CLASE 166CLASE 166

MEDIANAMEDIANA: Segmento trazado desde : Segmento trazado desde cada vértice de un triángulo hasta cada vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado opuesto.el punto medio del lado opuesto.

MEDIANAMEDIANA: Segmento trazado desde : Segmento trazado desde cada vértice de un triángulo hasta cada vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado opuesto.el punto medio del lado opuesto.

A

B

C

ccaa

bb

Notación:Notación:

ma , mb y mcma , mb y mc

G: Baricentro. (centro de gravedad del triángulo ABC)

G: Baricentro. (centro de gravedad del triángulo ABC)

G

A

B

C

ccaa

bb

G

Medianas

2323AG =AG = AD AD 1

313GD =GD = AD AD 1

212DG =DG = GA GA

Son segmentosSon segmentosinteriores al triángulo.interiores al triángulo.D

Se cortan en unSe cortan en unpunto G llamadopunto G llamadobaricentro.baricentro.

G es un punto de trisección de cada mediana. Ejemplo, para la mediana ma se cumple:

G es un punto de trisección de cada mediana. Ejemplo, para la mediana ma se cumple:

ALTURA: Segmento de perpen– dicular trazado desde un vértice a la recta que contiene al lado opuesto a dicho vértice.

ALTURA: Segmento de perpen– dicular trazado desde un vértice a la recta que contiene al lado opuesto a dicho vértice.

A

B

C

ccaa

bb

Notación:Notación:

ha , hb y hcha , hb y hc

H: Ortocentro.H: Ortocentro.H

A

H

B

C

Alturas en el triángulo Alturas en el triángulo

hbhb

haha

hchc

C A

B

hchc

haha

hbhb

= H

Obtusángulo Obtusángulo Rectángulo Rectángulo

Ejercicio 1Ejercicio 1PP

QQ RRSS

Compara las áreas de los triángulos PQS y PSR . Compara las áreas de los triángulos PQS y PSR .

a)a)

b)b)

PS es la mediana relativa al lado QR en el triángulo PQR .PS es la mediana relativa al lado QR en el triángulo PQR .

Traza la altura relativa a los lados QS y SR en los triángulos PQS y PSR .Traza la altura relativa a los lados QS y SR en los triángulos PQS y PSR .

Solución del ejercicio 1Solución del ejercicio 1PP

QQ RRSS

La perpendicular bajada desde el punto P a la recta QR es única.La perpendicular bajada desde el punto P a la recta QR es única.

Entonces la altura trazada desde el vértice P en los triángulos PQS, PSR y PQR, es la misma.

Entonces la altura trazada desde el vértice P en los triángulos PQS, PSR y PQR, es la misma.

hh

Solución del ejercicio 1Solución del ejercicio 1

APQS = APQS = 12

QS hh

APSR = APSR = 12

SR hh Entonces:Entonces:

APQS = APSR

Pero: QS = SRPero: QS = SR

PP

QQ RRSS

hh

Generalización del ejercicio 1Generalización del ejercicio 1PP

QQ RRSS

hh

Cualquiera de las medianas de un triángulo lo divide en dos triángulos de igual área.

Cualquiera de las medianas de un triángulo lo divide en dos triángulos de igual área.

Actividad para el trabajo independiente

Actividad para el trabajo independiente

Prueba que al trazar las tres medianas de un triángulo, este queda dividido en seis triángulos de igual área.

Prueba que al trazar las tres medianas de un triángulo, este queda dividido en seis triángulos de igual área.

R

sA B

S

R

sA B

S