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7/24/2019 Centros de Masa y Centroides
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CE
El centro de gravedad de un cue
los efectos sobre el cuerpo no
sustituye por el centroide del reexpresiones para determinar las c
La posicin del centro de masas
DondeM es la masa total del sistEsta es una ecuacin vectorial,
dada por:
En gran cantidad de casos una
comunes (rectngulo, triangulo,centroide de cualquier superficie
Dondexie yison las coordenada
TROIDE O CENTROS DE MASA
rpo es el punto de aplicacin donde al ubica
aran. En el caso de superficies homogne
a, el cual considera las reas de los elementoordenadas centroidales son:
e un sistema de partculas viene dada por la
ema de partculas.ada una de las componentes de la posicin
superficie cualquiera puede ser subdividi
ircunferencia etc..). Esta forma de anlisis esegn:
s del centro de rea (masa) de la figura cono
Fsica: E. Imitola
r la resultante de las fuerzas
s, el centro de gravedad se
os en vez de los pesos y las
expresin:
del centro de masas vendr
a en una serie de figuras
til y permite determinar el
ida y Ai=Atotal.
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Cuando un sistema est formado por un nmero extremadamente grande de partculas (como es el caso de
un slido, un volumen lquido, etc.) Se realiza lo que se llama el paso al continuo que consiste en
considerar el sistema constituido no por partculas individuales sino como un continuo de materia. En este
caso se divide al sistema en pequeos diferenciales de masa dm, cada uno con su posicin
correspondiente. Las sumas de la expresin anterior se transforman ahora en integrales (ya que en ellmite estamos sumando un nmero infinitamente grande de cantidades infinitesimalmente pequeas), y la
expresin de la posicin del centro de masas queda ahora:
Si el cuerpo es filiforme (tiene forma de hilo o alambre) los diferenciales de masa dm en que lo dividimos
estn asociados a diferenciales de longitud dl: dm = dl, donde es la densidad lineal (masa por unidad
de longitud). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante puede salir fuera
de las integrales en el numerador y el denominador simplificndose. Las integrales se transforman enintegrales de longitud y las ecuaciones (3) quedan en este caso:
DondeL es la longitud total del cuerpo.
Si el cuerpo tiene forma de placa los diferenciales de masa dm en que lo dividimos estn asociados a
diferenciales de rea dA: dm = dA, donde es la densidad superficial (masa por unidad de superficie).
Esta densidad superficial puede ser constante o no. En caso de que sea constante, igual que en el caso
anterior, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplificndose. Lasintegrales se transforman en integrales de superficie y las ecuaciones quedan en este caso:
DondeA es la superficie total del cuerpo.
Por ltimo, si el cuerpo es volumtrico, los diferenciales de masa dm en que lo dividimos estn asociados
a diferenciales de volumen dV: dm = dV , donde es la densidad volumtrica (masa por unidad de
volumen). Esta densidad volumtrica puede ser constante o no. En caso de que sea constante, como en losdos casos anteriores, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador
simplificndose. Las integrales se transforman en integrales de volumen y las ecuaciones quedan en estecaso:
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EJEMPLO 1:Clculo de la posicin del C.M. de un semicrculo homogneo (densidad superficial constante)
Primeramente deberemos dividir al semicrculo en diferenciales de rea y despus aplicar las ecuaciones
(5). En nuestro caso si el semicrculo se encuentra en el plano XY, no es necesario calcular la coordenada
zc.m. ya que todas las partculas del semicrculo tienen coordenadaz nula con lo quezc.m. = 0.
La eleccin del diferencial de rea correcto debe hacerse de forma de poder calcular lasintegrales de las ecuaciones (5). En la figura de la derecha se presentan algunas de las muchaselecciones posibles de diferencial de rea.
Para el clculo de la coordenada xc.m. el diferencial de rea escogido debe tener una coordenada x bien
determinada. Si escogemos el rectngulo de lados dx, dy, todos los puntos de dicho diferencial de rea
tienen la misma coordenada x (y la misma coordenada y). Nuestra integral se transformara en una
integral doble en x y en y de forma de coger los infinitos rectngulos infinitesimalmente pequeos que
forman el semicrculo. Una manera de simplificar el clculo sera coger bandas verticales de espesor dx.
Todos los puntos de dichas bandas tienen la misma coordenada x, y nuestra integral ser una integral
sencilla enx, desdex igual a R hastax igual aR:
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Para el clculo de la coordenada yc.m. el diferencial de rea escogido debe tener una coordenada y bien
determinada. Por analoga con el clculo anterior, nos convendra coger bandas horizontales de espesor
dy. Todos los puntos de dichas bandas tienen la misma coordenaday, y nuestra integral ser una integral
sencilla eny, desdey igual a 0 hastay igual aR:
FIGURA Nombre xi yi A
Rectngu
lo
b/2 h/2 b*h
TringuloRectng
ulo(cm
apartirdelngulo
recto)
b/3 h/3 b*h/2
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Crculo
R R R2/2
Semicrc
ulo
R 4R/3 R2/2
Cua
rtodecrculo
4R/3 4R/3 R2/4
NOTA: Para huecos use reas negativas.
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EJEMPLO 2:Determine el centro de masa de
la figura mostrada
Solucin. Dividiremos la figura en reasconocidas, 1, 2, 3 y 4, Ntese que el rea 4 esnegativa.
rea 1: Tringulo
xi yi Ai
4 2 18
rea 2: Rectngulo. Se usa el rea completa yaque el rea 3 es negativa
xi yi Ai
8 3 24
rea 3: Cuadrado. Ntese que el rea esnegativa
xi yi Ai
9 1 4
rea 4: Semicrculo
xi yi Ai
8 6,84 6,28
Ntese que yi es la suma de (6 + 4R/3) con
R= 2
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Tabla general:
Figura xi y
1 4 22 8 3
3 9 1
4 8 6,
Sumatorias
=
=
,
,= 6,2
=
=
,
,= 3,31
EJEMPLO 3: Determine el cem3= 6 kg y m4= 3 kg
Masa xi y
1 0 02 10 1
3 4 7
4 11 1
Sumatorias
=
=
= 4,86
=
=
= 3,5
Ai xi*Ai
18 7224 192
4 36
4 6,28 50,24
Ai= 44,28 xi*Ai=278,24
tro de masa del sistema de partculas mostr
mi xi*mi
8 05 50
6 24
3 33
mi= 22 xi*mi= 107
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yi*Ai
3672
4
42,95
yi*Ai= 146,95
ado si m1= 8 kg, m2= 5 kg;
yi*mi
05
42
30
yi*mi= 77
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EJERCICIOS PROPUESTOS: Determine elcentro de masa de cada sistema o cuerpomostrado
1. m1= 300 g, m2= 45 g y m3= 150 g
3. m1= 25 kg, m2= 35 kg; m3= 15 kg y m4= 55 kg
3. m1= 12 kg, m2= 15 kg; m3= 8 kg y m4= 6 kg;
m5= 9 kg
4.
5.
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9.
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