CAPÍTULOS 9, 10 Y 11

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONESORIGINADAS POR LOS

DIFERENTES ESFUERZOS

y

y

Q

NM

z

∫

∫

∫

−=

=

=

Areaz

Areazy

Areaz

dAy

dA

dA

σ

τ

σ

M

Q

N

z

xdA

σz

τzy

y

¿Qué pretendemos en esta lección?

Esfuerzos:

Tensiones originadas:

Equivalencia mecánica de lossistemas de esfuerzos, por un lado,y de las tensiones generadas, porotro:

ESFUERZO AXIL: TRACCIÓN O COMPRESIÓN PURA

B

x

y

z

N

G

B

x

y

z

N

G

Consideremos una barra prismática de sección arbitraria sometida a un esfuerzo axil N cuya recta de acción pasa por el centro de gravedad de la sección de la barra.Las tensiones normales, σ, producidas por el esfuerzo axil son constantes en cualquier punto de la sección.

NN

x

y

zG

N pasa por GxG

dA

x

y

y EQUIVALENCIA ENTRE N Y LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:

Momentos en G:

∫∫−==

==

xdAM

ydAM

y

x

σ

σ

0

0

Igualdad de resultantes:

ANAdAdAN =⇒=== ∫∫ σσσσ

0E yzxzxyzxyz

z ===−=== γγγνεεεσε

ESTADO DE DEFORMACIONES EN LA PIEZA PRISMÁTICA:

TRACCIÓN PURA

COMPRESIÓN PURA

En ambos casos, el esfuerzo axil pasa por el c.d.g de la sección

FLEXIÓNFLEXIÓN PURA, FLEXIÓN COMPUESTA Y

FLEXIÓN SIMPLE

B

x

y

z

Mx

My

G

B

x

y

z

Mx

My

G

B

x

y

z

NG

rP

B

x

y

z

NG

rP

B

x

y (EJE DE SIMETRÍA)

z

Mx

Qy

G

z

xy

P-P

Q

P P

Zona de flexión pura

M P.aZona de flexión simple

dz

Q=0

a a

FLEXIÓN PURA

B

x

y

z

Mx

My

G

B

x

y

z

Mx

My

G

00 ≠===== zyzxzxyyx στττσσ

( )yxzz ,σσ =

CByAxz ++=σ

00 =⇒=Ω∫∫Ω Cdzσ

EQUIVALENCIA ENTRE Mx y My Y LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES:

Igualdad de resultantes:

Igualdad de momentos en G:

∫∫ +=Ω∧Ω jMiMdr yxz

rrrr σ

ByAxz +=σ 2

2

xyyx

xyyyx

xyyx

xyxyx

PII

PMIMB

PII

IMPMA

−

+=

−

+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

22xyyx

xxyy

xyyx

xyyxz PII

xIyPM

PII

xPyIMσ

B

x

y

z

Mx

My

G

B

x

y

z

Mx

My

G

Si los ejes x,y fueran principales de inercia de la sección, Pxy=0, por lo que la expresión anterior se reduciría a:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

22xyyx

xxyy

xyyx

xyyxz PII

xIyPM

PII

xPyIMσ

y

y

x

xz I

xMIyM−=σ

y si , se obtendría:0=yM

x

xz I

yM=σ

yy

x

G

x

G

Sección rectangular

x

y

G

h 2

h 1

σ1=Μx h1

Ιx

σ2=Μx h2

Ιx

Mx

SECCION ALZADO LATERAL

Cantox

y

G

h 2

h 1

σ1=Μx h1

Ιx

σ2=Μx h2

Ιx

Mxx

y

G x

y

G

h 2

h 1

σ1=Μx h1

Ιxσ1=

Μx h1

Ιx

σ2=Μx h2

Ιxσ2=

Μx h2

Ιx

Mx

SECCION ALZADO LATERAL

Canto

ALA

ALA

ALMA

NOMENCLATURA EN PERFILES LAMINADOS:

q=20kN/mP=50kN

RARB2.5m 3.5m

h=0.7m

b=0.22m

EJEMPLO: CALCULO DE LAS MÁXIMAS TENSIONES NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA

h = cantob = ancho

Q=89,2kN

39,2kN

-10,8kN-80,8kNM=160,4kNm

Q

M

q=20kN/mP=50kN

Módulo resistentede la sección

32

2

.

3

018,06

7,022,06.

2

121

mxhbW

WM

I

hM

hbI

x

x

x

máx

x

===

=⋅

=

⋅=

σ

MPamkNm

WM

C 9,8018,0

4,1603

max −=−=−=σ

MPaT 9,8+=σ

TENSIONES NORMALES MÁXIMAS:0h

b

x

y

G

TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIÓN PURA

Deformaciones εz

ε

σCurva tensión-deformación

Las deformaciones εz también varían linealmente

y

Tensiones σz

directriz

FLEXIÓN PURA:

Las caras que eran planas….

MM

ρ

…siguen siendoplanas

FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN PURA

Se denomina fibra o eje neutro al lugar geométrico de los puntos de la sección en los que σz es nula

022

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

xyyx

xxyy

xyyx

xyyxz PII

xIyPM

PII

xPyIMσ

xyyyx

xyxyx

PMIMIMPM

xy

+

+=

Si los ejes x,y fueran principales de inercia:

yx

xy

IMIM

xy=

que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la sección. Si, además, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: yy

x

G

x

GFibra neutra

FLEXIÓN COMPUESTA

B

x

y

z

NG

rP

B

x

y

z

NG

rP

esfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)

Reduciendo N al c.d.g.:

jMiMjaNibNN

bakji

NrM yxrrrr

rvv

vvr+=−==∧=

000

B

x

y

zM

G N

B

x

y

zM

G N

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+=

22xyyx

xxy

xyyx

xyyz PII

xIyPNa

PII

xPyINbN

Ωσ

Aplicando el Principio de superposición:

FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIÓN COMPUESTA

( ) ( ) 02

=−+−+−

= xyyxyxxyyx

z aPbIybPaIxPII

Ωσ

En el caso de flexión compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la sección.

NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A FLEXIÓN COMPUESTA

Región de la sección en la que puede actuar un esfuerzo axil de compresión N sin que se produzcan tensiones de tracción en ningún punto de la sección. El centro de gravedad de la sección G debe pertenecer al núcleo central pues, si en él se aplicara un esfuerzo axil de compresión toda la sección se encontraría trabajando a compresión.

x

y

A

B

C

(a)

(b)

(c)x

y

A

B

C

(a)

(b)

(c)

Si el esfuerzo axil de compresión actuase en el punto A de la sección, la recta (a)sería la correspondiente fibra neutra. Supongamos ahora que el esfuerzo axil actuase en el punto B y que (b) es la correspondiente fibra neutra. Si C es el punto de corte de las rectas (a) y (b), se puede demostrar que si el esfuerzo axil actuase en C la correspondiente fibra neutra (c) pasaría por los puntos A y B.

EJEMPLO: NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR

x

y

P

G

eh

c

A B

CD

x

y

P

G

eh

c

A B

CD Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresiónen el punto P de la sección, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x.Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,obtendríamos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e

Si aplicásemos N en G (e=0), toda la sección estaría sometida a compresión uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresión van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabría preguntarse: ¿Para qué valor de la distancia e la fibra neutra coincidiría con al lado AB?

e=h/6

x

y

h3

c3

A

R

S

x

y

h3

c3

A

R

S

Núcleo Central

FLEXIÓN SIMPLE

B

x

y (EJE DE SIMETRÍA)

z

Mx

Qy

G

x

y

Qy Mx

G x

y

Qy Mx

G

(Eje de simetría)

Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: ¿cuáles serán las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la sección) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?

Supondremos que dichas tensiones tangenciales sólo dependen de la ordenada “y”:

( )yττ =

REBANADA DE UNA PIEZA PRISMÁTICA

directriz

rebanada

ds

A C

B D

directriz

rebanada

ds

A C

B D

A

B

Qy

Mx

A

B

Qy

Mx

Qy

Mx

C

D

Mx+d Mx

Qy+d QyC

D

Mx+d Mx

Qy+d Qy

Mx+d Mx

Qy+d QyQy+d Qy

C

ds

A

B D

Mx+d Mx

Qy+d QyQy

MxC

ds

A

B D

ds

A

B D

Mx+d Mx

Qy+d Qy

Mx+d Mx

Qy+d QyQy+d QyQy

Mx

c

C

ds

A

B D

Mx+d Mx

Qy+d QyQy

MxC

ds

A

B D

ds

A

B D

Mx+d Mx

Qy+d Qy

Mx+d Mx

Qy+d QyQy+d QyQy

Mx

C

0)( =+−=+++− dsQdMdsdQdsQdMMM yxyyxxx

EQUILIBRIO DE LA REBANADA

dsdM

Q xy =

TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS POR EL ESFUERZO CORTANTE

Q τ

x

y

G

a(y)

a0

yc

y τ

ds

σ σ+dσ

yh

x

y

G

a(y)

a0

yc

y τ

ds

σ σ+dσ

x

y

G

a(y)

a0

yc

y

x

y

G

a(y)

a0

yc

y τ

ds

σ σ+dσ

ττ

ds

σ σ+dσ

yh x

xz I

yM=σ

x

x

IydM

d =σ

)()).(( 0adsdyyadhc

yy

yy⋅=∫

=

=τσ ∫∫ ⋅⋅== h

c

h

c

y

yx

xy

yx

x adsadyyIdMadyy

IdM

0)()( τ

00 aIMQ

aIM

dsdM

x

ey

x

ex ==τ

EQUILIBRIO HORIZONTAL:

σ+dσσ

τ

EjemploEjemplo: : DistribuciDistribucióónn de de tensionestensiones cortantescortantes sobresobreunauna secciseccióónn rectangular rectangular sometidasometida a a QQyy

0aIMQ

x

ey=τ0

b

x

y

Gh

y

τ(y)

0 x

y

G

(h/2-y)/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= yyhbyhMe 22

12

3

121 hbIx ⋅= ba =0

b

h fibraneutra

y

x

Tensiones deflexión

z

y

Tensionescortantes

( )

mediamax

2

maxe

5,123

842M

ττ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

bhQ

bhhbh

y

σmax

σ

ymediaτ

τmaxτ