Circuito r c

Aplicaciones dela derivada a la

IngenierıaElectrica

Analisis de unCircuito R-C

ConceptosteoricosMatematicos

Conceptosbasicos sobreeletricidad

Circuito R-C

Componentes deun Circuito R-C

Ejercicio: Analisisde un CircuitoR-C

Solucion DelEjercicio

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Aplicaciones de la derivada a laIngenierıa Electrica

Analisis de un Circuito R-C

JUAN DAVID AMADOR CASTELLANOS210006

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MANIZALES

12 de abril de 2012

Circuito R-C

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Contenido

1 Conceptos teoricos Matematicos

2 Conceptos basicos sobre eletricidad

3 Circuito R-C

4 Componentes de un Circuito R-C

5 Ejercicio: Analisis de un Circuito R-C

6 Solucion Del Ejercicio

7 Referencias

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Analisis de un cicuito R-C

3 Circuito R-C

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Conceptos teoricos Matematicos

Lımite de una funcion: Es un concepto que describe la tendenciade una funcion, a medida que los parametros de esa funcion seacercan a determinado valor.Propiedad 1: Propiedad de los limites requerida mas adelante:

lımX→0

k.f (x) = k. lımx→0

Donde k es una constante real.Propiedad 2: Esta propiedad se empleara mas adelante en lasolucion del ejercicio:

lımt→∞

1t = 1

∞= 0

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Concepto De Derivada: La derivada de una funcion es de nuevootra funcion y se denota f ′(x) o tambien:

dydx = f ′(x) = lım

f (x + h)− f (x)h

Si este limite existe se dice que la funcion es derivable en x.Derivadas empleadas:Derivada de una constante(k) por una funcion: en esta derivadase resuelve sacando la constante(k), se deriva la funcion y semultiplica por la constante ası:

f (x) = k.g(x)

Su derivada es:f ′(x) = k.g′(x)

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Derivada de la funcion exponencial:

f (x) = eg(x)

Su derivada es:f (x) = eg(x).g′(x)

Derivada de un cociente:

h(x) = f (x)g(x)

Su derivada es:

h′(x) = f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)(g(x))2

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Maximos y mınimos de una funcionSe dice que una funcion tiene un maximo global (o absoluto) enc si:

f (c) ≥ f (x)Para todo (x) ∈ Dominio de la funcion, el valor maximoadsoluto es f (c).Se dice que una funcion tiene una mınimo global (o absoluto) enc si:

f (c) ≤ f (x)Para todo (x) ∈ Dominio de la funcion, el valor mınimoabsoluto es f (c).

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Crecimiento y decrecimiento de una funcion: Sea una funcioncontinua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo(a,b). Entonces:

Si f ′(x) > 0 para todo x en el intervalo (a,b) entonces f (x) escreciente en el intervalo (a,b)Si f ′(x) < 0 para todo x en el intervalo (a,b) entonces f (x) esdecreciente en el intervalo (a,b)Si f ′(x)= 0 para todo x en el intervalo (a,b) entonces f (x) esconstante en (a,b)

Criterio para determinar concavidades: Sea f (x) derivable dosveces en un intervalo (I)

Si f ′′(x) > 0 para todo (x) en ese intervalo entonces la graficade f (x) es concava hacia arriva.Si f ′′(x) < 0 para todo (x) en ese intervalo entonces la graficade f (x) es concava hacia abajo.

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Conceptos Basicos sobre eletricidad

Corriente Electrica: Es la cantidad de carga electrica que fluyepor una superficie en una unidad de tiempo, Expesada enamperios(A)

I = VR

Resistencia Electrica: Es la oposicion que pone un material alflujo electrico, expresada en Ohmios (Ω)

R = VI

Tension Eectrica: Es la energıa requerida para mover una unidadde carga de un punto de menor potencial(-) a uno de mayorpotencial(+) expresado en Voltios(V).

V = I .R

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Conceptos Basicos sobre eletricidad

Circuito Electrico: Es una trayectoria cerrada o abierta, por la cual lacorriente circula siempre y cuando el circuito este cerrado, paraası proporcionar a los electrones(carga electrica Q) un caminocontinuo desde una terminal positiva a una negativa.

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Circuito R-C

Un circuito R-C en su forma mas simple consta de: un Resistor y unCondensador (capacitor) de hay su nombre (R-C). Este tipo decircuito es muy comun en la actualidad ya que una de susaplicaciones mas importantes es filtrar senales, al bloquear ciertasfrecuencias y pasar otras.

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Componentes de un Circuito R-C

Capacitor (Condensador): Es un dispositivo pasivo, utilizado enelectricidad y electronica, capaz de almacenar energia.

Resistor (Resistencia): Es un componente electronico disenadopara generar una resistencia electrica determinada entre dospuntos.

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Componentes de un Circuito R-C

Interruptor: Este dispositivo es el encargado de cerrar o abrir elcircuito, recuerde que la corriente solo fluye por un Circuitocerrado.

Fuente de alimentacion: Es un elemento activo capaz de generaruna diferencia de potencial (Tension) entre sus bordes oproporcionar una corriente electrica(I).

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Analisis de un circuito R-C

Considere el circuito de la figura 1, donde un condensador cargadocon una capacidad C (Faradios) y una Tension V (Voltios), sedescarga en una resistencia R (Ohms). Al cerrar el interruptor (S)comienza a circular una corriente (I) regida por la siguiente expresion:

I (t) = VR e− t

Donde τ es la constante de tiempo (Proceso de carga y descarga deun condensador)

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Bosqueje I(t)Calcule la rapidez de variacion de I en t=0 y t=τCual es el valor MAXIMO de I(t)?Encuentre que porcentaje del valor maximo de la corriente (I) alalcanzar t=τ

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Para hacer el bosquejo de I(t) Se calcula I(t) en el tiempo inicialt=0

I (0) = VR

Se evalua el lımite, para observar el comportamiento de lacorriente con el pasar del tiempo.

lımt→∞

I (t) = 0

El resultado es cero, indica que habra un tiempo en que lacorriente valdra cero.

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Se calcula la primera derivada, para analizar la funcion I(t)

I (t) = VR e− t

dIdt = − V

Rτ e− tτ

Por criterio de la primera derivada; La funcion es decreciente yaque su derivada es menor que cero (negativa) para todo t mayoro igual a cero.Se calcula la segunda derivada de la funcion y su resutado es:

d2Idt = V

Rτ2 e− tτ

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Por criterio de concavidades, la segunda derivada es mayor que cerode donde se concluye que la funcion es concava hacia arriba paratodo t mayor o igual a cero. La grafica de I(t) es:

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El valor Maximo de la corriente (I) es:

Imax = VR

Y corresponde al instante inicial t=0La rapidez de variacion esta dada por:

dIdt = − V

Rτ e− tτ

En t=0dIdt (0) = − V

RτAmp/Seg

En t=τ

dIdt (τ) = − V

Rτ e−1Amp/Seg

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Para t=τ se remplaza τ en la funcion

I (τ) = VR e−1 ∼= 0,37Imax

Por lo cual Cuando sea t= τ La corriente tendra el valor de:

I (τ) ∼= 37 %Imax

La constante de tiempo (τ) es este circuito indica el tiempo quedemora la corriente en disminuir hasta el treinta y siete porciento de su valor inicial.

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Referencias

Van Valkenburg, Analisis de Redes, Ed. Noriega Editores, U.Illinois, 1992.William Chaparro, Electricidad para estudiantes de ingenieria,Ed. U. Nacional Bogota, Colombia, 2006.

J. Bruguer, Guia Tecnica del electrisista moderno, Ed.J. Bruguer,Espana, 1982.

Francis W. Sears, Fisica Universitaria/ Tomo 2, Ed.PearsonEducacion, EUA, 2005.Dario Castro, Fisica Electricidad para estudiantes de Ingenieria ,Ed.Universidad del Norte, Colombia, 2009.Hector Patritti, Aplicaciones de la derivada, U. Nacional De LaPlata, Argentina, 2001.

H. B., Calculo Infinitesimal, Ed. UTEHA, Mexico, 1956.

Bernardo Acevedo Frias, Matematicas fundamentales paraingenieros, U. Nacional de Colombia, Colombia, 2001.

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