Post on 06-Jul-2015
Polígonos, , Perímetros, áreas Y Volúmenes
Los PolígonosLos Polígonos Los polígonos son figuras planas cerradas cuyos lados son
segmentos de rectas. En el caso de los polígonos, su perímetro se calcula sumando las longitudes de todos sus lados.
Los polígonos más simples son los triángulos, que tienen tres lados.
POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES
Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos de igual medida
se llama polígono regular. Si no cumple esta condición se llama polígono irregular.
Una característica particular de los polígonos regulares es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia.
Medida del ángulo central
ω
A
B
C
DE
θ
γ
ωρ
µβ
δε
φ
α Diagonal
Vértice
Medida del ángulo externo
Lado
Medida del ángulo interno
Centro
Apotema
•La apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre perpendicular a dicho lado.
Clasificación de los polígonos por sus ángulos interiores
Cóncavos:
• Tiene al menos un Tiene al menos un ángulos interior de mas ángulos interior de mas de 180°.de 180°.
Convexos:
• Sus ángulos interiores Sus ángulos interiores son de menos de son de menos de 180°.180°.
Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados
Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono:
11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono:
20 lados
Clasificación de los polígonos por su número de lados.
Primera propiedad
Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores y ángulos exteriores son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores
• Ángulos centrales
Propiedades de los polígonos
Segunda propiedad
A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales
Diagonales en rombo y cuadrado son perpendiculares.
Diagonal en cuadrado de lado a = a√2 Diagonal de cubo de arista a = a√3
Tercera propiedad
El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono:
2
)3n(nND
−=
Ejemplo:
diagonales 52
)35(5ND =−=
Cuarta propiedad
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
3
2
1
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos
Quinta propiedad
Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono:
S∠i =180°(n-2)
Ejemplo:
180º
180º
180º
S∠i = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º
Donde (n-2) es número de triángulos
Suma de las medidas de losángulos interiores del triangulo
Sexta propiedadSuma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º S∠e = 360°
θ + γ + ω + ρ + µ = 360º
Ejemplo:
Séptima propiedad
Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos
Ns. = n = 5 = 6 triángulos
Ejemplo:
Áreas y perímetros de los cuerpos elementales
áreaperímetro
Base por altura
partido por dos
Suma de los
tres lados
Triángulo
altura
h h
baseb b
Área = 2
hb ⋅
área perímetro
Lado por lado = lado al cuadrado
Suma de los lados
Cuadrado
A=a2
P=4a
a a
áreaperímetro
Lado mayor por lado menor
Suma de los lados
Rectángulo
a
bb
a
A=a·b P=2(a+b)
área perímetro
Diagonal mayor por diagonal menor partido por dos
Suma de los lados
Rombo
a
P= 4a
E J E M P L O
Área = 2
dD ⋅
2202
58cm=⋅
D
d
8 cm
5 cm
área perímetro
Semisuma de las bases por la altura
Suma de los lados
Trapecio
E J E MP L O
h
altura
b1
b2
bases
5 cm
3 cm
2 cm
Área =( )
hbb ⋅+
221
( ) 2822
35cm=⋅+
círculo circunferencia
π (pi) por el radio al
cuadrado
Diámetro por π π≅3,14159...
Circunferencia y círculo
E J E M P L O
Área = 2r⋅π
r
10 cm
22 10010 cmππ =⋅
E J E M P L O
longitud = r⋅⋅π2
r
5 cm
cmππ 1052 =⋅⋅
Cálculo de volúmenesCálculo de volúmenes
Relaciones en figuras y cuerpos geométricosRelaciones en figuras y cuerpos geométricos Áreas Sombreadas (Achuradas)Áreas Sombreadas (Achuradas)
Corresponden a una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras relacionadas entre sí, generando intersecciones y uniones entre ellas. Para distinguir la parte que se debe calcular, se procede a sombrearla, es decir, se pinta o raya imitando texturas. Luego, se identifican las figuras simples que componen la figura más compleja, llevando la situación al cálculo de áreas de cuadrados, rectángulos, etc.
Suma de áreas de figuras planasSuma de áreas de figuras planas Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas
de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.
Ejemplo En la figura, ABCD cuadrado de lado 4 cm. y arco DC semicírculo de centro O. Ésta figura se descompone en medio círculo y un cuadrado.
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Resta de áreas de figuras planas
Este tipo de ejercicios es el más común y corresponde a aquellos que presentan unas figuras dentro de otras. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sector sombreado.
Ejemplo
En la figura, ABCD rectángulo de lado AB = 12 cm. con semicírculo de diámetro AB inscrito.
diámetro =12
Radio= 6