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CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTRODUCCIÓN
En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de unaintegral definida
( ) I = ∫ f x dxa
b
Integral en la cual el intervalo de integración [ ]a b, es finito, y f es una función de una
variable real y valor real continua en [ ]a b, .
Según el teorema fundamental del Cálculo, para una función f con las característicasindicadas antes, existe una antiderivada F de f en [ ]a b, , es decir, ( ) ( )xfxF =′ para todo
[ ]b,ax ∈ , y
( ) ( ) ( ) f x dx F b F aa
b
∫ = −
El problema para usar los métodos analíticos de integración es que, es posible que F no sepueda expresar en términos de funciones elementales, o aunque F se conozcaexplícitamente, ésta no se pueda evaluar fácilmente.
Ejemplos de tales integrales son:
1 3
0
1
−∫ x dx 1
1 50
1
+∫ xdx
ex
dxx
1
2
∫ e dxx−∫2
1
5
lnxx
dx+∫ 1
1
2
xtanxdx0
4π
∫ 1
2
3
lnxdx∫ ( )sen x dx2
0
2π
∫
( )cos x dx2
0
2π
∫ 1 33
0
1
+∫ x dx sen xdx0
2π
∫ x x dx+∫ 23
0
1
( )9 213
0
1
−∫ x dx tanxdx0
1
∫ sen x
xdx
0
1
∫ 1
1 20 +∫ sen x
dxπ
Lo anterior motiva el uso de los métodos de integración numérica que estudiaremos en loque sigue; los primeros que consideraremos se basan en la aproximación de la función fmediante polinomios interpolantes.
232 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
5.1 ALGUNAS FÓRMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES
Supongamos que queremos estimar el valor de
( ) I = ∫ f x dxa
b
donde la función f es continua en el intervalo finito [ ]a b, .
Una manera de hacer ésto se indica a continuación:
Empezamos dividiendo el intervalo [ ]a b, en N subintervalos de igual longitud,[ ] [ ] [ ] [ ]N1N1kk2110 x,x,...,x,x,...,x,x,x,x −+ , donde los N+1 puntos N10 x,...,x,x de la partición seobtienen a partir de la fórmula
x a kh Nk = + =, , ,..., k 01
siendo h b aN
= − . Nos referiremos a h como el tamaño de paso.
Nótese que x a bN0 = =, x , y que h x xk k= −+1 , cualquiera sea 1N,...,1,0k −= .
Ahora bien, si ( ) ( ) ( )p x f x L xN j jj
N
==∑
0 es el polinomio de interpolación de Lagrange para la
función f en los nodos N10 x,...,x,x , entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∫∑∫∫==
==≈b
aj
N
0jj
b
aj
N
0jj
b
aN
b
a
dxxLxfdxxLxfdxxpdxxf
De esta forma se obtiene una fórmula del tipo
( ) ( ) xfAdxxf N
0jjj
b
a∑∫=
≈
donde
( ) N,...,1,0j ,dxxLAb
ajj == ∫
Una fórmula del tipo anterior, para aproximar el valor de ( )f x dxa
b
∫ , es llamada una fórmula de
cuadratura (cerrada) de Newton-Cotes.
En muchos casos, en lugar de aproximar la función f en el intervalo completo [ ]a b, por unsólo polinomio interpolante, usando todos los nodos N10 x,...,x,x , más bien la aproximamos
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 233__________________________________________________________________________________
por tramos mediante polinomios interpolantes usando dos, tres o más nodos consecutivos.Estudiaremos solamente tres de estos últimos tipos de aproximaciones: La regla de los
Trapecios, la regla de Simpson 13
y la regla de Simpson 38
.
5.1.1 Regla de los Trapecios: Corresponde ésta al caso en que la función f se aproxima encada subintervalo [ ]x xk k, +1 , 1N,...,1,0k −= , mediante el polinomio de interpolación lineal de
Lagrange, ( )p xk , usando los nodos xk y xk+1 .
FIGURA 5.2
Como el polinomio de interpolación de Lagrange es
( ) ( ) ( ) pk kk
k kk
k
k kx f x x x
x xf x x x
x x=
−−
+−−
+
++
+
1
11
1
entonces
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
dx
f x dx p x dx
f x x xx x
f x x xx x
f x x xx x
dx f x x xx x
dx
f xx xx x
f xx xx x
f xx x
x
x
kx
x
kk
k kk
k
k kx
x
kk
k kx
x
kk
k kx
x
kk
k kk
k
k kx
x
kk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+ +
+
+ +
+
∫ ∫
∫
∫ ∫
≈
=−−
+−−
=−−
+−−
=−−
+−
−
=−
+
++
+
+
++
+
+
++
+
++
1 1
1
1 1
1
1
11
1
1
11
1
12
11
2
1
11
2 2
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
k
k kk
k k
k k
k kk k
x xf x
x xx x
x xf x f x
2
1
12
1
11
2 2
2
+
+
+
++
−−
−−
= −+
ancho altura promedio! "# $# ! "## $##
234 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Pero h x xk k= −+1 , así que
( ) ( ) ( )[ ] f x dx h f x f xx
x
k k
k
k+
∫ ≈ + +
1
2 1
y entonces
( ) ( ) ( ) ( )[ ]I f x dx f x dx h f x f xa
b
x
x
k
N
k
N
k k
k
k
= = ≈ +∫ ∫∑ ∑+
=
−
=
−
+
1
0
1
0
1
12
es decir,
( ) ( ) ( ) ( ) f x dx h f a f b f xa
b
kk
N
∫ ∑≈ + +
=
−
22
1
1
Si N >1, la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de los Trapecios. En elcaso N =1, caso en el cual h b a= − , dicha fórmula se reduce a
( ) ( ) ( )[ ] f x dx b a f a f ba
b
∫ ≈ − +2
fórmula que se conoce como regla simple de los Trapecios.
Algoritmo 5.1 (Regla de los Trapecios) Para aproximar la integral ( )I f x dxa
b
= ∫ , usando la
regla de los Trapecios:
Entrada: f(x) , los extremos a y b de la integral, un entero positivo N.
Salida: Una aproximación AI de I.
Paso 1: Tomar h b aN
= − .
Paso 2: Tomar ( ) ( )AIO f a f b= + .
AI = 0 (Inicialización de la suma para los puntos ) 1N,...,2,1k ,xk −=
Paso 3: Para 1N,...,2,1k −= , seguir los pasos 4 y 5:
Paso 4: Tomar x a kh= +
Paso 5: Tomar ( )AI AI f x= +
Paso 6: Tomar ( )AIh AIO AI
=+ 2
2.
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 235__________________________________________________________________________________
Paso 7: Salida: "Un valor aproximado de la integral para N subintervalos es AI".Terminar.
Error de fórmula en la regla de los Trapecios: Recordando la fórmula para el error en lainterpolación, tenemos que si ( )p xk es el polinomio de interpolación lineal de Lagrange para
la función f en los nodos xk y xk+1 , entonces para [ ]x x xk k∈ +, 1 , el error al aproximar ( )xf
mediante ( )p xk , es
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )E x f x p xx x x x
f xkk k
k= − =− −
′′+1
2!ξ
y entonces
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )E x xk+1
dx f x dx p x dxx x x x
f x dxx x
x
kx
xk k
kx
x
k k
k
k
k
k
k
∫ ∫ ∫ ∫= − =− −
′′
+ + ++
1 1 11
2!ξ
donde ( )ξk x es un número que depende de x y ( ) ( )ξk k kx x x∈ +, 1 .
Luego el error en la aproximación obtenida al usar la regla de los Trapecios en el intervalo[ ]x xk k, +1 , que se denomina error local, es
( )( )( )( )∫+
+−−ξ′′=1k
k
x
x1kkkk dxxxxxxf
21E
Como ( ) ( )( )g x x x x xk k= − − +1 no cambia de signo en el intervalo [ ]x xk k, +1 , entonces por elteorema del valor medio ponderado para integrales, se tiene que
( )( )( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Ek k k kx
x
kk k k k
x
x
k k kk k
k kk k k k
f x x x x x dx
f x x x x x x x
f x x x xx x
x x x x
k
k
k
k
= ′′ − −
=′′
− + +
=′′ −
− +−
+ −
+
+ +
++
++ +
+
+
∫12
2 3 2
2 3 2
1
3
1
2
1
13 3
11
2 2
1 1
1
1
ξ
ξ
ξ
para algún ( )ξk k kx x∈ +, 1 .
Factorizando, agrupando y teniendo en cuenta que h x xk k= −+1 , obtenemos
( ) E k kh f= − ′′
3
12ξ
para algún ( )ξk k kx x∈ +, 1 .
236 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Teorema del valor medio ponderado para integrales: Si f es una función continua en[ ]a b, , g es una función integrable en [ ]a b, y ( )g x no cambia de signo en [ ]a b, , entonces
existe ( )c a b∈ , tal que
( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f c g x dxa
b
a
b
∫ ∫=
Cuando en el teorema anterior ( )g x ≡1, éste se convierte en el teorema del valor medio paraintegrales. ∇∇∇∇
La demostración del teorema del valor medio ponderado para integrales puede serconsultada en Kincaid, 1972, páginas 12 y 13.
El error total al aplicar la regla de los Trapecios, es decir, el error que se comete al aplicar laregla de los Trapecios sobre todo el intervalo [ ]a b, , es
( ) ( ) ( ) E T kk
N
kk
N
kk
N
k k kE h f h f x x= = − ′′
= − ′′ ∈
=
−
=
−
=
−
+∑ ∑ ∑0
1 3
0
1 3
0
1
112 12ξ ξ ξ, ,
( )( ) ( )ξ′′−−=ξ′′−
∗=
−=↑
f12
abhfN12h 2
Nabh
3
para algún ( )ξ ∈ a b,
( )∗ la igualdad se debe a la aplicación del teorema del valor intermedio a la función ′′f , que
suponemos continua en el intervalo [ ]a b, .
La fórmula anterior del error en la regla de los Trapecios indica que si f es una función lineal,entonces la regla de los Trapecios es exacta, es decir, Ek = 0 para todo k N= −01 1, ,..., , ya
que si ( )f x cx d= + , entonces ( ) ( )′ ≡ ′′ ≡f x c y f x 0 para todo [ ]x a b∈ , .
Volviendo a la fórmula para el error total, ET , tenemos que si
( ) ′′ ≤f x L para toda [ ]x a b∈ ,entonces
( ) ( ) E T
h N f h NL hb a
L= ′′ ≤ =−3 3
2
12 12 12ξ (recuerde que h b a
N= − )
El resultado anterior se indica escribiendo ( )E O hT =2 , de acuerdo con la siguiente definición:
Definición 5.1 (Notación O-grande) Supongamos que ( )lim F x Lx→
= ∈0
R . Se dice que ( )F x
converge a L cuando x→ 0 con rapidez de convergencia ( )( )O G x , si existe una constante
positiva K, independiente de x, tal que
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 237__________________________________________________________________________________
( )( )
F
G
x L
xK
−≤
para x suficientemente pequeño. Si este es el caso escribimos ( ) ( )( )F x L O G x= + . ∇∇∇∇
En el caso de la regla simple de los Trapecios, tenemos que h b a= − y
( )E h fT = − ′′3
12ξ , para algún ( )ξ ∈ a b,
así que ( )E O hT = 3 , en este caso.
5.1.2 Regla de Simpson 13
: En este caso se aproxima la función f en cada subintervalo
[ ]x xk k, +2 , k N= −0 2 2, ,..., , mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de gradomenor o igual que dos, usando los nodos x x xk k k, ,+ +1 2 . Observe que, en este caso, elnúmero de subintervalos N debe ser par, N ≥ 2 .
FIGURA 5.3
Como el polinomio de interpolación de Lagrange de grado menor o igual que dos, usando losnodos xk , xk+1 y xk+2 , es
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )( )
pk kk k
k k k kk
k k
k k k k
kk k
k k k k
x f xx x x x
x x x xf x
x x x xx x x x
f xx x x x
x x x x
=− −− −
+− −− −
+− −− −
+ +
+ ++
+
+ + +
++
+ + +
1 2
1 21
2
1 1 2
21
2 2 1
entonces
238 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
f x dx p x dx
f xx x x x
x x x x x x x
f xx x x x
x x x x x x x
f xx x x x
x x x x x x x
x
x
kx
x
k
k k k kk k k k
k
k k k kk k k k
k
k k k kk k k k
k
k
k
k+ +
∫ ∫≈
=− −
− + +
+− −
− + +
+− −
− + +
+ ++ + + +
+
+ + ++ +
+
+ + ++ +
2 2
1 2
3
1 2
2
1 2
1
1 1 2
3
2
2
2
2
2 2 1
3
1
2
1
3 2
3 2
3 2
+
x
x
k
k 2
Evaluando, agrupando y teniendo en cuenta que 1k2kk1k xxxxh −++ −=−= , obtenemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
ancho altura promedio
f x dx x xf x f x f x
hf x f x f x
h f x f x f x
x
x
k kk k k
k k k
k k k
k
k+
∫ ≈ −+ +
=+ +
= + +
++ +
+ +
+ +
2
21 2
1 2
1 2
46
24
6
34
! "# $# ! "#### $####
Luego
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }
I = = + + +
≈ + + + + + + + + +
∫ ∫ ∫∫−
− −
f x dx f x dx f x dx f x dx
h f x f x f x f x f x f x f x f x f x
a
b
x
x
x
x
x
x
N N N
N
N
0
2
22
4
34 4 40 1 2 2 3 4 2 1
...
...
es decir,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx h f a f b f x f xa
b
kk
N
kk
N
∫ ∑ ∑≈ + + +
+=
−
=
−
34 22 1
0
22
21
22
Si N m= 2 , con m un entero, m ≥ 2 , la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de
Simpson 13
. Lo de 13 viene de que en la fórmula obtenida, h aparece multiplicada por
13 .
En el caso particular N = 2 , se tiene que h b a= −
2, y la fórmula anterior se reduce a
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 239__________________________________________________________________________________
( ) ( ) ( ) f x dx b a f a f a b f ba
b
∫ ≈ − + +
+
6
42
fórmula que se conoce como regla simple de Simpson 13
.
Algoritmo 5.2 (Regla de Simpson 13
) Para aproximar la integral ( )I f x dx
a
b
= ∫ , usando la
regla de Simpson 13
:
Entrada: ( )f x , los extremos a y b de la integral, un entero positivo par N m= 2 .
Salida: Una aproximación AI de I.
Paso 1: Tomar h b am
b aN
= − = −2
.
Paso 2: Tomar ( ) ( )AIO f a f b= +
AI1 0= (Inicialización de la suma para los nodos x k2 1+ ,
1m2
2N,...,1,0k −=−= )
AI2 0= (Inicialización de la suma para los nodos x k2 ,
1m2
2N,...,2,1k −=−= )
AI = 0
Paso 3: Para 1m2,...,2,1i −= , seguir los pasos 4 y 5:
Paso 4: Tomar x a ih= + .
Paso 5: Si i es impar ( i k= +2 1), entonces tomar ( )AI AI f x1 1= + , de lo contrario
( )i k= 2 tomar ( )AI AI f x2 2= + .
Paso 6: Tomar ( )AIh AIO AI AI
=+ +4 1 2 2
3.
Paso 7: Salida: "Un valor aproximado de la integral para N m= 2 subintervalos es AI".Terminar.
240 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Error de fórmula en la regla de Simpson 13
: Como el término ( )( )( )x x x x x xk k k− − −+ +1 2
que aparece en la formula de error al interpolar por un polinomio de interpolación deLagrange (de grado menor o igual que 2) usando los nodos xk k k, x , x ,+ +1 2 cambia de signo
en el intervalo [ ]x xk k, +2 , no podemos obtener una fórmula para el error al aplicar la regla de
Simpson 13
usando el teorema del valor medio ponderado para integrales; sin embargo se
puede demostrar, ver Kincaid, 1972, páginas 447 y 448, que el error al emplear la regla de
Simpson 13
en el intervalo [ ]x xk k, +2 , llamado error local, está dada por
( ) ( ) Ekiv
kh f= −
5
90ξ
donde ( ) 2N2,...,0,=k ,x,x y N
abh 2kkk −∈ξ−= + .
Entonces el error al aplicar la regla de Simpson 13
sobre todo el intervalo [ ]a b, , es decir, el
error total, ET , es
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) b,a ,f180
abhf180Nh
f12
2N90hf
90h
x,x , f90hEEE
iv4iv5
iv52
2N
0pp2
iv5
1p2p2p2
22N
0pp2
iv52
2N
0pp2
2N,..,2,0kkT
∈ξξ−−=ξ
−=
ξ
+−−=ξ−=
∈ξ
ξ−=
∗==
∑
∑∑∑−
=
+
−
=
−
=−=
( (*) La igualdad se debe al cambio de variable k p= 2 : si k = 0 , entonces p = 0 , y si
k N= −2 , entonces p N 22
= − )
Esto implica que la regla de Simpson 13
es exacta cuando se aplica a polinomios de grado
menor o igual que 3, que es un grado más de lo que era de esperarse, ya que estamosaproximando la función f por medio de polinomios de grado menor o igual que dos.
Si ( ) ( ) [ ] f da x a,biv x L para to≤ ∈ , entonces
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 241__________________________________________________________________________________
( ) ( ) E f Tivh N h NL h b a L = ≤ = −5 5
4
90 2 180 180ξ
así que ( )E O hT = 4 .
En el caso N = 2 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E con Tiv ivh f
b af a b= − = −
−∈
5 5
90 2880ξ ξ ξ, ,
(recuerde que h b aN
= − ), así que ( )E O hT = 5 .
5.1.3 Regla de Simpson 38
: De la misma forma que se obtuvieron las regla de los
Trapecios y la regla de Simpson 13
, se puede interpolar la función f en cada subintervalo
[ ]x xk k, +3 , k N= −0 3 3, ,..., (lo que requiere que N sea un entero positivo múltiplo de 3, es
decir, N m= 3 , m un entero positivo), mediante un polinomio de interpolación de Lagrange degrado menor o igual que tres, ( )p xk , usando los nodos xk k k k, x , x , x+ + +1 2 3 .
FIGURA 5.4Entonces
( ) ( ) f x dx p x dxx
x
kx
x
k
k
k
k+ +
∫ ∫≈3 3
242 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
y se obtiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
ancho altura promedio
f x dx x xf x f x f x f x
h f x f x f x f x
x
x
k kk k k k
k k k k
k
k+
∫ ≈ −+ + +
= + + +
++ + +
+ + +
3
31 2 3
1 2 3
3 38
38
3 3
! "# $# ! "####### $#######
Así que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] }
f x dx f x dx f x dx f x dx
h f x f x f x f x f x f x f x f x
f x f x f x f x
a
b
x
x
x
x
x
x
N N N N
N
N
∫ ∫ ∫ ∫= + + +
≈ + + + + + + + +
+ + + +
−
− − −
0
3
3
6
3
38
3 3 3 3
3 3
0 1 2 3 3 4 5 6
3 2 1
...
...
es decir,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx h f a f b f x f x f xa
b
kk
N
k kk
N
k
N
∫ ∑ ∑∑≈ + + + +
+=
−
+=
−
=
−
38
3 3 23 10
33
3 2 31
33
0
33
Si N m= ≥3 2, , m m un entero, la fórmula anterior se conoce como regla compuesta de
Simpson 38
.
En el caso N = 3 , caso en el cual h b a= −
3, dicha fórmula se reduce a
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x dxb a
f a f a b f a b f b
b a f a f a b f a b f b
a
b
∫ ≈−
+ +
+ +
+
= − + +
+ +
+
324
3 23
3 23
83 2
33 2
3
fórmula que se conoce como regla simple de Simpson 38
.
Al igual que en el caso de la regla de Simpson 13
, se puede demostrar que el error al
aproximar el valor de la integral ( )f x dxa
b
∫ por medio de la regla de Simpson 38
en el
intervalo [ ]x xk k, +3 , es decir, el error local, es
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 243__________________________________________________________________________________
( )( ) ( ) 3N,...,3,0k ,x,x ,N
abh , fh803E 3kkkk
iv5k −=∈ξ−=ξ−= +
y entonces el error total es
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
E
para algú n
Tiv
pp
N
iv
iv iv
h f h N f
h N f h b a f a b
= − = − − +
= − = − − ∈
=
−
∑380
380
33
1
80 80
53
0
33
5
5 4
ξ ξ
ξ ξ ξ ,
Si ( ) ( ) [ ] f toda x a,biv x L para ≤ ∈ , entonces
( ) ( ) E f Tivh b a h b a L= − ≤ −4 4
80 80ξ
así que ( )E O hT =4 , como en la regla de Simpson
13
.
Si N = 3 , entonces h b a= −
3 y
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
E
para algú n a,b
Tiv
iv iv
h f
b a fb a
f
= −
= − −
= −−
∈
380
380 3 6480
5
5 5
ξ
ξ ξ ξ
así que ( )E O hT = 5 , en este caso.
Ejemplo 5.1 Use las reglas de los Trapecios, Simpson 13
y Simpson
38
simples y
compuestas con N = 6 , para estimar
I xdx= ∫ sen2
0
3π
Cuál es una cota para el error en la estimación, en cada caso ? (desprecie los errores deredondeo)
Solución: En este ejemplo ( )f x x= sen2 , que es una función continua en todo R , por tantose satisfacen todas las hipótesis para que se puedan aplicar las reglas de integraciónnuméricas vistas.
244 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
CASO SIMPLE: En este caso N =1 para la regla de los Trapecios, N = 2 para la regla de
Simpson 13
y N = 3 para la regla de Simpson
38
.
i) Según la regla de los Trapecios:
( ) ( )[ ] I sen
= ≈ − +
= +
=
∫ 2
0
3
2 2
2
60
33926991
xdx b a f a f b
π
π πsen sen
.
ii) Según la regla de Simpson 13
:
( ) ( ) ( )I xdx b a f a f a b f b= ≈ − + +
+
= +
+
=
∫ sen sen sen sen2
0
32 2 2
64
2 180 4
6 3
3054326
π
π π π
.
iii) Según la regla de Simpson 38
:
( ) ( ) ( )
( )
I xdxb a
f a f a b f a b f b= ≈−
+ +
+ +
+
= +
+
+
=
∫ sen
sen sen sen sen
2
0
3
2 2 2 2
324
3 23
3 23
240 3
93 2
9 33063656
π
π π π π
.
Cuál de estas aproximaciones es la mejor ?
Estudiemos el error para cada caso.
i) Regla de los Trapecios: En este caso
( ) E con hTh f b a= − ′′ ∈
= − =3
120
3 3ξ ξ π π, ,
Como ( )f x x= sen2 , entonces
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 245__________________________________________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
,
, f
′ = = ′′ =
′′′ = − = −
f x x x x f x x
f x x x xiv
2 2 2 2
4 2 8 2
sen cos sen cos
sen cos
luego
( ) ( ) para todo x′′ = < ∈
f x x2 2 2 03
cos ,π
y entonces
( ) E Th f= ′′ ≤
≈ < = × −3
3
1
12312
2 19 5 5 10ξ
π
. .
lo que no garantiza que el valor obtenido aproxime al valor exacto con alguna cifra decimalexacta.
ii) Regla de Simpson 13
: En este caso
( ) ( ) ETivh f= −
5
90ξ para algún ξ π π∈
= − =03 2 6
, , h b a
y como( ) ( ) ( ) f para todo x iv x x= − < ∈
8 2 8 03
cos ,π
entonces
( ) ( ) E f Tivh
= ≤
≈ × < ×− −5
5
3 3
90690
8 3 5 10 5 10ξ
π
.
lo que asegura una precisión de por lo menos dos cifras decimales exactas en la
aproximación obtenida aplicando la regla simple de Simpson 13
.
iii) Regla de Simpson 38
: En este caso
( ) ( ) ETivh f= −
380
5ξ para algún ξ
π π∈
= − =03 3 9
, , h b a
entonces
( ) ( ) E f Tivh
= ≤
≈ × < ×− −380
39
808 16 10 5 10
5
5
3 3ξ
π
.
lo que garantiza una precisión de por lo menos dos cifras decimales exactas en la
aproximación obtenida usando la regla de Simpson 38
.
246 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Según estas estimaciones de error, se espera que la mejor aproximación sea la obtenida por
la regla de Simpson 38
, pero para dar una respuesta definitiva debemos conocer el valor
exacto de la integral dada.
CASO COMPUESTO CON N = 6 : Si N = 6 , entonces h b aN
= − = π18
y los puntos de la
partición son
x0 1 2 3 4 5 6018 9 6
29
518 3
= = = = = = =, x , x , x , x , x , xπ π π π π π
Entonces tenemos:
i) Regla de los Trapecios: Según esta regla
( ) ( )[ ]I xdx h f x f xk kk
= ≈ +∫ ∑ +=
sen2
0
3
10
5
2
π
( )= +
+
+
+
+
+
π π π π π π π
360
32
18 9 629
518
f f f f f f f
= .3092953En este caso el error es
( ) ( )E h Nf fT = − ′′ = −
′′ ∈
3
3
121812
6ξ
π
ξ ξ π para algú n 0,3
y como
( ) para toda x 0,3
′′ ≤ ∈
f x 2 π
entonces
( )( ) E T ≤
=
≈ × < ×− −
ππ18
126 2
185 3 10 5 10
3
33 2.
lo que garantiza una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximacióncalculada.
ii) Regla de Simpson 13
: Según esta regla
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }
I xdx h f x f x f x
h x f x f x f x f x f x f x
k k kk
= ≈ + +
= + + + + + +
=
∫ ∑ + +=
sen, ,
2
03
1 20 2 4
0 6 1 3 5 2 4
34
34 2
3070743
π
f
.
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 247__________________________________________________________________________________
El error en la aproximación es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E h Nf h f h fTiv iv iv= − = − = −
5 5 5
180 1806
30ξ ξ ξ para algún ξ
π∈
03
,
y como
h = π18
y ( ) ( ) f para toda x 0,3
iv x ≤ ∈
8 π
entonces
E T ≤
≈ × < ×− −
π1830
8 4 3 10 5 10
5
5 5.
lo que garantiza una precisión de por lo menos cuatro cifras decimales exactas en laaproximación calculada.
iii) Regla de Simpson 38
: En este caso
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ){ }
I
f
= ≈ + + +
= + + + + + +
=
∫ ∑ + + +=
sen,
2
0
3
1 2 30 3
0 6 1 4 2 5 3
38
3 3
38
3 3 2
3070510
xdx h f x f x f x f x
h x f x f x f x f x f x f x
k k k kk
π
.
El error en la aproximación para este caso es
( ) ( ) ( ) ( )E h Nf fTiv iv= − = −
5
5
801880
6ξ
π
ξ para algún ξπ∈
03
,
y entonces
( )( ) E T ≤
≈ × < ×− −
π1880
6 8 9 7 10 5 10
5
5 4.
lo que garantiza una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas en laaproximación calculada.
De estas tres ultimas aproximaciones, se espera que la mejor sea la dada por la regla de
Simpson 13
, que es la que tiene menor cota de error.
Como el valor exacto de I xdx= = −
= − =∫ sen sen ...2
0
3
614
23 6
38
307092424
π
π π π . , entonces
el error absoluto real en las aproximaciones obtenidas, para el caso de las reglascompuestas, es:
248 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
sen 2
0
333092953 21 10xdx− = ×∫ −. .
π
... , para la regla de los Trapecios.
sen ,2
0
353070743 18 10xdx− = ×∫ −. .
π
... para la regla de Simpson 13
.
sen ,2
0
353070510 4 1 10xdx− = ×∫ −. .
π
... para la regla de Simpson 38
.
Instrucciones en DERIVE:
TRAPECIO( ( )f x x a b N, , , , ): Usa la regla de los Trapecios con N subintervalos para aproXimar
el valor de la integral ( )f x dxa
b
∫ .
SIMPSON( ( )f x x a b N, , , , ): Usa la regla de Simpson 13
con N subintervalos (N debe ser un
entero positivo PAR) para aproXimar el valor de la integral ( )f x dxa
b
∫ .
Para el ejemplo anterior, aproXime las expresiones TRAPECIO( ( )sinx x2 03
6, , , ,π );
SIMPSON( ( )sinx x2 03
6, , , ,π ). ◊◊◊◊
Los valores obtenidos por las reglas de los Trapecios, Simpson 13
y Simpson 38
, para
valores de N =12 18 24 36, , y se muestran en la TABLA 5.1 siguiente.
NRegla de los
TrapeciosRegla de
Simpson 13
Regla de
Simpson 38
6 .3092953 .3070743 .307051012 .3076423 .3070913 .307089918 .3073367 .3070922 .307091924 .3072298 .3070924 .307092336 .3071535 .3070924 .3070924
TABLA 5.1
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 249__________________________________________________________________________________
Se recomienda usar la regla de Simpson 13
con h ≈ .05 . Si el número de subintervalos
es impar se pueden combinar las reglas de Simpson 13
y Simpson 38
, mejor que usar la
regla de los Trapecios.
Para el ejemplo, observe que si N =18 , entonces
h b aN
= − =−
= ≈
ππ3
0
18 54058 . ♦
Una propiedad muy importante de las fórmulas de integración (cerradas) de Newton-Coteses la estabilidad con respecto a los errores de redondeo.
Por ejemplo, supongamos que aplicamos la regla de Simpson 13
con N m= 2
subintervalos a una función f en [ ]a b, , y determinemos una cota para el error de redondeoacumulado ocasionado por la aplicación de dicha regla.
Si el valor calculado de ( )f xk se nota por ( )~f xk , es decir,
( ) ( )f x f xk k k= + ∈~ , para k N m= =01 2, ,...,
donde ∈ k denota el error de redondeo correspondiente a ( )f xk , entonces al aplicar la regla
de Simpson 13
a la función f debemos calcular la expresión
( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x f x f xm kk
m
kk
m
34 20 2 2 1
0
1
21
1
+ + +
+=
−
=
−
∑ ∑
Por lo tanto el error de redondeo acumulado ER , al usar la regla de Simpson 13
, es
ER m kk
m
kk
mh= ∈ + ∈ + ∈ + ∈
+=
−
=
−
∑ ∑34 20 2 2 1
0
1
21
1
así que
E R m kk
m
kk
mh= ∈ + ∈ + ∈ + ∈
+=
−
=
−
∑ ∑34 20 2 2 1
0
1
21
1
y entonces
∈+∈+∈+∈≤ ∑∑−
=
−
=+ 24
3hE
1m
1km2k2
1m
0k1k20R
250 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Ahora bien, si los errores de redondeo están acotados uniformemente por ∈ , es decir ∈ ≤∈k para todo m2N,...,1,0k == , entonces
( )[ ] E Rh m m h m mh≤ ∈+ ∈+ − ∈+ ∈ = ∈= ∈3
4 2 13
6 2
pero h b aN
b am
= − = −2
, así que 2mh b a= − , y por lo tanto
( ) E R b a≤ − ∈
Luego una cota para el valor de ER es ( )b a− ∈ , que es una cota independiente de h, lo que
implica que el procedimiento de la regla de Simpson 13
es estable cuando h tiende a
cero. ∇∇∇∇
Ejemplo 5.2 Use la regla de Simpson 13
con N = 6 para estimar la longitud L del arco de
la curva y x= cos comprendida entre los puntos −
π π2
02
0, , y .
Solución: Como y x= cos , dydx
x= −sen , entonces
L x= +
−
∫ 1 2
2
2
sen dxπ
π
(Integral elíptica de segunda clase)
Es claro que la función ( )f x x x= + = −1 2 1 12
2 2sen cos es continua en el intervalo finito
−
π π2 2
, . Así que podemos aplicar la regla de Simpson 13
para aproximar el valor de L.
Si N = 6 , entonces h b aN
= − = π6
, y entonces los puntos xk de la partición y los valores
( ) ( )f x xk k= +1 2sen correspondientes, son los que se dan en la TABLA 5.2 siguiente:
k 0 1 2 3 4 5 6
xk− π
2− π
3− π
6 0π6
π3
π2
( )f xk 272
52 1
52
72 2
TABLA 5.2
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 251__________________________________________________________________________________
Por consiguiente
( ) ( ) ( ) ( )L x h f x f x f x f xkk
kk
= + ≈ + + +
−
+= =
∫ ∑ ∑13
4 22
2
2
0 6 2 10
2
21
2
senπ
π
dx
= + + + +
+ +
π18
2 2 4 72
1 72
2 52
52
= 3 819403.
De acuerdo con la fórmula de error en la aplicación de la regla de Simpson 13
, se tiene
que
E h b a M MT ≤ − =
44
180 6 180π π
siendo M una constante tal que ( )( ) Mxf iv ≤ para toda x ∈ −
π π2 2
, . Se puede verificar que el
menor valor para M es 7, así que
ET ≤
≈ ≤ × −π π6 180
7 009 5 104
2 .
lo que asegura una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta en la aproximación
obtenida. En situaciones como la del ejemplo, donde la función ( )f x x= +1 2sen tienederivada difícil de calcular, podemos estimar el error teniendo en cuenta que
( )E O hT = ≈
≈ < = × −44
1
6075 5 5 10 π . .
Si N = 60 , entonces h = ≈π60
05 . y la aproximación obtenida es L ≈ 3 820198. con
ET ≤ × ≤ ×− −9 1 10 5 107 6. , lo que asegura una precisión de por lo menos cinco cifrasdecimales exactas en la aproximación obtenida. ♦
Ejemplo 5.3 Determine los valores de N y h necesarios (de acuerdo con la teoría) paraaproximar
exsenxdx1
3
∫de manera que el error en la aplicación de la regla de Simpson 1
3
no sea mayor que 10 4−
y determine la aproximación (desprecie los errores de redondeo).
252 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Solución: Sabemos que el error en la aplicación de la regla compuesta de Simpson 13
es
( ) ( ) ( ) E N2
f , donde 1,3 y hivT
h b aN N
= − ∈ = − =5
902
ξ ξ
De acuerdo con esta fórmula, debemos empezar por conocer una cota para ( ) ( )f xiv en el
intervalo [ ]13, , siendo ( )f x ex= senx .
Como( ) ( )′ = + = +f x e e ex x xsenx cosx senx cosx
( ) ( ) ( )′′ = + + − =f x e e ex x xsenx cosx cosx senx cosx2
( ) ( )′′′ = − = −f x e e ex x x2 2 2cosx senx cosx senxy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x e x x e x x e x e xiv x x x x= − + − − = − = −2 2 2 2 4cos sen sen cos sen sen
entonces ( ) ( ) ( )f x e x e x e x xv x x x= − − = − +4 4 4sen cos sen cos , así que
( ) ( )[ ]
f x x x x x
x
v = ⇔ + = ⇔ = −
⇒ = ≈ ∈
0 034
2 356 13
sen cos sen cos
, π .
Ahora,
( ) f ...iv e sen34
4 34
29 8434π ππ
= −
= − .
( ) ( ) f sen ...iv e1 4 1 9 1491= − = − .
( ) ( ) f sen ...iv e3 4 3 11333= − = − .
luego en x = 34π ocurre el mínimo de ( ) ( )f x eiv x= −4 senx en el intervalo [ ]13, , pero
( ) ( ) [ ]f x eiv x= − < ∈4 0senx para toda x 1,3 , así que el máximo de ( ) ( ) f iv x en el intervalo
[ ]13, ocurre en x = 34π , es decir,
( ) ( ) [ ] f para todo xiv xx e x e= ≤
≈ < ∈4 4 3
429 84 30 13
34sen sen ,π π .
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 253__________________________________________________________________________________
Así que finalmente,
( ) E Th N N N≤ =
5
5
18030
2
6
y entonces debemos encontrar N, tal que 32
6104
4
N≤ − . La solución de esta desigualdad es
N >15 y como N debe ser par, entonces el menor valor de N es N =16 .
Si N =16 , entonces h = =2
16125 . y la regla de Simpson 1
3
da
e xdxx sen1
3
10 95011∫ ≈ .
Como E T ≤ < ×− −10 5 104 4 , entonces (despreciando los errores de redondeo) laaproximación calculada tiene una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas,que son 9,5 y 0.
Si integramos por partes, obtenemos e xdxx sen ...1
3
10 95017∫ = . , así que la aproximación
calculada es bastante buena. ♦
5.2 INTEGRACIÓN DE ROMBERG
La integración de Romberg es un método numérico para obtener una estimación del valor deuna integral definida con base en dos o más aplicaciones de una fórmula como la de losTrapecios (o Simpson) empleando diferentes tamaños de paso, pero que es mejorada alcombinarse con el proceso de extrapolación de Richardson. Para estudiar la extrapolaciónde Richardson se puede consultar Burden, 1985, páginas 167-173.
El procedimiento de Romberg para aproximar ( )f x dxa
b
∫ , consiste en lo siguiente:
Aplicamos la regla de los Trapecios sucesivamente para tamaños de paso hk variables, así:
h b a1 = − ( )m1 1= subintervalo , h h b a2
1
2 2= = − (m2 2= subintervalos), h h b a
32
22 2= = −
( )m 2 subintervalos32 = ,..., h h b a
kk
k= = −−−
112 2
(mkk= −2 1 subintervalos),
..., hh b a
NN
N= = −−−
112 2
(mNN= −2 1 subintervalos) donde N es algún entero positivo.
Al reemplazar h hk por en la regla de los Trapecios, obtenemos
254 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx h f a f b f a ih h fa
bk
ki
ki
i
k k
∫ ∑ ∑= + + +
− ′′
=
−
=
−− −
22
121
2 1 3
0
2 11 1
ξ
donde ξ i es tal que ( )a ih a i hk i k+ < < + +ξ 1 .
Si denotamos
( ) ( ) ( )R h f a f b f a ihkk
ki
k
,11
2 1
22
1
= + + +
=
−−
∑
entonces al variar k N=12, ,..., , obtenemos las aproximaciones mediante la regla de losTrapecios
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]R h f a f b b a f a f b111
2 2, = + = − +
( ) ( ) ( )[ ]R h f a f b f a h2 12
222, = + + +
( ) ( )= − + + + −
b a f a f b f a b a4
22
( ) ( )[ ] ( ) ( )= − + + − + −
12 2
12
b a f a f b b a f a b a
es decir,
R R h f a h2 1 11 1 112
12, ,= + +
Ahora,
( ) ( ) ( )R h f a f b f a ihi
3 13
31
3
22, = + + +
=
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }= + + + + + + +h f a f b f a h f a h f a h3
3 3 322 2 3
( ) ( ) ( )= − + + + −
+ + −
+ +
−
b a f a f b f a b a f a b a f ab a
82
4 23
4
( ) ( )= − + + + −
+ − + −
+ + −
12 4
22 2
12 2
32 2
b a f a f b f a b a b a f a b a f a b a
es decir,
R R h f a h f a h3 1 2 1 2
2 212 2
32, ,= + +
+ +
En general, se puede demostrar que
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 255__________________________________________________________________________________
R R h f a i hk k k ki
k
, ,1 11 1 11
212
2 12
2
= + + −
− − −
=
−
∑ , k = 2 3, ,...,N
Para ilustrar esta primera parte del procedimiento, aproximemos la integral
( )1 3 109861281
3
xdx∫ = =ln ... .
mediante los números de Romberg ( )3=N 32,1,=k con R 1,k :
R113 1
211
13
43
1333333, = − +
= ≈ .
( )R2 112
43
3 1 12
12
73
76
1166667, = + −
=
= ≈ .
R 3 112
76
3 12
23
25
12
76
1615
12
6730
6760
1116667, = + − +
= +
= = ≈ .
Se observa que las aproximaciones Rk,1 van acercándose al valor exacto de la integral, perocon lentitud. Para acelerar la convergencia, usamos ahora extrapolación de Richardson yun resultado que nos muestra otra forma para el error en la aplicación de la fórmula de losTrapecios:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
error
f x dx h f a f b f a ih
R
h f b f ab a h
fa
bk
ki
k
k k ivk
k
∫ ∑= + + +
− ′ − ′ +
−
=
−−
22
12 7201
2 1
1
2 41
,
! "###### $######! "####### $#######
ξ
para algún ξk con a bk< <ξ , N,...,2,1k = .
Combinando la ecuación
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x dx R h f b f ab a h
fa
b
kk k iv
k= − ′ − ′ +−
∫ −− −
−111
21
4
112 720, ξ
con la ecuación
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )f x dx R h f b f ab a h
fa
b
kk k iv
k∫ = − ′ − ′ +−
,1
2 4
12 720ξ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )= − ′ − ′ +−−R h f b f a
b a hfk
k k ivk,1
12 4
48 720ξ , ya que h h
kk= −1
2
256 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
o sea con la ecuación
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )4 412
47201
12 4
f x dx R h f b f ab a h
fa
b
kk k iv
k∫ = − ′ − ′ +−−
, ξ
podemos eliminar el término que contiene a ( ) ( )′ − ′f b f a , para obtener
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]3 4720
41 114
14
1f x dx R R b a h f h f
a
b
k k kiv
k kiv
k∫ = − + − −− − −, , ξ ξ
Luego
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]f x dxR R b a h f h f
a
bk k
kiv
k kiv
k∫ =−
+ − −−− −
43 2160
41 11 41
41
, , ξ ξ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−
+ − −−−
43 2160
4 161 11 4 41
R R b a h f h fk kk
ivk k
ivk
, , ξ ξ , ya que h hk k− =1 2 .
( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−
+ − −−−
43 540
41 11 41
R Rh b a f fk k
kiv
kiv
k, , ξ ξ
y asumiendo que ( )f iv está acotada en [ ]a b, , entonces
( ) ( )f x dxR R
O h Na
bk k
k∫ =−
+ =−43
2 31 11 4, , , , ,..., k
Para continuar con el procedimiento de Romberg, definimos:
R para =kk kR R
k N,, , , ,...,21 114
32 3=
− −
Se puede demostrar que las aproximaciones Rk,2 , k N= 2 3, ,..., corresponden a las
aproximaciones obtenidas por la Regla de Simpson 13
con h hk= .
Para el ejemplo, tenemos
RR R
2 22 1 114
3
4 76
43
3109
1111111,, ,=−
=
−
= ≈ .
RR R
3 23 1 2 14
3
4 6760
76
3198180
1100000,, ,=−
=
−
= = .
Aplicando sucesivamente el proceso de extrapolación de Richardson, obtenemos
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 257__________________________________________________________________________________
R para cada i = 1,2,...,N y j = 2,...,i ji
ji j i j
j
R R,
, ,=−
−
−− − −−
44 1
11 1 11
con error asociado de orden ( )O hij2 .
Recuerde que
R kk k k ki
R h f a i h N k
, , , , ,...,1 11 1 11
212
2 12
2 32
= + + −
=− − −
=
−
∑
y que
( ) ( )[ ] R 11 2, = − +b a f a f b
El orden en que se calculan los Ri j, es (por filas):
N,N3,N2,N1,N
3,32,31,3
2,21,2
1,1
RRRR
RRR
RR
R
→→→→↓
↓→→
↓↓→
↓
%
&
donde para calcular R2 2, necesitamos conocer R11, y R2 1, ; para calcular R3 2, necesitamosconocer R2 1, y R3 1, ; para calcular R3 3, necesitamos conocer R2 2, y R3 2, ; etc. Así que el usomas eficiente de esta tabla se logra realizando los cálculos por filas de modo que con aplicaruna sola vez más la regla de los Trapecios (para calcular Rk,1) se pueda calcular la siguientefila.
Es decir, el orden en que se calculan los elementos es R11, , R2 1, , R2 2, , R3 1, , R3 2, , R3 3, ..., .
Se puede demostrar, ver Ralston, 1965, páginas 121-124, que los términos de la diagonalconvergen al valor exacto de la integral siempre y cuando los valores Rk,1 converjan a este
número. Se espera, en general, que la sucesión { }Rk k k, converja mucho más rápido que la
sucesión { }Rk k,1 .
El procedimiento de Romberg se termina cuando, prefijada alguna tolerancia ε > 0, sesatisfaga que R k k k kR, ,− − <1 ε y se toma Rk k, como la aproximación al valor de la integral.
258 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Para el ejemplo, tenemos:
RR R
3 3
3 13 2 2 2
3 14
4 1
16 198180
109
15
17610
109
151584 100
135014841350
1099259,, ,=−
−=
−
=−
= − = ≈−
−.
con3
3,32,3 105005 000741 RR −×=<=− ..
Como
33
133 105005 000647 dx
x1R −×=<≈− ∫ ..,
entonces el valor calculado R3 3 1099259, = . , aproxima al valor exacto de la integral con una
precisión de dos cifras decimales exactas ( 0 y 9) .
Algoritmo 5.3 (Método de Romberg) Para encontrar un valor aproximado de ( )I f x dxa
b
= ∫usando el método de integración de Romberg:
Entrada: ( )f x , los extremos a y b, y un entero positivo N.
Salida: Los números de Romberg R IN n NN11 2 1 2 2 1 2, , , , , ,, , , ..., , , ..., R R R R R ≈ .
Paso 1: Tomar h b a ,= −
( ) ( )[ ]2
bfafhR 11+=,
Paso 2: Salida: R11, .
Paso 3: Para N,...,3,2i = , seguir los pasos 4-8:
Paso 4: Tomar ( )( )R R h f a k hk
i
2 1 111
212
52
, , .= + + −
=
−
∑ (aproximación usando regla de los
Trapecios)
Paso 5: Para j = 2,...,i , tomar
RR R
j
jj j
j2
12 1 1 1
1
4
4 1,, ,=
−
−
−− −− (Extrapolación de Richardson)
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 259__________________________________________________________________________________
Paso 6: Salida: Los números de Romberg i2,...,1,j ,R j2, = .
Paso 7: Tomar h h=
2 (cambiar la longitud del subintervalo).
Paso 8: Para i,...,2,1j = tomar R Rj j1 2, ,= .
Paso 9: Terminar
Este algoritmo sólo utiliza dos vectores en memoria para calcular los números de Romberg.
5.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Vimos en la sección 5.1 que la fórmula de los Trapecios es exacta para todos los polinomios
de grado menor o igual que uno y que las reglas de Simpson 13
38
y son exactas para
polinomios de grado menor o igual que tres. Otra forma de deducir fórmulas de integraciónnumérica que sean exactas para todos los polinomios de hasta cierto grado, se estudia acontinuación:
Supongamos que queremos obtener una fórmula de integración numérica del tipo
( ) ( ) ( ) ( ) FORMULA ERROR TOTAL
f x dx Af a Bf b E fa
b
T∫ = + +! "## $## !"$ (5.1)
de modo que dicha fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual queuno, es decir, tal que el error ( )E fT = 0 cuando ( )f x sea un polinomio de grado menor o igualque uno.
Cómo se determinan los coeficientes A y B?
Para generar ecuaciones que permitan determinar los coeficientes A y B, observe que: Si( )f x a a x con a= + ∈0 1 0 1,a R , entonces
260 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
E f E a a x f x dx Af a Bf b
a a x dx A a a a B a a b
a dx A B a xdx A a B b
a E a E x
T Ta
b
a
b
a
b
a
b
T T
= + = − −
= + − + − +
= − −
+ − −
= +
∫
∫
∫ ∫
0 1
0 1 0 1 0 1
0 1
0 1
1 1 1
1
. . . .
es decir,( ) ( ) ( )xEa1EaxaaE T1T010T +=+
Así que( )E a a xT 0 1 0+ = para todo a a0 1, ∈ R si y sólo si ( )ET 1 0= y ( )E xT = 0
es decir, la fórmula buscada es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual queuno si y sólo si la fórmula es exacta para las funciones polinómicas básicas de grado menoro igual que uno: ( )f x0 1≡ y ( )f x x1 = . De acuerdo con lo anterior, para determinar loscoeficientes A y B, en la fórmula buscada, basta sustituir ( )f x por 1 y ( )f x por x en la
ecuación (5.1) con ( )E fT = 0 .
Haciendo dichas sustituciones, obtenemos
( )E 1T = − ⋅ − ⋅ =∫1 1 1 0dx A Ba
b
( )E xT = − ⋅ − ⋅ =∫ xdx A a B ba
b
0
es decir, se obtiene el sistema lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitas A, B:
A
aA
+ = −
+ = −
B b a
bB b a2 2
2
Como este sistema tiene solución única A B b a= = −
2, entonces la fórmula obtenida es
( ) ( ) ( )[ ] f x dx b a f a f ba
b
∫ ≈ − +2
que es la ya conocida regla simple de los Trapecios para f en [a,b] (verifique que esta fórmulano es exacta para todos los polinomios de grado dos!).
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 261__________________________________________________________________________________
El trabajo realizado antes en el intervalo [ ]a b, puede hacerse, sin pérdida de generalidad, en
el intervalo [ ]01, , pues la función lineal
[ ] [ ]( ) ( )
t
λ
λ
: 0 1, ,→
→ = − +
a b
t b a t a
es uno a uno y sobre, además ( ) ( )λ λ0 1= =a b, ( ( ) ( )λ λ− −= =1 10 1a b, ). Vea la FIGURA 5.5
como ayuda para construir la función ( )x t= λ .
( )x ab a
t x a b a t−−
= ⇒ − = −1
FIGURA 5.5
Si en la integral
( ) f x dxa
b
∫
hacemos el cambio de variable ( )x b a t a= − + , entonces ( )dx b a dt= − y
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) f x dx f b a t a b a dt b a f b a t a dta
b
∫ ∫ ∫= − + − = − − +0
1
0
1
En general, la función lineal
[ ] [ ]( ) ( )
t
λ
λ
: c d a b
t b ad c
t c a
, ,→
→ = −−
− +
es uno a uno y sobre, y además ( ) ( )λ λc a y d b= = ( ( ) ( )λ λ− −= =1 1a c b d, ). Si en la integral
( ) f x dxa
b
∫
262 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
hacemos el cambio de variable
( ) x = −−
− +b ad c
t c a
obtenemos
( ) ( )( ) ( ) f x dx b ad c
f t dt b ad c
f b ad c
t c a dta
b
c
d
c
d
∫ ∫ ∫= −−
= −−
−−
− +
λ
Observe que como λ es lineal en t, si ( )f x es polinomial, entonces ( )( )f tλ es tambiénpolinomial en t y del mismo grado. Por consiguiente, la exactitud de una fórmula no se alteraal hacer el cambio de variable indicado antes, es decir, si una fórmula de integraciónnumérica es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que m en la variable xen [ ]a b, , también lo será para todos los polinomios correspondientes en la variable t en [ ]c d,y recíprocamente.
Como ejemplo, supongamos que queremos determinar los coeficientes A, B y C de modoque la fórmula
( ) ( ) ( )### $### "!
fórmula
1
0
1Cf21Bf0Afdxxf +
+≈∫
sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos.
Siguiendo la misma idea del ejemplo anterior se tiene que: la fórmula buscada será exactapara todos los polinomios ( )f x a a x a x= + +0 1 2
2 , de grado menor o igual que dos, si y sólo sila fórmula es exacta para las funciones polinómicas básicas de grado menor o igual que dos1 2, , x x .
Luego para determinar los coeficientes A, B y C basta resolver el sistema lineal
1 1 1 1 1
12
12
1
13
14
1
0
1
0
1
2
0
1
= = ⋅ + ⋅ + ⋅
= = + ⋅
= = + ⋅
∫
∫
∫
dx A B C
xdx B C
x dx B C
es decir, debemos resolver el sistema lineal de tres ecuaciones en las tres incógnitas A, B, C:
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 263__________________________________________________________________________________
A
+ + =
+ =
+ =
B C
B C
B C
112
12
14
13
La solución de este sistema es A = = =16
46
16
, B y C .
Así que la fórmula obtenida es
( ) ( ) ( ) f x dx f f f0
116
0 46
12
16
1∫ ≈ +
+
que es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que dos. Comoejercicio verifique si esta fórmula es exacta para todos los polinomios de gradomenor o igual que tres. Es exacta esta fórmula para todos los polinomios de gradomenor o igual que cuatro?
Si usamos el cambio de variable ( )x b a t a= − + , obtenemos
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x dx b a f b a t a dt
b a f a f a b f b
b a f a f a b f b
a
b
= − − +
≈ − + +
+
= − + +
+
∫∫0
1
16
46 2
16
64
2
que coincide con la regla simple de Simpson 13
aplicada a la función f en el
intervalo [ ]a b, .
El método ilustrado en los ejemplos anteriores para encontrar fórmulas de integraciónnumérica se conoce como método de los coeficientes indeterminados.
5.4 MÉTODO DE CUADRATURA GAUSSIANA
En las fórmulas de integración numérica o de cuadratura estudiadas hasta aquí paraaproximar el valor de
264 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
( ) I = ∫ f x dxa
b
se ha usado siempre una partición regular a x x x bn= < < < =0 1 ... del intervalo [ ]a b, ,es decir, los puntos n10 x,...,x,x se han dado igualmente espaciados. Si se quita estacondición, pueden diseñarse fórmulas de integración numérica más precisasescogiendo adecuadamente los puntos n10 x,...,x,x . Una de estas fórmulas es lacuadratura Gaussiana, que se puede presentar en los siguientes términos:
La cuadratura Gaussiana consiste en obtener los valores de los puntos n21 x,...,x,xen el intervalo [ ]−11, (podemos trabajar en [ ]−11, en vez de trabajar en [ ]a b, y luegousar un cambio de variable como se hizo en la sección anterior) y los coeficientes
n21 A,...,A,A tales que la fórmula
( ) ( )f x dx A f xj jj
n
FORMULA− =∫ ∑≈1
1
1! "# $#
(5.2)
sea exacta para todos los polinomios de grado tan alto como sea posible. Esta idea sedebe a Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Este proceso involucra la determinación de 2n incógnitas, n21 A,...,A,A y n21 x,...,x,x ,donde, en principio, n21 x,...,x,x sólo están restringidos a que la función f estédefinida en n21 x,...,x,x y [ ]1,1x,...,x,x n21 −∈ .
Los coeficientes A j y los puntos n21 x,...,x,x son determinados de modo que el error
( ) ( ) ( ) En j jj
n
f f x dx A f x= − =− =∫ ∑1
1
1
0 (5.3)
para todos los polinomios ( )f x de grado tan alto como sea posible.
Para derivar ecuaciones que permitan obtener los coeficientes n21 A,...,A,A y lospuntos n21 x,...,x,x , notemos, como en el caso del método de los coeficientesindeterminados, que si ( )f x a a x a x a xm
m= + + + +0 1 22 ... , entonces
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 265__________________________________________________________________________________
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )mnm
2n2n1n0
mxnE
n
1j
mjj
1
1
mm
2xnE
n
1j
2jj
1
1
22
xnE
n
1jjj
1
11
1nE
n
1jj
1
10
n
1j
mjm
2j2j10j
1
1
mm
2210
mm
2210nn
xEaxEaxEa1Ea
xAdxxa
xAdxxaxAxdxa1Adx1a
xaxaxaaAdxxaxaxaa
xaxaxaaEfE
++++=
−+
+
−+
−+
⋅−=
++++−++++=
++++=
=−
=−=−=−
=−
∑∫
∑∫∑∫∑∫
∑∫
...
...
......
...
#### $#### "!
### $### "!### $### "!### $### "!
Por consiguiente: El error ( )E a a x a x a xn mm
0 1 22 0+ + + + =... para todos los polinomios
de grado menor o igual que m si y sólo si ( ) m,...,2,1,0i todo para 0xE in == .
Volviendo al tema de cómo determinar los coeficientes n,...,2,1j ,A j = , y los puntosde la partición n,...,2,1j ,x j = , tenemos los siguientes casos particulares:
CASO 1: n =1. En este caso
( ) ( ) ( )
( ) ( )
E11
1
1
1
1
1
1 1
f f x dx A f x
f x dx A f x
j jj
= −
= −
− =
−
∫ ∑
∫
Así que queremos encontrar A1 1 y x tales que ( )E f1 0= para todos los polinomios( )f x de grado tan alto como sea posible.
Como hay dos incógnitas por determinar, consideraremos al menos dos ecuaciones,una para ( )f x ≡1 y otra para ( )f x x= , lo que nos lleva a
y 1 1 0 01
1
11
1
1 1dx A xdx A x− −∫ ∫− ⋅ = − =
es decir, resulta el siguiente sistema no-lineal de dos ecuaciones en las dos incógnitasA1 1 y x :
2 00
1
1 1
− ==
Ax A
266 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
Como la única solución de este sistema es A1 2 0= = y x1 , entonces la fórmulaobtenida es
( ) ( ) f x dx f−∫ ≈1
1
2 0
que es llamada regla del punto medio, y es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que uno, como la regla de los Trapecios. (Verifique que la regladel punto medio no es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual quedos!).
CASO 2: n = 2 . En este caso
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
E f f x dx A f x
f x dx A f x A f x
j jj
21
1
1
2
1
1
1 1 2 2
= −
= − −
− =
−
∫ ∑
∫
Así que, esta vez, debemos encontrar A1 2 1 2, , A x y x tales que ( )E f2 0= para todos lospolinomios ( )f x de grado tan alto como sea posible. Consideramos entonces cuatroecuaciones, una para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado menor oigual que tres 3,2,1,0i ,x i = , con lo que obtenemos
1 1 1 0
0
0
0
1
1
1 2
1
1
1 1 2 2
2
1
1
1 12
2 22
3
1
1
1 13
2 23
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
− ⋅ − ⋅ =
− − =
− − =
− − =
dx A A
xdx A x A x
x dx A x A x
x dx A x A x
es decir,
A A
1 2
1 1 2 2
1 12
2 22
1 13
2 23
20230
+ =+ =
+ =
+ =
Ax A x
A x A x
A x A x
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 267__________________________________________________________________________________
Este sistema resultante es no-lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y se
puede verificar que la solución de este sistema es A A1 2 1 21 33
33
= = = − =, , x x , así
que la fórmula obtenida es
( ) f x dx f f−∫ ≈ −
+
1
13
33
3
que es exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que tres, como en la
regla de Simpson 13
. (Verifique que la fórmula anterior no es exacta para todos
los polinomios de grado cuatro).En general, para n tenemos, como ya mencionamos antes, 2n incógnitas n21 A,...,A,A ,
n21 x,...,x,x , y queremos que ( ) 12n1,...,0,i para 0xE in −== , lo que nos conduce al
siguiente sistema no-lineal de 2n ecuaciones con 2n incógnitas
i
iA x x dx x
i
n
inj j
i
j
ni
i
= −
+
−∑ ∫= =
+
== −
+= −
1 1
1 1
1
1
1
0 13 2 12
10 2 2 2
, , ,...,
, , ,...,
La solución de estos sistemas se ve que no es fácil, y precisamente por la dificultadque se presenta al trabajar con estos sistemas no-lineales, hay otra teoría más general,pero que no presentaremos aquí. En dicha teoría se puede demostrar que el error
( )E fn viene dado por
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) E n
n n
fn
n n
fn
=+
+2
2 1 2 2
2 1 4
2
2!
! !ξ
para algún ( )1,1−∈ξ .
La TABLA 5.3 siguiente, muestra los valores de los puntos n21 x,...,x,x y los valoresde los coeficientes n21 A,...,A,A , correspondientes a los valores de 5,4,3,2,1n = parala fórmula de cuadratura llamada de Gauss-Legendre
( ) ( ) f x dx A f xj jj
n
− =∫ ∑≈1
1
1
nCoeficientes A jj n, ,...,=1
Nodos x jj n, ,...,=1
Error de fórmula
268 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
1 A1 2= x1 0= ( )≈ ′′f ξ
2AA
1
2
11
==
xx
1
2
57735026925773502692
= −=
.. ( ) ( )≈ f 4 ξ
3AAA
1
2
3
555555555688888888895555555556
===
...
xxx
1
2
3
77459666920 07745966692
= −==
..
.
( ) ( )≈ f 6 ξ
4
AAAA
1
2
3
4
3478546451652145154965214515493478546451
====
....
xxxx
1
2
3
4
8611363116339981043633998104368611363116
= −= −==
....
( ) ( )≈ f 8 ξ
5
AAAAA
1
2
3
4
5
23692688514786286705568888888947862867052369268851
=====
.....
xxxxx
1
2
3
4
5
90617984595384693101
0 053846931019061798459
= −= −===
...
.
.
( ) ( )≈ f 10 ξ
TABLA 5.3
Si se desea consultar la teoría sobre Cuadratura Gaussiana se puede ver Kincaid,1972, páginas 456-465.
Ejemplo 5.4 Use el método de cuadratura Gaussiana con n = 2 y n = 3 para estimar
sen2
0
3
xdx
π
∫
Solución: Para usar los datos de la TABLA 5.3, primero hacemos el cambio devariable
[ ]
( ) ( ) ( )
t
λ π
λ
ππ
: − →
→ =+
+ = + =
11 03
31 1
16
1
, ,
t t t x
con el cual
( )sen sen2
0
32
1
1
6 61xdx t dt
π
π π∫ ∫= +
−
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 269__________________________________________________________________________________
i) Si n = 2 , entonces
( ) ( ) sen sen sen 2
0
32 2
6 65773502692 1
65773502692 1
308208655
xdx
π
π π π∫ ≈ − +
+ +
=
. .
.
Compare este resultado con el obtenido usando la regla de Simpson 13
.
ii) Si n = 3 , entonces
( )
( )
( )
sen sen
sen
sen
.
2
0
32
2
2
65555555556
67745966692 1
88888888896
0 1
55555555566
7745966692 1
307081826
xdx
π
π π
π
π
∫ ≈ − +
+ +
+ +
=
. .
.
. .
.
El valor exacto de la integral dada es
sen ...2
0
3
3070924246xdx
π
∫ =. ♦
TALLER 5.
1. a) Use las reglas de los Trapecios, Simpson 13
y Simpson 3
8
con seis
subintervalos para obtener valores aproximados de cada una de las siguientesintegrales
i) ex
dxx−
∫1
2
ii) 1
2
3
lnxdx∫ iii) e dxx−∫
2
0
1
iv) e dxx2
0
1
∫
270 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
v) ln xxdx
11
2
+∫ vi) sen xx
dx0
1
∫ vii) sen xdx0
2π
∫ viii) ( )sen x dx2
0
1
∫
b) Para cada uno de los valores obtenidos en a) encuentre cotas para el error en laaproximación calculada y estime, a partir de esas cotas, con cuántas cifrasdecimales exactas aproxima dicho valor al valor exacto. Desprecie los erroresde redondeo.
2. Si ( )f x dx0
0 8
2.
∫ = y nos dan la tabla siguiente
xk 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .8( ) f xk 5 8 6 3 0 −3 −3 5
Emplee la regla de Simpson 13
para estimar ( )f .7 .
3. La siguiente tabla muestra valores aproximados de una función f y loscorrespondientes errores de redondeo
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6( )~f x 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
Error en ( )f x 2 10 6× − − × −2 10 6 − × −.9 10 6 − × −.9 10 6 2 10 6× −
Use todos los datos de la tabla anterior y la regla de Simpson 13
para aproximar
el valor de ( )f x dx18
2 6
.
.
∫ , y calcule el error de redondeo total al aplicar dicha regla.
4. a) Determine el menor número de subintervalos N necesarios para obtener una
aproximación de ln.
xdx1
2 5
∫ , con una precisión de por lo menos cinco cifras
decimales exactas, usando la regla de los Trapecios y la regla de Simpson
31 .
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 271__________________________________________________________________________________
Calcule la aproximación correspondiente, en cada caso. Desprecie los erroresde redondeo.
b) Responda la pregunta planteada en a) para cada una de las integrales en elproblema 1. a).
5. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmulade integración numérica del tipo
( ) ( )f x dx A f xj jj
n
0
1
1∫ ∑≈
=
que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.
b) Verifique que la fórmula obtenida en a) es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que cinco, y que no es exacta para todos los polinomios degrado menor o igual que seis.
c) Aproxime ln2 por medio de la fórmula obtenida en a). Cuál es el error que secomete en la aproximación?
Nota: ln2 1x
dx1
2= ∫ .
6. Use la regla de Simpson
31 con N = 6 y un cambio adecuado de variable para
estimar x
xdx
2
51 1+
+∞
∫ .
7. Use las reglas de los Trapecios y Simpson
31 con N =10 para aproximar la cuarta
parte de la longitud de la elipse x y2 2
4 11+ = . Concluya, a partir de las cotas
teóricas para el error total, cuál es la calidad de la aproximación obtenida en cadacaso.
272 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________
8. Use el método de Romberg con N = 2 para aproximar cada una de las integrales delejercicio 1. a).
9. Use el método de cuadratura Gaussiana con n = 2 y n = 3 para aproximar cada unade las integrales del ejercicio 1. a).
10. Encuentre una fórmula de cuadratura del tipo indicado
( ) ( )#$#"!
fórmula
2
0jj
1
1
xfcdxxf ∑∫=−
≈
que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Estas fórmulas sonconocidas como fórmulas de cuadratura de Chebyshev.
11. a) Encuentre una fórmula del tipo
( ) ( )#$#"!
fórmula
n
0jjj
1
1
xfAdxxxf ∑∫=−
≈
con n =1 que sea exacta para todos los polinomios ( )f x de grado menor oigual que tres.
b) Repita con n = 2 , haciendo la fórmula exacta para todos los polinomios ( )f x degrado menor o igual que cinco.
12. Determine los coeficientes A0 1 2, A y A que hacen que la fórmula
( ) ( ) ( ) ( )#### $#### "!
fórmula210
2
0
2fA1fA0fAdxxf ++≈∫
sea exacta para todos los polinomio de grado menor o igual que tres.
13. a) Verifique que la siguiente fórmula de cuadratura Gaussiana es exacta paratodos los polinomios de grado menor o igual que cinco.
Capítulo 5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 273__________________________________________________________________________________
( ) ( )##### $##### "!
fórmula
1
153f
950f
98
53f
95dxxf
++
−≈∫
−
b) Muestre cómo puede ser usada la fórmula dada en a) para calcular ( )f x dxa
b
∫ , y
aplique este resultado para evaluar cada una de las siguientes integrales
i) xdx0
2π
∫ senxx
dx0
4
∫