Post on 01-Jul-2015
SSi
Si el sistema no tienen ninguna fuerza externa entonces:
퐹 = 푚푎
푚푎 + 푘푥 = 0
푚푑 푥푑푡 + 푘푥 = 0
Para obtener un solución de la ecuación diferencia de segundo orden se procede directamente tomando las soluciones de la forma:
푥 = 퐴푐표푠(푝푡) 푥 = 퐵푠푒푛(푝푡)
A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales de movimiento y “P” representa las características físicas del sistema
Si se deriva con respecto al tiempo tenemos :
푥 = 퐴푐표푠(푝푡) 푥 = 퐵푠푒푛(푝푡)
푣 = −퐴푝푠푒푛(푝푡)
푎 = −퐴푝 푐표푠(푝푡)
푣 = 퐵푝푐표푠(푝푡)
푎 = −퐵푝 푠푒푛(푝푡)
Si se sustituye en la ecuación + 푘푥 = 0 :
m −Ap cos pt + k(Acos pt = 0
−푚푝 + 푘 퐴푐표푠 푝푡 = 0
−푚푝 + 푘 퐴푐표푠 푝푡 = 0
푘 = 푚푝
퐴푐표푠 푝푡 = 0
−푚푝 + 푘 = 0
−푚푝 + 푘 = 0
푝 =푘푚
Como es lineal la suma de sus podemos decir que:
푥 = 퐴푐표푠 푝푡 + 퐵푠푒푛(푝푡)
푣 =푑푥푑푡
푣 = −퐴푝푠푒푛 푝푡 + 퐵푝푐표푠(푝푡)
푎 =푑 푥푑푡
푎 = −퐴푝 푐표푠 푝푡 − 퐵푝 푠푒푛(푝푡)
Los valores de A y B se obtienen de las condiciones iniciales del sistema
푥 푡 = 0 = 푥
푣 푡 = 0 = 푣
Sustituyendo los valores en las ecuaciones anteriores obtenemos:
퐴 = 푥 퐵 =푣푝
푥(푡) = 푥 cos 푝푡 +푣푝 푠푒푛(푝푡)
푣(푡) = −푝푥 푠푒푛 푝푡 + 푣 푐표푠(푝푡)
푎(푡) = −푝 푥 cos 푝푡 − 푝푣 푠푒푛(푝푡)
Mediante esta ecuación para valores de x en función del tiempo podemos calcular los valores de cortante y momento en cualquier instante de tiempo :
푀 푡 = 푟푖푔푖푑푒푧 푑푒 푚표푚푒푛푡표 ∗ 푥(푡)
푉 푡 = 푟푖푔푖푑푒푧 푑푒 푐표푟푡푎푛푒 ∗ 푥(푡)
Ejemplo:
Para una columna de un marco el momento y el cortante se pueden expresar de la siguiente forma:
푀 푡 =6퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)
푉 푡 =12퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)
Si sustituimos los valores de x(t) en la ecuación de momento y cortante se obtiene:
푀 푡 =6퐸퐼퐿 ∗ (푥 cos 푝푡 +
푣푝 푠푒푛 푝푡 )
푉 푡 =12퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)
푀 푡 =6퐸퐼퐿 ∗ 푥(푡)
푉 푡 =12퐸퐼퐿 ∗ (푥 cos 푝푡 +
푣푝 푠푒푛(푝푡))
Si graficamos para Xo>0 y Vo=0 Obtenemos :
푥(푡) = 푥 cos 푝푡 푣(푡) = −푝푥 푠푒푛 푝푡
푎(푡) = −푝 푥 cos 푝푡
푋 = 푥
푣 = 푝푥
푎(푡) = −푝 푥 cos 푝푡
푎 = 푝 푥
Si graficamos para Xo=0 y Vo>0 Obtenemos :
푥(푡) =푣푝 푠푒푛(푝푡)
푣(푡) = 푣 푐표푠(푝푡)
푎(푡) = −푝푣 푠푒푛(푝푡)
푋 =푉푝
푣 = 푣
푎 = 푝푥
SSi 푥 ≠ 0 푣 ≠ 0
푥(푡) = 푥 cos 푝푡
푥(푡) =푣푝 푠푒푛(푝푡)
Si tomamos las condiciones de Vo=0, Xo>0 y Xo=0 Vo>0
Donde los desplazamientos para cualquier “pt” se obtiene sumando las coordenadas de las dos graficas
AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, ACELERACION Y ANGULO DE FASE:
a Angulo de fase
A Amplitud
AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, ACELERACION Y ANGULO DE FASE:
La ecuación x(t) describe el desplazamiento de una oscilación no amortiguada en vibración libre en cualquier instante “t”
푥(푡) = 푥 cos 푝푡 +푣푝 푠푒푛(푝푡)
Dicha ecuación mediante la transformación trigonométrica y usando condiciones generales:
퐴 = 푥 +푣푝
푠푒푛 훼 =푣푝퐴
푐표푠 훼 =푥퐴 tan 훼 =
푣푝푥
푥 푡 = 퐴(cos 푝푡 cos 훼 + 푠푒푛 푝푡 푠푒푛(훼)
Aplicando Identidades trigonométricas :
cos 퐴 − 퐵 = cos 퐴 cos 퐵 + 푠푒푛 퐴 푠푒푛(퐵)
푥 푡 = cos (푝푡 − 훼)
푣 푡 = −푝퐴푠푒푛(푝푡 − 훼)
푎 푡 = −푝 퐴푐표푠(푝푡 − 훼)