coeficiente de amortiguamiento c que hace que el
amortiguamiento sea críticamente amortiguado.
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83. La barra uniforme de masa m está en equilibrio en
la posición horizontal. (a) Deduzca la ecuación
diferencial de movimiento para pequeñas
oscilaciones de la barra. (b) Determine la razón de
amortiguamiento si m = 16 kg; c1 = 30 N.s/m; c2 =
20 N.s/m y k = 90 N/m.
84. La plataforma, soportada por un pasador en B y un
muelle en C, está en equilibrio en la posición que se
muestra. Cuando el amortiguador viscoso situado
en A se desconecta, la frecuencia del sistema para
pequeñas oscilaciones es 2,52 Hz. Determine el
coeficiente de amortiguamiento c que amortiguará
críticamente al sistema.
85. Encuentre la expresión para le respuesta de estado
estable x(t) del bloque si Y = 10 mm, = 600
rad/s. ¿Se adelanta o se atrasa x(t) al
desplazamiento impuesto Y(t)?.
86. Una bola esférica de 134 N de peso está soldada a
una barra ligera vertical que, a su vez, está soldada
en el punto B a una biela horizontal. Un muelle de
rigidez k = 8,8 N/mm y un amortiguador c = 179
N.s/m está conectados a la biela horizontal. Si A se
desplaza 75 mm hacia la derecha, ¿Cuánto tiempo
tardará en volver a la configuración vertical?.
87. Una masa de 4 kg pende en un plano vertical como
se ve en la figura. El resorte se halla sometido a
tracción en todo momento y las poleas son
pequeñas y sin fricción. Si se desplaza la masa 15
mm por encima de su posición de equilibrio y se
suelta dándole una velocidad hacia debajo de 0,75
m/s cuando t = 0, determine: (a) La ecuación
diferencial que rige al movimiento, (b) El período
de la vibración resultante y (c) la posición de la
masa en función del tiempo.
88. El sistema de la figura está compuesto por el
cuerpo W de 45 kg, un resorte cuya constante es
650 N/m y un amortiguador viscoso cuyo
coeficiente es 200 N.s/m. Determine el coeficiente
de amortiguamiento crítico y el decremento
logarítmico.
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89. Una masa de 2 kg pende, en el plano vertical, de
dos muelles, como se muestra en la figura. Si se
desplaza la masa 5 mm por debajo de su posición
de equilibrio y se suelta dándole una velocidad
hacia arriba de 20 mm/s cuando t = 0,
determine: (a) la ecuación diferencial que rige al
movimiento; (b) El período de la vibración
resultante; (c) la posición de la masa en función
del tiempo.
90. Los dos bloques de la figura penden, en un plano
vertical, de una barra de masa despreciable que
está horizontal en la posición de equilibrio. Si a =
15 cm y se suponen oscilaciones de pequeña
amplitud, determine: (a) La ecuación diferencial
del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento;
(c) El tipo de movimiento ; (d) El período de la
vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a
para el amortiguamiento crítico
91. Una barra uniforme de 1,6 kg está articulada en O y
sujeta en A por un muelle y en B está unida a un
amortiguador. Halle: (a) La ecuación diferencial
del movimiento para pequeñas oscilaciones, (b) El
ángulo que forma la barra con la horizontal 5
segundos después de empujar la barra 23 mm hacia
abajo y soltarla.
92. El bloque de 25 N de peso de la figura se desliza
por una superficie horizontal sin fricción mientras
que el que pesa 15 N pende en un plano vertical.
La barra ABC tiene una masa despreciable y en la
posición de equilibrio tiene su brazo AB
horizontal. Si c = 250 N.s/m y se supone
oscilaciones pequeñas, determine: (a) La ecuación
diferencial del movimiento; (b) La razón de
amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d)
El período de la vibración resultante (si procede) y
(c) El valor de a para el amortiguamiento crítico
93. La barra rígida en forma de T y de masa
despreciable lleva en uno de sus extremos una
esfera puntual B de 4 kg de masa como se muestra
en la figura y gira en un plano vertical alrededor
de un eje horizontal que pasa por el punto A. Los
resortes tienen las constantes elásticas k1 = 70
N/m; k2 = 200 N/m; k3 = 230 N/m y el
amortiguador tiene un coeficiente de
amortiguamiento c = 15 N.s/m. El equilibrio del
sistema se perturba girando la barra y liberándola
del reposo. Determine: la ecuación diferencial del
movimiento, (b) la frecuencia amortiguada y (c) la
razón entre las amplitudes de los ciclos primer y
tercero.
94. La masa del cuerpo en forma de T del sistema de la
figura es despreciable y la masa de la esfera
puntual B es de 30 kg, la constante del resorte es k
= 1200 N/m y el coeficiente de amortiguamiento es
c = 270N.s/m. El sistema está en equilibrio AB se
encuentra horizontal. Determine, para el
movimiento que se produce al perturbar el
equilibrio, (a) El tipo de movimiento que se
desarrolla, (b) La frecuencia de la oscilación si
procede y (c) La razón de amortiguamiento.
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95. El disco de radio R y masa m rueda sin deslizar por
la superficie horizontal. Determine: (a) la ecuación
diferencial para el movimiento del disco, (b) la
razón de amortiguamiento y (c) si el movimiento
es subamortiguado, ¿cuál será el período y la
frecuencia
96. Se quiere determinar el coeficiente de
amortiguamiento c de un amortiguador observando
la oscilación de un bloque de 50N de peso que
pende de él según se muestra en la figura. Cuando
se tira hacia abajo el bloque y se suelta, se observa
que la amplitud de la vibración resultante
disminuye de 125 mm a 75 mm en 20 ciclos de
oscilación. Determine el valor de c si los 20 ciclos
se completan en 5 s.
97. Una barra esbelta uniforme de 2 kg y 500 mm de
longitud gira alrededor del pivote exento de
fricción situado en B, como se muestra en la
figura. En la posición de equilibrio la barra es
horizontal. Determine: determine: (a) La ecuación
diferencial del movimiento; (b) La razón de
amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d)
El período de la vibración resultante (si procede) y
(c) El valor de a para el amortiguamiento crítico
98. Para el sistema representado considere que la
palanca AB tiene una masa m2 y un radio de giro
K0 respecto al punto O. Determine: (a) La
ecuación diferencial del movimiento en función de
la variable x, (b) la frecuencia natural no
amortiguada ωn (c) la razón de amortiguamiento ζ
99. El disco escalonado cuyo peso es de 89 N tiene un
momento de inercia I = 0,81 kg.m2, y en t = 0
recibe una velocidad angular de 1 rad/s en
sentido horario. Determine: (a) la ecuación
diferencial del movimiento del centro de masa del
disco, (b) la frecuencia de las oscilaciones
pequeñas del disco y (c) la posición del centro del
disco respecto a su posición de equilibrio en
función del tiempo si c = 233,5 N.s/m.
100. Para el sistema mostrado en la figura. Si se
desprecia la masa de la polea doble. Determine: (a)
la ecuación diferencial del movimiento, (b) la
razón de amortiguamiento y la frecuencia natural,
(c) el coeficiente de amortiguamiento crítico
101. Una barra esbelta AB de 6 lb está empernado a un
disco uniforme de 10 lb. Un amortiguador de
coeficiente de amortiguamiento c = 0,6 lb,s/pie
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está unido al disco como de muestra en la figura..
determine: (a) la ecuación diferencial del
movimiento para pequeñas oscilaciones y (b) la
razón de amortiguamiento c/ccri.
102. Derive la ecuación diferencial para el movimiento
de del sistema mostrado inicialmente en equilibrio.
Desprecie la masa del cuerpo AB y considere
oscilaciones pequeñas.
103. La polea escalonada que tiene una masa m y un
radio de giro KG respecto al eje de rotación A se
encuentra unida a los bloques como se muestra en
la figura. Determine: (a) la ecuación diferencial
del movimiento del sistema, (b) la frecuencia
natural y la razón de amortiguamiento y (c) el
amortiguamiento crítico.
104. La polea doble de masa m cuyo momento de inercia
respecto a su eje de rotación A es I. Determine: (a)
la ecuación diferencial del movimiento del
sistema, (b) la razón de amortiguamiento y el
coeficiente de amortiguamiento crítico
105. El péndulo mostrado en la figura oscila alrededor
del pivote en O. Si la masa de la barra rígida de
longitud L3 es despreciable. Para pequeñas
oscilaciones, determine la frecuencia amortiguada.
106. Para el sistema mecánico mostrado en la figura.
Determine: (a) la ecuación diferencial del
movimiento, (b) la frecuencia natural y la razón de
amortiguamiento en función de c, k, l y m, (c) Si
m = 1,5 kg, c = 0,125 N.s/m, l = 45 cm y k = 250
N/m y en t = 0, �̇�0 = 10 𝑟𝑎𝑑 /𝑠 , ¿Cuál es el
desplazamiento angular de la barra θ(t)?
107. La barra rígida de longitud l = 25 cm y masa m = 2
kg se encuentra abisagrada en G y sostenida en
posición horizontal por un resorte en A y un
bloque en B de masa m. Si k = 50 N/m y c = 0,25
N.s/m y en t = 0, se le da una velocidad angular
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�̇�0 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en sentido anti horario.
Determine: (a) la ecuación diferencial del
movimiento angular de la barra, (b) la frecuencia
natural y la razón de amortiguamiento y (c) la
posición angular en cualquier tiempo
108. Las dos masas mostradas en la figura se deslizan
por superficies sin fricción. En la posición de
equilibrio la barra ABC está vertical, siendo
despreciable la masa. Si a = 100 mm y se suponen
oscilaciones de pequeña amplitud, determine: (a)
La razón de amortiguamiento; (b) El tipo de
movimiento; (c) La frecuencia y el período del
movimiento (si procede) y (d) El valor de a que da
amortiguamiento crítico.
2.6.3 VIBRACIONES FORZADAS.
109. El carro de 64,4 lb está sometido a la acción de una
fuerza armónica como se indica. Si c = 0,
determine los límites permitidos a la pulsación
excitadora de modo que la amplitud de la
respuesta estacionaria sea inferior a 3 pulgadas
110. El sistema mostrado está compuesto por un cuerpo
masa m = 4 kg y dos resortes de constantes k1 =
350 N/m y k2 = 250N/m. El desplazamiento de E
es armónico y está dado por yE =1,2 cos2t, donde
yE y t se expresan en metros y segundos,
respectivamente. Determine la amplitud de la
vibración estable de W.
111. En la figura se muestra la forma como se sustenta a
una esferita de 25 kg. La masa de la barra es
despreciable y la constante del resorte es k = 400
N/m. El movimiento del rodillo E es armónico y
está dado por xE =12 cos7t, donde yE y t se
expresan en milímetros y segundos,
respectivamente. Obtenga la solución estable que
describe el movimiento de B.
112. Hallar la amplitud x del movimiento estacionario de
la masa de 10 kg si (a) c = 500 N.s/m y (b) c = 0.
113. El elemento de fijación B recibe un movimiento
horizontal xB = b cos t. deducir la ecuación del
movimiento de a masa m y determine la pulsación
crítica para la cual las oscilaciones se vuelven
extremadamente grandes. Halle también la razón
de amortiguamiento.
114. El sistema representado en la figura se ajusta para
que se encuentre en equilibrio cuando AB esté
horizontal y xE sea igual a cero. La masa del
cuerpo B es 25 kg, la constante del resorte es 1200
N/m y el valor del coeficiente de amortiguamiento
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es c = 300 N.s/m. La posición del punto E varía de
acuerdo con la ecuación xE =0,125 sen 5t, donde
xE y t se expresan en metros y segundos,
respectivamente. Determine la amplitud del
movimiento de B y su velocidad máxima.
115. Las dos masas de la figura se deslizan por
superficies horizontales lisas. La barra ABC es de
masa despreciable y está vertical en la posición de
equilibrio. Si al punto D de la barra se aplica una
fuerza P(t) = 50 senΩt N, determine la máxima
amplitud de la oscilación estacionaria del bloque
de 10 kg.
116. (a) Deduzca la ecuación diferencial de movimiento
para el sistema que se muestra. (b) Determine la
amplitud de la vibración de estado estable y el
ángulo por el que x se atrasa a y si m = 6 kg, k = 8
kN/m, c = 40 N.s/m, Y = 80 mm y ω =30 rad/s.
117. El cuerpo W de 30 kg mostrado en la figura se une
a la pared mediante los resortes R1 y R2 cuyos
módulos son 1 kN/m y 400 N/m, respectivamente.
La fuerza F expresada en newton varía con la ley
F = 10 sen 2t, donde t es el tiempo en segundos.
(a) obtenga la solución estable que describe el
movimiento de W, (b) Determine la velocidad
máxima de W.
118. La barra uniforme de masa m y longitud L tiene un
eje de oscilación en su centro. El resorte de
constante k de la izquierda está sujeto a una
superficie inmóvil, pero el de la derecha, también
de constante k , lo está a un soporte sometido a un
movimiento armónico dado por yB = b sen t.
halla la pulsación excitadora de resonancia.
119. El motor de 3 kg descansa sobre un resorte (k =
150 kN/m) y un amortiguador (c = 120 N. s/m)
según se indica en la figura. En el borde de la
polea del motor (e = 25 cm) está fija una pequeña
masa (m = 0,5 kg). Determine la máxima amplitud
de la vibración forzada resultante del motor.
120. El bloque que pesa 12 N se desliza por una
superficie sin fricción tal como se indica en la
figura. El resorte tiene una longitud natural cuando
la barra AB está vertical y BC horizontal. Las
masas de las barras son despreciables. Suponiendo
pequeñas oscilaciones, determine: (a) El dominio
de pulsaciones para el cual el movimiento
angular estacionario de la barra AB es inferior a
5o (b) La posición del bloque en función del
tiempo si se desplaza 5 cm hacia la derecha y se
suelta a partir del reposo cuando t = 0 y = 25
rad/s.
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121. La barra esbelta uniforme de masa m y longitud
abisagrada en A se mantiene en posición horizontal
cuando se le aplica la fuerza periódica externa
𝐹 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 en su punto medio como se muestra
en la figura. Determine: (a) la ecuación diferencial
para el movimiento angular de la varilla y (b) la
solución de estado estable.
122. Los dos bloques de la figura penden en un plano
vertical, de una barra de masa despreciable que
está horizontal en la posición de equilibrio. Si se le
aplica al punto D de la barra una fuerza hacia
arriba (P = 20 sen t) N, determine: (a) La
máxima amplitud de la oscilación estacionaria del
bloque de 50 N; (el dominio de pulsaciones que
hay que evitar para que la amplitud de la
oscilación del bloque de 50 N no supere los 37,5
mm.
123. La barra esbelta uniforme de masa m y longitud
abisagrada en A se mantiene en posición horizontal
cuando se le aplica la fuerza periódica externa
𝐹 = 𝐹0 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 en su punto medio como se muestra
en la figura. Determine: (a) la ecuación diferencial
para el movimiento angular de la varilla y (b) la
solución de estado estable.
124. El bloque pequeño A de 40 lb se encuentra unido a
la barra BC de peso despreciable, la cual se
encuentra en un plano vertical sostenida por un
pasador en B y un resorte de constante K = 140
lb/pie.. El sistema se encuentra en equilibrio y se
mueve en un plano vertical bajo la acción de una fuerza P = Pmsenωt, donde Pm = 1,4 lb. Sabiendo
que b = 8 pulg. Determine el rango de valores de ω
para la cual la amplitud de la vibración del bloque
A exceda 0,14 pulg.
125. La polea cilíndrica maciza y homogénea tiene una
masa m1 y un radio r. Si el punto de fijación B está
sometido al desplazamiento armónico indicado,
escribir la ecuación diferencial del movimiento del
sistema en función de la variable x. La cuerda que
enlaza la masa m2 al resorte superior no resbala en
la polea.
126. En el extremo inferior de la barra homogénea actúa
una fuerza periódica 0F F sen t , como se
muestra en la figura. Determine: (a) La ecuación
diferencial que gobierna al movimiento y (b) la
amplitud de la solución estable.
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127. El bloque A de está unido a un resorte de constante
k = 4 lb/pie y a una barra BCD de peso
despreciable. La barra se encuentra conectada en D
a un soporte móvil E con un resorte idéntico.
Sabiendo que el desplazamiento de E es periódico
δ = δmsen(ωf t) donde δm = 0,2 pulg y ωf = 10
rad/s. determínela magnitud de la máxima
aceleración del bloque A.
128. La barra esbelta de masa m y longitud l se
encuentra sometida al momento dependiente del
tiempo M(t) = M0senΩt como se muestra en la
figura. Si m = 3 kg, k = 8 N/m, c = 16 N.s/m, l =
250 mm, Ω = 4 rad/s y M0 = 1/16 N.m. Determine:
(a) La ecuación diferencial del movimiento angular
de la barra y (b) la amplitud de la vibración estable.
129. Al cilindro de masa m escalonado mostrado en la
figura inicialmente en equilibrio estático se le
aplica un momento M = 2 sen(4t) en sentido
antihorario como se muestra en la figura. Si m = 2
kg, k = 16 N/m, c = 2 N.s/m, y r = 125 mm.
Determine: (a) la ecuación diferencial del
movimiento angular del cilindro escalonado, (b) la
amplitud de la vibración de estado estable
130. A la barra esbelta de masa m y longitud l
abisagrada en B, se le somete a una fuerza externa
periódica F = F0 senΩt aplicada en el extremo
como se muestra en la figura. Si m = 6 kg, k = 80
N/m, c = 0,5 N.s/m, l = 25 cm, Ω = 4 rad/s y
F0 = 2 N. Determine: (a) La ecuación diferencial
del movimiento angular de la barra y (b) la
amplitud de la vibración estable.
131. A la barra esbelta de masa m y longitud l
abisagrada en B, se le somete a una fuerza externa
periódica F = F0 senΩt aplicada en el extremo
como se muestra en la figura. Si m = 2 kg, k = 50
N/m, c = 0,25 N.s/m, l = 30 cm, Ω = 10 rad/s y
F0 = 2 N. Determine: (a) La ecuación diferencial
del movimiento angular de la barra y (b) la
amplitud de la vibración estable.