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Cálculo integral
Parcial 2 - Guías 7� 11
Farith Briceño - 2013
Cálculo integral - Guía 7Funciones Transcendentes
Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.7
• Función logaritmo natural. Propiedades. Derivada e integración.• Función exponencial natural. Propiedades. Derivada e integración.• Función logaritmo y exponencial en base general. Propiedades. Derivada e integración.• Funciones hiperbólicas. Identidades hiperbólicas. Ejercicios resueltos
Ejemplo 109 : Considere la expresión f (x) =
Z
x
1
1
t
dt.
1. Obtenga el intervalo de definición para f (Dominio)
2. Hallar f (1).
3. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .
4. Hallar los valores extremos de f .
5. Estudiar la concavidad de f .
6. Esbozar una gráfica para f .
Solución :
1. Observemos que el integrando no está definido en cero, por lo tanto esta integral no existe para ningúnintervalo que incluya al cero, luego, el intervalo de definición es (0,1).
2. Se tiene que
f (1) =
Z 1
1
1
t
dt
| {z }
= 0
"Propiedad de la integral
Z
a
a
f (x) dx = 0
3. Derivamos1er Teorema Fundamental del Cálculo :
integrando evaluado en el límite variable.
#f
0(x) =
d
dx
✓
Z
x
1
1
t
dt
◆
=
1
x
y observamos que, para todo x 2 (0,1), se tiene que f
0(x) =
1
x
> 0, por lo tanto, la función f essiempre creciente.
4. Por ser una función monótona creciente, no tiene valores extremos.
5. Se calcula la segunda derivada de f y se estudia su signo, derivamos
f
00(x) =
d
dx
✓
1
x
◆
= � 1
x
2,
y para todo x 2 (0,1), se tiene que f
00(x) = � 1
x
2< 0, por lo tanto, la función f siempre es concava
hacia abajo.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 118
6. Un esbozo de la gráfica
F
Ejemplo 110 : Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = e
x, es f
0(x) = e
x.
Demostración : Es conocido el teorema que establece:
Teorema 1 : Si g es una función diferenciable inyectiva con inversa f = g
�1 y g
�1(f (x)) 6= 0,
entonces la función inversa es diferenciable en x y
[f (x)]
0=
⇥
g
�1(x)
⇤0=
1
g
0(f (x))
.
La función f (x) = e
x es diferenciable, ya que es la función inversa de g (x) = lnx, la cual es una funcióndiferenciable, además
[g (x)]
0= [lnx]
0=
1
x
,
por lo tanto,1
g
0(f (x))
=
1
1
f (x)
=
1
1
e
x
= e
x
,
luego,[f (x)]
0=
1
g
0(f (x))
= e
x
.
F
Ejemplo 111 : Determine el dominio de la función
f (x) =
ln
�
1� x
2�
� ln (x+ 5)
px� x
2
Solución : Tenemos que
ln (·) tiene sentido si (·) > 0,p
(·) tiene sentido si (·) � 0,1
(·) tiene sentido si (·) 6= 0,
por lo tanto,
• Para ln (x+ 5), tenemos que x+ 5 > 0 =) x > �5 =) x 2 (�5,1).
• Para ln
�
1� x
2�
, tenemos que 1� x
2> 0 =) (1� x) (1 + x) > 0.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 119
Estudiamos el signo de la expresión
(�1,�1) (�1, 1) (1,1)
1� x + + �
1 + x � + +
(1� x) (x+ 1) � + �
por lo tanto,x 2 (�1, 1)
• Parapx, tenemos que x � 0 =) x 2 [0,1).
• Para1p
x� x
2, observemos que resolver la no igualdad
px� x
2 6= 0 es equivalente a resolver la igualdadpx � x
2= 0 y obtener los valores x que sean soluciones de la igualdad y dichos valores excluirlos del
conjunto de definición. Resolvemos la igualdadpx� x
2= 0 =)
px = x
2=) (
px)
2=
�
x
2�2
=) x = x
4=) x� x
4= 0
x
�
1� x
3�
= 0 =) x (1� x)
�
x
2+ x+ 1
�
= 0 =) x = 0 y x = 1,
luego, la función g (x) =
1px� x
2tiene sentido si x 2 (0,1)� {1}.
Entonces, el dominio de f es
Dom f = (�5,1)
\
(�1, 1)\
[0,1)
\
(0,1)� {1} = (0, 1) =) Dom f = (0, 1) .
�5 �4 �3 �2 �1 0 1 2
e ee ue�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
Dom f = (0, 1)
F
Ejemplo 112 : Determine el dominio de la función
f (x) =
4
plnx� 1
e
x � lnx
Solución : Tenemos que
4
p
(·) tiene sentido si (·) � 0, ln (·) tiene sentido si (·) > 0,1
(·) tiene sentido si (·) 6= 0,
por lo tanto,
• Para 4
plnx� 1, resolvemos la desigualdad lnx � 1 � 0 =) lnx � 1, para despejar x aplicamos la
función inversa de la función logaritmo natural, es decir, la función exponencial natural, por ser la funciónexponencial natural creciente, la desigualdad se mantiene, así
e
ln x � e
1=) x � e =) x 2 [e,1)
• Para lnx, tenemos que x > 0 =) x 2 (0,1).
• Para1
e
x � lnx
, observemos que resolver la no igualdad e
x � lnx 6= 0 es equivalente a buscar los valoresde x donde la función exponencial natural y la función logaritmo natural sean iguales, y dichos valoresexcluirlos del conjunto de definición, pero es conocido que dichas funciones no tienen puntos en común, así,que la expresión
1
e
x � lnx
tiene sentido para todo x en (0,1).
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 120
Funciones exponencial y logaritmo natural
Luego, el dominio de f esDom f = [e,1)
\
(0,1) = [e,1)
�2 �1 0 1 2 e 3 4 5
e u��������������������������������������������������������������������������������������������������������������AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
Dom f = [e,1)
F
Ejemplo 113 : Hallar el dominio de las siguientes funciones
a. f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
+ ln
�
x
3 � x
�
b. f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
�
c. f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
� ln
�
x
3 � x
�
d. f (x) = ln
✓
x
2 � x� 6
x
3 � x
◆
Solución : a. Puesto que, la función f es la suma de dos funciones logaritmo naturales, f1 (x) =
ln
�
x
2 � x� 6
�
y f2 (x) = ln
�
x
3 � x
�
, entonces,
Dom f = Dom f1
\
Dom f2
• Para f1 : La función f1 tiene sentido si
x
2 � x� 6 > 0 =) (x� 3) (x+ 2) > 0,
estudiamos el signo de la expresión
(�1,�2) (�2, 3) (3,1)
x� 3 � � +
x+ 2 � + +
(x� 3) (x+ 2) + � +
por lo tanto,Dom f1 : (�1,�2)
[
(3,1)
• Para f2 : La función f2 tiene sentido si
x
3 � x > 0 =) x
�
x
2 � 1
�
> 0 =) x (x� 1) (x+ 1) > 0,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 121
estudiamos el signo de la expresión,
(�1,�1) (�1, 0) (0, 1) (1,1)
x � � + +
x� 1 � � � +
x+ 1 � + + +
x (x� 1) (x+ 1) � + � +
por lo tanto,Dom f2 : (�1, 0)
[
(1,1) .
Luego, el dominio de la función f , es
Dom f =
⇣
(�1,�2)[
(3,1)
⌘
\
⇣
(�1, 0)[
(1,1)
⌘
= (3,1)
�3 �2 �1 0 1 2 3 4
e e���������������������������� �����������������������������e e eAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
Dom f = (3,1)
b. Es conocida la propiedad de los logaritmos
Propiedad I : ln a+ ln b = ln (ab) ,
así, que uno estaría tentado a sugerir que el dominio de esta función, f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
�
es el mismoque el de la función de la parte a., f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
+ln
�
x
3 � x
�
, pero esto no es necesariamente cierto, yaque la propiedad I es válida solo cuando los términos a y b sean positivos. Busquemos el domino de la funciónf (x) = ln
�
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
�
.
La función f tiene sentido si,�
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
�
> 0 =) x (x+ 2) (x� 3) (x� 1) (x+ 1) > 0.
Estudiamos el signo de los factores,
(�1,�2) (�2,�1) (�1, 0) (0, 1) (1, 3) (1,1)
x+ 2 � + + + + +
x+ 1 � � + + + +
x � � � + + +
x� 1 � � � � + +
x� 3 � � � � � +
�
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
�
� + � + � +
Luego, el dominio de la función f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
�
es
Dom f : (�2,�1)[
(0, 1)
[
(1,1) .
c. Como la función f es al diferencia de dos funciones logaritmo naturales,
f1 (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
y f2 (x) = ln
�
x
3 � x
�
,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 122
entonces,Dom f = Dom f1
\
Dom f2,
por la parte a., se tiene que
Dom f =
⇣
(�1,�2)[
(3,1)
⌘
\
⇣
(�1, 0)[
(1,1)
⌘
= (3,1)
�3 �2 �1 0 1 2 3 4
e e���������������������������� �����������������������������e e eAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
Dom f = (3,1)
d. Similarmente, a las funciones de la parte a. y b.. Es conocida la propiedad de los logaritmos
Propiedad II : ln a� ln b = ln
⇣
a
b
⌘
,
así, que uno estaría tentado a sugerir que el dominio de esta función, f (x) = ln
✓
x
2 � x� 6
x
3 � x
◆
es el mismo que
el de la función de la parte c., f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
� ln
�
x
3 � x
�
, pero esto no es necesariamente cierto, yaque la propiedad II es válida solo cuando los términos a y b sean positivos. Busquemos el domino de la función
f (x) = ln
✓
x
2 � x� 6
x
3 � x
◆
.
La función f tiene sentido si
Condición 1 (Para ln (·)) : x
2 � x� 6
x
3 � x
> 0
Condición 2
✓
Para1
(·)
◆
: x
3 � x 6= 0
Observemos que al resolver la condición 1, resolvemos indirectamente la condición 2, ya que, en la solución
de la condición 1 no están incluidos los valores que anulan al denominador, así, resolvemosx
2 � x� 6
x
3 � x
> 0,factorizamos numerador y denominador
• Para el numerador:
x
2 � x� 6 = (x� 3) (x+ 2) Raíces : x = �2, x = 3
• Para el denominador:
x
3 � x = x
�
x
2 � 1
�
= x (x� 1) (x+ 1) Raíces : x = 0, x = �1, x = 1
así,x
2 � x� 6
x
3 � x
> 0 =) (x� 3) (x+ 2)
x (x� 1) (x+ 1)
> 0.
Estudiamos el signo de los factores
(�1,�2) (�2,�1) (�1, 0) (0, 1) (1, 3) (1,1)
x+ 2 � + + + + +
x+ 1 � � + + + +
x � � � + + +
x� 1 � � � � + +
x� 3 � � � � � +
(x�3)(x+2)x(x�1)(x+1) � + � + � +
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 123
la solución de la desigualdad esx 2 (�2,�1)
[
(0, 1)
[
(1,1) ,
que corresponde al dominio de la función f (x) = ln
✓
x
2 � x� 6
x
3 � x
◆
. F
Ejemplo 114 : Hallar el rango de la función f (x) = e
2x � 2e
x
+ 6.
Solución : Es conocido que, e
2x= (e
x
)
2, así,
Completar cuadrado
a (·)2 + b (·) + c = a
✓
(·) +b
2a
◆
2
+ c �b
2
4a
#f (x) = e
2x � 2e
x
+ 6 = (e
x
)
2 � 2e
x
+ 6 = (e
x � 1)
2+ 5,
Buscamos el rango de la función de f (x) = (e
x � 1)
2+ 5.
Dom f : (�1,1)
=) �1 < x <1
?Aplicamos e
(·)
(la desigualdad se mantiene)
0 < e
x
<1
?Restamos 1
(la desigualdad se mantiene)
�1 < e
x � 1 <1
�� Parte negativa @@R
Parte positiva
�1 < e
x � 1 0 0 e
x � 1 <1
?Elevamos al cuadrado
(la desigualdad cambia) ?Elevamos al cuadrado(la desigualdad se mantiene)
1 > (e
x � 1)
2 � 0 0 (e
x � 1)
2<1
@@R �� Tomamos el intervalo mayor
0 (e
x � 1)
2<1
?Sumamos 5
(la desigualdad se mantiene)
5 (e
x � 1)
2+ 5 <1 =)
Rgo f : [5,1)
Por lo tanto, Rgo f : [5,1). F
Ejemplo 115 : Hallar el rango de la función f (x) = ln (3� x)� ln (1 + x).
Solución : En primer lugar, buscamos el dominio de f , puesto que, la función f es la diferencia de dosfunciones logaritmo naturales, f1 (x) = ln (3� x) y f2 (x) = ln (1 + x), entonces,
Dom f = Dom f1
\
Dom f2
• Para f1 : La función f1 tiene sentido si
3� x > 0 =) 3 > x,
por lo tanto,Dom f1 : (�1, 3)
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 124
• Para f2 : La función f2 tiene sentido si
1 + x > 0 =) x > �1,
por lo tanto,Dom f2 : (�1,1) .
Luego, el dominio de la función f , es
Dom f = (�1, 3)
\
(�1,1) = (�1, 3) ,
de aquí,
f (x) = ln (3� x)� ln (1 + x) = ln
✓
3� x
1 + x
◆
= ln
✓
4
1 + x
� 1
◆
.
Buscamos el rango de la función de f (x) = (e
x � 1)
2+ 5.
Dom f : (�1, 3) =) �1 < x < 3
?Sumamos 1
(la desigualdad se mantiene)
0 < x+ 1 < 4
?Aplicamos 1
(·)(la desigualdad cambia)
1 >
1
x+ 1
>
1
4
Es conocido que la aplicación
1
x
tiende a infinito cuando x tiende
a cero por la derecha.
�!
?Multiplicamos por 4
(la desigualdad se mantiene)
1 <
4
x+ 1
<1
?Restamos 1
(la desigualdad se mantiene)
0 <
4
x+ 1
� 1 <1
?Aplicamos ln (·)
(la desigualdad se mantiene)
Es conocido que la aplicación ln x
tiende a �1 cuando x tiende
a cero por la derecha.
�! �1 < ln
✓
4
x+ 1
� 1
◆
<1 =)Rgo f : R
F
Ejemplo 116 : Resuelva la siguiente ecuación ln (2x+ 1) = ln
�
x
2 � 14
�
.
Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición de la igualdad, el cual denotaremos por Cdef ,para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas
• La expresión ln (2x+ 1) tiene sentido si 2x+ 1 > 0 =) x > �1
2
=) x 2✓
�1
2
,1◆
.
• La expresión ln
�
x
2 � 14
�
tiene sentido si
x
2 � 14 > 0 =)⇣
x�p14
⌘⇣
x+
p14
⌘
> 0,
entonces,�
�1,�p14
� �
�p14,
p14
� �
p14,1
�
x�p14 � � +
x+
p14 � + +
�
x�p14
� �
x+
p14
�
+ � +
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 125
esto implica que, x 2�
�1,�p14
�
S
�
p14,1
�
.
Por lo que, el conjunto de definición de la igualdad, Cdef , viene dado por
Cdef =
✓
�1
2
,1◆
\
n⇣
�1,�p14
⌘
[
⇣p14,1
⌘o
=
⇣p14,1
⌘
=) Cdef =
⇣p14,1
⌘
,
�4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6� 1
2
e�����������������������������������������������������������������������������������������������������������p14eAAAAAAAAAAA
p14eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA| {z }
Cdef =�
p14,1
�
Resolvemos la igualdad para x 2�
p14,1
�
, aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la funciónexponencial natural,
ln (2x+ 1) = ln
�
x
2 � 14
�
=) e
ln(2x+1)= e
ln(
x
2�14)
=) 2x+ 1 = x
2 � 14,
resolvemos esta última igualdad
2x+ 1 = x
2 � 14 =) x
2 � 2x� 15 = 0 =) (x� 5) (x+ 3) = 0,
de manera que las posibles soluciones son x = 5 y x = �3, de las cuales se debe descartar la última porque noestá en el dominio de definición. Finalmente, la solución es x = 5. F
Ejemplo 117 : Resuelva la siguiente ecuación ln
2x� 3 lnx+ 2 = 0.
Solución : Observemos que, el conjunto de definición de la igualdad, el cual denotamos por Cdef , es elintervalo (0,1)
Resolvemos la igualdad para x 2 (0,1), entonces,
ln
2x� 3 lnx+ 2 = 0 =) (lnx� 1) (lnx� 2) = 0 =)
(
lnx� 1 = 0
lnx� 2 = 0
=)(
lnx = 1
lnx = 2
=)(
x = e
x = e
2
las soluciones son x = e y x = e
2, ya que, ambas están en el dominio de definición. F
Ejemplo 118 : Hallar y graficar el conjunto solución
ln
�
x
2 � 2
�
� ln (x+ 4) ln (�x) .
Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición de la desigualdad, el cual denotaremos porCdef , para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas
• La expresión ln (�x) tiene sentido si �x > 0 =) x < 0 =) x 2 (�1, 0).
• La expresión ln (x+ 4) tiene sentido si x+ 4 > 0 =) x > �4 =) x 2 (�4,1).
• La expresión ln
�
x
2 � 2
�
tiene sentido si
x
2 � 2 > 0 =)⇣
x�p2
⌘⇣
x+
p2
⌘
> 0,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 126
entonces,�
�1,�p2
� �
�p2,
p2
� �
p2,1
�
x�p2 � � +
x+
p2 � + +
�
x�p2
� �
x+
p2
�
+ � +
esto implica que, x 2�
�1,�p2
�
S
�
p2,1
�
.
Por lo que, el conjunto de definición de la desigualdad, Cdef , viene dado por
Cdef = (�1, 0)
\
(�4,1)
\
n⇣
�1,�p2
⌘
[
⇣p2,1
⌘o
=
⇣
�4,�p2
⌘
=) Cdef =
⇣
�4,�p2
⌘
,
�6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4
e��������������������������������������������������������������������������������������������������eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA�p2e p
2e| {z }
Cdef =�
�4,�p2
�
Resolvemos la desigualdad para x 2�
�4,�p2
�
, por las propiedades del logaritmo natural, tenemos,
ln
�
x
2 � 2
�
� ln (x+ 4) ln (�x) =) ln
�
x
2 � 2
�
ln (�x) + ln (x+ 4)
=) ln
�
x
2 � 2
�
ln (�x (x+ 4)) ,
aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la función exponencial natural, por ser esta una función crecientela desigualdad se mantiene
ln
�
x
2 � 2
�
ln (�x (x+ 4)) =) e
ln(
x
2�2) e
ln(�x(x+4))=) x
2 � 2 �x (x+ 4) ,
resolvemos esta última desigualdad
x
2 � 2 �x (x+ 4) =) x
2 � 2 �x2 � 4x =) 2x
2+ 4x� 2 0 =) x
2+ 2x� 1 0
=)�
x+
p2 + 1
� �
x�p2 + 1
�
0,
entonces,�
�1,�p2� 1
� �
�p2� 1,
p2� 1
� �
p2� 1,1
�
x+
p2 + 1 � + +
x�p2� 1 � � +
�
x+
p2 + 1
� �
x�p2 + 1
�
+ � +
esto implica que, x 2⇥
�p2� 1,
p2� 1
⇤
.
Luego, la solución de la desigualdad ln
�
x
2 � 2
�
� ln (x+ 4) ln (�x) viene dada por
x 2 Cdef
\
h
�p2� 1,
p2� 1
i
=) x 2⇣
�4,�p2
⌘
\
h
�p2� 1,
p2� 1
i
=) x 2h
�p2� 1,�
p2
⌘
.
�5 �4 �3 �2 �1 0 1 2
e �p2e�������������������������������������������������
�p2 � 1u p
2 � 1uAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
Cdef =⇥
�p2� 1,�
p2
�
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 127
Ejemplo 119 : Hallar el conjunto solución de
lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1)
Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición, el cual denotaremos por Cdef , de la desigual-dad, para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas
La expresión lnx tiene sentido si x > 0 =) x 2 (0,1).
La expresión ln (x+ 2) tiene sentido si x+ 2 > 0 =) x > �2 =) x 2 (�2,1).
La expresión ln (x� 1) tiene sentido si x� 1 > 0 =) x > 1 =) x 2 (1,1),
así,Cdef = (0,1)
\
(�2,1)
\
(1,1) = (1,1) =) Cdef = (1,1) ,
�6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
e e e����������������������������������������������������������������������������������������AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
Cdef = (1,1)
por las propiedades del logaritmo natural, para todo x 2 (1,1), tenemos,
lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1) =) ln
✓
x
x+ 2
◆
< ln (x� 1) ,
aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la función exponencial natural, por ser esta una función crecientela desigualdad se mantiene
ln
✓
x
x+ 2
◆
< ln (x� 1) =) e
ln(
x
x+2
)
< e
ln(x�1)=) x
x+ 2
< x� 1,
resolvemos esta última desigualdad
x
x+ 2
< x� 1 =) x
x+ 2
� (x� 1) < 0 =) x� (x� 1) (x+ 2)
x+ 2
< 0 =) 2� x
2
x+ 2
< 0
=)�
p2� x
� �
p2 + x
�
x+ 2
< 0,
entonces,(�1,�2)
�
�2,�p2
� �
�p2,
p2
� �
p2,1
�
p2� x + + + �p2 + x � � + +
x+ 2 � + + +
(
p2�x
)(
p2+x
)
x+2 + � + �
esto implica que, x 2�
�2,�p2
�
S
�
p2,1
�
.
Luego, la solución de la desigualdad lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1) viene dada por
x 2 Cdef
\
n⇣
�2,�p2
⌘
[
⇣p2,1
⌘o
=) x 2 (1,1)
\
n⇣
�2,�p2
⌘
[
⇣p2,1
⌘o
=) x 2⇣p
2,1⌘
�6 �5 �4 �3 �2
�p2
�1 0 1
p2
2 3 4 5 6 7 8
e eAAAAA eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAe��������������������������������������������������������������������������������| {z }
�
p2,1
�
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 128
Ejemplo 120 : Resolver e
2x2�7x+3= 1.
Solución : Aplicamos la función inversa de la exponencial natural, es decir, la función logaritmo natural ologaritmo neperiano y obtenemos
e
2x2�7x+3= 1 =) ln
⇣
e
2x2�7x+3⌘
= ln 1 =) 2x
2 � 7x+ 3 = 0,
resolvemos esta última igualdad
2x
2 � 7x+ 3 = 0 =) (2x� 1) (x� 3) = 0,
las soluciones son x =
1
2
y x = 3. F
Ejemplo 121 : Resolver 7
3x(x�1)= 1.
Solución : Aplicamos la función inversa de la exponencial en base 7, es decir, la función logaritmo en base 7
y obtenemos7
3x(x�1)= 1 =) log7
⇣
7
3x(x�1)⌘
= log7 1 =) 3x (x� 1) = 0,
las soluciones son x = 0 y x = 1. F
Ejemplo 122 : Resolver 2
3x+1= 3
2�x.
Solución : Es conocido que a
x
= e
x ln a, así, 2
(·)= e
(·) ln 2 y 3
(·)= e
(·) ln 3, con lo que, la igualdad se escribe
2
3x+1= 3
2�x
=) e
(3x+1) ln 2= e
(2�x) ln 3.
Aplicamos la función inversa de la exponencial natural, es decir, la función logaritmo natural o logaritmo neperianoy obtenemos
e
(3x+1) ln 2= e
(2�x) ln 3=) ln
�
e
(3x+1) ln 2�
= ln
�
e
(2�x) ln 3�
=) (3x+ 1) ln 2 = (2� x) ln 3,
=) 3 ln 2 x+ ln 2 = 2 ln 3� ln 3 x =) 3 ln 2 x+ ln 3 x = 2 ln 3� ln 2
=) (3 ln 2 + ln 3)x = 2 ln 3� ln 2 =)�
ln 2
3+ ln 3
�
x = ln 3
2 � ln 2
=) (ln 8 + ln 3)x = ln 9� ln 2 =) ln ((8) (3)) x = ln
✓
9
2
◆
=) ln 24 x = ln
✓
9
2
◆
resolvemos esta última igualdad
ln 24 x = ln
✓
9
2
◆
=) x =
ln
�
92
�
ln 24
,
la solución es x =
ln
�
92
�
ln 24
. F
Ejemplo 123 : Resolver 2
3x+1< 3
2�x.
Solución : Es conocido que a
x
= e
x ln a, así, 2
(·)= e
(·) ln 2 y 3
(·)= e
(·) ln 3, con lo que, la desigualdad seescribe
2
3x+1< 3
2�x
=) e
(3x+1) ln 2< e
(2�x) ln 3.
Aplicamos la función inversa de la exponencial natural, es decir, la función logaritmo natural o logaritmo neperiano,puesto que la función logaritmo natural es creciente, entonces la desigualdad no cambia y obtenemos
e
(3x+1) ln 2< e
(2�x) ln 3=) ln
⇣
e
(3x+1) ln 2⌘
< ln
⇣
e
(2�x) ln 3⌘
=) (3x+ 1) ln 2 < (2� x) ln 3,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 129
resolvemos esta última desigualdad
(3x+ 1) ln 2 < (2� x) ln 3 =) 3x ln 2 + ln 2 < 2 ln 3� x ln 3 =) 3x ln 2 + x ln 3 < 2 ln 3� ln 2
=) x (3 ln 2 + ln 3) < 2 ln 3� ln 2 =) x
�
ln
�
2
3�
+ ln 3
�
< ln
�
3
2�
� ln 2
=) x (ln 8 + ln 3) < ln 9� ln 2 =) x ln 24 < ln
✓
9
2
◆
=) x <
ln
�
92
�
ln 24
.
Luego, la solución viene dada por
x 2
�1,
ln
�
92
�
ln 24
!
.
F
Ejemplo 124 : Hallar el conjunto solución de
4
|x+2|
2
|x�1| 16
Solución : Observemos que
4
|x+2|
2
|x�1| 16 =)�
2
2�|x+2|
2
|x�1| 2
4=) 2
2|x+2|
2
|x�1| 2
4=) 2
|2x+4|�|x�1| 2
4,
aplicamos log2 (·), la desigualdad no cambia, pues la función f (x) = log2 x, es creciente.
log2
⇣
2
|2x+4|�|x�1|⌘
log2
�
2
4�
=) |2x+ 4|� |x� 1| 4.
Por la definición de valor absoluto
|2x+ 4| =(
2x+ 4 si 2x+ 4 � 0
� (2x+ 4) si 2x+ 4 < 0
=
(
2x+ 4 si x � �2
� (2x+ 4) si x < �2
y
|x� 1| =(
x� 1 si x� 1 � 0
� (x� 1) si x� 1 < 0
=
(
x� 1 si x � 1
� (x� 1) si x < 1
tenemos que la recta real se secciona en
(�1,�2) [�2, 1) [1,1)
� (2x+ 4) 2x+ 4 2x+ 4
� (x� 1) � (x� 1) x� 1
Caso I : Intervalo (�1,�2).
|2x+ 4|� |x� 1| 4, nos queda, � (2x+ 4)� (1� x) 4,
resolviendo,� (2x+ 4)� (1� x) 4 =) �x 9 =) x � 9,
entonces,sol1 = [�9,1)
\
(�1,�2) = [�9,�2) .
�11 �10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3
u����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
sol1 = [�9,�2)Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 130
Caso II : Intervalo [�2, 1).
|2x+ 4|� |x� 1| 4, nos queda 2x+ 4� (1� x) 4,
resolviendo,2x+ 4� (1� x) 4 =) 3x 1 =) x 1
3
,
entonces,
sol2 =
✓
�1,
1
3
�
\
[�2, 1) =
�2, 13
�
.
�8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0
1
3
1 2 3 4 5 6
u e����������������������������uAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
| {z }
sol2 =
⇥
�2, 13
⇤
Caso III : Intervalo [1,1).
|2x+ 4|� |x� 1| 4, nos queda 2x+ 4� (x� 1) 4,
resolviendo,2x+ 4� (x� 1) 4 =) x �1,
entonces,sol3 = (�1,�1]
\
[1,1) = ?.
�8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6
u������������������������������������������������������������������������������� uAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA| {z }
sol3 = (�1,�1]T
[1,1) = ?Luego, la solución final es
solF
= sol1[
sol2[
sol3 = [�9,�2)[
�2, 13
�
[
? =
�9, 13
�
FEjemplo 125 : Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = a
x, con a > 0 y a 6= 1, es
f
0(x) = a
x
ln a.
Demostración : Observemos que
a
x
= e
ln a
x
= e
x ln a
=) a
x
= e
x ln a
, (1)
es decir,f (x) = a
x
=) f (x) = e
x ln a
.
Derivamos respecto a x usando la regla de la cadena
f
0(x) =
⇥
e
x ln a
⇤0= e
x ln a
[x ln a]
0= e
x ln a
ln a,
puesto que, e
x ln a
= a
x (ver ecuación (1)), entonces
f
0(x) = a
x
ln a
F
Ejemplo 126 : Demuestre que si f (x) = log
a
|x|, entonces f
0(x) =
1
x ln a
, con a > 0 y a 6= 1.
Solución : Es conocido que
|x| =(
x si x � 0
�x si x < 0,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 131
por lo tanto,
log
a
|x| =(
log
a
x si x � 0
log
a
(�x) si x < 0.
Por otra parte, se tiene que
log
a
(·) = ln (·)ln a
,
donde, ln a está bien definido, ya que, a > 0 y a 6= 1, así,
log
a
|x| =
8
>
>
<
>
>
:
lnx
ln a
si x � 0
ln (�x)ln a
si x < 0.
Al derivar, para x � 0
d
dx
(f (x)) =
d
dx
(log
a
x) =
lnx
ln a
|{z}
!0
=
1
ln a
(lnx)
0=
1
ln a
1
x
=
1
x ln a
.
"ln a es constante
sale de la derivada
Para x < 0
d
dx
(f (x)) =
d
dx
(log
a
(�x)) =
ln (�x)ln a
|{z}
!0
=
1
ln a
(ln (�x))0| {z }
=
1
ln a
1
�x (�x)0 = 1
ln a
✓
1
�x
◆
(�1) = 1
x ln a
.
" "ln a es constante
sale de la derivada
Derivada: Regla
de la cadena
Se tiene que
d
dx
(log
a
|x|) =
8
>
>
<
>
>
:
1
x ln a
si x � 0
1
x ln a
si x < 0.
,
de aquí,d
dx
(log
a
|x|) = 1
x ln a
F
Ejemplo 127 : Hallar la primera derivada de f (x) = 3
sen x.
Solución : En virtud que la función f es una función compuesta, derivamos usando la regla de la cadena
f
0(x) = [3
sen x
]
0= 3
sen x
ln 3 [senx]
0= 3
sen x
ln 3 cosx.
Luego, f
0(x) = 3
sen x
cosx ln 3. F
Ejemplo 128 : Hallar la primera derivada de f (x) = x
sen x.
Solución : Observemos que la función f no es una función potencia ni tampoco una funcion exponencial, así, que para obtener su derivada aplicamos derivación logaritmica. Aplicamos logaritmo a amboslados de la igualdad para obtener
y = x
sen x
=) ln y = lnx
sen x
=) ln y = senx lnx,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 132
derivamos implicítamente,
(ln y)
0= (senx lnx)
0=) 1
y
y
0= (senx)
0lnx+ senx (lnx)
0=) y
0
y
= cosx lnx+ senx
1
x
=) y
0= y
h
cosx lnx+
senx
x
i
=) y
0= x
sen x
h
cosx lnx+
senx
x
i
,
ya que, y = x
sen x, luego,f
0(x) = x
sen x
h
cosx lnx+
senx
x
i
.
F
Ejemplo 129 : Hallar la primera derivada de
f (x) = (senx)
ln x
+ 2
3x � x
log3
(4x).
Solución : Derivamos
f
0(x) =
h
(senx)
ln x
+ 2
3x � x
log3
(4x)i0
=
h
(senx)
ln x
i0+
h
2
3xi0�h
x
log3
(4x)i0,
donde,
• Si y = (senx)
ln x, aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad para obtener
y = (senx)
ln x
=) ln y = ln (senx)
ln x
=) ln y = lnx ln (senx) ,
derivamos implicítamente,
(ln y)
0= (lnx ln (senx))
0=) 1
y
y
0= (lnx)
0ln (senx) + lnx (ln (senx))
0
=) y
0
y
=
1
x
ln (senx) + lnx
1
senx
cosx =) y
0= y
ln (senx)
x
+ lnx cotx
�
pero, y = (senx)
ln x, luego
y
0=
⇣
(senx)
ln x
⌘0= (senx)
ln x
ln (senx)
x
+ lnx cotx
�
• Sea z = 2
3x . observemos que esta es una composicón de funciones exponenciales de base 2 y 3, así, suderivada viene dada por
z
0=
⇣
2
3x⌘0
= 2
3xln 2 3
x
ln 3 = 2
3x3
x
ln 2 ln 3
• Sea w = x
log3
(4x), aplicamos logaritmo natural a ambos lados y obtenemos
w = x
log3
(4x)=) lnw = ln
⇣
x
log3
(4x)⌘
=) lnw = log3 (4x) lnx,
derivamos implicítamente,
(lnw)
0= (log3 (4x) lnx)
0=) 1
w
w
0= (log3 (4x))
0lnx+ log3 (4x) (lnx)
0
=) w
0
w
=
1
x ln 3
lnx+ log3 (4x)1
x
=) w
0= w
lnx
x ln 3
+
log3 (4x)
x
�
pero, w = x
log3
(4x), luego
w
0=
⇣
x
log3
(4x)⌘0
= x
log3
(4x)
lnx
x ln 3
+
log3 (4x)
x
�
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 133
Finalmente,
f
0(x) = (senx)
ln x
ln (senx)
x
+ lnx cotx
�
+ 2
3x3
x
ln 2 ln 3� x
log3
(4x)
lnx
x ln 3
+
log3 (4x)
x
�
F
Ejemplo 130 : Calcular el siguiente límite, si existe, lim
x!0sen
✓
ln (cos 3x)
e
x � e
�x
◆
.
Solución : Puesto que la función seno es una función continua, entonces
lim
x!0sen
✓
ln (cos 3x)
e
x � e
�x
◆
= sen
✓
lim
x!0
ln (cos 3x)
e
x � e
�x
◆
,
observemos que el límite argumento de la función seno es de la forma indeterminada0
0
, por lo tanto, aplicamosla regla de L’Hospital
lim
x!0
ln (cos 3x)
e
x � e
�x
L0H= lim
x!0
(ln (cos 3x))
0
(e
x � e
�x
)
0 = lim
x!0
�3 sen 3xcos 3x
e
x
+ e
�x
= lim
x!0
�3 sen 3x(e
x
+ e
�x
) cos 3x
=
0
2
= 0,
luego,
lim
x!0sen
✓
ln (cos 3x)
e
x � e
�x
◆
= sen (0) = 0
F
Ejemplo 131 : Calcular el siguiente límite, si existe, lim
x!1
5
x � 3
2
x
+ 4
.
Solución : Observemos que este límite es de la forma indeterminada11 . Es conocido que
5
x
= e
x ln 5 y 2
x
= e
x ln 2
así,
lim
x!1
5
x � 3
2
x
+ 4
= lim
x!1
e
x ln 5 � 3
e
x ln 2+ 4
.
Aplicamos la regla de L’Hospital
lim
x!1
e
x ln 5 � 3
e
x ln 2+ 4
L0H= lim
x!1
�
e
x ln 5 � 3
�0
(e
x ln 2+ 4)
0 = lim
x!1
e
x ln 5ln 5
e
x ln 2ln 2
=
ln 5
ln 2
lim
x!1e
x(ln 5�ln 2)=1
F
Ejemplo 132 : Calcular el siguiente límite, si existe, lim
t!1(ln t� ln (3t� 1)).
Solución : Como ln t!1, cuando t!1, entonces,
lim
t!1(ln t� ln (3t� 1))
presenta una indeterminación de la forma 1�1. Levantamos la indeterminación, es conocido que
Propiedad II : ln a� ln b = ln
⇣
a
b
⌘
,
así,
ln t� ln (3t� 1) = ln
✓
t
3t� 1
◆
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 134
por lo que, el límite queda
lim
t!1(ln t� ln (3t� 1)) = lim
t!1ln
✓
t
3t� 1
◆
,
puesto que, la función logaritmo neperiano es una función continua, podemos introducir el límite dentro de laaplicación logaritmo neperiano y nos queda
lim
t!1ln
✓
t
3t� 1
◆
= ln
✓
lim
t!1
t
3t� 1
◆
,
observemos que, el nuevo límite, lim
t!1
t
3t� 1
, es un límite de la forma11 , aplicando la regla de L’Hospital se
tiene
lim
t!1
t
3t� 1
L0H= lim
t!1
[t]
0
[3t� 1]
0 = lim
t!1
1
3
=
1
3
,
por lo tanto,lim
t!1
t
3t� 1
=
1
3
,
de aquí,
lim
t!1ln
✓
t
3t� 1
◆
= ln
✓
lim
t!1
t
3t� 1
◆
= ln
✓
1
3
◆
= ln 1� ln 3 = 0� ln 3
Finalmente,lim
t!1(ln t� ln (3t� 1)) = � ln 3.
F
Ejemplo 133 : Calcular el siguiente límite, si existe, lim
n!1
n
X
k=1
ln
✓
1 +
1
k
◆
.
Solución : Observemos que el término general a
k
= ln
✓
1 +
1
k
◆
se puede escribir como
a
k
= ln
✓
1 +
1
k
◆
= ln
✓
k + 1
k
◆
= ln (k + 1)� ln k,
así,n
X
k=1
ln
✓
1 +
1
k
◆
=
n
X
k=1
(ln (k + 1)� ln k) ,
la cual es una suma telescópica, por lo quen
X
k=1
(ln (k + 1)� ln k) = ln (n+ 1)� ln 1 = ln (n+ 1) .
Luego,
lim
n!1
n
X
k=1
ln
✓
1 +
1
k
◆
= lim
n!1ln (1 + n) =1.
FEjemplo 134 : Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue
lim
n!1
e
1/n2
n
2
⇣
e
�2/n2
+ 2e
�5/n2
+ 3e
�10/n2
+ · · ·+ ne
�1�1/n2
⌘
Solución : Tenemos que
e
1/n2
n
2
⇣
e
�2/n2
+ 2e
�5/n2
+ 3e
�10/n2
+ · · ·+ ne
�1�1/n2
⌘
=
e
1/n2
n
⇣
e
�2/n2
+ 2e
�5/n2
+ 3e
�10/n2
+ · · ·+ ne
�1�1/n2
⌘
1
n
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 135
=
✓
1
n
e
�1/n2
+
2
n
e
�4/n2
+
3
n
e
�9/n2
+ · · ·+ n
n
e
�1
◆
1
n
=
✓
1
n
e
�(1)2/n2
+
2
n
e
�(2)2/n2
+
3
n
e
�(3)2/n2
+ · · ·+ n
n
e
�(n)2/n2
◆
1
n
=
✓✓
1
n
◆
e
�(1/n)2+
✓
2
n
◆
e
�(2/n)2+
✓
3
n
◆
e
�(3/n)2+ · · ·+
⇣
n
n
⌘
e
�(n/n)2◆
1
n
=
n
X
k=1
✓
k
n
◆
e
�(k/n)2 1
n
.
Consideramos la partición regular del intervalo [0, 1], de n subintervalos, entonces
� =
1� 0
n
=
1
n
y la partición viene dada por
x0 = 0 < x1 =
1
n
< x2 =
2
n
< x3 =
3
n
< · · · < x
k
=
k
n
< · · · < x
n
=
n
n
= 1,
Sean f (x) = xe
�x
2
y x
⇤k
= x
k
=
k
n
, así,
lim
n!1
e
1/n2
n
2
⇣
e
�2/n2
+ 2e
�5/n2
+ 3e
�10/n2
+ · · ·+ ne
�1�1/n2
⌘
= lim
n!1
n
X
k=1
✓
k
n
◆
e
�(k/n)2 1
n
= lim
n!1
n
X
k=1
x
⇤k
e
x
⇤k
1
n
= lim
n!1
n
X
k=1
f (x
⇤k
)�x
k
=
Z 1
0
xe
�x
2
dx,
dondeZ 1
0
xe
�x
2
dx se resuelve con el cambio de variable
u = �x2Cálculo del
���������!diferencial
du = �2x dx =) �du
2
= x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Cambiamos el intervalo de integración
Si x = 0, entonces, u = � (0)
2= 0 =) u = 0
Si x = 1, entonces, u = � (1)
2= �1 =) u = �1,
la integral queda
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#
Propiedad de la integral definida:
Z
a
b
f (x) dx = �Z
b
a
f (x) dx
#Z 1
0
xe
�x
2
dx =
Z �1
0
e
u
✓
�du
2
◆
= �1
2
Z �1
0
e
u
du =
1
2
Z 0
�1
e
u
du =
1
2
✓
e
u
�
�
�
�
0
�1
=
1
2
z}|{
e
0 �z}|{
e
�1
!
=
1
2
�
1� e
�1�
=
1
2
� 1
2
e
�1=
1� e
�1
2
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 136
Luego,
lim
n!1
e
1/n2
n
2
⇣
e
�2/n2
+ 2e
�5/n2
+ 3e
�10/n2
+ · · ·+ ne
�1�1/n2
⌘
=
1� e
�1
2
.
F
Ejemplo 135 : Calcular la derivada de la siguiente función f (x) =
Z 8
ln x
e
2t
t
2+ ln t
dt.
Solución : Observemos que la función f es la composición de las funciones
g (x) =
Z 8
x
e
2t
t
2+ ln t
dt y h (x) = lnx,
ya que,
(g � h) (x) = g (h (x)) = g (lnx) =
Z 8
ln x
e
2t
t
2+ ln t
dt = f (x) ,
por lo tanto, para obtener la derivada de f aplicamos la regla de la cadena
f
0(x) = [g (h (x))]
0= g
0(h (x))
| {z }
h
0(x)
| {z }
,
"Derivada de la función externa
evaluada en la función interna
"Derivada de la
función interna
por otra parte, observe que el límite variable está en la cota inferior, así,
f (x) =
Z 8
ln x
e
2t
t
2+ ln t
dt = �Z ln x
8
e
2t
t
2+ ln t
dt.
"Propiedad de la integral
Z
a
b
f (x) dx = �Z
b
a
f (x) dx
La propiedad aplicada a la integral es debido a que el Primer Teorema Fundamental del Cálculo exige que ellímite variable se encuentre en la cota superior de la integral definida, así,
f (x) = �Z ln x
8
e
2t
t
2+ ln t
dt,
derivamos respecto a x,
Derivada de una
función compuesta
#
f
0(x) =
z }| {
d
dx
�Z ln x
8
e
2t
t
2+ ln t
dt
!
= � e
2 ln x
(lnx)
2+ ln (lnx)
(lnx)
0| {z }
= � e
ln x
2
ln
2x+ ln (lnx)
✓
1
x
◆
"
Primer Teorema
Fundamental del Cálculo
"Derivada de la
función interna
= � x
2
ln
2x+ ln (lnx)
✓
1
x
◆
= � x
ln
2x+ ln (lnx)
.
Luego,f
0(x) = � x
ln
2x+ ln (lnx)
.
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 137
Ejemplo 136 : Calcular la derivada de la siguiente función f (x) =
Z sen x
e
x
5
u
+ u
2
arctanu
du.
Solución : Escribimos la función f como
f (x) =
Z
e
x
sen x
5
u
+ u
2
arctanu
du =
Z
a
sen x
5
u
+ u
2
arctanu
du+
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du = �Z sen x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du+
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du,
"
Propiedad de la integral
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx
"
Propiedad de la integral
Z
a
b
f (x) dx = �Z
b
a
f (x) dx
donde a es una constante cualquiera que cumple con senx a e
x. Por lo tanto
f (x) = �Z sen x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du+
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du,
derivamos respecto a x.
f
0(x) =
"
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du�Z sen x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
#0
=
"
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
#0
�
Z sen x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
�0
,
"
Derivada de una
resta de funciones
dondeDerivada de una
función compuesta
#z }| {
d
dx
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
!
=
5
e
x
+ (e
x
)
2
arctan (e
x
)
(e
x
)
0|{z}
=
5
e
x
+ e
2x
arctan (e
x
)
e
x
=
�
5
e
x
+ e
2x�
e
x
arctan (e
x
)
,
"
Primer Teorema
Fundamental del Cálculo
"Derivada de la
función interna
mientras que,
Derivada de una
función compuesta
#z }| {
d
dx
✓
Z sen x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
◆
=
5
sen x
+ (senx)
2
arctan (senx)
(senx)
0| {z }
=
5
sen x
+ sen
2x
arctan (senx)
cosx =
�
5
sen x
+ sen
2x
�
cosx
arctan (senx)
.
"
Primer Teorema
Fundamental del Cálculo
"Derivada de la
función interna
Por lo tanto,
f
0(x) =
"
Z
e
x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
#0
�
Z sen x
a
5
u
+ u
2
arctanu
du
�0
=
�
5
e
x
+ e
2x�
e
x
arctan (e
x
)
��
5
sen x
+ sen
2x
�
cosx
arctan (senx)
.
Luego,
f
0(x) =
�
5
e
x
+ e
2x�
e
x
arctan (e
x
)
��
5
sen x
+ sen
2x
�
cosx
arctan (senx)
.
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 138
Ejemplo 137 : IntegrarZ
log (
px)� log3 (
4
px)
log5 xdx.
Solución : Es conocido que log
a
x =
lnx
ln a
, para a > 0 y a 6= 1, por lo tanto,
log
�px
�
=
ln (
px)
ln 10
, log3
�
4
px
�
=
ln (
4
px)
ln 3
y log5 x =
lnx
ln 5
.
Puesto que, px = x
1/2 y 4
px = x
1/4,
por la propiedad del logaritmo de una potencia, lnx
y
= y lnx, se tiene que
ln
�px
�
= ln
⇣
x
1/2⌘
=
1
2
lnx y ln
�
4
px
�
= ln
⇣
x
1/4⌘
=
1
4
lnx,
así,
log
�px
�
=
ln (
px)
ln 10
=
1
2
lnx
ln 10
=
lnx
2 ln 10
y log3
�
4
px
�
=
ln (
4
px)
ln 3
=
1
4
lnx
ln 3
=
lnx
4 ln 3
.
Al sustituir las correspondientes expresiones de los términos log (
px), log3 (
4
px) y log5 x en el integrando
se tiene
log (
px)� log3 (
4
px)
log5 x=
lnx
2 ln 10
� lnx
4 ln 3
lnx
ln 5
=
lnx
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
lnx
ln 5
=
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
1
ln 5
= ln 5
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
,
es decir,log (
px)� log3 (
4
px)
log5 x= ln 5
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
y la integral quedaZ
log (
px)� log3 (
4
px)
log5 xdx =
Z
ln 5
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
dx = ln 5
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
Z
dx
= ln 5
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
x+ C.
Luego,Z
log (
px)� log3 (
4
px)
log5 xdx = ln 5
✓
1
2 ln 10
� 1
4 ln 3
◆
x+ C.
F
Ejemplo 138 : IntegrarZ
x
4log4 x� lnx
ln (
4
px)
dx.
Solución : Es conocido que log4 x =
lnx
ln 4
y ln (
4
px) =
1
4
lnx, entonces, la integral la podemos escribir como
Z
x
4log4 x� lnx
ln (
4
px)
dx =
Z
x
4 lnx
ln 4
� lnx
1
4
lnx
dx =
Z
lnx
✓
x
4
ln 4
� 1
◆
1
4
lnx
dx = 4
Z
✓
x
4
ln 4
� 1
◆
dx
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 139
así,Z
x
4log4 x� lnx
ln (
4
px)
dx = 4
Z
✓
x
4
ln 4
� 1
◆
dx = 4
✓
1
ln 4
x
5
5
� x
◆
+ C.
Finalmente,Z
x
4log4 x� lnx
ln (
4
px)
dx =
4x
5
5 ln 4
� 4x+ C.
F
Ejemplo 139 : IntegrarZ
6
2x/ ln 6e
�x
dx.
Solución : Es conocido que a
(·)= e
(·) ln a, por lo tanto,
6
2x/ ln 6= exp
✓
2x
ln 6
ln 6
◆
= exp (2x) = e
2x,
es decir,6
2x/ ln 6= e
2x.
Al integrarZ
6
2x/ ln 6e
�x
dx =
Z
e
2xe
�x
dx =
Z
e
2x�x
dx =
Z
e
x
dx = e
x
+ C.
LuegoZ
6
2x/ ln 6e
�x
dx = e
x
+ C.
F
Ejemplo 140 : IntegrarZ
e
2x � e
x
e
x�5dx.
Solución : Se tiene quee
2x � e
x
e
x�5=
e
2x
e
x�5� e
x
e
x�5,
por propiedades de la exponencial, se obtiene
e
2x
e
x�5= e
2x�(x�5)= e
2x�x+5= e
x+5= e
x
e
5, es decir,
e
2x
e
x�5= e
x
e
5,
de igual manera,e
x
e
x�5= e
x�(x�5)= e
x�x+5= e
5, es decir,
e
x
e
x�5= e
5,
por lo tanto,Z
e
2x � e
x
e
x�5dx =
Z
�
e
x
e
5 � e
5�
dx =
Z
e
5(e
x � 1) dx = e
5
Z
(e
x � 1) dx = e
5(e
x � x+ C1)
= e
5e
x � xe
5+ C = e
x+5 � xe
5+ C.
Luego,Z
e
2x � e
x
e
x�5dx == e
x+5 � xe
5+ C.
F
Ejemplo 141 : IntegrarZ
e
3x � e
2x � 5e
x
+ 2
e
2x � 3e
x
+ 1
dx.
Solución : Es conocido que e
ab
= (e
a
)
b, así,
e
3x � e
2x � 5e
x
+ 2
e
2x � 3e
x
+ 1
=
(e
x
)
3 � (e
x
)
2 � 5e
x
+ 2
(e
x
)
2 � 3e
x
+ 1
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 140
Observamos que la expresión del numerador se factoriza como
(e
x
)
3 � (e
x
)
2 � 5e
x
+ 2 = (e
x
+ 2)
⇣
(e
x
)
2 � 3e
x
+ 1
⌘
,
así, el integrando queda
e
3x � e
2x � 5e
x
+ 2
e
2x � 3e
x
+ 1
=
(e
x
+ 2)
⇣
(e
x
)
2 � 3e
x
+ 1
⌘
(e
x
)
2 � 3e
x
+ 1
= e
x
+ 2
y la integral se escribeZ
e
3x � e
2x � 5e
x
+ 2
e
2x � 3e
x
+ 1
dx =
Z
(e
x
+ 2) dx = e
x
+ 2x+ C.
Luego,Z
e
3x � e
2x � 5e
x
+ 2
e
2x � 3e
x
+ 1
dx = e
x
+ 2x+ C.
F
Ejemplo 142 : IntegrarZ
1� e
x
1� e
�x
dx.
Solución : Por propiedad de la función exponencial, se tiene que
e
�x
=
1
e
x
, de aquí, 1� e
�x
= 1� 1
e
x
=
e
x � 1
e
x
,
entonces,1� e
x
1� e
�x
=
1� e
x
e
x � 1
e
x
=
e
x
(1� e
x
)
e
x � 1
=
�ex (ex � 1)
e
x � 1
= � e
x
,
es decir,1� e
x
1� e
�x
= � e
x
.
Al integrarZ
1� e
x
1� e
�x
dx =
Z
� e
x
dx = �Z
e
x
dx = � e
x
+ C.
Luego,Z
1� e
x
1� e
�x
dx = � e
x
+ C.
F
Ejemplo 143 : IntegrarZ
dx
1� e
�3x.
Solución : Tenemos que
1
1� e
�3x=
1
1� 1
e
3x
=
1
e
3x � 1
e
3x
=
e
3x
e
3x � 1
=)Z
dx
1� e
�3x=
Z
e
3xdx
e
3x � 1
.
Se propone el siguiente cambio de variable
u = e
3x � 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = 3e
3xdx =) du
3
= e
3xdx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 141
Entonces, la integral se transforma enZ
dx
1� e
�3x=
Z
e
3xdx
e
3x � 1
=
Z
1
u
du
3
=
1
3
Z
du
u
=
1
3
ln |u|+ C =
1
3
ln
�
�
e
3x � 1
�
�
+ C,
ya que, u = e
3x � 1. Luego,Z
dx
1� e
�3x=
1
3
ln
�
�
e
3x � 1
�
�
+ C.
F
Ejemplo 144 : IntegrarZ
e
x
1 + e
�x
dx.
Solución : Por la propiedad de la exponencial, e
�a
=
1
e
a
, se tiene que
Z
e
x
1 + e
�x
dx =
Z
e
x
1 +
1
e
x
dx =
Z
e
x
e
x
+ 1
e
x
dx =
Z
e
x
e
x
e
x
+ 1
dx.
Se propone el siguiente cambio de variable
u = e
x
+ 1 de aquí e
x
= u� 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = e
x
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma enZ
e
x
1 + e
�x
dx =
Z
e
x
e
x
e
x
+ 1
dx =
Z
u� 1
u
du =
Z
✓
1� 1
u
◆
du = u� ln |u|+ C
= e
x
+ 1� ln |ex + 1|+ C = e
x � ln |ex + 1|+ C.
Luego,Z
e
x
1 + e
�x
dx = e
x � ln |ex + 1|+ C.
F
Ejemplo 145 : IntegrarZ
dx
5
�x � 1
dx.
Solución : Por la propiedad de la exponencial, 5
�a
=
1
5
a
, se tiene que
Z
dx
5
�x � 1
=
Z
dx
1
5
x
� 1
=
Z
dx
1� 5
x
5
x
=
Z
5
x
dx
1� 5
x
,
como, 5
x
= e
x ln 5, se tieneZ
5
x
dx
1� 5
x
=
Z
e
x ln 5dx
1� e
x ln 5,
se propone el cambio de variable
u = 1� e
x ln 5Cálculo del
���������!diferencial
du = �ex ln 5ln 5 dx =) � du
ln 5
= e
x ln 5dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 142
Entonces, la integral quedaZ
e
x ln 5dx
1� e
x ln 5= � 1
ln 5
Z
du
u
= � 1
ln 5
ln |u|+ C = � 1
ln 5
ln
�
�
1� e
x ln 5�
�
+ C = � 1
ln 5
ln |1� 5
x|+ C.
puesto que,Z
dx
5
�x � 1
=
Z
5
x
dx
1� 5
x
=
Z
e
x ln 5dx
1� e
x ln 5= � 1
ln 5
ln |1� 5
x|+ C,
se concluye queZ
dx
5
�x � 1
= � 1
ln 5
ln |1� 5
x|+ C.
F
Ejemplo 146 : IntegrarZ
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx.
Solución : Se propone el siguiente cambio de variable
u
2= e
x � 1 de aquí e
x
= u
2+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = e
x
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma enZ
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx =
Z
2u
pu
2
u
2+ 4
du = 2
Z
u
2du
u
2+ 4
de aquí,Z
u
2
u
2+ 4
du =
Z
�
u
2+ 4� 4
�
u
2+ 4
du =
Z
✓
u
2+ 4
u
2+ 4
� 4
u
2+ 4
◆
du
=
Z
✓
1� 4
u
2+ 4
◆
du =
Z
du�Z
4
u
2+ 4
du,
donde,Z
du = u+ C1 =
pe
x � 1 + C1,
mientras que,Z
4
u
2+ 4
du =
Z
4
4
✓
u
2
4
+ 1
◆
du =
Z
1
⇣
u
2
⌘2
+ 1
du,
para resolver la nueva integral se propone el cambio de variable
z =
u
2
Cálculo del
���������!diferencial
dz =
1
2
du =) du = 2 dz,
con este nuevo cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Se tieneZ
4
u
2+ 4
du =
Z
1
⇣
u
2
⌘2
+ 1
du = 2
Z
1
z
2+ 1
dz = 2arctan z + C2
= 2arctan
⇣
u
2
⌘
+ C2 = 2arctan
✓
pe
x � 1
2
◆
+ C2.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 143
EntoncesZ
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx = 2
Z
u
2du
u
2+ 4
= 2
✓
Z
du�Z
4
u
2+ 4
du
◆
= 2
✓pe
x � 1 + C1 � 2 arctan
✓
pe
x � 1
2
◆
+ C2
◆
= 2
pe
x � 1� 4 arctan
✓
pe
x � 1
2
◆
+ C.
LuegoZ
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx = 2
pe
x � 1� 4 arctan
✓
pe
x � 1
2
◆
+ C
F
Ejemplo 147 : IntegrarZ
(2e
t
+ 1) dt
e
t � 4e
�t
+ 1
.
Solución : Por la propiedad de la exponencial, e
�a
=
1
e
a
, se tiene que
Z
(2e
t
+ 1) dt
e
t � 4e
�t
+ 1
=
Z
(2e
t
+ 1) dt
e
t � 4
e
t
+ 1
=
Z
(2e
t
+ 1) dt
e
2t � 4 + e
t
e
t
=
Z
(2e
t
+ 1) e
t
dt
e
2t � 4 + e
t
=
Z
�
2e
2t+ e
t
�
dt
e
2t � 4 + e
t
.
Se propone el siguiente cambio de variable
u = e
2t � 4 + e
t
Cálculo del
���������!diferencial
du =
�
2e
2t+ e
t
�
dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma enZ
�
2e
2t+ e
t
�
dt
e
2t � 4 + e
t
=
Z
du
u
= ln |u|+ C = ln
�
�
e
2t � 4 + e
t
�
�
+ C.
Luego,Z
(2e
t
+ 1) dt
e
t � 4e
�t
+ 1
= ln
�
�
e
2t � 4 + e
t
�
�
+ C.
F
Ejemplo 148 : IntegrarZ
lnx dx
x
.
Solución : Se propone el siguiente cambio de variable
u = lnx
Cálculo del
���������!diferencial
du =
dx
x
,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma enZ
lnx
x
dx =
Z
u du =
u
2
2
+ C =
1
2
ln
2x+ C.
Luego,Z
lnx
x
dx =
1
2
ln
2x+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 144
Ejemplo 149 : IntegrarZ
ln (3x)
x ln (
3
px)
dx.
Solución : Por las propiedades del logaritmo natural, se puede escribir las expresiones ln (3x) y ln (
3
px)
comoln (3x) = ln 3 + lnx y ln
�
3
px
�
=
1
3
lnx
con lo que, la integral quedaZ
ln (3x)
x ln (
3
px)
dx =
Z
ln (3x)
x ln
�
x
1/3�
dx =
Z
ln 3 + lnx
x lnx
3
dx =
Z
3 (ln 3 + lnx)
x lnx
dx.
Se propone el siguiente cambio de variable
u = lnx
Cálculo del
���������!diferencial
du =
1
x
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma enZ
ln (3x)
x ln (
3
px)
dx =
Z
3 (ln 3 + lnx)
x lnx
dx =
Z
3 (ln 3 + u)
u
du = 3
Z
ln 3 + u
u
du = 3
Z
✓
ln 3
u
+
u
u
◆
du
= 3
Z
✓
ln 3
u
+ 1
◆
du = 3
✓
Z
ln 3
u
du+
Z
du
◆
= 3 ln 3 ln |u|+ 3u+ C = ln 27 ln |lnx|+ 3 lnx+ C.
Luego,Z
ln (3x)
x ln (
3
px)
dx = ln 27 ln |lnx|+ 3 lnx+ C.
F
Ejemplo 150 : IntegrarZ
secx dx.
Solución : Se tieneZ
secx dx =
Z
secx
secx+ tanx
secx+ tanx
dx =
Z
sec
2x+ secx tanx
secx+ tanx
dx,
se propone el cambio de variable
u = secx+ tanx
Cálculo del
���������!diferencial
du =
�
secx tanx+ sec
2x
�
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces,Z
secx dx =
Z
sec
2x+ secx tanx
secx+ tanx
dx =
Z
du
u
= ln |u|+ C = ln |secx+ tanx|+ C.
Luego,Z
secx dx = ln |secx+ tanx|+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 145
Ejemplo 151 : IntegrarZ
e
x
p4� e
2xdx.
Solución : Por la propiedad de la exponencial e
ab
= (e
a
)
b, se tiene que el integrando se puede escribir
f (x) =
e
x
p4� e
2x=
e
x
q
4� (e
x
)
2,
por otra parte,
e
x
q
4� (e
x
)
2=
e
x
s
4� 4 (e
x
)
2
4
=
e
x
v
u
u
t
4
1� (e
x
)
2
4
!
=
e
x
2
s
1� (e
x
)
2
4
=
e
x
2
s
1�✓
e
x
2
◆2,
así, la integral se escribe
Z
e
x
p4� e
2xdx =
Z
e
x
dx
2
s
1�✓
e
x
2
◆2=
Z
e
x
2
dx
s
1�✓
e
x
2
◆2
se propone el siguiente cambio de variable
u =
e
x
2
Cálculo del
���������!diferencial
du =
e
x
2
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma en
Z
e
x
p4� e
2xdx =
Z
e
x
2
dx
s
1�✓
e
x
2
◆2=
Z
dup1� u
2= arcsenu+ C = arcsen
✓
e
x
2
◆
+ C.
Luego,Z
e
x
p4� e
2xdx = arcsen
✓
e
x
2
◆
+ C.
F
Ejemplo 152 : IntegrarZ
e
x
(e
x � 2)
e
2x � e
x
+ 1
dx.
Solución : Al completar cuadrado
e
2x � e
x
+ 1 =
✓
e
x � 1
2
◆2
+
3
4
la integral quedaZ
e
x
(e
x � 2)
e
2x � e
x
+ 1
dx =
Z
e
x
(e
x � 2)
✓
e
x � 1
2
◆2
+
3
4
dx.
Se propone el siguiente cambio de variable
u = e
x � 1
2
de aquí e
x
= u+
1
2
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = e
x
dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 146
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral se transforma en
Z
e
x
(e
x � 2)
e
2x � e
x
+ 1
dx =
Z
✓
u+
1
2
◆
� 2
u
2+
3
4
du =
Z
u� 3
2
u
2+
3
4
du =
Z
u du
u
2+
3
4
� 3
2
Z
du
u
2+
3
4
,
seanI1 =
Z
u du
u
2+
3
4
y I2 =
Z
du
u
2+
3
4
,
así,
• Para I1 =
Z
u du
u
2+
3
4
, se propone el cambio de variable
z = u
2+
3
4
Cálculo del
���������!diferencial
dz = 2u du =) 1
2
dz = u du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
EntoncesZ
u du
u
2+
3
4
=
Z
1
2
dz
z
=
1
2
Z
dz
z
=
1
2
ln |z|+ C1 =
1
2
ln
�
�
�
�
u
2+
3
4
�
�
�
�
+ C1.
Por lo tanto,
I1 =
Z
u du
u
2+
3
4
=
1
2
ln
�
�
�
�
u
2+
3
4
�
�
�
�
+ C1.
• Para I2 =
Z
du
u
2+
3
4
. Se expresa la integral como
Z
du
u
2+
3
4
=
Z
du
3
4
✓
4
3
u
2+ 1
◆
=
4
3
Z
du
✓
2up3
◆2
+ 1
.
Se propone el siguiente cambio de variable
z =
2up3
Cálculo del
���������!diferencial
dz =
2p3
du =)p3
2
dz = du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral queda
Z
du
✓
2up3
◆2
+ 1
=
Z
p3
2
dz
z
2+ 1
=
p3
2
Z
dz
z
2+ 1
=
p3
2
arctan z + C2 =
p3
2
arctan
✓
2up3
◆
+ C2,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 147
se tiene queZ
du
u
2+
3
4
=
4
3
Z
du
✓
2up3
◆2
+ 1
=
4
3
p3
2
arctan
✓
2up3
◆
+ C2 =
2
p3
3
arctan
✓
2up3
◆
+ C2,
por lo tanto,
I2 =
Z
du
u
2+
3
4
=
2
p3
3
arctan
✓
2up3
◆
+ C2.
Así,
Z
e
x
(e
x � 2)
e
2x � e
x
+ 1
dx =
Z
u� 3
2
u
2+
3
4
du = I1 �3
2
I2 =
1
2
ln
�
�
�
�
u
2+
3
4
�
�
�
�
� 3
2
2
p3
3
arctan
✓
2up3
◆
+ C
=
1
2
ln
�
�
�
�
u
2+
3
4
�
�
�
�
�p3 arctan
✓
2up3
◆
+ C =
1
2
ln
�
�
�
�
�
✓
e
x � 1
2
◆2
+
3
4
�
�
�
�
�
�p3 arctan
0
B
B
@
2
✓
e
x � 1
2
◆
p3
1
C
C
A
+ C,
ya que, u = e
x � 1
2
,
Luego,Z
e
x
(e
x � 2)
e
2x � e
x
+ 1
dx =
1
2
ln
�
�
e
2x � e
x
+ 1
�
��p3 arctan
✓
2e
x � 1p3
◆
+ C.
F
Ejemplo 153 : Calcular la siguiente integralZ ln 2
0
pe
x � 1 dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
u =
pe
x � 1 =) e
x
= u
2+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
du =
e
x
2
pe
x � 1
dx =) 2u du
u
2+ 1
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Cambiamos el intervalo de integración
Si x = 0, entonces, u =
pe
0 � 1 =
p1� 1 =
p0 =) u = 0
Si x = ln 2, entonces, u =
pe
ln 2 � 1 =
p2� 1 =
p1 =) u = 1,
la integral quedaZ ln 2
0
pe
x � 1 dx =
Z 1
0
u
2u du
u
2+ 1
= 2
Z 1
0
u
2
u
2+ 1
du = 2
Z 1
0
u
2+ 1� 1
u
2+ 1
du
= 2
Z 1
0
�
u
2+ 1
�
� 1
u
2+ 1
du = 2
Z 1
0
✓
1� 1
u
2+ 1
◆
du = 2
✓
u� arctanu
�
�
�
�
1
0
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#= 2
z }| {
((1)� arctan (1))�z }| {
((0)� arctan (0))
!
= 2
h
1� ⇡
4
i
= 2� ⇡
2
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 148
Luego,Z ln 2
0
pe
x � 1 dx = 2� ⇡
2
.
F
Ejemplo 154 : CalcularZ ln 5
0
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
u
2= e
x � 1 =) e
x
= u
2+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = e
x
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Cambiamos el intervalo de integración
Si x = 0, entonces, u
2= e
0 � 1 = 1� 1 = 0 =) u = 0
Si x = ln 2, entonces, u
2= e
ln 5 � 1 = 5� 1 = 4 =) u = 2,
la integral quedaZ ln 5
0
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx =
Z 2
0
2u
pu
2
u
2+ 4
du = 2
Z 2
0
u
2du
u
2+ 4
observemos queZ 2
0
u
2du
u
2+ 4
=
Z 2
0
�
u
2+ 4� 4
�
du
u
2+ 4
=
Z 2
0
✓
u
2+ 4
u
2+ 4
� 4
u
2+ 4
◆
du =
Z 2
0
✓
1� 4
u
2+ 4
◆
du =
Z 4
0
du�Z 4
0
4 du
u
2+ 4
dondeZ 2
0
du = 2
yZ 2
0
4
u
2+ 4
du =
Z 2
0
4
4
✓
u
2
4
+ 1
◆
du =
Z 2
0
1
⇣
u
2
⌘2
+ 1
du.
Se propone el cambio de variable
u = z =
u
2
Cálculo del
���������!diferencial
dz =
1
2
du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Cambiamos el intervalo de integración
si u = 0 entonces z =
0
2
=) z = 0
si u = 2 entonces z =
2
2
=) z = 1
entonces, la integral se transforma enZ 2
0
4
u
2+ 4
du =
Z 2
0
1
⇣
u
2
⌘2
+ 1
du = 2
Z 1
0
1
z
2+ 1
dz =
1
2
⇡.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 149
AsíZ 2
0
u
2du
u
2+ 4
=
Z 2
0
✓
1� 4
u
2+ 4
◆
du = 2� 1
2
⇡.
LuegoZ ln 5
0
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx = 2
✓
2� 1
2
⇡
◆
= 4� ⇡.
F
Ejemplo 155 : IntegrarZ
sen (2x) + cosx
sen
2x+ senx� 2
dx.
Solución : Es conocido quesen (2x) = 2 senx cosx,
así, la integral se expresa comoZ
sen (2x) + cosx
sen
2x+ senx� 2
dx =
Z
2 senx cosx+ cosx
sen
2x+ senx� 2
dx.
Se propone el cambio de variable
u = sen
2x+ senx� 2
Cálculo del
���������!diferencial
du = (2 senx cosx+ cosx) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
sen (2x) + cosx
sen
2x+ senx� 2
dx =
Z
2 senx cosx+ cosx
sen
2x+ senx� 2
dx =
Z
du
u
= ln |u|+ C = ln
�
�
sen
2x+ senx� 2
�
�
+ C.
Luego,Z
sen (2x) + cosx
sen
2x+ senx� 2
dx = ln
�
�
sen
2x+ senx� 2
�
�
+ C.
F
Ejemplo 156 : IntegrarZ
dxpx+
4
px
.
Solución : Se propone el cambio de variable
x = t
4Cálculo del
���������!diferencial
dx = 4t
3dt =) du
4
= t
3dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dxpx+
4
px
=
1
4
Z
t
3dtp
t
4+
4
pt
4=
1
4
Z
t
3dt
t
2+ t
=
1
4
Z
t
3dt
t (t+ 1)
=
1
4
Z
t
2dt
t+ 1
.
Manipulando algebraicamente al integrando obtenemos
t
2
t+ 1
=
t
2 � 1 + 1
t+ 1
=
t
2 � 1
t+ 1
+
1
t+ 1
=
(t� 1) (t+ 1)
t+ 1
+
1
t+ 1
= t� 1 +
1
t+ 1
,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 150
así,Z
t
2dt
t+ 1
=
Z
✓
t� 1 +
1
t+ 1
◆
dt =
Z
t dt�Z
dt+
Z
dt
t+ 1
,
dondeZ
t dt =
t
2
2
+ C1 yZ
dt = t+ C2,
mientras que, paraZ
dt
t+ 1
, se propone el cambio de variable
u = t+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dt
t+ 1
=
Z
du
u
= ln |u|+ C3 = ln |t+ 1|+ C3.
Por lo tanto,Z
t
2dt
t+ 1
=
t
2
2
� t+ ln |t+ 1|+ C,
como t =
4
px, tenemos
Z
dxpx+
4
px
=
1
4
Z
t
2dt
t+ 1
=
1
4
t
2
2
� t+ ln |t+ 1|�
+ C =
1
4
"
(
4
px)
2
2
� 4
px+ ln
�
�
4
px+ 1
�
�
#
+ C
=
px
8
�4
px
4
+
1
4
ln | 4
px+ 1|+ C.
Luego,Z
dxpx+
4
px
=
px
8
�4
px
4
+
1
4
ln
�
�
4
px+ 1
�
�
+ C.
F
Ejemplo 157 : Demuestre que e
p
(q � p) < e
q � e
p
< e
q
(q � p), si p < q.
Demostración : Consideremos la función f (x) = e
x definida en el intervalo cerrado [p, q]. Puesto que, lafunción f es continua en todo su dominio y en particular en el intervalo [p, q] y es diferenciable en el intervaloabierto (p, q), entonces el Teorema del valor medio para derivada garantiza que existe un valor c 2 (p, q), talque
e
q � e
p
q � p
= f
0(c) =) e
q � e
p
q � p
= e
c
,
ya que, f
0(x) = e
x.
Por otra parte, como c 2 (p, q), entoncesp < c < q
y en virtud que, la función exponencial natural es una función creciente en todo su dominio, entonces, al aplicarexponencial natural en la desigualdad, la misma no cambia y se obtiene
e
p
< e
c
< e
q
,
de aquí,e
p
<
e
q � e
p
q � p
< e
q
,
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como q� p > 0, (ya que, p < q), al multiplicar la desigualdad por q� p la misma no cambia y concluimos que
e
p
(q � p) < e
q � e
p
< e
q
(q � p) .
F
Ejemplo 158 : Demostrar la siguiente identidad hiperbólica
senh (2x) = 2 senhx coshx.
Demostración : Es conocido que
senh (·) = e
(·) � e
�(·)
2
=) senh (2x) =
e
(2x) � e
�(2x)
2
,
lo cual se puede escribir como,
senh (2x) =
e
(2x) � e
�(2x)
2
=
(e
x
)
2 � (e
�x
)
2
2
=
(e
x � e
�x
) (e
x
+ e
�x
)
2
=
(e
x � e
�x
) (e
x
+ e
�x
)
2
,
multiplicamos y dividimos por 2,
senh (2x) = 2
(e
x � e
�x
) (e
x
+ e
�x
)
2 · 2 = 2
e
x � e
�x
2
e
x
+ e
�x
2
= 2 senhx coshx,
es decir,senh (2x) = 2 senhx coshx
F
Ejemplo 159 : Demostrar la identidad hiperbólica
cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�) .
Demostración : Es conocido que
cosh (·) = e
(·)+ e
�(·)
2
=) cosh (↵+ �) =
e
(↵+�)+ e
�(↵+�)
2
,
lo cual se puede escribir como,
cosh (↵+ �) =
e
(↵+�)+ e
�(↵+�)
2
=
e
↵
e
�
+ e
�↵
e
��
2
=
2
�
e
↵
e
�
+ e
�↵
e
��
�
4
=
e
↵
�
2e
�
+ e
�� � e
��
�
+ e
�↵
�
2e
��
+ e
� � e
�
�
4
=
e
↵
�
e
�
+ e
��
+ e
� � e
��
�
+ e
�↵
�
e
��
+ e
�
+ e
�� � e
�
�
4
=
e
↵
�
e
�
+ e
��
�
+ e
↵
�
e
� � e
��
�
+ e
�↵
�
e
��
+ e
�
�
+ e
�↵
�
e
�� � e
�
�
4
=
e
↵
�
e
�
+ e
��
�
+ e
↵
�
e
� � e
��
�
+ e
�↵
�
e
�
+ e
��
�
� e
�↵
�
e
� � e
��
�
4
=
(e
↵
+ e
�↵
)
�
e
�
+ e
��
�
+ (e
↵ � e
�↵
)
�
e
� � e
��
�
4
=
(e
↵
+ e
�↵
)
�
e
�
+ e
��
�
4
+
(e
↵ � e
�↵
)
�
e
� � e
��
�
4
=
(e
↵
+ e
�↵
)
2
�
e
�
+ e
��
�
2
+
(e
↵ � e
�↵
)
2
�
e
� � e
��
�
2
= cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�) .
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 152
Luego,cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�) .
F
Ejemplo 160 : Demostrar la siguiente identidad hiperbólica
senh (↵) senh (�) =
cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)
2
.
Demostración : Es conocido que
cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�)
ycosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�) ,
entonces(�1)
(
cosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�)
cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�)
cosh (↵+ �)� cosh (↵� �) = 2 senh (↵) senh (�) ,
de aquí, se obtiene la identidad hiperbólica
senh (↵) senh (�) =
cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)
2
.
F
Ejemplo 161 : Demostrar la siguiente identidad hiperbólica
tanh (lnx) =
x
2 � 1
x
2+ 1
.
Demostración : Es conocido que
tanh (·) = senh (·)cosh (·) =
e
(·) � e
�(·)
e
(·)+ e
�(·) =) tanh (lnx) =
e
(ln x) � e
�(ln x)
e
(ln x)+ e
�(ln x),
como las funciones logaritmo natural y exponencial natural son inversas entre sí, se tiene que si x 2 (0,1)
e
ln x
= x, mientras que e
� ln x
= e
ln x
�1
= x
�1=
1
x
,
así,
tanh (lnx) =
x� 1
x
x+
1
x
=
x
2 � 1
x
x
2+ 1
x
=
x
2 � 1
x
2+ 1
.
Por lo tanto,
tanh (lnx) =
x
2 � 1
x
2+ 1
.
F
Ejemplo 162 : Si x = ln (sec ✓ + tan ✓), demuestre que sec ✓ = coshx.
Demostración : Como x = ln (sec ✓ + tan ✓), aplicando la función inversa de la función logaritmo natural,es decir, la función exponencial natural, se tiene
x = ln (sec ✓ + tan ✓) =) e
x
= e
ln(sec ✓+tan ✓)=) e
x
= sec ✓ + tan ✓,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 153
de aquí,
e
x
= sec ✓ + tan ✓ =
(sec ✓ + tan ✓)
2
sec ✓ + tan ✓
=
sec
2✓ + 2 sec ✓ tan ✓ + tan
2✓
sec ✓ + tan ✓
=
sec
2✓ + 2 sec ✓ tan ✓ + sec
2✓ � 1
sec ✓ + tan ✓
=
2 sec
2✓ + 2 sec ✓ tan ✓ � 1
sec ✓ + tan ✓
=
2 sec
2✓ + 2 sec ✓ tan ✓
sec ✓ + tan ✓
� 1
sec ✓ + tan ✓
=
2 sec ✓ (sec ✓ + tan ✓)
sec ✓ + tan ✓
� 1
sec ✓ + tan ✓
= 2 sec ✓ � 1
sec ✓ + tan ✓
,
por lo tanto,e
x
= 2 sec ✓ � 1
sec ✓ + tan ✓
=) e
x
+
1
sec ✓ + tan ✓
= 2 sec ✓,
pero, como e
x
= sec ✓ + tan ✓, tiene que1
sec ✓ + tan ✓
=
1
e
x
= e
�x
,
luego2 sec ✓ = e
x
+
1
sec ✓ + tan ✓
= e
x
+ e
�x
=) 2 sec ✓ = e
x
+ e
�x
.
Así,
sec ✓ =
e
x
+ e
�x
2
= coshx.
F
Ejemplo 163 : IntegrarZ
x senh (lnx) dx.
Solución : Es conocido que
senh (·) = e
(·) � e
�(·)
2
, así, senh (lnx) =
e
ln x � e
� ln x
2
,
puesto que, las funciones exponencial y logaritmo natural son funciones inversas entre sí, es decir,
e
ln(·)= (·) y ln
⇣
e
(·)⌘
= (·)
se tiene quee
ln x
= x,
por otra parte, por la propiedad del logaritmo de una potencia, es decir, ln a
b
= b ln a, se obtiene que
� lnx = ln
�
x
�1�
, por lo tanto, e
� ln x
= e
ln(
x
�1
)
= x
�1=
1
x
,
entonces, el seno hiperbólica del logaritmo natural de x se escribe como
senh (lnx) =
x� 1
x
2
=
1
2
✓
x� 1
x
◆
de aquí,x senh (lnx) =
1
2
�
x
2 � 1
�
Al integrarZ
x senh (lnx) dx =
Z
1
2
�
x
2 � 1
�
dx =
1
2
Z
�
x
2 � 1
�
dx =
1
2
✓
x
3
3
� x
◆
+ C.
Luego,Z
x senh (lnx) dx =
x
3
6
� x
2
+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 154
Ejemplo 164 : IntegrarZ p
x cosh (2 lnx) dx.
Solución : Es conocido que, 2 lnx = ln
�
x
2�
, entonces
cosh (2 lnx) = cosh
�
ln
�
x
2��
y puesto que,
cosh (·) = e
(·)+ e
�(·)
2
=) cosh
�
ln
�
x
2��
=
e
ln(
x
2
)
+ e
� ln(
x
2
)
2
,
de aquí,
cosh
�
ln
�
x
2��
=
e
ln(
x
2
)
+ e
� ln(
x
2
)
2
=
e
ln(
x
2
)
+ e
ln(
x
�2
)
2
=
x
2+ x
�2
2
,
así,Z p
x cosh (2 lnx) dx =
Z px
x
2+ x
�2
2
dx =
1
2
Z
x
1/2�
x
2+ x
�2�
dx =
1
2
Z
⇣
x
5/2+ x
�3/2⌘
dx
=
1
2
0
B
@
x
7/2
7
2
+
x
�1/2
�1
2
1
C
A
+ C =
x
7/2
7
� x
�1/2+ C =
x
7/2
7
� 1
x
1/2+ C =
x
8 � 1
7
px
+ C.
Luego,Z p
x cosh (2 lnx) dx =
x
8 � 1
7
px
+ C.
F
Ejemplo 165 : IntegrarZ
tanh (lnx) dx.
Solución : Por el ejemplo anterior (ver ejemplo 161) se tiene que
tanh (lnx) =
x
2 � 1
x
2+ 1
,
con lo queZ
tanh (lnx) dx =
Z
x
2 � 1
x
2+ 1
dx =
Z
x
2+ 1� 1� 1
x
2+ 1
dx =
Z
�
x
2+ 1
�
� 2
x
2+ 1
dx
=
Z
✓
x
2+ 1
x
2+ 1
� 2
x
2+ 1
◆
dx =
Z
✓
1� 2
x
2+ 1
◆
dx = x� 2 arctanx+ C.
Luego,Z
tanh (lnx) dx = x� 2 arctanx+ C.
F
Ejemplo 166 : CalcularZ 1
�1
2x+ senhx
1 + x
2dx.
Solución : Puesto que, el intervalo de integración es un intervalo simétrico, es conveniente estudiar la simetría
del integrando, es decir, verifiquemos si la función f (x) =
2x+ senhx
1 + x
2es una función par, una funcón impar o
no presenta simetría, así,
f (�x) = 2 (�x) + senh (�x)1 + (�x)2
=
�2x� senhx
1 + x
2= �2x+ senhx
1 + x
2= �f (x) ,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 155
por lo que, la función f es impar, de aquí, concluimos queZ 1
�1
2x+ senhx
1 + x
2dx = 0.
F
Ejemplo 167 : Graficar la función f (x) = exp
✓
x
x� 1
◆
, hallando
1. Dominio 2. Punto de corte con los ejes 3. Valor(es) máximo(s)4. Valor(es) mínimo(s) 5. Intervalo(s) de decrecimiento 6. Intervalo(s) de crecimiento7. Concavidad hacia arriba 8. Concavidad hacia abajo 9. Puntos de inflexión10. Asíntota horizontal 11. Asíntota vertical 12. Asíntota oblicua
Solución : 1. Dominio : La función f tiene sentido cuando x� 1 6= 0, así,
Dom f : R� {1}
2. Puntos de cortes con los ejes :
Eje x : Resolvemos la ecuación exp
✓
x
x� 1
◆
= 0, como la función exponencial natural siempre es mayor
que cero concluimos que no hay punto de corte con el eje x.
Eje y : y0 = exp
✓
(0)
(0)� 1
◆
= e
0= 1, así, el punto de corte con el eje y es (0, 1).
3.� 6. Monotonía : Derivamos y estudiamos el signo de la primera derivada
f
0(x) =
exp
✓
x
x� 1
◆�0= exp
✓
x
x� 1
◆
x
x� 1
�0= exp
✓
x
x� 1
◆
[x]
0(x� 1)� x [x� 1]
0
(x� 1)
2
= exp
✓
x
x� 1
◆
x� 1� x
(x� 1)
2 = � 1
(x� 1)
2 exp
✓
x
x� 1
◆
,
puesto que, la función exponencial natural siempre es positiva al igual que la expresión (x� 1)
2, podemos concluirque la primera derivada de f siempre es negativa, por lo tanto,
Creciente en : Ningún intervalo. Decreciente en : R� {1}.
Valor mínimo : No tiene. Valor máximo : No tiene.
7.� 9. Concavidad : Calculamos la segunda derivada y estudiamos su signo.
f
00(x) = [f
0(x)]
0=
"
� 1
(x� 1)
2 exp
✓
x
x� 1
◆
#0
= �"
1
(x� 1)
2 exp
✓
x
x� 1
◆
#0
,
así,
f
00(x) = �
"
1
(x� 1)
2
#0
exp
✓
x
x� 1
◆
+
1
(x� 1)
2
exp
✓
x
x� 1
◆�0!
= �"
�2(x� 1)
3 exp
✓
x
x� 1
◆
+
1
(x� 1)
2
� 1
(x� 1)
2 exp
✓
x
x� 1
◆
!#
=
1
(x� 1)
3 exp
✓
x
x� 1
◆
2 +
1
x� 1
�
=
1
(x� 1)
3 exp
✓
x
x� 1
◆
2x� 1
x� 1
�
,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 156
con lo que,
f
00(x) =
2x� 1
(x� 1)
4 exp
✓
x
x� 1
◆
,
estudiamos el signo de la segunda derivada, observemos que las expresiones exp
✓
x
x� 1
◆
y (x� 1)
4 son siempre
positivas, por lo tanto, el signo de f
00 vendrá dado por el signo de la expresión 2x� 1, de aquí,
2x� 1 > 0 () x >
1
2
,
entonces, f
00> 0, si x 2
✓
1
2
,1◆
� {1}, luego, f
00< 0, si x 2
✓
�1,
1
2
◆
Concava hacia arriba :✓
1
2
,1◆
� {1}. Concava hacia abajo :✓
�1,
1
2
◆
.
Punto de inflexión :✓
1
2
, f
✓
1
2
◆◆
=
✓
1
2
, exp
✓ 12
12 � 1
◆◆
=
✓
1
2
,
1
e
◆
.
10.� 12. Comportamiento asintótico : Asíntota horizontal :
lim
x!1exp
✓
x
x� 1
◆
= exp
✓
lim
x!1
x
x� 1
◆
,
el límite se puede introducir en la función exponencial natural por ser esta una función continua, observemos queel nuevo límite,
lim
x!1
x
x� 1
tiene una indeterminación de la forma11 ,
así, que podemos aplicar la regla de L’Hospital para calcular el límite
lim
x!1
x
x� 1
L0H= lim
x!1
[x]
0
[x� 1]
0 = lim
x!1
1
1
= 1,
entonceslim
x!1exp
✓
x
x� 1
◆
= e,
de forma análoga,
lim
x!�1exp
✓
x
x� 1
◆
= e
por lo tanto, f tiene asíntota horizontal en y = e.
Asíntota vertical : Existen un candidato, x = 1
Para x = 1, como la función exponencial es continua, se tiene
lim
x!1f (x) = lim
x!1exp
✓
x
x� 1
◆
= exp
✓
lim
x!1
x
x� 1
◆
,
donde,lim
x!1
x
x� 1
Indefinido,
así,
lim
x!1
x
x� 1
= lim
x!1
1
x� 1
x
%
&
lim
x!1�
1
x� 1
x = �1
lim
x!1+
1
x� 1
x =1.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 157
entonces,
lim
x!1exp
✓
x
x� 1
◆
= exp
✓
lim
x!1
1
x� 1
x
◆ %
&
exp
✓
lim
x!1�
1
x� 1
x
◆
= e
�1= 0
exp
✓
lim
x!1+
1
x� 1
x
◆
= e
1=1,
luego, x = 1 es asíntota vertical de f por la derecha.
Asíntota oblicua : Tenemos que
m = lim
x!1
f (x)
x
= lim
x!1
exp
⇣
x
x�1
⌘
x
= 0,
ya que, el numerador tiende a e, cuando x!1, mientras que, el denominador tiende a infinito cuando x!1,por lo tanto, m = 0, así, f no tiene asíntota oblicua, como era de esperarse, ya que, la función tiene asíntotahorizontal en el +1 y en �1. Un razonamiento análogo para cuando x! �1.
Grafica de f
Grafica de f (x) = exp
✓
x
x� 1
◆
.F
Ejemplo 168 : Graficar la función f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|, hallando
1. Dominio 2. Punto de corte con los ejes 3. Valor(es) máximo(s)4. Valor(es) mínimo(s) 5. Intervalo(s) de decrecimiento 6. Intervalo(s) de crecimiento7. Concavidad hacia arriba 8. Concavidad hacia abajo 9. Puntos de inflexión10. Asíntota horizontal 11. Asíntota vertical 12. Asíntota oblicua
Solución : Consideremos la función
g (x) = csch (lnx) + 2x =
1
senh (lnx)
+ 2x
1. Dominio : La función g tiene sentido cuando
Condición 1 (dada por el ln (·)) : x > 0 =) x 2 (0,1)
Condición 2 (dada por la csch (·)) : senh (lnx) 6= 0 =) x 2 R� {�1, 0, 1} ,
Resolvemos la condición 2, se tiene que
senh (lnx) =
e
ln x � e
� ln x
2
=
x� e
ln x
�1
2
=
x� x
�1
2
=
x� 1x
2
=
x
2 � 1
2x
con x 6= 0,
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 158
por lo tanto,
senh (lnx) 6= 0 () x
2 � 1
2x
con x 6= 0 () x 6= ±1 y x 6= 0,
así, el dominio de g es (0,1)� {1}, además
g (x) = csch (lnx) + 2x =
2x
x
2 � 1
+ 2x =
2x
3
x
2 � 1
=) g (x) =
2x
3
x
2 � 1
2. Puntos de cortes con los ejes :
Eje x :2x
3
x
2 � 1
= 0 () x = 0, pero 0 /2 Dom g, por lo tanto, no hay punto de corte con el eje x.
Eje y : Como 0 /2 Dom g, no hay punto de corte con el eje y.
3.� 6. Monotonía : La derivada de g (x) =
2x
3
x
2 � 1
, es
g
0(x) =
2x
3
x
2 � 1
�0
= 2
x
3
x
2 � 1
�0
= 2
⇥
x
3⇤0 �
x
2 � 1
�
� x
3⇥
x
2 � 1
⇤0
(x
2 � 1)
2 =
2x
2�
x
2 � 3
�
(x+ 1)
2(x� 1)
2
Estudiamos el signo de g
0
(0, 1)
�
1,
p3
� �
p3,1
�
x�p3 � � +
x+
p3 + + +
x
2+ + +
(x� 1)
2+ + +
(x+ 1)
2+ + +
g
0 � � +
g & & %
Creciente en :�
p3,1
�
.
Decreciente en :�
0,
p3
�
� {1} .
Valor mínimo :�
p3, g
�
p3
��
=
�
p3, 3
p3
�
.
"
g
�
p3
�
=
2
�
p3
�
�
p3
�2 � 1
+ 2
�
p3
�
= 3
p3
#
Valor máximo :Notiene.
7.� 9. Concavidad : La segunda derivada viene dada por
g
00(x) =
"
2x
2�
x
2 � 3
�
(x+ 1)
2(x� 1)
2
#0
=) g
00(x) =
4x
�
x
2+ 3
�
(x+ 1)
3(x� 1)
3
Estudiamos el signo de g
00
(0, 1) (1,1)
4x + +
x
2+ 3 + +
(x� 1)
3 � +
(x+ 1)
3+ +
g
00 � +
g _ ^
Concava hacia arriba : (1,1) .
Concava hacia abajo : (0, 1) .
Punto de inflexión : No tiene.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 159
10.� 12. Comportamiento asintótico :
Asíntota horizontal :
lim
x!1g (x) = lim
x!1
2x
3
x
2 � 1
=1 =) no hay asíntota horizontal.
Observemos que no se estudia el comportamiento de la función g para cuando x! �1, ya que, el dominiode la función es (0,1)� {1}.
Asíntota vertical : Existen dos candidatos, x = 0 y x = 1
Para x = 0, por la derecha.
lim
x!0+g (x) = lim
x!0+
2x
3
x
2 � 1
= 0
por lo tanto, x = 0 no es asíntota vertical.
Para x = 1
lim
x!1g (x) = lim
x!1
2x
3
x
2 � 1
Indefinido,
así,
lim
x!1
2x
3
x
2 � 1
= lim
x!1
1
(x� 1)
2x
3
x+ 1
%
&
lim
x!1�
1
(x� 1)
2x
3
x+ 1
= �1
lim
x!1+
1
(x� 1)
2x
3
x+ 1
=1.
luego, x = 1 es asíntota vertical.
Asíntota oblicua : Tenemos que
m = lim
x!1
g (x)
x
= lim
x!1
2x
3
x
2 � 1
x
= lim
x!1
2x
3
x
3 � x
= 2,
mientras que,
lim
x!1(g (x)�mx) = lim
x!1
✓
2x
3
x
2 � 1
� 2x
◆
= lim
x!1
✓
2x
x
2 � 1
◆
= 0,
luego, la recta y = 2x es una asíntota oblicua.
Grafica de g : g (x) = csch (lnx) + 2x.
Grafica de la función g (x) = csch (lnx) + 2x.
La grafica de f se obtiene a partir de esta grafica de la siguiente manera
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 160
Grafica de f : Reflejando la grafica de g respecto al eje x y trasladando tres unidades verticalmente,tenemos que f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|
Grafica de la función f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|. F
Ejercicios
1. Considere la expresión f (x) =
Z
x
1
1
t
dt.
(a) Obtenga el intervalo de definición para f (Dominio)(b) Hallar f (1).(c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .(d) Hallar los valores extremos de f .(e) Estudiar la concavidad de f .(f) Esbozar una gráfica para f .
2. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = e
x, es f
0(x) = e
x.
3. Resuelva las siguientes ecuaciones
1. e
x+1= 2 2. 7
3x(x�1)= 1 3. ln (x� 1)
2= 2 4. ln (x+ 1)� ln (x+ 3) = ln 2
5. 2
x+1= 5 6. e
ln(
x
4�7)
= 9 7. ln
✓
t+ 1
t
2+ 1
◆
= 0 8. ln
px+ 1 + ln
px� 1 = 0
9. 3
x+1= 81 10. ln
2x� 4 = 0 11. 1 + ln
�
x
2�
= 0 12. lnx+ ln (x+ 2) = ln
�
x
2+ 4
�
13. e
2 ln t
= 4 14. e
ln(
x
2+1)
= 10 15. ln
⇣
e
x
2�7⌘
= 9 16. ln (2x+ 1) = ln
�
x
2 � 14
�
17. e
t
3�4t= 1 18. 8� ln
3x = 0 19. e
3 ln x
= 8 20. ln
�
x
2 � 2
�
� ln (x+ 4) = ln (�x)
21. 4
x+6= 64 22. 64� ln
2x = 0 23. 3 + ln
�
x
4�
= 0 24. ln
2x� 3 lnx+ 2 = 0
25. 2
3x+1= 5 26. e
ln(
x
4+1)
= 17 27. ln
⇣
e
13�t
2
⌘
= 4 28. 5
|x�1|+|3�x|= 25
29. 4
x � 4
�x
= 2 30. 3
2x+1= 5
3x�131. log3 (x� 1)� log3 (x+ 2) = 2
32. log2 (x+ 1) + log2 (3x� 5) = log2 (5x� 3) + 2 33. e
2x2�7x+3= 1 34. 2
3x+1= 3
2�x
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 161
4. Hallar y graficar el conjunto solución en cada caso
1. 3
x+1 � 81 2. 2
x
2�x
< 2
63. lnx
2 � lnx < 0 4. ln (x+ 3)� 1 � 0
5. 7
3x(x�1) 1 6. 6 + lnx
3> 0 7. e
x+3 � e
�x 0 8. ln
�
x
2+ 1
�
� lnx � ln 2
9. 2
|x2�2|> 4 10. lnx
4 lnx 11. e
t(t+6) � e
3+4t12. ln (2x+ 1) � ln
�
x
2 � 14
�
13. e
pt
2�t
> 1 14. 8� ln
3x < 0 15.
✓
1
3
◆
x�1
< 27 16. exp
✓
2
x� 3
◆
� exp (�x) � 0
17. 5
t
2�11>
1
25
18. 1� e
x
2+x
> 0 19. ln (t� 1)
2< 0 20. ln
�
x
2+ 6x
�
� ln (3 + 4x)
21. ln (x� 2) + ln (x+ 3) < ln (x� 5) 22. 10
3x�2�x
2 1 23. ln 2x < ln
�
x
2 � 3x� 4
�
24. 3
t
4�3t2<
1
9
25. ln
⇣
e
t
2+16⌘
� 8 26. 2 ln (t� 1) ln (t+ 3) + ln t
27. ln
�
x
2 � 2
�
� ln (x+ 4) ln (�x) 28.
2
|x2
+2x�3|
4
|x| � 8 29.
✓
1
2
◆
t
3�4t
� 1
30. ln
�
x
2 � 2
�
ln (4x� 5) 31. 5
|t�1|+|3�t|> 25 32. lnx� ln (x+ 2) < ln (x� 1)
33.
4
|x+2|
2
|x�1| 16 34. ln
�
t
3+ 2t
2+ t
�
� 2 ln t � ln (t� 2) 35. 2
3x+1< 3
2�x
5. Determine el dominio de la función
1. f (x) = ln (x� 1) 2. g (x) =
p1� e
x
2+x
3. h (x) =
p
ln (x+ 3)� 1
4. g (x) = 2
x
+ lnx 5. f (x) =
plnx� 1
e
x � lnx
6. f (x) = ln
✓
x� 2
x+ 3
◆
7. h (x) =
ln
�
x�5x
�
ln (x� 1)
8. f (x) =
1
e
x � 1
9. f (x) =
pe
x+1 � 1
p
1� ln (x+ 1)
10. g (x) =
ln (x� 1)px
2 � 9
11. f (x) =
px
1� lnx
12. g (x) =
p
e
px
2+5x+6
13. h (x) = (2� e
x
)
�114. h (t) = ln
�
�
9� t
2�
�
15. g (t) = ln
�
3
pt
2 � 3� 2
�
16. g (x) =
e
px
2+x
x
17. f (x) =
1
1� e
x
2+x
18. f (x) = ln
✓
x� 5
x
2 � x
◆
19. f (t) = e
pln(�t)
20. f (t) =
1
1� e
t
2�2t21. g (x) = e
ln(
x
2�x�6)
22. h (x) = ln (3x� 2) 23. f (x) = e
px
2+5x+624. l (t) = e
pt
2+2t�3
25. f (x) =
p2� x
3
lnx� 3
26. f (x) =
ln
�
4� x
2�
pe
x � 1
27. h (t) =
ln (5� e
t
)
4
p�t� 1
28. g (x) =
px
2 + lnx
29. f (t) = ln
�
�
2� t
2�
�
30. f (x) =
e
x � 5
x
ln
2x� 3 lnx+ 2
31. f (x) =
ln
�
8�x
x
�
ln (x� 2)
32. g (x) =
ln (lnx)plnx
33. f (x) =
3
x � ln
�px� 5
�
� 2
p7� 2x
34. h (x) =
p
ln (�x)�pe
�x � 2
ln |x+ 2|� 1
35. f (t) =
p8� t
3
ln (2t� 3)
36. f (x) =
4
plnx� 1
e
x � lnx
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 162
37. f (t) =
p1� e
t
2�t
38. g (x) =
e
px
+ ln
�
x
2 � 1
�
x
4 � 16
39. g (x) =
e
3�x
p
3� ln (x+ 2)
40. h (x) =
pplnx� 1
e
x
2+2x � e
3x+641. f (x) = exp
✓
p2� x
4
px
2 � x
◆
42. h (x) =
e
x+1
p
1� ln (x+ 1)
43. f (x) = ln
�
1�px+ 3
�
44. g (x) = e
�x � ln
�
x
3 � 1
�
45. h (x) =
p
ln (4 + x)� 1
46. g (x) =
s
e
x+1 � 1
1� ln (x+ 1)
47. f (x) =
p4� 2
|3x|�|x+1|
e
x � lnx
� 3
s
e
x
+
plnx
4x� x
3
48. f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
+ ln
�
x
3 � x
�
49. f (x) = ln
��
x
2 � x� 6
� �
x
3 � x
��
50. f (x) = ln
�
x
2 � x� 6
�
� ln
�
x
3 � x
�
51. f (x) = ln
✓
x
2 � x� 6
x
3 � x
◆
52. f (x) =
ln
⇣
x
x�5
⌘
ln (4� 3x)
53. f (x) =
lnx� ln (x� 5)
ln (4� 3x)
54. f (x) =
ln (4� 3x)
ln
�
x�5x
�
55. f (x) =
s
ln
✓
x
x� 2
◆
+ arcsen
✓
x
2
5x+ 6
◆
56. f (x) =
r
1
4
� 2
x
arccos
✓
log
x
x� 1
◆
57. f (x) =
ln
�
1� x
2�
� ln (x+ 5)
px� x
258. f (x) =
p
ln (x
2+ 6x)� ln (3 + 4x)
8� ln
3x
59. g (x) =
p
ln
2x� 4 60. f (x) =
4
p3
x+1 � 81
ln
2x� 3 lnx+ 2
61. f (x) =
p
ln (2x+ 1)� ln (x+ 3)
3
pe
3 ln x � 8
6. Hallar el rango de las siguientes funciones
1. f (x) = ln (2� x)� lnx 2. f (x) = e
2x � 2e
x
+ 6 3. f (x) = 4
x � 2
x+1+ 6
4. f (x) =
e
x
+ 5
e
x
5. f (x) =
3� 4e
x
e
x
+ 7 6. f (x) = ln (3� x)� ln (1 + x)
7. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = a
x, con a > 0 y a 6= 1, es f
0(x) = a
x
ln a.
8. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = log
a
x, con a > 0 y a 6= 1, es f
0(x) =
1
x ln a
.
9. Demuestre que si f (x) = ln |x|, entonces f
0(x) =
1
x
.
10. Demuestre que si f (x) = log
a
|x|, entonces f
0(x) =
1
x ln a
, con a > 0 y a 6= 1.
11. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones
1. f (x) = e
2x�32. f (x) = ln (2x� 3) 3. f (x) = 3
sen x
4. f (x) = e
tan x
ln (senx)
5. f (x) =
sen (lnx)
3
x
2
6. f (x) =
plnx+ ln (
px) 7. f (x) = e
px
+
pe
x
8. f (x) =
3
2x � ln (x+ 4
x
)
x+ 1
9. f (x) =
s
ln (e
x � 2)
sec (e
x � 2)
10. f (x) = ln (4
x � 2
x
+ 1)
11. f (x) = e
ln2
x�ln x+312. f (x) = ln
⇣
x
e
x
+ 4
⌘
13. f (x) = log5 (cscx) ln (e
x � 5
x
)
14. f (x) = log2 (3x � 5)� log3 (5� e
x
) 15. f (x) = sen
✓
x e
x
lnx
◆
� cos
✓
log4 x
x
25
sen(3x)
◆
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 163
12. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones usando derivación logarítmica
1. f (x) = x
3x2. f (x) = x
3
px
3. f (x) = (senx)
px
4. f (x) =
�
ln
�
x
2 � 5
��2x+3
5. f (x) = 5x
3 ln x
6. f (x) =
p
sec (x
x
) 7. f (t) =
5
pte
t
csc t
!ln t
8. f (x) =
x senx
e
x
(x� 2)
9. f (t) =
e
t
pt
5+ 2
(t+ 1)
4(t
2+ 3)
2 10. f (x) =
�
x
3+ 1
�4sen
2x
3
px
11. f (x) =
x
45
psenx lnx
e
x
cos (lnx)
12. f (x) =
3
tan x
x
cos xtanx
x
3pe
2xsen 2x
13. f (x) =
e
px sen x
lnx
x
3(cosx)
x�1cotx
14. f (t) =
3
t
2�7(sen t)
t
2
ln
�
p2t cos t
�
!
t
4
15. f (t) =
(t+ 1)
4(t� 5)
3
(t� 3)
8 +
�
t
2+ 1
�sen t
16. f (x) =
�
x
4 � 2
�tan x
+ (tanx)
x
4�2
17. f (t) =
r
t
2+ 1
t+ 1
+ ln
�
t
4+ 4
�
pt
3 � 1
sen
2t
!
18. f (x) =
�
3x
4 � e
x
�
pln x � (lnx)
e
x
e
x
4
p3� x
2
19. f (x) = ln
e
4xp3� x
4
ln (cos 3x)
!
� (3
sec x)
x
x
20. f (x) = exp
✓
x
5ln (cosx� 1)
x
6sen
px ln (4 cscx)
◆
21. f (x) = x
sen x
22. f (x) = ln
✓
5x
3
x
4+ 6
+ x
◆
23. f (x) = (senx)
ln x
+ 2
3x � x
log3
(4x)
13. Calcular los siguientes límites, si existen
1. lim
x!1
senx
e
2x2. lim
x!1
x
2+ x
e
x
3. lim
h!0
e
x+h � e
x
h
4. lim
u!e
2
ln
2u� 4 lnu+ 4
ln
2u� 4
5. lim
x!1
5
x � 3
2
x
+ 4
6. lim
x!0
senx
e
3x � 1
7. lim
h!0
a
x+h � a
x
h
8. lim
t!1(ln t� ln (3t� 1))
9. lim
x!1(ln (x+ 1)� ln (x� 1)) 10. lim
x!0sen
✓
ln (cos 3x)
e
x � e
�x
◆
11. lim
x!1
x
4cosx+ senx
1 + e
x
12. lim
x!1
�
ln
�
x
2 � 2
�
� ln
�
2x
2+ 5
��
13. lim
x!0
e
2x+ 6e
x � 7
e
x � 1
14. lim
x!1
lnx
1 + ln
2x
15. lim
x!1ln
�
x
2+ e
�x
�
16. lim
x!�1ln
�
x
2+ e
�x
�
17. lim
h!0
ln (x+ h)� lnx
h
18. lim
h!0
log
a
(x+ h)� log
a
x
h
19. lim
x!0+
lnx
1 + ln
2x
20. lim
x!0
3
2x+1 � 3
x+2+ 6
3
x+1 � 3
21. lim
x!1
lnx� ln (3x� 2) + 3e
�x
ln (2x
3+ x� 2)� ln (x� 2x
2+ 3x
3)
22. lim
x!1
x senx� 3 cosx+ 4
3 + 4
x
23. lim
n!1
n
X
k=1
ln
✓
1 +
1
k
◆
24. lim
n!1
n
X
k=1
ln
✓
k
k + 2
◆
25. lim
n!1
n
X
k=1
�
e
�k � e
�k�1�
14. Dado que
lim
x!1
✓
1 +
1
x
◆
x
= e,
calcular, si existen, los siguientes límites
1. lim
x!0(1 + x)
1/x2. lim
x!1
✓
1� 1
x
◆
x
3. lim
x!1
✓
1� 5
x
◆
x
4. lim
x!1
✓
1 +
3
x
◆
x
5. lim
x!1
✓
1 +
2
x
◆
x
6. lim
x!1
⇣
1 +
a
x
⌘
x
7. lim
x!1
✓
3x
3x+ 5
◆
x
8. lim
x!1
✓
ax
2
ax
2+ 5
◆
x
2
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 164
15. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue
lim
n!1
3
ne
2
⇣
e
6/n+ e
12/n+ e
18/n+ e
24/n+ · · ·+ e
2⌘
16. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue
lim
n!1
e
1/n2
n
2
⇣
e
�2/n2
+ 2e
�5/n2
+ 3e
�10/n2
+ · · ·+ ne
�1�1/n2
⌘
17. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue
lim
n!1
✓
ln (n+ 1)� lnn
n+ 1
+
ln (n+ 2)� lnn
n+ 2
+
ln (n+ 3)� lnn
n+ 3
+ · · ·+ ln (2)
2n
◆
18. Demuestre que f (x) =
x
e
x � 1
� ln (1� e
�x
) es una función decreciente para x > 0.
19. Derive implicitamente, dy/dx, las siguientes curvas
1. 3e
x
+ xy = 40 + e
y
2
2. x
2y + y
2= ln (xy) 3.
e
3xy � e
x
2
x+ y
= 1 4. e
x
= y
2 � 2
y
5. x
4 � 6x
ln y
= y
4 � 1 6. e
px
+ e
py
= e
p2
7.
sen
�
xy
2�
2
y
= 1 8. 5e
xy
= 2
y�1
9. 3
x
+ xy � y
x
2
= 20 10. (3
y � 1)
2= 4
(x+2)11. y
3+ e
y � x ln
�
x
2y + x
2y
2�
= y
12. e
x
2+y
2
+ 2y = x
213.
tan (x2
y
)
e
x � e
y
= 2
x
14.
ln (e
x
+ y)
log2 y � 2x
3= e
xy
15.
ln y
lnx
= cos e
xy
16. e
px � e
x ln y
+ ln (3� 2
y
) = 2
x
17.
r
log3 x� log5 y
5
x � 3
y
= y
418.
px ln y �py lnx = e
xy
20. Deduzca la ecuación de la recta tangente a la curva (x� y)
2= e
xy en el punto P (1, 0).
21. Demuestre que las funciones f y g son funciones inversas entre sí,
1. f (x) = ln (x� 1) y g (x) = e
x
+ 1 2. f (x) =
3
x
+ 3
�x
3
x � 3
�x
y g (x) =
1
2
log3
✓
1 + x
x� 1
◆
22. Considere f (x) =
a
x � 1
a
x
+ 1
para a fija, a > 0, a 6= 1. Demuestre que f tiene inversa y encuentre una
fórmula para y = f
�1(x).
23. Para las funciones dadas a continuación
1. f (x) =
e
x � e
�x
2
2. f (x) =
e
x
+ e
�x
2
3. f (x) =
e
x � e
�x
e
x
+ e
�x
4. f (x) =
2
e
x � e
�x
5. f (x) =
2
e
x
+ e
�x
6. f (x) =
e
x
+ e
�x
e
x � e
�x
Hallar
a. Dominio de f b. Puntos de cortes c. Crecimiento
d. Decrecimiento e. Valor(es) extremo(s) f. Concavidad
g. Punto(s) de inflexión h. Asíntota horizontal i. Asíntota vertical
j. Asíntota Oblicua k. Grafica de la función f l. Existencia función inversa
m. Dominio de f
�1 n. Función inversa, si existe o. Grafica de la función f
�1
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 165
24. La ecuación e
x
= 1+ x evidentemente tiene una raíz, x = 0. Demostrar que esta ecuación no puede tenerotra raíz real.
25. Demuestre que e
p
(q � p) < e
q � e
p
< e
q
(q � p), si p < q.
26. Demuestre quex
1 + x
ln (1 + x) x, para x � 0.
27. Demuestre que: 1. ln (x) < x si x > 0 2. e
x
> 1 + x, si x 6= 0 3. e
x
> ex si x > 1.
28. Calcule el c para el cual se tiene que ln
0(c) es igual a la pendiente de la recta que pasa por (1, 0) y (e, 1).
29. Determine monotonía, valores extremos, concavidad y puntos de inflexión de la función
1. h (x) = x� lnx 2. g (x) =
1
x
+ ln
px
30. Graficar las siguientes funciones haciendo el analisis correspondiente
1. f (x) = 2
�x
2. f (x) = x2
�x
3. f (x) = e
1�x
2
4. f (x) = log2
�
x
2+ 1
�
5. f (x) = 3
x
3�16. f (x) = e
(x�2)27. f (x) = exp
✓
x
x� 1
◆
8. f (x) =
lnx
lnx� 2
9. f (x) = exp
✓
x
2
2x+ 1
◆
10. f (t) =
2
ln t� e
t
11. f (x) = x log2
�
x
2+ 1
�
12. f (x) = log5
✓
x
2+ 1
x
2 � 2
◆
13. f (x) = e
1/x14. f (x) = e
1/x2
31. Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad
1.
Z
f (x) dx = e
x
+ C 2.
Z
f (x) dx = ln |x|+ C 3.
Z
f (x) dx = ln |3x|+ C
4.
Z
f (x) dx = 3
x
+ C 5.
Z
f (x) dx = log
a
|x|+ C, con a > 0 y a 6= 1.
6.
Z
f (x) dx = a
x
+ C 7.
Z
f (x) dx = log
a
|ax|+ C, con a > 0 y a 6= 1.
8.
Z
f (t) dt = arcsen
�
2
t
�
+ C 9.
Z
f (x) dx = log
a
|senx|+ C, con a > 0 y a 6= 1.
10.
Z
f (x) dx =
4
x
+ x
4
7
+ C 11.
Z
f (t) dt =
t
2+ 5
t
4
+ C 12.
Z
f (x) dx = ln |secx|+ C
13.
Z
f (x) dx = ln |senx|+ C 14.
Z
f (x) dx = ln
�
�
�
�
x+ 1
x� 2
�
�
�
�
+ C
32. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (0,�2) y cuya pendiente en cadapunto es e
x � 2.
33. Encuentre una función y = f (x), tal que,d
2y
dx
2=
1
4x
3/2� 1
x
2, f tenga un punto estacionario en x = 4
y pase por el punto (1,�1).
34. Calcular las siguientes integrales
1.
Z
e
3dx 2.
Z
e
99 ln x
dx 3.
Z
e
7 ln x�1dx 4.
Z
ln
⇣
7e
t
4
⌘
t
6dt 5.
Z
1 + e
3t
e
t
dt
6.
Z
dx
e
x+17.
Z
5
x ln 5dx 8.
Z
t log3 t
ln
�pt
�
dt 9.
Z
1� e
x
1� e
�x
dx 10.
Z
3
p1 + lnx
x
dx
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 166
11.
Z
dx
3
2�x
12.
Z
tanx dx 13.
Z
6
2t/ ln 6e
�t
dt 14.
Z
cot (ax)
ln (sen (ax))
dx
15.
Z
1� sen t
t+ cos t
dt 16.
Z pe
t
dt 17.
Z
tan
�pt
�
pt
dt 18.
Z
dt
t ln
4(3t)
19.
Z
dxpe
x
20.
Z
sen (4x) dx
cos (4x) + 4
21.
Z
x
n
log
n
x
ln (
px)
dx 22.
Z
e
2x � 3e
x
e
x
dx 23.
Z
5e
2xdxp
1� e
2x
24.
Z
xe
x
2
dx 25.
Z
5
x � 3
x
4
x
dx 26.
Z
a dx
a� x
27.
Z
ae
�mt
dt 28.
Z
lnx dx
x
29.
Z
2t
2+ t
t+ 1
dt 30.
Z
p2� e
t
e
�3tdt 31.
Z
x
3 � 3x
2
4� x
dx 32.
Z
cos
�
ln 4t
2�
t
dt
33.
Z
dx
x ln (x
4)
34.
Z
dx
1� e
�3x35.
Z
ln (sen (2t))
tan (2t)
dt 36.
Z
(senx+ cosx)
2
senx
dx
37.
Z
e
2xdxp
e
x
+ 1
38.
Z
e
�t
7
�t
dt 39.
Z
dx
5
�x � 1
40.
Z
sen (2x) dx
e
� sen2
x
41.
Z
t
2 � 3
1� t
dt
42.
Z
e
pt
pt
dt 43.
Z
e
3x � e
2x � 5e
x
+ 2
e
2x � 3e
x
+ 1
dx 44.
Z
3
plnx
x
dx 45.
Z
(2e
t
+ 1) dt
e
t � 4e
�t
+ 1
46.
Z p7
t
dt 47.
Z
log (
px)� log3 (
4
px)
log5 xdx 48.
Z
psec
2t� 1
3
p
ln (sec t) + 4
dt 49.
Z
dx
x ln
5x
50.
Z
e
t
dt
2� e
t
51.
Z
e
2x+2
e
x
dx 52.
Z
x�p
arctan (2x)
1 + 4x
2dx 53.
Z
ln (ax)� lnx
cscx
dx
54.
Z
log3 x
x
dx 55.
Z
dx
x lnx ln (lnx)
56.
Z
dx
x lnx ln (lnx) ln (ln (lnx))
57.
Z
cot t dt
58.
Z
e
x
dx
1 + e
�x
59.
Z
e
arctan x
+ x ln
�
x
2+ 1
�
1 + x
2dx 60.
Z
sen (cos (e
x
)) sen (e
x
)
e
�x
sec
2(cos (e
x
))
dx
61.
Z
x
7dx
x
4 � 1
62.
Z
e
x
5
e
x
dx 63.
Z
x
5dx
x
2 � 3
64.
Z
sen
3⇣
2 + ln (1� t)
2⌘
1� t
dt
65.
Z
dx
x log5 x66.
Z
x dx
x
2+ 1
67.
Z
x
4log4 x� lnx
ln (
4
px)
dx 68.
Z
3
px dx
2� 3
px
69.
Z
cos
3x dx
3 senx� sen
3x+ 5
70.
Z
e
2xdx
5 + e
x
71.
Z
dx
x log4 x log4 (log4 x)72.
Z
3
pe
t
dt
73.
Z
px dxpx+ 3
74.
Z
x
3dx
a
2 � x
275.
Z
secx dx 76.
Z
cscx dx 77.
Z
t 5
t
2
dt
78.
Z
7
x � 3
�x
2
x
dx 79.
Z
7
x
dx
7
x
+ 5
80.
Z
dx
7
�x
+ 5
81.
Z
s
ln
�
x+
px
2+ 1
�
1 + x
2dx
82.
Z
xe
�x
2
dx 83.
Z
e
2x � e
x
e
x�5dx 84.
Z
lnx+ ln 3
x ln (3x)
dx 85.
Z
sen (2x) + cosx
sen
2x+ senx� 2
dx
86.
Z
sen (2x) dx
sen
2x� 2 senx+ 2
87.
Z
e
sen x cos xcos (2x) dx 88.
Z
a
sen x cos xcos (2x) dx
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 167
89.
Z
dx
q
(1 + x
2) ln
�
x+
p1 + x
2�
90.
Z ln 2
0
pe
x � 1 dx 91.
Z ln 5
0
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx
92.
Z
dxpx+
4
px
93.
Z 1
0
t
22
�t
3
dt 94.
Z
e
4
e
dx
x
plnx
95.
Z 81
16
dt
pt� 4
pt
3
96.
Z
ln (3x)
x ln (
3
px)
dx 97.
Z
x dx
2x
2 � 2x+ 1
98.
Z
(x� 2) dx
x
2 � 2x+ 2
99.
Z
e
x
dxp4� e
2x
100.
Z
e
x
pe
x � 1
e
x
+ 3
dx 101.
Z
3x� 1
x
2 � 4x+ 5
dx 102.
Z
(2e
t
+ 1) dt
e
t � 4e
�t
+ 1
103.
Z
x
3dx
x
4 � 4x
2+ 5
104.
Z
�
x
3+ x
�
dx
x
4 � 4x
2+ 5
105.
Z
dxpe
x � 1
106.
Z
dxpa
x � 1
107.
Z
e
2xdx
e
2x � e
x
+ 1
108.
Z
e
x
(e
x � 2)
e
2x � e
x
+ 1
dx 109.
Z 1
0
�
�
�
�
2x+ 3
(x+ 2) (x+ 1)
�
�
�
�
dx
35. Calcular la derivada de las siguientes funciones
1. f (x) =
Z 8
x
ln
�
e
t
+ 1
�
dt 2. f (x) =
Z
x
1
e
2t � 5
ln t
dt 3. f (x) =
Z 8
ln x
e
2t
t
2+ ln t
dt
4. f (x) =
Z 2x
x
2
log2 tpt+ 6
dt 5. f (x) =
Z
a
x
sen(ln x)
r
t
t
2 � 1
dt 6. f (x) =
Z sen x
e
x
5
u
+ u
2
arctanu
du
36. Encuentre el área de la región acotada por y =
e
2x+ e
�2x
2
, y = 0, x = � ln 5 y x = ln 5.
37. Encuentre el área de la región acotada por y =
e
2x � e
�2x
e
2x+ e
�2x, y = 0, x = �8 y x = 8.
38. Encuentre el área de la región acotada por y =
e
2x � e
�2x
2
, y = 0, y x = ln 2.
39. Demuestre las siguientes identidades1. senh (�x) = � senhx 2. cosh (�x) = coshx 3. coshx+ senhx = e
x
4. coshx� senhx = e
�x
5. senh (x+ y) = senhx cosh y + coshx senh y
6. cosh (x+ y) = coshx cosh y + senhx senh y 7. coth
2x� 1 = csch
2x
8. tanh (x+ y) =
tanhx+ tanh y
1 + tanhx tanh y
9. senh (2x) = 2 senhx coshx
10. cosh (2x) = cosh
2x+ senh
2x 11. senh
⇣
x
2
⌘
= ±r
coshx� 1
2
12. cosh
⇣
x
2
⌘
=
r
coshx+ 1
2
13. tanh (lnx) =
x
2 � 1
x
2+ 1
14.
1 + tanhx
1� tanhx
= e
2x
15. senh (↵) senh (�) =
cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)
2
16. senh (↵) cosh (�) =
senh (↵+ �) + senh (↵� �)
2
17. cosh (↵) cosh (�) =
cosh (↵+ �) + cosh (↵� �)
2
18. (coshx+ senhx)
n
= cosh (nx) + senh (nx) , donde n es cualquier número real.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 168
40. Si senhx =
3
4
, encuentre los valores de las otras funciones hiperbólicas en x.
41. Si tanhx =
4
5
, encuentre los valores de las otras funciones hiperbólicas en x.
42. Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas para encontrar los siguientes límites
1. lim
x!1tanhx 2. lim
x!�1tanhx 3. lim
x!1senhx 4. lim
x!�1senhx 5. lim
x!1sechx
6. lim
x!1cothx 7. lim
x!0+cothx 8. lim
x!0�cothx 9. lim
x!�1cschx
43. Demostrar que
1.
d
dx
senhx = coshx 2.
d
dx
coshx = senhx 3.
d
dx
tanhx = sech
2x
4.
d
dx
cschx = � cschx cothx 5.
d
dx
sechx = � sechx tanhx 6.
d
dx
cothx = � csch
2x
44. Demostrar que la función seno hiperbólico es continua y creciente en todo su dominio.
45. Demostrar que la función tangente hiperbólico es continua y creciente en todo su dominio.
46. Demostrar que la función coseno hiperbólico es continua en todo su dominio, pero no es monótona en todosu dominio. Encontrar los intervalos en los cuales es creciente y los intervalos en los cuales es decreciente.
47. Hallar las funciones inversas, si existen, de
1. f (x) = senhx 2. f (x) = coshx 3. f (x) = tanhx 4. f (x) = cschx
5. f (x) = sechx 6. f (x) = cothx
48. Demostrar que
1.
d
dx
senh
�1x =
1p1 + x
22.
d
dx
cosh
�1x =
1px
2 � 1
3.
d
dx
tanh
�1x =
1
1� x
2
4.
d
dx
csch
�1x = � 1
|x|px
2+ 1
5.
d
dx
sech
�1x = � 1
x
p1� x
26.
d
dx
coth
�1x =
1
1� x
2
49. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones
1. f (x) = e
x
senhx 2. f (x) = tanh (3x) 3. f (x) = cosh
4x
4. f (x) = cosh
�
x
4�
5. f (x) = e
coth x
6. f (x) = x
2sechx
7. f (t) = ln (senh t) 8. f (t) = tanh (e
t
) 9. f (x) = cos (senhx)
10. f (x) = x
cosh x
11. f (x) = cosh
�1�
x
2�
12. f (x) = e
tanh x
cosh (coshx)
13. f (x) = e
x
coshx 14. f (x) = x ln (senh 4x) 15. f (x) = x tanh
�1x+ ln
p1� x
2
16. f (x) = tanh
�1⇣
x
a
⌘
17. f (x) = csch
�1�
x
4�
18. f (x) = x senh
�1⇣
x
3
⌘
�p9 + x
2
19. f (x) = coth
✓
1
x
◆
20. f (x) = coth
�1�
px
2+ 1
�
21. f (x) = tanh
✓
4x+ 1
5
◆
22. f (x) = ln
�
senhx
3�
23. f (x) =
px senh
�1(
px) 24. f (x) = tanh
�1�
senhx
5�
25. f (t) = ln (tanh t) 26. f (x) = sech
�1�
p1� x
2�
27. f (x) = senh
�1�
tanhx
2�
28. f (x) = x
senh(
px
)
29. f (x) = (coshx)
tanh x
30. f (x) = ln (coth (3x)� csch (3x))
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 169
50. Determine en qué punto de la curva y = coshx la tangente tiene pendiente 1.
51. Si x = ln (sec ✓ + tan ✓), demuestre que sec ✓ = coshx.
52. Demostrar que una catenaria es cóncava hacia arriba en cada punto.
53. Calcular las siguientes integrales
1.
Z
sech
2t dt 2.
Z
senh (2x) dx 3.
Z
tanhx dx 4.
Z
coth t dt 5.
Z
senhx dx
1 + coshx
6.
Z
tanh
2(3x) dx 7.
Z
t senh
2�
t
2�
dt 8.
Z
x senh (lnx) dx 9.
Z
senh (
px)p
x
dx
10.
Z
senh
4x coshx dx 11.
Z
sech
4(3x) dx 12.
Z
cosh
4(7x) dx 13.
Z 2
0
senh
3x dx
14.
Z px cosh (2 lnx) dx 15.
Z
tanhx ln (coshx) dx 16.
Z
3
p
cosh (lnx) senh (lnx)
x
dx
17.
Z
tanh (lnx) dx 18.
Z
csch
2x
tanhx
dx 19.
Z 1
�1
cosh
2x dx 20.
Z 1
�1
2x+ senhx
1 + x
2dx
21.
Z
senh
5(
px)p
x
dx
54. Resolver las siguientes integrales usando el ejercicio 48
1.
Z
dxp1 + x
22.
Z
dxpx
2 � 1
3.
Z
dx
1� x
24.
Z
dx
|x|px
2+ 1
5.
Z
dx
x
p1� x
2
6.
Z
dx
4� x
27.
Z
dxp4 + x
28.
Z 3
2
dxpx
2 � 1
9.
Z
dx
x
p5� 2x
210.
Z
1
2
0
dx
1� x
2
11.
Z
dxp3x
2 � 1
12.
Z
dx
x
p6� x
13.
Z
dx
x
px+ 7
14.
Z
cosx dxp9 + 2 sen
2x
55. Calcular lim
x!1
senhx
e
x
56. Encontrar el área de la región limitada por la catenaria y = a cosh
⇣
x
a
⌘
, el eje y, el eje x y la recta x = x1,donde x1 > 0.
57. Calcular el área bajo la gráfica de y = coshx en el intervalo [�1, 1].
58. Obtenga el área de la región comprendida entre la gráfica de y = senhx y el eje x en [�1, 1].
59. Determine el área de la región limitada por las gráficas de y = coshx, y = x, x = �1 y x = 3.
60. Considere la función f (x) = lnx, para 0 < x < e. Definimos la función impar y periódica, de período 2e.
(a) Construya su gráfico.
(b) Calcular f
✓
�1 + 4e
2
e
◆
.
61. Representar las funciones dadas como composición de funciones básicas e indique en que orden se deberealizar la composición
1. f (x) = 1 + e
(x�1)22. f (x) =
1p4
x�43. f (x) = ln
�
sen
2(e
x
)
�
4. f (x) = e
2 cos(ln x)5. f (x) = senh
⇣
cos
⇣
4
x
2
⌘⌘
6. f (x) = log3
✓
1� 5
ln (5
3x)
◆
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 170
62. Resolver las siguientes ecuaciones
1. coth
2x+ csch
2x = 2 2. sech
2x� tanh
2x = 0 3. cothx = 3
63. Hallar el dominio de la siguiente función
f (x) = log7
✓
1
2
� sech
�13x
◆
.
64. Graficar la función f (x) = 3� |csch (lnx) + 2x|.
Respuestas: Ejercicios
1.a. (0,1) ; 1.b. 0; 1.c. Monótona creciente; 1.d. No tiene valores extremos; 1.e. Concava hacia abajo;
1.f. ; 3.1. ln 2 � 1; 3.2. 0 y 1; 3.3. 1 � e y e + 1; 3.4. ?; 3.5. log2
5 � 1;
3.6. � 2 y 2; 3.7. 0 y 1; 3.8.p2; 3.9. 3; 3.10. e
�2
y e
2; 3.11. e
�1/2; 3.12. 2; 3.13. 2;
3.14. ± 3; 3.15. ± 4; 3.16. 5; 3.17. 0 y ± 2; 3.18. e
2; 3.19. 2; 3.20. �p2 � 1; 3.21. � 3;
3.22. e
�8
y e
8; 3.23. e
�3/4; 3.24. e y e
2; 3.25.log
2
5�1
3
; 3.26. ± 2; 3.27. ± 3; 3.28. [1, 3] ;
3.29. log4
⇣
1 +p2⌘
; 3.30. ln 15
3 ln 5�2 ln 3
; 3.31. ?; 3.32. 7; 3.33. 1
2
y 3; 3.34. 2 ln 3�ln 2
ln 24
; 4.1. [3,1) ;
4.2. (�2, 3) ; 4.3. (0, 1) ; 4.4. [e � 3,1) ; 4.5. [0, 1] ; 4.6.�
e
�2
,1�
; 4.7.�
�1,� 3
2
�
; 4.8. (0,1) ;
4.9. (�1,�2) [ (2,1) ; 4.10. [0, 1] ; 4.11. (�1,�3) [ (1,1) ; 4.12.⇣p
14, 5i
; 4.13. (�1, 0) [ (1,1) ;
4.14.�
e
2
,1�
; 4.15. (�1, 4) ; 4.16. [1, 2] [ (3,1) ; 4.17. (�1,�3) [ (3,1) ; 4.18. (�1, 0) ; 4.19. (0, 2) ;
4.20. [1,1) ; 4.21. ?; 4.22. (�1, 1) [ (2,1) ; 4.23.⇣p
41+5
2
,1⌘
; 4.24.⇣
�p2,�1
⌘
[⇣
1,p2⌘
;
4.25. [�2,1) ; 4.26. (1,1) ; 4.27.h
�p2 � 1,�
p2⌘
; 4.28.⇣
�1,�p10 � 2
i
[hp
6,1⌘
[ {0} ;
4.29. [�2, 0] [ [2,1) ; 4.30.⇣p
2, 3i
; 4.31. (�1, 1) [ (3,1) ; 4.32.⇣p
2,1⌘
; 4.33.⇥
�9, 1
3
⇤
; 4.34. (2,1) ;
4.35.⇣
�1,
2 ln 3�ln 2
ln 24
⌘
; 5.1. (1,1) ; 5.2. [�1, 0] ; 5.3. [e � 3,1) ; 5.4. (0,1) ; 5.5. [e,1) ;
5.6. (�1,�3) [ (2,1) ; 5.7. (5,1) ; 5.8. R � {0} ; 5.9. (�1, e � 1) ; 5.10. (3,1) ; 5.11. [0,1) � {e} ;
5.12. (�1,�3] [ [�2,1) ; 5.13. R � {ln 2} ; 5.14. R � {±3} ; 5.15.⇣
�1,�p11⌘
[⇣p
11,1⌘
;
5.16. (�1,�1] [ (0,1) ; 5.17. R � {�1, 0} ; 5.18. (0, 1) [ (5,1) ; 5.19. (�1,�1] ; 5.20. R � {0, 2} ;
5.21. (�1,�2) [ (3,1) ; 5.22.�
2
3
,1�
; 5.23. (�1,�3] [ [�2,1) ; 5.24. (�1,�3] [ [1,1) ; 5.25.⇣
0, 3
p2i
;
5.26. (0, 2) ; 5.27. (�1, 0] � {�1} ; 5.28. (0,1) ��
e
�2
; 5.29. R �n
±p2o
; 5.30. (0,1) ��
e, e
2
;
5.31. (2, 8) � {3} ; 5.32. (1,1) ; 5.33. ?; 5.34. (�1,�1] � {�e � 2,�2} ; 5.35.�
3
2
, 2�
; 5.36. [e,1) ;
5.37. [0, 1] ; 5.38. (1,1) � {2} ; 5.39.�
�2, e3 � 2�
; 5.40. [1,1) � {3} ; 5.41. (�1, 0) [ (1, 2] ;
5.42. (�1, e � 1) ; 5.43. [�3,�2) ; 5.44. (1,1) ; 5.45. [e � 4,1) ; 5.46. (�1, e � 1) ; 5.47.⇥
1, 3
2
⇤
;
5.48. (3,1) ; 5.49. (�2,�1) [ (0, 1) [ (3,1) ; 5.50. (3,1) ; 5.51. (�2,�1) [ (0, 1) [ (3,1) ; 5.52. (�1, 0) ;
5.53. ?; 5.54. (�1, 0) ; 5.55. (2, 6] ; 5.56. (�1,�2] ; 5.57. (0, 1) ; 5.58. (�1,�6) ;
5.59.�
0, e�2
�
[�
e
2
,1�
; 5.60. [3,1) ��
e
2
; 5.61. (2,1) ; 6.1. R; 6.2. [5,1) ; 6.3. [5,1) ;
6.4. (1,1) ; 6.5. (3,1) ; 6.6. R; 11.1. 2e2x�3; 11.2. 2
2x�3
; 11.3. 3sen x ln 3 cos x;
11.4. (ln (sen x)) etan x sec2 x + e
tan x cot x; 11.5.cos(ln x)�2x
2
sen(ln x) ln 3
3
x
2
x
; 11.6. 1
2x
pln x
+ 1
2x
; 11.7. 1
2
pe
x + e
px
2
px
;
11.8. 1
x+1
⇣
(ln 2 ln 3) 2x 32x
� 1
x+4
x
((ln 4) 4x + 1)⌘
� 1
(x+1)
2
⇣
32x
� ln (x + 4x)⌘
;
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 171
11.9. 1
2
pln(e
x�2) cos(e
x�2)
⇣
�e
x ln (ex � 2) sen (ex � 2) + e
x
e
x�2
cos (ex � 2)⌘
; 11.10. 1
4
x�2
x
+1
(4x ln 4 � 2x ln 2) ;
11.11. e
ln
2
x�ln x+3
�
2
x
ln x � 1
x
�
; 11.12. 1�x
x+4e
x
; 11.13. log5
(csc x) e
x�5
x
ln 5
e
x�5
x
� cot x
ln 5
ln (ex � 5x) ;
11.14. ln 3
ln 2
3
x
3
x�5
+ e
x
(ln 3)(5�e
x
)
; 11.15. e
x
ln
2
x
(ln x + x ln x � 1) cos⇣
x e
x
ln x
⌘
+ sen⇣
log
4
x
x
2
5
sen(3x)
⌘
1
ln 4
�(2+3x cos(3x)) log
4
x
x
3
5
sen(3x)
;
12.1. f
0 (x) = 3x3x (ln x + 1) ; 12.2. f
0 (x) = 1
3
x
3
px�2/3 (lnx + 3) ; 12.3. f
0 (x) = (sen x)p
x
⇣
ln(sen x)
2
px
+px cot x
⌘
;
12.4. f
0 (x) =�
ln�
x
2 � 5��
2x+3
✓
2 ln�
ln�
x
2 � 5��
+ 2x
ln(x2�5)2x+3
x
2�5
◆
; 12.5. f
0 (x) = 30x3 ln x�1 ln x;
12.6. f
0 (x) = 1
2
x
x
p
sec (xx) tan (xx) (ln x + 1) ; 12.7. f
0 (t) =
✓
5
pte
t
csc t
◆
ln t ⇣
2
5t
ln t + 2
5
+ln(sen t)
t
+ ln t cot t⌘
;
12.8. f
0 (x) = x sen x
e
x
(x�2)
⇣
1
x
+ cot x � 1 � 1
x�2
⌘
; 12.9. f
0 (t) =e
t
pt
5
+2
(t+1)
4(t2+3)2
⇣
1 + 1
2
5t
4
t
5
+2
� 4
t+1
� 4t
t
2
+3
⌘
;
12.10. f
0 (x) =
⇣
x
3
+1
⌘
4
sen
2
x
3
px
⇣
12x
2
x
3
+1
+ 2 cot x � 1
3x
⌘
; 12.11. f
0 (x) = x
4
5
psen x ln x
e
x
cos(ln x)
⇣
4
x
+ 1
5
cot x + 1
x ln x
� 1 +tan(ln x)
x
⌘
;
12.12. f
0 (x) = 3
tan x
x
cos x
tan x
x
3
pe
2x
sen 2x
⇣
ln 3 · sec2 x � sen x ln x + cos x
x
+ sec
2
x
tan x
� 3
x
� 1 � cot 2x⌘
;
12.13. f
0 (x) = e
px sen x
ln x
x
3
(cos x)
x�1
cot x
⇣
sen x
2
px
+px cos x + 1
x ln x
� 3
x
� ln (cos x) + x tan x + cot x⌘
;
12.14. f
0 (t) =
✓
3
t
2�7
(sen t)
t
2
ln(p
2t cos t)
◆
t
4
✓
4t3 ln
✓
3
t
2�7
(sen t)
t
2
ln(p
2t cos t)
◆
+ t
4
✓
(2 ln 3) t + 2t ln (sen t) + t
2 cot t � 1
1
2
ln(2t)+ln cos t
�
1
t
� tan t
�
◆◆
;
12.15. f
0 (t) =(t+1)
4
(t�5)
3
(t�3)
8
⇣
4
t+1
+ 3
t�5
� 8
t�3
⌘
+�
t
2 + 1�
sen t
⇣
cos t ln�
t
2 + 1�
+ 2t sen t
t
2
+1
⌘
;
12.16. f
0 (x) =�
x
4 � 2�
tan x
⇣
sec2 x ln�
x
4 � 2�
+ 4x
3
tan x
x
4�2
⌘
+ (tan x)x4�2
⇣
4x3 ln (tan x) +�
x
4 � 2�
sec
2
x
tan x
⌘
;
12.17. f
0 (t) =q
t
2
+1
t+1
⇣
t
t
2
+1
� 1
2
1
t+1
⌘
+ 4t
3
t
4
+4
+ 1
2
3t
2
t
3�1
� 2 cot t;
12.18. f
0 (x) =�
3x4 � e
x
�
pln x
ln
⇣
3x
4�e
x
⌘
2x
pln x
+pln x
12x
3�e
x
3x
4�e
x
!
� (ln x)
e
x
e
x
4
p3�x
2
⇣
e
x ln (ln x) + e
x
x ln x
� 1 + 1
2
x
3�x
2
⌘
;
12.19. f
0 (x) = 4 � 2x
3
3�x
4
+ 3 tan 3x
ln(cos 3x)
� (3sec x)xx
ln (3sec x)xx
(ln x + 1 + tan x) ;
12.20. f
0 (x) = exp⇣
ln(cos x�1)
x sen
px ln(4 csc x)
⌘
ln(cos x�1)
x sen
px ln(4 csc x)
⇣
sen x
(cos x�1) ln(cos x�1)
� 1
x
� cot
px
2
px
+ cot x
ln(4 csc x)
⌘
;
12.21. x
sen x
⇥
cos x ln x + sen x
x
⇤
; 12.22. f
0 (x) = 1
x
+ 10x+4x
3
5x
2
+x
4
+6
� 4x
3
x
4
+6
;
12.23. f
0 (x) = (sen x)ln x
ln (sen x)
x
+ ln x cot x
�
+ 23x
3x ln 2 ln 3 � x
log
3
(4x)
ln x
x ln 3+
log3
(4x)
x
�
; 13.1. 0; 13.2. 0;
13.3. e
x; 13.4. 0; 13.5. 0; 13.6. 1
3
; 13.7. a
x ln a; 13.8. � ln 3; 13.9. 0; 13.10. 0; 13.11. 0;
13.12. � ln 2; 13.13. 8; 13.14. 0; 13.15. 1; 13.16. 1; 13.17. 1
x
; 13.18. 1
x ln a
; 13.19. 0;
13.20. � 1; 13.21. ln 3
ln 3�ln 2
; 13.22. 0; 13.23. 1; 13.24. � 1; 13.25. e
�1; 14.1. e; 14.2. e
�1;
14.3. e
�5; 14.4. e
3; 14.5. e
2; 14.6. e
a; 14.7. e
�5/3; 14.8. e
�5/a; 15.R
2
�1
e
2x
dx = 1
2
e
4 � 1
2
e
�2;
16.R
1
0
xe
�x
2
dx = 1
2
� 1
2
e
�1; 17.R
2
1
ln x
x
dx = 1
2
ln2 2; 19.1. y
0 = 3e
x
+y
2ye
y
2�x
; 19.2. y
0 =y
⇣
1�2x
2
y
⌘
x(x2
y+2y
2�1);
19.3. y
0 = 1�3ye
3xy
+2xe
x
2
3xe
3xy�1
; 19.4. y
0 = e
x
2y�2
y
ln 2
; 19.5. y
0 = 4x
3
y ln
2
y�6y ln y
4y
4
ln
2
y�6x
; 19.6. y
0 =p
ypx
e
px�p
y ;
19.7. y
0 =y
2
cos
⇣
xy
2
⌘
2
y
ln 2�2xy cos(xy
2); 19.8. y
0 = 5ye
xy
2
y�1
ln 2�5xe
xy
; 19.9. y
0 = 2xy
x
2
ln y�3
x
ln 3�y
x
⇣
1�xy
x
2�1
⌘ ; 19.10. y
0 = 4
(x+2)
ln 4
2(3
y�1)3
y
ln 3
;
19.11. y
0 =y(y+1)
⇣
2 ln
⇣
x
2
y+x
2
y
2
⌘
+2
⌘
y(y+1)(3y2�e
y�1)�x(1+2y)
; 19.12. y
0 = �x; 19.13. y
0 =2
x
e
x
(1+ln 2)�2
x
e
y
ln 2�2
y
sec
2(x2
y)x2
y
sec
2
(x2
y
) ln 2+2
x
e
y
;
19.14. y
0 =
✓
ye
xy � 1
log
2
y�2x
3
e
x
e
x
+y
� 6x
2
ln(ex+y)
(log2
y�2x
3)2
◆✓
1
log
2
y�2x
3
1
e
x
+y
� ln(ex+y)
(log2
y�2x
3)21
y ln 2
� xe
xy
◆�1
;
19.15. y
0 = �⇣
y sen e
xy + ln y
x ln
2
x
⌘⇣
1
y ln x
+ x sen e
xy
⌘�1
; 19.16. y
0 =
✓
2x ln 2 � e
px
2
px
+ e
x ln y ln y
◆
⇣
2
y
ln 2
3�2
y
� xe
x ln y
y
⌘�1
;
19.17. y
0 =⇣
1
x(5
x�3
y
) ln 3
� 5
x
(log
3
x�log
5
y) ln 5
(5
x�3
y
)
2
⌘⇣
8y7 + 1
y(5
x�3
y
) ln 5
� 3
y
(log
3
x�log
5
y) ln y
(5
x�3
y
)
2
⌘�1
;
19.18. y
0 =⇣
ye
xy � ln y
2
px
+p
y
x
⌘⇣px
y
� ln x
2
py
� xe
xy
⌘�1
; 20. 3y � 2x + 2 = 0; 22. f
�1 (x) = loga
⇣
x+1
1�x
⌘
;
23.1.a. R; 23.1.b. (0, 0) ; 23.1.c. R; 23.1.d. ?; 23.1.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;
23.1.f. Concava hacia arriba: (0,1) , Concava hacia abajo: (�1, 0) ; 23.1.g. (0, 0) ; 23.1.h. No tiene;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 172
23.1.i. No tiene; 23.1.j. No tiene; 23.1.k. ; 23.1.l. Si tiene; 23.1.m. R;
23.1.n. f
�1 (x) = ln⇣
x +px
2 + 1⌘
; 23.1.o. ; 23.2.a. R; 23.2.b. (0, 1) ;
23.2.c. (0,1) ; 23.2.d. (�1, 0) ; 23.2.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: (0, 1) ;
23.2.f. Concava hacia arriba: R, Concava hacia abajo: ?; 23.2.g. No tiene; 23.2.h. No tiene; 23.2.i. No tiene;
23.2.j. No tiene; 23.2.k. ; 23.2.l. Si tiene; 23.2.m. [1,1) ;
23.2.n. f
�1 (x) = ln⇣
x +px
2 � 1⌘
, con x � 1; 23.2.o. ; 23.3.a. R;
23.3.b. (0, 0) ; 23.3.c. R; 23.3.d. ?; 23.3.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;
23.3.f. Concavidad hacia arriba: (�1, 0) , Concavidad hacia abajo: (0,1) ; 23.3.g. (0, 0) ;
23.3.h. y = �1 si x ! �1, y = 1 si x ! 1; 23.3.i. No tiene; 23.3.j. No tiene;
23.3.k. ; 23.3.l. Si tiene; 23.3.m. (�1, 1) ;
23.3.n. f
�1 (x) = 1
2
ln 1+x
1�x
, con � 1 < x < 1; 23.3.o. ; 23.4.a. R � {0} ;
23.4.b. No tiene; 23.4.c. ?; 23.4.d. R � {0} ; 23.4.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;
23.4.f. Concavidad hacia arriba: (0,1) , Concavidad hacia abajo: (�1, 0) ; 23.4.g. No tiene; 23.4.h. y = 0;
23.4.i. x = 0; 23.4.j. No tiene; 23.4.k. ; 23.4.l. Si tiene; 23.4.m. R � {0} ;
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 173
23.4.n. f
�1 (x) = ln
✓
1
x
+
p1+x
2
|x|
◆
, con x 6= 0; 23.4.o. ; 23.5.a. R;
23.5.b. (0, 1) ; 23.5.c. (�1, 0) ; 23.5.d. (0,1) ; 23.5.e. Valor máximo: (0, 1) , Valor mínimo: No tiene;
23.5.f. Concavidad hacia arriba:
⇣
�1, ln⇣p
2 � 1⌘⌘
[⇣
ln⇣p
2 + 1⌘
,1⌘
, Concavidad hacia abajo:
⇣
ln⇣p
2 � 1⌘
, ln⇣p
2 + 1⌘⌘
;
23.5.g.⇣
ln⇣p
2 � 1⌘
,
p2
2
⌘
,
⇣
ln⇣p
2 + 1⌘
,
p2
2
⌘
; 23.5.h. y = 0; 23.5.i. No tiene; 23.5.j. No tiene;
23.5.k. ; 23.5.l. Si tiene; 23.5.m. (0, 1] ;
23.5.n. f
�1 (x) = ln
✓
1+
p1�x
2
x
◆
, con 0 < x 1; 23.5.o. ; 23.6.a. R � {0} ;
23.6.b. No tiene; 23.6.c. ?; 23.6.d. R � {0} ; 23.6.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;
23.6.f. Concavidad hacia arriba: (0,1) , Concavidad hacia abajo: (�1, 0) ; 23.6.g. No tiene;
23.6.h. y = �1 si x ! �1, y = 1 si x ! 1; 23.6.i. x = 0; 23.6.j. No tiene;
23.6.k. ; 23.6.l. Si tiene; 23.6.m. (�1,�1) [ (1,1) ;
23.6.n. f
�1 (x) = 1
2
ln 1+x
x�1
, con |x| > 1; 23.6.o. ; 28. c = e � 1;
29.1. Crecimiento: (1,1) , Decrecimiento: (0, 1) , Valor máximo: (1, 1) , Valor mínimo: No tiene, Concava hacia arriba: (0,1) ,
Concava hacia abajo: Nunca, Punto de inflexión: No tiene; 29.2. Crecimiento: (2,1) , Decrecimiento: (0, 2) ,
Valor máximo: No tiene, Valor mínimo:
⇣
2, 1+ln 2
2
⌘
, Concava hacia arriba: (0, 4) , Concava hacia abajo: (4,1) ,
Punto de inflexión:
�
4, 1
4
+ ln 2�
; 30.1. 30.2.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 174
30.3. 30.4. 30.5.
30.6. 30.7. 30.8.
30.9. 30.10. 30.11.
30.12. 30.13. 30.14.
31.1. f (x) = e
x; 31.2. f (x) = 1
x
; 31.3. f (x) = 1
x
; 31.4. f (x) = 3x ln 3; 31.5. f (x) = 1
x ln a
;
31.6. f (x) = a
x ln a; 31.7. f (x) = 1
x ln a
; 31.8. f (t) = 2
t
ln 2p1�2
2t
; 31.9. f (x) = cot x
ln a
; 31.10. f (x) = 4x
3
+4
x
ln 4
7
;
31.11. f (t) = 1
2
t + 1
4
5t ln 5; 31.12. f (x) = tan x; 31.13. f (x) = cot x; 31.14. f (x) = �3
(x+1)(x�2)
;
32. y = e
x � 2x � 3; 33. y = ln |x| �px; 34.1. xe
3 + C; 34.2. 1
100
x
100 + C; 34.3. 1
8
x
8
e
�1 + C;
34.4. � ln 7
5t
5
� 1
t
+ C; 34.5. 1
2
e
2t � e
�t + C; 34.6. e
�x�1 + C; 34.7. 1
ln
2
5
5x ln 5 + C; 34.8. t
2
ln 3
+ C;
34.9. � e
x + C; 34.10. 3
4
(ln x + 1)2/3 + C; 34.11. 1
9 ln 3
3x + C; 34.12. ln |sec x| + C; 34.13. e
t + C;
34.14. 1
a
ln |ln (sen (ax))| + C; 34.15. ln |t + cos t| + C; 34.16. 2e1
2
t + C; 34.17. 2 ln�
�tanpt
�
�+ C;
34.18. � 1
3 ln
3
(3t)
+ C; 34.19. � 2e�x/2 + C; 34.20. � 1
4
ln |4 + cos 4x| + C; 34.21. 2x
n+1
(n+1) lnn
+ C;
34.22. e
x � 3x + C; 34.23. � 5p1 � e
2x + C; 34.24. 1
2
e
x
2
+ C; 34.25. 1
ln 4�ln 3
�
3
4
�
x � 1
ln 4�ln 5
�
5
4
�
x + C;
34.26. � a ln |x � a| + C; 34.27. � a
m
e
�mt + C; 34.28. 1
2
ln2
x + C; 34.29. t
2 � t + ln |t + 1| + C;
34.30. 8
5
�
2 � e
t
�
5/2 � 8
3
�
2 � e
t
�
3/2 � 2
7
�
2 � e
t
�
7/2
+ C; 34.31. � 4x � 1
2
x
2 � 1
3
x
3 � 16 ln |x � 4| + C;
34.32. 1
2
sen�
ln 4t2�
+ C; 34.33. 1
4
ln |ln x| + C; 34.34. x + 1
3
ln�
�
e
�3x � 1�
�+ C; 34.35. 1
2
ln2 (sen 2t) + C;
34.36. ln |csc x � cot x| + 2 sen x + C; 34.37. 2
3
(ex + 1)3
2 � 2pe
x + 1 + C; 34.38. 7
t
e
t
(ln 7�1)
+ C;
34.39. � x � 1
ln 5
ln�
�
1
5
x
� 1�
�+ C; 34.40. e
sen
2
x + C; 34.41. 2 ln |t � 1| � t
2
2
� t + C; 34.42. 2ep
t + C;
34.43. e
x + 2x + C; 34.44. 3
4
ln4/3
x + C; 34.45. ln�
�
e
t + e
2t � 4�
�+ C; 34.46. 2
ln 7
71
2
t + C;
34.47. ln 5
ln 3 ln 10
�
ln 3 � 1
2
ln 10�
5x
2
+ C; 34.48. 3
2
(ln (sec t) + 4)2
3 + C; 34.49. �1
4 ln
4
x
+ C; 34.50. � ln�
�
e
t � 2�
�+ C;
34.51. e
x+2 + C; 34.52. 1
8
ln�
4x2 + 1�
� 1
3
(arctan 2x)3
2 + C; 34.53. � ln a cos x + C; 34.54. 1
2
ln
2
x
ln 3
+ C;
34.55. ln |ln (ln x)| + C; 34.56. ln |ln (ln (ln x))| + C; 34.57. ln |sen t| + C; 34.58. e
x � ln (ex + 1) + C;
34.59. e
arctan x + 1
4
ln2
�
x
2 + 1�
+ C; 34.60. 1
3
cos3 (cos (ex)) + C; 34.61. 1
4
x
4 + 1
4
ln�
�
x
4 � 1�
�+ C; 34.62. 1
ln 5
5ex
+ C;
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 175
34.63. 3
2
x
2 + 1
4
x
4 + 9
2
ln�
�
x
2 � 3�
�+ C; 34.64. 1
2
cos�
2 + ln (1 � t)2�
� 1
6
cos3�
2 + ln (1 � t)2�
+ C; 34.65. ln |ln x| ln 5 + C;
34.66. 1
2
ln�
x
2 + 1�
+ C; 34.67. 4
5
x
5
ln 4
� 4x + C; 34.68. � 36 3
px � 24 ln
�
�2 � 3
px
�
�� 9�
2 � 3
px
�
2 +�
2 � 3
px
�
3 + C;
34.69. 1
3
ln�
�sen3
x � 3 sen x � 5�
�+ C; 34.70. e
x � 5 ln (ex + 5) + C; 34.71. ln2 4 ln |ln (log4
x)| + C; 34.72. 3e1
3
t + C;
34.73. 18 ln�
�
px + 3
�
�� 12px +
�px + 3
�
2 + C; 34.74. � 1
2
x
2 � a
2
2
ln�
�
x
2 � a
2
�
�+ C; 34.75. ln |sec t + tan t| + C;
34.76. ln |csc x � cot x| + C; 34.77. 1
2 ln 5
5t2
+ C; 34.78. 1
6
x
ln 6
+ 1
ln 7�ln 2
�
7
2
�
x + C; 34.79. 1
ln 7
ln (7x + 5) + C;
34.80. 1
5
x + 1
5 ln 7
ln�
1
7
x
+ 5�
+ C; 34.81. 2
3
ln3
2
⇣
x +px
2 + 1⌘
+ C; 34.82. � 1
2
e
�x
2
+ C; 34.83. e
x+5 � xe
5 + C;
34.84. ln |x| + C; 34.85. ln�
�sen2
x + sen x � 2�
�+ C; 34.86. 2 arctan (sen x � 1) + ln�
�sen2
x � 2 sen x + 2�
�+ C;
34.87. e
sen 2x
2 + C; 34.88. 1
ln a
a
sen(2x)
2 + C; 34.89. 2 ln1/2
⇣
x +px
2 + 1⌘
+ C; 34.90. 2 � 1
2
⇡; 34.91. 4 � ⇡;
34.92.p
x
8
�4
px
4
+ 1
4
ln�
�
4
px + 1
�
�+ C; 34.93. 1
6 ln 2
; 34.94. 2; 34.95. � 4 ln 2 � 4; 34.96. 3 ln x + 3 ln |ln x| ln 3 + C;
34.97. 1
2
arctan (2x � 1) + 1
4
ln�
�2x2 � 2x + 1�
�+ C; 34.98. arctan (1 � x) + 1
2
ln�
�
x
2 � 2x + 2�
�+ C; 34.99. arcsen�
1
2
e
x
�
+ C;
34.100. 2pe
x � 1 � 4 arctan⇣
e
x�1
2
⌘
+ C; 34.101. 5 arctan (x � 2) + 3
2
ln�
�
x
2 � 4x + 5�
�+ C; 34.102. ln�
�
e
2t + e
t � 4�
�+ C;
34.103. arctan�
x
2 � 2�
+ 1
4
ln�
�
x
4 � 4x2 + 5�
�+ C; 34.104. 3
2
arctan�
x
2 � 2�
+ 1
4
ln�
�
x
4 � 4x2 + 5�
�+ C;
34.105. 2 arctanpe
x � 1 + C; 34.106. 2
ln a
arctanpa
x � 1 + C; 34.107. 1
2
ln�
�
e
2x � e
x + 1�
�+p
3
3
arctan⇣
2e
x�1p3
⌘
+ C;
34.108. 1
2
ln�
�
e
2x � e
x + 1�
��p3 arctan
⇣
2e
x�1p3
⌘
+ C; 34.109. ln 3; 35.1. f
0 (x) = � ln (ex + 1) ; 35.2. f
0 (x) = e
2x�5
ln x
;
35.3. f
0 (x) = �x
ln
2
x+ln(ln x)
; 35.4. f
0 (x) = xp2
x
+6
2x ln 2 � 2xlog
2
⇣
x
2
⌘
|x|+6
; 35.5. f
0 (x) =q
a
x
a
2x�1
a
x ln a �r
sen(ln x)
sen
2
(ln x)�1
cos(ln x)
x
;
35.6. f
0 (x) = 5
sen x
+sen
2
x
arctan(sen x)
cos x � 5
e
x
+e
2x
arctan(e
x
)
e
x; 36. A = 312
25
; 37. A = 1
2
ln�
e
�32 + 1�
� ln 2 + 1
2
ln�
e
32 + 1�
;
38. A = 9
16
; 40. cosh x = 5
4
, tanh x = 3
5
, sech x = 4
5
, csch x = 4
3
, coth x = 5
3
; 41. cosh x = 5
3
, senh x = 4
3
,
sech x = 3
5
, csch x = 3
4
, coth x = 5
4
; 42.1. 1; 42.2. � 1; 42.3. 1; 42.4. � 1; 42.5. 1; 42.6. 1;
42.7. 1; 42.8. � 1; 42.9. � 1; 47.1. f
�1 (x) = ln⇣
x +px
2 + 1⌘
; 47.2. f
�1 (x) = ln⇣
x +px
2 � 1⌘
, con x � 1;
47.3. f
�1 (x) = 1
2
ln 1+x
1�x
, con � 1 < x < 1; 47.4. f
�1 (x) = ln
✓
1
x
+
p1+x
2
|x|
◆
, con x 6= 0;
47.5. f
�1 (x) = ln
✓
1+
p1�x
2
x
◆
, con 0 < x 1; 47.6. f
�1 (x) = 1
2
ln 1+x
x�1
, con |x| > 1; 49.1. f
0 (x) = e
x (cosh x + senh x) ;
49.2. f
0 (x) = 3 sech2 (3x) ; 49.3. f
0 (x) = 4 cosh3
x senh x; 49.4. f
0 (x) = 4x3 senh x
4; 49.5. f
0 (x) = �e
coth x csch2
x;
49.6. f
0 (x) = 2x sech x � x
2 sech x tanh x; 49.7. f
0 (t) = coth t; 49.8. f
0 (t) = e
t sech2
�
e
t
�
;
49.9. f
0 (x) = cosh x senh (senh x) ; 49.10. f
0 (x) = x
cosh x
�
ln x senh x + cosh x
x
�
; 49.11. f
0 (x) = 2xpx
4�1
;
49.12. f
0 (x) = e
tanh x
�
sech2
x cosh (cosh x) + senh x senh (cosh x)�
; 49.13. f
0 (x) = e
x (cosh x + senh x) ;
49.14. f
0 (x) = ln (senh 4x) + 4x coth (4x) ; 49.15. f
0 (x) = tanh�1
x; 49.16. f
0 (x) = a
a
2�x
2
; 49.17. f
0 (x) = � 4
x
px
8
+1
;
49.18. f
0 (x) = arcsenh�
x
3
�
� xpx
2
+9
+ xpx
2
+9
; 49.19. f
0 (x) = 1
x
2
csch2
�
1
x
�
; 49.20. f
0 (x) = � 1
x
px
2
+1
;
49.21. f
0 (x) = 4
5
sech2
�
4
5
x + 1
5
�
; 49.22. f
0 (x) = 3x2 coth x
3; 49.23. f
0 (x) = 1
2
px+1
+ 1
2
px
arcsenh�p
x
�
;
49.24. f
0 (x) = 5x4
cosh
⇣
x
5
⌘
1�senh
2(x5); 49.25. f
0 (t) = sech
2
t
tanh t
; 49.26. f
0 (x) = 1
1�x
2
; 49.27. f
0 (x) =2x sech
2
⇣
x
2
⌘
q
tanh
2(x2)+1
;
49.28. f
0 (x) = x
senh
px
⇣
senh
px
x
+ ln x cosh
px
2
px
⌘
; 49.29. f
0 (x) = (cosh x)tanh x
�
sech2
x ln (cosh x) + tanh2
x
�
;
49.30. f
0 (x) = 3 csch (3x) ; 50. x = ln⇣
1 +p2⌘
; 53.1. tanh x + C; 53.2. 1
2
cosh (2x) + C; 53.3. ln |cosh x| + C;
53.4. ln |senh x| + C; 53.5. ln |1 + cosh x| + C; 53.6. x � 1
3
tanh (3x) + C; 53.7. 1
4
�
senh�
x
2
�
� x
2
�
+ C;
53.8. x
3
6
� x
2
+ C; 53.9. 2 cosh�p
x
�
+ C; 53.10. 1
5
senh5
x + C; 53.11. 1
3
tanh (3x) � 1
9
tanh3 (3x) + C;
53.12. 3x
8
+ 1
28
senh (14x) + 1
224
senh (28x) + C; 53.13. cosh
3
2
3
� cosh 2 + 2
3
; 53.14. x
8�1
7
px
+ C; 53.15. ln2 (cosh x) + C;
53.16. 3
4
cosh4/3 (ln x) + C; 53.17. x � 2 arctan x + C; 53.18. 1
2
coth x + C; 53.19. 1 +senh(2)
2
; 53.20. 0;
53.21. 2
5
cosh5
�px
�
� 2
3
cosh3
�px
�
+ cosh�p
x
�
+ C; 54.1. senh�1
x + C; 54.2. cosh�1
x + C; 54.3. tanh�1
x + C;
54.4. csch�1
x + C; 54.5. sech�1
x + C; 54.6. 1
2
tanh�1
�
x
2
�
+ C; 54.7. senh�1
�
x
2
�
+ C;
54.8. arccosh 3 � arccosh 2; 54.9.p
5
5
sech�1
✓
q
2
5
x
◆
+ C; 54.10. 1
2
ln 3; 54.11.
p3
3cosh�1
⇣p3x⌘
+ C;
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 176
54.12.p
6
3
sech�1
�
p
x
6
�
+ C; 54.13. 2p7
csch�1
�
p
x
7
�
+ C; 54.14.p
2
2
senh�1
⇣p2
3
sen x
⌘
+ C; 55. 1
2
;
56. A = a
2 senh�
x
1
a
�
; 57. A = 2 senh 1; 58. A = 0; 59. A = senh 3 + senh 1 � 4; 563. ;
Bibliografía
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón seagradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico
farith.math@gmail.com
indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.
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Cálculo integral - Guía 7. Funciones Transcendentes 177
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Cálculo integral - Guía 8Método de integración: Integración por partes
Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.8• Método de integración: Integración por partes. Ejercicios resueltos
Ejemplo 169 : IntegreZ
x senx dx.
Solución : Integramos por partes con
u = x
Al derivar���������! du = dx
dv = senx dx
Al integrar����������! v = � cosx
La integral se transforma en
Integración por partes
u v �Z
v du
#Z
x senx dx =
z }| {
x (� cosx)�Z
(� cosx) dx = �x cosx+
Z
cosx dx = �x cosx+ senx+ C.
Por lo tanto,Z
x senx dx = �x cosx+ senx+ C.
F
Ejemplo 170 : IntegreZ
z e
z
dz.
Solución : Integramos por partes con
u = z
Al derivar���������! du = dz
dv = e
z
dz
Al integrar����������! v = e
z
La integral se transforma enIntegración por partes
u v �Z
v du
#Z
z e
z
dz =
z }| {
z e
z �Z
e
z
dz = z e
z � e
z
+ C.
Por lo tanto,Z
z e
z
dz = z e
z � e
z
+ C.
F
Ejemplo 171 : IntegreZ
arcsenx dx.
Solución : Integramos por partes con
u = arcsenx
Al derivar���������! du =
1p1� x
2dx
dv = dx
Al integrar����������! v = x
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 179
La integral se transforma en
Integración por partes
u v �Z
v du
#Z
arcsenx dx =
z }| {
x arcsenx�Z
x
dxp1� x
2= x arcsenx�
Z
x dxp1� x
2,
donde, para obtener la familia de primitiva de la función f (x) =
xp1� x
2, se propone el cambio de variable
z = 1� x
2Cálculo del
���������!diferencial
dz = �2x dx =) � dz
2
= x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
x dxp1� x
2=
Z � dz
2pz
= � 1
2
Z
dzpz
= � 1
2
Z
z
�1/2dz = � 1
2
z
� 1
2
+1
�1
2
+ 1
+ C1 = � 1
2
z
1
2
1
2
+ C1
= �pz + C1 = �
p1� x
2+ C1,
es decir,Z
x dxp1� x
2= �
p
1� x
2+ C1.
Por lo tanto,Z
arcsenx dx = x arcsenx�Z
x dxp1� x
2= x arcsenx�
⇣
�p
1� x
2+ C1
⌘
= x arcsenx+
p
1� x
2+ C.
FinalmenteZ
arcsenx dx = x arcsenx+
p
1� x
2+ C.
F
Ejemplo 172 : IntegreZ
lnx dx.
Solución : Integramos por partes con
u = lnx
Al derivar���������! du =
1
x
dx
dv = dx
Al integrar����������! v = x
La integral se transforma en
Integración por partes
u v �Z
v du
#Z
lnx dx =
z }| {
x lnx�Z
x
dx
x
= x lnx�Z
dx = x lnx� x+ C.,
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 180
Por lo tanto,Z
lnx dx = x lnx� x+ C.
F
Ejemplo 173 : IntegreZ
x
3lnx dx.
Solución : Integramos por partes con
u = lnx
Al derivar���������! du =
1
x
dx
dv = x
3dx
Al integrar����������! v =
x
4
4
La integral se transforma enZ
x
3lnx dx =
x
4
4
lnx�Z
x
4
4
1
x
dx =
x
4
4
lnx� 1
4
Z
x
3dx =
x
4
4
lnx� x
4
16
+ C.
Por lo tanto,Z
x
3lnx dx =
x
4
4
lnx� x
4
16
+ C.
F
Ejemplo 174 : IntegreZ
x
2cosx dx.
Solución : Integramos por partes con
u = x
2 Al derivar���������! du = 2x dx
dv = cosx dx
Al integrar����������! v = senx
La integral se transforma enZ
x
2cosx dx = x
2senx�
Z
2x senx dx = x
2senx� 2
Z
x senx dx
| {z }
"Ver Ejemplo 169
Resolvemos la nueva integralZ
x senx dx, integramos otra vez por partes con
u = x
Al derivar���������! du = dx
dv = senx dx
Al integrar����������! v = � cosx
y obtenemosZ
x senx dx = �x cosx�Z
� cosx dx = �x cosx+
Z
cosx dx = �x cosx+ senx+ C1,
entonces,Z
x
2cosx dx = x
2senx� 2 (�x cosx+ senx+ C1) = x
2senx+ 2x cosx� 2 senx+ C,
así, la familia de primitivas esZ
x
2cosx dx = x
2senx+ 2x cosx� 2 senx+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 181
Ejemplo 175 : IntegreZ
e
px
dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
p =
px
Cálculo del
���������!diferencial
dp =
1
2
px
=) 2p dp = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
e
px
dx =
Z
2p e
p
dp = 2
Z
p e
p
dp
| {z }
"Ver Ejemplo 170
integramos por partes conu = p
Al derivar���������! du = dp
dv = e
p
dp
Al integrar����������! v = e
p
la integral se transforma,Z
p e
p
dp = p e
p �Z
e
p
dp = p e
p � e
p
+ C1,
como p =
px, se tiene
Z
e
px
dx = 2
⇣px e
px � e
px
+ C1
⌘
= 2e
px
�px� 1
�
+ C,
es decir,Z
e
px
dx = 2e
px
�px� 1
�
+ C.
F
Ejemplo 176 : IntegreZ
x
3e
x
2
dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
p = x
2Cálculo del
���������!diferencial
dp = 2x dx =) dp
2
= x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
x
3e
x
2
dx =
Z
x
2e
x
2
x dx =
Z
p e
p
dp
2
=
1
2
Z
p e
p
dp
| {z }
"Ver Ejemplo 170
integramos por partes conu = p
Al derivar���������! du = dp
dv = e
p
dp
Al integrar����������! v = e
p
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 182
entonces,Z
p e
p
dp = p e
p �Z
e
p
dp = p e
p � e
p
+ C1
como p = x
2, se tieneZ
x
3e
x
2
dx =
1
2
⇣
x
2e
x
2
� e
x
2
⌘
+ C,
es decir,Z
x
3e
x
2
dx =
e
x
2
2
�
x
2 � 1
�
+ C.
F
Ejemplo 177 : IntegreZ
x arcsenxp1� x
2dx.
Solución : Integramos por partes con
u = arcsenx
Al derivar���������! du =
1p1� x
2dx
dv =
xp1� x
2dx
Al integrar����������! v = �p1� x
2
entonces,Z
x arcsenxp1� x
2dx = �
p
1� x
2arcsenx�
Z
�p
1� x
2dxp1� x
2
= �p1� x
2arcsenx+
Z
dx = �p
1� x
2arcsenx+ x+ C.
Por lo tanto,Z
x arcsenxp1� x
2dx = �
p
1� x
2arcsenx+ x+ C.
F
Ejemplo 178 : IntegreZ
sen (bx) ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) dx.
Solución : Por propiedades de ln ( ), tenemos
ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) = ln (sen
n
(bx)) + ln (cos
m
(bx)) = n ln (sen (bx)) +m ln (cos (bx))
así,Z
sen (bx) ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) dx =
Z
sen (bx) (n ln (sen (bx)) +m ln (cos (bx))) dx
= n
Z
sen (bx) ln (sen (bx)) dx+m
Z
sen (bx) ln (cos (bx)) dx,
donde,Z
sen (bx) ln (sen (bx)) dx la resolvemos integrando por partes, con
u = ln (sen (bx))
Al derivar���������! du = b
cos (bx)
sen (bx)
dx
dv = sen (bx) dx
Al integrar����������! v =
cos (bx)
b
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 183
luego,Z
sen (bx) ln (sen (bx)) dx =
cos (bx)
b
ln (sen (bx))�Z
cos (bx)
b
b
cos (bx)
sen (bx)
dx
=
cos (bx)
b
ln (sen (bx))�Z
cos
2(bx)
sen (bx)
dx
calculamos la integral,Z
cos
2(bx)
sen (bx)
dx, por la identidad trigonométrica básica,
sen
2(·) + cos
2(·) = 1 se tiene cos
2(·) = 1� sen
2(·)
y podemos escribir la integral comoZ
cos
2(bx)
sen (bx)
dx =
Z
1� sen
2(bx)
sen (bx)
dx =
Z
✓
1
sen (bx)
� sen
2(bx)
sen (bx)
◆
dx =
Z
✓
1
sen (bx)
� sen (bx)
◆
dx
=
Z
1
sen (bx)
dx�Z
sen (bx) dx =
Z
csc (bx) dx�Z
sen (bx) dx,
se propone el cambio de variable, para ambas integrales
z = bx
Cálculo del
���������!diferencial
dz = b dx =) dz
b
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Así,Z
csc (bx) dx�Z
sen (bx) dx =
1
b
Z
csc z dz � 1
b
Z
sen z dz =
1
b
ln |csc z � cot z|+ 1
b
cos z + C1
=
1
b
ln |csc (bx)� cot (bx)|+ 1
b
cos (bx) + C1,
con lo que,Z
sen (bx) ln (sen (bx)) dx =
cos (bx)
b
ln (sen (bx))� 1
b
ln |csc (bx)� cot (bx)|� 1
b
cos (bx) + C1.
Calculamos la segunda integralZ
sen (bx) ln (cos (bx)) dx, se propone el cambio de variable, para ambasintegrales
p = cos (bx)
Cálculo del
���������!diferencial
dp = � b sen (bx) dx =) � dp
b
= sen (bx) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
sen (bx) ln (cos (bx)) dx = �1
b
Z
ln p dp
la cual se resuelve por integración por partes, con
u = ln p
Al derivar���������! du =
1
p
dp
dv = dp
Al integrar����������! v = p
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 184
entonces,Z
ln p dp = p ln p�Z
p
1
p
dp = p ln p�Z
dp = p ln p� p+ C2 = p (ln p� 1) + C2,
así,Z
sen (bx) ln (cos (bx)) dx = �1
b
Z
ln p dp = �p
b
(ln p� 1) + C3 = �cos (bx)
b
(ln (cos (bx))� 1) + C3.
Tenemos,Z
sen (bx) ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) dx = n
Z
sen (bx) ln (sen (bx)) dx+m
Z
sen (bx) ln (cos (bx)) dx
= n
1
b
cos (bx) ln (sen (bx))� 1
b
ln |csc (bx)� cot (bx)|� 1
b
cos (bx)
�
+m
�cos (bx)
b
(ln (cos (bx))� 1)
�
+ C
=
n
b
cos (bx) ln (sen (bx))� ln |csc (bx)� cot (bx)|� cos (bx)
�
�m
b
cos (bx) (ln (cos (bx)) + 1) + C.
LuegoZ
sen (bx) ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) dx =
n
b
cos (bx) ln (sen (bx))� ln |csc (bx)� cot (bx)|� cos (bx)
�
�m
b
cos (bx) (ln (cos (bx)) + 1) + C.
F
Ejemplo 179 : IntegreZ
sen
2x dx.
Solución : Observemos queZ
sen
2x dx =
Z
senx senx dx.
Integramos por partes, con
u = senx
Al derivar���������! du = cosx dx
dv = senx dx
Al integrar����������! v = � cosx.
La integral se transforma en
cos2 x = 1 � sen2
x
#Z
sen
2x dx = � senx cosx�
Z
� cosx cosx dx = � senx cosx+
Z
z }| {
cos
2x dx
= � senx cosx+
Z
�
1� sen
2x
�
dx = � senx cosx+
Z
dx�Z
sen
2x dx
= � senx cosx+ x�Z
sen
2x dx+ C1,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 185
es decir,Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x�
Z
sen
2x dx+ C1,
despejamosZ
sen
2x dx,
Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x�
Z
sen
2x dx+ C1
=)Z
sen
2x dx+
Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x+ C1
=) 2
Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x+ C1
=)Z
sen
2x dx =
1
2
(� senx cosx+ x+ C1)
=)Z
sen
2x dx = � 1
2
senx cosx+
x
2
+ C.
Por lo tanto,Z
sen
2x dx = � 1
2
senx cosx+
x
2
+ C.
F
Ejemplo 180 : IntegreZ
csc
3x dx.
Solución : Escribimos la integral comoZ
csc
3x dx =
Z
csc
2x cscx dx.
Integramos por partes, con
u = cscx
Al derivar���������! du = � cscx cotx dx
dv = csc
2x dx
Al integrar����������! v = � cotx,
La integral se transforma enZ
csc
3x dx = cscx (� cotx)�
Z
(� cotx) (� cscx cotx) dx = � cscx cotx�Z
cscx cot
2x dx,
es conocido quecot
2x = csc
2x� 1,
así,
cot2 x = csc2 x � 1
#Z
csc
3x dx = � cscx cotx�
Z
cscx
z }| {
cot
2x dx = � cscx cotx�
Z
cscx
�
csc
2x� 1
�
dx
= � cscx cotx�Z
�
csc
3x� cscx
�
dx = � cscx cotx�Z
csc
3x dx+
Z
cscx dx
= � cscx cotx�Z
csc
3x dx+ ln |cscx� cotx|+ C1,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 186
es decir,Z
csc
3x dx = � cscx cotx�
Z
csc
3x dx+ ln |cscx� cotx|+ C1,
de aquí,
2
Z
csc
3x dx = � cscx cotx+ ln |cscx� cotx|+ C1,
con lo que,Z
csc
3x dx = � 1
2
cscx cotx+
1
2
ln |cscx� cotx|+ C.
F
Ejemplo 181 : IntegreZ
sec
5(ax) dx.
Solución : Escribimos la integral comoZ
sec
5(ax) dx =
Z
sec
3(ax) sec
2(ax) dx.
Integramos por partes, con
u = sec
3(ax)
Al derivar���������! du = 3a sec
3(ax) tan (ax) dx
dv = sec
2(ax) dx
Al integrar����������! v =
1
a
tan (ax) ,
La integral se transforma enZ
sec
5(ax) dx =
1
a
sec
3(ax) tan (ax)�
Z
1
a
tan (ax) 3a sec
3(ax) tan (ax) dx
tan2 (ax) = sec2 (ax) � 1
#
=
1
a
sec
3(ax) tan (ax)� 3
Z
sec
3(ax)
z }| {
tan
2(ax) dx
=
1
a
sec
3(ax) tan (ax)� 3
Z
sec
3(ax)
�
sec
2(ax)� 1
�
dx
=
1
a
sec
3(ax) tan (ax)� 3
Z
�
sec
5(ax)� sec
3(ax)
�
dx
=
1
a
sec
3(ax) tan (ax)� 3
Z
sec
5(ax) dx+ 3
Z
sec
3(ax) dx,
es decir,Z
sec
5(ax) dx =
1
a
sec
3(ax) tan (ax)� 3
Z
sec
5(ax) dx+ 3
Z
sec
3(ax) dx,
despejamosZ
sec
5(ax) dx
Z
sec
5(ax) dx =
1
a
sec
3(ax) tan (ax)� 3
Z
sec
5(ax) dx+ 3
Z
sec
3(ax) dx
=)Z
sec
5(ax) dx+ 3
Z
sec
5(ax) dx =
1
a
sec
3(ax) tan (ax) + 3
Z
sec
3(ax) dx
=) 4
Z
sec
5(ax) dx =
1
a
sec
3(ax) tan (ax) + 3
Z
sec
3(ax) dx
=)Z
sec
5(ax) dx =
1
4a
sec
3(ax) tan (ax) +
3
4
Z
sec
3(ax) dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 187
para resolver la integral de la secante cúbica aplicamos el método de integración por partes. Escribimos la integralcomo
Z
sec
3(ax) dx =
Z
sec
2(ax) sec (ax) dx,
integramos por partes, con
u = sec (ax)
Al derivar���������! du = a sec (ax) tan (ax) dx
dv = sec
2(ax) dx
Al integrar����������! v =
1
a
tan (ax) .
La integral se transforma enZ
sec
3(ax) dx =
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
1
a
tan (ax) a sec (ax) tan (ax) dx
tan2 (ax) = sec2 (ax) � 1
#
=
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
sec (ax)
z }| {
tan
2(ax) dx
=
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
sec (ax)
�
sec
2(ax)� 1
�
dx
=
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
�
sec
3(ax)� sec (ax)
�
dx
=
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
sec
3(ax) dx+
Z
sec (ax) dx
=
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
sec
3(ax) dx+ ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,
es decir,Z
sec
3(ax) dx =
1
a
sec (ax) tan (ax)�Z
sec
3(ax) dx+ ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,
despejamosZ
sec
3(ax) dx
Z
sec
3(ax) dx+
Z
sec
3(ax) dx =
1
a
sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,
de aquí,
2
Z
sec
3(ax) dx =
1
a
sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C2,
con lo que,Z
sec
3(ax) dx =
1
2a
sec (ax) tan (ax) +
1
2
ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C1.
Luego,Z
sec
5(ax) dx =
1
4a
sec
3(ax) tan (ax) +
3
4
Z
sec
3(ax) dx
=
1
4a
sec
3(ax) tan (ax) +
3
4
1
2a
sec (ax) tan (ax) +
1
2
ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C1
�
=
1
4a
sec
3(ax) tan (ax) +
3
8a
sec (ax) tan (ax) +
3
8
ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C.
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 188
FinalmenteZ
sec
5(ax) dx =
1
4a
sec
3(ax) tan (ax) +
3
8a
sec (ax) tan (ax) +
3
8
ln |sec (ax) + tan (ax)|+ C.
F
Ejemplo 182 : IntegreZ
x arcsenx dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = arcsenx
Al derivar���������! du =
1p1� x
2dx
dv = x dx
Al integrar����������! v =
x
2
2
,
entonces,Z
x arcsenx dx =
x
2
2
arcsenx�Z
x
2
2
1p1� x
2dx =
x
2
2
arcsenx+
1
2
Z �x2
p1� x
2dx
Resolvemos la integralZ �x2
p1� x
2dx
Z �x2
p1� x
2dx =
Z �x2+ 1� 1p1� x
2dx =
Z
�
1� x
2�
� 1
p1� x
2dx =
Z
✓
1� x
2
p1� x
2� 1p
1� x
2
◆
dx
=
Z
1� x
2
p1� x
2dx�
Z
1p1� x
2dx,
dondeZ
1p1� x
2dx = arcsenx+ C1,
mientras que,Z
1� x
2
p1� x
2dx =
Z
1� x
2
(1� x
2)
1/2dx =
Z
p
1� x
2dx
e integramos por partes, con
u =
p1� x
2 Al derivar���������! du =
�xp1� x
2dx
dv = dx
Al integrar����������! v = x,
así,Z
p
1� x
2dx = x
p
1� x
2 �Z
x
�xp1� x
2dx = x
p
1� x
2+
Z
x
2
p1� x
2dx,
es decir,Z
p
1� x
2dx = x
p
1� x
2+
Z
x
2
p1� x
2dx
Luego,Z �x2
p1� x
2dx =
Z
1� x
2
p1� x
2dx�
Z
1p1� x
2dx =
Z
p
1� x
2dx� arcsenx+ C2
= x
p1� x
2+
Z
x
2
p1� x
2dx� arcsenx+ C2,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 189
con lo que,Z �x2
p1� x
2dx = x
p
1� x
2+
Z
x
2
p1� x
2dx� arcsenx+ C2,
despejamosZ �x2
p1� x
2dx,
Z �x2
p1� x
2dx = x
p
1� x
2+
Z
x
2
p1� x
2dx� arcsenx+ C2
=)Z �x2
p1� x
2dx�
Z
x
2
p1� x
2dx = x
p
1� x
2 � arcsenx+ C2
=) 2
Z �x2
p1� x
2dx = x
p
1� x
2 � arcsenx+ C2
=)Z �x2
p1� x
2dx =
1
2
x
p
1� x
2 � 1
2
arcsenx+ C1.
Así, se tiene queZ
x arcsenx dx =
x
2
2
arcsenx+
1
2
Z �x2
p1� x
2dx =
x
2
2
arcsenx+
1
2
✓
1
2
x
p
1� x
2 � 1
2
arcsenx+ C1
◆
.
Luego,Z
x arcsenx dx =
x
2
2
arcsenx+
x
4
p
1� x
2 � 1
4
arcsenx+ C.
F
Ejemplo 183 : IntegreZ
cos (3x) sen (5x) dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = sen (5x)
Al derivar���������! du = 5 cos (5x) dx
dv = cos (3x) dx
Al integrar����������! v =
1
3
sen (3x) ,
la integral quedaZ
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x)�Z
1
3
sen (3x) 5 cos (5x) dx
=
1
3
sen (5x) sen (3x)� 5
3
Z
sen (3x) cos (5x) dx
para resolver la integralZ
sen (3x) cos (5x) dx, integramos, de nuevo, por partes con
u = cos (5x)
Al derivar���������! du = �5 sen (5x) dx
dv = sen (3x) dx
Al integrar����������! v = �1
3
cos (3x) ,
y obtenemosZ
sen (3x) cos (5x) dx = cos (5x)
✓
�1
3
cos (3x)
◆
�Z
✓
�1
3
cos (3x)
◆
(�5 sen (5x)) dx
= � 1
3
cos (5x) cos (3x)� 5
3
Z
cos (3x) sen (5x) dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 190
entonces,Z
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x)� 5
3
Z
sen (3x) cos (5x) dx
=
1
3
sen (5x) sen (3x)� 5
3
✓
� 1
3
cos (5x) cos (3x)� 5
3
Z
cos (3x) sen (5x) dx
◆
=
1
3
sen (5x) sen (3x) +
5
9
cos (5x) cos (3x) +
25
9
Z
cos (3x) sen (5x) dx,
es decir,Z
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x) +
5
9
cos (5x) cos (3x) +
25
9
Z
cos (3x) sen (5x) dx,
despejandoZ
cos (3x) sen (5x) dx
Z
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x) +
5
9
cos (5x) cos (3x) +
25
9
Z
cos (3x) sen (5x) dx
=)Z
cos (3x) sen (5x) dx� 25
9
Z
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x) +
5
9
cos (5x) cos (3x) + C1
=)✓
1� 25
9
◆
Z
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x) +
5
9
cos (5x) cos (3x) + C1
=) � 16
9
Z
cos (3x) sen (5x) dx =
1
3
sen (5x) sen (3x) +
5
9
cos (5x) cos (3x) + C1
=)Z
cos (3x) sen (5x) dx = � 3
16
sen (5x) sen (3x)� 5
16
cos (5x) cos (3x) + C.
Luego,Z
cos (3x) sen (5x) dx = � 3
16
sen (5x) sen (3x)� 5
16
cos (5x) cos (3x) + C.
F
Ejemplo 184 : IntegreZ
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = sen
⇣
x
2
⌘
Al derivar���������! du =
1
2
cos
⇣
x
2
⌘
dx
dv = sen (4x) dx
Al integrar����������! v = � 1
4
cos (4x) ,
la integral quedaZ
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = sen
⇣
x
2
⌘
✓
� 1
4
cos (4x)
◆
�Z
✓
� 1
4
cos (4x)
◆✓
1
2
cos
⇣
x
2
⌘
◆
dx
= � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
8
Z
cos (4x) cos
⇣
x
2
⌘
dx
para resolver la integralZ
cos (4x) cos
⇣
x
2
⌘
dx, integramos, de nuevo, por partes con
u = cos
⇣
x
2
⌘
Al derivar���������! du = � 1
2
sen
⇣
x
2
⌘
dx
dv = cos (4x) dx
Al integrar����������! v =
1
4
sen (4x) ,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 191
y obtenemosZ
cos (4x) cos
⇣
x
2
⌘
dx =
1
4
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x)�Z
1
4
sen (4x)
✓
� 1
2
sen
⇣
x
2
⌘
◆
dx
=
1
4
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) +
1
8
Z
sen (4x) sen
⇣
x
2
⌘
dx,
entonces,Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
8
Z
cos (4x) cos
⇣
x
2
⌘
dx
= � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
8
✓
1
4
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) +
1
8
Z
sen (4x) sen
⇣
x
2
⌘
dx
◆
= � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
32
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) +
1
64
Z
sen (4x) sen
⇣
x
2
⌘
dx,
es decir,Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
32
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) +
1
64
Z
sen (4x) sen
⇣
x
2
⌘
dx,
despejandoZ
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx
Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
32
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) +
1
64
Z
sen (4x) sen
⇣
x
2
⌘
dx
=)Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx� 1
64
Z
sen (4x) sen
⇣
x
2
⌘
dx = � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x)
+
1
32
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) + C1
=)✓
1� 1
64
◆
Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
32
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) + C1
=) 63
64
Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 1
4
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
1
32
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) + C1
=)Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 16
63
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
2
63
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) + C.
Luego,Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 16
63
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
2
63
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) + C.
F
Ejemplo 185 : IntegreZ
x cosx senx dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = x
Al derivar���������! du = dx
dv = cosx senx dx
Al integrar����������! v =
sen
2x
2
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 192
la integral se transforma enZ
x cosx senx dx = x
sen
2x
2
�Z
sen
2x
2
dx =
x sen
2x
2
� 1
2
Z
sen
2x
| {z }
dx,
"Ver Ejemplo 179
para obtener la integral de la función f (x) = sen
2x escribimos la integral como
Z
sen
2x dx =
Z
senx senx dx,
e integramos por partes, con
u = senx
Al derivar���������! du = cosx dx
dv = senx dx
Al integrar����������! v = � cosx.
La integral se transforma en
cos2 x = 1 � sen2
x
#Z
sen
2x dx = � senx cosx�
Z
� cosx cosx dx = � senx cosx+
Z
z }| {
cos
2x dx
= � senx cosx+
Z
�
1� sen
2x
�
dx = � senx cosx+
Z
dx�Z
sen
2x dx
= � senx cosx+ x�Z
sen
2x dx+ C2,
es decir,Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x�
Z
sen
2x dx+ C2,
despejamosZ
sen
2x dx,
Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x�
Z
sen
2x dx+ C2
=)Z
sen
2x dx+
Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x+ C2
=) 2
Z
sen
2x dx = � senx cosx+ x+ C2 =)
Z
sen
2x dx =
1
2
(� senx cosx+ x+ C2)
=)Z
sen
2x dx = � 1
2
senx cosx+
x
2
+ C1.
Por lo tanto,Z
sen
2x dx = � 1
2
senx cosx+
x
2
+ C1,
entonces,Z
x cosx senx dx =
x sen
2x
2
� 1
2
Z
sen
2x dx =
x sen
2x
2
� 1
2
� 1
2
senx cosx+
x
2
+ C1
�
=
x sen
2x
2
+
senx cosx
4
� x
4
+ C.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 193
Finalmente,Z
x cosx senx dx =
x sen
2x
2
+
senx cosx
4
� x
4
+ C.
F
Ejemplo 186 : IntegreZ
e
x
cosx dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = e
x
Al derivar���������! du = e
x
dx
dv = cosx dx
Al integrar����������! v = senx,
la integral se transforma enZ
e
x
cosx dx = e
x
senx�Z
e
x
senx dx,
para resolverZ
e
x
senx dx, integramos por partes, con
u = e
x
Al derivar���������! du = e
x
dx
dv = senx dx
Al integrar����������! v = � cosx,
y obtenemos queZ
e
x
senx dx = e
x
(� cosx)�Z
e
x
(� cosx) dx = � e
x
cosx+
Z
e
x
cosx dx,
así,Z
e
x
cosx dx = e
x
senx�Z
e
x
senx dx = e
x
senx�✓
� e
x
cosx+
Z
e
x
cosx dx
◆
= e
x
senx+ e
x
cosx�Z
e
x
cosx dx,
es decir,Z
e
x
cosx dx = e
x
senx+ e
x
cosx�Z
e
x
cosx dx,
despejandoZ
e
x
cosx dx
Z
e
x
cosx dx = e
x
senx+ e
x
cosx�Z
e
x
cosx dx
=)Z
e
x
cosx dx+
Z
e
x
cosx dx = e
x
senx+ e
x
cosx+ C1
=) 2
Z
e
x
cosx dx = e
x
senx+ e
x
cosx+ C1
=)Z
e
x
cosx dx =
1
2
(e
x
senx+ e
x
cosx+ C1)
=)Z
e
x
cosx dx =
1
2
e
x
senx+
1
2
e
x
cosx+ C.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 194
LuegoZ
e
x
cosx dx =
1
2
e
x
senx+
1
2
e
x
cosx+ C.
F
Ejemplo 187 : IntegreZ
a
x
sen (bx) dx, con a > 0 y a 6= 1.
Solución : Integramos por partes, con
u = a
x
Al derivar���������! du = a
x
ln a dx
dv = sen (bx) dx
Al integrar����������! v = � 1
b
cos (bx) ,
la integral se transforma enZ
a
x
sen (bx) dx = a
x
✓
� 1
b
cos (bx)
◆
�Z
✓
� 1
b
cos (bx)
◆
(a
x
ln a) dx
= � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
Z
a
x
cos (bx) dx,
es decir,Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
Z
a
x
cos (bx) dx,
para resolverZ
a
x
cos (bx) dx, integramos por partes, con
u = a
x
Al derivar���������! du = a
x
ln a dx
dv = cos (bx) dx
Al integrar����������! v =
1
b
sen (bx) ,
y obtenemos queZ
a
x
cos (bx) dx = a
x
✓
1
b
sen (bx)
◆
�Z
✓
1
b
sen (bx)
◆
(a
x
ln a) dx
=
1
b
a
x
sen (bx)� ln a
b
Z
a
x
sen (bx) dx,
de aquí,Z
a
x
cos (bx) dx =
1
b
a
x
sen (bx)� ln a
b
Z
a
x
sen (bx) dx,
por lo tanto,Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
Z
a
x
cos (bx) dx
= � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
✓
1
b
a
x
sen (bx)� ln a
b
Z
a
x
sen (bx) dx
◆
= � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx)� ln
2a
b
2
Z
a
x
sen (bx) dx,
es decir,Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx)� ln
2a
b
2
Z
a
x
sen (bx) dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 195
despejamosZ
a
x
sen (bx) dx
Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx)� ln
2a
b
2
Z
a
x
sen (bx) dx
=)Z
a
x
sen (bx) dx+
ln
2a
b
2
Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx) + C1
=)✓
1 +
ln
2a
b
2
◆
Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx) + C1
=) b
2+ ln
2a
b
2
Z
a
x
sen (bx) dx = � 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx) + C1
=)Z
a
x
sen (bx) dx =
b
2
b
2+ ln
2a
✓
� 1
b
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2a
x
sen (bx) + C1
◆
=)Z
a
x
sen (bx) dx = � b
b
2+ ln
2a
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2+ ln
2a
a
x
sen (bx) + C.
Luego,Z
a
x
sen (bx) dx = � b
b
2+ ln
2a
a
x
cos (bx) +
ln a
b
2+ ln
2a
a
x
sen (bx) + C.
F
Ejemplo 188 : IntegreZ
ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = ln
�
x
p1 + x
2�
Al derivar���������! du =
2x
2+ 1
x (1 + x
2)
dx
dv = dx
Al integrar����������! v = x,
la integral se transforma enZ
ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
dx = x ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
�Z
x
2x
2+ 1
x (1 + x
2)
dx = x ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
�Z
2x
2+ 1
1 + x
2dx,
donde,Z
2x
2+ 1
1 + x
2dx =
Z
2x
2+ 1 + 1� 1
1 + x
2dx =
Z
2x
2+ 2� 1
1 + x
2dx =
Z
✓
2x
2+ 2
1 + x
2� 1
1 + x
2
◆
dx
=
Z
2
�
x
2+ 1
�
1 + x
2� 1
1 + x
2
!
dx =
Z
✓
2� 1
1 + x
2
◆
dx = 2x� arctanx+ C1,
por lo tanto,Z
ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
dx = x ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
�Z
2x
2+ 1
1 + x
2dx = x ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
� (2x� arctanx) + C
= x ln
�
x
p1 + x
2�
� 2x+ arctanx+ C.
Luego,Z
ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
dx = x ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
� 2x+ arctanx+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 196
Ejemplo 189 : IntegreZ
⇡
0
x
2cosx dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = x
2 Al derivar���������! du = 2x dx
dv = cosx dx
Al integrar����������! v = senx,
la integral se transforma en
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#Z
⇡
0
x
2cosx dx =
✓
x
2senx
�
�
�
�
⇡
0
�Z
⇡
0
2x senx dx =
z }| {
(⇡)
2sen (⇡)
!
�
z }| {
(0)
2sen (0)
!
�Z
⇡
0
2x senx dx,
como sen (⇡) = sen (0) = 0, entoncesZ
⇡
0
x
2cosx dx = �2
Z
⇡
0
x senx dx.
para resolver la nueva integralZ
⇡
0
x senx dx, integramos por partes, con
u = x
Al derivar���������! du = dx
dv = senx dx
Al integrar����������! v = � cosx
La integral se transforma en
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#Z
⇡
0
x senx dx =
✓
�x cosx�
�
�
�
⇡
0
�Z
⇡
0
� cosx dx =
✓
z }| {
� (⇡) cos (⇡)
◆
�✓
z }| {
� (0) cos (0)
◆
+
Z
⇡
0
cosx dx,
como cos (⇡) = �1 y cos (0) = 1, entoncesZ
⇡
0
x senx dx = � (⇡) (�1)� (� (0) (1)) +
Z
⇡
0
cosx dx = ⇡ +
Z
⇡
0
cosx dx,
de aquí,Z
⇡
0
x
2cosx dx = �2
Z
⇡
0
x senx dx = �2✓
⇡ +
Z
⇡
0
cosx dx
◆
= �2⇡ � 2
Z
⇡
0
cosx dx.
Resolvemos la integralZ
⇡
0
cosx dx,
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#Z
⇡
0
cosx dx =
✓
senx
�
�
�
�
⇡
0
=
z }| {
sen (⇡)�z }| {
sen (0) = 0,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 197
de aquí,Z
⇡
0
x
2cosx dx = �2
Z
⇡
0
x senx dx = �2⇡ � 2
Z
⇡
0
cosx dx = �2⇡ � 2 (0) = �2⇡.
Luego,Z
⇡
0
x
2cosx dx = �2⇡.
F
Ejemplo 190 : IntegreZ
e
1
x ln
3x dx.
Solución : Integramos por partes, con
u = ln
3x
Al derivar���������! du =
3 ln
2x
x
dx
dv = x dx
Al integrar����������! v =
x
2
2
,
la integral se transforma en
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#Z
e
1
x ln
3x dx =
✓
x
2ln
3x
2
�
�
�
�
e
1
�Z
e
1
x
2
2
3 ln
2x
x
dx =
0
B
@
z }| {
(e)
2ln
3(e)
2
1
C
A
�
0
B
@
z }| {
(1)
2ln
3(1)
2
1
C
A
� 3
2
Z
e
1
x ln
2x dx
=
e
2(ln e)
3
2
� (1) (ln 1)
3
2
� 3
2
Z
e
1
x ln
2x dx =
e
2(1)
3
2
� (1) (0)
3
2
� 3
2
Z
e
1
x ln
2x dx
=
e
2
2
� 3
2
Z
e
1
x ln
2x dx,
es decir,Z
e
1
x ln
3x dx =
e
2
2
� 3
2
Z
e
1
x ln
2x dx,
para resolver la nueva integralZ
e
1
x ln
2x dx, integramos por partes, con
u = ln
2x
Al derivar���������! du =
2 lnx
x
dx
dv = x dx
Al integrar����������! v =
x
2
2
La integral se transforma en
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#Z
e
1
x ln
2x dx =
✓
x
2ln
2x
2
�
�
�
�
e
1
�Z
e
1
x
2
2
2 lnx
x
dx =
0
B
@
z }| {
(e)
2ln
2(e)
2
1
C
A
�
0
B
@
z }| {
(1)
2ln
2(1)
2
1
C
A
�Z
e
1
x lnx dx
=
e
2(ln e)
2
2
� (1) (ln 1)
2
2
�Z
e
1
x lnx dx =
e
2(1)
2
2
� (1) (0)
2
2
�Z
e
1
x lnx dx =
e
2
2
�Z
e
1
x lnx dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 198
es decir,Z
e
1
x ln
2x dx =
e
2
2
�Z
e
1
x lnx dx,
para resolver la nueva integralZ
e
1
x lnx dx, integramos por partes, con
u = lnx
Al derivar���������! du =
1
x
dx
dv = x dx
Al integrar����������! v =
x
2
2
La integral se transforma en
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#Z
e
1
x lnx dx =
✓
x
2lnx
2
�
�
�
�
e
1
�Z
e
1
x
2
2
1
x
dx =
0
B
@
z }| {
(e)
2ln (e)
2
1
C
A
�
0
B
@
z }| {
(1)
2ln (1)
2
1
C
A
� 1
2
Z
e
1
x dx
Primitiva evaluada en
el límite superior
#
Primitiva evaluada en
el límite inferior
#
=
e
2(1)
2
� (1) (0)
2
� 1
2
Z
e
1
x dx =
e
2
2
� 1
2
✓
x
2
2
�
�
�
�
e
1
=
e
2
2
� 1
2
0
B
@
0
B
@
z}|{
(e)
2
2
1
C
A
�
0
B
@
z}|{
(1)
2
2
1
C
A
1
C
A
=
e
2
2
� 1
2
✓
e
2
2
� 1
2
◆
=
e
2
2
� e
2
4
+
1
4
=
e
2
4
+
1
4
,
es decir,Z
e
1
x lnx dx =
e
2
4
+
1
4
,
así,Z
e
1
x ln
3x dx =
e
2
2
� 3
2
Z
e
1
x ln
2x dx =
e
2
2
� 3
2
✓
e
2
2
�Z
e
1
x lnx dx
◆
=
e
2
2
� 3e
2
4
+
3
2
Z
e
1
x lnx dx
= �e
2
4
+
3
2
✓
e
2
4
+
1
4
◆
= �e
2
4
+
3e
2
8
+
3
8
=
e
2
8
+
3
8
.
Luego,Z
e
1
x ln
3x dx =
e
2
8
+
3
8
.
F
Ejemplo 191 : IntegreZ
sec
3(arcsenx)p1� x
2dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
z = arcsenx
Cálculo del
���������!diferencial
dz =
1p1� x
2dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 199
Entonces, la integral queda,Z
sec
3(arcsenx)p1� x
2dx =
Z
sec
3z dz.
Escribimos la integral comoZ
sec
3z dz =
Z
sec
2z sec z dz.
Integramos por partes, con
u = sec z
Al derivar���������! du = sec z tan z dz
dv = sec
2z dz
Al integrar����������! v = tan z.
La integral se transforma enZ
sec
3z dz = sec z tan z �
Z
tan z sec z tan z dz = sec z tan z �Z
sec z tan
2z dz,
por la identidad trigonométrica
tan
2z + 1 = sec
2z, se tiene que tan
2z = sec
2z � 1,
así,Z
sec
3z dz = sec z tan z �
Z
sec z tan
2z dz = sec z tan z �
Z
sec z
�
sec
2z � 1
�
dz
= sec z tan z �Z
sec
3z dz +
Z
sec z dz = sec z tan z �Z
sec
3z dz + ln |sec z + tan z|+ C,
es decir,Z
sec
3z dz = sec z tan z �
Z
sec
3z dz + ln |sec z + tan z|+ C,
de aquí,
2
Z
sec
3z dz = sec z tan z + ln |sec z + tan z|+ C,
con lo que,Z
sec
3z dz =
1
2
sec z tan z +
1
2
ln |sec z + tan z|+ C,
como z = arcsenx, se tiene queZ
sec
3(arcsenx)p1� x
2dx =
1
2
sec (arcsenx) tan (arcsenx) +
1
2
ln |sec (arcsenx) + tan (arcsenx)|+ C.
Observemos que:
• El término sec (arcsenx) tan (arcsenx) de la familia de primitiva, se puede escribir como,
sec (arcsenx) tan (arcsenx) =
1
cos (arcsenx)
sen (arcsenx)
cos (arcsenx)
=
sen (arcsenx)
cos
2(arcsenx)
,
por la identidad trigonométrica
sen
2(·) + cos
2(·) = 1, se tiene que cos
2(·) = 1� sen
2(·) ,
se tiene,
sec (arcsenx) tan (arcsenx) =
sen (arcsenx)
1� sen
2(arcsenx)
=
x
1 + x
2
• El argumento de la expresión logaritmo natural, sec (arcsenx) + tan (arcsenx), se puede escribir
sec (arcsenx) + tan (arcsenx) =
1
cos (arcsenx)
+
sen (arcsenx)
cos (arcsenx)
.
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 200
Por otra parte, es conocido quecos (arcsenx) =
p
1� x
2,
así,
sec (arcsenx) + tan (arcsenx) =
1p1� x
2+
xp1� x
2=
1 + xp1� x
2=
r
x+ 1
1� x
.
Por lo tanto,Z
sec
3(arcsenx)p1� x
2dx =
x
2 (1 + x
2)
+
1
2
ln
�
�
�
�
�
r
x+ 1
1� x
�
�
�
�
�
+ C =
x
2 (1 + x
2)
+
1
4
ln
�
�
�
�
x+ 1
1� x
�
�
�
�
+ C.
Finalmente,Z
sec
3(arcsenx)p1� x
2dx =
x
2 (1 + x
2)
+
1
4
ln
�
�
�
�
x+ 1
1� x
�
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 192 : Demostrar la fórmula de reducciónZ
�
x
2+ a
2�
n
dx =
x
�
x
2+ a
2�
n
2n+ 1
+
2na
2
2n+ 1
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx,
con n 6= � 1
2
.
Demostración : Integramos por partes, con
u =
�
x
2+ a
2�
n
Al derivar���������! du = 2nx
�
x
2+ a
2�
n�1dx
dv = dx
Al integrar����������! v = x,
entonces,Z
�
x
2+ a
2�
n
dx = x
�
x
2+ a
2�
n �Z
x 2nx
�
x
2+ a
2�
n�1dx
= x
�
x
2+ a
2�
n � 2n
Z
x
2�
x
2+ a
2�
n�1dx
= x
�
x
2+ a
2�
n � 2n
Z
�
x
2+ a
2 � a
2� �
x
2+ a
2�
n�1dx
= x
�
x
2+ a
2�
n � 2n
Z
⇥�
x
2+ a
2�
� a
2⇤ �
x
2+ a
2�
n�1dx
= x
�
x
2+ a
2�
n � 2n
✓
Z
�
x
2+ a
2� �
x
2+ a
2�
n�1dx�
Z
a
2�
x
2+ a
2�
n�1dx
◆
= x
�
x
2+ a
2�
n � 2n
Z
�
x
2+ a
2�
n
dx+ 2na
2
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx
así,Z
�
x
2+ a
2�
n
dx = x
�
x
2+ a
2�
n � 2n
Z
�
x
2+ a
2�
n
dx+ 2na
2
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx
=)Z
�
x
2+ a
2�
n
dx+ 2n
Z
�
x
2+ a
2�
n
dx = x
�
x
2+ a
2�
n
+ 2na
2
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx
=) (1 + 2n)
Z
�
x
2+ a
2�
n
dx = x
�
x
2+ a
2�
n
+ 2na
2
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 201
despejandoZ
�
x
2+ a
2�
n
dx =
x
�
x
2+ a
2�
n
1 + 2n
+
2na
2
1 + 2n
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx,
con n 6= � 1
2
. F
Ejemplo 193 : Demuestre queZ
x
n
dxp1� x
2= �xn�1
p
1� x
2+ (n� 1)
Z
x
n�2p
1� x
2dx.
Demostración : Escribimos la integral comoZ
x
n
dxp1� x
2=
Z
x
n�1 xp1� x
2dx
Integramos por partes, con
u = x
n�1 Al derivar���������! du = (n� 1)x
n�2dx
dv =
xp1� x
2dx
Al integrar����������! v = �p1� x
2.
La integral se transforma enZ
x
n
dxp1� x
2= x
n�1⇣
�p
1� x
2⌘
�Z
⇣
�p
1� x
2⌘
(n� 1)x
n�2dx
= �xn�1p1� x
2+ (n� 1)
Z
x
n�2p
1� x
2dx,
entonces,Z
x
n
dxp1� x
2= �xn�1
p
1� x
2+ (n� 1)
Z
x
n�2p
1� x
2dx.
F
Ejercicios
1. Calcular las siguientes integrales
1.
Z
xe
x
dx 2.
Z
x
e
x
dx 3.
Z
x 2
�x
dx 4.
Z
x senx dx 5.
Z
t cos t dt
6.
Z
xe
2xdx 7.
Z
x
2
e
3xdx 8.
Z
x
23
x
dx 9.
Z
x
2senx dx 10.
Z
t
3sen t dt
11.
Z
lnx dx 12.
Z
arctanx dx 13.
Z
arcsenx dx 14.
Z
4x ln (2x) dx
15.
Z px lnx dx 16.
Z
x arctanx dx 17.
Z
x arcsenx dx 18.
Z
x
3e
x
2
dx
19.
Z
cos
2x dx 20.
Z
✓ cos (3✓) d✓ 21.
Z
x
5cos
�
x
3�
dx 22.
Z
�
t
2+ 5t+ 6
�
cos (2t) dt
23.
Z
sec
3✓ d✓ 24.
Z
e
x
senx dx 25.
Z
sen (3x) cos (5x) dx 26.
Z
x senx cosx dx
27.
Z
x
2lnx dx 28.
Z
lnxpx
dx 29.
Z
e
5xcos (2x) dx 30.
Z
cos
⇣
x
2
⌘
cos
⇣
x
3
⌘
dx
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 202
31.
Z
z
2e
3zdz 32.
Z
t
2e
�t/2dt 33.
Z
e
at
cos (bt) dt 34.
Z
�
x
2 � 2x+ 5
�
e
�x
dx
35.
Z
x dx
sen
2x
36.
Z
x ln
✓
1� x
1 + x
◆
dx 37.
Z
x
2arctan (3x) dx 38.
Z
5
x
sen (5x) dx
39.
Z
ln
2x dx 40.
Z
e
px
dx 41.
Z
e
ax
sen (bx) dx 42.
Z
ln
⇣
x
p
1 + x
2⌘
dx
43.
Z
sen (lnx) dx 44.
Z
y
3e
�y
2
dy 45.
Z
x cosx
sen
2x
dx 46.
Z
3
x
cosx dx
47.
Z
x
5e
x
2
dx 48.
Z
ln
2t
t
2dt 49.
Z
ln (lnx)
x
dx 50.
Z
�
x
2 � 2x+ 3
�
lnx dx
51.
Z
t
3e
t
dt 52.
Z
p
1� x
2dx 53.
Z
x tan
2(2x) dx 54.
Z
x (arctanx)
2dx
55.
Z
lnx
x
3dx 56.
Z
arcsen
p✓p
1� ✓
d✓ 57.
Z
cosx cos
2(3x) dx 58.
Z
sen
2x
e
x
dx
59.
Z
x csc
2x dx 60.
Z
x tan
�1x dx 61.
Z
cos
2(lnx) dx 62.
Z
cos t ln (sen t) dt
63.
Z
(lnx)
2dx 64.
Z
sen
�px
�
dx 65.
Z
x
2cos (3x) dx 66.
Z
x cos
2x senx dx
67.
Z
sec
5✓ d✓ 68.
Z
x dx
cos
3(x
2)
69.
Z
x e
x
(x+ 1)
2 dx 70.
Z
(arcsenx)
2dx
71.
Z
x
3lnx dx 72.
Z
t sen (4t) dt 73.
Z
sec
3(ax+ b) dx 74.
Z
x
2sen (2x) dx
75.
Z
x 5
x
dx 76.
Z
x
2e
x
(x+ 2)
2 dx 77.
Z
sec
5(ax+ b) dx 78.
Z
lnx dx
(lnx+ 1)
2
79.
Z
z cos (2z) dz 80.
Z
x sen
2x dx 81.
Z
e
�✓
cos (3✓) d✓ 82.
Z
x a
x
dx
83.
Z
lnx dxp1� x
84.
Z
arccos z dz 85.
Z
sen (2t) ln
�
cos
7t
�
dt 86.
Z
sen (2t) sen (4t) dt
87.
Z
xe
2xdxp
1� e
2x88.
Z
t
3arctan (2t) dt 89.
Z
x arcsenxp1� x
2dx 90.
Z
x arcsenx
q
(1� x
2)
3dx
91.
Z
x lnx dxp1� x
292.
Z
sen (2x) ln
�
sen
4x cos
5x
�
dx 93.
Z
sen (2x) ln
✓
cos
1/2x
sen
1/3x
◆
dx
94.
Z
sen (2ax) ln (tan (ax)) dx 95.
Z
sen (2x) ln
�
sen
5x
�
dx 96.
Z
senx ln
⇣
cot
x
2
⌘
dx
97.
Z
cos (2x) ln (senx+ cosx) dx 98.
Z
cosx ln
�
sen
�2x cos
3x
�
dx
99.
Z
senx ln
�
sen
4x cos
5x
�
dx 100.
Z
arcsen
4t ln
�
arcsen
3t
�
p1� t
2dt 101.
Z
csc
3x dx
102.
Z
e
1
x ln
3x dx 103.
Z
⇡
0
x
2cosx dx 104.
Z
cos (bx) ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) dx
105.
Z
sen (bx) ln (sen
n
(bx) cos
m
(bx)) dx 106.
Z
x
3e
x
(x+ 3)
2 dx 107.
Z
✓ sec
2✓ d✓
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 203
108.
Z
x senh
2�
x
2�
dx 109.
Z
senh
px dx 110.
Z 1
�1
cosh
2x dx 111.
Z
3
t
senh 3t dt
112.
Z
e
at
senh (bt) dt 113.
Z
e
at
cosh (bt) dt 114.
Z
x
5cosh
�
x
3�
dx 115.
Z
3
px ln
2x dx
116.
Z
e
2xarctan
⇣
e
x/2⌘
dx 117.
Z
3
px ln
�px
�
dx 118.
Z
sen (2x) arctan (senx+ ⇡) dx
119.
Z
x arctan
�px
�
dx 120.
Z px arctan
�px
�
dx 121.
Z
cos (2x) e
cos x�sen x
dx
122.
Z
sen (2x) ln
✓
sen
4x� cos
4x+ cos
2xp
senx
◆
dx 123.
Z
cos (2x) ln (cosx� senx) dx
124.
Z
sen (3t) ln
⇣
3
pcos t
⌘
dt 125.
Z
cos (3t) ln
⇣pcsc
⇡
t
⌘
dt 126.
Z
sen (6t) ln
⇣psen t
⌘
dt
2. Demostrar la fórmula de reducciónZ
cos
n
x dx =
1
n
cos
n�1x senx+
n� 1
n
Z
cos
n�2x dx,
con n 2 N.
3. Demostrar la fórmula de reducciónZ
sen
n
x dx = � 1
n
sen
n�1x cosx+
n� 1
n
Z
sen
n�2x dx,
con n 2 N.
4. Demostrar la fórmula de reducciónZ
(lnx)
n
dx = x (lnx)
n � n
Z
(lnx)
n�1dx.
5. Demuestre queZ
x
n
dxp1� x
2= �xn�1
p
1� x
2+ (n� 1)
Z
x
n�2p
1� x
2dx.
6. Demostrar la fórmula de reducciónZ
x
n
e
x
dx = x
n
e
x � n
Z
x
n�1e
x
dx.
7. Demostrar la fórmula de reducciónZ
�
x
2+ a
2�
n
dx =
x
�
x
2+ a
2�
n
2n+ 1
+
2na
2
2n+ 1
Z
�
x
2+ a
2�
n�1dx,
con n 6= � 1
2
.
8. Demostrar la fórmula de reducciónZ
sec
n
x dx =
tanx sec
n�2x
n� 1
+
n� 2
n� 1
Z
sec
n�2x dx,
con n 6= 1, n 2 N.
9. Demostrar la fórmula de reducciónZ
csc
n
x dx =
cotx csc
n�2x
1� n
+
n� 2
n� 1
Z
csc
n�2x dx,
con n 6= 1, n 2 N.
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 204
Respuestas: Ejercicios
1.1. (x � 1) ex + C; 1.2. � (x + 1) e�x + C; 1.3. � (1 + x ln 2) 2
�x
ln
2
2
+ C; 1.4. sen x � x cos x + C;
1.5. cos t + t sen t + C; 1.6. (2x � 1) e
2x
4
+ C; 1.7. ��
2
27
+ 2
9
x + 1
3
x
2
�
e
�3x + C; 1.8. 3x⇣
2
ln
3
3
� 2x
ln
2
3
+ x
2
ln 3
⌘
+ C;
1.9. 2 cos x + 2x sen x � x
2 cos x + C; 1.10. 6t cos t � 6 sen t � t
3 cos t + 3t2 sen t + C; 1.11. x (ln x � 1) + C;
1.12. x arctan x � 1
2
ln�
x
2 + 1�
+ C; 1.13. x arcsen x +p1 � x
2 + C; 1.14. (2 ln x + 2 ln 2 � 1) x2 + C;
1.15. 2
3
(ln x � 1) x3/2 + C; 1.16. 1
2
arctan x � 1
2
x + 1
2
x
2 arctan x + C; 1.17. 1
2
x
2 arcsen x � 1
4
arcsen x + 1
4
x
p1 � x
2 + C;
1.18. 1
2
e
x
2
�
x
2 � 1�
+ C; 1.19. 1
2
cos x sen x + 1
2
x + C; 1.20. 1
9
cos (3✓) + 1
3
✓ sen (3✓) + C;
1.21. 1
3
cos�
x
3
�
+ 1
3
x
3 sen�
x
3
�
+ C; 1.22. 5
4
cos (2t) + 11
4
sen (2t) + 1
2
t cos (2t) + 5
2
t sen (2t) + 1
2
t
2 sen (2t) + C;
1.23. 1
2
sec ✓ tan ✓ + 1
2
ln |sec ✓ + tan ✓| + C; 1.24. e
x
2
(sen x � cos x) + C; 1.25. 5
16
sen (3x) sen (5x) + 3
16
cos (3x) cos (5x) + C;
1.26. 1
2
x sen2
x + 1
4
cos x sen x � 1
4
x + C; 1.27. 1
3
x
3
�
ln x � 1
3
�
+ C; 1.28. 2px (ln x � 2) + C;
1.29. e
5x
29
(5 cos (2x) + sen (2x)) + C; 1.30. � 12
5
cos�
x
2
�
sen�
x
3
�
+ 18
5
sen�
x
2
�
cos�
x
3
�
+ C; 1.31. 1
3
e
3z
�
2
9
� 2
3
z + z
2
�
+ C;
1.32. � 2e�t/2
�
8 + 4t + t
2
�
+ C; 1.33. e
at
a
2
+b
2
(a cos (bt) + b sen (bt)) + C; 1.34. � e
�x
�
x
2 + 5�
+ C;
1.35. � x cot x + ln |sen x| + C; 1.36.⇣
x
2
2
� 1
2
⌘
ln⇣
1�x
1+x
⌘
� x + C; 1.37. 1
3
x
3 arctan 3x � 1
18
x
2 + 1
162
ln�
x
2 + 1
9
�
+ C;
1.38. 5
x
ln
2
5+25
((ln 5) sen (5x) � 5 cos (5x)) + C; 1.39. x
�
ln2
x � 2 ln x + 2�
+ C; 1.40. 2ep
x
�px � 1
�
+ C;
1.41. e
ax
a
2
+b
2
(a sen (bx) � b cos (bx)) + C; 1.42. arctan x � 2x + x ln⇣
x
px
2 + 1⌘
+ C; 1.43. 1
2
x (sen (ln x) � cos (ln x)) + C;
1.44. � 1
2
e
�y
2
�
1 + y
2
�
+ C; 1.45. � x csc x + ln |csc x � cot x| + C; 1.46. 3
x
ln
2
3+1
(sen x + (ln 3) cos x) + C;
1.47.�
1 � x
2 + 1
2
x
4
�
e
x
2
+ C; 1.48. � 1
t
�
2 + 2 ln t + ln2
t
�
+ C; 1.49. (ln (ln x) � 1) ln x + C;
1.50. 1
2
x
2 � 3x � 1
9
x
3 +�
3x � x
2 + 1
3
x
3
�
ln x + C; 1.51.�
6t � 6 � 3t2 + t
3
�
e
t + C; 1.52. 1
2
x
p1 � x
2 + 1
2
arcsen x + C;
1.53. x
2
tan (2x) � 1
4
ln |sec (2x)| � x
2
2
+ C; 1.54. x
2
+1
2
arctan2
x � x arctan x + 1
2
ln�
x
2 + 1�
+ C; 1.55. ��
1
2
+ ln x
�
1
2x
2
+ C;
1.56. 2p✓ � 2
p1 � ✓ arcsen
⇣p✓
⌘
+ C; 1.57. 1
2
sen x + 3
35
cos x sen (6x) � 1
70
sen x cos (6x) + C;
1.58. e
�x
�
1
10
cos (2x) � 1
5
sen (2x) � 1
2
�
+ C; 1.59. � x cot x + ln |sen x| + C; 1.60. 1
2
arctan x � x
2
+ x
2
2
arctan x + C;
1.61. 1
2
x + 1
10
x cos (2 ln x) + 1
5
x sen (2 ln x) + C; 1.62. (ln (sen t) � 1) sen t + C; 1.63. x
�
ln2
x � 2 ln x + 2�
+ C;
1.64. 2 sen�p
x
�
� 2px cos
�px
�
+ C; 1.65. 2
9
x cos (3x) � 2
27
sen (3x) + x
2
3
sen (3x) + C; 1.66. sen x
3
� 1
9
sen3
x � x
3
cos3 x + C;
1.67. 1
4
tan ✓ sec3 ✓ + 3
8
sec ✓ tan ✓ + 3
8
ln |sec ✓ + tan ✓| + C; 1.68. 1
4
sec�
x
2
�
tan�
x
2
�
+ 1
4
ln�
�sec�
x
2
�
+ tan�
x
2
�
�
�+ C;
1.69. e
x
x+1
+ C; 1.70. x arcsen2
x � 2x + 2p1 � x
2 arcsen x + C; 1.71. (4 ln x � 1) x
4
16
+ C;
1.72. 1
16
sen (4t) � 1
4
t cos (4t) + C; 1.73. 1
2a
sec (ax + b) tan (ax + b) + 1
2a
ln |sec (ax + b) + tan (ax + b)| + C;
1.74. 1
4
cos (2x) + 1
2
x sen (2x) � 1
2
x
2 cos (2x) + C; 1.75. 5x⇣
x
ln 5
� 1
ln
2
5
⌘
+ C; 1.76. xe
x � e
x � x
2
e
x
x+2
+ C;
1.77. 1
4a
tan (ax + b) sec3 (ax + b) + 3
8a
sec (ax + b) tan (ax + b) + 3
8a
ln |sec (ax + b) + tan (ax + b)| + C; 1.78. x
ln x+1
+ C;
1.79. 1
4
cos (2z) + 1
2
z sen (2z) + C; 1.80. 1
4
x
2 � 1
8
cos (2x) � 1
4
x sen (2x) + C; 1.81. e
�✓
10
(3 sen 3✓ � cos 3✓) + C;
1.82. a
x
⇣
x
ln a
� 1
ln
2
a
⌘
+ C; 1.83. 2p1 � x (2 � ln x) � 2 ln
�
�
�
p1�x+1p1�x�1
�
�
�
+ C; 1.84. z arccos z �p1 � z
2 + C;
1.85. 7 cos2 t
�
1
2
� ln |cos t|�
+ C; 1.86. � 1
3
sen (2t) cos (4t) + 1
6
cos (2t) sen (4t) + C;
1.87. (1 � x)p1 � e
2x + 1
2
ln
�
�
�
�
p1�e
2x�1p1�e
2x
+1
�
�
�
�
+ C; 1.88. t
32
� t
3
24
� 1
64
arctan (2t) + 1
4
t
4 arctan (2t) + C;
1.89. �p1 � x
2 arcsen x + x + C; 1.90. arcsen xp1�x
2
� 1
2
ln�
�1 � x
2
�
�+ C; 1.91. (1 � ln x)p1 � x
2 + ln
�
�
�
�
1�p
1�x
2
x
�
�
�
�
+ C;
1.92. 2 sen2
x (2 ln |sen x| � 1) + 5 cos2 x
�
1
2
� ln |cos x|�
+ C; 1.93. 1
2
cos2 x
�
1
2
� ln |cos x|�
+ 1
3
sen2
x
�
1
2
� ln |sen x|�
+ C;
1.94. 1
a
sen2 (ax) ln |tan (ax)| + 1
a
ln |cos (ax)| + C; 1.95. 5 sen2
x
�
ln |sen x| � 1
2
�
+ C;
1.96. � 2 ln�
�cos�
x
2
�
�
�+ 2 sen2
�
x
2
�
ln�
�cot�
x
2
�
�
�+ C; 1.97. 1
2
(sen x + cos x)2�
ln (sen x + cos x) � 1
2
�
+ C;
1.98. sen x
⇣
ln�
�
�
cos
3
x
sen
2
x
�
�
�
� 1⌘
� 3 ln |sec x � tan x| + C; 1.99. 4 ln |csc x � cot x| + 9 cos x � 5 cos x ln�
sen4
x cos5 x
�
+ C;
1.100. 3
4
arcsen5
x
�
ln |arcsen x| � 1
5
�
+ C; 1.101. � 1
2
csc x cot x + 1
2
ln |csc x � cot x| + C; 1.102. e
2
8
+ 3
8
;
1.103. � 2⇡; 1.104. � m+n
b
sen (bx) + 1
b
ln (senn (bx) cosm (bx)) sen (bx) � m
b
ln�
�
�
1�sen(bx)
cos(bx)
�
�
�
+ C;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 205
1.105. m+n
b
cos (bx) � 1
b
ln (senn (bx) cosm (bx)) cos (bx) + n
b
ln�
�
�
1�cos(bx)
sen(bx)
�
�
�
+ C; 1.106. x
2
e
x � 2xex + 2ex � x
3
e
x
x+3
+ C;
1.107. ✓ tan ✓ � ln |sec ✓| + C; 1.108. 1
8
senh�
2x2
�
� x
2
4
+ C; 1.109. 2px cosh
�px
�
� 2 senh�p
x
�
+ C;
1.110. senh 2
2
+ 1; 1.111. 3
t
9�ln
2
3
(3 cosh (3t) � (ln 3) senh (3t)) + C; 1.112. e
at
a
2�b
2
(a senh (bt) � b cosh (bt)) + C;
1.113. e
at
b
2�a
2
(b senh (bt) � a cosh (bt)) + C; 1.114. x
3
3
senh�
x
3
�
� 1
3
cosh�
x
3
�
+ C; 1.115. 3
4
x
4/3
�
ln2
x � 3
2
ln x + 9
8
�
+ C;
1.116. 1
2
�
e
2x � 1�
arctan⇣
e
x/2
⌘
+ 1
2
⇣
1 � e
x
3
⌘
e
x/2 + C; 1.117. 3
16
x
4/3
�
ln2
x � 3
2
ln x + 9
8
�
+ C;
1.118.�
sen2
x � ⇡
2 + 1�
arctan (sen x + ⇡) � sen x + ⇡ ln�
1 + (sen x + ⇡)2�
+ C; 1.119. 1
2
�
x
2 � 1�
arctan�p
x
�
+p
x
2
�
1 � x
3
�
+ C;
1.120. x
3/2
3
arctan�p
x
�
� x
6
+ 1
6
ln |x + 1| + C; 1.121. (1 � cos x + sen x) ecos x�sen x + C;
1.122.�
ln (sen x) � 1
2
�
3 sen
2
x
2
+ C; 1.123.�
1
2
� ln (cos x � sen x)�
1�sen(2x)
2
+ C;
1.124.��
1 � 4
3
cos2 x
�
ln (cos x) � 1 + 4
9
cos2 x
�
cos x
3
+ C; 1.125. � ⇡ sen x
2
�
4
9
sen2
x � 1 +�
1 � 4
3
sen2
x
�
ln (sen x)�
+ C;
1.126. sen4
x � 3
4
sen2
x � 4
9
sen6
x +�
3
2
sen2
x � 4 sen4
x + 8
3
sen6
x
�
ln (sen x) + C;
Bibliografía
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón seagradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico
farith.math@gmail.com
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Cálculo integral - Guía 8. Método de integración: Integración por partes 206
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9Método de integración: Algunas integrales trigonométricas
Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.9
• Integración : Integrales trigonométricas. Ejercicios resueltos
Ejemplo 194 : IntegreZ
senx cosx dx.
Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la funcióncoseno, así, es natural proponer el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
u = sen x
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
#Z
z }| {
senx cosx dx
| {z }
=
z }| {
Z
u du
| {z }
=
u
2
2
+ C =
1
2
(senx)
2+ C =
1
2
sen
2x+ C.
"Diferencial
du = cos x dx
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 1
Luego,Z
senx cosx dx =
1
2
sen
2x+ C.
F
Ejemplo 195 : IntegreZ
sen
4x cosx dx.
Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la funcióncoseno, así, es natural proponer el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
u = sen x
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
#Z
sen
4x cosx dx =
Z
⇣
z }| {
senx
⌘4
cosx dx
| {z }
=
z }| {
Z
u
4du
| {z }
=
u
5
5
+ C =
1
5
(senx)
5+ C =
1
5
sen
5x+ C.
"Diferencial
du = cos x dx
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 208
Luego,Z
sen
4x cosx dx =
1
5
sen
5x+ C.
F
Ejemplo 196 : IntegreZ
cosx
3
psen
2x
dx.
Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la funcióncoseno, así, es natural proponer el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = cos x dx
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
cosx
3
psen
2x
dx =
Z
cosx
sen
2/3x
dx =
Z
z }| {
cosx dx
⇣
senx
| {z }
⌘2/3=
Z
du
u
2/3=
z }| {
Z
u
�2/3du
| {z }
=
u
1/3
1
3
+ C = 3u
1/3+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4
"Cambio
u = sen x
= 3 (senx)
1/3+ C = 3
3
psenx+ C.
Luego,Z
cosx
3
psen
2x
dx = 3
3
psenx+ C.
F
Ejemplo 197 : IntegreZ
cos
7x senx dx.
Solución : Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la funciónseno, así, es natural proponer el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
#Z
cos
7x senx dx =
Z
⇣
cosx
| {z }
⌘7
senx dx
| {z }
=
Z
u
7(� du) = �
z }| {
Z
u
7du
| {z }
= � u
8
8
+ C = � 1
8
cos
8x+ C.
" "Cambio
u = cos x
Diferencial
� du = sen x dx
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 209
Luego,Z
cos
7x senx dx = � 1
8
cos
8x+ C.
F
Ejemplo 198 : IntegreZ p
cosx senx dx.
Solución : Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la funciónseno, así, es natural proponer el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Diferencial
� du = sen x dx
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
q
cosx
| {z }
z }| {
senx dx =
Z pu (� du) = �
Z pu du = �
z }| {
Z
u
1/2du
| {z }
= � u
3/2
3
2
+ C = � 2
3
u
3/2+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4
"Cambio
u = cos x
= � 2
3
(cosx)
3/2+ C. = � 2
3
cos
3/2x+ C.
Luego,Z p
cosx senx dx = � 2
3
cos
3/2x+ C.
F
Ejemplo 199 : IntegreZ
senx cosx dx.
Solución : En el ejemplo 194 se resuelve esta integral con el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
y la familia de primitivas viene dada porZ
senx cosx dx =
1
2
sen
2x+ C.
En esta ocasión se resuelve la integral de la siguiente manera
Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así,es natural proponer el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 210
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Cambio
u = cos x
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
z}| {
cosx senx dx
| {z }
=
Z
u (� du) = �z }| {
Z
u du
| {z }
= � u
2
2
+ C = � 1
2
(cosx)
2+ C = � 1
2
cos
2x+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 1
"Diferencial
� du = sen x dx
Luego,Z
senx cosx dx = � 1
2
cos
2x+ C.
F
Ejemplo 200 : IntegreZ
sen
3x cos
2x dx.
Solución : Se observa que en los ejemplos del 194 al 199, se desea encontrar la familia de primitivas defunciones trigonométricas, senos y cosenos, elevadas a una potencia multiplicada por la derivada de dicha funcióntrigonométrica, es decir, las integrales resueltas presentan la siguiente estructura
Z
sen
n
x cosx dx óZ
cos
m
x senx dx
en cuyos casos se propuso los cambios de variables
u = senx ó u = cosx
respectivamente, dichos cambios transforman a las integrales dadas en integrales más sencillas de resolver, enintegrales de potencias.
En este ejemplo el integrando está formado por funciones trigonométricas, senos y cosenos, elevadas, ambas,a una potencia. la idea para obtener la familia de primitivas es re-escribir el integrando de tal forma que cumplacon la estructura de las integrales de los ejemplos del 194 al 199.
Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término seno.
#Z
sen
3x cos
2x dx =
Z
sen
2x cos
2x senx dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será senx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cosx,así, cabe la pregunta
Z
sen
3x cos
2x dx =
Z
sen
2x
| {z }
cos
2x senx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
sen
2x+ cos
2x = 1, entonces sen
2x = 1� cos
2x,
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 211
por lo que,Z
sen
3x cos
2x dx =
Z
sen
2x
| {z }
cos
2x senx dx =
Z
�
1� cos
2x
�
cos
2x senx dx.
"sen2
x = 1 � cos2 x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Diferencial
� du = sen x dx
#
Cambio
u = cos x
. &Z
�
1� cos
2x
�
cos
2x senx dx =
Z
✓
1�⇣
z}| {
cosx
⌘2◆
⇣
z}|{
cosx
⌘2 z }| {
senx dx =
Z
�
1� u
2�
u
2(�du)
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
= �Z
�
u
2 � u
4�
du = �z }| {
Z
u
2du
| {z }
+
z }| {
Z
u
4du
| {z }
= �u
3
3
+
u
5
5
+ C = �cos
3x
3
+
cos
5x
5
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 2 y n = 4
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Luego,Z
sen
3x cos
2x dx = � cos
3x
3
+
cos
5x
5
+ C.
F
Ejemplo 201 : IntegreZ
sen
5x dx.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término seno.
#Z
sen
5x dx =
Z
sen
4x senx dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será senx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cosx,así, cabe la pregunta
Z
sen
5x dx =
Z
sen
4x
| {z }
senx dx,
"¿Qué hacer con este término?
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
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por la identidad trigonométrica básica
sen
2x+ cos
2x = 1, entonces sen
2x = 1� cos
2x,
por lo que,Z
sen
5x dx =
Z
sen
4x senx dx =
Z
⇣
sen
2x
| {z }
⌘2
senx dx =
Z
�
1� cos
2x
�2senx dx.
"sen2
x = 1 � cos2 x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Diferencial
� du = sen x dx
#
Cambio
u = cos x
#Z
sen
5x dx =
Z
�
1� cos
2x
�2senx dx =
Z
✓
1�⇣
z}| {
cosx
⌘2◆2z }| {
senx dx =
Z
�
1� u
2�2
(�du)
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#= �
Z
�
1� u
2�2
du = �Z
�
1� 2u
2+ u
4�
du = �Z
du+
Z
2u
2du�
Z
u
4du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
= �z }| {
Z
du
| {z }
+2
z }| {
Z
u
2du
| {z }
�z }| {
Z
u
4du
| {z }
= � u+ 2
u
3
3
� u
5
5
+ C = � cosx+
2
3
cos
3x� cos
5x
5
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 0, n = 2 y n = 4
Luego,Z
sen
5x dx = � cosx+
2
3
cos
3x� cos
5x
5
+ C.
F
Ejemplo 202 : IntegreZ
sen
4x cos
3x dx.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término coseno.
#Z
sen
4x cos
3x dx =
Z
sen
4x cos
2x cosx dx,
"Futuro diferencial.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 213
si el diferencial de la nueva integral será cosx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senx,así, cabe la pregunta
Z
sen
4x cos
3x dx =
Z
sen
4x cos
2x
| {z }
cosx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
sen
2x+ cos
2x = 1, entonces cos
2x = 1� sen
2x,
por lo que,Z
sen
4x cos
3x dx =
Z
sen
4x cos
2x
| {z }
cosx dx =
Z
sen
4x
�
1� sen
2x
�
cosx dx.
"cos2 x = 1 � sen2
x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = cos x dx
#
Cambio
u = sen x
#
Cambio
u = sen x
#Z
sen
4x
�
1� sen
2x
�
cosx dx =
Z
⇣
z }| {
senx
⌘4✓
1�⇣
z }| {
senx
⌘2◆
z }| {
cosx dx =
Z
u
4�
1� u
2�
du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
�
u
4 � u
6�
du =
z }| {
Z
u
4du
| {z }
�z }| {
Z
u
6du
| {z }
=
u
5
5
� u
7
7
+ C =
sen
5x
5
� sen
7x
7
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4 y n = 6
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Luego,Z
sen
4x cos
3x dx =
sen
5x
5
� sen
7x
7
+ C.
F
Ejemplo 203 : IntegreZ
3
psen
2x cos
5x dx.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término coseno.
#Z
3
psen
2x cos
5x dx =
Z
3
psen
2x cos
4x cosx dx,
"Futuro diferencial.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 214
si el diferencial de la nueva integral será cosx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senx,así, cabe la pregunta
Z
3
psen
2x cos
5x dx =
Z
3
psen
2x cos
4x
| {z }
cosx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
sen
2x+ cos
2x = 1, entonces cos
2x = 1� sen
2x,
por lo que,Z
3
psen
2x cos
4x cosx dx =
Z
3
psen
2x
⇣
cos
2x
| {z }
⌘2
cosx dx =
Z
3
psen
2x
�
1� sen
2x
�2cosx dx.
"cos2 x = 1 � sen2
x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
3
psen
2x cos
4x cosx dx =
Z
3
psen
2x
�
1� sen
2x
�2cosx dx =
Z
sen
2/3x
�
1� sen
2x
�2cosx dx
Diferencial
du = cos x dx
#
Cambio
u = sen x
#
Cambio
u = sen x
#=
Z
⇣
z }| {
senx
⌘2/3✓
1�⇣
z }| {
senx
⌘2◆2z }| {
cosx dx =
Z
u
2/3�
1 + u
2�2
du =
Z
u
2/3�
1 + 2u
2+ u
4�
du
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#=
Z
⇣
u
2/3+ 2u
8/3+ u
14/3⌘
du =
Z
u
2/3du+
Z
2u
8/3du+
Z
u
14/3du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
=
z }| {
Z
u
2/3du
| {z }
+2
z }| {
Z
u
8/3du
| {z }
+
z }| {
Z
u
14/3du
| {z }
=
u
5/3
5
3
+ 2
u
11/3
11
3
+
u
17/3
17
3
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n =
2
3, n =
8
3y n =
14
3
=
3
5
u
5/3+
6
11
u
11/3+
3
17
u
17/3+ C =
3
5
sen
5/3x+
6
11
sen
11/3x+
3
17
sen
17/3x+ C.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 215
Luego,Z
3
psen
2x cos
5x dx =
3
5
sen
5/3x+
6
11
sen
11/3x+
3
17
sen
17/3x+ C.
F
Ejemplo 204 : IntegreZ
sen
5x cos
7x dx.
Solución : Se tiene que ambos términos, seno y coseno, presentan potencias impares, así, se escribe la integralcomo
Potencia impar.
Tomar un término seno.
#Z
sen
5x cos
7x dx =
Z
sen
4x cos
7x senx dx,
"Futuro diferencial.
ó también comoPotencia impar.
Tomar un término coseno.
#Z
sen
5x cos
7x dx =
Z
sen
5x cos
6x cosx dx,
"Futuro diferencial.
Cabe la pregunta
¿Cuál de las dos formas de reescribir la integral se usa?
Inicialmente, cualquiera de las dos formas se puede utilizar, pero para los cálculos de la familia de primitivasse aconseja utilizar la de menor potencia, en este caso la expresión sen
5x.
Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término seno.
#Z
sen
5x cos
7x dx =
Z
sen
4x cos
7x senx dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será senx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cosx,así, cabe la pregunta
Z
sen
5x cos
7x dx =
Z
sen
4x
| {z }
cos
7x senx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
sen
2x+ cos
2x = 1, entonces sen
2x = 1� cos
2x,
por lo que,Z
sen
5x cos
7x dx =
Z
sen
4x cos
7x senx dx =
Z
⇣
sen
2x
| {z }
⌘2
cos
7x senx dx =
Z
�
1� cos
2x
�2cos
7x senx dx.
"sen2
x = 1 � cos2 x
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 216
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
sen
5x cos
7x dx =
Z
sen
4x cos
7x senx dx =
Z
�
1� cos
2x
�2cos
7x senx dx
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Diferencial
� du = sen x dx
#
Cambio
u = cos x
. &=
Z
✓
1�⇣
z}| {
cosx
⌘2◆2⇣
z}| {
cosx
⌘7 z }| {
senx dx =
Z
�
1� u
2�2
u
7(�du) = �
Z
�
1� u
2�2
u
7du
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#= �
Z
�
1� 2u
2+ u
4�
u
7du = �
Z
�
u
7 � 2u
9+ u
11�
du = �Z
u
7du+
Z
2u
9du�
Z
u
11du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
= �z }| {
Z
u
7du
| {z }
+2
z }| {
Z
u
9du
| {z }
�z }| {
Z
u
11du
| {z }
= �u
8
8
+
u
10
5
� u
12
12
+ C = �cos
8x
8
+
cos
10x
5
� sen
12x
12
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 7, n = 9 y n = 11
Luego,Z
sen
5x cos
7x dx = � cos
8x
8
+
cos
10x
5
� sen
12x
12
+ C.
F
Ejemplo 205 : IntegreZ
sen
9x cos
3x dx.
Solución : Se tiene que ambos términos, seno y coseno, presentan potencias impares, así, se escribe la integralcomo
Potencia impar.
Tomar un término seno.
#Z
sen
9x cos
3x dx =
Z
sen
8x cos
3x senx dx,
"Futuro diferencial.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 217
ó también comoPotencia impar.
Tomar un término coseno.
#Z
sen
9x cos
3x dx =
Z
sen
9x cos
2x cosx dx,
"Futuro diferencial.
Cabe la pregunta
¿Cuál de las dos formas de reescribir la integral se usa?
Inicialmente, cualquiera de las dos formas se puede utilizar, pero para los cálculos de la familia de primitivasse aconseja utilizar la de menor potencia, en este caso la expresión cos
3x.
Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término coseno.
#Z
sen
9x cos
3x dx =
Z
sen
9x cos
2x cosx dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será cosx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senx,así, cabe la pregunta
Z
sen
9x cos
3x dx =
Z
sen
9x cos
2x
| {z }
cosx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
sen
2x+ cos
2x = 1, entonces cos
2x = 1� sen
2x,
por lo que,Z
sen
9x cos
3x dx ==
Z
sen
9x cos
2x
| {z }
cosx dx =
Z
sen
9x
�
1� sen
2x
�
cosx dx.
"cos2 x = 1 � sen2
x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = cos x dx
#
Cambio
u = sen x
#
Cambio
u = sen x
#Z
sen
9x cos
3x dx =
Z
sen
9x
�
1� sen
2x
�
cosx dx =
Z
⇣
z }| {
senx
⌘9✓
1�⇣
z }| {
senx
⌘2◆
z }| {
cosx dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 218
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
u
9�
1� u
2�
du =
Z
�
u
9 � u
11�
du =
z }| {
Z
u
9du
| {z }
�z }| {
Z
u
11du
| {z }
=
u
10
10
� u
12
12
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 9 y n = 11
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
=
1
10
sen
10x� 1
12
sen
12x+ C.
Luego,Z
sen
9x cos
3x dx =
1
10
sen
10x� 1
12
sen
12x+ C.
F
Ejemplo 206 : IntegreZ
cos
2x dx.
Solución : En este ejemplo el integrando tiene potencia par, en el ejemplo 69 se obtuvo la familia de primitivasde la función f (x) = sen
2x, por medio de la identidad trigonmétrica
sen
2x =
1� cos (2x)
2
y el cambio de variable u = 2x, la cual esZ
sen
2x dx =
x
2
� sen (2x)
4
+ C,
para obtener la familia de primitivas de la función f (x) = cos
2x se procede de la misma manera.
La identidad trigonométrica
cos
2x =
1 + cos (2x)
2
permite reescribir la integral comoZ
cos
2x dx =
Z
1 + cos (2x)
2
dx =
1
2
Z
(1 + cos (2x)) dx =
1
2
Z
dx+
1
2
Z
cos (2x) dx,
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dx = x+ C1,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dx =) du
2
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 219
Entonces, la integral queda
Diferencial
du
2= dx
#
Cambio
u = 2x
#Z
cos
z}|{
(2x)
z}|{
dx =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C2 =
1
2
sen (2x) + C2.
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Luego,Z
cos
2x dx =
1
2
x+
sen (2x)
2
�
+ C =
x
2
+
sen (2x)
4
+ C.
F
Ejemplo 207 : IntegreZ
cos
2x sen
2x dx.
Solución : En virtud que las potencias de las expresiones seno y coseno son pares, se tiene, por las identidadestrigonométricas
cos
2x =
1 + cos (2x)
2
, sen
2x =
1� cos (2x)
2
.
que la integral se puede expresar como
Producto notable
(a + b) (a � b) = a
2 � b
2
#Z
cos
2x sen
2x dx =
Z
✓
1 + cos (2x)
2
◆✓
1� cos (2x)
2
◆
dx =
Z
z }| {
(1 + cos (2x)) (1� cos (2x))
4
dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
=
1
4
Z
✓
1� cos
2(2x)
| {z }
◆
dx =
1
4
Z
sen
2(2x)
| {z }
dx =
1
4
Z
1� cos (4x)
2
dx =
1
4
1
2
Z
(1� cos (4x)) dx
" " "Identidad trigonométrica
sen2 (·) + cos2 (·) = 1
de aquí, sen2 (2x) = 1 � cos2 (2x)
Identidad trigonométrica
sen2 (·) =1 � cos 2 (·)
2
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
=
1
8
✓
Z
dx�Z
cos (4x) dx
◆
=
1
8
Z
dx� 1
8
Z
cos (4x) dx.
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Se calcula las integrales. La primera integral es sencillaZ
dx = x+ C1.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 220
Para la segunda integral, se propone el cambio de variable
u = 4x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 4 dx =) du
4
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du
4= dx
#
Cambio
u = 4x
#Z
cos
z}|{
(4x)
z}|{
dx =
Z
cosu
du
4
=
1
4
Z
cosu du =
1
4
senu+ C2 =
1
4
sen (4x) + C2.
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Luego,Z
cos
2x sen
2x dx =
1
8
(x+ C1)�1
8
✓
1
4
sen (4x) + C2
◆
=
x
8
� 1
32
sen (4x) + C,
es decir,Z
cos
2x sen
2x dx =
x
8
� 1
32
sen (4x) + C.
F
Ejemplo 208 : IntegreZ
cos
2(3x) sen
4(3x) dx.
Solución : Puesto que, las potencias de las expresiones seno y coseno son pares se usa las identidadestrigonométricas
cos
2(·) = 1 + cos (2 (·))
2
, sen
2(·) = 1� cos (2 (·))
2
.
de aquí,
cos
2(3x) =
1 + cos (6x)
2
, sen
2(3x) =
1� cos (6x)
2
.
Tenemos,Z
cos
2(3x) sen
4(3x) dx =
Z
cos
2(3x)
| {z }
✓
sen
2(3x)
| {z }
◆2
dx =
Z
✓
1 + cos (6x)
2
◆✓
1� cos (6x)
2
◆2
dx
" "Identidad trigonométrica
cos2 (·) =1 + cos (2 (·))
2
Identidad trigonométrica
sen2 (·) =1 � cos (2 (·))
2
Producto notable
(a + b) (a � b) = a
2 � b
2
#
=
Z
1 + cos (6x)
2
(1� cos (6x))
2
4
dx =
Z
z }| {
(1 + cos (6x)) (1� cos (6x)) (1� cos (6x))
8
dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 221
=
1
8
Z
✓
1� cos
2(6x)
| {z }
◆
(1� cos (6x)) dx =
1
8
Z
sen
2(6x) (1� cos (6x)) dx
"Identidad trigonométrica
sen2 (·) + cos2 (·) = 1
de aquí, sen2 (2x) = 1 � cos2 (2x)
=
1
8
Z
�
sen
2(6x)� sen
2(6x) cos (6x)
�
dx =
1
8
✓
Z
sen
2(6x) dx�
Z
sen
2(6x) cos (6x) dx
◆
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
=
1
8
Z
sen
2(6x) dx� 1
8
Z
sen
2(6x) cos (6x) dx,
Se resuelven las integrales. Para hallar la familia de primitivas de la función f (x) = sen
2(6x) la primera
integral se usa, nuevamente la identidad trigonométrica
sen
2(·) = 1� cos (2 (·))
2
=) sen
2(6x) =
1� cos (12x)
2
así,Z
sen
2(6x) dx =
Z
1� cos (12x)
2
dx =
1
2
Z
(1� cos (12x)) dx =
1
2
Z
dx� 1
2
Z
cos (12x) dx,
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
donde,Z
dx = x+ C1,
mientras que, para la otra integral se propone el cambio de variable
u = 12x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 12 dx =) du
12
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Se obtiene
Diferencial
du
12= dx
#
Cambio
u = 12x
#Z
cos
z }| {
(12x)
z}|{
dx =
Z
cosu
du
12
=
1
12
Z
cosu du =
1
12
senu+ C2 =
1
12
sen (12x) + C2.
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
así,Z
sen
2(6x) dx =
1
2
(x+ C1)�1
2
✓
1
12
sen (12x) + C2
◆
=
x
2
� 1
24
sen (12x) + C3.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 222
Por otra parte, para obtener la familia de primitivas de y = sen
2(6x) cos (6x), se propone el cambio de
variable
u = sen (6x)
Cálculo del
���������!diferencial
du = 6 cos (6x) dx =) du
6
= cos (6x) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du
6= cos (6x) dx
#
Cambio
u = sen (6x)
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
sen
2(6x) cos (6x) dx =
Z
✓
z }| {
sen (6x)
◆2z }| {
cos (6x) dx =
Z
u
2 du
6
=
1
6
z }| {
Z
u
2du
| {z }
=
1
6
u
3
3
+ C4
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 2
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
=
1
18
u
3+ C4 =
1
18
sen
3(6x) + C4,
con lo que,Z
sen
2(6x) cos (6x) dx =
1
18
sen
3(6x) + C4.
Por lo tanto,Z
cos
2(3x) sen
4(3x) dx =
1
8
✓
x
2
� 1
24
sen (12x) + C3
◆
� 1
8
✓
1
18
sen
3(6x) + C4
◆
.
Luego,Z
cos
2(3x) sen
4(3x) dx =
x
16
� 1
192
sen (12x)� 1
144
sen
3(6x) + C.
F
Ejemplo 209 : IntegreZ
tan
6x sec
2x dx.
Solución : Se observa que la derivada de la función y = tanx está presente en el integrando, eso sugiere elcambio de variable
u = tanx
Cálculo del
���������!diferencial
du = sec
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
u = tan x
#
Diferencial
du = sec2 x dx
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
tan
6x sec
2x dx =
Z
✓
z }| {
tanx
◆6z }| {
sec
2x dx =
z }| {
Z
u
6du
| {z }
=
u
7
7
+ C =
tan
7x
7
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 6
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 223
Luego,Z
tan
6x sec
2x dx =
tan
7x
7
+ C.
F
Ejemplo 210 : IntegreZ
tan
1/2x sec
4x dx.
Solución : Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como
Potencia par.
Tomar un término sec2 x.
#Z
tan
1/2x sec
4x dx =
Z
tan
1/2x sec
2x sec
2x dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será sec
2x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tanx,
así, cabe la preguntaZ
tan
1/2x sec
4x dx =
Z
tan
1/2x sec
2x
| {z }
sec
2x dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básicatan
2x+ 1 = sec
2x,
se tiene,Z
tan
1/2x sec
2x sec
2x dx =
Z
tan
1/2x sec
2x
| {z }
sec
2x dx =
Z
tan
1/2x
�
tan
2x+ 1
�
sec
2x dx.
"tan2
x + 1 = sec2 x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secanteal cuadrado, así, se propone el cambio de variable
u = tanx
Cálculo del
���������!diferencial
du = sec
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = sec2 x dx
#
Cambio
u = tan x
#
Cambio
u = tan x
#Z
tan
1/2x sec
4x dx =
Z
tan
1/2x
�
tan
2x+ 1
�
sec
2x dx =
Z
✓
z }| {
tanx
◆1/2
✓
z }| {
tanx
◆2
+ 1
!
z }| {
sec
2x dx
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
u
1/2�
u
2+ 1
�
du =
Z
⇣
u
5/2+ u
1/2⌘
du =
z }| {
Z
u
5/2du
| {z }
+
z }| {
Z
u
1/2du
| {z }
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n =
5
2y n =
1
2
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 224
=
u
7/2
7
2
+
u
3/2
3
2
+ C =
2
7
u
7/2+
2
3
u
3/2+ C =
2
7
tan
7/2x+
2
3
tan
3/2x+ C.
Luego,Z
tan
1/2x sec
4x dx =
2
7
tan
7/2x+
2
3
tan
3/2x+ C.
F
Ejemplo 211 : IntegreZ
tan
4(ax) sec
6(ax) dx.
Solución : Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como
Potencia par.
Tomar un término sec2 (ax).
#Z
tan
4(ax) sec
6(ax) dx =
Z
tan
4(ax) sec
4(ax) sec
2(ax) dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será sec
2(ax) dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es
tan (ax), así, cabe la preguntaZ
tan
4(ax) sec
6(ax) dx =
Z
tan
4(ax) sec
4(ax)
| {z }
sec
2(ax) dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
tan
2(·) + 1 = sec
2(·) , se tiene tan
2(ax) + 1 = sec
2(ax) ,
por lo que,Z
tan
4(ax) sec
4(ax) sec
2(ax) dx =
Z
tan
4(ax)
✓
sec
2(ax)
| {z }
◆2
sec
2(ax) dx
"tan2 (ax) + 1 = sec2 (ax)
=
Z
tan
4(ax)
�
tan
2(ax) + 1
�2sec
2(ax) dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secanteal cuadrado, así, se propone el cambio de variable
u = tan (ax)
Cálculo del
���������!diferencial
du = a sec
2(ax) dx =) du
a
= sec
2(ax) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
tan
4(ax) sec
4(ax) sec
2(ax) dx =
Z
tan
4(ax)
�
tan
2(ax) + 1
�2sec
2(ax) dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 225
Diferencial
du
a
= sec2 (ax) dx
#
Cambio
u = tan (ax)
#
Cambio
u = tan (ax)
#
=
Z
✓
z }| {
tan (ax)
◆4
✓
z }| {
tan (ax)
◆2
+ 1
!2z }| {
sec
2(ax) dx =
Z
u
4�
u
2+ 1
�2 du
a
=
1
a
Z
u
4�
u
2+ 1
�2du
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#=
1
a
Z
u
4�
u
4+ 2u
2+ 1
�
du =
1
a
Z
�
u
8+ 2u
6+ u
4�
du =
1
a
✓
Z
u
8du+
Z
2u
6du+
Z
u
4du
◆
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
=
1
a
0
@
z }| {
Z
u
8du
| {z }
+2
z }| {
Z
u
6du
| {z }
+
z }| {
Z
u
4du
| {z }
1
A
=
1
a
✓
u
9
9
+
2u
7
7
+
u
5
5
◆
+ C =
u
9
9a
+
2u
7
7a
+
u
5
5a
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 8, n = 6 y n = 4
=
tan
9(ax)
9a
+
2 tan
7(ax)
7a
+
tan
5(ax)
5a
+ C.
Luego,Z
tan
4(ax) sec
6(ax) dx =
tan
9(ax)
9a
+
2 tan
7(ax)
7a
+
tan
5(ax)
5a
+ C.
F
Ejemplo 212 : IntegreZ
sec
6(b� ax) dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
u = b� ax
Cálculo del
���������!diferencial
du = � a dx =) � du
a
= dx,
y la integral quedaZ
sec
6
✓
b� ax
| {z }
◆
dx
|{z}
=
Z
sec
6u
✓
� du
a
◆
=
Z
sec
6u
� 1
a
|{z}
!
du = � 1
a
Z
sec
6u du
"Cambio
u = b � ax
"Diferencial
�du
a
= dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como
Potencia par.
Tomar un término sec2 u.
#Z
sec
6u du =
Z
sec
4u sec
2u du,
"Futuro diferencial.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 226
si el diferencial de la nueva integral será sec
2u du, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tanu,
así, cabe la pregunta¿Qué hacer con este término?
#Z
sec
6u du =
Z
z }| {
sec
4u sec
2u du,
por la identidad trigonométrica básicatan
2u+ 1 = sec
2u,
se tiene,
tan2
u + 1 = sec2 u
#Z
sec
6u du =
Z
sec
4u sec
2u du =
Z
z }| {
sec
2u
!2
sec
2u du =
Z
�
tan
2u+ 1
�2sec
2u du.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secanteal cuadrado, así, se propone el cambio de variable
z = tanu
Cálculo del
���������!diferencial
dz = sec
2u du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dz = sec2 u du
#
Cambio
z = tanu
#Z
sec
6u du =
Z
�
sec
2u
�2sec
2u du =
Z
�
tan
2u+ 1
�2sec
2u du =
Z
✓
z }| {
tanu
◆2
+ 1
!2z }| {
sec
2u du
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Linealidad de la integral
Z
(f (u) + g (u)) du =
Z
f (u) du +
Z
g (u) du
#=
Z
�
z
2+ 1
�2dz =
Z
�
z
4+ 2z
2+ 1
�
dz =
Z
z
4dz +
Z
2z
2dz +
Z
dz
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
=
z }| {
Z
z
4dz
| {z }
+2
z }| {
Z
z
2dz
| {z }
+
z }| {
Z
dz
| {z }
=
z
5
5
+ 2
z
3
3
+ z + C1 =
1
5
tan
5u+
2
3
tan
3u+ tanu+ C1,
Z
z
n
dz =z
n+1
n + 1+ C con n = 4, n = 2 y n = 0
así,Z
sec
6u du =
1
5
tan
5u+
2
3
tan
3u+ tanu+ C1,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 227
por lo que,Z
sec
6(b� ax) dx = � 1
a
Z
sec
6u du = � 1
a
1
5
tan
5u+
2
3
tan
3u+ tanu+ C1
�
= � 1
5a
tan
5u � 2
3a
tan
3u � 1
a
tanu+ C,
como u = b� ax, se tieneZ
sec
6(b� ax) dx = � 1
5a
tan
5(b� ax) � 2
3a
tan
3(b� ax) � 1
a
tan (b� ax) + C.
F
Ejemplo 213 : IntegreZ
tan
4(4x) dx
Solución : Como no hay término secante y la potencia de la tangente es par, se escribe la integral comoZ
tan
4(4x) dx =
Z
tan
2(4x) tan
2(4x) dx,
por la identidad trigonométrica
tan
2(·) + 1 = sec
2(·) , se tiene que tan
2(·) = sec
2(·)� 1,
así,
tan2 (4x) = sec2 (4x) � 1
#Z
tan
4(4x) dx =
Z
tan
2(4x)
z }| {
tan
2(4x) dx =
Z
tan
2(4x)
�
sec
2(4x)� 1
�
dx
=
Z
�
tan
2(4x) sec
2(4x)� tan
2(4x)
�
dx =
Z
tan
2(4x) sec
2(4x) dx�
Z
tan
2(4x) dx.
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Se resuelven cada una de las nuevas integrales. Para la primera integral, se observa que la derivada de la funciónf (x) = tan (4x), salvo una constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable
u = tan (4x)
Cálculo del
���������!diferencial
du = 4 sec
2(4x) dx =) du
4
= sec
2(4x) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du
4= sec2 (4x) dx
#
Cambio
u = tan (4x)
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
tan
2(4x) sec
2(4x) dx =
Z
✓
z }| {
tan (4x)
◆2z }| {
sec
2(4x) dx =
Z
u
2 du
4
=
1
4
z }| {
Z
u
2du
| {z }
=
1
4
u
3
3
+ C1 =
tan
3(4x)
12
+ C1,
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 2
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 228
es decir,Z
tan
2(4x) sec
2(4x) dx =
tan
3(4x)
12
+ C1.
Para la segunda integral, se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica
tan
2(·) + 1 = sec
2(·) , se tiene que tan
2(·) = sec
2(·)� 1,
y se escribe la integral comoZ
tan
2(4x) dx =
Z
�
sec
2(4x)� 1
�
dx =
Z
sec
2(4x) dx�
Z
dx,
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Para obtenerZ
sec
2(4x) dx, se propone el cambio de variable
u = 4x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 4 dx =) du
4
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du
4= dx
#
Cambio
u = 4x
#Z
sec
2z}|{
(4x) dx =
Z
sec
2u
du
4
=
1
4
Z
sec
2u du =
1
4
tanu+ C2 =
1
4
tan (4x) + C2,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
es decir,Z
sec
2(4x) dx =
1
4
tan (4x) + C2.
Por otra parte,Z
dx = x+ C3,
con lo que,Z
tan
2(4x) dx =
Z
sec
2(4x) dx�
Z
dx =
1
4
tan (4x)� x+ C4.
Luego,Z
tan
4(4x) dx =
1
12
tan
3(4x)� 1
4
tan (4x) + x+ C.
F
Ejemplo 214 : IntegreZ
tan
5x sec
2x dx.
Solución : Se observa que la derivada de la función y = tanx está presente en el integrando, eso sugiere elcambio de variable
u = tanx
Cálculo del
���������!diferencial
du = sec
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 229
Entonces, la integral queda
Cambio
u = tan x
#
Diferencial
du = sec2 x dx
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
tan
5x sec
2x dx =
Z
✓
z }| {
tanx
◆5z }| {
sec
2x dx =
z }| {
Z
u
5du
| {z }
=
u
6
6
+ C =
tan
6x
6
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 5
Luego,Z
tan
5x sec
2x dx =
tan
6x
6
+ C.
Otra manera de obtener la familia de primitiva de la función f (x) = tan
5x sec
2x, en virtud que la potencia
de la tangente es impar, es escribir la integral como
Potencia impar.
Tomar un término tan x sec x.
#Z
tan
5x sec
2x dx =
Z
tan
4x secx tanx secx dx
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será tanx secx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer essecx, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
tan
5x sec
2x dx =
Z
z }| {
tan
4x secx tanx secx dx,
por la identidad trigonométrica
tan
2x+ 1 = sec
2x, se tiene que tan
2x = sec
2x� 1,
así,tan2
x = sec2 x � 1
#Z
tan
5x sec
2x dx =
Z
z }| {
tan
2x
!2
secx tanx secx dx =
Z
�
sec
2x� 1
�2secx tanx secx dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangentepor secante, así, se propone el cambio de variable
u = secx
Cálculo del
���������!diferencial
du = tanx secx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
tan
5x sec
2x dx =
Z
�
tan
2x
�2secx tanx secx dx =
Z
�
sec
2x� 1
�2secx tanx secx dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 230
Diferencial
du = tan x sec x dx
#
Cambio
u = sec x
#
Cambio
u = sec x
#=
Z
✓
⇣
z}|{
secx
⌘2
� 1
◆2z}|{
secx
z }| {
tanx secx dx =
Z
�
u
2 � 1
�2u du =
Z
�
u
4 � 2u
2+ 1
�
u du
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
�
u
5 � 2u
3+ u
�
du =
Z
u
5du�
Z
2u
3du+
Z
u du =
z }| {
Z
u
5du
| {z }
�2z }| {
Z
u
3du
| {z }
+
z }| {
Z
u du
| {z }
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 5, n = 3 y n = 1
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
=
u
6
6
� u
4
2
+
u
2
2
+ C =
sec
6x
6
� sec
4x
2
+
sec
2x
2
+ C.
Luego,Z
tan
5x sec
2x dx =
sec
6x
6
� sec
4x
2
+
sec
2x
2
+ C.
F
Ejemplo 215 : IntegreZ
tan
3x sec
1/2x dx.
Solución : Como la potencia de la tangente es impar, entonces se debe tomar un término tanx secx ytransformamos los demás términos en secante, pero observemos que el término secx que se necesita no aparece,así, multiplicamos y dividimos, el integrando, por secx y obtenemos
Z
tan
3x sec
1/2x dx =
Z
tan
3x sec
1/2x
1
secx
secx dx =
Z
tan
3x sec
�1/2x secx dx,
así, se tienePotencia impar.
Tomar un término tan x sec x.
#Z
tan
3x sec
1/2x dx =
Z
tan
2x sec
�1/2x tanx secx dx
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será tanx secx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer essecx, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
tan
3x sec
1/2x dx =
Z
z }| {
tan
2x sec
�1/2x tanx secx dx,
por la identidad trigonométrica
tan
2x+ 1 = sec
2x, se tiene que tan
2x = sec
2x� 1,
así,
tan2
x = sec2 x � 1
#Z
tan
3x sec
1/2x dx =
Z
z }| {
tan
2x sec
�1/2x tanx secx dx =
Z
�
sec
2x� 1
�
sec
�1/2x tanx secx dx.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 231
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangentepor secante, así, se propone el cambio de variable
u = secx
Cálculo del
���������!diferencial
du = tanx secx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
tan
3x sec
1/2x dx =
Z
tan
2x sec
�1/2x tanx secx dx =
Z
�
sec
2x� 1
�
sec
�1/2x tanx secx dx
Diferencial
du = tan x sec x dx
#
Cambio
u = sec x
#
Cambio
u = sec x
#=
Z
✓
⇣
z}|{
secx
⌘2
� 1
◆
⇣
z}|{
secx
⌘�1/2 z }| {
tanx secx dx =
Z
�
u
2 � 1
�
u
�1/2du =
Z
⇣
u
3/2 � u
�1/2⌘
du
| {z }
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dxIntegrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
z }| {
Z
u
3/2du
| {z }
�z }| {
Z
u
�1/2du
| {z }
=
2
5
u
5/2 � 2u
1/2+ C =
2
5
sec
5/2x� 2 sec
1/2x+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n =
2
3y n = �
1
2
Luego,Z
tan
3x sec
1/2x dx =
2
5
sec
5/2x� 2 sec
1/2x+ C.
F
Ejemplo 216 : IntegreZ
tan
5x dx.
Solución : Como la potencia de la tangente es impar, entonces se debe tomar un término tanx secx ytransformamos los demás términos en secante, pero observemos que el término secx que se necesita no aparece,así, multiplicamos y dividimos, el integrando, por secx y obtenemos
Z
tan
5x dx =
Z
tan
5x
1
secx
secx dx =
Z
tan
5x
secx
secx dx,
así, se tienePotencia impar.
Tomar un término tan x sec x.
#Z
tan
5x dx =
Z
tan
4x
secx
tanx secx dx
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será tanx secx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer essecx, así, cabe la pregunta
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 232
¿Qué hacer con este término?
#Z
tan
5x dx =
Z
z }| {
tan
4x
secx
tanx secx dx,
por la identidad trigonométrica
tan
2x+ 1 = sec
2x, se tiene que tan
2x = sec
2x� 1,
así,
tan2
x = sec2 x � 1
#
Z
tan
5x dx =
Z
tan
4x
secx
tanx secx dx =
Z
z }| {
tan
2x
!2
secx
tanx secx dx =
Z
�
sec
2x� 1
�2
secx
tanx secx dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangentepor secante, así, se propone el cambio de variable
u = secx
Cálculo del
���������!diferencial
du = tanx secx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
tan
5x dx =
Z
tan
4x
secx
tanx secx dx =
Z
�
sec
2x� 1
�2
secx
tanx secx dx
Diferencial
du = tan x sec x dx
#
Cambio
u = sec x
#
=
Z
✓
⇣
z}|{
secx
⌘2
� 1
◆2
secx
|{z}
z }| {
tanx secx dx
=
Z
�
u
2 � 1
�2
u
du =
Z
u
4 � 2u
2+ 1
u
du
"Cambio
u = sec x
=
Z
✓
u
4
u
� 2u
2
u
+
1
u
◆
du =
Z
✓
u
3 � 2u+
1
u
◆
du =
Z
u
3du�
Z
2u du+
Z
1
u
du
"Propiedades de los racionales
a + b
c
=a
c
+b
c
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
Logaritmo
natural.
=
z }| {
Z
u
3du
| {z }
�2z }| {
Z
u du
| {z }
+
z }| {
Z
du
u
=
u
4
4
� 2
u
2
2
+ ln |u|+ C =
sec
4x
4
� sec
2x+ ln |secx|+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 3 y n = 1
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 233
Luego,Z
tan
5x dx =
sec
4x
4
� sec
2x+ ln |secx|+ C.
F
Ejemplo 217 : IntegreZ
cot
4x csc
2x dx.
Solución : Se observa que la derivada de la función y = cotx está presente en el integrando, salvo unaconstante, eso sugiere el cambio de variable
u = cotx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � csc
2x dx =) � du = csc
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
� du = csc2 x dx
#
Cambio
u = cot x
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
cot
4x csc
2x dx =
Z
✓
z}|{
cotx
◆4z }| {
csc
2x dx =
Z
u
4(� du) = �
z }| {
Z
u
4du
| {z }
= � u
5
5
+ C = � cot
5x
5
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Luego,Z
cot
4x csc
2x dx = � cot
5x
5
+ C.
F
Ejemplo 218 : IntegreZ
cot
7x csc
2x dx.
Solución : Se observa que la derivada de la función y = cotx está presente en el integrando, salvo unaconstante, eso sugiere el cambio de variable
u = cotx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � csc
2x dx =) � du = csc
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
� du = csc2 x dx
#
Cambio
u = cot x
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Z
cot
7x csc
2x dx =
Z
✓
z}|{
cotx
◆7z }| {
csc
2x dx =
Z
u
7(� du) = �
z }| {
Z
u
7du
| {z }
= � u
8
8
+ C = � cot
8x
8
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 7
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 234
Luego,Z
cot
7x csc
2x dx = � cot
8x
8
+ C.
F
Ejemplo 219 : IntegreZ
cot
6x csc
6x dx.
Solución : Como la potencia de la cosecante es par, la integral se escribe como
Potencia par.
Tomar un término csc2 x.
#Z
cot
6x csc
6x dx =
Z
cot
6x csc
4x csc
2x dx,
"Futuro diferencial,
salvo una constante negativa.
si el diferencial de la nueva integral será csc
2x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable
que se debe proponer es cotx, así, cabe la preguntaZ
cot
6x csc
6x dx =
Z
cot
6x csc
4x
| {z }
csc
2x dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica1 + cot
2x = csc
2x,
por lo que,Z
cot
6x csc
4x csc
2x dx =
Z
cot
6x
⇣
csc
2x
| {z }
⌘2
csc
2x dx =
Z
cot
6x
�
1 + cot
2x
�2csc
2x dx.
"1 + cot2 x = csc2 x
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente y su correspondiente derivada, la funcióncosecante al cuadrado, salvo una constante negativa, así, se propone el cambio de variable
u = cotx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � csc
2x dx =) � du = csc
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cot
6x csc
4x csc
2x dx =
Z
cot
6x
�
1 + cot
2x
�2csc
2x dx
Diferencial
� du = csc2 x dx
#
Cambio
u = cot x
#
Cambio
u = cot x
#=
Z
✓
z}|{
cotx
◆6
1 +
✓
z}|{
cotx
◆2!2z }| {
csc
2x dx =
Z
u
6�
1 + u
2�2
(� du) = �Z
u
6�
1 + u
2�2
du
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 235
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#= �
Z
u
6�
1 + 2u
2+ u
4�
du = �Z
�
u
6+ 2u
8+ u
10�
du = �✓
Z
u
6du+
Z
2u
8du+
Z
u
10du
◆
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
= �
0
@
z }| {
Z
u
6du
| {z }
+2
z }| {
Z
u
8du
| {z }
+
z }| {
Z
u
10du
| {z }
1
A
= �✓
u
7
7
+
2u
9
9
+
u
11
11
◆
+ C = � u
7
7
� 2u
9
9
� u
11
11
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 6, n = 8 y n = 10
= � cot
7x
7
� 2 cot
9x
9
� cot
11x
11
+ C.
Luego,Z
cot
6x csc
6x dx = � cot
7x
7
� 2 cot
9x
9
� cot
11x
11
+ C.
F
Ejemplo 220 : IntegreZ
cot
3x csc
8x dx.
Solución : Como la potencia de la cosecante es par, la integral se escribe como
Potencia par.
Tomar un término csc2 x.
#Z
cot
3x csc
8x dx =
Z
cot
3x csc
6x csc
2x dx,
"Futuro diferencial,
salvo una constante negativa.
si el diferencial de la nueva integral será csc
2x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable
que se debe proponer es cotx, así, cabe la preguntaZ
cot
3x csc
8x dx =
Z
cot
3x csc
6x
| {z }
csc
2x dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica1 + cot
2x = csc
2x,
por lo que,Z
cot
3x csc
6x csc
2x dx =
Z
cot
3x
⇣
csc
3x
| {z }
⌘2
csc
2x dx =
Z
cot
3x
�
1 + cot
2x
�3csc
2x dx.
"1 + cot2 x = csc2 x
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 236
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente y su correspondiente derivada, la funcióncosecante al cuadrado, salvo una constante negativa, así, se propone el cambio de variable
u = cotx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � csc
2x dx =) � du = csc
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
� du = csc2 x dx
#
Cambio
u = cot x
#
Cambio
u = cot x
#Z
cot
3x csc
6x csc
2x dx =
Z
cot
3x
�
1 + cot
2x
�3csc
2x dx =
Z
✓
z}|{
cotx
◆3
1 +
✓
z}|{
cotx
◆2!3z }| {
csc
2x dx
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#=
Z
u
3�
1 + u
2�3
(� du) = �Z
u
3�
1 + u
2�3
du = �Z
u
3�
1 + 3u
2+ 3u
4+ u
6�
du
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
# #
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#= �
Z
�
u
3+ 3u
5+ 3u
7+ u
9�
du = �✓
Z
u
3du+
Z
3u
5du+
Z
3u
7du+
Z
u
9du
◆
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
= �
0
@
z }| {
Z
u
3du
| {z }
+ 3
z }| {
Z
u
5du
| {z }
+ 3
z }| {
Z
u
7du
| {z }
+
z }| {
Z
u
9du
| {z }
1
A
= �✓
u
4
4
+ 3
u
6
6
+ 3
u
8
8
+
u
10
10
◆
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 3, n = 5, n = 7 y n = 9
= � u
5
5
� u
6
2
� 3u
8
8
� u
10
10
+ C = � cot
5x
5
� cot
6x
2
� 3 cot
8x
8
� cot
10x
10
+ C.
Luego,Z
cot
3x csc
8x dx = � cot
5x
5
� cot
6x
2
� 3 cot
8x
8
� cot
10x
10
+ C.
Otra manera de obtener la familia de primitiva de la función f (x) = cot
3x csc
8x, es, en virtud que la
potencia de la cotangente es impar, escribir la integral como
Potencia impar.
Tomar un término cot x csc x.
#Z
cot
3x csc
8x dx =
Z
cot
2x csc
7x cotx cscx dx
"Futuro diferencial.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 237
si el diferencial de la nueva integral será cotx cscx dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscx, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
cot
3x csc
8x dx =
Z
z }| {
cot
2x csc
7x cotx cscx dx,
por la identidad trigonométrica
1 + cot
2x = csc
2x, se tiene que cot
2x = csc
2x� 1,
así,cot2 x = csc2 x � 1
#Z
cot
3x csc
8x dx =
Z
z }| {
cot
2x csc
7x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�
csc
7x cotx cscx dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo unaconstante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable
u = cscx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � cotx cscx dx =) � du = cotx cscx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cot
3x csc
8x dx =
Z
cot
2x csc
7x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�
csc
7x cotx cscx dx
Diferencial
� du = cot x csc x dx
#
Cambio
u = csc x
#
Cambio
u = csc x
#=
Z
✓
⇣
z}|{
cscx
⌘2
� 1
◆
⇣
z}|{
cscx
⌘7 z }| {
cotx cscx dx =
Z
�
u
2 � 1
�
u
7(� du) = �
Z
�
u
2 � 1
�
u
7du
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
= �Z
�
u
9 � u
7�
du = �
0
@
z }| {
Z
u
9du
| {z }
�z }| {
Z
u
7du
| {z }
1
A
= � u
10
10
+
u
8
8
+ C = � csc
10x
10
+
csc
8x
8
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 9, y n = 7
Luego,Z
cot
3x csc
8x dx = � csc
10x
10
+
csc
8x
8
+ C.
F
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 238
Ejemplo 221 : IntegreZ
cot
9x csc
6x dx.
Solución : Puesto que, la potencia de la cotangente es impar, se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término cot x csc x.
#Z
cot
9x csc
6x dx =
Z
cot
8x csc
5x cotx cscx dx
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será cotx cscx dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscx, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
cot
9x csc
6x dx =
Z
z }| {
cot
8x csc
5x cotx cscx dx,
por la identidad trigonométrica
1 + cot
2x = csc
2x, se tiene que cot
2x = csc
2x� 1,
así,tan2
x = sec2 x � 1
#Z
cot
9x csc
6x dx =
Z
z }| {
cot
2x
!4
csc
5x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�4csc
5x cotx cscx dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo unaconstante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable
u = cscx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � cotx cscx dx =) � du = cotx cscx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cot
9x csc
6x dx =
Z
�
cot
2x
�4csc
5x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�4csc
5x cotx cscx dx
Diferencial
� du = cot x csc x dx
#
Cambio
u = csc x
#
Cambio
u = csc x
#=
Z
✓
⇣
z}|{
cscx
⌘2
� 1
◆4⇣
z}|{
cscx
⌘5 z }| {
cotx cscx dx =
Z
�
u
2 � 1
�4u
5(� du) = �
Z
�
u
2 � 1
�4u
5du
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
= �Z
�
u
8 � 4u
6+ 6u
4 � 4u
2+ 1
�
u
5du = �
Z
�
u
13 � 4u
11+ 6u
9 � 4u
7+ u
5�
du
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 239
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#= �
✓
Z
u
13du�
Z
4u
11du+
Z
6u
9du�
Z
4u
7du+
Z
u
5du
◆
" " "Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
# # . # &
= �
0
@
z }| {
Z
u
13du
| {z }
� 4
z }| {
Z
u
11du
| {z }
+ 6
z }| {
Z
u
9du
| {z }
� 4
z }| {
Z
u
7du
| {z }
+
z }| {
Z
u
5du
| {z }
1
A
- " " " %Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 13, n = 11, n = 9, n = 7 y n = 5
= �✓
u
14
14
� 4
u
12
12
+ 6
u
10
10
� 4
u
8
8
+
u
6
6
◆
+ C = � u
14
14
+
u
12
3
� 3
u
10
5
+
u
8
2
� u
6
6
+ C
= � csc
14x
14
+
csc
12x
3
� 3
5
csc
10x+
csc
8x
2
� csc
6x
6
+ C.
Luego,Z
cot
9x csc
6x dx = � csc
14x
14
+
csc
12x
3
� 3
5
csc
10x+
csc
8x
2
� csc
6x
6
+ C.
F
Ejemplo 222 : IntegreZ
cot
5x csc
5x dx.
Solución : Como la potencia de la cotangente es impar, se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término cot x csc x.
#Z
cot
5x csc
5x dx =
Z
cot
4x csc
4x cotx cscx dx
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será cotx cscx dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscx, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
cot
5x csc
5x dx =
Z
z }| {
cot
4x csc
4x cotx cscx dx,
por la identidad trigonométrica
1 + cot
2x = csc
2x, se tiene que cot
2x = csc
2x� 1,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 240
así,cot2 x = csc2 x � 1
#Z
cot
5x csc
5x dx =
Z
z }| {
cot
2x
!2
csc
4x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�2csc
4x cotx cscx dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo unaconstante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable
u = cscx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � cotx cscx dx =) � du = cotx cscx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cot
5x csc
5x dx =
Z
�
cot
2x
�2csc
4x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�2csc
4x cotx cscx dx
Diferencial
� du = cot x csc x dx
#
Cambio
u = csc x
#
Cambio
u = csc x
#=
Z
✓
⇣
z}|{
cscx
⌘2
� 1
◆2⇣
z}|{
cscx
⌘4 z }| {
cotx cscx dx =
Z
�
u
2 � 1
�2u
4(� du) = �
Z
�
u
2 � 1
�2u
4du
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
= �Z
�
u
4 � 2u
2+ 1
�
u
4du = �
Z
�
u
8 � 2u
6+ u
4�
du = �✓
Z
u
8du�
Z
2u
6du+
Z
u
4du
◆
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
= �
0
@
z }| {
Z
u
8du
| {z }
� 2
z }| {
Z
u
6du
| {z }
+
z }| {
Z
u
4du
| {z }
1
A
= �✓
u
9
9
� 2
u
7
7
+
u
5
5
◆
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 8, n = 6 y n = 4
= �u
9
9
+
2u
7
7
� u
5
5
+ C = � csc
9x
9
+
2 csc
7x
7
� csc
5x
5
+ C.
Luego,Z
cot
5x csc
5x dx = � csc
9x
9
+
2 csc
7x
7
� csc
5x
5
+ C.
F
Ejemplo 223 : IntegreZ
cot
5x csc
1/5x dx.
Solución : Como la potencia de la cotangente es impar, entonces se debe tomar un término cotx cscx ytransformar los demás términos en cosecante, pero se observa que el término cscx que se necesita no aparece, así,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 241
se multiplica y se divide, el integrando, por cscx y se obtieneZ
cot
5x csc
1/5x dx =
Z
cot
5x csc
1/5x
1
cscx
cscx dx =
Z
cot
5x csc
�4/5x cscx dx,
de aquí,Potencia impar.
Tomar un término cot x csc x.
#Z
cot
5x csc
1/5x dx =
Z
cot
4x csc
�4/5x cotx cscx dx
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será cotx cscx dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscx, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
cot
5x csc
1/5x dx =
Z
z }| {
cot
4x csc
�4/5x cotx cscx dx,
por la identidad trigonométrica
1 + cot
2x = csc
2x, se tiene que cot
2x = csc
2x� 1,
así,
cot2 x = csc2 x � 1
#Z
cot
5x csc
1/5x dx =
Z
z }| {
cot
2x
!2
csc
�4/5x cotx cscx dx =
Z
�
csc
2x� 1
�2csc
�4/5x cotx cscx dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo unaconstante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable
u = cscx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � cotx cscx dx =) � du = cotx cscx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
� du = cot x csc x dx
#
Cambio
u = csc x
#
Cambio
u = csc x
#Z
cot
5x csc
1/5x dx =
Z
cot
4x csc
�4/5x cotx cscx dx =
Z
✓
⇣
z}|{
cscx
⌘2
� 1
◆2⇣
z}|{
cscx
⌘�4/5 z }| {
cotx cscx dx
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#=
Z
�
u
2 � 1
�2u
�4/5(� du) = �
Z
�
u
2 � 1
�2u
�4/5du = �
Z
�
u
4 � 2u
2+ 1
�
u
�4/5du
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 242
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#= �
Z
⇣
u
16/5 � 2u
6/5+ u
�4/5⌘
du = �✓
Z
u
16/5du�
Z
2u
6/5du+
Z
u
�4/5du
◆
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
. # &
=
z }| {
Z
u
16/5du
| {z }
�2z }| {
Z
u
6/5du
| {z }
+
z }| {
Z
u
�4/5du
| {z }
=
u
21/5
21
5
� 2
u
11/5
11
5
+
u
1/5
1
5
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n =
16
5, n =
6
5y n = �
4
5
=
5
21
u
21/5 � 10
11
u
11/5+ 5u
1/5+ C =
5
21
csc
21/5x� 10
11
csc
11/5x+ 5 csc
1/5x+ C.
Luego,Z
cot
5x csc
1/5x dx =
5
21
csc
21/5x� 10
11
csc
11/5x+ 5 csc
1/5x+ C.
F
Ejemplo 224 : IntegreZ
cot
3⇣
x
2
⌘
dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
u =
x
2
Cálculo del
���������!diferencial
du =
1
2
dx =) 2 du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
u =x
2
#
Diferencial
2 du = dx
#Z
cot
3⇣
x
2
⌘
dx =
Z
cot
3u (2 du) = 2
Z
cot
3u du
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Como la potencia de la cotangente es impar, entonces se debe tomar un término cotu cscu y transformar losdemás términos en cosecante, pero se observa que el término cscu que se necesita no aparece en el integrando,así, se multiplica y se divide, dicho integrando, por cscu y se obtiene
Z
cot
3u du =
Z
cot
3u
1
cscu
cscu du =
Z
cot
2u (cscu)
�1cotu cscu du,
se debe ser cuidadoso con el término (cscu)
�1, que aparece en la última integral de la igualdad anterior, ya que,dicho término representa el inverso multiplicativo de la función f (u) = cscu y no su función inversa.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 243
Así, se tienePotencia impar.
Tomar un término cotu cscu.
#Z
cot
3u du =
Z
cot
2u (cscu)
�1cotu cscu du
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será cotu cscu du, salvo una constante negativa, entonces el cambio devariable que se debe proponer es cscu, así, cabe la pregunta
¿Qué hacer con este término?
#Z
cot
3u du =
Z
z }| {
cot
2u (cscu)
�1cotu cscu du,
por la identidad trigonométrica
1 + cot
2u = csc
2u, se tiene que cot
2u = csc
2u� 1,
así,cot2 u = csc2 u � 1
#Z
cot
3u du =
Z
z }| {
cot
2u (cscu)
�1cotu cscu du =
Z
�
csc
2u� 1
�
(cscu)
�1cotu cscu du.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo unaconstante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable
z = cscu
Cálculo del
���������!diferencial
dz = � cotu cscu du =) � dz = cotu cscu du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
� dz = cotu cscu du
#
Cambio
z = cscu
#
Cambio
z = cscu
#Z
cot
3u du =
Z
cot
2u (cscu)
�1cotu cscu du =
Z
✓
⇣
z}|{
cscu
⌘2
� 1
◆
⇣
z}|{
cscu
⌘�1 z }| {
cotu cscu du
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
Logaritmo
natural.
=
Z
�
z
2 � 1
�
z
�1(� dz) = �
Z
�
z
2 � 1
�
z
�1dz = �
Z
�
z � z
�1�
dz = �
0
@
z }| {
Z
z dz
| {z }
�z }| {
Z
z
�1dz
1
A
%Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Z
z
n
dz =z
n+1
n + 1+ C con n = 1
= �✓
z
2
2
� ln |z|◆
+ C = � z
2
2
+ ln |z|+ C = � csc
2u
2
+ ln |cscu|+ C,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 244
por lo que,Z
cot
3u du = � csc
2u
2
+ ln |cscu|+ C,
como, u =
x
2
, se tiene
Z
cot
3⇣
x
2
⌘
dx = 2
� 1
2
csc
2⇣
x
2
⌘
+ ln
�
�
�
csc
⇣
x
2
⌘
�
�
�
�
+ C = � csc
2⇣
x
2
⌘
+ 2 ln
�
�
�
csc
⇣
x
2
⌘
�
�
�
+ C.
Luego,Z
cot
3⇣
x
2
⌘
dx = � csc
2⇣
x
2
⌘
+ 2 ln
�
�
�
csc
⇣
x
2
⌘
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 225 : IntegreZ
cot
6(3x) dx.
Solución : Como no hay término cosecante y la potencia de la cotangente es par, se escribe la integral comoZ
cot
6(3x) dx =
Z
cot
4(3x) cot
2(3x) dx,
por la identidad trigonométrica
1 + cot
2(·) = csc
2(·) , se tiene que cot
2(·) = csc
2(·)� 1,
así,
cot2 (3x) = csc2 (3x) � 1
#Z
cot
6(3x) dx =
Z
cot
4(3x)
z }| {
cot
2(3x) dx =
Z
cot
4(3x)
�
csc
2(3x)� 1
�
dx
=
Z
�
cot
4(3x) csc
2(3x) � cot
4(3x)
�
dx =
Z
cot
4(3x) csc
2(3x) dx�
Z
cot
4(3x) dx.
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Se resuelven cada una de las nuevas integrales. Para la primera integral, se observa que la derivada de la funciónf (x) = cot (3x), salvo una constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable
u = cot (3x)
Cálculo del
���������!diferencial
du = � 3 csc
2(3x) dx =) � du
3
= csc
2(3x) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Diferencial
�du
3= csc2 (3x) dx
#
Cambio
u = cot (3x)
#Z
cot
4(3x) csc
2(3x) dx =
Z
✓
z }| {
cot (3x)
◆4z }| {
csc
2(3x) dx =
Z
u
4
✓
� du
3
◆
=
Z
u
4
z }| {
✓
� 1
3
◆
du
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 245
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
= � 1
3
z }| {
Z
u
4du
| {z }
= � 1
3
u
5
5
+ C1 = � cot
5(3x)
15
+ C1,
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4
es decir,Z
cot
4(3x) csc
2(3x) dx = � cot
5(3x)
15
+ C1.
Para la segunda integral,Z
cot
4(3x) dx. se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica
1 + cot
2(·) = csc
2(·) , se tiene que cot
2(·) = csc
2(·)� 1,
y se escribe la integral como
cot2 (3x) = csc2 (3x) � 1
#Z
cot
4(3x) dx =
Z
cot
2(3x)
z }| {
cot
2(3x) dx =
Z
cot
2(3x)
�
csc
2(3x)� 1
�
dx
=
Z
�
cot
2(3x) csc
2(3x) � cot
2(3x)
�
dx =
Z
cot
2(3x) csc
2(3x) dx�
Z
cot
2(3x) dx.
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Para obtenerZ
cot
2(3x) csc
2(3x) dx, se observa que la derivada de la función f (x) = cot (3x), salvo una
constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable
u = cot (3x)
Cálculo del
���������!diferencial
du = � 3 csc
2(3x) dx =) � du
3
= csc
2(3x) dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#
Diferencial
�du
3= csc2 (3x) dx
#
Cambio
u = cot (3x)
#Z
cot
2(3x) csc
2(3x) dx =
Z
✓
z }| {
cot (3x)
◆2z }| {
csc
2(3x) dx =
Z
u
2
✓
� du
3
◆
=
Z
u
2
z }| {
✓
� 1
3
◆
du
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
= � 1
3
z }| {
Z
u
2du
| {z }
= � 1
3
u
3
3
+ C1 = � cot
3(3x)
9
+ C2,
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 2
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 246
es decir,Z
cot
2(3x) csc
2(3x) dx = � cot
3(3x)
9
+ C2.
Para obtener la familia de primitiva de la función f (x) = cot
2(3x), se procede de la siguiente manera, por la
identidad trigonométrica
1 + cot
2(·) = csc
2(·) , se tiene que cot
2(·) = csc
2(·)� 1,
y se escribe la integral comoZ
cot
2(3x) dx =
Z
�
csc
2(3x)� 1
�
dx =
Z
csc
2(3x) dx�
Z
dx,
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Para la expresiónZ
csc
2(3x) dx, se propone el cambio de variable
u = 3x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 3 dx =) du
3
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du
3= dx
#
Cambio
u = 3x
#Z
csc
2z}|{
(3x)
z}|{
dx =
Z
csc
2u
du
3
=
1
3
Z
csc
2u du = � 1
3
cotu+ C3 = � 1
3
cot (3x) + C3,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
es decir,Z
csc
2(3x) dx = � 1
3
cot (3x) + C3.
Por otra parte,Z
dx = x+ C4,
con lo que,Z
cot
2(3x) dx =
Z
csc
2(3x) dx�
Z
dx = � 1
3
cot (3x)� x+ C5.
así,Z
cot
4(3x) dx =
Z
cot
2(3x) csc
2(3x) dx�
Z
cot
2(3x) dx = � cot
3(3x)
9
�✓
� 1
3
cot (3x)� x
◆
+ C6
= � cot
3(3x)
9
+
1
3
cot (3x) + x+ C6.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 247
Entonces,Z
cot
6(3x) dx =
Z
cot
4(3x) csc
2(3x) dx�
Z
cot
4(3x) dx
= � cot
5(3x)
15
�✓
� cot
3(3x)
9
+
1
3
cot (3x) + x
◆
+ C
= � cot
5(3x)
15
+
cot
3(3x)
9
� cot (3x)
3
� x+ C.
Luego,Z
cot
6(3x) dx = � cot
5(3x)
15
+
cot
3(3x)
9
� cot (3x)
3
� x+ C.
F
Ejemplo 226 : IntegreZ
sec
4x tanxp
4� tan
2x
dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
u
2= 4� tan
2x
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = 2 tanx sec
2x dx =) u du = tanx sec
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Como u
2 = 4 � tan2
x,
entonces tan2
x = 4 � u
2
#sec2 x = tan2
x + 1
#Z
sec
4x tanxp
4� tan
2x
dx =
Z
z }| {
sec
2xp
4� tan
2x
sec
2x tanx dx =
Z
z }| {
tan
2x+1p
4� tan
2x
sec
2x tanx dx
=
Z
4� u
2+ 1p
u
2u du =
Z
5� u
2
u
u du =
Z
�
5� u
2�
du = 5u� u
3
3
+ C
= 5
p4� tan
2x� 1
3
⇣p4� tan
2x
⌘3
+ C = 5
p4� tan
2x� 1
3
�
4� tan
2x
�
p4� tan
2x+ C
=
✓
5� 4
3
+
1
3
tan
2x
◆ p4� tan
2x+ C =
✓
11
3
+
1
3
tan
2x
◆ p4� tan
2x+ C.
Luego,Z
sec
4x tanxp
4� tan
2x
dx =
✓
11
3
+
1
3
tan
2x
◆
p
4� tan
2x+ C.
F
Ejemplo 227 : IntegreZ
dx
1� cosx
.
Solución : Al aplicar la conjugada trigonométrica, se tieneZ
dx
1� cosx
=
Z
1
(1� cosx)
(1 + cosx)
(1 + cosx)
dx =
Z
1 + cosx
1� cos
2x
dx =
Z
1 + cosx
sen
2x
dx =
Z
dx
sen
2x
+
Z
cosx
sen
2x
dx,
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 248
donde,Z
dx
sen
2x
=
Z
csc
2x dx = � cotx+ C1,
mientras que, para resolver la segunda integral,Z
cosx
sen
2x
dx, se propone el cambio de variable
u = senx
Cálculo del
���������!diferencial
du = cosx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cosx
sen
2x
dx =
Z
du
u
2=
Z
u
�2du = � 1
u
+ C2,
como u = senx, se tiene queZ
cosx
sen
2x
dx = � 1
senx
+ C2 = � cscx+ C2.
Por lo tanto,Z
dx
1� cosx
= � cotx � cscx+ C.
F
Ejemplo 228 : IntegreZ
dx
senx cos
2x
.
Solución : Es conocido quesen
2x+ cos
2x = 1
se escribe la integral comoZ
dx
senx cos
2x
=
Z
sen
2x+ cos
2x
senx cos
2x
dx =
Z
sen
2x
senx cos
2x
dx+
Z
cos
2x
senx cos
2x
dx =
Z
senx
cos
2x
dx+
Z
dx
senx
.
Para la primera integral se propone el cambio de variable
u = cosx
Cálculo del
���������!diferencial
du = � senx dx =) � du = senx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
senx
cos
2x
dx =
Z �duu
2= �
Z
u
�2du =
1
u
+ C1 =
1
cosx
+ C1 = secx+ C1,
es decir,Z
senx
cos
2x
dx = secx+ C1,
mientras que,Z
1
senx
dx =
Z
cscx dx = ln |cscx� cotx|+ C2.
Luego,Z
dx
senx cos
2x
= secx+ ln |cscx� cotx|+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 249
Ejemplo 229 : IntegreZ
sen (mx) sen (nx) dx con m 6= n.
Solución : Es conocido que
cos (m+ n)x = cos (mx) cos (nx)� sen (mx) sen (mx)
ycos (m� n)x = cos (mx) cos (nx) + sen (mx) sen (mx) ,
entonces(�1)
(
cos (m+ n)x = cos (mx) cos (nx)� sen (mx) sen (mx)
cos (m� n)x = cos (mx) cos (nx) + sen (mx) sen (mx)
cos (m� n)x� cos (m+ n)x = 2 sen (mx) sen (mx)
de aquí, se obtiene la identidad trigonométrica
sen (mx) sen (mx) =
cos (m� n)x� cos (m+ n)x
2
, (2)
por lo queZ
sen (mx) sen (nx) dx =
Z
cos (m� n)x� cos (m+ n)x
2
dx =
1
2
Z
(cos (m� n)x� cos (m+ n)x) dx
=
1
2
✓
Z
cos (m� n)x dx�Z
cos (m+ n)x dx
◆
=
1
2
Z
cos (m� n)x dx� 1
2
Z
cos (m+ n)x dx
Para la integralZ
cos (m� n)x dx, se propone el cambio de variable
u = (m� n)x
Cálculo del
���������!diferencial
du = (m� n) dx =) du
m� n
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (m� n)x dx =
Z
cosu
du
m� n
=
1
m� n
Z
cosu du =
1
m� n
senu+ C1 =
sen (m� n)x
m� n
+ C1.
Para la integralZ
cos (m+ n)x dx, se propone el cambio de variable
u = (m+ n)x
Cálculo del
���������!diferencial
du = (m+ n) dx =) du
m+ n
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (m+ n)x dx =
Z
cosu
du
m+ n
=
1
m+ n
Z
cosu du =
1
m+ n
senu+ C2 =
sen (m+ n)x
m+ n
+ C2.
Finalmente,Z
sen (mx) sen (nx) dx =
1
2
Z
cos (m� n)x dx� 1
2
Z
cos (m+ n)x dx
=
1
2
✓
sen (m� n)x
m� n
+ C1
◆
� 1
2
✓
sen (m+ n)x
m+ n
+ C2
◆
=
sen (m� n)x
2 (m� n)
� sen (m+ n)x
2 (m+ n)
+ C.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 250
Luego,Z
sen (mx) sen (nx) dx =
sen (m� n)x
2 (m� n)
� sen (m+ n)x
2 (m+ n)
+ C.
F
Ejemplo 230 : IntegreZ
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx.
Solución : En el ejemplo 184 se obtuvo la familia de primitivas de la integral por medio del método deintegración por partes
Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx = � 16
63
sen
⇣
x
2
⌘
cos (4x) +
2
63
cos
⇣
x
2
⌘
sen (4x) + C.
Ahora resolvemos la integral usando la identidad trigonométrica dada en la ecuación (2)
sen (mx) sen (mx) =
cos (m� n)x� cos (m+ n)x
2
,
con m =
1
2
y n = 4, así,
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) =
1
2
✓
cos
✓
1
2
� 4
◆
x� cos
✓
1
2
+ 4
◆
x
◆
=
1
2
✓
cos
✓
�7x
2
◆
� cos
✓
9x
2
◆◆
,
como la función coseno es una función par, entonces
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) =
1
2
✓
cos
✓
7x
2
◆
� cos
✓
9x
2
◆◆
.
La integral se escribeZ
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx =
Z
1
2
✓
cos
✓
7x
2
◆
� cos
✓
9x
2
◆◆
dx =
1
2
Z
✓
cos
✓
7x
2
◆
� cos
✓
9x
2
◆◆
dx
=
1
2
✓
Z
cos
✓
7x
2
◆
dx�Z
cos
✓
9x
2
◆
dx
◆
=
1
2
Z
cos
✓
7x
2
◆
dx� 1
2
Z
cos
✓
9x
2
◆
dx
Para la integralZ
cos
✓
7x
2
◆
dx, se propone el cambio de variable
u =
7x
2
Cálculo del
���������!diferencial
du =
7
2
dx =) 2 du
7
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos
✓
7x
2
◆
dx =
Z
cosu
2 du
7
=
2
7
Z
cosu du =
2
7
senu+ C1 =
2
7
sen
✓
7x
2
◆
+ C1.
Para la integralZ
cos
✓
9x
2
◆
dx, se propone el cambio de variable
u =
9x
2
Cálculo del
���������!diferencial
du =
9
2
dx =) 2 du
9
= dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 251
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos
✓
9x
2
◆
dx =
Z
cosu
2 du
9
=
2
9
Z
cosu du =
2
9
senu+ C2 =
2
9
sen
✓
9x
2
◆
+ C2.
Finalmente,Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx =
1
2
Z
cos
✓
7x
2
◆
dx� 1
2
Z
cos
✓
9x
2
◆
dx
=
1
2
✓
2
7
sen
✓
7x
2
◆
+ C1
◆
� 1
2
✓
2
9
sen
✓
9x
2
◆
+ C2
◆
=
1
7
sen
✓
7x
2
◆
� 1
9
sen
✓
9x
2
◆
+ C.
Luego,Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx =
1
7
sen
✓
7x
2
◆
� 1
9
sen
✓
9x
2
◆
+ C.
F
Ejemplo 231 : IntegreZ
cos
2(5x) cos
3(2x) dx.
Solución : Escribimos la integral comoZ
cos
2(5x) cos
3(2x) dx =
Z
cos
2(5x) cos
2(2x) cos (2x) dx =
Z
(cos (5x) cos (2x))
2cos (2x) dx
Es conocido que
cosx cos y =
cos (x+ y) + cos (x� y)
2
,
por lo tanto,
cos (mx) cos (nx) =
cos (mx+ nx) + cos (mx� nx)
2
=
cos ((m+ n)x) + cos ((m� n)x)
2
,
asíIdentidad trigonométrica
cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)
2
con m = 5 y n = 2
#✓
z }| {
cos (5x) cos (2x)
◆2
cos (2x) =
✓
cos (7x) + cos (3x)
2
◆2
cos (2x) =
(cos (7x) + cos (3x))
2
4
cos (2x)
Identidad trigonométrica
cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)
2
con m = 7 y n = 3
#=
1
4
✓
cos
2(7x)
| {z }
+2
z }| {
cos (7x) cos (3x)+ cos
2(3x)
| {z }
◆
cos (2x)
"Identidad trigonométrica
cos2 (ax) =1 + cos (2ax)
2
con a = 7
"Identidad trigonométrica
cos2 (ax) =1 + cos (2ax)
2
con a = 3
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 252
=
1
4
✓
1 + cos (14x)
2
+ 2
cos (10x) + cos (4x)
2
+
1 + cos (6x)
2
◆
cos (2x)
=
1
4
✓
1
2
+
cos (14x)
2
+ cos (10x) + cos (4x) +
1
2
+
cos (6x)
2
◆
cos (2x)
=
1
4
✓
1 +
cos (14x)
2
+ cos (10x) + cos (4x) +
cos (6x)
2
◆
cos (2x)
=
1
4
✓
1 +
cos (14x)
2
+ cos (10x) + cos (4x) +
cos (6x)
2
◆
cos (2x)
=
1
4
✓
1 +
cos (14x)
2
+ cos (10x) + cos (4x) +
cos (6x)
2
◆
cos (2x)
Identidad trigonométrica
cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)
2
con m = 14 y n = 2
#
Identidad trigonométrica
cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)
2
con m = 6 y n = 2
#=
1
4
✓
cos (2x) +
1
2
z }| {
cos (14x) cos (2x)+ cos (10x) cos (2x)
| {z }
+cos (4x) cos (2x)
| {z }
+
1
2
z }| {
cos (6x) cos (2x)
◆
"Identidad trigonométrica
cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)
2
con m = 10 y n = 2
"Identidad trigonométrica
cos (mx) cos (nx) =cos ((m + n) x) + cos ((m � n) x)
2
con m = 4 y n = 2
=
1
4
✓
cos (2x) +
1
2
cos (16x) + cos (12x)
2
+
cos (12x) + cos (8x)
2
+
cos (6x) + cos (2x)
2
+
1
2
cos (8x) + cos (4x)
2
◆
=
1
4
cos (2x) +
cos (16x) + cos (12x)
16
+
cos (12x) + cos (8x)
8
+
cos (6x) + cos (2x)
8
+
cos (8x) + cos (4x)
16
=
cos (2x)
4
+
cos (16x)
16
+
cos (12x)
16
+
cos (12x)
8
+
cos (8x)
8
+
cos (6x)
8
+
cos (2x)
8
+
cos (8x)
16
+
cos (4x)
16
=
3
8
cos (2x) +
1
16
cos (16x) +
3
16
cos (12x) +
1
8
cos (6x) +
3
16
cos (8x) +
1
16
cos (4x) ,
es decir,
(cos (5x) cos (2x))
2cos (2x) =
3
8
cos (2x) +
1
16
cos (16x) +
3
16
cos (12x) +
1
8
cos (6x) +
3
16
cos (8x) +
1
16
cos (4x) .
IntegrandoZ
cos
2(5x) cos
3(2x) dx =
Z
✓
3
8
cos (2x) +
cos (16x)
16
+
3
16
cos (12x) +
cos (6x)
8
+
3
16
cos (8x) +
cos (4x)
16
◆
dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 253
=
Z
3
8
cos (2x) dx+
Z
cos (16x)
16
dx+
Z
3
16
cos (12x) dx+
Z
cos (6x)
8
dx
+
Z
3
16
cos (8x) dx+
Z
cos (4x)
16
dx
=
3
8
Z
cos (2x) dx+
1
16
Z
cos (16x) dx+
3
16
Z
cos (12x) dx+
1
8
Z
cos (6x) dx
+
3
16
Z
cos (8x) dx+
1
16
Z
cos (4x) dx
Resolvemos cada una de las integrales.
• Para la integralZ
cos (2x) dx, se propone el cambio de variable
u = 2x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dx =) du
2
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (2x) dx =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C1 =
1
2
sen (2x) + C1.
• Para la integralZ
cos (16x) dx, se propone el cambio de variable
u = 16x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 16 dx =) du
16
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (16x) dx =
Z
cosu
du
16
=
1
16
Z
cosu du =
1
16
senu+ C2 =
1
16
sen (16x) + C2.
• Para la integralZ
cos (12x) dx, se propone el cambio de variable
u = 12x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 12 dx =) du
12
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (12x) dx =
Z
cosu
du
12
=
1
12
Z
cosu du =
1
12
senu+ C3 =
1
12
sen (12x) + C3.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 254
• Para la integralZ
cos (6x) dx, se propone el cambio de variable
u = 6x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 6 dx =) du
6
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (6x) dx =
Z
cosu
du
6
=
1
6
Z
cosu du =
1
6
senu+ C4 =
1
6
sen (6x) + C4.
• Para la integralZ
cos (8x) dx, se propone el cambio de variable
u = 8x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 8 dx =) du
8
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (8x) dx =
Z
cosu
du
8
=
1
8
Z
cosu du =
1
8
senu+ C5 =
1
8
sen (8x) + C5.
• Para la integralZ
cos (4x) dx, se propone el cambio de variable
u = 4x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 4 dx =) du
4
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (4x) dx =
Z
cosu
du
4
=
1
4
Z
cosu du =
1
4
senu+ C6 =
1
4
sen (4x) + C6.
Por lo tanto,Z
cos
2(5x) cos
3(2x) dx =
3
8
Z
cos (2x) dx+
1
16
Z
cos (16x) dx+
3
16
Z
cos (12x) dx+
1
8
Z
cos (6x) dx
+
3
16
Z
cos (8x) dx+
1
16
Z
cos (4x) dx
=
3
8
✓
1
2
sen (2x) + C1
◆
+
1
16
✓
1
16
sen (16x) + C2
◆
+
3
16
✓
1
12
sen (12x) + C3
◆
+
1
8
✓
1
6
sen (6x) + C4
◆
+
3
16
✓
1
8
sen (8x) + C5
◆
+
1
16
✓
1
4
sen (4x) + C6
◆
=
3
16
sen (2x) +
1
256
sen (16x) +
1
64
sen (12x) +
1
48
sen (6x) +
3
128
sen (8x) +
1
64
sen (4x) + C.
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 255
donde C =
3
8
C1 +1
16
C2 +3
16
C3 +1
8
C4 +3
16
C5 +1
16
C6.
Luego,Z
cos
2(5x) cos
3(2x) dx =
3
16
sen (2x) +
1
256
sen (16x) +
1
64
sen (12x) +
1
48
sen (6x) +
3
128
sen (8x)
+
1
64
sen (4x) + C.
F
Ejemplo 232 : IntegreZ
sec
3x dx.
Solución : Escribimos la integral comoZ
sec
3x dx =
Z
sec
2x secx dx.
Integramos por partes, con
u = secx
Al derivar���������! du = secx tanx dx
dv = sec
2x dx
Al integrar����������! v = tanx.
La integral se transforma enZ
sec
3x dx = secx tanx�
Z
tanx secx tanx dx = secx tanx�Z
secx tan
2x dx,
por la identidad trigonométrica
tan
2x+ 1 = sec
2x, se tiene que tan
2x = sec
2x� 1,
así,Z
sec
3x dx = secx tanx�
Z
secx tan
2x dx = secx tanx�
Z
secx
�
sec
2x� 1
�
dx
= secx tanx�Z
sec
3x dx+
Z
secx dx = secx tanx�Z
sec
3x dx+ ln |secx+ tanx|+ C1,
es decir,Z
sec
3x dx = secx tanx�
Z
sec
3x dx+ ln |secx+ tanx|+ C1,
despejamosZ
sec
3x dx
Z
sec
3x dx = secx tanx�
Z
sec
3x dx+ ln |secx+ tanx|+ C1
=)Z
sec
3x dx+
Z
sec
3x dx = secx tanx+ ln |secx+ tanx|+ C1
=) 2
Z
sec
3x dx = secx tanx+ ln |secx+ tanx|+ C1
=)Z
sec
3x dx =
1
2
secx tanx+
1
2
ln |secx+ tanx|+ C.
Luego,Z
sec
3x dx =
1
2
secx tanx+
1
2
ln |secx+ tanx|+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 256
Ejemplo 233 : CalcularZ
⇡/4
�⇡/4
x
2tan
�
x
3�
sec
2�
x
3�
dx.
Solución : En virtud que el intervalo de integración es un intervalo simétrico, es conveniente estudiar la simetríadel integrando, es decir, conocer si la función
f (x) = x
2tan
�
x
3�
sec
2�
x
3�
es una función par o impar.
Función par
sec (�x) = sec x
#
Función impar
tan (�x) = � tan x
#
Función par
(�x)2 = x
2
#
Función impar
(�x)3 = �x
3
. &
f (�x) =z }| {
(�x)2 tan
z }| {
(�x)3!
sec
2
z }| {
(�x)3!
= x
2z }| {
tan
�
�x3�
z }| {
sec
�
�x3�
!2
= � x
2tan
�
x
3�
sec
2�
x
3�
= � f (x) ,
por lo tanto, el integrando es una función impar, por lo que podemos concluir queZ
⇡/4
�⇡/4
x
2tan
�
x
3�
sec
2�
x
3�
dx = 0.
F
Ejemplo 234 : IntegreZ
senh
3x
pcoshx dx.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término seno
hiperbólico.
#Z
senh
3x
pcoshx dx =
Z
senh
2x
pcoshx senhx dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será senhx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es coshx,así, cabe la pregunta
Z
senh
3x
pcoshx dx =
Z
senh
2x
| {z }
pcoshx senhx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad hiperbólica básica
cosh
2x� senh
2x = 1, entonces senh
2x = cosh
2x� 1,
por lo que,Z
senh
3x
pcoshx dx =
Z
senh
2x
| {z }
pcoshx senhx dx =
Z
�
cosh
2x� 1
�
pcoshx senhx dx.
"senh2
x = cosh2
x � 1
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno hiperbólico y su correspondiente derivada, lafunción seno hiperbólico, así, se propone el cambio de variable
u = coshx
Cálculo del
���������!diferencial
du = senhx dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 257
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = senh x dx
#
Cambio
u = cosh x
#
Cambio
u = cosh x
#Z
�
cosh
2x� 1
�
pcoshx senhx dx =
Z
✓
z }| {
coshx
◆2
� 1
!
✓
z }| {
coshx
◆1/2z }| {
senhx dx =
Z
�
u
2 � 1
�
u
1/2du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
⇣
u
5/2 � u
1/2⌘
du =
z }| {
Z
u
5/2du
| {z }
�z }| {
Z
u
1/2du
| {z }
=
u
7/2
7
2
� u
3/2
3
2
+ C =
2u
7/2
7
� 2u
3/2
3
+ C
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n =
5
2y n =
3
2
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
=
2 cosh
7/2x
7
� 2 cosh
3/2x
3
+ C.
Luego,Z
senh
3x
pcoshx dx =
2 cosh
7/2x
7
� 2 cosh
3/2x
3
+ C.
F
Ejemplo 235 : IntegreZ
senh
4x cosh
3x dx.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término coseno
hiperbólico.
#Z
senh
4x cosh
3x dx =
Z
senh
4x cosh
2x coshx dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será coshx dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senhx,así, cabe la pregunta
Z
senh
4x cosh
3x dx =
Z
senh
4x cosh
2x
| {z }
coshx dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad hiperbólica básica
cosh
2x� senh
2x = 1, entonces cosh
2x = 1 + senh
2x,
por lo que,Z
senh
4x cosh
3x dx =
Z
senh
4x cosh
2x
| {z }
coshx dx =
Z
senh
4x
�
1 + senh
2x
�
senhx dx.
"cosh2
x = 1 + senh2
x
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 258
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función seno hiperbólico y su correspondiente derivada, la funcióncoseno hiperbólico, así, se propone el cambio de variable
u = senhx
Cálculo del
���������!diferencial
du = coshx dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = cosh x dx
#
Cambio
u = senh x
#
Cambio
u = senh x
#Z
senh
4x
�
1 + senh
2x
�
coshx dx =
Z
✓
z }| {
senhx
◆4
1 +
✓
z }| {
senhx
◆2!
z }| {
coshx dx =
Z
u
4�
1 + u
2�
du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
�
u
4+ u
6�
du =
z }| {
Z
u
4du
| {z }
+
z }| {
Z
u
6du
| {z }
=
u
5
5
+
u
7
7
+ C =
senh
5x
5
+
senh
7x
7
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4 y n = 6
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Luego,Z
senh
4x cosh
3x dx =
senh
5x
5
+
senh
7x
7
+ C.
F
Ejemplo 236 : IntegreZ
tanh
�2/3x sech
6x dx.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia par.
Tomar un término sech2
x.
#Z
tanh
�2/3x sech
6x dx =
Z
tanh
�2/3x sech
4x sech
2x dx,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será sech
2x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es
tanhx, así, cabe la preguntaZ
tanh
�2/3x sech
6x dx =
Z
tanh
�2/3x sech
4x
| {z }
sech
2x dx,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad hiperbólica básica
1� tanh
2x = sech
2x,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 259
se tiene,Z
tanh
�2/3x sech
6x dx =
Z
tanh
�2/3x sech
4x sech
2x dx =
Z
tanh
�2/3x
⇣
sech
2x
| {z }
⌘2
sech
2x dx
"1 � tanh2
x = sech2
x
=
Z
tanh
�2/3x
�
1� tanh
2x
�2sech
2x dx.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente hiperbólica y su correspondiente derivada, lafunción secante hiperbólica al cuadrado, así, se propone el cambio de variable
u = tanhx
Cálculo del
���������!diferencial
du = sech
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = sech2
x dx
#
Cambio
u = tanh x
#
Cambio
u = tanh x
#Z
tanh
�2/3x
�
1� tanh
2x
�
sech
2x dx =
Z
✓
z }| {
tanhx
◆�2/3
1�✓
z }| {
tanhx
◆2!
z }| {
sech
2x dx
Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
#
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
u
�2/3�
1� u
2�
du =
Z
⇣
u
�2/3 � u
4/3⌘
du =
z }| {
Z
u
�2/3du
| {z }
�z }| {
Z
u
4/3du
| {z }
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = �
2
3y n =
4
3
=
u
1/3
1
3
� u
7/3
7
3
+ C = 3u
1/3 � 3u
7/3
7
+ C = 3 tanh
1/3x� 3 tanh
7/3x
7
+ C.
Luego,Z
tanh
�2/3x sech
6x dx = 3 tanh
1/3x� 3 tanh
7/3x
7
+ C.
F
Ejemplo 237 : IntegreZ
coth
5t csch
4t dt.
Solución : Se escribe la integral como
Potencia par.
Tomar un término csch2
t.
#Z
coth
5t csch
4t dt =
Z
coth
5t csch
2t csch
2t dt,
"Futuro diferencial.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 260
si el diferencial de la nueva integral será csch
2t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es coth t,
así, cabe la preguntaZ
coth
5t csch
4t dt =
Z
coth
5t csch
2t
| {z }
csch
2t dt,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad hiperbólica básicacoth
2t� 1 = csch
2t,
se tiene,Z
coth
5t csch
4t dt =
Z
coth
5t csch
2t
| {z }
csch
2t dt =
Z
coth
5t
�
coth
2t� 1
�
csch
2t dt.
"coth2
t � 1 = csch2
t
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente hiperbólica y su correspondiente derivada, lafunción cosecante hiperbólica al cuadrado, así, se propone el cambio de variable
u = coth t
Cálculo del
���������!diferencial
du = csch
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du = csch2
t dt
#
Cambio
u = coth t
. &Z
coth
5t
�
coth
2t� 1
�
csch
2t dt =
Z
✓
z }| {
coth t
◆5
✓
z }| {
coth t
◆2
� 1
!
z }| {
csch
2t dt =
Z
u
5�
u
2 � 1
�
du
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
�
u
7 � u
5�
du =
z }| {
Z
u
7du
| {z }
�z }| {
Z
u
5du
| {z }
=
u
8
8
� u
6
6
+ C =
coth
8t
8
� coth
6t
6
+ C.
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 2 y n = 4
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Luego,Z
coth
5t csch
4t dt =
coth
8t
8
� coth
6t
6
+ C.
F
Ejemplo 238 : IntegreZ ln 2
0
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx.
Solución : Buscamos la familia de primitiva de la función f (x) =
senh (2x) senh (3x)
coshx
, es conocida laidentidad hiperbólica
senh (2x) = 2 senhx coshx,
así,Z
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx =
Z
2 senhx coshx senh (3x)
coshx
dx = 2
Z
senhx senh (3x) dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 261
por otra parte, es conocido que
cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�)
ycosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�) ,
entonces(�1)
(
cosh (↵� �) = cosh (↵) cosh (�)� senh (↵) senh (�)
cosh (↵+ �) = cosh (↵) cosh (�) + senh (↵) senh (�)
cosh (↵+ �)� cosh (↵� �) = 2 senh (↵) senh (�)
de aquí, se obtiene la identidad hiperbólica
senh (↵) senh (�) =
cosh (↵+ �)� cosh (↵� �)
2
, (3)
de aquí,
senh (mx) senh (mx) =
cosh ((m+ n)x)� cosh ((m� n)x)
2
,
así,
Identidad hiperbólica
senh (mx) senh (mx) =cosh ((m + n) x) � cosh ((m � n) x)
2
con m = 1 y n = 3
#
Función par
cosh (�2x) = cosh (2x)
#Z
z }| {
senhx senh (3x) dx =
Z
cosh (4x)� cosh (�2x)2
dx =
1
2
Z
✓
cosh (4x)�z }| {
cosh (2x)
◆
dx
=
1
2
✓
Z
cosh (4x) dx�Z
cosh (2x) dx
◆
=
1
2
Z
cosh (4x) dx� 1
2
Z
cosh (2x) dx
Resolvemos cada una de las integrales
• Para la integralZ
cosh (4x) dx, se propone el cambio de variable
u = 4x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 4 dx =) du
4
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
cosh (4x) dx =
Z
coshu
du
4
=
1
4
Z
coshu du =
1
4
senhu+ C1 =
1
4
senh (4x) + C1.
• Para la integralZ
cosh (2x) dx, se propone el cambio de variable
u = 2x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dx =) du
2
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 262
Entonces, la integral quedaZ
cosh (2x) dx =
Z
coshu
du
2
=
1
2
Z
coshu du =
1
2
senhu+ C2 =
1
2
senh (2x) + C2.
Por lo tanto,Z
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx = 2
Z
senhx senh (3x) dx = 2
✓
1
2
Z
cosh (4x) dx� 1
2
Z
cosh (2x) dx
◆
=
Z
cosh (4x) dx�Z
cosh (2x) dx =
✓
1
4
senh (4x) + C1
◆
�✓
1
2
senh (2x) + C2
◆
=
1
4
senh (4x)� 1
2
senh (2x) + C.
donde C = C1 � C2.
Luego,Z
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx =
1
4
senh (4x)� 1
2
senh (2x) + C.
Por el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos la integral definida dadaZ ln 2
0
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx =
✓
senh (4x)
4
� senh (2x)
2
�
�
�
�
ln 2
0
=
✓
senh (4 (ln 2))
4
� senh (2 (ln 2))
2
◆
�✓
senh (4 (0))
4
� senh (2 (0))
2
◆
,
donde,senh (4 (ln 2))
4
=
1
4
✓
e
4 ln 2 � e
�4 ln 2
2
◆
=
1
8
✓
e
ln 24 � 1
e
ln 24
◆
=
1
8
✓
2
4 � 1
2
4
◆
=
255
128
senh (2 (ln 2))
2
=
1
2
✓
e
2 ln 2 � e
�2 ln 2
2
◆
=
1
4
✓
e
ln 22 � 1
e
ln 22
◆
=
1
4
✓
2
2 � 1
2
2
◆
=
15
16
senh (4 (0))
4
=
1
4
✓
e
4(0) � e
�4(0)
2
◆
=
1
8
✓
e
0 � 1
e
0
◆
=
1
8
✓
1� 1
1
◆
= 0
senh (2 (0))
2
=
1
2
✓
e
2(0) � e
�2(0)
2
◆
=
1
4
✓
e
0 � 1
e
0
◆
=
1
4
✓
1� 1
1
◆
= 0,
entoncesZ ln 2
0
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx =
255
128
� 15
16
=
135
128
.
F
Ejercicios
Calcular las siguientes integrales trigonométricas
1.
Z
senx cosx dx 2.
Z
sen
2x cosx dx 3.
Z psenx cosx dx 4.
Z
sen
4x cosx dx
5.
Z
cos
2x senx dx 6.
Z
cosx
3
psen
2x
dx 7.
Z
cos
7x senx dx 8.
Z pcosx senx dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 263
9.
Z
3
pcosx senx dx 10.
Z
sen
2x cos
3x dx 11.
Z
sen
3x cos
2x dx 12.
Z
cos
3xp
senx
dx
13.
Z
sen
6(2x) cos
5(2x) dx 14.
Z
cos
3x dx 15.
Z
sen
4x cos
3x dx 16.
Z
sen
3t dt
17.
Z
cos
4⇣
x
2
⌘
sen
5⇣
x
2
⌘
dx 18.
Z
sen
3x
pcosx dx 19.
Z
sen
2x dx 20.
Z
cos
2x dx
21.
Z
sen
2x cos
2x dx 22.
Z
3
psen
2x cos
5x dx 23.
Z
sen
4x cos
2x dx 24.
Z
cos
4x dx
25.
Z
cos
2(3x) sen
4(3x) dx 26.
Z
tanx dx 27.
Z
cotx dx 28.
Z
sen
5x cos
7x dx
29.
Z
tan
6x sec
2x dx 30.
Z
5
p
tan
2x sec
2x dx 31.
Z
tan
4t sec
2t dt 32.
Z
tan
2x dx
33.
Z
cot
2x dx 34.
Z
tan
4t dt 35.
Z
sec
4t dt 36.
Z
csc
4t dt 37.
Z
cot
4x dx
38.
Z
tan
3x sec
6x dx 39.
Z
tan
5x secx dx 40.
Z
cot
3x csc
4x dx 41.
Z
tan
3(3x) dx
42.
Z
tan
1/2x sec
4x dx 43.
Z
sen
5x dx 44.
Z
cos
5x
sen
3x
dx 45.
Z
cos
3✓ sen
�2✓ d✓
46.
Z
tan
4(ax) sec
6(ax) dx 47.
Z
sen
4x dx 48.
Z
tan
5x dx 49.
Z
sen
5x
3
pcosx dx
50.
Z
sen
2✓ cos
4✓ d✓ 51.
Z
sen
4✓ cos
4✓ d✓ 52.
Z
sec
2x
cotx
dx 53.
Z
tan
5x sec
2x dx
54.
Z
cot
1/2t sec
2t dt 55.
Z
cos
2✓
sen
4✓
d✓ 56.
Z
cos
2x
sen
6x
dx 57.
Z
cos
2x tan
3x dx
58.
Z
(tanx+ cotx)
2dx 59.
Z
cos
7t dt 60.
Z
dx
1� senx
61.
Z
sen
5(2t) cos
4(2t) dt
62.
Z
sen (3y) cos y dy 63.
Z
dx
sen
4x
64.
Z
cot
4✓ csc
4✓ d✓ 65.
Z
cosx cos
⇣
x
2
⌘
dx
66.
Z
sec
6(b� ax) dx 67.
Z
sen
4(5x) dx 68.
Z
cos (2t) dt
cos t� sen t
69.
Z
sen
1/2t cos
3t dt
70.
Z
sen
7(3x) cos
2(3x) dx 71.
Z
cos
6t dt 72.
Z
(1� sen (2x))
2dx 73.
Z
cot
6(3x) dx
74.
Z
dt
sen t cos t
75.
Z
cot
4x csc
2x dx 76.
Z
cos
4⇣
!
2
⌘
sen
2⇣
!
2
⌘
d! 77.
Z
csc
3x
tanx
dx
78.
Z
dt
cos
6t
79.
Z
cot
7x csc
2x dx 80.
Z
cot
7x dx 81.
Z
cosx cos (2x) cos (3x) dx
82.
Z
sen
9x cos
3x dx 83.
Z
sec
6x
tan
6x
dx 84.
Z
cos
4(2t) dt 85.
Z
tan
3x sec
1/2x dx
86.
Z
tan
2(5t) dt 87.
Z
dx
senx cos
2x
88.
Z
tan
5x sec
3x dx 89.
Z
sen (3t) sen t dt
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Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 264
90.
Z
dt
1� cos (2t)
91.
Z
cos
6(3x) dx 92.
Z
tan
�3✓ sec
2✓ d✓ 93.
Z
cos
2(
px)p
x
dx
94.
Z
sen (!t) sen (!t+ �) dt 95.
Z
sen
⇣
x+
⇡
6
⌘
cosx dx 96.
Z
sen
⇣
x
2
⌘
cos
✓
5x
2
◆
dx
97.
Z
x sen
3�
x
2�
dx 98.
Z
cot
6(4w) dw 99.
Z
1 + tan
2x
sec
2x
dx 100.
Z
cotx csc
3x dx
101.
Z
t sen
2�
t
2�
dt 102.
Z
tan
6(2x) dx 103.
Z
sen
5(
px)p
x
dx 104.
Z
tan
2x sec
4x dx
105.
Z
cot
4(2t) dt 106.
Z
sen
4(
px) cos
4(
px)p
x
dx 107.
Z
senx sen (2x) sen (3x) dx
108.
Z
cos
5x sen
5x dx 109.
Z
sen (5x) sen (2x) dx 110.
Z
cos (at+ b) cos (at� b) dt
111.
Z
tan t sec
3t dt 112.
Z
sen
6t cos
2t dt 113.
Z
tan
4(4x) dx 114.
Z
sec
4(7x) dx
115.
Z
cot
6x csc
6x dx 116.
Z
cot
3⇣
x
2
⌘
dx 117.
Z
tan t sec
6t dt 118.
Z
dt
sen
4t cos
2t
119.
Z
tan
5t sec
�3/2t dt 120.
Z
cos (3x) cos (4x) dx 121.
Z
cot
5x sen
3x dx
122.
Z
tan
�3/2t sec
6t dt 123.
Z
sen (4y) cos (5y) dy 124.
Z
cos y cos (4y) dy
125.
Z
cot
3x csc
8x dx 126.
Z
sen
3⇣
x
2
⌘
cos
5⇣
x
2
⌘
dx 127.
Z
sen
⇣
x
3
⌘
cos
✓
2x
3
◆
dx
128.
Z
cos
4(lnx) sen
3(lnx)
x
dx 129.
Z
tan
3x sec
3x dx 130.
Z
cot
3t csc
4t dt
131.
Z
tan
3(3y) sec
3(3y) dy 132.
Z
sen
4x cos
3x dx 133.
Z
cot
5x csc
1/5x dx
134.
Z
sen (mx) sen (nx) dx m 6= n 135.
Z
sen (mx) cos (nx) dx m 6= n
136.
Z
cos (mx) cos (nx) dx m 6= n 137.
Z
senh
4x cosh
3x dx 138.
Z
dx
1� cosx
139.
Z
tanh
5t sech
�3/2t dt 140.
Z
sechx tanh
3x dx 141.
Z
senh
3x
pcoshx dx
142.
Z
coth
3t csch
4t dt 143.
Z
tanh
5x sech
3x dx 144.
Z
senh
5x
3
pcoshx dx
145.
Z
senh
3⇣
x
a
⌘
cosh
5⇣
x
a
⌘
dx 146.
Z
cot
9x csc
6x dx 147.
Z
sen
3(e
x
)
3
p
cos (e
x
)
5e
�x
dx
148.
Z
sec
4(arcsenx)p1� x
2dx 149.
Z
sen
3x cos
4x dx 150.
Z
cot
7x csc
�1/6x dx
151.
Z
3
x
tan
5(3
x
) dx 152.
Z
x cot
4�
ln
�
1� x
2��
cos
2(arcsenx)
dx 153.
Z
cot
5x csc
5x dx
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 265
154.
Z
sen
2(2x) cos
3(3x) dx 155.
Z
sen
2(2x) sen
3(3x) dx 156.
Z
sen
2(3x) cos
3(4x) dx
157.
Z
3
p
tan
2(log2 x) sec
6(log2 x)
x
dx 158.
Z
4
p
cot
3(log x) csc
4(log x)
x
dx 159.
Z
sec
3x dx
160.
Z
sen
⇣
x
2
⌘
sen (4x) dx 161.
Z
coth
5t csch
4t dt 162.
Z
sec
3(arctanx)
1 + x
2dx
163.
Z
5
x
sec
2(5
x
) dx
sen
4(tan (5
x
)) cos
5(tan (5
x
))
164.
Z
tan t sen
2(ln (cos t)) cos
6(ln (cos t)) dt
165.
Z
sec
4x tanxp
4� tan
2x
dx 166.
Z
sec
5x dx 167.
Z
csc
3x dx 168.
Z
3
p
tanh
2t sech
4t dt
169.
Z
cosh
3x
senh
2x
dx 170.
Z
senhx sec
7(coshx) dx 171.
Z
cos
3
✓
2x
3
◆
cos
2(2x) dx
172.
Z
tanh
�2/3x sech
6x dx 173.
Z
cos
2(5x) cos
4(3x) dx 174.
Z
cos
2(5x) cos
3(2x) dx
175.
Z
⇡/4
�⇡/4
tan
3x sec
4x dx 176.
Z
⇡/4
0
sen (2x) sen (3x)
cosx
dx 177.
Z ln 2
0
senh (2x) senh (3x)
coshx
dx
178.
Z
⇡/4
�⇡/4
x
2tan
�
x
3�
sec
2�
x
3�
dx 179.
Z
csc
5x dx 180.
Z
⇡/2
�⇡/2
3
psen
4x cosx dx
181.
Z
senh (mx) senh (nx) dx m 6= n 182.
Z
senh (mx) cosh (nx) dx m 6= n
183.
Z
cosh (mx) cosh (nx) dx m 6= n 184.
Z
cosh (3x) cosh (5x) cosh (x) dx
185.
Z
senh (2x) cosh (7x) senh (3x) dx
Respuestas: Ejercicios
1. 1
2
sen2
x + C; 2. 1
3
sen3
x + C; 3. 2
3
sen3/2
x + C; 4. 1
5
sen5
x + C; 5. � 1
3
cos3 x + C; 6. 3 3
psen x + C;
7. � 1
8
cos8 x + C; 8. � 2
3
cos3/2 x + C; 9. � 3
4
cos4/3 x + C; 10. sen
3
x
3
� sen
5
x
5
+ C; 11. cos
5
x
5
� cos
3
x
3
+ C;
12. 2psen x � 2
5
sen5/2
x + C; 13. 1
14
sen7 (2x) � 1
9
sen9 (2x) + 1
22
sen11 (2x) + C; 14. sen x � 1
3
sen3
x + C;
15. sen
5
x
5
� sen
7
x
7
+ C; 16. 1
3
cos3 t � cos t + C; 17. 4
7
cos7�
x
2
�
� 2
5
cos5�
x
2
�
� 2
9
cos9�
x
2
�
+ C;
18. 2
7
cos7/2 x � 2
3
cos3/2 x + C; 19. 1
2
x � 1
4
sen (2x) + C; 20. 1
2
x + 1
4
sen (2x) + C; 21. 1
8
x � 1
32
sen (4x) + C;
22. 3
5
sen5/3
x + 6
11
sen11/3
x + 3
17
sen17/3
x + C; 23. 1
16
x � 1
64
sen (2x) � 1
64
sen (4x) + 1
192
sen (6x) + C;
24. 3
8
x + 1
4
sen (2x) + 1
32
sen (4x) + C; 25. 1
16
x � 1
192
sen (6x) � 1
192
sen (12x) + 1
576
sen (18x) + C; 26. ln |sec x| + C;
27. ln |cos x| + C; 28. � cos
8
x
8
+ cos
10
x
5
� sen
12
x
12
+ C; 29. tan
7
x
7
+ C; 30. 5
7
tan7/5
x + C; 31. 1
5
tan5
t + C;
32. tan x � x + C; 33. � cot x � x + C; 34. t � tan t + 1
3
tan3
t + C; 35. tan t + 1
3
tan3
t + C;
36. � cot t � 1
3
cot3 t + C; 37. � 1
3
cot3 x + cot x + x + C; 38. 1
4
tan4
x + 1
3
tan6
x + 1
8
tan8
x + C;
39. sec x � 2
3
sec3 x + 1
5
sec5 x + C; 40. � 1
4
cot4 x � 1
6
cot6 x + C; 41. 1
6
tan2 (3x) � 1
3
ln |sec (3x)| + C;
42.2
7tan7/2
x +2
3tan3/2
x + C; 43. 2
3
cos3 x � cos x � 1
5
cos5 x + C; 44. 1
2
sen2
x � 1
2
csc2 x � 2 ln |sen x| + C;
45. � sen x � csc x + C; 46.tan
9
(ax)
9a
+2 tan
7
(ax)
7a
+tan
5
(ax)
5a
+ C; 47. 3
8
x � 1
4
sen (2x) + 1
32
sen (4x) + C;
48.sec4 x
4� sec2 x + ln |sec x| + C; 49. 3
5
cos10/3 x � 3
4
cos4/3 x � 3
16
cos16/3 x + C; 50. ✓
16
� 1
64
sen (4✓) + 1
48
sen3 (2✓) + C;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 266
51. 3
128
✓ � 1
128
sen (4✓) + 1
1024
sen (8✓) + C; 52. 1
2
tan2
x + C; 53. sec
6
x
6
� sec
4
x
2
+ sec
2
x
2
+ C; 54. 2ptan t + C;
55. � 1
3
cot3 ✓ + C; 56. � 1
3
cot3 ✓ � 1
5
cot5 ✓ + C; 57. 1
2
cos2 x � ln |cos x| + C; 58. tan x � cot x + C;
59. sen t � sen3
t + 3
5
sen5
t � 1
7
sen7
t + C; 60. sen x+1
cos x
+ C; 61. 1
7
cos7 (2t) � 1
10
cos5 (2t) � 1
18
cos9 (2t) + C;
62. � 1
4
cos (2y) � 1
8
cos (4y) + C; 63. � cot x � 1
3
cot3 x + C; 64. � 1
5
cot5 ✓ � 1
7
cot7 ✓ + C;
65. sen�
1
2
x
�
+ 1
3
sen�
3
2
x
�
+ C; 66. � 1
5a
tan5 (b � ax) � 2
3a
tan3 (b � ax) � 1
a
tan (b � ax) + C;
67. 3
8
x � 1
20
sen (10x) + 1
160
sen (20x) + C; 68. sen t � cos t + C; 69. 2
3
sen3/2
t � 2
7
sen7/2
t + C;
70. 1
5
cos5 (3x) � 1
9
cos3 (3x) � 1
7
cos7 (3x) + 1
27
cos9 (3x) + C; 71. 5
16
t + 15
64
sen (2t) + 3
64
sen (4t) + 1
192
sen (6t) + C;
72. 3
2
x + cos (2x) � 1
8
sen (4x) + C; 73. � cot
5
(3x)
15
+cot
3
(3x)
9
� cot(3x)
3
� x + C; 74. ln |tan t| + C; 75. � cot
5
x
5
+ C;
76. 1
16
! � 1
32
sen (2!) + 1
24
sen3
! + C; 77. � 1
3
csc3 x + C; 78. tan t + 2
3
tan3
t + 1
5
tan5
t + C; 79. � cot
8
x
8
+ C;
80. sen x + csc2 x � 1
5
csc5 x + C; 81. 1
4
x + 1
4
sen (2x) + 1
16
sen (4x) � 1
6
sen3 (2x) + C; 82. 1
10
sen10
x � 1
12
sen12
x + C;
83. � 2
3
cot3 x � cot x � 1
5
cot5 x + C; 84. 3
8
t + 1
8
sen (4t) + 1
64
sen (8t) + C; 85. 2
5
sec5/2 x � 2 sec1/2 x + C;
86. 1
5
tan (5t) � t + C; 87. sec x + ln |csc x � cot x| + C; 88. 1
3
sec3 x � 2
5
sec5 x + 1
7
sec7 x + C;
89. 1
4
sen (2t) � 1
8
sen (4t) + C; 90. � 1
2
csc (2t) � 1
2
cot (2t) + C; 91. 5
16
x + 5
64
sen (6x) + 1
64
sen (12x) + 1
576
sen (18x) + C;
92. � 1
2
cot2 ✓ + C; 93.px + 1
2
sen�
2px
�
+ C; 94.�
1
2
t � 1
4!
sen (2t!)�
cos� + sen�
2!
sen2 (!t) + C;
95. 1
4
x + 1
8
sen (2x) +p
3
2
sen2
x + C; 96. 1
4
cos (2x) � 1
6
cos (3x) + C; 97. 1
24
cos�
3x2
�
� 3
8
cos�
x
2
�
+ C;
98. � 1
20
cot5 (4w) + 1
12
cot3 (4w) � 1
4
cos (4w) � w + C; 99. x + C; 100. � 1
3
csc3 x + C; 101. 1
4
t
2 � 1
8
sen�
2t2�
+ C;
102. 1
10
tan5 (2x) � 1
6
tan3 (2x) + 1
2
tan (2x) � 2x + C; 103. 4
3
cos3�p
x
�
� 2 cos�p
x
�
� 2
5
cos5�p
x
�
+ C;
104. 1
3
tan3
x + 1
5
tan5
x + C; 105. � 1
6
cot3 (2t) + 1
2
cot (2t) + t + C; 106. 3
64
px � 1
64
sen�
4px
�
+ 1
512
sen�
8px
�
+ C;
107. 1
24
cos (6x) � 1
16
cos (4x) � 1
8
cos (2x) + C; 108. 1
4
cos8 x � 1
6
cos6 x � 1
10
cos10 x + C; 109. 1
6
sen (3x) � 1
14
sen (7x) + C;
110. cos (2b) sen (at + b) � cos(2b)
3
sen3 (at + b) +sen(2b)
3
sen3 (at + b) + C; 111. 1
3
sec3 t + C;
112. 5
128
t � 1
64
sen (2t) � 1
128
sen (4t) + 1
192
sen (6t) � 1
1024
sen (8t) + C; 113. 1
12
tan3 (4x) � 1
4
tan (4x) + x + C;
114. 1
7
tan (7x) + 1
21
tan3 (7x) + C; 115. � cot
7
x
7
� 2 cot
9
x
9
� cot
11
x
11
+ C; 116. � csc2�
x
2
�
+ 2 ln�
�csc�
x
2
�
�
�+ C;
117. 1
6
sec6 t + C; 118. tan t � 2 cot t � 1
3
cot3 t + C; 119. 2
5
sec5/2 t � 4 sec1/2 t � 2
3
sec�3/2
t + C;
120. 1
2
sen x + 1
14
sen (7x) + C; 121. 1
3
sen3
x � csc x � 2 sen x + C; 122. 4
3
tan3/2
t � 2 tan�1/2
t + 2
7
tan7/2
t + C;
123. 1
2
cos y � 1
18
cos (9y) + C; 124. 1
6
sen (3y) + 1
10
sen (5y) + C; 125. � cot
5
x
5
� cot
6
x
2
� 3 cot
8
x
8
� cot
10
x
10
+ C;
126. 1
4
cos8�
x
2
�
� 1
3
cos6�
x
2
�
+ C; 127. 3
2
cos�
1
3
x
�
� 1
2
cos x + C; 128. 1
7
cos7 (ln x) � 1
5
cos5 (ln x) + C;
129. sec
5
x
5
� sec
3
x
3
+ C; 130. � cot
4
t
4
� cot
6
t
6
+ C; 131. 1
15
sec5 (3y) � 1
9
sec3 (3y) + C; 132. sen
5
x
5
� sen
7
x
7
+ C;
133. 5
21
csc21/5 x � 10
11
csc11/5 x + 5 csc1/5 x + C; 134. � 1
2(m+n)
sen ((m + n) x) + 1
2(m�n)
sen ((m � n) x) + C;
135. � 1
2(m+n)
cos ((m + n) x) � 1
2(m�n)
cos ((m � n) x) + C; 136. 1
2(m+n)
sen ((m + n) x) + 1
2(m�n)
sen ((m � n) x) + C;
137. 1
5
senh5
x + 1
7
senh7
x + C; 138. � cot x � csc x + C; 139. 2
3
sech�3/2
t + 4 sech1/2
t � 2
5
sech5/2
t + C;
140. 1
3
sech3
x � sech x + C; 141. 2
7
cosh7/2
x � 2
3
cosh3/2
x + C; 142. 1
4
coth4
t � 1
6
coth6
t + C;
143. 2
5
sech5
x � 1
3
sech3
x � 1
7
sech7
x + C; 144. 3
16
cosh16/3
x � 3
5
cosh10/3
x + 3
4
cosh4/3
x + C;
145. a
8
cosh8
�
x
a
�
� a
6
cosh6
�
x
a
�
+ C; 146. � csc
14
x
14
+ csc
12
x
3
� 3
5
csc10 x + csc
8
x
2
� csc
6
x
6
+ C;
147. 3
50
cos10/3 (ex) � 3
20
cos4/3 (ex) + C; 148. 1
3
sec3 (arcsen x) + sec (arcsen x) + C; 149. 1
7
cos7 x � 1
5
cos5 x + C;
150. 18
23
csc23/6 x � 18
11
csc
11/6
x � 6
6
pcsc x
� 6
35
csc35/6 x + C; 151. 1
ln 3
�
ln |sec (3x)| � sec2 (3x) + 1
4
sec4 (3x)�
+ C;
152. 1
6
cot3�
ln�
1 � x
2
��
� 1
2
cot�
ln�
1 � x
2
��
� 1
2
ln�
1 � x
2
�
+ C; 153. � csc
9
x
9
+ 2 csc
7
x
7
� csc
5
x
5
+ C;
154. 1
8
sen (3x) � 3
16
sen x � 1
80
sen (5x) � 3
112
sen (7x) + 1
72
sen (9x) � 1
208
sen (13x) + C;
155. 3
112
cos (7x) � 1
8
cos (3x) � 1
80
cos (5x) � 3
16
cos x + 1
72
cos (9x) � 1
208
cos (13x) + C;
156. 3
32
sen (4x) � 3
32
sen (2x) � 1
96
sen (6x) � 3
160
sen (10x) + 1
96
sen (12x) � 1
288
sen (18x) + C;
157.⇣
6
11
tan11/3 (log2
x) + 3
17
tan17/3 (log2
x) + 3
5
tan5/3 (log2
x)⌘
ln 2 + C; 158.⇣
4
15
cot15/4 (log x) + 4
7
cot7/4 (log x)⌘
ln 10 + C;
159. 1
2
sec x tan x + 1
2
ln |sec x + tan x| + C; 160. 1
7
sen�
7x
2
�
� 1
9
sen�
9x
2
�
+ C; 161. coth
8
t
8
� coth
6
t
6
+ C;
162. x
2
sec (arctan x) + 1
2
ln |x + sec (arctan x)| + C; 163. 1
4 ln 5
sec3 (tan (5x)) tan (tan (5x)) + 11
8 ln 5
sec (tan (5x)) tan (tan (5x))
+ 35
8 ln 5
ln |sec (tan (5x)) + tan (tan (5x))| � 3
ln 5
csc (tan (5x)) � 1
3 ln 5
csc3 (tan (5x)) + C;
164. 5
128
ln (cos t) + 1
64
sen (2 ln (cos t)) � 1
128
sen (4 ln (cos t)) � 1
192
sen (6 ln (cos t)) � 1
1024
sen (8 ln (cos t)) + C;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 267
165. ��
11
3
+ 1
3
tan2
x
�
p4 � tan2
x + C; 166. 1
4
tan x sec3 x + 3
8
tan x sec x + 3
8
ln |sec x + tan x| + C;
167. � 1
2
cot x csc x + 1
2
ln |csc x � cot x| + C; 168. 3
5
tanh5/3
t � 3
11
tanh11/3
t + C; 169. senh x � csch x + C;
170. 1
6
tan (cosh x) sec5 (cosh x) + 5
24
tan (cosh x) sec3 (cosh x) + 15
48
tan (cosh x) sec (cosh x) + 15
48
ln |sec (cosh x) + tan (cosh x)| + C;
171. 3
32
sen (2x) + 1
96
sen (6x) + 9
16
sen�
2
3
x
�
+ 9
160
sen�
10
3
x
�
+ 9
224
sen�
14
3
x
�
+ C; 172. 3 tanh1/3
x � 3
7
tanh7/3
x + C;
173. 3
16
x + 1
64
sen (2x) + 1
32
sen (4x) + 1
24
sen (6x) + 3
160
sen (10x) + 1
192
sen (12x) + 1
128
sen (16x) + 1
704
sen (22x) + C;
174. 3
16
sen (2x) + 1
64
sen (4x) + 1
48
sen (6x) + 3
128
sen (8x) + 1
64
sen (12x) + 1
256
sen (16x) + C; 175. 0; 176. 1
2
;
177. 135
128
; 178. 0; 179. � 1
4
cot x csc3 x � 3
8
cot x csc x + 3
8
ln |csc x � cot x| + C; 180. 6
7
;
181. 1
2(m+n)
senh ((m + n) x) � 1
2(m�n)
senh ((m + n) x) + C; 182. 1
2(m+n)
cosh ((m + n) x) + 1
2(m�n)
cosh ((m + n) x) + C;
183. 1
2(m+n)
senh ((m + n) x) + 1
2(m�n)
senh ((m � n) x) + C; 184. 1
36
senh (9x) + 1
28
senh (7x) + 1
12
senh (3x) + 1
4
senh x + C;
185. 1
48
senh (12x) � 1
24
senh (6x) � 1
32
senh (8x) + 1
8
senh (2x) + C;
Bibliografía
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón seagradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico
farith.math@gmail.com
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Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 9. Método de integración: Algunas integrales trigonométricas 268
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10Método de integración: Sustitución trigonométrica
Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.10• Método de integración: Sustitución trigonométrica. Ejercicios resueltos
Ejemplo 239 : IntegreZ
dxp5� x
2.
Solución : En la guía 3, ejercicio 8 se obtuvo la familia de primitiva de la función f (x) =
1p5� x
2por
medio de un cambio de variable,
u =
xp5
Cálculo del
���������!diferencial
du =
1p5
dx =) dx =
p5 du,
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p5 du
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integral de tabla.
Primitiva : arcoseno.
# # .Z
dxp5� x
2=
1p5
Z
z}|{
dx
v
u
u
u
t
1�
0
@
xp5
|{z}
1
A
2=
1p5
Z
p5 dup1� u
2=
z }| {
Z
dup1� u
2= arcsenu+ C = arcsen
✓
xp5
◆
+ C.
"Cambio
u =x
p5
Luego,Z
dxp5� x
2= arcsen
✓
xp5
◆
+ C.
En esta guía se obtiene la familia de primitiva de la función f por medio de un cambio trigonométrico, sehace el cambio trigonométrico
x =
p5 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p5 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p5 cos t dt
#Z
z}|{
dxp5� x
2=
Z
p5 cos t dt
q
5��
p5 sen t
�2=
Z
p5 cos t dt
q
5� 5 sen
2t
| {z }
=
Z
p5 cos t dt
r
5
�
1� sen
2t
�
| {z }
=
Z
p5 cos t dtp5 cos
2t
"
Cambio
x =p5 sen t
"Factor común 5
p
1 � sen2
t = cos2 t
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 270
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
=
Z
p5 cos t dtp5 cos t
=
z}|{
Z
dt
|{z}
= t+ C,
Z
t
n
dt =t
n+1
n + 1+ C con n = 0
así,Z
dxp5� x
2= t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t + C, en términos de la variable original de integración x,puesto que,
x =
p5 sen t; =) sen t =
xp5
=) t = arcsen
✓
xp5
◆
.
Luego,Z
dxp5� x
2= arcsen
✓
xp5
◆
+ C.
F
Ejemplo 240 : IntegreZ
dxp9� x
2.
Solución : La familia de primitivas de la función f (x) =
1p9� x
2se puede obtener, ya sea por un cambio
de variable similar al realizado en el ejemplo 239 o por medio del cambio trigonométrico
x = 3 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 3 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx = 3 cos t dt
#Z
z}|{
dxp9� x
2=
Z
3 cos t dt
q
9� (3 sen t)
2=
Z
3 cos t dt
q
9� 9 sen
2t
| {z }
=
Z
3 cos t dt
r
9
�
1� sen
2t
�
| {z }
=
Z
3 cos t dtp9 cos
2t
"
Cambio
x = 3 sen t
"Factor común 9
p
1 � sen2
t = cos2 t
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
=
Z
3 cos t dt
3 cos t
=
z}|{
Z
dt
|{z}
= t+ C,
Z
t
n
dt =t
n+1
n + 1+ C con n = 0
así,Z
dxp9� x
2= t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t+ C, en términos de la variable original de integración x,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 271
puesto que,x = 3 sen t; =) sen t =
x
3
=) t = arcsen
⇣
x
3
⌘
.
Luego,Z
dxp9� x
2= arcsen
⇣
x
3
⌘
+ C.
F
Ejemplo 241 : IntegreZ
dxpx
2 � 5
.
Solución : Se hace el cambio trigonométrico
x =
p5 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p5 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p5 sec t tan t dt
#Z
z}|{
dxpx
2 � 5
=
Z
p5 sec t tan t dt
q
�
p5 sec t
�2 � 5
=
Z
p5 sec t tan t dt
q
5 sec
2t� 5
| {z }
=
Z
p5 sec t tan t dt
r
5
�
sec
2t� 1
�
| {z }
"
Cambio
x =p5 sec t
"Factor común 5
p
sec2 t � 1 = tan2
t
=
Z
p5 sec t tan t dtp
5 tan
2t
=
Z
p5 sec t tan t dtp
5 tan t
=
Z
sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C,
así,Z
dxpx
2 � 5
= ln |sec t+ tan t|+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t| + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que,
x =
p5 sec t =) sec t =
xp5
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
x
p5
px
2 � 5
x =
p5 sec t =) sec t =
xp5
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
x
2 ��
p5
�2
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 272
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
px
2 � 5p5
.
Luego,Z
dxpx
2 � 5
= ln
�
�
�
�
�
xp5
+
px
2 � 5p5
�
�
�
�
�
+ C1 = ln
�
�
�
�
�
x+
px
2 � 5p5
�
�
�
�
�
+ C1
= ln
�
�
x+
px
2 � 5
�
�� ln
p5 + C1 = ln
�
�
x+
px
2 � 5
�
�
+ C,
donde, C = C1 � ln
p5, por lo tanto,
Z
dxpx
2 � 5
= ln
�
�
�
x+
p
x
2 � 5
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 242 : IntegreZ
dxp3x
2 � 2
.
Solución : Se escribe la integral comoZ
dxp3x
2 � 2
=
Z
dx
q
�
p3 x
�2 � 2
,
se hace el cambio trigonométrico
p3 x =
p2 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
p3 dx =
p2 sec t tan t dt =) dx =
p2p3
sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =
p2
p3sec t tan t dt
#
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
p
Z
dxp3x
2 � 2
=
Z
z}|{
dx
r
(
p3 x
| {z }
)
2 � 2
=
Z
p2p3
sec t tan t dt
q
�
p2 sec t
�2 � 2
=
p2p3
Z
sec t tan t dt
q
2 sec
2t� 2
| {z }
=
p2p3
Z
sec t tan t dt
r
2
�
sec
2t� 1
�
| {z }pCambio
p3 x =
p2 sec t
"Factor común 2
"
sec2 t � 1 = tan2
t
=
p2p3
Z
sec t tan t dtp2 tan
2t
=
p2p3
Z
sec t tan t dtp2 tan t
=
1p3
Z
sec t dt =
p3
3
ln |sec t+ tan t|+ C,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
así,Z
dxp3x
2 � 2
=
p3
3
ln |sec t+ tan t|+ C,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 273
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
p3
3
ln |sec t+ tan t| + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que
p3 x =
p2 sec t =) sec t =
p3 xp2
.
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
p3 x
p2
p3x
2 � 2
p3 x =
p2 sec t =) sec t =
p3 xp2
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
�
p3 x
�2 ��
p2
�2
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
p3x
2 � 2p2
.
Luego,
Z
dxp3x
2 � 2
=
p3
3
ln
�
�
�
�
�
p3 xp2
+
p3x
2 � 2p2
�
�
�
�
�
+ C1 =
p3
3
ln
�
�
�
�
�
p3 x+
p3x
2 � 2p2
�
�
�
�
�
+ C1
=
p3
3
ln
�
�
p3 x+
p3x
2 � 2
�
��p3
3
ln
p2 + C1 =
p3
3
ln
�
�
p3 x+
p3x
2 � 2
�
�
+ C,
donde, C = C1 �p3
3
ln
p2, por lo tanto,
Z
dxp3x
2 � 2
=
p3
3
ln
�
�
�
p3 x+
p
3x
2 � 2
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 243 : IntegreZ
dx
5 + x
2.
Solución : La familia de primitivas de la función f (x) =
1
5 + x
2se puede obtener, por un procedimiento
similar (cambio de variable) al realizado en el ejemplo 239 o por medio del cambio trigonométrico
x =
p5 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p5 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 274
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p5 sec2 t dt
#Z
z}|{
dx
5 + x
2=
Z
p5 sec
2t dt
5 +
�
p5 tan t
�2 =
Z
p5 sec
2t dt
5 + 5 tan
2t
| {z }
=
Z
p5 sec
2t dt
5
�
1 + tan
2t
�
| {z }
=
Z
p5 sec
2t dt
5 sec
2t
"
Cambio
x =p5 tan t
"Factor común 5
"
tan2
t + 1 = sec2 t
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
=
Z
p5
5
dt =
p5
5
z}|{
Z
dt
|{z}
=
p5
5
t+ C,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Z
t
n
dt =t
n+1
n + 1+ C con n = 0
como,
x =
p5 tan t; =) tan t =
xp5
=) t = arctan
✓
xp5
◆
.
Luego,Z
dx
5 + x
2=
p5
5
arctan
✓
xp5
◆
+ C.
F
Ejemplo 244 : IntegreZ
dx
x
2+ 2
.
Solución : Se hace el cambio trigonométrico
x =
p2 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p2 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p2 sec2 t dt
#Z
z}|{
dx
x
2+ 2
=
Z
p2 sec
2t dt
�
p2 tan t
�2+ 2
=
Z
p2 sec
2t dt
2 tan
2t+ 2
| {z }
=
Z
p2 sec
2t dt
2
�
tan
2t+ 1
�
| {z }
=
Z
p2 sec
2t dt
2 sec
2t
"
Cambio
x =p2 tan t
"Factor común 2
"
tan2
t + 1 = sec2 t
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
=
Z
p2
2
dt =
p2
2
z}|{
Z
dt
|{z}
=
p2
2
t+ C,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Z
t
n
dt =t
n+1
n + 1+ C con n = 0
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 275
como,
x =
p2 tan t; =) tan t =
xp2
=) t = arctan
✓
xp2
◆
.
Luego,Z
dx
x
2+ 2
=
p2
2
arctan
✓
xp2
◆
+ C.
F
Ejemplo 245 : IntegreZ
dt
7 + 2t
2.
Solución : Se escribe la integral comoZ
dt
7 + 2t
2=
Z
dt
7 +
�
p2t
�2 ,
se hace el cambio trigonométrico
p2 t =
p7 tan z
Cálculo del
���������!diferencial
p2 dt =
p7 sec
2z dz =) dt =
p7p2
sec
2z dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dt =
p7
p2
sec2 z dz
#
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
p
Z
dt
7 + 2t
2=
Z
z}|{
dt
7 + (
p2 t
|{z}
)
2 =
Z
p7p2
sec
2z dz
7 +
�
p7 tan z
�2 =
p7p2
Z
sec
2z dz
7 + 7 tan
2z
| {z }
=
p7p2
Z
sec
2z dz
7
�
1 + tan
2z
�
| {z }pCambio
p2 t =
p7 tan z
"Factor común 7
"
tan2
z + 1 = sec2 z
Integral de una potencia.
Integral de tabla.
=
p7p2
Z
sec
2z
7 sec
2z
dz =
p7
7
p2
z }| {
Z
dz
| {z }
=
p7
7
p2
z + C,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Z
z
n
dz =z
n+1
n + 1+ C con n = 0
como,p2 t =
p7 tan z =) tan z =
p2p7
t =) z = arctan
p2p7
t
!
.
Luego,Z
dt
7 + 2t
2=
p7
7
p2
arctan
p2p7
t
!
+ C.
F
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 276
Ejemplo 246 : IntegreZ
p
4� x
2dx.
Solución : Hacemos el cambio trigonométrico
x = 2 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 2 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx = 2 cos t dt
#
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#Z
p
4� x
2z}|{
dx =
Z
q
4� (2 sen t)
22 cos t dt = 2
Z
r
4� 4 sen
2t
| {z }
cos t dt = 2
Z
r
4
�
1� sen
2t
�
| {z }
cos t dt
"
Cambio
x = 2 sen t
"
Factor común 4
p
1 � sen2
t = cos2 t
= 2
Z p4 cos
2t cos t dt = 2
Z
2 cos t cos t dt = 4
Z
cos
2t dt,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
para la familia de primitiva de la función f (t) = cos
2t se procede de la siguiente manera, por la identidad
trigonomética
cos
2t =
1 + cos (2t)
2
,
así,Z
cos
2t dt =
Z
1 + cos (2t)
2
dt =
1
2
Z
(1 + cos (2t)) dt =
1
2
✓
Z
dt+
Z
cos (2t) dt
◆
,
pLinealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
"Linealidad de la integral
Z
(f (t) + g (t)) dt =
Z
f (t) dt +
Z
g (t) dt
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dt = t+ C1,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2t
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dt =) du
2
= dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (2t) dt =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C2 =
1
2
sen (2t) + C2.
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 277
Luego,Z
cos
2t dt =
1
2
t+
sen (2t)
2
�
+ C3 =
t
2
+
sen (2t)
4
+ C3 =
t
2
+
1
2
sen t cos t+ C3,
así,Z
p
4� x
2dx = 4
Z
cos
2t dt = 4
✓
t
2
+
1
2
sen t cos t+ C1
◆
= 2t+ 2 sen t cos t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2t + 2 sen t cos t + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que
x = 2 sen t =) sen t =
x
2
=) t = arcsen
⇣
x
2
⌘
.
Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
2
p4� x
2
x
x = 2 sen t =) sen t =
x
2
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
(2)
2 � x
2
entonces,
cos t =
c.o.
hip
=
p4� x
2
2
,
es decir,Z
p
4� x
2dx = 2t+ 2 sen t cos t+ C = 2arcsen
⇣
x
2
⌘
+ 2
x
2
p4� x
2
2
+ C = 2arcsen
⇣
x
2
⌘
+
x
p4� x
2
2
+ C.
Luego,Z
p
4� x
2dx = 2arcsen
⇣
x
2
⌘
+
x
p4� x
2
2
+ C.
F
Ejemplo 247 : IntegreZ
p
4x� 4x
2+ 7 dx.
Solución : Se completa cuadrados
4x� 4x
2+ 7 = � 4
✓
x� 1
2
◆2
+ 8 = � (2)
2
✓
x� 1
2
◆2
+ 8 = �✓
2
✓
x� 1
2
◆◆2
+ 8 = � (2x� 1)
2+ 8
entoncesZ
p
4x� 4x
2+ 7 dx =
Z
q
8� (2x� 1)
2dx.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 278
Se propone el cambio de variable
u = 2x� 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dx =) du
2
= dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
La integral queda
Diferencial
dx =du
2
#Z
r
8� ( 2x� 1
| {z }
)
2z}|{
dx =
Z
p
8� u
2du
2
=
1
2
Z
p
8� u
2du.
"Cambio
u = 2x � 1
"
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Se observa que la nueva integral tiene la estructura de la integral del ejemplo anterior 246, entonces, se hace lasustitución trigonométrica
u =
p8 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
du =
p8 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
du =p8 cos t dt
#
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#Z
p
8� u
2z}|{
du =
Z
r
8�⇣p
8 sen t
⌘2 p8 cos t dt =
p8
Z
r
8� 8 sen
2t
| {z }
cos t dt
"
Cambio
u =p8 sen t
"
Factor común 8
=
p8
Z
r
8
�
1� sen
2t
�
| {z }
cos t dt =
p8
Z p8 cos
2t cos t dt =
p8
Z p8 cos t cos t dt
"1 � sen2
t = cos2 t
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
= 8
Z
cos
2t dt
| {z }
= 8
✓
t
2
+
1
2
sen t cos t
◆
+ C = 4t+ 4 sen t cos t+ C,
"Ver ejemplo 246
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 4t + 4 sen t cos t + C, en términos de la variable de integraciónu, puesto que
u =
p8 sen t =) sen t =
up8
=) t = arcsen
✓
up8
◆
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 279
Para calcular cos t en función de u, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
p8
p8� u
2
u
u =
p8 sen t =) sen t =
up8
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
�
p8
�2 � u
2
entonces,
cos t =
c.o.
hip
=
p8� u
2
p8
,
es decir,Z
p
8� u
2du = 4t+ 4 sen t cos t+ C = 4arcsen
✓
up8
◆
+ 4
up8
p8� u
2
p8
+ C
= 4arcsen
✓
up8
◆
+
u
p8� u
2
2
+ C,
por lo tanto,Z
p
8� u
2du = 4arcsen
✓
up8
◆
+
u
p8� u
2
2
+ C,
como u = 2x� 1, entonces la familia de primitiva de la función g (x) =
p4x� 4x
2+ 7 viene dada por
Z
p
4x� 4x
2+ 7 dx = 4arcsen
✓
2x� 1p8
◆
+
(2x� 1)
q
8� (2x� 1)
2
2
+ C.
Luego,Z
p
4x� 4x
2+ 7 dx = 4arcsen
✓
2x� 1p8
◆
+
(2x� 1)
p4x� 4x
2+ 7
2
+ C.
Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio trigonométrico
2x� 1 =
p8 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
2 dx =
p8 cos t dt =) dx =
p8
2
cos t dt,
F
Ejemplo 248 : IntegreZ
dxpx
2+ x+ 1
.
Solución : Se completa cuadrados
x
2+ x+ 1 =
✓
x+
1
2
◆2
+
3
4
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 280
entoncesZ
dxpx
2+ x+ 1
=
Z
dx
q
(x+ 1/2)
2+ 3/4
.
Se hace la sustitución trigonométrico
x+
1
2
=
r
3
4
tan t =
p3
2
tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p3
2
sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =
p3
2sec2 t dt
#Z
dxpx
2+ x+ 1
=
Z
z}|{
dx
r
( x+ 1/2
| {z }
)
2+ 3/4
=
Z
p3/2 sec
2t dt
q
�
p3/2 tan t
�2+ 3/4
=
Z
p3/2 sec
2t dt
r
3/4 tan
2t+ 3/4
| {z }pCambio
x +1
2=
p3
2tan t
"
Factor común
3
4
=
Z
p3/2 sec
2t dt
r
3/4
�
tan
2t+ 1
�
| {z }
=
Z
p3/2 sec
2t dt
p
3/4 sec
2t
=
Z
p3/2 sec
2t dtp
3/2 sec t
=
Z
sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C1,
"tan2
t + 1 = sec2 t
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t| + C1, en términos de la variable original deintegración x, puesto que
x+
1
2
=
p3
2
tan t =) tan t =
2x+ 1p3
.
Para calcular sec t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
2
px
2+ x+ 1
p3
2x+ 1
x+
1
2
=
p3
2
tan t =) tan t =
2x+ 1p3
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
(2x+ 1)
2+
�
p3
�2
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 281
entonces,
sec t =
hip.
c.a.
=
2
px
2+ x+ 1p3
,
así,Z
dxpx
2+ x+ 1
= ln
�
�
�
�
�
2
px
2+ x+ 1p3
+
2x+ 1p3
�
�
�
�
�
+ C1 = ln
�
�
�
�
�
2
px
2+ x+ 1 + 2x+ 1p
3
�
�
�
�
�
+ C1
= ln
�
�
2
px
2+ x+ 1 + 2x+ 1
�
�� ln
p3 + C1 = ln
�
�
2
px
2+ x+ 1 + 2x+ 1
�
�
+ C,
donde C = C1 � ln
p3.
Luego,Z
dxpx
2+ x+ 1
= ln
�
�
�
2
p
x
2+ x+ 1 + 2x+ 1
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 249 : IntegreZ
dxpx
2+ 8x+ 14
.
Solución : Se completa cuadrados
x
2+ 8x+ 14 = (x+ 4)
2 � 2
entoncesZ
dxpx
2+ 8x+ 14
=
Z
dx
q
(x+ 4)
2 � 2
.
Se hace la sustitución trigonométrico
x+ 4 =
p2 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p2 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p2 sec t tan t dt
#Z
dxpx
2+ 8x+ 14
=
Z
z}|{
dx
r
( x+ 4
| {z }
)
2 � 2
=
Z
p2 sec t tan t dt
q
�
p2 sec t
�2 � 2
=
Z
p2 sec t tan t dt
q
2 sec
2t� 2
| {z }
pCambio
x + 4 =p2 sec t
"Factor común 2
=
Z
p2 sec t tan t dt
r
2
�
sec
2t� 1
�
| {z }
=
Z
p2 sec t tan t dtp
2 tan
2t
=
Z
p2 sec t tan t dtp
2 tan t
,
"sec2 t � 1 = tan2
t
=
Z
sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C1,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 282
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t| + C1, en términos de la variable original deintegración x, puesto que
x+ 4 =
p2 sec t =) sec t =
x+ 4p2
.
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
x+ 4
p2
px
2+ 8x+ 14
x+ 4 =
p2 sec t =) sec t =
x+ 4p2
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
(x+ 4)
2 ��
p2
�2
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
px
2+ 8x+ 14p
2
,
así,Z
dxpx
2+ 8x+ 14
= ln
�
�
�
�
�
x+ 4p2
+
px
2+ 8x+ 14p
2
�
�
�
�
�
+ C1 = ln
�
�
�
�
�
x+ 4 +
px
2+ 8x+ 14p2
�
�
�
�
�
+ C1
= ln
�
�
x+ 4 +
px
2+ 8x+ 14
�
�� ln
p2 + C1 = ln
�
�
x+ 4 +
px
2+ 8x+ 14
�
�
+ C,
donde C = C1 � ln
p2.
Luego,Z
dxpx
2+ 8x+ 14
= ln
�
�
�
x+ 4 +
p
x
2+ 8x+ 14
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 250 : IntegreZ
x
3p
x
2 � 5 dx.
Solución : Se hace la sustitución trigonométrica
x =
p5 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p5 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
x
3p
x
2 � 5 dx
|{z}
=
Z
⇣p5 sec t
⌘3r
⇣p5 sec t
⌘2
� 5
⇣p5 sec t tan t dt
⌘
" "Cambio
x =p5 sec t
pDiferencial
dx =p5 sec t tan t dt
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 283
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
# #
=
Z
z}|{
5
p5 sec
3t
r
5 sec
2t� 5
| {z }
z}|{p5 sec t tan t dt
!
"Factor común 5
=
�
5
p5
� �
p5
�
Z
sec
3t
r
5
�
sec
2t� 1
�
| {z }
sec t tan t dt = 25
Z
sec
3t
p
5 tan
2t sec t tan t dt
"sec2 t � 1 = tan2
t
= 25
Z
sec
3t
p5
|{z}
tan t sec t tan t dt = 25
p5
Z
sec
4t tan
2t dt
| {z }
,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integral de funciones
trigonométricas con potencias
para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = tan
2t sec
4t se observa que como la potencia de la
secante es par, la integral se escribe como
Potencia par.
Tomar un término sec2 t.
#Z
tan
2t sec
4t dt =
Z
tan
2t sec
2t sec
2t dt,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será sec
2t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan t,
así, cabe la preguntaZ
tan
2t sec
4t dt =
Z
tan
2t sec
2t
| {z }
sec
2t dt,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básicatan
2t+ 1 = sec
2t,
se tiene,Z
tan
2t sec
2t sec
2t dt =
Z
tan
2t sec
2t
| {z }
sec
2t dt =
Z
tan
2t
�
tan
2t+ 1
�
sec
2t dt.
"tan2
t + 1 = sec2 t
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secanteal cuadrado, así, se propone el cambio de variable
u = tanx
Cálculo del
���������!diferencial
du = sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 284
Entonces, la integral queda
Cambio
u = tan t
#
Cambio
u = tan t
#
Diferencial
du = sec2 t dt
pZ
tan
2t sec
4t dt =
Z
tan
2t
�
tan
2t+ 1
�
sec
2t dt =
Z
✓
z}|{
tan t
◆2
✓
z}|{
tan t
◆2
+ 1
!
z }| {
sec
2t dt
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
u
2�
u
2+ 1
�
du =
Z
�
u
4+ u
2�
du =
z }| {
Z
u
4du
| {z }
+
z }| {
Z
u
2du
| {z }
"Linealidad de la integral
Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
g (x) dx
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 4 y n = 2
=
u
5
5
+
u
3
3
+ C =
1
5
tan
5t+
1
3
tan
3t+ C.
Luego,Z
tan
2t sec
4t dt =
1
5
tan
5t+
1
3
tan
3t+ C,
entoncesZ
x
3p
x
2 � 5 dx = 25
p5
✓
1
5
tan
5t+
1
3
tan
3t
◆
+ C = 5
p5 tan
5t+
25
p5
3
tan
3t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 5
p5 tan
5t+
25
p5
3
tan
3t+C, en términos de la variable original
de integración x, puesto quex =
p5 sec t =) sec t =
xp5
.
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
x
p5
px
2 � 5
x =
p5 sec t =) sec t =
xp5
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
x
2 ��
p5
�2
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
px
2 � 5p5
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 285
así,
Z
x
3p
x
2 � 5 dx = 5
p5
px
2 � 5p5
!5
+
25
p5
3
px
2 � 5p5
!3
+ C =
�
px
2 � 5
�5
5
+
5
3
⇣
p
x
2 � 5
⌘3
+ C
=
�
px
2 � 5
�3
5
✓
�
px
2 � 5
�2+
25
3
◆
+ C =
�
px
2 � 5
�3
5
✓
x
2 � 5 +
25
3
◆
+ C
=
�
px
2 � 5
�3
5
✓
x
2+
10
3
◆
+ C.
Luego,Z
x
3p
x
2 � 5 dx =
�
px
2 � 5
�3
5
✓
x
2+
10
3
◆
+ C.
Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio variable
u
2= x
2 � 5
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = 2x dx =) u du = x dx.
Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio. F
Ejemplo 251 : IntegreZ
x
3dxp
x
2 � 4
.
Solución : Se hace la sustitución trigonométrica
x = 2 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 2 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
x = 2 sec t
#
Diferencial
dx = 2 sec t tan t dt
pZ
x
3z}|{
dxpx
2 � 4
=
Z
(2 sec t)
3(2 sec t tan t dt)
q
(2 sec t)
2 � 4
=
Z
�
8 sec
3t
�
(2 sec t tan t dt)
q
4 sec
2t� 4
| {z }
=
Z
16 sec
4t tan t dt
r
4
�
sec
2t� 1
�
| {z }"Cambio
x = 2 sec t
"
Factor común 4
psec2 t � 1 = tan2
t
=
Z
16 sec
4t tan t dtp
4 tan
2t
=
Z
16 sec
4t tan t dt
2 tan t
=
Z
8 sec
4t dt = 8
Z
sec
4t dt
| {z }
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integral de funciones
trigonométricas con potencias
para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sec
4t se observa que como la potencia de la secante es
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 286
par, la integral se escribe comoPotencia par.
Tomar un término sec2 t.
#Z
sec
4t dt =
Z
sec
2t sec
2t dt,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será sec
2t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan t,
así, cabe la pregunta¿Qué hacer con este término?
#Z
sec
4t dt =
Z
z }| {
sec
2t sec
2t dt,
por la identidad trigonométrica básicatan
2t+ 1 = sec
2t,
se tiene,tan2
t + 1 = sec2 t
#Z
sec
4t dt =
Z
z }| {
sec
2t sec
2t dt =
Z
�
tan
2t+ 1
�
sec
2t dt.
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secanteal cuadrado, así, se propone el cambio de variable
z = tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dz = sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
z = tan t
#
Diferencial
dz = sec2 t dt
#Z
sec
4t dt =
Z
sec
2t sec
2t dt =
Z
�
tan
2t+ 1
�
sec
2t dt =
Z
✓
z}|{
tan t
◆2
+ 1
!
z }| {
sec
2t dt
Linealidad de la integral
Z
(f (z) + g (z)) dz =
Z
f (z) dz +
Z
g (z) dz
#
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
=
Z
�
z
2+ 1
�
dz =
Z
z
2dz +
Z
dz =
z }| {
Z
z
2dz
| {z }
+
z }| {
Z
dz
| {z }
=
z
3
3
+ z + C1 =
tan
3t
3
+ tan t+ C1,
Z
z
n
dz =z
n+1
n + 1+ C con n = 2 y n = 0
así,Z
sec
4t dt =
1
3
tan
3t+ tan t+ C1,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 287
entonces,Z
x
3dxp
x
2 � 4
= 8
Z
sec
4t dt = 8
✓
1
3
tan
3t+ tan t+ C1
◆
=
8
3
tan
3t+ 8 tan t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
8
3
tan
3t + 8 tan t + C, en términos de la variable original de
integración x, puesto quex = 2 sec t =) sec t =
x
2
.
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
x
2
px
2 � 4
x = 2 sec t =) sec t =
x
2
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
x
2 � (2)
2
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
px
2 � 4
2
,
así,Z
x
3dxp
x
2 � 4
=
8
3
px
2 � 4
2
!3
+ 8
px
2 � 4
2
+ C =
1
3
⇣
p
x
2 � 4
⌘3
+ 4
p
x
2 � 4 + C.
Luego,Z
x
3dxp
x
2 � 4
=
1
3
⇣
p
x
2 � 4
⌘3
+ 4
p
x
2 � 4 + C.
Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio de variable
u
2= x
2 � 5
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = 2x dx =) u du = x dx.
Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio. F
Ejemplo 252 : IntegreZ
x
2p
5� x
2dx.
Solución : Se hace el cambio trigonométrico
x =
p5 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p5 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 288
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =p5 cos t dt
#Z
x
2p
5� x
2z}|{
dx =
Z
⇣p5 sen t
⌘2r
5�⇣p
5 sen t
⌘2 ⇣p5 cos t dt
⌘
" "Cambio
x =p5 sen t
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
# #=
Z
5 sen
2t
r
5� 5 sen
2t
| {z }
⇣p5 cos t dt
⌘
= 5
p5
Z
sen
2t
r
5
�
1� sen
2t
�
| {z }
cos t dt
"
Factor común 5
p1 � sen2
t = cos2 t
= 5
p5
Z
sen
2t
p5 cos
2t cos t dt = 5
p5
Z
sen
2t
p5 cos t cos t dt = 25
Z
sen
2t cos
2t dt
| {z }
,
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integral de funciones
trigonométricas con potencias
para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sen
2t cos
2t se observa que como las potencias de las
expresiones seno y coseno son pares, se tiene, por las identidades trigonométricas
cos
2t =
1 + cos (2t)
2
, sen
2t =
1� cos (2t)
2
.
que la integral se puede expresar como
Producto notable
(a + b) (a � b) = a
2 � b
2
#Z
cos
2t sen
2t dt =
Z
✓
1 + cos (2t)
2
◆✓
1� cos (2t)
2
◆
dt =
Z
z }| {
(1 + cos (2t)) (1� cos (2t))
4
dx
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
=
1
4
Z
✓
1� cos
2(2t)
| {z }
◆
dt =
1
4
Z
sen
2(2t)
| {z }
dt =
1
4
Z
1� cos (4t)
2
dx =
1
4
1
2
Z
(1� cos (4t)) dt
"Identidad trigonométrica
sen2 (·) + cos2 (·) = 1
de aquí, sen2 (2t) = 1 � cos2 (2t)
"Identidad trigonométrica
sen2 (·) =1 � cos 2 (·)
2
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
=
1
8
✓
Z
dt�Z
cos (4t) dt
◆
=
1
8
Z
dt� 1
8
Z
cos (4t) dt.
"Linealidad de la integral
Z
(f (t) + g (t)) dt =
Z
f (t) dt +
Z
g (t) dt
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 289
Se calcula las integrales. La primera integral es sencillaZ
dt = t+ C1.
Para la segunda integral, se propone el cambio de variable
u = 4t
Cálculo del
���������!diferencial
du = 4 dt =) du
4
= dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
u = 4t
Diferencial
du
4= dt
# #Z
cos
z}|{
(4t)
z}|{
dt =
Z
cosu
du
4
=
1
4
Z
cosu du =
1
4
senu+ C2 =
1
4
sen (4t) + C2.
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Luego,Z
cos
2t sen
2t dt =
1
8
(t+ C1)�1
8
✓
1
4
sen (4t) + C2
◆
=
t
8
� 1
32
sen (4t) + C,
es decir,Z
cos
2t sen
2t dt =
t
8
� 1
32
sen (4t) + C.
pero,sen (4t) = 2 sen (2t) cos (2t) = 2 (2 sen t cos t)
�
cos
2t� sen
2t
�
= 4 sen t cos
3t� 4 sen
3t cos t
entonces,Z
cos
2t sen
2t dt =
t
8
� 1
32
�
4 sen t cos
3t� 4 sen
3t cos t
�
+ C,
es decir,Z
cos
2t sen
2t dt =
t
8
� 1
8
sen t cos
3t+
1
8
sen
3t cos t+ C,
con lo que,Z
x
2p
5� x
2dx = 25
✓
t
8
� 1
8
sen t cos
3t+
1
8
sen
3t cos t
◆
+ C =
25
8
t� 25
8
sen t cos
3t+
25
8
sen
3t cos t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
25
8
t � 25
8
sen t cos
3t +
25
8
sen
3t cos t + C, en términos de la
variable original de integración x, puesto que
x =
p5 sen t =) sen t =
xp5
=) t = arcsen
✓
xp5
◆
.
Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 290
por lo tanto,
����
������
�
CC t
p5
p5� x
2
x
x =
p5 sen t =) sen t =
xp5
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
�
p5
�2 � x
2
entonces,
cos t =
c.o.
hip
=
p5� x
2
p5
,
es decir,Z
x
2p
5� x
2dx =
25
8
arcsen
✓
xp5
◆
� 25
8
xp5
p5� x
2
p5
!3
� 25
8
✓
xp5
◆3 p5� x
2
p5
+ C
=
25
8
arcsen
✓
xp5
◆
� 1
8
x
q
(5� x
2)
3 � 1
8
x
3p5� x
2+ C.
Luego,Z
x
2p
5� x
2dx =
25
8
arcsen
✓
xp5
◆
� 1
8
x
q
(5� x
2)
3 � 1
8
x
3p
5� x
2+ C.
F
Ejemplo 253 : IntegreZ
x
3p
4� 9x
2dx.
Solución : Se escribe la integral comoZ
x
3p
4� 9x
2dx =
Z
x
3
q
4� (3x)
2dx,
y se hace el cambio trigonométrico
3x = 2 sen t =) x =
2
3
sen t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
2
3
cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Diferencial
dx =2
3cos t dt
#Z
x
3p
4� 9x
2dx =
Z
x
3q
4� ( 3x
|{z}
)
2z}|{
dx =
Z
✓
2
3
sen t
◆3q
4� (2 sen t)
2
✓
2
3
cos t dt
◆
"Cambio
x =2
3sen t
"
Cambio
3x = 2 sen t
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#=
Z
8
27
sen
3t
r
4� 4 sen
2t
| {z }
✓
2
3
cos t dt
◆
=
Z
16
81
sen
3t
r
4
�
1� sen
2t
�
| {z }
cos t dt
"
Factor común 4
p1 � sen2
t = cos2 t
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 291
=
16
81
Z
sen
3t
p4 cos
2t cos t dt =
16
81
Z
sen
3t (2 cos t) cos t dt =
32
81
Z
sen
3t cos
2t dt
| {z }
"Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
Integral de funciones
trigonométricas con potencias
para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sen
3t cos
2t se observa que la potencia de la expresión
seno es impar, así, se escribe la integral como
Potencia impar.
Tomar un término seno.
#Z
sen
3t cos
2t dt =
Z
sen
2t cos
2t sen t dt,
"Futuro diferencial.
si el diferencial de la nueva integral será sen t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cos t,así, cabe la pregunta
Z
sen
3t cos
2t dt =
Z
sen
2t
| {z }
cos
2t sen t dt,
"¿Qué hacer con este término?
por la identidad trigonométrica básica
sen
2t+ cos
2t = 1, entonces sen
2t = 1� cos
2t,
por lo que,Z
sen
3t cos
2t dt =
Z
sen
2t
| {z }
cos
2t sen t dt =
Z
�
1� cos
2t
�
cos
2t sen t dt.
"sen2
t = 1 � cos2 t
Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno,así, se propone el cambio de variable
u = cos t
Cálculo del
���������!diferencial
du = � sen t dt =) � du = sen t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Cambio
u = cos t
. &
Diferencial
� du = sen t dt
#
Linealidad de la integral
Sale de la integral por ser constante
respecto a la variable de integración
#Z
�
1� cos
2t
�
cos
2t sen t dt =
Z
1�✓
z}|{
cos t
◆2!
✓
z}|{
cos t
◆2z }| {
sen t dt =
Z
�
1� u
2�
u
2(�du)
Integrales de una potencia.
Integrales de tabla.
= �Z
�
u
2 � u
4�
du = �z }| {
Z
u
2du
| {z }
+
z }| {
Z
u
4du
| {z }
= �u
3
3
+
u
5
5
+ C = �cos
3t
3
+
cos
5t
5
+ C.
"Linealidad de la integral
Z
(f (u) + g (u)) du =
Z
f (u) du +
Z
g (u) du
Z
u
n
du =u
n+1
n + 1+ C con n = 2 y n = 4
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 292
Luego,Z
sen
3t cos
2t dt = � cos
3t
3
+
cos
5t
5
+ C.
con lo que,Z
x
3p
4� 9x
2dx =
32
81
Z
sen
3t cos
2t dt =
32
81
✓
� cos
3t
3
+
cos
5t
5
◆
+ C =
32
405
cos
5t� 32
243
cos
3t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
32
405
cos
5t� 32
243
cos
3t+C, en términos de la variable original
de integración x, puesto que3x = 2 sen t =) sen t =
3x
2
.
Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
2
p4� 9x
2
3x
3x = 2 sen t =) sen t =
3x
2
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
(2)
2 � (3x)
2
entonces,
cos t =
c.o.
hip
=
p4� 9x
2
2
,
por lo que,
Z
x
3p
4� 9x
2dx =
32
405
cos
5t� 32
243
cos
3t+ C =
32
405
p4� 9x
2
2
!5
� 32
243
p4� 9x
2
2
!3
+ C
=
1
405
�
p4� 9x
2�5 � 4
243
�
p4� 9x
2�3
+ C.
Luego,Z
x
3p
4� 9x
2dx =
1
405
⇣
p
4� 9x
2⌘5
� 4
243
⇣
p
4� 9x
2⌘3
+ C.
Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio de variable
u
2= 4� 9x
2Cálculo del
���������!diferencial
2u du = �18x dx =) u du = �9x dx.
Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio. F
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 293
Ejemplo 254 : IntegreZ
x
2dxp
9� x
2.
Solución : Se hace el cambio trigonométrico
x = 3 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 3 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
x
2dxp
9� x
2=
Z
(3 sen t)
2(3 cos t dt)
q
9� (3 sen t)
2=
Z
9 sen
2t (3 cos t dt)p
9� 9 sen
2t
=
Z
27 sen
2t cos t dt
p
9 (1� sen
2t)
=
Z
27 sen
2t cos t dtp
9 cos
2t
=
Z
27 sen
2t cos t dt
3 cos t
=
Z
9 sen
2t dt = 9
Z
sen
2t dt
para la familia de primitiva de la función f (t) = sen
2t se procede de la siguiente manera, por la identidad
trigonomética
sen
2t =
1� cos (2t)
2
,
se tiene,Z
sen
2t dt =
Z
1� cos (2t)
2
dt =
1
2
Z
(1� cos (2t)) dt =
1
2
✓
Z
dt�Z
cos (2t) dt
◆
,
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dt = t+ C1,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2t
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dt =) du
2
= dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (2t) dt =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C2 =
1
2
sen (2t) + C2.
Luego,Z
sen
2t dt =
1
2
t� sen (2t)
2
�
+ C3 =
t
2
� sen (2t)
4
+ C3 =
t
2
� 1
2
sen t cos t+ C3,
así,Z
x
2dxp
9� x
2= 9
Z
sen
2t dt = 9
✓
t
2
� 1
2
sen t cos t+ C1
◆
=
9t
2
� 9
2
sen t cos t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
9t
2
� 9
2
sen t cos t + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que
x = 3 sen t =) sen t =
x
3
=) t = arcsen
⇣
x
3
⌘
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 294
Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
3
p9� x
2
x
x = 3 sen t =) sen t =
x
3
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
(3)
2 � x
2
entonces,
cos t =
c.a.
hip
=
p9� x
2
3
,
es decir,Z
x
2dxp
9� x
2=
9t
2
� 9
2
sen t cos t+ C =
9
2
arcsen
⇣
x
3
⌘
� 9
2
x
3
p9� x
2
3
+ C =
9
2
arcsen
⇣
x
3
⌘
� x
p9� x
2
2
+ C.
Luego,Z
x
2dxp
9� x
2=
9
2
arcsen
⇣
x
3
⌘
� x
p9� x
2
2
+ C.
F
Ejemplo 255 : IntegreZ
dx
x
px
2 � 4
.
Solución : Se hace la sustitución trigonométrica
x = 2 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 2 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dx
x
px
2 � 4
=
Z
2 sec t tan t dt
2 sec t
q
(2 sec t)
2 � 4
=
Z
2 sec t tan t dt
2 sec t
p4 sec
2t� 4
=
Z
2 sec t tan t dt
2 sec t
p
4 (sec
2t� 1)
=
Z
2 sec t tan t dt
2 sec t
p4 tan
2t
=
Z
2 sec t tan t dt
2 sec t 2 tan t
=
Z
dt
2
=
1
2
Z
dt =
t
2
+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
t
2
+ C, en términos de la variable original de integración x,puesto que
x = 2 sec t; =) sec t =
x
2
; =) cos t =
2
x
; =) t = arccos
⇣
x
2
⌘
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 295
Luego,Z
dx
x
px
2 � 4
=
1
2
arccos
⇣
x
2
⌘
+ C.
F
Ejemplo 256 : IntegreZ
dx
x
px
2+ 3
.
Solución : Se hace el cambio trigonométrico
x =
p3 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p3 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dx
x
px
2+ 3
=
Z
p3 sec
2t dt
p3 tan t
q
�
p3 tan t
�2+ 3
=
Z
sec
2t dt
tan t
p3 tan
2t+ 3
=
Z
sec
2t dt
tan t
q
3
�
tan
2t+ 1
�
=
Z
sec
2t dt
tan t
p3 sec
2t
=
Z
sec
2t dt
tan t
p3 sec t
=
1p3
Z
sec t
tan t
dt,
donde,
Z
sec t
tan t
dt =
Z
1
cos t
sen t
cos t
dt =
Z
cos t
cos t sen t
dt =
Z
1
sen t
dt =
Z
csc t dt = ln |csc t� cot t|+ C,
así,Z
dx
x
px
2+ 3
=
1p3
ln |csc t� cot t|+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
1p3
ln |csc t� cot t|+ C, en términos de la variable original de
integración x, puesto quex =
p3 tan t =) tan t =
xp3
.
Para calcular csc t y cot t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
px
2+ 3
p3
x
x =
p3 tan t =) tan t =
xp3
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
x
2+
�
p3
�2
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 296
entonces,
csc t =
hip
c.o.
=
p3 + x
2
x
y cot t =
c.a.
c.o.
=
p3
x
.,
Luego,Z
dx
x
px
2+ 3
=
1p3
ln
�
�
�
�
�
p3 + x
2
x
�p3
x
�
�
�
�
�
+ C.
F
Ejemplo 257 : IntegreZ
px
2 � 9
x
dx.
Solución : Hacemos el cambio trigonométrico
x = 3 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 3 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
px
2 � 9
x
dx =
Z
q
(3 sec t)
2 � 9
3 sec t
3 sec t tan t dt =
Z
p
9 sec
2t� 9 tan t dt
=
Z
p
9 (sec
2t� 1) tan t dt =
Z
p
9 tan
2t tan t dt =
Z
3 tan t tan t dt = 3
Z
tan
2t dt,
donde,Z
tan
2t dt =
Z
�
sec
2t� 1
�
dt =
Z
sec
2t dt�
Z
dt = tan t� t+ C,
así,Z
px
2 � 9
x
dx = 3 (tan t� t) + C = 3 tan t� 3t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3 tan t�3t+C, en términos de la variable original de integraciónx, puesto que
x = 3 sec t =) sec t =
x
3
=) cos t =
3
x
=) t = arccos
✓
3
x
◆
.
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
x
3
px
2 � 9
x = 3 sec t =) sec t =
x
3
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
x
2 � (3)
2
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 297
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
px
2 � 9
3
,
es decir,Z
px
2 � 9
x
dx = 3
px
2 � 9
3
� 3 arccos
✓
3
x
◆
+ C =
p
x
2 � 9� 3 arccos
✓
3
x
◆
+ C.
Luego,Z
px
2 � 9
x
dx =
p
x
2 � 9� 3 arccos
✓
3
x
◆
+ C.
F
Ejemplo 258 : IntegreZ
px
2+ 7
x
2dx.
Solución : Hacemos el cambio trigonométrico
x =
p7 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p7 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
px
2+ 7
x
2dx =
Z
q
�
p7 tan t
�2+ 7
�
p7 tan t
�2
p7 sec
2t dt =
Z
p7 tan
2t+ 7
7 tan
2t
p7 sec
2t dt
=
p7
7
Z
q
7
�
tan
2t+ 1
�
tan
2t
sec
2t dt =
p7
7
Z
p7 sec
2t
tan
2t
sec
2t dt =
p7
7
Z
p7 sec t
tan
2t
sec
2t dt
=
Z
sec
3t
tan
2t
dt =
Z
1
cos
3t
sen
2t
cos
2t
dt =
Z
cos
2t dt
sen
2t cos
3t
=
Z
dt
sen
2t cos t
,
para obtener la familia de primitiva de la función g (t) =
1
sen
2t cos t
, se usa la identidad trigonométrica básica
1 = sen
2t+ cos
2t
y se escribe la integralZ
dt
sen
2t cos t
=
Z
�
sen
2t+ cos
2t
�
dt
sen
2t cos t
=
Z
sen
2t
sen
2t cos t
dt+
Z
cos
2t
sen
2t cos t
dt =
Z
dt
cos t
+
Z
cos t
sen
2t
dt,
donde,Z
dt
cos t
=
Z
sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C1,
mientras que, para la integralZ
cos t
sen
2t
dt, se propone el cambio de variable
u = sen t
Cálculo del
���������!diferencial
du = cos t dt,
la integral quedaZ
cos t
sen
2t
dt =
Z
du
u
2=
Z
u
�2du = � 1
u
+ C2 = � 1
sen t
+ C2 = � csc t+ C2,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 298
así,Z
px
2+ 7
x
2dx = ln |sec t+ tan t|� csc t+ C3,
donde C3 = C1 +C2, ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t+ tan t|� csc t+C3, en términosde la variable original de integración x, puesto que
x =
p7 tan t =) tan t =
xp7
.
Para calcular sec t y csc t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
px
2+ 7
p7
x
x =
p7 tan t =) tan t =
xp7
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
x
2+
�
p7
�2
entonces,
csc t =
hip
c.o.
=
p7 + x
2
x
y sec t =
hip
c.a.
=
p7 + x
2
p7
,
por lo que,Z
px
2+ 7
x
2dx = ln
�
�
�
�
�
p7 + x
2
p7
+
xp7
�
�
�
�
�
�p7 + x
2
x
+ C3 = ln
�
�
�
�
�
p7 + x
2+ xp
7
�
�
�
�
�
�p7 + x
2
x
+ C3
= ln
�
�
p7 + x
2+ x
�
�� ln
p7�p7 + x
2
x
+ C3 = ln
�
�
p7 + x
2+ x
�
��p7 + x
2
x
+ C,
donde C = C3 � ln
p7. Luego,
Z
px
2+ 7
x
2dx = ln
�
�
�
p
7 + x
2+ x
�
�
�
�p7 + x
2
x
+ C.
F
Ejemplo 259 : IntegreZ
2x� 1
x
2 � 6x+ 18
dx.
Solución : Se observa que la derivada del polinomio del denominador es�
x
2 � 6x+ 18
�0= 2x� 6,
así, que se escribe la integral comoZ
2x� 1
x
2 � 6x+ 18
dx =
Z
2x� 1� 5 + 5
x
2 � 6x+ 18
dx =
Z
(2x� 6) + 5
x
2 � 6x+ 18
dx =
Z
(2x� 6) dx
x
2 � 6x+ 18
+ 5
Z
dx
x
2 � 6x+ 18
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 299
donde, la primera integral,Z
(2x� 6) dx
x
2 � 6x+ 18
, se resuelve al proponer el cambio de variable
u = x
2 � 6x+ 18
Cálculo del
���������!diferencial
du = (2x� 6) dx,
la integral nos quedaZ
(2x� 6) dx
x
2 � 6x+ 18
=
Z
du
u
= ln |u|+ C1 = ln
�
�
x
2 � 6x+ 18
�
�
+ C1,
mientras que, para la segunda integral,Z
dx
x
2 � 6x+ 18
, se completa cuadrados y se propone un cambio trigonométrico.
Al completar cuadrado se obtienex
2 � 6x+ 18 = (x� 3)
2+ 9,
así,Z
dx
x
2 � 6x+ 18
=
Z
dx
(x� 3)
2+ 9
,
y ahora, se hace el cambio trigonométrico
x� 3 = 3 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dx = 3 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dx
x
2 � 6x+ 18
=
Z
3 sec
2t dt
(3 tan t)
2+ 9
=
Z
3 sec
2t dt
9 tan
2t+ 9
=
Z
3 sec
2t dt
9
�
tan
2t+ 1
�
=
Z
sec
2t dt
3 sec
2t
=
1
3
Z
dt =
t
3
+ C2,
así,Z
dx
x
2 � 6x+ 18
=
t
3
+ C2,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
t
3
+ C2, en términos de la variable original de integración x,puesto que
x� 3 = 3 tan t =) tan t =
x� 3
3
=) t = arctan
✓
x� 3
3
◆
,
por lo tanto,Z
dx
x
2 � 6x+ 18
=
1
3
arctan
✓
x� 3
3
◆
+ C2.
EntoncesZ
2x� 1
x
2 � 6x+ 18
dx =
Z
(2x� 6) dx
x
2 � 6x+ 18
+ 5
Z
dx
x
2 � 6x+ 18
= ln
�
�
x
2 � 6x+ 18
�
�
+ C1 + 5
✓
1
3
arctan
✓
x� 3
3
◆
+ C2
◆
= ln
�
�
x
2 � 6x+ 18
�
�
+
5
3
arctan
✓
x� 3
3
◆
+ C,
donde C = C1 + 5C2.
Luego,Z
2x� 1
x
2 � 6x+ 18
dx = ln
�
�
x
2 � 6x+ 18
�
�
+
5
3
arctan
✓
x� 3
3
◆
+ C.
F
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 300
Ejemplo 260 : IntegreZ
px
(x+ 6)
2 dx.
Solución : Se propone el cambio de variable
x = z
2Cálculo del
���������!diferencial
dx = 2z dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
px
(x+ 6)
2 dx =
Z
pz
2
(z
2+ 6)
2 2z dz = 2
Z
z
2
(z
2+ 6)
2 dz.
Se hace el cambio trigonométrico
z =
p6 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dz =
p6 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
z
2
(z
2+ 6)
2 dz =
Z
�
p6 tan t
�2
⇣
�
p6 tan t
�2+ 6
⌘2
p6 sec
2t dt =
Z
6 tan
2t
�
6 tan
2t+ 6
�2
p6 sec
2t dt
=
Z
6
p6 tan
2t sec
2t
�
6
�
tan
2t+ 1
��2 dt =
Z
6
p6 tan
2t sec
2t
36 (sec
2t)
2 dt =
p6
6
Z
tan
2t sec
2t
sec
4t
dt
=
p6
6
Z
tan
2t
sec
2t
dt =
p6
6
Z
sen
2t
cos
2t
1
cos
2t
dt =
p6
6
Z
sen
2t dt,
para la familia de primitiva de la función f (t) = sen
2t se procede de la siguiente manera, por la identidad
trigonomética
sen
2t =
1� cos (2t)
2
,
se tiene,Z
sen
2t dt =
Z
1� cos (2t)
2
dt =
1
2
Z
(1� cos (2t)) dt =
1
2
✓
Z
dt�Z
cos (2t) dt
◆
,
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dt = t+ C1,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2t
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dt =) du
2
= dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 301
Entonces, la integral quedaZ
cos (2t) dt =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C2 =
1
2
sen (2t) + C2.
Luego,Z
sen
2t dt =
1
2
t� sen (2t)
2
�
+ C3 =
t
2
� sen (2t)
4
+ C3 =
t
2
� 1
2
sen t cos t+ C3,
así,Z
z
2
(z
2+ 6)
2 dz =
p6
6
Z
sen
2t dt =
p6
6
✓
t
2
� 1
2
sen t cos t+ C1
◆
=
p6
12
t�p6
12
sen t cos t+ C,
es decir,Z
z
2
(z
2+ 6)
2 dz =
p6
12
t�p6
12
sen t cos t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
p6
12
t �p6
12
sen t cos t + C, en términos de la variable deintegración z, puesto que
z =
p6 tan t =) tan t =
zp6
=) t = arctan
✓
zp6
◆
.
Para calcular sen t y cos t en función de z, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
pz
2+ 6
p6
z
z =
p6 tan t =) tan t =
zp6
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
z
2+
�
p6
�2
entonces,
sen t =
c.o.
hip
=
zp6 + z
2y cos t =
c.a.
hip
=
p6p
6 + z
2,
por lo que,Z
z
2
(z
2+ 6)
2 dz =
p6
12
t�p6
12
sen t cos t+ C =
p6
12
arctan
✓
zp6
◆
�p6
12
zp6 + z
2
p6p
6 + z
2+ C
=
p6
12
arctan
✓
zp6
◆
��
p6
�2
12
z
�
p6 + z
2�2 + C =
p6
12
arctan
✓
zp6
◆
� 1
2
z
6 + z
2+ C,
se expresa la familia de primitiva F (z) =
p6
12
arctan
✓
zp6
◆
� 1
2
z
6 + z
2+C, en términos de la variable original
de integración x, puesto quex = z
2=) z =
px,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 302
así,Z
px
(x+ 6)
2 dx = 2
"p6
12
arctan
✓pxp6
◆
� 1
2
px
6 + x
2
#
+ C =
p6
6
arctan
✓pxp6
◆
�px
6 + x
2+ C,
Luego,Z
px
(x+ 6)
2 dx =
p6
6
arctan
✓pxp6
◆
�px
6 + x
2+ C.
F
Ejemplo 261 : IntegreZ
sec
4x dxp
4� tan
2x
.
Solución : Se propone el cambio trigonométrico
tanx = 2 sen t
Cálculo del
���������!diferencial
sec
2x dx = 2 cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
sec
4x dxp
4� tan
2x
=
Z
sec
2x sec
2x dxp
4� tan
2x
=
Z
�
tan
2x+ 1
�
p4� tan
2x
sec
2x dx =
Z
⇣
(2 sen t)
2+ 1
⌘
q
4� (2 sen t)
2(2 cos t dt)
=
Z
�
4 sen
2t+ 1
�
p4� 4 sen
2t
(2 cos t dt) =
Z
�
4 sen
2t+ 1
�
p
4 (1� sen
2t)
(2 cos t dt) =
Z
�
4 sen
2t+ 1
�
p4 cos
2t
(2 cos t dt)
=
Z
�
4 sen
2t+ 1
�
2 cos t
(2 cos t dt) =
Z
�
4 sen
2t+ 1
�
dt = 4
Z
sen
2t dt+
Z
dt,
es decir,Z
sec
4x dxp
4� tan
2x
= 4
Z
sen
2t dt+
Z
dt,
donde,Z
dt = t+ C1,
mientras que, para la familia de primitiva de la función f (t) = sen
2t se procede de la siguiente manera, por la
identidad trigonomética
sen
2t =
1� cos (2t)
2
,
se tiene,Z
sen
2t dt =
Z
1� cos (2t)
2
dt =
1
2
Z
(1� cos (2t)) dt =
1
2
✓
Z
dt�Z
cos (2t) dt
◆
,
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dt = t+ C2,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2t
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dt =) du
2
= dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 303
Entonces, la integral quedaZ
cos (2t) dt =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C3 =
1
2
sen (2t) + C3.
Luego,Z
sen
2t dt =
1
2
t� sen (2t)
2
�
+ C4 =
t
2
� sen (2t)
4
+ C4 =
t
2
� 1
2
sen t cos t+ C4,
así,Z
sec
4x dxp
4� tan
2x
= 4
Z
sen
2t dt+
Z
dt = 4
✓
t
2
� 1
2
sen t cos t+ C4
◆
+ t+ C1 = 3t� 2 sen t cos t+ C,
entonces,Z
sec
4x dxp
4� tan
2x
= 3t� 2 sen t cos t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3t � 2 sen t cos t + C, en términos de la variable original deintegración x, puesto que
tanx = 2 sen t =) sen t =
tanx
2
=) t = arcsen
✓
tanx
2
◆
.
Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
2
p4� tan
2x
tanx
tanx = 2 sen t =) sen t =
tanx
2
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
(2)
2 � (tanx)
2
entonces,
cos t =
c.a.
hip
=
p4� tan
2x
2
,
es decir,Z
sec
4x dxp
4� tan
2x
= 3t� 2 sen t cos t+ C = 3arcsen
✓
tanx
2
◆
� 2
tanx
2
p4� tan
2x
2
+ C
= 3arcsen
✓
tanx
2
◆
� tanx
p4� tan
2x
2
+ C.
Luego,Z
sec
4x dxp
4� tan
2x
= 3arcsen
✓
tanx
2
◆
� tanx
p4� tan
2x
2
+ C.
F
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 304
Ejemplo 262 : IntegreZ
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2.
Solución : Se hace la sustitución trigonométrica
y = 2 tan t
Cálculo del
���������!diferencial
dy = 2 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2=
Z
(2 tan t)
22 sec
2t dt
⇣
(2 tan t)
2+ 4
⌘5/2=
Z
�
4 tan
2t
�
2 sec
2t
�
4 tan
2t+ 4
�5/2dt =
Z
8 tan
2t sec
2t
�
4
�
tan
2t+ 1
��5/2dt
=
Z
8 tan
2t sec
2t
(4 sec
2t)
5/2dt =
Z
8 tan
2t sec
2t
2
5sec
5t
dt =
Z
tan
2t
2
2sec
3t
dt =
1
4
Z
tan
2t
sec
3t
dt
=
1
4
Z
sen
2t
cos
2t
1
cos
3t
dt =
1
4
Z
sen
2t cos
3t
cos
2t
dt =
1
4
Z
sen
2t cos t dt,
es decir,Z
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2=
1
4
Z
sen
2t cos t dt
para la familia de primitiva de la función f (t) = sen
2t cos t se observa que en el integrando aparece la función
seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable
u = sen t
Cálculo del
���������!diferencial
du = cos t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
sen
2t cos t dt =
Z
u
2du =
u
2
2
+ C1 =
1
3
(sen t)
3+ C1 =
1
3
sen
3t+ C1,
con lo que,Z
sen
2t cos t dt =
1
3
sen
3t+ C1,
de aquí,Z
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2=
1
4
Z
sen
2t cos t dt =
1
4
✓
1
3
sen
3t+ C1
◆
=
1
12
sen
3t+ C,
es decir,Z
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2=
1
12
sen
3t+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) =
1
12
sen
3t+C, en términos de la variable original de integración
y, puesto quey = 2 tan t =) tan t =
y
2
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 305
Para calcular sen t en función de y, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC t
p
y
2+ 4
2
y
y = 2 tan t =) tan t =
y
2
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
y
2+ (2)
2
entonces,sen t =
c.o.
hip
=
y
p
y
2+ 4
,
por lo que,Z
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2=
1
12
sen
3t+ C =
1
12
y
p
y
2+ 4
!3
+ C =
1
12
y
3
⇣
p
y
2+ 4
⌘3 + C.
Luego,Z
y
2dy
(y
2+ 4)
5/2=
1
12
y
3
⇣
p
y
2+ 4
⌘3 + C.
F
Ejemplo 263 : IntegreZ
p
2t� t
2dt.
Solución : Se completa cuadrado
2t� t
2= � (t� 1)
2+ 1 = 1� (t� 1)
2,
así, la integral se escribeZ
p
2t� t
2dt =
Z
q
1� (t� 1)
2dt.
Se hace la sustitución trigonométrica
t� 1 = sen z
Cálculo del
���������!diferencial
dt = cos z dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
p
2t� t
2dt =
Z
q
1� (t� 1)
2dt =
Z
p
1� sen
2z cos z dz =
Z pcos
2z cos z dz =
Z
cos
2z dz,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 306
es decir,Z
p
2t� t
2dt =
Z
cos
2z dz,
para la familia de primitiva de la función f (z) = cos
2z se procede de la siguiente manera, por la identidad
trigonomética
cos
2z =
1 + cos (2z)
2
,
se tiene,Z
cos
2z dz =
Z
1 + cos (2z)
2
dz =
1
2
Z
(1 + cos (2z)) dz =
1
2
✓
Z
dz +
Z
cos (2z) dz
◆
,
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dz = z + C1,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2z
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dz =) du
2
= dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (2z) dz =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C2 =
1
2
sen (2z) + C2.
Luego,Z
cos
2z dz =
1
2
z +
sen (2z)
2
�
+ C =
z
2
+
sen (2z)
4
+ C =
z
2
+
1
2
sen z cos z + C,
así,Z
p
2t� t
2dt =
Z
cos
2z dz =
z
2
+
1
2
sen z cos z + C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) =
z
2
+
1
2
sen z cos z + C, en términos de la variable original deintegración t, puesto que
t� 1 = sen z =) z = arcsen (t� 1) .
Para calcular cos z en función de t, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC ↵
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
������
�
CC ↵
1
p2t� t
2
t� 1
t� 1 = sen t =) sen t =
t� 1
1
=
c.o.
hip.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.a. =
q
(1)
2 � (t� 1)
2
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 307
entonces,
cos t =
c.a.
hip
=
p2t� t
2
1
=
p
2t� t
2,
es decir,Z
p
2t� t
2dt =
z
2
+
1
2
sen z cos z + C =
1
2
arcsen (t� 1) +
1
2
(t� 1)
p
2t� t
2+ C.
Luego,Z
p
2t� t
2dt =
1
2
arcsen (t� 1) +
1
2
(t� 1)
p
2t� t
2+ C.
F
Ejemplo 264 : IntegreZ
dt
(t+ 1)
pt
2+ 2t
.
Solución : Se completa cuadradot
2+ 2t = (t+ 1)
2 � 1,
así, la integral se escribeZ
dt
(t+ 1)
pt
2+ 2t
=
Z
dt
(t+ 1)
q
(t+ 1)
2 � 1
.
Se hace la sustitución trigonométrica
t+ 1 = sec z
Cálculo del
���������!diferencial
dt = sec z tan z dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dt
(t+ 1)
q
(t+ 1)
2 � 1
=
Z
sec z tan z dz
sec z
psec
2z � 1
=
Z
sec z tan z dz
sec z
ptan
2z
=
Z
sec z tan z
sec z tan z
dz =
Z
dz = z + C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) = z + C, en términos de la variable original de integración t,puesto que
t+ 1 = sec z =) 1
cos z
= t+ 1 =) cos z =
1
t+ 1
=) z = arccos
✓
1
t+ 1
◆
.
de aquí,Z
dt
(t+ 1)
pt
2+ 2t
=
Z
dt
(t+ 1)
q
(t+ 1)
2 � 1
= z + C = arccos
✓
1
t+ 1
◆
+ C.
Luego,Z
dt
(t+ 1)
pt
2+ 2t
= arccos
✓
1
t+ 1
◆
+ C.
F
Ejemplo 265 : IntegreZ
t
2dt
(t
2+ 1)
2 .
Solución : Se hace la sustitución trigonométrica
t = tan z
Cálculo del
���������!diferencial
dt = sec
2z dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 308
Entonces, la integral quedaZ
t
2dt
(t
2+ 1)
2 =
Z
tan
2z sec
2z dz
�
tan
2z + 1
�2 =
Z
tan
2z sec
2z dz
(sec
2z)
2 =
Z
tan
2z sec
2z dz
sec
4z
=
Z
tan
2z
sec
2z
dz
=
Z
sen
2z
cos
2z
1
cos
2z
dz =
Z
sen
2z cos
2z
cos
2z
dz =
Z
sen
2z dz
es decir,Z
t
2dt
(t
2+ 1)
2 =
Z
sen
2z dz,
para la familia de primitiva de la función f (z) = sen
2z se procede de la siguiente manera, por la identidad
trigonomética
sen
2z =
1� cos (2z)
2
,
se tiene,Z
sen
2z dz =
Z
1� cos (2z)
2
dz =
1
2
Z
(1� cos (2z)) dz =
1
2
✓
Z
dz �Z
cos (2z) dz
◆
,
donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediataZ
dz = z + C1,
mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable
u = 2z
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2 dz =) du
2
= dz,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
cos (2z) dz =
Z
cosu
du
2
=
1
2
Z
cosu du =
1
2
senu+ C2 =
1
2
sen (2z) + C2.
Luego,Z
sen
2z dz =
1
2
z � sen (2z)
2
�
+ C =
z
2
� sen (2z)
4
+ C =
z
2
� 1
2
sen z cos z + C,
así,Z
t
2dt
(t
2+ 1)
2 =
Z
sen
2z dz =
z
2
� 1
2
sen z cos z + C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) =
z
2
� 1
2
sen z cos z + C, en términos de la variable original deintegración t, puesto que
t = tan z =) z = arctan t.
Para calcular sen t y cos z en función de t, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC ↵
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 309
por lo tanto,
����
������
�
CC ↵
p1 + t
2
1
t
t = tan z =) tan z =
t
1
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
(1)
2+ t
2
entonces,sen t =
c.o.
hip
=
tp1 + t
2y cos t =
c.a.
hip
=
1p1 + t
2,
es decir,Z
t
2dt
(t
2+ 1)
2 =
z
2
� 1
2
sen z cos z + C =
1
2
arctan t� 1
2
tp1 + t
2
1p1 + t
2+ C =
1
2
arctan t� 1
2
t
1 + t
2+ C.
Luego,Z
t
2dt
(t
2+ 1)
2 =
1
2
arctan t� 1
2
t
1 + t
2+ C.
F
Ejemplo 266 : IntegreZ
pe sen
2x cosx dx
sen
2x� 2 senx+ 5
.
Solución : Al completar cuadrado
sen
2x� 2 senx+ 5 = (senx� 1)
2+ 4,
se escribe la integral comoZ
pe sen
2x cosx dx
sen
2x� 2 senx+ 5
=
pe
Z
sen
2x cosx dx
(senx� 1)
2+ 4
.
Se hace la sustitución trigonométrica
senx� 1 = 2 tan t =) senx = 2 tan t+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
cosx dx = 2 sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
sen
2x cosx dx
(senx� 1)
2+ 4
=
Z
(2 tan t+ 1)
2 �2 sec
2t dt
�
(2 tan t)
2+ 4
=
Z
(2 tan t+ 1)
2 �2 sec
2t dt
�
4 tan
2t+ 4
=
Z
(2 tan t+ 1)
2 �2 sec
2t dt
�
4
�
tan
2t+ 1
�
=
Z
(2 tan t+ 1)
2 �2 sec
2t dt
�
4 sec
2t
=
Z
(2 tan t+ 1)
2
2
dt
=
1
2
Z
(2 tan t+ 1)
2dt =
1
2
Z
�
4 tan
2t+ 4 tan t+ 1
�
dt = 2
Z
tan
2t dt+ 2
Z
tan t dt+
1
2
Z
dt,
donde
• Por la identidad trigonométrica tan
2t+ 1 = sec
2t se tiene que
Z
tan
2t dt =
Z
�
sec
2t� 1
�
dt = tan t� t+ C1.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 310
• Puesto que, tan t =
sen t
cos t
se tiene queZ
tan t dt =
Z
sen t
cos t
dt
se propone el cambio de variable
u = cos t
Cálculo del
���������!diferencial
du = � sen t dt =) � du = sen t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integralde tabla.
Entonces, la integral quedaZ
tan t dt =
Z
sen t
cos t
dt =
Z � du
u
= � ln |u|+ C2 = � ln |cos t|+ C2 = ln
�
�
�
(cos t)
�1�
�
�
+ C2
= ln
�
�
�
�
1
cos t
�
�
�
�
+ C2 = ln |sec t|+ C2,
por lo tanto,Z
tan t dt = ln |sec t|+ C2.
• Por último,Z
dt = t+ C3.
Entonces,Z
sen
2x cosx dx
(senx� 1)
2+ 4
= 2
Z
tan
2t dt+ 2
Z
tan t dt+
1
2
Z
dt
= 2 (tan t� t+ C1) + 2 (ln |sec t|+ C2) +1
2
(t+ C3) = 2 tan t� 2t+ 2 ln |sec t|+ t
2
+ C4
= 2 tan t+ ln
�
�
sec
2t
�
�� 3
2
t+ C4 = 2 tan t+ ln
�
�
tan
2t+ 1
�
�� 3
2
t+ C4,
donde C4 = 2C1 + 2C2 +1
2
C3. Así,Z
sen
2x cosx dx
(senx� 1)
2+ 4
= 2 tan t+ ln
�
�
tan
2t+ 1
�
�� 3
2
t+ C4,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2 tan t + ln
�
�
tan
2t+ 1
�
� � 3
2
t + C4, en términos de la variableoriginal de integración x, puesto que
senx� 1 = 2 tan t =) tan t =
senx� 1
2
=) t = arctan
✓
senx� 1
2
◆
,
de aquí,Z
sen
2x cosx dx
(senx� 1)
2+ 4
= 2
✓
senx� 1
2
◆
+ ln
�
�
�
�
�
✓
senx� 1
2
◆2
+ 1
�
�
�
�
�
� 3
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C4
= senx� 1 + ln
�
�
�
�
�
(senx� 1)
2
4
+ 1
�
�
�
�
�
� 3
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C4
= senx� 1 + ln
�
�
�
�
�
(senx� 1)
2+ 1
4
�
�
�
�
�
� 3
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C4
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 311
= senx� 1 + ln
�
�
�
(senx� 1)
2+ 1
�
�
�
� ln 4� 3
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C4
= senx+ ln
�
�
�
(senx� 1)
2+ 1
�
�
�
� 3
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C,
donde, C = C4 � 1� ln 4, por lo tanto,Z
sen
2x cosx dx
(senx� 1)
2+ 4
= senx+ ln
�
�
�
(senx� 1)
2+ 1
�
�
�
� 3
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C.
FinalmenteZ
pe sen
2x cosx dx
sen
2x� 2 senx+ 5
=
pe senx+
pe ln
�
�
�
(senx� 1)
2+ 1
�
�
�
� 3
pe
2
arctan
✓
senx� 1
2
◆
+ C.
F
Ejemplo 267 : IntegreZ
p
x
2+ 4x� 2 dx.
Solución : Completamos cuadrado
x
2+ 4x� 2 = (x+ 2)
2 � 6,
con lo que,Z
p
x
2+ 4x� 2 dx =
Z
q
(x+ 2)
2 � 6 dx.
Se hace el cambio trigonométrico
x+ 2 =
p6 sec t
Cálculo del
���������!diferencial
dx =
p6 sec t tan t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
p
x
2+ 4x� 2 dx =
Z
r
⇣p6 sec t
⌘2
� 6
⇣p6 sec t tan t
⌘
dt =
p6
Z
p
6 sec
2t� 6 sec t tan t dt
=
p6
Z
p
6 (sec
2t� 1) sec t tan t dt =
p6
Z
p
6 tan
2t sec t tan t dt = 6
Z
sec t tan
2t dt,
donde,Z
sec t tan
2t dt =
Z
sec t
�
sec
2t� 1
�
dt =
Z
sec
3t dt�
Z
sec t dt
de aquí,Z
sec t dt = ln |sec t+ tan t|+ C1
mientras que, la integral de la secante cúbica se resuelve por el método de integración por partes. Escribimos laintegral como
Z
sec
3t dt =
Z
sec
2t sec t dt.
Integramos por partes, con
u = sec t
Al derivar���������! du = sec t tan t dt
dv = sec
2t dt
Al integrar����������! v = tan t,
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Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 312
La integral se transforma enZ
sec
3t dt = sec t tan t�
Z
tan t sec t tan t dt = sec t tan t�Z
sec t tan
2t dt,
es conocido quetan
2t = sec
2t� 1,
así,tan2
t = sec2 t � 1
#Z
sec
3t dt = sec t tan t�
Z
sec t
z }| {
tan
2t dt = sec t tan t�
Z
sec t
�
sec
2t� 1
�
dt
= sec t tan t�Z
�
sec
3t� sec t
�
dt = sec t tan t�Z
sec
3t dt+
Z
sec t dt
= sec t tan t�Z
sec
3t dt+ ln |sec t+ tan t|+ C1,
es decir,Z
sec
3t dt = sec t tan t�
Z
sec
3t dt+ ln |sec t+ tan t|+ C1,
de aquí,
2
Z
sec
3t dt = sec t tan t+ ln |sec t+ tan t|+ C1,
con lo que,Z
sec
3t dt =
1
2
sec t tan t+
1
2
ln |sec t+ tan t|+ C.
Entonces, tenemosZ
p
x
2+ 4x� 2 dx = 6
Z
sec t tan
2t dt = 6
Z
sec
3t dt�
Z
sec t dt
�
= 6
1
2
sec t tan t+
1
2
ln |sec t+ tan t|� ln |sec t+ tan t|�
+ C
= 6
1
2
sec t tan t� 1
2
ln |sec t+ tan t|�
+ C = 3 sec t tan t� 3 ln |sec t+ tan t|+ C,
de quí,Z
p
x
2+ 4x� 2 dx = 3 sec t tan t� 3 ln |sec t+ tan t|+ C,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3 sec t tan t� 3 ln |sec t+ tan t|+ C, en términos de la variableoriginal de integración x, puesto que
x+ 2 =
p6 sec t =) sec t =
x+ 2p6
=) cos t =
p6
x+ 2
.
Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
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Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 313
por lo tanto,
����
����
���
CC t
x+ 2
p6
q
(x+ 2)
2 � 6
x+ 2 =
p6 sec t =) sec t =
x+ 2p6
=
hip.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 c.o. =
q
(x+ 2)
2 � 6
entonces,
tan t =
c.o.
c.a.
=
q
(x+ 2)
2 � 6
p6
.
Luego,
Z
p
x
2+ 4x� 2 dx = 3
x+ 2p6
q
(x+ 2)
2 � 6
p6
� 3 ln
�
�
�
�
�
�
x+ 2p6
+
q
(x+ 2)
2 � 6
p6
�
�
�
�
�
�
+ C
=
1
2
(x+ 2)
px
2+ 4x� 2� 3 ln
�
�
�
�
�
x+ 2 +
px
2+ 4x� 2p
6
�
�
�
�
�
+ C
=
1
2
(x+ 2)
px
2+ 4x� 2� 3 ln
�
�
x+ 2 +
px
2+ 4x� 2
�
�� ln
p6 + C
=
1
2
(x+ 2)
px
2+ 4x� 2� 3 ln
�
�
x+ 2 +
px
2+ 4x� 2
�
�
+ C,
así,Z
p
x
2+ 4x� 2 dx =
1
2
(x+ 2)
p
x
2+ 4x� 2� 3 ln
�
�
�
x+ 2 +
p
x
2+ 4x� 2
�
�
�
+ C.
F
Ejercicios
Calcular las siguientes integrales haciendo la sustitución trigonométrica apropiada.
1.
Z
dxp16� x
22.
Z
dxp4� 3x
23.
Z
dt
7 + 2t
24.
Z
d✓p9 + ✓
25.
Z
dxp3x
2 � 2
6.
Z
dxpax
2 � b
7.
Z
y dy
(y
2+ 4)
5/28.
Z
y
2dy
(y
2+ 4)
5/29.
Z
dxpa� bx
210.
Z
5t
p
1 + t
2dt
11.
Z
dx
(4x
2 � 25)
3/212.
Z
cosx dx
sen
2x� 6 senx+ 12
13.
Z
dx
(1 + x
2)
2 14.
Z
p
2t� t
2dt
15.
Z
e
t
p
9� e
2tdt 16.
Z
p
5� 4t� t
2dt 17.
Z
x
2
p5� x
2dx 18.
Z
dxpx
2+ 4x+ 5
19.
Z
dx
x
4px
2 � 2
20.
Z
3xpx
2+ 2x+ 5
dx 21.
Z
p9x
2 � 4
x
dx 22.
Z
dxp4x� x
2
23.
Z
e
x
dxp1 + e
x
+ e
2x24.
Z
dxp16 + 6x� x
225.
Z
t dtpa
4 � t
426.
Z
x dxp4x� x
2
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Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 314
27.
Z
2x+ 1
x
2+ 2x+ 2
dx 28.
Z
2x� 1
x
2 � 6x+ 18
dx 29.
Z
p
e
2t � 9 dt 30.
Z
sen t cos t
9 + cos
4t
dt
31.
Z
sec
2(2x)
9 + tan
2(2x)
dx 32.
Z
lnx dx
x
p
1� 4 lnx� ln
2x
33.
Z
3x
2
2x
2+ 5
dx 34.
Z
x
3dxp
7 + x
2
35.
Z
px
(x+ 6)
2 dx 36.
Z
tan
7x+ tan
5x
tan
4(⇡/4) + tan
4x
dx 37.
Z
dx
x
2px
2 � 5
38.
Z
pe
3xdx
(e
�x
+ e
x
)
5/2
39.
Z
e
�3xdx
(e
2x � 9)
3/240.
Z
x
2dxp
8x
3 � x
6 � 13
41.
Z
dxp9� x
242.
Z
dxp3� x
2
43.
Z
dxpx
2 � 4
44.
Z
dxpx
2 � 5
45.
Z
dx
16 + x
246.
Z
dx
2 + x
247.
Z
dx
x
px
2+ 3
48.
Z
dxp9x
2+ 6x� 8
49.
Z
dx
x
2p1� x
250.
Z
p1� x
2
x
dx 51.
Z
dxpx
2+ 2x+ 5
52.
Z
x
2
(a
2 � x
2)
3/2dx 53.
Z
dx
x
px
2+ 9
54.
Z
px
2 � a
2
x
4dx 55.
Z
dx
x
3px
2 � 16
56.
Z
dx
(5� 4x� x
2)
5/257.
Z
p
1� 4r
2dr 58.
Z
t
p
4� t
2dt 59.
Z
x
2p
4� 9x
2dx
60.
Z
2x� 1px
2 � 4x+ 5
dx 61.
Z
t
3dtp
t
2+ 4
62.
Z
x dxp1� x
263.
Z
x
2p
9� x
2dx
64.
Z
e
2xdxp
1 + e
2x+ e
4x65.
Z
dx
x
2p16x
2 � 9
66.
Z
dx
x
2px
2+ 9
67.
Z
dxpx
2+ 4x+ 8
68.
Z
senx dxpcos
2x+ 4 cosx+ 1
69.
Z
4x
2
7 + 5x
2dx 70.
Z
x dxpx
2+ 6x
71.
Z
dxpx
2+ 6x
72.
Z
sen (2x) senx
sen
2x+ 5
dx 73.
Z
px
(x� 4)
2 dx 74.
Z
dx
x (1� x
2)
3/275.
Z
dxpx
2 � 8x+ 19
76.
Z
x dxpx
4 � 8x
2+ 3
77.
Z
x� 1
x
3/2+
px
dx 78.
Z
e
2xdx
6e
�x � 6e
x
79.
Z
�
x
2 � 1
�5/2dx
80.
Z
dxpx+ x+ 2
81.
Z
dxpx� x
282.
Z
dx
3x
2 � x+ 1
83.
Z
x dx
x
4 � 4x
2+ 3
84.
Z
x
3p
4� 9x
2dx 85.
Z
dx
x
2+ 2x
86.
Z
dx
x
2+ 2x+ 5
87.
Z
dx
(x
2+ 2x+ 2)
2
88.
Z
dxp2 + 3x� 2x
289.
Z
p
t� t
2dt 90.
Z
sec
2x dxp
tan
2x� 2
91.
Z
x
2dx
x
2 � 6x+ 10
92.
Z
p
x
2+ 2x+ 5 dx 93.
Z
p
t
2+ 1 dt 94.
Z
pt
2 � 4
t
2dt 95.
Z
dx
p
x
2+ px+ q
96.
Z
dt
(t+ 1)
pt
2+ 2t
97.
Z
x
2dxp
9� x
298.
Z
senx dx
16 + cos
2x
99.
Z
2y + 1
p
y
2+ 9
dy
100.
Z
p
1� 2t� t
2dt 101.
Z
a
x
dx
1 + a
2x102.
Z
y
3dy
(y
2+ 4)
3/2103.
Z
dxp1� 6x� x
2
104.
Z
3x� 6px
2 � 4x+ 5
dx 105.
Z
x
2dxp
4x� x
2106.
Z
y dy
p
16� 9y
4107.
Z
(2x+ 1) dx
x
2+ 2x+ 2
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Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 315
108.
Z
2x� 1
x
2 � 6x+ 18
dx 109.
Z
t
2dt
(t
2+ 1)
2 110.
Z
2x� 3p4� x
2dx 111.
Z
3x dxpx
2+ 2x+ 5
112.
Z
2x� 1px
2 � 4x+ 5
dx 113.
Z
dz
z
p1� z
2114.
Z
y
2dy
(9� y
2)
5/2115.
Z
(2x� 8) dxp1� x� x
2
116.
Z
p
2� x� x
2dx 117.
Z
dtpt
2 � 2t+ 26
118.
Z
pe sen
2x cosx
sen
2x� 2 senx+ 5
dx
119.
Z
dtp16 + 6t� t
2120.
Z
dtp16 + 4t� 2t
2121.
Z
2t dtpt
2 � 2t+ 26
122.
Z
p1� x
2
x
2dx
123.
Z
p1 + x
2
x
dx 124.
Z
x
3 5
p
x
2 � 1 dx 125.
Z
px
2 � 1
x
4dx 126.
Z
px
2+ 1
x
4dx
127.
Z
pe
2x � 1
e
3xdx 128.
Z
e
3xdxp
e
2x � 7
129.
Z
x
3 � 2
x
2 � 4
dx 130.
Z
sen (2x) + cosx
sen
2x+ senx� 2
dx
131.
Z
sen
2(arctan (2x))
sec
2(arcsenx)
dx 132.
Z
p
x
2+ 1 dx 133.
Z
�
x
2+ 5
�3/2dx
Respuestas: Ejercicios
1. arcsen 1
4
x + C; 2. arcsenp
3
2
x + C; 3.p
14
14
arctanp
14
7
t + C; 4. ln�
�
�
✓ +p✓
2 + 9�
�
�
+ C;
5.p
3
3
ln�
�
�
p3x +
p3x2 � 2
�
�
�
+ C; 6.p
a
a
ln�
�
�
pax +
pax
2 � b
�
�
�
+ C; 7. � 1
3
�
y
2 + 4��3/2
+ C; 8. 1
12
y
3
(y2
+4)3/2+ C;
9. arcsen⇣p
bpa
x
⌘
+ C; 10. 5
3
�
1 + t
2
�
3/2
+ C; 11. � 1
25
xp4x
2�25
+ C; 12.p
3
3
arctan⇣
sen x�3p3
⌘
+ C;
13. 1
2
arctan x + 1
2
x
x
2
+1
+ C; 14. 1
2
arcsen (t � 1) + 1
2
(t � 1)p2t � t
2 + C; 15. 9
2
arcsen⇣
e
t
3
⌘
+ 1
2
e
t
p9 � e
2t + C;
16. 9
2
arcsen⇣
t+2
3
⌘
+ t+2
2
p5 � 4t � t
2 + C; 17. 5
2
arcsenp
5
5
x � 1
2
x
p5 � x
2 + C; 18. ln�
�
�
px
2 + 4x + 5 + x + 2�
�
�
+ C;
19. 1
4
px
2�2
x
� 1
2
⇣
x
2�2
⌘
3/2
x
3
+ C; 20. 3px
2 + 2x + 5 � 3 ln�
�
�
px
2 + 2x + 5 + x + 1�
�
�
+ C; 21.p9x2 � 4 � 2 arccos
�
2
3x
�
+ C;
22. arcsen⇣
x�2
2
⌘
+ C; 23. ln⇣
1 + 2ex + 2p1 + e
x + e
2x
⌘
+ C; 24. arcsen⇣
x�3
5
⌘
+ C; 25. 1
2
arcsen⇣
t
2
a
2
⌘
+ C;
26. 2 arcsen⇣
x�2
2
⌘
�p4x � x
2 + C; 27. arctan (x + 1) + ln�
�
x
2 + 2x + 2�
�+ C; 28. ln�
�
x
2 � 6x + 18�
�+ 5
3
arctan⇣
x�3
3
⌘
+ C;
29. 3pe
2t � 9 � 3 arccos�
e
t
�
+ C; 30. � 1
6
arctan⇣
cos
2
t
3
⌘
+ C; 31. 1
6
arctan�
tan 2x
3
�
+ C;
32. � 2 arcsen⇣
2+ln xp5
⌘
�p
1 � ln2
x � 4 ln x + C; 33. 3
2
x � 3
p10
4
arctanp
10
5
x + C; 34. 1
3
px
2 + 7�
x
2 � 14�
+ C;
35.p
6
6
arctan�
p
x
6
�
�p
x
x+6
+ C; 36. 1
2
tan2
x � 1
2
arctan�
tan2
x
�
+ C; 37. 1
5x
px
2 � 5 + C;
38. 1
3
1
q
(e2x+1)3� 1p
e
2x
+1
+ C; 39. 1
2187
✓
q
e
2x�9
e
2x
◆
3
� 1
729
q
e
2x
e
2x�9
� 2
729
q
e
2x�9
e
2x
+ C; 40. � 1
3
arcsenp
3
3
�
4 � x
3
�
+ C;
41. arcsen x
3
+ C; 42. arcsenp
3
3
x + C; 43. ln�
�
�
x +px
2 � 4�
�
�
+ C; 44. ln�
�
�
x +px
2 � 5�
�
�
+ C; 45. 1
4
arctan x
4
+ C;
46.p
2
2
arctanp
2
2
x + C; 47.p
3
3
ln
�
�
�
�
px
2
+3
x
�p
3
x
�
�
�
�
+ C; 48. 1
3
ln�
�
�
3x + 1 +p9x2 + 6x � 8
�
�
�
+ C; 49. � 1
x
p1 � x
2 + C;
50.p1 � x
2 + ln
�
�
�
�
1
x
�p
1�x
2
x
�
�
�
�
+ C; 51. ln�
�
�
x + 1 +px
2 + 2x + 5�
�
�
+ C; 52. xpa
2�x
2
� arcsen x
a
+ C;
53. 1
3
ln
�
�
�
�
p9+x
2
x
� 3
x
�
�
�
�
+ C; 54. 1
3a
2
⇣
x
2�a
2
x
2
⌘
3/2
+ C; 55. 1
128
arccos�
4
x
�
+ 1
32
px
2�16
x
2
+ C;
56. 1
243
(x+2)
3
(5�4x�x
2)3/2+ 1
81
x+2p5�4x�x
2
+ C; 57. 1
4
arcsen (2r) + 1
2
r
p1 � 4r2 + C; 58. 1
3
p4 � t
2
�
t
2 � 4�
+ C;
59. 2
27
arcsen�
3x
2
�
� x
72
�
4 � 9x2
�
3/2
+ x
3
2
p4 � 9x2 + C; 60. 2
px
2 � 4x + 5 + 3 ln�
�
�
x � 2 +px
2 � 4x + 5�
�
�
+ C;
61. 1
3
pt
2 + 4�
t
2 � 8�
+ C; 62. �p1 � x
2 + C; 63. 81
8
arcsen�
x
3
�
� x
8
�
9 � x
2
�
3/2
+ x
3
8
p9 � x
2 + C;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 316
64. 1
2
ln⇣
2e2x + 1 + 2pe
4x + e
2x + 1⌘
+ C; 65. 1
9x
p16x2 � 9 + C; 66. � 1
9x
px
2 + 9 + C;
67. ln�
�
�
x + 2 +px
2 + 4x + 8�
�
�
+ C; 68. � ln�
�
�
cos x + 2 +pcos2 x + 4 cos x + 1
�
�
�
+ C; 69. 4
5
x � 2
p35
25
arctan⇣p
35
7
x
⌘
+ C;
70.px
2 + 6x � 3 ln�
�
�
x + 3 +px
2 + 6x�
�
�
+ C; 71. ln�
�
�
x + 3 +px
2 + 6x�
�
�
+ C; 72. 2 sen x � 2p5 arctan
⇣p5
5
sen x
⌘
+ C;
73. 1
4
ln�
�
�
px�2px+2
�
�
�
�p
x
x�4
+ C; 74. 1p1�x
2
+ ln
�
�
�
�
1�p
1�x
2
x
�
�
�
�
+ C; 75. ln⇣
x�4
3
+px
2 � 8x + 19⌘
+ C;
76. 1
2
ln�
�
�
x
2 � 4 +px
4 � 8x2 + 3�
�
�
+ C; 77. 2px � 4 arctan
px + C; 78. 1
12
ln�
�
�
e
x
+1
e
x�1
�
�
�
� 1
6
e
x + C;
79. x
48
px
2 � 1�
8x4 � 26x2 + 33�
� 5
16
ln�
�
�
x +px
2 � 1�
�
�
+ C; 80. ln�p
x + x + 2�
� 2
p7
7
arctan⇣p
7
7
�
2px + 1
�
⌘
+ C;
81. arcsen (2x � 1) + C; 82. 2
p11
11
arctan⇣p
11
11
(6x � 1)⌘
+ C; 83. 1
4
ln�
�
�
x
2�3
x
2�1
�
�
�
+ C;
84.p4 � 9x2
�
1
5
x
4 � 4
135
x
2 � 32
1215
�
+ C; 85. 1
2
ln |x| � frac12 ln |x + 2| + C; 86. 1
2
arctan⇣
x+1
2
⌘
+ C;
87. 1
2
arctan (x + 1) + x+1
2x
2
+4x+4
+ C; 88.p
2
2
arcsen⇣
4x�3
5
⌘
+ C; 89. 1
8
arcsen (2t � 1) + 2t�1
4
pt � t
2 + C;
90. ln�
�
�
tan x +ptan2
x � 2�
�
�
+ C; 91. x + 8 arctan (x � 3) + 3 ln�
�
x
2 � 6x + 10�
�+ C;
92. 2 ln�
�
�
x + 1 +px
2 + 2x + 5�
�
�
+ 1
2
(x + 1)px
2 + 2x + 5 + C; 93. 1
2
t
pt
2 + 1 + 1
2
ln�
�
�
t +pt
2 + 1�
�
�
+ C;
94. ln�
�
�
t +pt
2 � 4�
�
�
�p
t
2�4
t
+ C; 95. ln�
�
�
2x + p + 2p
x
2 + px + q
�
�
�
+ C; 96. arccos⇣
1
t+1
⌘
+ C;
97. 9
2
arcsen x
3
� x
2
p9 � x
2 + C; 98. � 1
4
arctan�
1
4
cos x�
+ C; 99. 2p
y
2 + 9 + ln�
�
�
y +p
y
2 + 9�
�
�
+ C;
100. arcsen⇣
t+1p2
⌘
+ t+1p2
p1 � 2t � t
2 + C; 101. arctan a
x
ln a
+ C; 102. y
2
+8py
2
+4
+ C; 103. arcsen⇣p
10
10
(x + 3)⌘
+ C;
104. 3px
2 � 4x + 5 + C; 105. 6 arcsen⇣
x�1
2
⌘
� 1
2
p4x � x
2 (6 + x) + C; 106. 1
6
arcsen�
3
4
y
2
�
+ C;
107. arctan (�x � 1) + ln�
�
x
2 + 2x + 2�
�+ C; 108. ln�
�
x
2 � 6x + 18�
�+ 5
3
arctan⇣
x�1
3
⌘
+ C; 109. 1
2
arctan t � t
2t
2
+2
+ C;
110. � 3 arcsen x
2
� 2p4 � x
2 + C; 111. 3px
2 + 2x + 5 � 3 ln�
�
�
x + 1 +px
2 + 2x + 5�
�
�
+ C;
112. 2px
2 � 4x + 5 + 3 ln�
�
�
x � 2 +px
2 � 4x + 5�
�
�
+ C; 113. ln
�
�
�
�
1
z
�q
1�z
2
z
2
�
�
�
�
+ C; 114. 1
27
✓
yp9�y
2
◆
3
+ C;
115. � 9 arcsen⇣p
5
5
(2x + 1)⌘
� 2p1 � x
2 � x + C; 116. 9
8
arcsen⇣
2x+1
3
⌘
+ 1
4
(2x + 1)p2 � x � x
2 + C;
117. ln�
�
�
t � 1 +pt
2 � 2t + 26�
�
�
+ C; 118.pe sen x +
pe ln
�
�(sen x � 1)2 + 1�
�� 3
pe
2
arctan⇣
sen x�1
2
⌘
+ C;
119. arcsen⇣
t�3
5
⌘
+ C; 120.p
2
2
arcsen⇣
t�1
3
⌘
+ C; 121. 2pt
2 � 2t + 26 + 2 ln�
�
�
t � 1 +pt
2 � 2t + 26�
�
�
+ C
122. �p
1�x
2
x
� arcsen x + C; 123.px
2 � 1 �p
x
2
+1
x
+ C; 124. 5
22
�
x
2 � 1�
6/5
�
x
2 + 5
6
�
+ C;
125.
px
2�1
x
⇣
1 � 1
3
x
2�1
x
2
⌘
+ C; 126. �p
x
2
+1
3
x
2
+1
x
3
+ C; 127. �p
e
2x
+1
3
e
2x
+1
e
3x
+ C; 128.p7e2x � 49 + C;
129. x
2
2
+ 3
2
ln |x � 2| + 3
2
ln |x + 2| + C; 130. ln�
�sen2
x + sen x � 2�
�+ C; 131. 5x
4
� x
3
3
� 5
8
arctan (2x) + C;
132. x
2
p1 + x
2 + 1
2
ln�
�
�
p1 + x
2 + x
�
�
�
+ C; 133. x
8
�
2x2 + 25�
px
2 + 5 + 75
8
ln�
�
�
px
2 + 5 + x
�
�
�
+ C;
Bibliografía
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón seagradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico
farith.math@gmail.com
indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.
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Cálculo integral - Guía 10. Método de integración: Sustitución trigonométrica 317
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Cálculo integral - Guía 11Método de integración: Descomposición en fracciones simples
Objetivos a cubrir Código : MAT-CI.11
• Método de integración: Descomposición en fracciones simples. Ejercicios resueltos
Ejemplo 268 : IntegreZ
2x
2 � x� 30
x
2 � x� 6
dx.
Solución : Observemos que el grado del polinomio de numerador es igual al grado del polinomio del denomi-nador, así, debemos dividir los polinomios
2x
2 � x� 30 x
2 � x� 6
�2x2+ 2x+ 12 2
x� 18
es decir,2x
2 � x� 30
x
2 � x� 6
= 2 +
x� 18
x
2 � x� 6
.
Por lo tantoZ
2x
2 � x� 30
x
2 � x� 6
dx =
Z
✓
2 +
x� 18
x
2 � x� 6
◆
dx =
Z
2 dx+
Z
x� 18
x
2 � x� 6
dx.
La primera integral del lado derecho de la igualdad es sencilla,Z
2 dx = 2x+ C1
La segunda integral la resolvemos por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador
x
2 � x� 6 = (x+ 2) (x� 3) .
Escribimos las fracciones simples correspondientes
x� 18
x
2 � x� 6
=
A
x+ 2
+
B
x� 3
Buscamos los valores de las constantes A y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos elmétodo de los coeficientes indeterminados
x� 18
x
2 � x� 6
=
A
x+ 2
+
B
x� 3
=) x� 18
x
2 � x� 6
=
A (x� 3) +B (x+ 2)
(x+ 2) (x� 3)
,
de aquí,x� 18 = A (x� 3) +B (x+ 2) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = 3, sustituimos en la igualdad x� 18 = A (x� 3) +B (x+ 2) y se tiene
(3)� 18 = A ((3)� 3) +B ((3) + 2) =) �15 = A (0) +B (5) =) �15 = 5B,
de aquíB =
�155
= �3
Si x = �2, sustituimos en la igualdad x� 18 = A (x� 3) +B (x+ 2) y se tiene
(�2)� 18 = A ((�2)� 3) +B ((�2) + 2) =) �20 = A (�5) +B (0) =) �20 = �5A,
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 319
de aquíA =
�20�5 = 4
Entoncesx� 18
x
2 � x� 6
=
4
x+ 2
+
�3x� 3
,
por lo tanto,Z
x� 18
x
2 � x� 6
dx =
Z
✓
4
x+ 2
+
�3x� 3
◆
dx =
Z
4
x+ 2
dx+
Z �3x� 3
dx.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable
u = x+ 4
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
4
x+ 4
dx = 4
Z
du
u
= 4 ln |u|+ C2 = 4 ln |x+ 4|+ C2.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable
u = x� 3
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �3
x� 3
dx = �3Z
du
u
= �3 ln |u|+ C3 = �3 ln |x� 3|+ C3.
Así,Z
2x
2 � x� 30
x
2 � x� 6
dx =
Z
2 dx+
Z
x� 18
x
2 � x� 6
dx =
Z
2 dx+
Z
4
x+ 2
dx+
Z �3x� 3
dx
= 2x+ 4 ln |x+ 2|� 3 ln |x� 3|+ C.
Finalmente,Z
2x
2 � x� 30
x
2 � x� 6
dx = 2x+ 4 ln |x+ 2|� 3 ln |x� 3|+ C.
F
Ejemplo 269 : IntegreZ
3x� 4x
2+ 4x
3 � 4
1� 2x
2 � x
dx.
Solución : Observemos que el grado del polinomio de numerador es mayor que el grado del polinomio deldenominador, así, debemos dividir los polinomios
4x
3 � 4x
2+ 3x� 4 �2x2 � x+ 1
�4x3 � 2x
2+ 2x �2x+ 3
�6x2+ 5x� 4
6x
2+ 3x� 3
8x� 7
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 320
Luego4x
3 � 4x
2+ 3x� 4
1� 2x
2 � x
= �2x+ 3 +
8x� 7
1� 2x
2 � x
.
Por lo tanto,Z
4x
3 � 4x
2+ 3x� 4
1� 2x
2 � x
dx =
Z
✓
�2x+ 3 +
8x� 7
1� 2x
2 � x
◆
dx = �Z
2x dx+
Z
3 dx+
Z
8x� 7
1� 2x
2 � x
dx.
La primera y la segunda integral del lado derecho de la igualdad son sencillas,
�Z
2x dx = �x2+ C1 y
Z
3 dx = 3x+ C2.
La tercera integral la resolveremos por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador
1� 2x
2 � x = (x+ 1) (1� 2x) .
Escribimos las fracciones simples correspondientes
8x� 7
1� 2x
2 � x
=
A
x+ 1
+
B
1� 2x
Buscamos los valores de las constantes A y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos elmétodo de los coeficientes indeterminados
8x� 7
1� 2x
2 � x
=
A
x+ 1
+
B
1� 2x
=) 8x� 7
1� 2x
2 � x
=
A (1� 2x) +B (x+ 1)
(x+ 1) (1� 2x)
,
de aquí,8x� 7 = A (1� 2x) +B (x+ 1) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = �1, sustituimos en la igualdad 8x� 7 = A (1� 2x) +B (x+ 1) y se tiene
8 (�1)� 7 = A (1� 2 (�1)) +B ((�1) + 1) =) �15 = A (3) +B (0) =) �15 = 3A,
de aquíA =
�153
= �5
Si x =
1
2
, sustituimos en la igualdad 8x� 7 = A (1� 2x) +B (x+ 1) y se tiene
8
✓
1
2
◆
� 7 = A
✓
1� 2
✓
1
2
◆◆
+B
✓✓
1
2
◆
+ 1
◆
=) �3 = A (0) +B
✓
3
2
◆
=) �3 =
3
2
B,
de aquí B =
�33
2
= �6
3
= �2
Entonces8x� 7
1� 2x
2 � x
=
�5x+ 1
+
�21� 2x
,
por lo tanto,Z
8x� 7
1� 2x
2 � x
dx =
Z
✓
�5x+ 1
+
�21� 2x
◆
dx =
Z �5x+ 1
dx+
Z �21� 2x
dx.
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 321
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �5
x+ 1
dx = �5Z
du
u
= �5 ln |u|+ C3 = �5 ln |x+ 1|+ C3.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable
u = 1� 2x
Cálculo del
���������!diferencial
du = �2 dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �2
1� 2x
dx =
Z
du
u
= ln |u|+ C4 = ln |1� 2x|+ C4.
Así,Z
4x
3 � 4x
2+ 3x� 4
1� 2x
2 � x
dx = �Z
2x dx+
Z
3 dx+
Z
8x� 7
1� 2x
2 � x
dx
= �Z
2x dx+
Z
3 dx+
Z �5x+ 1
dx+
Z �21� 2x
dx
= �x2+ 3x� 5 ln |x+ 1|+ ln |1� 2x|+ C.
Finalmente,Z
3x� 4x
2+ 4x
3 � 4
1� 2x
2 � x
dx = 3x� x
2 � 5 ln |x+ 1|+ ln |1� 2x|+ C.
F
Ejemplo 270 : IntegreZ
x+ x
2+ 1
x
3+ x
dx.
Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominadorno se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos eldenominador
x
3+ x = x
�
x
2+ 1
�
.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
x+ x
2+ 1
x
3+ x
=
A
x
+
Bx+ C
x
2+ 1
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
x+ x
2+ 1
x
3+ x
=
A
x
+
Bx+ C
x
2+ 1
=) x+ x
2+ 1
x
3+ x
=
A
�
x
2+ 1
�
+ (Bx+ C)x
x (x
2+ 1)
,
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 322
de aquí,x+ x
2+ 1 = A
�
x
2+ 1
�
+ (Bx+ C)x.
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = 0, sustituimos en la igualdad x+ x
2+ 1 = A
�
x
2+ 1
�
+ (Bx+ C)x y se tiene
(0) + (0)
2+ 1 = A
⇣
(0)
2+ 1
⌘
+ (B (0) + C) (0) =) 1 = A (1) + (0 + C) (0) =) 1 = A,
de aquí A = 1
Si x = 1, sustituimos en la igualdad x+ x
2+ 1 = A
�
x
2+ 1
�
+ (Bx+ C)x y se tiene
(1) + (1)
2+ 1 = A
⇣
(1)
2+ 1
⌘
+ (B (1) + C) (1) =) 3 = A (2) + (B + C) (1) =) 3 = 2A+B + C,
como A = 1, obtenemos
3 = 2 (1) +B + C =) 3 = 2 +B + C,
de aquí B + C = 1
Si x = �1, sustituimos en la igualdad x+ x
2+ 1 = A
�
x
2+ 1
�
+ (Bx+ C)x y se tiene
(�1) + (�1)2 + 1 = A
⇣
(�1)2 + 1
⌘
+ (B (�1) + C) (�1) =) 1 = A (2) + (�B + C) (�1)
=) 1 = 2A+B � C,
como A = 1, obtenemos
1 = 2 (1) +B � C =) 1 = 2 +B � C,
de aquí B � C = �1
Resolvemos el sistema de ecuaciones(
B + C = 1
B � C = �1=) B = 0 y C = 1.
Entoncesx+ x
2+ 1
x
3+ x
=
A
x
+
Bx+ C
x
2+ 1
=) x+ x
2+ 1
x
3+ x
=
1
x
+
1
x
2+ 1
,
por lo tanto,Z
x+ x
2+ 1
x
3+ x
dx =
Z
✓
1
x
+
1
x
2+ 1
◆
dx =
Z
1
x
dx+
Z
1
x
2+ 1
dx.
La primera integral del lado derecho de la igualdad es de tabla, nos daZ
1
x
dx = ln |x|+ C1.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad también es de tabla y tenemosZ
1
x
2+ 1
dx = arctanx+ C2.
FinalmenteZ
x+ x
2+ 1
x
3+ x
dx = ln |x|+ arctanx+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 323
Ejemplo 271 : IntegreZ
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
dx.
Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominadorno se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos eldenominador
x
3 � x
2 � 7x+ 15 = (x+ 3)
�
x
2 � 4x+ 5
�
.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
=
A
x+ 3
+
Bx+ C
x
2 � 4x+ 5
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
=
A
x+ 3
+
Bx+ C
x
2 � 4x+ 5
=) 13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
=
A
�
x
2 � 4x+ 5
�
+ (Bx+ C) (x+ 3)
(x+ 3) (x
2 � 4x+ 5)
,
de aquí,13x� 2x
2+ 5 = A
�
x
2 � 4x+ 5
�
+ (Bx+ C) (x+ 3) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = �3, sustituimos en la igualdad 13x� 2x
2+ 5 = A
�
x
2 � 4x+ 5
�
+ (Bx+ C) (x+ 3) y se tiene
13 (�3)� 2 (�3)2 + 5 = A
⇣
(�3)2 � 4 (�3) + 5
⌘
+ (B (�3) + C) ((�3) + 3)
=) �39� 18 + 5 = A (9 + 12 + 5) + (�3B + C) (0) =) �52 = 26A,
de aquí A = �2
Si x = 1, sustituimos en la igualdad 13x� 2x
2+ 5 = A
�
x
2 � 4x+ 5
�
+ (Bx+ C) (x+ 3) y se tiene
13 (1)� 2 (1)
2+ 5 = A
⇣
(1)
2 � 4 (1) + 5
⌘
+ (B (1) + C) ((1) + 3)
=) 13� 2 + 5 = A (1� 4 + 5) + (B + C) (4) =) 16 = 2A+ 4B + 4C,
como A = �2, tenemos
16 = 2 (�2) + 4B + 4C =) 16 = �4 + 4B + 4C,
de aquí 4B + 4C = 20.
Si x = �1, sustituimos en la igualdad 13x� 2x
2+ 5 = A
�
x
2 � 4x+ 5
�
+ (Bx+ C) (x+ 3) y se tiene
13 (�1)� 2 (�1)2 + 5 = A
⇣
(�1)2 � 4 (�1) + 5
⌘
+ (B (�1) + C) ((�1) + 3)
=) �13� 2 + 5 = A (1 + 4 + 5) + (�B + C) (2) =) �10 = 10A� 2B + 2C,
como A = �2, tenemos
�10 = 10 (�2)� 2B + 2C =) �10 = �20� 2B + 2C,
de aquí �2B + 2C = 10.
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 324
Resolvemos el sistema de ecuaciones(
4B + 4C = 20
�2B + 2C = 10
=) B = 0 y C = 5.
Entonces
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
=
A
x+ 3
+
Bx+ C
x
2 � 4x+ 5
=) 13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
=
�2x+ 3
+
5
x
2 � 4x+ 5
,
por lo tanto,Z
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
dx =
Z
✓
�2x+ 3
+
5
x
2 � 4x+ 5
◆
dx =
Z �2 dx
x+ 3
+
Z
5 dx
x
2 � 4x+ 5
.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x+ 3
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �2
x+ 3
dx = �2Z
du
u
= �2 ln |u|+ C1 = �2 ln |x+ 3|+ C1.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve completando cuadrado
x
2 � 4x+ 5 = (x� 2)
2+ 1,
se obtieneZ
5
x
2 � 4x+ 5
dx = 5
Z
dx
(x� 2)
2+ 1
se propone el cambio de variable
u = x� 3
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dx
(x� 2)
2+ 1
=
Z
du
u
2+ 1
= arctanu+ C2 = arctan (x� 2) + C2,
y la primitiva esZ
5
x
2 � 4x+ 5
dx = 5
Z
dx
(x� 2)
2+ 1
= 5 arctan (x� 2) + C2.
Así,Z
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
dx =
Z �2 dx
x+ 3
+
Z
5 dx
x
2 � 4x+ 5
= �2 ln |x+ 3|+ 5arctan (x� 2) + C.
FinalmenteZ
13x� 2x
2+ 5
x
3 � x
2 � 7x+ 15
dx = 5arctan (x� 2)� 2 ln |x+ 3|+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 325
Ejemplo 272 : IntegreZ
13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
dx.
Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominadorno se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos eldenominador
119x+ 19x
2+ x
3+ 245 = (x+ 5) (x+ 7)
2.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
=
A
x+ 5
+
B
x+ 7
+
C
(x+ 7)
2 .
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
=
A
x+ 5
+
B
x+ 7
+
C
(x+ 7)
2
=) 13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
=
A (x+ 7)
2+B (x+ 5) (x+ 7) + C (x+ 5)
(x+ 7)
2(x+ 5)
,
de aquí,13x+ x
2+ 48 = A (x+ 7)
2+B (x+ 5) (x+ 7) + C (x+ 5) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = �5, sustituimos en la igualdad 13x+x
2+48 = A (x+ 7)
2+B (x+ 5) (x+ 7)+C (x+ 5) y se tiene
13 (�5) + (�5)2 + 48 = A ((�5) + 7)
2+B ((�5) + 5) ((�5) + 7) + C ((�5) + 5)
=) �65 + 25 + 48 = A (2)
2+B (0) (2) + C (0) =) 8 = 4A,
de aquí A = 2.
Si x = �7, sustituimos en la igualdad 13x+x
2+48 = A (x+ 7)
2+B (x+ 5) (x+ 7)+C (x+ 5) y se tiene
13 (�7) + (�7)2 + 48 = A ((�7) + 7)
2+B ((�7) + 5) ((�7) + 7) + C ((�7) + 5)
=) �91 + 49 + 48 = A (0)
2+B (�2) (0) + C (�2) =) 6 = �2C,
de aquí C = �3.
Si x = 0, sustituimos en la igualdad 13x+ x
2+ 48 = A (x+ 7)
2+B (x+ 5) (x+ 7) +C (x+ 5) y se tiene
13 (0) + (0)
2+ 48 = A ((0) + 7)
2+B ((0) + 5) ((0) + 7) + C ((0) + 5)
=) 0 + 0 + 48 = A (7)
2+B (5) (7) + C (5) =) 48 = 49A+ 35B + 5C,
como A = 2 y C = �3, se tiene que
48 = 49 (2) + 35B + 5 (�3) =) 48 = 98 + 35B � 15 =) �35 = 35B,
de aquí B = �1.
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 326
Entonces13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
=
A
x+ 5
+
B
x+ 7
+
C
(x+ 7)
2
=) 13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
=
2
x+ 5
+
�1x+ 7
+
�3(x+ 7)
2 ,
por lo tanto,Z
13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
dx =
Z
2
x+ 5
+
�1x+ 7
+
�3(x+ 7)
2
!
dx =
Z
2 dx
x+ 5
+
Z � dx
x+ 7
+
Z �3 dx
(x+ 7)
2 .
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x+ 5
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
2
x+ 5
dx = 2
Z
du
u
= 2 ln |u|+ C1 = 2 ln |x+ 5|+ C1.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x+ 7
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �1
x+ 7
dx = �Z
du
u
= � ln |u|+ C2 = � ln |x+ 7|+ C2.
La tercera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable utilizadopara resolver la segunda integral
u = x+ 7
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �3
(x+ 7)
2 dx = �3Z
du
u
2= 3
1
u
+ C3 =
3
x+ 7
+ C3.
Así,Z
13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
dx =
Z
2 dx
x+ 5
+
Z � dx
x+ 7
+
Z �3 dx
(x+ 7)
2 = 2 ln |x+ 5|� ln |x+ 7|+ 3
x+ 7
+ C.
FinalmenteZ
13x+ x
2+ 48
119x+ 19x
2+ x
3+ 245
dx = 2 ln |x+ 5|� ln |x+ 7|+ 3
x+ 7
+ C.
F
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 327
Ejemplo 273 : IntegreZ
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
dx.
Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominadorno se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos eldenominador
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1 =
�
x
2+ 1
�
(x� 1)
2.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
=
A
x� 1
+
B
(x� 1)
2 +
Cx+D
x
2+ 1
.
Buscamos los valores de las constantes A, B, C y D, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
=
A
x� 1
+
B
(x� 1)
2 +
Cx+D
x
2+ 1
=) 5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
=
A (x� 1)
�
x
2+ 1
�
+B
�
x
2+ 1
�
+ (Cx+D) (x� 1)
2
(x� 1)
2(x
2+ 1)
,
de aquí,5x
2 � 10x� 4x
3+ 5 = A (x� 1)
�
x
2+ 1
�
+B
�
x
2+ 1
�
+ (Cx+D) (x� 1)
2.
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = 1, sustituimos en la igualdad
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5 = A (x� 1)
�
x
2+ 1
�
+B
�
x
2+ 1
�
+ (Cx+D) (x� 1)
2
y se tiene
5 (1)
2 � 10 (1)� 4 (1)
3+ 5 = A ((1)� 1)
⇣
(1)
2+ 1
⌘
+B
⇣
(1)
2+ 1
⌘
+ (C (1) +D) ((1)� 1)
2
=) 5� 10� 4 + 5 = A (0) (2) +B (2) + (C +D) (0)
2=) �4 = 2B,
de aquí B = �2.
Si x = 0, sustituimos en la igualdad
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5 = A (x� 1)
�
x
2+ 1
�
+B
�
x
2+ 1
�
+ (Cx+D) (x� 1)
2
y se tiene
5 (0)
2 � 10 (0)� 4 (0)
3+ 5 = A ((0)� 1)
⇣
(0)
2+ 1
⌘
+B
⇣
(0)
2+ 1
⌘
+ (C (0) +D) ((0)� 1)
2
=) 0� 0� 0 + 5 = A (�1) (1) +B (1) + (D) (�1)2 =) 5 = �A+B +D,
como B = �2, se tiene que
5 = �A+ (�2) +D =) 7 = �A+D,
de aquí �A+D = 7.
Si x = �1, sustituimos en la igualdad
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5 = A (x� 1)
�
x
2+ 1
�
+B
�
x
2+ 1
�
+ (Cx+D) (x� 1)
2
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 328
y se tiene
5 (�1)2 � 10 (�1)� 4 (�1)3 + 5 = A ((�1)� 1)
⇣
(�1)2 + 1
⌘
+B
⇣
(�1)2 + 1
⌘
+ (C (�1) +D) ((�1)� 1)
2
=) 5 + 10 + 4 + 5 = A (�2) (2) +B (2) + (�C +D) (�2)2 =) 24 = �4A+ 2B � 4C + 4D,
como B = �2, se tiene que
24 = �4A+ 2 (�2)� 4C + 4D =) 28 = �4A� 4C + 4D,
de aquí �4A� 4C + 4D = 28.
Si x = 2, sustituimos en la igualdad
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5 = A (x� 1)
�
x
2+ 1
�
+B
�
x
2+ 1
�
+ (Cx+D) (x� 1)
2
y se tiene
5 (2)
2 � 10 (2)� 4 (2)
3+ 5 = A ((2)� 1)
⇣
(2)
2+ 1
⌘
+B
⇣
(2)
2+ 1
⌘
+ (C (2) +D) ((2)� 1)
2
=) 20� 20� 32 + 5 = A (1) (5) +B (5) + (2C +D) (1)
2=) �27 = 5A+ 5B + 2C +D,
como B = �2, se tiene que
�27 = 5A+ 5 (�2) + 2C +D =) �17 = 5A+ 2C +D,
de aquí 5A+ 2C +D = �17.
Resolvemos el sistema de ecuaciones8
>
>
>
<
>
>
>
:
�A+D = 7
�4A� 4C + 4D = 28
5A+ 2C +D = �17
=) A = �4 C = 0 D = 3
Entonces
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
=
A
x� 1
+
B
(x� 1)
2 +
Cx+D
x
2+ 1
=) 5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
=
�4x� 1
+
�2(x� 1)
2 +
3
x
2+ 1
,
por lo tanto,Z
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
dx =
Z
�4x� 1
+
�2(x� 1)
2 +
3
x
2+ 1
!
dx =
Z �4 dx
x� 1
+
Z �2 dx
(x� 1)
2 +
Z
3 dx
x
2+ 1
.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x� 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 329
Entonces, la integral quedaZ �4
x� 1
dx = �4Z
du
u
= �4 ln |u|+ C1 = �4 ln |x� 1|+ C1.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable que seutilizó para resolver la primera integral
u = x� 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ �2
(x� 1)
2 dx = �2Z
du
u
2= 2
1
u
+ C2 =
2
x� 1
+ C2.
La tercera integral del lado derecho de la igualdad es de tablaZ
3
x
2+ 1
dx = 3arctanx+ C3.
Así,Z
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
dx =
Z �4 dx
x� 1
+
Z �2 dx
(x� 1)
2 +
Z
3 dx
x
2+ 1
= �4 ln |x� 1|+ 2
x� 1
+ 3 arctanx+ C.
Finalmente,Z
5x
2 � 10x� 4x
3+ 5
2x
2 � 2x� 2x
3+ x
4+ 1
dx = 3arctanx� 4 ln |x� 1|+ 2
x� 1
+ C.
F
Ejemplo 274 : IntegreZ
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
dx.
Solución : Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Además, el denominador ya está factorizado.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
=
A
x� 1
+
B
(x� 1)
2 +
C
x+ 2
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
=
A
x� 1
+
B
(x� 1)
2 +
C
x+ 2
=) 2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
=
A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)
2
(x� 1)
2(x+ 2)
,
de aquí,2x
2 � 6x+ 7 = A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)
2.
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 330
Si x = 1, sustituimos en la igualdad 2x
2 � 6x+ 7 = A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)
2 y se tiene
2 (1)
2 � 6 (1) + 7 = A ((1)� 1) ((1) + 2) +B ((1) + 2) + C ((1)� 1)
2
=) 2� 6 + 7 = A (0) (3) +B (3) + C (0)
2=) 3 = 3B,
de aquí B = 1.
Si x = �2, sustituimos en la igualdad 2x
2� 6x+7 = A (x� 1) (x+ 2)+B (x+ 2)+C (x� 1)
2 y se tiene
2 (�2)2 � 6 (�2) + 7 = A ((�2)� 1) ((�2) + 2) +B ((�2) + 2) + C ((�2)� 1)
2
=) 8 + 12 + 7 = A (�3) (0) +B (0) + C (�3)2 =) 27 = 9C,
de aquí C = 3.
Si x = 0, sustituimos en la igualdad 2x
2 � 6x+ 7 = A (x� 1) (x+ 2) +B (x+ 2) + C (x� 1)
2 y se tiene
2 (0)
2 � 6 (0) + 7 = A ((0)� 1) ((0) + 2) +B ((0) + 2) + C ((0)� 1)
2
=) 0� 0 + 7 = A (�1) (2) +B (2) + C (�1)2 =) 7 = �2A+ 2B + C,
como B = 1 y C = 3, se tiene que
7 = �2A+ 2 (1) + (3) =) 7 = �2A+ 2 + 3,
de aquí A = �1.
Entonces
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
=
A
x� 1
+
B
(x� 1)
2 +
C
x+ 2
=) 2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
=
�1x� 1
+
1
(x� 1)
2 +
3
x+ 2
,
por lo tanto,Z
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
dx =
Z
�1x� 1
+
1
(x� 1)
2 +
3
x+ 2
!
dx =
Z � dx
x� 1
+
Z
dx
(x� 1)
2 +
Z
3 dx
x+ 2
.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x� 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ � dx
x� 1
= �Z
du
u
= � ln |u|+ C1 = � ln |x� 1|+ C1.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable que seutilizó para resolver la primera integral
u = x� 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 331
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
1
(x� 1)
2 dx =
Z
du
u
2= � 1
u
+ C2 = � 1
x� 1
+ C2.
La tercera y última integral del lado derecho de la igualdad la resolvemos haciendo el cambio de variable
u = x+ 2
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
3
x+ 2
dx = 3
Z
du
u
= 3 ln |u|+ C3 = 3 ln |x+ 2|+ C3.
Así,Z
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
dx =
Z � dx
x� 1
+
Z
dx
(x� 1)
2 +
Z
3 dx
x+ 2
= � ln |x� 1|� 1
x� 1
+ 3 ln |x+ 2|+ C.
FinalmenteZ
2x
2 � 6x+ 7
(x� 1)
2(x+ 2)
dx = � ln |x� 1|� 1
x� 1
+ 3 ln |x+ 2|+ C.
F
Ejemplo 275 : IntegreZ
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
dx.
Solución : Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Además, el denominador ya está factorizado, puestoque, el polinomio p (x) = x
2+ 2x+ 2 no es factorizable en los números reales.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
=
A
2x+ 4
+
Bx+ C
x
2+ 2x+ 2
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
=
A
2x+ 4
+
Bx+ C
x
2+ 2x+ 2
=) x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
=
A
�
x
2+ 2x+ 2
�
+ (Bx+ C) (2x+ 4)
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
,
de aquí,x
2+ 8x+ 14 = A
�
x
2+ 2x+ 2
�
+ (Bx+ C) (2x+ 4) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.
Si x = �2, sustituimos en la igualdad x
2+ 8x+ 14 = A
�
x
2+ 2x+ 2
�
+ (Bx+ C) (2x+ 4) y se tiene
(�2)2 + 8 (�2) + 14 = A
⇣
(�2)2 + 2 (�2) + 2
⌘
+ (B (�2) + C) (2 (�2) + 4)
=) 4� 16 + 14 = A (4� 4 + 2) + (�2B + C) (0) =) 2 = 2A,
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 332
de aquí A = 1.
Si x = 0, sustituimos en la igualdad x
2+ 8x+ 14 = A
�
x
2+ 2x+ 2
�
+ (Bx+ C) (2x+ 4) y se tiene
(0)
2+ 8 (0) + 14 = A
⇣
(0)
2+ 2 (0) + 2
⌘
+ (B (0) + C) (2 (0) + 4)
=) 0 + 0 + 14 = A (0 + 0 + 2) + (0 + C) (0 + 4) =) 14 = 2A+ 4C,
como A = 1, se tiene que
14 = 2 (1) + 4C =) 14 = 2 + 4C,
de aquí C = 3.
Si x = 1, sustituimos en la igualdad x
2+ 8x+ 14 = A
�
x
2+ 2x+ 2
�
+ (Bx+ C) (2x+ 4) y se tiene
(1)
2+ 8 (1) + 14 = A
⇣
(1)
2+ 2 (1) + 2
⌘
+ (B (1) + C) (2 (1) + 4)
=) 1 + 8 + 14 = A (1 + 2 + 2) + (B + C) (6) =) 23 = 5A+ 6B + 6C,
como A = 1 y C = 3, se tiene que
23 = 5 (1) + 6B + 6 (3) =) 23 = 5 + 6B + 18,
de aquí B = 0.
Entonces
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
=
A
2x+ 4
+
Bx+ C
x
2+ 2x+ 2
=) x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
=
1
2x+ 4
+
3
x
2+ 2x+ 2
,
por lo tanto,Z
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
dx =
Z
✓
1
2x+ 4
+
3
x
2+ 2x+ 2
◆
dx =
Z
1
2x+ 4
dx+
Z
3
x
2+ 2x+ 2
dx
=
Z
1
2 (x+ 2)
dx+
Z
3 dx
x
2+ 2x+ 2
=
1
2
Z
dx
x+ 2
+ 3
Z
dx
x
2+ 2x+ 2
.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
u = x+ 2
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dx
x+ 2
=
Z
du
u
= ln |u|+ C1 = ln |x+ 2|+ C1.
Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado
x
2+ 2x+ 2 = (x+ 1)
2+ 1 =)
Z
dx
x
2+ 2x+ 2
=
Z
dx
(x+ 1)
2+ 1
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 333
se propone el cambio de variable
u = x+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
du = dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
dx
x
2+ 2x+ 2
=
Z
du
u
2+ 1
= arctanu+ C2 = arctan (x+ 1) + C2.
Así,Z
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
dx =
1
2
Z
dx
x+ 2
+ 3
Z
dx
x
2+ 2x+ 2
=
1
2
ln |x+ 2|+ 3arctan (x+ 1) + C.
Luego,Z
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
dx =
1
2
ln |x+ 2|+ 3arctan (x+ 1) + C.
F
Ejemplo 276 : IntegreZ
�
sec
2x+ 1
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx.
Solución : Como sec
2x = tan
2x+ 1, tenemos que
Z
�
sec
2x+ 1
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx =
Z
��
tan
2x+ 1
�
+ 1
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx =
Z
�
tan
2x+ 2
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx,
se propone el cambio de variable
u = tanx
Cálculo del
���������!diferencial
du = sec
2x dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
�
sec
2x+ 1
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx =
Z
�
tan
2x+ 2
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx =
Z
u
2+ 2
1 + u
3du.
Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas dela función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador
u
3+ 1 = (u+ 1)
�
u
2 � u+ 1
�
.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
u
2+ 2
(u+ 1) (u
2 � u+ 1)
=
A
u+ 1
+
Bu+ C
u
2+ u+ 1
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
u
2+ 2
(u+ 1) (u
2 � u+ 1)
=
A
u+ 1
+
Bu+ C
u
2+ u+ 1
=) u
2+ 2
(u+ 1) (u
2 � u+ 1)
=
A
�
u
2 � u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u+ 1)
(u+ 1) (u
2 � u+ 1)
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 334
de aquí,u
2+ 2 = A
�
u
2 � u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u+ 1) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u.
Si u = �1, sustituimos en la igualdad u
2+ 2 = A
�
u
2 � u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u+ 1) y se tiene
(�1)2 + 2 = A
⇣
(�1)2 � (�1) + 1
⌘
+ (B (�1) + C) ((�1) + 1)
=) 1 + 2 = A (1 + 1 + 1) + (�B + C) (0) =) 3 = 3A,
de aquí A = 1.
Si u = 0, sustituimos en la igualdad u
2+ 2 = A
�
u
2 � u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u+ 1) y se tiene
(0)
2+ 2 = A
⇣
(0)
2 � (0) + 1
⌘
+ (B (0) + C) ((0) + 1)
=) 0 + 2 = A (0� 0 + 1) + (0 + C) (0 + 1) =) 2 = A+ C,
como A = 1, se tiene que2 = (1) + C =) 2 = 1 + C,
de aquí C = 1.
Si u = 1, sustituimos en la igualdad u
2+ 2 = A
�
u
2 � u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u+ 1) y se tiene
(1)
2+ 2 = A
⇣
(1)
2 � (1) + 1
⌘
+ (B (1) + C) ((1) + 1)
=) 1 + 2 = A (1� 1 + 1) + (B + C) (1 + 1) =) 3 = A+ 2B + 2C,
como A = 1 y C = 1, se tiene que
3 = (1) + 2B + 2 (1) =) 3 = 1 + 2B + 2 =) 0 = 2B,
de aquí B = 0.
Entonces
u
2+ 2
(u+ 1) (u
2 � u+ 1)
=
A
u+ 1
+
Bu+ C
u
2+ u+ 1
=) u
2+ 2
u
3+ 1
=
1
u+ 1
+
1
u
2 � u+ 1
,
por lo tanto,Z
u
2+ 2
u
3+ 1
du =
Z
✓
1
u+ 1
+
1
u
2 � u+ 1
◆
du =
Z
du
u+ 1
+
Z
du
u
2 � u+ 1
.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
z = u+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
dz = du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
du
u+ 1
=
Z
dz
z
= ln |z|+ C1 = ln |u+ 1|+ C1.
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 335
Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado
u
2 � u+ 1 =
✓
u� 1
2
◆2
+
3
4
=)Z
du
u
2 � u+ 1
=
Z
du
(u� 1/2)
2+ 3/4
,
se propone el cambio trigonométrico
u� 1
2
=
p3
2
tan t
Cálculo del
���������!diferencial
du =
p3
2
sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
du
u
2 � u+ 1
=
Z
du
(u� 1/2)
2+ 3/4
=
Z
p3
2
sec
2t dt
p3
2
tan t
!2
+
3
4
=
p3
2
Z
sec
2t dt
3
4
tan
2t+
3
4
=
p3
2
Z
sec
2t dt
3
4
�
tan
2t+ 1
�
=
4
3
p3
2
Z
sec
2t
sec
2t
dt =
2
p3
3
Z
dt =
2
p3
3
t+ C2,
como
x� 1
2
=
p3
2
tan t =) tan t =
2u� 1p3
=) t = arctan
✓
2u� 1p3
◆
,
de aquí,Z
du
u
2 � u+ 1
=
2
p3
3
arctan
✓
2u� 1p3
◆
+ C2.
Así,Z
u
2+ 2
u
3+ 1
du =
Z
du
u+ 1
+
Z
du
u
2 � u+ 1
du = ln |u+ 1|+ 2
p3
3
arctan
✓
2u� 1p3
◆
+ C,
puesto que, u = tanx, entoncesZ
�
sec
2x+ 1
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx = ln |tanx+ 1|+ 2
p3
3
arctan
✓
2 tanx� 1p3
◆
+ C.
F
Ejemplo 277 : IntegreZ
2e
x � 1
e
x � 2e
�x
+ 1
dx.
Solución : Tenemos que, el integrando lo podemos escribir como
2e
x � 1
e
x � 2e
�x
+ 1
=
2e
x � 1
e
x � 2
e
x
+ 1
=
2e
x � 1
e
x
e
x � 2 + e
x
e
x
=
(2e
x � 1) e
x
(e
x
)
2+ e
x � 2
,
así,Z
2e
x � 1
e
x � 2e
�x
+ 1
dx =
Z
(2e
x � 1) e
x
(e
x
)
2+ e
x � 2
dx,
se propone el cambio de variable
u� e
x
Cálculo del
���������!diferencial
du = e
x
dx,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 336
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
2e
x � 1
e
x � 2e
�x
+ 1
dx =
Z
(2e
x � 1) e
x
(e
x
)
2+ e
x � 2
dx =
Z
(2u� 1) du
u
2+ u� 2
.
Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas dela función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 1, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 2, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador
u
2+ u� 2 = (u� 1) (u+ 2) .
Escribimos las fracciones simples correspondientes
2u� 1
(u� 1) (u+ 2)
=
A
u� 1
+
B
u+ 2
.
Buscamos los valores de las constantes A, y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos elmétodo de los coeficientes indeterminados
2u� 1
(u� 1) (u+ 2)
=
A
u� 1
+
B
u+ 2
=) 2u� 1
(u� 1) (u+ 2)
=
A (u+ 2) +B (u� 1)
(u� 1) (u+ 2)
,
de aquí,2u� 1 = A (u+ 2) +B (u� 1) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u.
Si u = 1, sustituimos en la igualdad 2u� 1 = A (u+ 2) +B (u� 1) y se tiene
2 (1)� 1 = A ((1) + 2) +B ((1)� 1) =) 2� 1 = A (1 + 2) +B (0) =) 1 = 3A,
de aquíA =
1
3
.
Si u = �2, sustituimos en la igualdad 2u� 1 = A (u+ 2) +B (u� 1) y se tiene
2 (�2)� 1 = A ((�2) + 2) +B ((�2)� 1) =) �4� 1 = A (0) +B (�2� 1) =) �5 = �3B,
de aquíB =
5
3
.
Entonces
2u� 1
(u� 1) (u+ 2)
=
A
u� 1
+
B
u+ 2
=) 2u� 1
(u� 1) (u+ 2)
=
1/3
u� 1
+
5/3
u+ 2
,
por lo tanto,Z
2u� 1
(u� 1) (u+ 2)
du =
Z
✓
1/3
u� 1
+
5/3
u+ 2
◆
du =
Z
1/3 du
u� 1
+
Z
5/3 du
u+ 2
=
1
3
Z
du
u� 1
+
5
3
Z
du
u+ 2
.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
z = u� 1
Cálculo del
���������!diferencial
dz = du,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 337
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
du
u� 1
=
Z
dz
z
= ln |z|+ C1 = ln |u� 1|+ C1.
La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
p = u+ 2
Cálculo del
���������!diferencial
dp = du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
du
u+ 2
=
Z
dp
p
= ln |p|+ C2 = ln |u+ 2|+ C2.
Así,Z
(2u� 1) du
u
2+ u� 2
=
1
3
Z
du
u� 1
+
5
3
Z
du
u+ 2
=
1
3
ln |u� 1|+ 5
3
ln |u+ 2|+ C,
puesto que, u = e
x, entoncesZ
2e
x � 1
e
x � 2e
�x
+ 1
dx =
1
3
ln |ex � 1|+ 5
3
ln (e
x
+ 2) + C.
F
Ejemplo 278 : IntegreZ
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
dx.
Solución : Tenemos que, el integrando lo podemos escribir como
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
=
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 +
1�pe
x
+ 1
e
x
=
2 +
pe
x
+ 1
(e
x
)
2+ 2e
x
+ 1�pe
x
+ 1
e
x
=
�
2 +
pe
x
+ 1
�
e
x
(e
x
)
2+ 2e
x
+ 1�pe
x
+ 1
=
�
2 +
pe
x
+ 1
�
e
x
(e
x
+ 1)
2 �pe
x
+ 1
,
por lo tanto,Z
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
dx =
Z
�
2 +
pe
x
+ 1
�
e
x
(e
x
+ 1)
2 �pe
x
+ 1
dx.
Se propone el cambio de variable
u
2= e
x
+ 1
Cálculo del
���������!diferencial
2u du = e
x
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
dx =
Z
�
2 +
pe
x
+ 1
�
e
x
(e
x
+ 1)
2 �pe
x
+ 1
dx =
Z
⇣
2 +
pu
2⌘
2u du
(u
2)
2 �pu
2
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 338
=
Z
2u (2 + u)
u
4 � u
du =
Z
2u (2 + u)
u (u
3 � 1)
du = 2
Z
2 + u
u
3 � 1
du.
Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas dela función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 1, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador
u
3 � 1 = (u� 1)
�
u
2+ u+ 1
�
.
Escribimos las fracciones simples correspondientes
2 + u
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
=
A
u� 1
+
Bu+ C
u
2+ u+ 1
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
2 + u
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
=
A
u� 1
+
Bu+ C
u
2+ u+ 1
=) 2 + u
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
=
A
�
u
2+ u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u� 1)
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
,
de aquí,u+ 2 = A
�
u
2+ u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u� 1) .
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u.
Si u = 1, sustituimos en la igualdad u+ 2 = A
�
u
2+ u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u� 1) y se tiene
(1) + 2 = A
⇣
(1)
2+ (1) + 1
⌘
+ (B (1) + C) ((1)� 1)
=) 1 + 2 = A (1 + 1 + 1) + (B + C) (0) =) 3 = 3A,
de aquí A = 1.
Si u = 0, sustituimos en la igualdad u+ 2 = A
�
u
2+ u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u� 1) y se tiene
(0) + 2 = A
⇣
(0)
2+ (0) + 1
⌘
+ (B (0) + C) ((0)� 1)
=) 0 + 2 = A (0 + 0 + 1) + (0 + C) (�1) =) 2 = A� C,
como A = 1, se tiene que2 = (1)� C =) 2 = 1� C,
de aquí C = �1.
Si u = �1, sustituimos en la igualdad u+ 2 = A
�
u
2+ u+ 1
�
+ (Bu+ C) (u� 1) y se tiene
(�1) + 2 = A
⇣
(�1)2 + (�1) + 1
⌘
+ (B (�1) + C) ((�1)� 1)
=) �1 + 2 = A (1� 1 + 1) + (�B + C) (�1� 1) =) 1 = A+ 2B � 2C,
como A = 1 y C = �1 se tiene que
1 = (1) + 2B � 2 (�1) =) 1 = 1 + 2B + 2,
de aquí B = �1.
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Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 339
Entonces2 + u
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
=
A
u� 1
+
Bu+ C
u
2+ u+ 1
=) 2 + u
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
=
1
u� 1
+
�u� 1
u
2+ u+ 1
,
por lo tanto,Z
2 + u
(u� 1) (u
2+ u+ 1)
du =
Z
✓
1
u� 1
+
�u� 1
u
2+ u+ 1
◆
du =
Z
du
u� 1
�Z
u+ 1
u
2+ u+ 1
du.
La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
z = u� 1
Cálculo del
���������!diferencial
dz = du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
du
u� 1
=
Z
dz
z
= ln |z|+ C1 = ln |u� 1|+ C1.
Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado
u
2+ u+ 1 =
✓
u+
1
2
◆2
+
3
4
=)Z
(u+ 1) du
u
2+ u+ 1
=
Z
(u+ 1) du
(u+ 1/2)
2+ 3/4
,
se propone el cambio trigonométrico
u+
1
2
=
p3
2
tan t
Cálculo del
���������!diferencial
du =
p3
2
sec
2t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral queda
Z
(u+ 1) du
u
2+ u+ 1
=
Z
(u+ 1) du
(u+ 1/2)
2+ 3/4
=
Z
(u+ 1/2 + 1/2) du
(u+ 1/2)
2+ 3/4
=
Z
p3
2
tan t+
1
2
! p3
2
sec
2t dt
p3
2
tan t
!2
+
3
4
=
p3
2
Z
p3
2
tan t+
1
2
!
sec
2t dt
3
4
tan
2t+
3
4
=
p3
2
Z
p3
2
tan t+
1
2
!
sec
2t dt
3
4
�
tan
2t+ 1
�
=
4
3
p3
2
Z
p3
2
tan t+
1
2
!
sec
2t
sec
2t
dt =
2
p3
3
Z
p3
2
tan t+
1
2
!
dt
=
2
p3
3
Z
p3
2
tan t dt+
Z
1
2
dt
!
=
2
p3
3
Z
p3
2
tan t dt+
2
p3
3
Z
1
2
dt
=
2
p3
3
p3
2
Z
tan t dt+
2
p3
3
1
2
Z
dt =
Z
tan t dt+
p3
3
Z
dt,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 340
donde,Z
dt = t+ C2,
mientras que,Z
tan t dt =
Z
sen t
cos t
dt,
se propone el cambio de variable
p = cos t
Cálculo del
���������!diferencial
dp = � sen t dt =) �dp = sen t dt,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
sen t
cos t
dt =
Z �dpp
= � ln |p|+ C3 = � ln |cos t|+ C3 = ln
�
�
�
(cos t)
�1�
�
�
+ C3 = ln
�
�
�
�
1
cos t
�
�
�
�
+ C3 = ln |sec t|+ C3,
luego,Z
tan t dt = ln |sec t|+ C3
de aquí,Z
(u+ 1) du
u
2+ u+ 1
=
Z
tan t dt+
p3
3
Z
dt = ln |sec t|+p3
3
t+ C4,
ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t| +p3
3
t + C4, en términos de la variable original deintegración u, puesto que
u+
1
2
=
p3
2
tan t =) tan t =
2u+ 1p3
=) t = arctan
✓
2u+ 1p3
◆
.
Para calcular sec t en función de u, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,
����
����
���
CC t
Hipotenusa : hip.
Cateto adyacente : c.a.
Cateto opuesto : c.o.
sen t =
c.o.
hip.
cos t =
c.a.
hip.
tan t =
c.o.
c.a.
csc t =
hip.
c.o.
sec t =
hip.
c.a.
cot t =
c.a.
c.o.
por lo tanto,
����
����
���
CC t
q
(2u+ 1)
2+ 3
p3
2u+ 1
u� 1
2
=
p3
2
tan t =) tan t =
2u+ 1p3
=
c.o.
c.a.
Por Pitágoras(hip.)
2= (c.o.)
2+ (c.a.)
2 hip. =
q
(2u+ 1)
2+ 3
entonces,
sec t =
hip.
c.a.
=
q
(2u+ 1)
2+ 3
p3
.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 341
Luego,
Z
(u+ 1) du
u
2+ u+ 1
= ln
�
�
�
�
�
�
q
(2u+ 1)
2+ 3
p3
�
�
�
�
�
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C4
= ln
�
�
�
�
q
(2u+ 1)
2+ 3
�
�
�
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C5
= ln
�
�
p4u
2+ 4u+ 4
�
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C5
= ln
�
�
�
p
4 (u
2+ u+ 1)
�
�
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C5
= ln
�
�
�
2
�
u
2+ u+ 1
�1/2�
�
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C5
=
1
2
ln
�
u
2+ u+ 1
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C6
Así,Z
2 + u
u
3 � 1
du =
Z
du
u� 1
�Z
(u+ 1) du
u
2+ u+ 1
= ln |u� 1|�
1
2
ln
�
u
2+ u+ 1
�
+
p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
!
+ C7
= ln |u� 1|� 1
2
ln
�
u
2+ u+ 1
�
�p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
+ C7,
como u = e
x
+ 1, entoncesZ
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
dx = 2
Z
2 + u
u
3 � 1
du
= 2
ln |u� 1|� 1
2
ln
�
u
2+ u+ 1
�
�p3
3
arctan
✓
2u+ 1p3
◆
!
+ C
= 2
ln |ex + 1� 1|� 1
2
ln
⇣
(e
x
+ 1)
2+ (e
x
+ 1) + 1
⌘
�p3
3
arctan
✓
2 (e
x
+ 1) + 1p3
◆
!
+ C
= 2x� ln
⇣
(e
x
+ 1)
2+ e
x
+ 2
⌘
� 2
p3
3
arctan
✓
2e
x
+ 3p3
◆
+ C.
FinalmenteZ
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
dx = 2x� ln
⇣
(e
x
+ 1)
2+ e
x
+ 2
⌘
� 2
p3
3
arctan
✓
2e
x
+ 3p3
◆
+ C.
F
Ejemplo 279 : IntegreZ
4
x
+ 2
x
8
x � 4
x+1dx.
Solución : Escribimos la integral comoZ
4
x
+ 2
x
8
x � 4
x+1dx =
Z
(2
x
)
2+ 2
x
(2
x
)
3 � 4 · (2x)2dx =
Z
(2
x
+ 1) 2
x
(2
x
)
3 � 4 · (2x)2dx.
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 342
Se propone el cambio de variable
u = 2
x
Cálculo del
���������!diferencial
du = 2
x
ln 2 dx =) du
ln 2
= 2
x
dx,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
4
x
+ 2
x
8
x � 4
x+1dx =
Z
u+ 1
u
3 � 4u
2
du
ln 2
=
1
ln 2
Z
u+ 1
u
3 � 4u
2du,
Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas dela función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 1, es menor que el grado del polinomio deldenominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador
u
3 � 4u
2= u
2(u� 4) .
Escribimos las fracciones simples correspondientes
u+ 1
u
2(u� 4)
=
Au+B
u
2+
C
u� 4
.
Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamosel método de los coeficientes indeterminados
u+ 1
u
2(u� 4)
=
Au+B
u
2+
C
u� 4
=) u+ 1
u
2(u� 4)
=
(Au+B) (u� 4) + Cu
2
u
2(u� 4)
,
de aquí,u+ 1 = (Au+B) (u� 4) + Cu
2.
Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u.
Si u = 0, sustituimos en la igualdad u+ 1 = (Au+B) (u� 4) + Cu
2 y se tiene
(0) + 1 = (A (0) +B) ((0)� 4) + C (0)
2=) 0 + 1 = (0 +B) (0� 4) + C (0)
2=) 1 = �4B,
de aquíB = �1
4
.
Si u = 4, sustituimos en la igualdad u+ 1 = (Au+B) (u� 4) + Cu
2 y se tiene
(4) + 1 = (A (4) +B) ((4)� 4) + C (4)
2=) 4 + 1 = (4A+B) (0) + 16C =) 5 = 16C,
de aquíC =
5
16
.
Si u = 1, sustituimos en la igualdad u+ 1 = (Au+B) (u� 4) + Cu
2 y se tiene
(1) + 1 = (A (1) +B) ((1)� 4) + C (1)
2=) 1 + 1 = (A+B) (1� 4) + C =) 2 = �3A� 3B + C,
como B = �1
4
y C =
5
16
, se tiene que
2 = �3A� 3
✓
�1
4
◆
+
✓
5
16
◆
=) 2 = �3A+
3
4
+
5
16
=) 2 = �3A+
17
16
,
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 343
de aquíA = � 5
16
.
Entonces
u+ 1
u
2(u� 4)
=
Au+B
u
2+
C
u� 4
=) u+ 1
u
2(u� 4)
=
� 5
16
u� 1
4
u
2+
5
16
u� 4
,
por lo tanto,
Z
u+ 1
u
2(u� 4)
du =
Z
0
B
@
� 5
16
u� 1
4
u
2+
5
16
u� 4
1
C
A
du =
Z
0
B
@
� 5
16
u
u
2�
1
4
u
2+
5
16
u� 4
1
C
A
du
=
Z
✓
� 5
16
u
u
2� 1
4
1
u
2+
5
16
1
u� 4
◆
du = � 5
16
Z
du
u
� 1
4
Z
du
u
2+
5
16
Z
du
u� 4
,
es decir,Z
u+ 1
u
2(u� 4)
du = � 5
16
Z
du
u
� 1
4
Z
du
u
2+
5
16
Z
du
u� 4
,
dondeZ
du
u
= ln |u|+ C1,
mientras que,Z
du
u
2=
Z
u
�2du = � 1
u
+ C2,
y por último, la tercera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable
z = u� 4
Cálculo del
���������!diferencial
dz = du,
con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral detabla.
Entonces, la integral quedaZ
du
u� 4
=
Z
dz
z
= ln |z|+ C3 = ln |u� 4|+ C3
Así,Z
u+ 1
u
3 � 4u
2du = � 5
16
Z
du
u
� 1
4
Z
du
u
2+
5
16
Z
du
u� 4
=
1
4u
� 5
16
ln |u|+ 5
16
ln |u� 4|+ C
como u = 2
x, se tieneZ
4
x
+ 2
x
8
x � 4
x+1dx =
1
ln 2
Z
u+ 1
u
3 � 4u
2du =
1
ln 2
✓
1
4 · 2x �5
16
ln |2x|+ 5
16
ln |2x � 4|◆
+ C
=
1
ln 2
✓
2
�x
4
� 5x
16
ln 2 +
5
16
ln |2x � 4|◆
+ C.
Luego,Z
4
x
+ 2
x
8
x � 4
x+1dx =
1
ln 2
✓
2
�x
4
� 5x
16
ln 2 +
5
16
ln |2x � 4|◆
+ C.
F
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 344
Ejercicios
Calcular las siguientes integrales utilizando descomposición en fracciones simples.
1.
Z
x
2+ 1
x
2 � x
dx 2.
Z
dx
x
2 � x� 2
3.
Z
2 dx
x
2+ 2x
4.
Z
3t
2 � 6t+ 2
2t
3 � 3t
2+ t
dt 5.
Z
5t+ 3
t
2 � 9
dt
6.
Z
3x
3dx
x
2+ x� 2
7.
Z
x
4+ 8x
2+ 8
x
3 � 4x
dx 8.
Z
2 dx
x
2 � 1
9.
Z
x
2dx
(x+ 1)
3 10.
Z
dx
x
2(x� 1)
2
11.
Z
�
5x
2+ 6x+ 9
�
dx
(x� 3)
2(x+ 1)
2 12.
Z
x
3+ x
(x� 3)
2 dx 13.
Z
dt
t
2(t+ 1)
2 14.
Z
x
3 � 4x
(x
2 � 1)
2 dx
15.
Z
�
x
3+ 1
�
dx
(x
2 � 4x+ 5)
2 16.
Z
x
2+ 19x+ 10
(x� 3)
2(2x+ 1)
2 dx 17.
Z
dx
9x
4+ x
218.
Z
dx
x
4+ x
2+ 1
19.
Z
�
x
4+ 1
�
dx
x
4+ x
220.
Z
x
2 � 2x� 1
(x
2+ 3) (x
2+ 1)
dx 21.
Z
x
3dx
(1 + x
2)
2 22.
Z
x
2dx
(x
3+ 4x)
2
23.
Z
dx
(x
4+ x
2+ 1)
2 24.
Z
4x
2+ 3x+ 6
(x
2+ 2)
2(x
2+ 3)
2 dx 25.
Z
x
4dx
x
4 � 1
26.
Z
x+ 1
x
3 � 1
dx
27.
Z
x+ 4
x (x
2+ 4)
dx 28.
Z
dx
(x+ 1) (x
2+ x+ 1)
2 29.
Z
dx
x
3+ 3x‘2
30.
Z
(x� 6) dx
x
2 � 2x
31.
Z
x
3+ x+ 1
x (x
2+ 1)
dx 32.
Z
dx
(x� 1) (x+ 2) (x+ 3)
33.
Z
9 dx
8x
3+ 1
34.
Z
�
t
2+ 2
�
dt
t (t
2+ 1)
35.
Z
2x
3 � x
x
4 � x
2+ 1
dx 36.
Z
x
2 � 3
x
3+ 4x
2+ 5x+ 2
dx 37.
Z
dx
x
3 � 1
38.
Z
dx
x
3+ x
2+ x
39.
Z
�
5x
3+ 2
�
dx
x
3 � 5x
2+ 4x
40.
Z
(20x� 11) dx
(3x+ 2) (x
2 � 4x+ 5)
41.
Z
dt
(t
2+ 1)
3 42.
Z
(x+ 2) dx
x
2(x
2 � 1)
43.
Z
(x� 11) dx
x
2+ 3x� 4
44.
Z
�
x
3 � 8x
2 � 1
�
dx
(x+ 3) (x� 2) (x
2+ 1)
45.
Z
dx
2x
3+ x
46.
Z
5x� 2
x
2 � 4
dx
47.
Z
dt
(t+ 2)
2(t+ 1)
48.
Z
x
2dx
2x
3+ 9x
2+ 12x+ 4
49.
Z
dx
16x
4 � 1
50.
Z
18 dx
(4x
2+ 9)
2
51.
Z
(17x� 3) dx
3x
2+ x� 2
52.
Z
x
2 � 4x� 4
x
3 � 2x
2+ 4x� 8
dx 53.
Z
dx
x
3+ 1
54.
Z
4 + 5x
2
x
3+ 4x
dx
55.
Z
(t+ 3) dt
4t
4+ 4t
3+ t
256.
Z
�
2x
2+ 41x� 91
�
dx
(x� 1) (x+ 3) (x� 4)
57.
Z
e
x
dx
e
4x � 1
58.
Z
e
5xdx
(e
2x+ 1)
2
59.
Z
(4x� 2) dx
x
3 � x
2 � 2x
60.
Z
2x
2 � 3x� 36
(2x� 1) (x
2+ 9)
dx 61.
Z
dx
x
2 � 4
62.
Z
�
t
2+ 2
�
dt
t (t
2 � 1)
63.
Z
dt
(t+ a) (t+ b)
64.
Z
2x
3+ 5x
2+ 16x
x
5+ 8x
3+ 16x
dx 65.
Z
x
6dx
x
2 � 16
66.
Z
x
2dx
x
2+ x� 6
67.
Z
5x
3 � 4x
x
4 � 16
dx 68.
Z
dx
x (3� lnx) (1� lnx)
69.
Z
t
3dt
t
3 � 8
70.
Z
t
3 � 1
4t
3 � t
dt
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 345
71.
Z
cosx dx
senx+ sen
3x
72.
Z
x
2+ 3x+ 3
x
3+ x
2+ x+ 1
dx 73.
Z
t
2dt
t
4 � 8t
74.
Z
x� 3
x
3+ x
2dx
75.
Z
(5x+ 7) dx
x
2+ 4x+ 4
76.
Z
�
3x
2+ 7x
�
dx
x
3+ 6x
2+ 11x+ 6
77.
Z
30x
2+ 52x+ 17� 24x
3
9x
4 � 6x
3 � 11x
2+ 4x+ 4
dx
78.
Z
�
x
4+ 1
�
dx
x (x
2+ 1)
2 79.
Z
x
2 � 3x� 7
(2x+ 3) (x+ 1)
dx 80.
Z
x
4+ 3x
3 � 5x
2 � 4x+ 17
x
3+ x
2 � 5x+ 3
dx
81.
Z
(3x� 13) dx
x
2+ 3x� 10
82.
Z
x
2 � 5x+ 9
x
2 � 5x+ 6
dx 83.
Z
�
2x
3+ 9x
�
dx
(x
2+ 3) (x
2 � 2x+ 3)
84.
Z
5x
2 � 11x+ 5
x
3 � 4x
2+ 5x� 2
dx 85.
Z
x
2 � 8x+ 7
(x
2 � 3x� 10)
2 dx 86.
Z
x
2+ x+ 2
x
2 � 1
dx
87.
Z
x
4 � 6x
3 � 12x
2+ 6
x
3 � 6x
2+ 12x� 8
dx 88.
Z
2x� 3
(x
2 � 3x+ 2)
2 dx 89.
Z
2x
2+ x� 8
x
3+ 4x
dx
90.
Z
5x
2+ 3x� 2
x
3+ 2x
2dx 91.
Z
6x
2+ 22x� 23
(2x� 1) (x
2+ x� 6)
dx 92.
Z
x
2+ 2x� 1
27x
3 � 1
dx
93.
Z
2x
2 � x+ 2
x
5 � 2x
3+ x
dx 94.
Z
�
sec
2x+ 1
�
sec
2x
1 + tan
3x
dx 95.
Z
x
2 � 4x+ 3
x (x+ 1)
2 dx
96.
Z
6x
2 � 2x� 1
4x
3 � x
dx 97.
Z
2x
2+ 3x+ 2
x
3+ 4x
2+ 6x+ 4
dx 98.
Z
x� 2
2x
2+ 7x+ 3
dx
99.
Z
3x+ 5
(x
2+ 2x+ 2)
2 dx 100.
Z
dx
(x
2 � 4x+ 3) (x
2+ 4x+ 5)
101.
Z
(2x+ 21) dx
2x
2+ 9x� 5
102.
Z
x
2+ 19x+ 10
2x
4+ 5x
3dx 103.
Z
3x
2 � 21x+ 32
x
3 � 8x
2+ 16x
dx 104.
Z
3x
2 � x+ 1
x
3 � x
2dx
105.
Z
2x
4 � 2x+ 1
2x
5 � x
4dx 106.
Z
2x
2+ 13x+ 18
x
3+ 6x
2+ 9x
dx 107.
Z
2t
2+ t� 4
t
3 � t
2 � 2t
dt
108.
Z
�
x
2+ x
�
dx
x
3 � x
2+ x� 1
109.
Z
5x
2 � 3x+ 18
9x� x
3dx 110.
Z
2 +
pe
x
+ 1
e
x
+ 2 + e
�x
�
1�pe
x
+ 1
�
dx
111.
Z
x
2+ 3
x
3+ x
2 � 2x
dx 112.
Z
x dx
x
3+ 2x
2+ x+ 2
113.
Z
2x
2 � x+ 2
x
5+ 2x
3+ x
dx
114.
Z
4
x
+ 2
x
8
x � 4
x+1dx 115.
Z
x
3
x
4+ 2x
2dx 116.
Z
2e
x � 1
e
x � 2e
�x
+ 1
dx
117.
Z
x
2+ 8x+ 14
(2x+ 4) (x
2+ 2x+ 2)
dx
Respuestas: Ejercicios
1. x � ln |x| + 2 ln |x � 1| + C; 2. 1
3
ln�
�
�
x�2
x+1
�
�
�
+ C; 3. ln�
�
�
x
x+2
�
�
�
+ C; 4. 2 ln |t| � ln |t � 1| + 1
2
ln |2t � 1| + C;
5. 3 ln |t � 3| + 2 ln |t + 3| + C; 6. 3
2
x
2 � 3x + ln |x � 1| + 8 ln |x + 2| + C; 7. 1
2
x
2 � 2 ln |x| + 7 ln�
�
x
2 � 4�
�+ C;
8. ln�
�
�
x�1
x+1
�
�
�
+ C; 9. ln |x + 1| + 4x+3
2x
2
+4x+2
+ C; 10. 2 ln�
�
�
x
x�1
�
�
�
+ 1�2x
x
2�x
+ C; 11. �5x�3
x
2�2x�3
+ C;
12. 6x + 1
2
x
2 + 28 ln |x � 3| � 30
x�3
+ C; 13. 2 ln�
�
�
t+1
t
�
�
�
� 2t+1
t
2
+t
+ C; 14. 1
2
ln�
�
x
2 � 1�
�+ 3
2x
2�2
+ C;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 346
15. 15
2
arctan (x � 2) + 1
2
ln�
�
x
2 � 4x + 5�
�+ 3x�17
2x
2�8x+10
+ C; 16. 129
343
ln�
�
�
2x+1
x�3
�
�
�
� 307x+143
196x
2�490x�294
+ C;
17. � 1
x
� 3 arctan 3x + C; 18. 1
4
ln�
x
2 + x + 1�
� 1
4
ln�
x
2 � x + 1�
+p
3
6
arctan⇣
2x�1p3
⌘
+p
3
6
arctan⇣
2x+1p3
⌘
+ C;
19. x � 2 arctan x � 1
x
+ C; 20. 1
2
ln⇣
x
2
+3
x
2
+1
⌘
+ 2
p3
3
arctan⇣p
3
3
x
⌘
� arctan x + C; 21. 1
2
ln�
x
2 + 1�
+ 1
2x
2
+2
+ C;
22. x
8x
2
+32
+ 1
16
arctan x
2
+ C; 23. 1
6
x�x
3
x
4
+x
2
+1
+ 1
4
ln⇣
x
2
+x+1
x
2�x+1
⌘
+p
3
9
arctan⇣p
3
3
(2x � 1)⌘
+p
3
9
arctan⇣p
3
3
(2x + 1)⌘
+ C;
24. 3 ln⇣
x
2
+3
x
2
+2
⌘
� 3p3 arctan
⇣p3
3
x
⌘
+ 15
4
p2 arctan
⇣p2
2
x
⌘
� 3x
3
+6x
2
+7x+15
2(x2
+2)(x2
+3)+ C; 25. x � 1
2
arctan x + 1
4
ln�
�
�
x�1
x+1
�
�
�
+ C;
26. 2
3
ln |x � 1| � 1
3
ln�
x
2 + x + 1�
+ C; 27. ln |x| � 1
2
ln�
x
2 + 4�
+ 1
2
arctan�
x
2
�
+ C;
28. ln |x + 1| + 1
3
x+2
x
2
+x+1
� 1
2
ln�
x
2 + x + 1�
+ 5
p3
9
arctan⇣p
3
3
(2x + 1)⌘
+ C; 29. 1
9
ln�
�
�
x+3
x
�
�
�
� 1
3x
+ C;
30. 3 ln |x| � 2 ln |x � 2| + C; 31. x + ln |x| � 1
2
ln�
x
2 + 1�
+ C; 32. 1
12
ln |x � 1| � 1
3
ln |x + 2| + 1
4
ln |x + 3| + C;
33. 3
2
ln |2x + 1| � 3
4
ln�
�4x2 � 2x + 1�
�+ 3
p3
2
arctan⇣p
3
3
(4x � 1)⌘
+ C; 34. 2 ln |t| � 1
2
ln�
t
2 + 1�
+ C;
35. 1
2
ln�
x
4 � x
2 + 1�
+ C; 36. ln |x + 2| + 2
x+1
+ C; 37. 1
3
ln |x � 1| � 1
6
ln�
x
2 + x + 1�
�p
3
3
arctan⇣p
3
3
(2x + 1)⌘
+ C;
38. ln |x| � 1
2
ln�
x
2 + x + 1�
�p
3
3
arctan⇣p
3
3
(2x + 1)⌘
+ C; 39. 5x + 1
2
ln |x| � 7
3
ln |x � 1| + 161
6
ln |x � 4| + C;
40. 4 arctan (x � 2) + 1
2
ln�
x
2 � 4x + 5�
� ln |3x + 2| + C; 41. 3
8
arctan t + 1
8
3t
3
+5t
(t2+1)2+ C; 42. 2
x
� ln |x| + 3
2
ln
�
�
�
�
(x�1)
3
x+1
�
�
�
�
+ C;
43. 3 ln |x + 4| � 2 ln |x � 1| + C; 44. arctan x � ln |x � 2| + 2 ln |x + 3| + C; 45. ln |x| � 1
2
ln�
2x2 + 1�
+ C;
46. 2 ln |x � 2| + 3 ln |x + 2| + C; 47. ln�
�
�
t+1
t+2
�
�
�
+ 1
t+2
+ C; 48. 4
9
ln |x + 2| + 4
3x+6
+ 1
18
ln |2x + 1| + C;
49. � 1
4
arctan 2x + 1
8
ln�
�
�
2x�1
2x+1
�
�
�
+ C; 50. x
4x
2
+9
+ 1
6
arctan 2
3
x + C; 51. 4 ln |x + 1| + 5
3
ln |3x � 2| + C;
52. ln�
x
2 + 4�
� ln |x � 2| + C; 53. 1
3
ln |x + 1| � 1
6
ln�
x
2 + x + 1�
+p
3
3
arctan⇣p
3
3
(2x � 1)⌘
+ C;
54. ln |x| + 2 ln�
x
2 + 4�
+ C; 55. � 11 ln |t| + 11 ln |2t + 1| � 11t+3
2t
2
+t
+ C; 56. 4 ln |x � 1| � 7 ln |x + 3| + 5 ln |x � 4| + C;
57. 1
4
ln�
�
�
e
x�1
e
x
+1
�
�
�
� 1
2
arctan (ex) + C; 58. e
x � 3
2
arctan (ex) + 1
2
e
x
e
2x
+1
+ C; 59. ln�
�
x
2 � 2x�
�� 2 ln |x + 1| + C;
60. 3
2
ln�
x
2 + 9�
� 2 ln |2x � 1| + C; 61. 1
4
ln�
�
�
x�2
x+2
�
�
�
+ C; 62. 3
2
ln�
�
t
2 � 1�
�� 2 ln |t| + C; 63. 1
b�a
ln�
�
�
t+a
t+b
�
�
�
+ C;
64. x
x
2
+4
� 5
2
1
x
2
+4
+ 3
2
arctan 1
2
x + C; 65. 256x + 16
3
x
3 + 1
5
x
5 + 512 ln�
�
�
x�4
x+4
�
�
�
+ C; 66. x + 4
5
ln |x � 2| � 9
5
ln |x + 3| + C;
67. ln�
�
x
2 � 4�
�+ 3
2
ln�
x
2 + 4�
+ C; 68. 1
2
ln�
�
�
ln x�3
ln x�1
�
�
�
+ C; 69. t + 2
3
ln |t � 2| � 1
3
ln�
t
2 + 2t + 4�
� 2
p3
3
arctan⇣
t+1p3
⌘
+ C;
70. 1
4
t + ln |t| � 7
16
ln |2t � 1| � 9
16
ln |2t + 1| + C; 71. ln |sen x| � 1
2
ln�
sen2
x + 1�
+ C;
72. 5
2
arctan x + 1
2
ln |x + 1| + 1
4
ln�
x
2 + 1�
+ C; 73. 1
6
ln |t � 2| � 1
12
ln�
t
2 + 2t + 4�
+p
3
6
arctan⇣p
3
3
(t + 1)⌘
+ C;
74. 4 ln�
�
�
x
x+1
�
�
�
+ 3
x
+ C; 75. 5 ln |x + 2| + 3
x+2
+ C; 76. 2 ln |x + 2| � 2 ln |x + 1| + 3 ln |x + 3| + C;
77. � 1
3
28x+17
(3x+2)(x�1)
� 2
3
ln |3x + 2| � 2 ln |x � 1| + C; 78. ln |x| + 1
x
2
+1
+ C; 79. 1
2
x � 3 ln |x + 1| + 1
4
ln |2x + 3| + C;
80. 2x + 1
2
x
2 � 3
x�1
� ln�
�
x
2 + 2x � 3�
�+ C; 81. 4 ln |x + 5| � ln |x � 2| + C; 82. x + 3 ln�
�
�
x�3
x�2
�
�
�
+ C;
83. ln�
x
2 � 2x + 3�
�p
3
2
arctan⇣p
3
3
x
⌘
+ 7
p2
4
arctan⇣p
2
2
(x � 1)⌘
+ C; 84. 2 ln |x � 1| + 3 ln |x � 2| � 1
x�1
+ C;
85. 30
343
ln�
�
�
x�5
x+2
�
�
�
+ 151�19x
49(x+2)(x�5)
+ C; 86. x + 2 ln |x � 1| � ln |x + 1| + C; 87. 1
2
x
2 � 24 ln |x � 2| + 88x�139
(x�2)
2
+ C;
88. � 1
x
2�3x+2
+ C; 89. 2 ln�
x
2 + 4�
� 2 ln |x| + 1
2
arctan x
2
+ C; 90. 2 ln |x| + 1
x
+ 3 ln |x + 2| + C;
91. 3 ln |x � 2| � ln |x + 3| + ln |2x � 1| + C; 92. 5
162
ln�
9x2 + 3x + 1�
� 2
81
ln |3x � 1| + 5
p3
27
arctanp
3
3
(6x + 1) + C;
93. 2 ln |x| � 3
4
ln |x � 1| � 5
4
ln |x + 1| + 1
2
x�4
x
2�1
+ C; 94. ln |tan x + 1| + 2
p3
3
arctan⇣p
3
3
(2 tan x � 1)⌘
+ C;
95. ln�
�
�
x
3
(x+1)
2
�
�
�
+ 8
x+1
+ C; 96. ln |x| + 1
4
ln
�
�
�
�
(2x+1)
3
2x�1
�
�
�
�
+ C; 97. 2 ln |x + 2| � arctan (x + 1) + C; 98. ln�
�
�
x+3p2x+1
�
�
�
+ C;
99. arctan (x + 1) + x
x
2
+2x+2
� 1
2x
2
+4x+4
+ C; 100. 1
52
ln |x � 3| � 1
20
ln |x � 1| + 7
130
arctan (x + 2) + 1
65
ln�
x
2 + 4x + 5�
+ C;
101. ln
�
�
�
�
(2x�1)
2
x+5
�
�
�
�
+ C; 102. � 3x+1
x
2
+ ln�
�
�
2x+5
x
�
�
�
+ C; 103. 2 ln |x| + ln |x � 4| + 1
x�4
+ C; 104. 1
x
+ 3 ln |x � 1| + C;
105. 1
3x
3
+ ln |2x � 1| + C; 106. 2 ln |x| � 1
x+3
+ C; 107. 2 ln |t| + ln�
�
�
t�2
t+1
�
�
�
+ C; 108. arctan x + ln |x � 1| + C;
109. 2 ln |x| � 3 ln |x � 3| � 4 ln |x + 3| + C; 110. 2x � ln�
(ex + 1)2 + e
x + 2�
� 2
p3
3
arctan⇣
2e
x
+3p3
⌘
+ C;
111. 4
3
ln |x � 1| � 3
2
ln |x| + 7
6
ln |x + 2| + C; 112. 1
5
arctan x � 2
5
ln |x + 2| + 1
5
ln�
x
2 + 1�
+ C;
Última actualizacón: Julio 2013 Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com
Cálculo integral - Guía 11. Método de integración: Descomposición en fracciones simples 347
113. 2 ln |x| � 1
2
arctan x � ln�
x
2 + 1�
� x
2x
2
+2
+ C; 114. 1
ln 2
⇣
2
�x
4
� 5x
16
ln 2 + 5
16
ln |2x � 4|⌘
+ C; 115. 1
2
ln�
x
2 + 2�
+ C;
116. 1
3
ln |ex � 1| + 5
3
ln (ex + 2) + C; 117. 1
2
ln |x + 2| + 3 arctan (x + 1) + C;
Bibliografía
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
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