Post on 29-Mar-2018
COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.
Galileo Galilei
MATEMATICAS
GRADO SEGUNDO
2012
MATEMATICAS – Matemáticas 2 2
PGF03-R03
INTRODUCCIÓN
La adquisición de los conocimientos matemáticos va de la mano al desarrollo del
pensamiento, comprendiendo algunos conceptos sobre conjuntos, números, operaciones
matemáticas, entre otros. Estos contenidos estimulan el desarrollo de capacidades,
habilidades y destrezas en los estudiantes, como su mejor desempeño en otras áreas de
conocimiento.
Despertar la curiosidad por las Matemáticas, el interés y el esfuerzo por entenderlas son
los objetivos fundamentales; descubrir las posibilidades de la propia capacidad para
entender, razonar y aplicar correctamente los conocimientos adquiridos, son acciones que,
convertidas en hábito, facilitarán la capacidad de los niños y las niñas para enfrentarse a
la detección y resolución de problemas en los distintos ámbitos en los que habrá de
desenvolverse.
El aprendizaje de nuevos conceptos se apoya siempre en el repaso de lo aprendido con
anterioridad, por medio de actividades que utilicen la comprensión de los conceptos
espacio-temporales y la formulación de problemas en forma clara y precisa, con una
comprensión lectora acorde a su edad, estimulando el deseo de investigación y
motivándolo a la compresión de los conceptos y sus relaciones. Estos contenidos estimulan
el desarrollo de capacidades, habilidades y destrezas en los estudiantes, como su mejor
desempeño en otras áreas de conocimiento.
COMITÉ DE MATEMÁTICAS
MATEMATICAS – Matemáticas 2 3
PGF03-R03
Tabla de contenido
UNIDAD N° 1 ................................................................................................................................................................................................ 5
LOS CONJUNTOS Y SUS CARACTERÍSTICAS ........................................................................................................................ 5
LECTURA AFECTIVA ................................................................................................................................................................................. 6
DETERMINACION DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 7
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS.......................................................................................................................................... 12
PERTENENCIA DE UN CONJUNTO ............................................................................................................................................. 14
UNION ENTRE CONJUNTOS ........................................................................................................................................................... 18
INTERSECCION ENTRE CONJUNTOS. ................................................................................................................................... 21
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES .............................................................................................................. 25
NÚMEROS NATURALES HASTA DE CINCO CIFRAS ................................................................................................. 30
NÚMEROS PARES E IMPARES ...................................................................................................................................................... 35
UNIDAD Nº 2 .............................................................................................................................................................................................. 44
VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS, ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y PROPIEDADES .......... 44
LECTURA AFECTIVA .............................................................................................................................................................................. 45
VALOR POSICIONAL, LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS HASTA DE CENTENAS DE
MIL ..................................................................................................................................................................................................................... 47
LECTURA, ESCRITURA DE NÚMEROS HASTAS CENTENA DE MIL ................................................................. 55
ORDEN Y COMPARACIÓN DE NÚMEROS HASTA CENTENA DE MIL ............................................................ 62
ADICION Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS HASTA CENTENA DE MIL ................................................... 66
PROBLEMAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN .................................................................................................................... 74
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR ................................................................................................................................................. 79
MATEMATICAS – Matemáticas 2 4
PGF03-R03
LA TABLA DEL TRES ........................................................................................................................................................................ 82
LA TABLA DEL CUATRO ................................................................................................................................................................. 88
LA TABLA DEL CINCO ..................................................................................................................................................................... 93
LA TABLA DEL SEIS .......................................................................................................................................................................... 96
LA TABLA DEL SIETE ..................................................................................................................................................................... 104
LA TABLA DEL OCHO. ..................................................................................................................................................................... 107
TABLA DEL NUEVE ........................................................................................................................................................................... 111
UNIDAD Nº 3 ............................................................................................................................................................................................. 121
LA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES. ................................................................................................................ 121
LECTURA AFECTIVA ............................................................................................................................................................................ 122
MIS PRIMERAS MULTIPLICACIONES ............................................................................................................................. 125
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO ..................................................................................................................................................... 132
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN ........................................................................................................................ 138
PROPIEDAD CONMUTATIVA:................................................................................................................................................ 138
PROPIEDAD ASOCIATIVA: ....................................................................................................................................................... 138
MULTIPLICACIONES POR 10, 20,30 … ........................................................................................................................... 143
MULTIPLICACIÓN POR DOS CIFRAS .................................................................................................................................. 146
MULTIPLICACIONES POR TRES CIFRAS ......................................................................................................................... 150
UNIDAD Nº 4 ............................................................................................................................................................................................ 156
LA DIVISIÓN ........................................................................................................................................................................................... 156
LECTURA AFECTIVA ............................................................................................................................................................................ 157
RELACIÓN ENTRE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ............................................................................................. 159
¿QUÉ ES DIVIDIR?................................................................................................................................................................................ 163
TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN ..................................................................................................................................................... 167
DIVISIONES EXACTAS E INEXACTAS ................................................................................................................................... 172
DIVISIONES POR UNA CIFRA CON PRUEBA HASTA CENTENAS DE MIL............................................. 177
MATEMATICAS – Matemáticas 2 5
PGF03-R03
UNIDAD N° 1
LOS CONJUNTOS Y SUS CARACTERÍSTICAS
ROPOSITO: Diferenciar las características de los conjuntos, sus operaciones y sus
relaciones, para solucionar diferentes situaciones que se presentan en un contexto
determinado.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 6
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
ENSALADA DE FRUTAS
Hoy en día uno de los postres que más viene siendo utilizado por las familias
colombianas es: la ensalada de frutas. Todo el mundo piensa que es muy fácil de
preparar, pero hay que saber bien qué frutas quedan más ricas
combinadas. Esta es una receta que es muy sencilla de preparar, y es
totalmente sana y nutritiva, ya que es toda a base de frutas.
Puede servirse a la hora de preparar un postre que no sea muy
costoso ni difícil de elaborar. Además, una gran ventaja que tiene este
postre, es la posibilidad de agregar la fruta que sea de nuestro
agrado, además de hacer la mezcla de más increíble que podamos ver.
Por eso, podremos utilizar mucho nuestra imaginación.
Ingredientes
1 banano 1
mango
1 tajada de papaya
1 tajada de piña
1 manzana verde
1 manzana roja
Fresas y uvas
2 cucharadas de crema de leche y 2 cucharadas de azúcar
Preparación
Corta las frutas de manera decorativa y agradable.
Ten en cuenta los colores y preséntelos en forma agradable.
Agrega la crema de leche y el azúcar
Si deseas, añade las almendras y miel de abejas.
Dibuja el conjunto de las frutas que necesitarás para realizar una deliciosa ensalada de
frutas y dibuja el conjunto de los materiales que necesitas utilizar en tu cocina para
prepararla como: taza, cuchillo, tabla
MATEMATICAS – Matemáticas 2 7
PGF03-R03
DETERMINACION DE CONJUNTOS
La semana pasada don Nicolás surtió su tienda.
Cuando llegaron los productos los clasificó y los
acomodó en el estante correspondiente.
Para clasificar los artículos don Pedro determinó
varios conjuntos.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 8
PGF03-R03
Para clasificar los artículos don Pedro determinó varios conjuntos.
Por ejemplo, con los cuadernos, los lápices, los borradores y las hojas, formó el conjunto
productos de papelería.
P = {productos de papelería}
P = {cuadernos, lápices, borradores, hojas}
Usa líneas para determinar tres conjuntos diferentes. Escribe la
característica de cada conjunto formado.
Nombra cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 9
PGF03-R03
a. D = {cantantes colombianos}
D = {_________________________________________}
b. E = {meses del año}
E = {_______________________________________ }
Determina la característica de cada conjunto.
a. K = {martillo, serrucho, alicate}
K = {___________________________________________}
b. L = {cocina, sala, comedor, cuarto, baño}
L = {___________________________________________}
2. Representa con diagrama de Venn los siguientes conjuntos:
a. A= {los días de la semana}
b. B= {vocales de la palabra murciélago}
c. C= {colores primarios}
d. D= {vocales}
e. E= {instrumentos musicales}
MATEMATICAS – Matemáticas 2 10
PGF03-R03
1. Los siguientes conjuntos están dados por comprensión; determínalos por extensión:
a. A= {países que pertenecen al continente Americano}
_________________________________________________________________
b. B= {letras del alfabeto que van después de l y antes de w}
_________________________________________________________________
c. C= {los números pares mayores que 11 y menores que 20}
_________________________________________________________________
d. D= {asignaturas que cursas en el colegio}
_________________________________________________________________
e. E= {reinos de la naturaleza}
__________________________________________________________________
f. F= {meses del año que tienen 31 días}
__________________________________________________________________
g. G= {planetas del sistema solar}
__________________________________________________________________
2. Escribe el nombre del conjunto que puede contener los siguientes elementos:
a. suma, resta, multiplicación y división.
___________________________________________________________________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 11
PGF03-R03
b. teléfono, televisor, equipo de sonido, DVD.
___________________________________________________________________
c. guayos, medias, canilleras, guantes, uniforme.
___________________________________________________________________
d. manzana, naranja, banano, pera, granadilla, melón.
_______________________________________________________________________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 12
PGF03-R03
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS
La abuelita de Mercedes preparó una deliciosa ensalada de frutas. Para prepararla,
ella utilizó papaya, piña, naranja, banano y manzana.
Observemos el conjunto de frutas que utiliza la abuelita de Mercedes, representado en un
diagrama y entre llaves.
F = {papaya, piña, naranja, banano, manzana}
Para representar conjuntos se dibujan o se
nombran todos sus elementos dentro de una
curva cerrada, conocida con el nombre de
diagrama de Venn, o dentro de los signos { },
conocidos como llaves.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 13
PGF03-R03
1. Con los nombres de los siguientes animales, representa los conjuntos indicados, en
diagramas de Venn. (Dibújalos o escríbelos)
G = {animales domésticos} F = {animales salvajes}
MATEMATICAS – Matemáticas 2 14
PGF03-R03
PERTENENCIA DE UN CONJUNTO
En el Colegio Franciscano Agustín Gemelli hay izada de bandera una vez cada dos meses,
todos los estudiantes del colegio le rinden homenaje a las
banderas de Colombia y del Colegio.
Observemos con atención y veamos algunas de las relaciones
que pueden establecerse entre los colores de cada bandera y los siguientes conjuntos:
A = {colores de la bandera de Colombia} B = {colores de la bandera del colegio}
A = {amarillo, azul, rojo} B = {azul, amarillo}
Ahora representa la bandera de nuestro país y de nuestro colegio
El color amarillo pertenece al conjunto A, o también A
El color rojo no pertenece al conjunto B, o también B
MATEMATICAS – Matemáticas 2 15
PGF03-R03
Un elemento pertenece a un conjunto si posee la característica que determina a ese
conjunto. Para expresar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el signo , que
se lee pertenecea. Cuando un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el signo , que
se lee no pertenece a.
1. Observa los elementos de los conjuntos D y E.
2. Completa las expresiones. Utiliza los signos pertenece a ( ) o no pertenece a ( ),
según corresponda.
Arpa_________D Violín________ E Violín_____ D
Flauta________E Flauta________D Saxofón____ E
Saxofón______D Guitarra______ E Guitarra ___ D
Trompeta____ E Arpa_________E Trompeta___D
MATEMATICAS – Matemáticas 2 16
PGF03-R03
1. Observa los conjuntos, luego escribe si pertenece E o no pertenece E
____ S ____ R
____ S ____ C
____ C ____ R
2. Completa los elementos de cada conjunto
a)
El conjunto de los días de la semana
b)
El conjunto de las estaciones del año
C
S R
MATEMATICAS – Matemáticas 2 17
PGF03-R03
c) Los números impares menores de 11
d)
Los números pares mayor que 10 y menor que
20
e)
Los números primos menores de 15
3. Escribe V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( )
b) y { o, p, q, x } ( )
c) x { o, p, q, y } ( )
d) Perú { países de Europa } ( )
e) Amazonas { ríos de América } ( )
MATEMATICAS – Matemáticas 2 18
PGF03-R03
UNION ENTRE CONJUNTOS
Para establecer el conjunto unión entre dos o más conjuntos, se
escriben entre llaves todos los elementos de los conjuntos, sin
repetir aquellos que son comunes o están escritos varias veces.
Observemos el conjunto unión entre los conjuntos:
A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5
Estaría compuesto por
A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Representados gráficamente por medio de diagramas de Venn (curvas cerradas), se han
rayado todas las partes en las que se encuentran los elementos que conforman A B.
Observa que el número 3 está
tanto en A como en B, pero
en el conjunto solución A B
se escribe una sola vez.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 19
PGF03-R03
Observa que los elementos
comunes a C y a D, en este
caso d y e, se colocan en la
parte (común) donde se
cruzan ambos conjuntos.
Observa los elementos de cada conjunto y encuentra la
unión entre conjuntos:C = {a, b, c, d, e} B = {d, e, f, g, h}
Calculamos C D:_________________________________
Gráficamente se representaría así:
4
5
1
3
2
Observa que el número 3
se colocó en la parte
donde se cruzan los dos
conjuntos; es decir, la
partecomún a ambos.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 20
PGF03-R03
1. De forma individual, escribe los elementos que desees en cada uno de los siguientes
conjuntos y calcula E F. Realiza el diagrama de Venn correspondiente
E = {_________________________}
F = {_________________________}
E F = {______________________}
2. Teniendo en cuenta los siguientes conjuntos realiza en tu cuaderno cada operación y
represéntala en diagramas de Venn.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 21
PGF03-R03
INTERSECCION ENTRE CONJUNTOS.
La intersección entre dos caminos es el punto de
encuentro de ellos; de igual forma, la
intersección entre dos o más conjuntos es el
punto de encuentro de ellos. Dicho punto está
formado por el o los elementos que son comunes a los
conjuntos.
Así, en los conjuntos:
A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}, el elemento común a ambos conjuntos es el número 3 (que
está en A y en B); por tanto, “A intersección B”:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 22
PGF03-R03
Hola, soy el oso... A continuación te nombraré algunos de los animales que me acompañan
en la selva. Escribe en cada conjunto el nombre de tres animales y realiza las
intersecciones entre conjuntos.
A = {Animales Salvajes}
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
B = {Animales domésticos}
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Como el conjunto solución A B está conformado sólo por el
número 3, ha de rayarse únicamente la parte del diagrama que
corresponde a ese número.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 23
PGF03-R03
C = {Animales Cuadrúpedos}
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
D = {Reptiles}
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
E = {Aves}
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2. Representa en diagramas de Venn, las siguientes intersecciones entre conjuntos.
A E B D B E B C
3. Construye conjuntos en plastilina y realiza operaciones entre ellos.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 24
PGF03-R03
Relaciona con una línea la representación gráfica de cada operación:
g
u
z
a
w
X
y
h
i d
g
u
j
k
mm
e
i
i
o
u
u
b
c
d
a
e
B = {a, e, i, o, u}
C = {a, b, c, d, e}
B C
D = {d, e, g, h, i}
E = {e, i, j, k, m}
D E
F = {g, u, w, x, y}
G = {w, x, y, z, a}
F G
MATEMATICAS – Matemáticas 2 25
PGF03-R03
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
N = Conjunto de los Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar,
lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número infinito de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene
restando uno (-1).
3.458 => 50 Unidades
2.864 => 8 Centenas = 800 Unidades
5.941 => 5 Unidades de Mil = 5000
Unidades
Ahora completemos el número de unidades que representa la posición que se encuentra
resaltada.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 26
PGF03-R03
9.567 => __________________________________
1.376 =>___________________________________
4.385 => __________________________________
2.324 => __________________________________
7.643 =>___________________________________
1. Ubica en el ábaco el valor posicional de los siguientes números:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 27
PGF03-R03
2. Ubica en la siguiente tabla el valor posicional de las siguientes cifras:
Nº D de mil U de mil C D U
21.208 1 2 0 8
67.650
91.750
18.324
MATEMATICAS – Matemáticas 2 28
PGF03-R03
57.289
23.1965
91.376
34.265
11.764
3.Contemos de 10.000 en10.000 hasta 90.000:
10.0000
MATEMATICAS – Matemáticas 2 29
PGF03-R03
1. Acomoda los números 1,2,3,4,5 en la figura de manera que los que queden en la
columna sumen 8 y que los que queden en el renglón, también sumen 8. ¿Cuál es el número
que va en el cuadrito del centro?
2. Construye números utilizando el ábaco y ordénalos de mayor a menor.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 30
PGF03-R03
NÚMEROS NATURALES HASTA DE CINCO CIFRAS
Un número de cuatro cifras se puede descomponer en unidades de mil, centenas, decenas y
unidades, mientras que un número de cinco cifras tiene otro dígito más para ubicarlo en la
casilla de las decenas de mil. Ejemplos
3.679 = 3.000 + 600 + 70 + 9
3.679 = 3UM + 6C + 7D + 9U
42.867 = 40.000 + 2.000 + 800 + 60 + 7
42.867 = 4DM + 2UM + 8C + 6D + 7U
Une con flechas el orden de unidades que ocupa la cifra 6 en cada uno de estos números:
436.817 463.817 438.617 438.167 438.176 643.817
U D C UM DM CM
2.- ¿Cuántas unidades vale la cifra 8 en cada uno de estos números?
810.675: _________________ unidades 703.819: _________________ unidades
581.416: _________________ unidades 214.280: _________________ unidades
248.125: _________________ unidades 700.048: _________________ unidades
MATEMATICAS – Matemáticas 2 31
PGF03-R03
1.Escribe con cifras los siguientes cifras :
Cuarenta y dos mil quinientos cuarenta y cuatro ………………………………
Ochenta y seis mil doscientos ocho …………………………………………………..
Siete mil novecientos cuarenta y dos ……………………………..
2. Descompone los siguientes números. Fíjate en el ejemplo:
46.912 = 40.000 + 6.000 + 900 + 10 + 2
32.648 = ..............................................................................................................................
62.496 =...................................................................................................................................
83.670 = .................................................................................................................................
31.456= .................................................................................................................................
68.654 = .................................................................................................................................
3.Escribe diez números que estén comprendidos entre 5.000 y 6.000 pero que estén más
próximos a 6.000.
5.346 , ………………… , ……………… , ………………. , ………………. ,
…………………,……….. , ………………… , ……………… , ……………….. ,
………………. , …………………
3. Escribe el número anterior, del medio ó siguiente:
ANTERIOR EN MEDIO SIGUIENTE
89.888 89.890
69.766 69.767
55.554
MATEMATICAS – Matemáticas 2 32
PGF03-R03
4.999 5.001
99.000
Completa el siguiente gráfico: Lee los precios de los artículos que observas en el almacén y
escribe los precios en números y en letras:
ALMACÉN
NÚMERO SE ESCRIBE
MATEMATICAS – Matemáticas 2 33
PGF03-R03
Selección la respuesta correcta
1.El número 45.789 se escribe en notación desarrollada
a) 4*10.000 + 5*1000 + 7*100 + 8*10 + 9*1
b) 5*1000 + 4*10000 + 7*100 +8*10 + 9*1
c) 45*100 + 78*10 + 9*1
d) Ninguna anterior
2. La expresión 8UM + 3DM + 7CM + 5C + 4U corresponde a
a) 83.754
b) 738.054
c) 738.504
d) 830.547
3. Si tenemos los números 607.376 y 607.736 el símbolo que debe ir entre ellos es:
a) >
b) <
c) =
4. El símbolo < debe ir entre …
a) 4.509.309 y 4.905.309
b) 4.389.210 y 4.138.210
c) 6.809.276 y 6.809.176
d) 8.098.387 y 8.980.287
5 A la serie numérica 3.098 – 3.198 – 3.298 – 3.398 - _______ le falta el número
a) 3.389
b) 3.398
c) 3.498
d) 3.598
6.Catalina compró 2 Centenas de hojas de oficio, Rosita compró 200 hojas de oficio y
Marcela compró 20 Decenas de hojas de oficio. ¿Cuál de las tres compró más hojas?
A) Catalina
B) Rosita
C) Marcela
D) Las tres compraron lo mismo
MATEMATICAS – Matemáticas 2 34
PGF03-R03
7. De los siguientes conjuntos de números, elige cuál de ellos está ordenado de
MENOR a MAYOR
A) {7.850 , 7.580 , 7.085}
B) {5.679 , 5.796 , 5.697}
C) {6.490 , 6.940 , 6.980}
D) {8.155 , 8.107 , 8.109}
8.Resuelve la adivinanza: Soy un número impar de 4 dígitos, soy mayor que 5.000.
La cifra de mis centenas es el doble de las unidades. ¿Quién soy?
A)7.442
B)5.235
C)5.261
D)4.683
9. En una colecta de la Cruz Roja por los damnificados del invierno se reunió la siguiente
cantidad de billetes y monedas:6 billete de $ 10.000,3 billetes de $ 1.000,4 monedas de $
100, 8 monedas de $ 50 .¿Cuánto dinero se reunió en la colecta?
A) $ 64.800
B) $ 63.480
C) $ 63.440
D) $ 64.308
MATEMATICAS – Matemáticas 2 35
PGF03-R03
NÚMEROS PARES E IMPARES
Los números pares son todos
los números que terminan
en:
0,2,4,6,8 y los números
impares son los que terminan
en 1,3,5,7,y 9.
0, 2, 4, 6 ó 8.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 36
PGF03-R03
1. Escriba números pares entre mil y cien mil:
Mil quinientos ocho 1.508
Dos mil trescientos cuatro
3.576
Cuatro mil setecientos treinta y dos
5. 134
Seis mil novecientos cuarenta
MATEMATICAS – Matemáticas 2 37
PGF03-R03
2. Escribo números impares entre mil y cien mil:
Mil quinientos uno 1.501
Dos mil trescientos tres
43.575
Cuatro mil setecientos treinta y siete
5. 209
67.981
Seis mil novecientos cuarenta nueve
35.655
235.893
234.981
123.765
987.431
431.985
657.999
321.451
345.095
MATEMATICAS – Matemáticas 2 38
PGF03-R03
Coloreo de verde los números pares y de amarillo los números impares que hay en la
tabla:
1.001 1.200 1.303 1.402 1.510 1.604 1.792 1.857 1.901 2.005
2.002 2.245 2.306 2.491 2.598 2.697 2.741 2.842 2.335 2.906
3.003 3.204 3.305 3.402 3.510 3.604 3.793 3.856 3.906 3.005
4.004 4.201 4.307 4.402 4.510 4.604 4.792 4.857 4.907 4.001
5.005 5.202 5.308 5.404 5.516 5.607 5.798 5.859 5.902 5.006
6.009 6.203 6.309 6.401 6.513 6.602 6.799 6.855 6.904 6.008
7.001 7.202 7.303 8.404 8.515 7.606 7.797 7.858 7.909 7.000
8.000 8.209 8.308 8.407 8.516 8.605 8.794 8.853 8.902 8.001
9.002 9.203 9.304 9.405 9.516 9.607 9.798 9.859 9.910 9.012
1.231 1.340 1.563 1.782 1.900 1.984 1.872 1.657 1.941 2.005
Colorea de un color los números pares y de otro color los números impares.
434 8431 90308 2677
321 3416 68806 5345
MATEMATICAS – Matemáticas 2 39
PGF03-R03
989 6886 83097 2256
220 6 031 84369 7123
656 6 020 32340 8890
466 1968 54902 4890
565 4907 98760 9076
LEE Y ANALIZA EL DIÁLOGO DE LA DOCENTE Y SUS ESTUDIANTES DE
CLASE, LUEGO RESPONDE LAS PREGUNTAS 1, 2 Y 3
DOCENTE: Si tengo dos conjuntos de números, ¿es posible que los conjuntos tengan
elementos en común? ¿Puede un elemento estar en ambos conjuntos?
Isabela: Si, por ejemplo 5 es un número de una sola cifra y un número impar
DOCENTE : ¡Muy bien! entonces hay elementos que pueden ser parte de dos conjuntos
al mismo tiempo y se pueden ubicar en diagramas de Venn
Simón Representa en diagramas de Venn los siguientes conjuntos:
1. Ayúdale a Simón con la representación del conjunto en diagramas de Venn.
A= { 3,4,5,6,7,8,9, } y el conjunto B {3, 5, 7, 9, 11,13}.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 40
PGF03-R03
2. Simón olvidó escribirle los nombres a los conjuntos, recuérdale como se nombran los
conjuntos:
A. Con letras minúsculas
B. Con las vocales
C. Con letras mayusculas
D. Con los números del 1 hasta el 100.
3. El conjunto A escrito por comprensión sería:
A. Números menores e iguales a 3 y mayores o iguales a 9
B. A= {3, 4, 5, 6, 7, 8,9,}
C. A= {3, 4, 5, 6, 7, 8,9,}
D. Números pares menores e iguales a 3 y mayores o iguales a 9
LEE ATENTAMENTE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: Para identificar los
elementos que pertenecen a un conjunto se escribe el signo y para escribir que uno o
varios elementos no pertenece se utiliza el signo . Las operaciones entre conjuntos son:
unión e intersección; la unión entre conjuntos hace referencia al conjunto de los elementos
que pertenece al conjunto A y al conjunto B; la intersección entre conjuntos hace
referencia a los elementos que pertenecen al mismo tiempo al conjunto A o al conjunto B.
4. Teniendo en cuenta los conjuntos A = {1, 3, 4, 5, 6} B = {3, 6} C = { 7, 8, 10 },La
unión de los A y C conjuntos representada en llaves, escrita correctamente es:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 41
PGF03-R03
A. AUC= {1, 3, 4, 5,6}
B. AUC= {1, 3, 4, 5, 6, 7,8}
C. AUC= {1, 3, 4, 5, 6,7}
D. AUC= {1, 3, 4, 5,6, 7, 8,10}
5. Los elementos que pertenecen a la intersección de A B son:
A. 3
B. 3,6, 9
C. 4,5, 6
D. 3,6
6. Una de las siguientes afirmaciones es correcta:
A. El elemento 1 pertenece al conjunto C
B. El elemento 3 y 6 pertenece al conjunto A Y B
C. El elemento 10 pertenece al conjunto B
D. . El elemento 7 pertenece al conjunto A
LEE LA SIGUIENTE INFORMACIÓN: ANTES DE QUE SURGIERAN LOS
NÚMEROS EL SER HUMANO SE LAS INGENIÓ PARA CONTAR,
UTILIZANDO PARA ELLO OBJETOS COMO PIEDRAS, PALITOS DE
MADERA, NUDOS DE CUERDAS, O SIMPLEMENTE LOS DEDOS; LUEGO
APARECIERON LOS NÚMEROS NATURALES QUE SON LOS NÚMEROS
FORMADOS POR 0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 QUE SE USAN PARA CONTAR LOS
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO, RECIBEN ESE NOMBRE PORQUE
FUERON LOS PRIMEROS QUE UTILIZÓ EL SER HUMANO PARA CONTAR
OBJETOS.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 42
PGF03-R03
AHORA RESPONDE LAS PREGUNTAS 7,8,9,10
7. Nuestro sistema de numeración es posicional, ahora en el ábaco puedes encontrar el
valor de posición de los números, así que encuentra el valor posicional de 9.976, según el
orden correspondiente:
A. 8 unidades de mil, 5 centenas, 3 decenas, 2 unidades
B. 9 unidades de mil, 9 centenas, 7 decenas, 6 unidades.
C. 6 unidades de mil, 4 centenas, 2 decenas, 6 unidades.
D. 9 unidades de mil, 7 centenas, 9 decenas, 6 unidades
8. El número 361. 042 escrito en letras correctamente es:
A. Trescientos un mil cuarenta y dos
B. Trescientos sesenta y dos mil cuarenta y dos
C. Trescientos sesenta mil cuarenta y dos
D. Trescientos sesenta y un mil cuarenta y dos
En una fábrica de bombones están entregando los pedidos hechos para la celebración del
día del niño en el mes de abril, el orden de producción por días es:
DÍA
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
NÚMERO DE
BOMBONES
PRODUCIDOS
2.887
4.694
5.129
4.128
1.578
MATEMATICAS – Matemáticas 2 43
PGF03-R03
9. El orden de producción de mayor a menor según los días es:
A. lunes, martes, miércoles, jueves, viernes
B. miércoles, martes, jueves, lunes, viernes.
C. martes, miércoles, jueves, viernes, lunes.
D. miércoles, jueves, lunes, viernes, martes
MENTEFACTO
MATEMATICAS – Matemáticas 2 44
PGF03-R03
UNIDAD Nº 2
VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS, ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y
PROPIEDADES
PROPOSITO: Utilizar el cálculo mental y escrito en la solución de adiciones y
sustracciones en el conjunto de los números naturales, aplicando los algoritmos
correctos y sus propiedades.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 45
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
Había una vez un señor que todos los días se paseaba en una lujosa
carroza por las calles la ciudad, seguido de un gran séquito. Vestía
un traje de seda natural, zapatos de cocodrilo y chistera adornada
con cintas de plata y oro. __ ¿Quién es este señor? –preguntó un niño
a su padre. __ Es Don Dinero. Tiene tanto dinero que podría hacer un
río de monedas y darle la vuelta a la ciudad. __ ¿Y en qué trabaja?
__ En nada, él sólo se dedica a ponerle precio a las cosas. __
¿Ponerle precio a las cosas, padre? __ Sí. Todas las cosas, dice Don
Dinero, tienen un precio y como él tiene tanto dinero, compra lo que le
apetece. Un día le dijo Don Dinero a uno de sus sirvientes: __
Vayamos al campo para disfrutar de esta maravillosa mañana de
primavera. Marcharon hacia una campiña que no distaba de allí
más de dos leguas y cuando llegaron, el campo estaba silencioso a
pesar de los muchos ruiseñores y alondras que se veían parados en
los árboles. __ ¡Cantad, avecillas! ¡Cantad! ¿Qué os pasa? __ Pero
los ruiseñores y alondras permanecían en silencio. __ Tengo dinero
suficiente para llenar de granos de trigo y maíz este bosque y así
podríais comer hasta hartaros. Si escucho uno solo de vuestros trinos,
os prometo que os daré cuanto alimento queráis –les dijo Don Dinero.
Pero las aves permanecían en silencio. Entonces se encolerizó mucho
y se marchó camino de una aldea que había por aquellos contornos.
Cuando llegó la comitiva a aquella aldea, salieron a recibirles todos
los vecinos y Don Dinero, en un alarde de generosidad, ordenó a sus
criados que arrojaran al aire cientos de monedas para que las
recogieran los aldeanos. Hombres, mujeres y niños se arremolinaron
MATEMATICAS – Matemáticas 2 46
PGF03-R03
en torno a los criados, y recogieron las monedas
que habían arrojado; después Don Dinero pasó a
una casa de la aldea en la que vivía un
matrimonio con su hijo de siete años. Después de
saludar a sus padres, observó que el niño
permanecía en silencio y muy serio. __ Sonríe al
señor, Pedrito –le dijo su madre. Pero el niño
continuaba callado y serio. __ ¿No sabes, niño,
que yo puedo comprar la aldea entera y convertirme en el dueño de tu
casa? –le dijo con voz amenazante Don Dinero. Pero el niño, no sólo
no sonrió, sino que se fue asustado corriendo junto a su madre. __ Yo
creo que le ha dado miedo –dijo la madre para disculparlo- los
zapatos que lleva usted de cocodrilo. __ ¡Ah! –reparó Don Dinero-
.No sé, no sé…Podría comprarte, Pedrito, cien juguetes de los más
lindos para que juegues con ellos. Pero el niño continuaba callado y
serio. Decepcionado Don Dinero, salió de la casa con su comitiva y
ya de regreso a la ciudad, por el camino, iba pensando para sí: “Hay
cosas que no se pueden comprar con dinero: el trino de los pájaros y la sonrisa de un
niño”. Fin
.
Escribe sobre la importancia del uso de las matemáticas en la vida cotidiana
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MATEMATICAS – Matemáticas 2 47
PGF03-R03
VALOR POSICIONAL, LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS HASTA
DE CENTENAS DE MIL
Una CENTENA DE MIL ES igual a 10
DECENAS DE MIL:
Un número de SEIS o cifras se puede
descomponer en centenas de mil, decenas de mil,
unidades de mil, centenas y decenas y unidades.
Observa:
452.638: 4 CM +5DM + 2UM + 6C + 3D +
8U
1º Para escribirlos se separan los
miles
2º Para leer, las cifras que forman
los miles como si no hubieranmás
cifras y agregas la palabra mil y
continúas leyendo elresto de las cifras
.Ejemplo:
524 787 Quinientos veinticuatro mil
setecientos ochenta y siete.
704.186. Setecientos cuatro mil ciento
ochenta y seis
MATEMATICAS – Matemáticas 2 48
PGF03-R03
1. Utiliza el ábaco y con ayuda de tu profesor (A ) observa, explica y forma números
hasta centena de mil, teniendo en cuenta la ubicación posicional de cada número.
2. Ubica el punto a cada número y escribe su nombre. Sigue el ejemplo:
a.11.548 Once mil quinientos cuarenta y ocho.
b.216 987
_______________________________________________________________________
_________________________________________________________
c.987854________________________________________________________
________________________________________________________________
d.982.314_______________________________________________________
________________________________________________________________
e.123.890_______________________________________________________________
________________________________________________________
3.En la sopa de números encuentra los números: mil, mil diecisiete,
tres mil cuatrocientos, tres mil setecientos, cuatro mil cien, cuatro mil
dieciocho, cinco mil, cinco mil novecientos, seis mil treinta y seis, seis
mil quinientos, ocho mil novecientos cincuenta, nueve mil novecientos
cincuenta y nueve.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 49
PGF03-R03
1. Completa las series contando de uno en uno
567.980
230.156
234.567
345.876
MATEMATICAS – Matemáticas 2 50
PGF03-R03
2. Escribe la descomposición de cada número, siguiendo el ejemplo:
95.897 = 9 DM + 5 UM + 8 C + 9 C + 7 U
95.897 = 90.000+ 5.000+ 800+ 90 + 7
28.999
26.839
345.670
454.440
MATEMATICAS – Matemáticas 2 51
PGF03-R03
672.346 = ____ CM+ ____ DM+ ______+ UM + ____ C + ____ D + _____ U
672.346 =
_______________________________________________________________________
256.725 = ____ CM+ ____ DM+ ______+ UM + ____ C + ____ D + _____ U
456.725 =
_______________________________________________________________________
849.634 = ____ CM+ ____ DM+ ______+ UM + ____ C + ____ D + _____ U
849.634 =
_______________________________________________________________________
186.703= ____ CM+ ____ DM+ ______+ UM + ____ C + ____ D + _____ U
186.703=
________________________________________________________________________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 52
PGF03-R03
693.006 =____ CM+ ____ DM+ ______+ UM + ____ C + ____ D + _____ U
693.006=
__________________________________________________________________________
3. Une cada descomposición con el número que corresponda.
4.Selecciona la respuesta correcta en cada caso. Pamela quiere viajar y para ello cuenta
con $ 230.000. Si el pasaje en avión cuesta $ 125.300 y en alojamiento gastará $ 67.000,
¿cuánto le queda para su alimentación?
A) $ 37.700B) $ 38.300C) $ 47.700D) $ 48.30
546 000
634 000
608 000
435 000
603 000
584 000
600 000 + 3 000
6 CM 8 UM
6 UM 4 DM 5 CM
600 000 + 30 000 + 4 000
5 000 + 400 000 + 30 000
600 000 + 30 000 + 4 000
MATEMATICAS – Matemáticas 2 53
PGF03-R03
1. Escribe en letras como se lee cada número.
234.856______________________________________________________________
432.2814______________________________________________________________
342.699_______________________________________________________________
398.458_______________________________________________________________
2. Marca con una x la respuesta correcta
A. ¿cuál es el número que representa dos centenas de mil?
a. 20.0000 b. 30.000 c.30.000 d. 200.000
B. Encierra con un círculo el número anterior (antes de) 345. 434
a. 345 443 b. 345. 444 c. 345. 433 d. 345. 334
C. Encierra con un círculo el número posterior (después de) 731.259
a. 734. 321 b. 734. 313 c. 733.269 d. 731.260
D. Al número 688.635 se le hacen algunos cambios. Se pone un 5 en lugar del 3 de las
decenas, un 7 en lugar del 6 de las centenas, un 3 en vez del 8 de las unidades de mil y un
9 en vez del 6 de las centenas de mil. ¿Qué número se obtiene finalmente?
A. 983.356
B. 983.755
C. 938.557
D. 985.753
MATEMATICAS – Matemáticas 2 54
PGF03-R03
E. ¿Cuál de las siguientes descomposiciones en unidades corresponde al número 915.049?
A. 900.000 + 10.000 + 5.000 + 49
B. 900.000 + 10.000 + 5.000 + 40 + 9
C. 900.000 + 15.000 + 0 + 49
D. 900.000 + 15.000 + 49
F. Adivina el número: “Tiene seis cifras, la cifra de las centenas de mil es 9 y las demás
cifras descienden consecutivamente a partir de esta cifra”. ¿Cuál es el número?
A. 987.645 B. 987.654
C. 987.456 D. 987.564
3. Completa el número en cada caso.
NUMERO ANTERIOR NUMERO NUMERO SIGUIENTE
451.530
342.697
2433.365
124.569
985.231
456.120
347.340
658.154
139.214
MATEMATICAS – Matemáticas 2 55
PGF03-R03
LECTURA, ESCRITURA DE NÚMEROS HASTAS CENTENA DE MIL
Para leer y comparar números naturales, debemos tener en cuenta la posición que ocupa
cada cifra, ES DECIR LAS UNIDADES, LAS DECENAS, LAS CENTENAS, LAS
UNIDADES DE MIL, LAS DECENAS DEMIL Y LAS CENTENAS DE MIL.
1. Completa los cuadros respondiendo las siguientes preguntas:
a) Número anterior a 349.929 ___________________
b) El número que sigue de 562.216 ___________________
c) Número igual a 7.642 ___________________
d) El doble de 100.000 __________________
e) El triple de 3.000 ___________________
2. Escribo el número en la tabla y recuerdo. La posición de cada cifra indica la cantidad
de unidades.
NÚMERO CM DM UM C D U
6 886 6 8 8 6
454 902
254 739
898 345
921 983
MATEMATICAS – Matemáticas 2 56
PGF03-R03
1. Escriba en letras las siguientes cifras
a.361. 042 Trescientos sesenta y un mil cuarenta y dos
b.548.902 ____________________________________________________________
c.656.564 ______________________________________________________________
d.490.308 ________________________________________________________
e.310.4907__________________________________________________________
2. Construya el número que se forma en cada caso.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
___________________________________________________________
1UM 4C 9D 8DM 3U 6CM
4U 5DM 9C 8D 3UM
M
9UM 7D 2DM 3UE
stud
iant
es :
NIV
EL
DE
EDU
CAC
IÓN
MED
IA Y
CIC
LO
CO
MPL
EME
NTA
RIO
27
ENN
CUE
STA
S
4UC 5CM
Con el manejo de los números, puedo entender
e l mundo.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 57
PGF03-R03
3. Escriba el mayor y menor número posible:
________________________ ____________________________
________________________ ____________________________
4. Lee cada enunciado y completa la información
Un número impar mayor
que 143.350 y menor
que 143.400
un numero entre 60.200 y
60.300 que tenga 5d y 8
unidades
El numero siguiente a
679.999
Tres números diferentes
con las cifras
El número está entre
500.000 y 550.000,
tiene 6 unidades de mil y
termina en 888
El número que está entre
908.999 y 909.001
7 4 9
6 1 3
6 8
9 3 4
2 5 1
7 1 6
7 6 1
3 8 4
MATEMATICAS – Matemáticas 2 58
PGF03-R03
5. Organiza este desorden de libretas, escribiendo los números de las libretas de
menor a mayor en cada casilla:
6. ¿Quiénes son los vecinos de los lados?
Escribe en cada casa el número antes y después:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 59
PGF03-R03
1. Escribe el signo que corresponde en cada caso.
5.642 < 6.348 34.685 5468 456.987 >
345.532 235.068 789.098 < 456.974 2.648
MATEMATICAS – Matemáticas 2 60
PGF03-R03
2. Un amigo necesita de tu ayuda:
Mes Turistas
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Don Paco es dueño de un gran hotel cerca de la playa. Él escribe en cartelillos el número
de turistas que llegan cada mes. Aunque es muy cuidadoso, hoy sufrió un accidente.
Ayúdale a organizar su información.
Piensa y resuelve:
1. ¿En qué mes hubo más turistas? _________________
2. ¿En qué mes hubo menos turistas? ______________
Septiembre 2.350
Octubre 456.960 NOVIEMBRE 672.604
MATEMATICAS – Matemáticas 2 61
PGF03-R03
3. Ayuda a Don Paco a ordenar los número de mayor a menor
MATEMATICAS – Matemáticas 2 62
PGF03-R03
ORDEN Y COMPARACIÓN DE NÚMEROS HASTA CENTENA DE MIL
Para comparar números hasta de seis cifras, utilizamos los signos >< o = y observamos la posición que
ocupa cada cifra.
Lee lo que dicen los niños y luego responde.
¿Quién ordenó correctamente los números?
Ordena correctamente los números en tu cuaderno. Puedes ayudarte de una recta
numérica.
1. Colorea cada grupo de números
Yo ordene los números
de mayor a menor.
Yo ordene los números
de menor a mayor.
694 000, 378 000, 66 000, 249 000, 160 000 176 000, 467 000, 653 000, 749 000, 938 000
MATEMATICAS – Matemáticas 2 63
PGF03-R03
2.Forma el número menor y el número mayor con las siguientes cifras
Número menor ____________________ Número mayor ________________
3. Escribe a cada número el que cumpla con la condición dada.
83.756 > __________
63.904 < __________
45.647 = __________
32.678 < __________
53.309 > __________
435 000 354 000 340 000
534 000 405 000 305 000
400 000 304 000 350 000
Con azul los números
menores a 345 000.
Con rojo los números
mayores a 567 000.
576 000 506 000 607 000
507 000 657 000 756 000
560 000 565 000 765 000
MATEMATICAS – Matemáticas 2 64
PGF03-R03
Diego, Matías, Cristián y Lucas, participantes de una competencia de matemática, se
disputaban el primer lugar. La pregunta final fue la siguiente: “Escriban con los dígitos:
2, 4, 6, 7, 8, 9 el número mayor y el menor que se puedan formar, sin repetir ninguna
cifra”. Las respuestas fueron las siguientes:
1. De acuerdo a la tabla el primer lugar se lo llevó:
A. Diego
B. Matías
C. Cristian
D. Lucas
2. Con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (sin repetirlos) forma dos números, uno de cuatro
cifras y el otro de cinco cifras, de tal forma que la suma entre ellos sea la mayor posible.
¿Cuál es la suma mayor posible?
A. 9.768 + 54.321
B. 9.867 + 54.321
C. 9.786 + 54.321
D. 9.876 + 5
MATEMATICAS – Matemáticas 2 65
PGF03-R03
3.) La grúa que se muestra en la figura se utiliza para levantar bloques de concreto
usados en la construcción de los pilares de un puente. ¿Cuál bloque no podrá levantar la
grúa?
A.
B.
C.
D.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 66
PGF03-R03
ADICION Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS HASTA CENTENA DE MIL
Con ayuda de tu profesor ( a ), Resuelve el
siguiente problema y realiza la operación correcta
La fábrica de galletas produce 57.600 galletas en Abril y 28.400 en Mayo ¿Cuántas
galletas produce en los dos meses?
Para sumar y /o restar números hasta de
seis cifras es necesario ubicar las cifras de
acuerdo a su valor posicional; además éstas
operaciones se empiezan a realizar por las
unidades.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 67
PGF03-R03
1. Realiza las siguientes operaciones y encuentra el resultado en la sopa de números:
1.528 + 1.216=
3.421 – 1.411=
8.979 + 7.568=
9.587 – 7.464=
2. Realiza las siguientes sumas y restas:
3 5 5. 8 9 7 3 6 6. 4 1 2
+ 5 4 2. 7 5 2 + 5 2 5. 3 6 9
_________________ ____________________
7 8 5 3 1 4 6 8 0 9
2 0 1 0 8 7 6 4 3 9
4 5 6 7 8 9 0 7 5 9
2 3 4 5 6 7 8 9 3 9
2 3 4 6 7 8 9 0 2 9
1 3 4 5 6 7 4 9 1 9
5 6 7 8 9 0 4 9 2 9
1 6 5 4 7 9 7 9 7 9
7 8 9 0 9 7 2 4 5 9
4 3 1 1 2 3 4 5 6 9
MATEMATICAS – Matemáticas 2 68
PGF03-R03
9 8 8. 9 9 7 8 7 5. 0 0 9
- 4 2 9. 7 9 8 - 3 4 6. 5 0 1
____________________________ _____________________________
3. Realiza las siguientes sumas y restas en tu cuaderno.
674. 5 6 7 + 452. 5 3 9=
843. 8 4 5 – 7. 5 2 3=
678. 4 7 2 + 173. 2 9 4=
954. 9 7 6 – 346. 7 5 4=
4. Encuentra las cifras perdidas en cada caso y verifica cada resultado.
2. Realiza cada operación y selecciona la respuesta correcta.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 69
PGF03-R03
155.290
+ 342.531
a) 234.100
b) 548.543
c) 497.821
d) 345.060
959.575
- 878.869
a) 80.706
b) 412.456
c) 706.432
d) 500.876
412.489
+ 234.321
a) 647.810
b) 746.810
c) 646.810
d) 346.810
854.120
- 637.321
a) 216.799
b) 3541.90
c) 564.654
d) 216.544
3.A cada tipo de figura del tablero se le ha asociado un número, al
pie de las columnas y al final de los renglones está el resultado de la
suma. Encuentra el número que se le asoció a cada figura y las sumas
que faltan.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 70
PGF03-R03
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA ADICIÓN
Conmutativa, cuando se puede cambiar el orden de sus términos y el resultado no cambia. Ejemplos:
3 + 5 = 8 y 5 + 3 = 8 7 + 9 = 16 y 9+7 = 16
Asociativa, cuando se pueden agrupar sus términos de distintas maneras y el resultado no cambia.
Ejemplos: (100 + 250) + 300 = 100 + (250 + 300)
350 + 300 = 100 + 550
650 = 650
Modulativa, cuando al sumar un número con cero, el resultado es el mismo número.
Ejemplos: 2’000.000 + 0 = 2’000.000
7’567.983 + 0 = 7’567.983
1. Realiza cada operación e identifica la propiedad utilizada.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 71
PGF03-R03
2. Realiza e identifica que propiedad se aplicó:
* 42 + 23 = ______ * 23 + 42 = ____
* 51 +16 = _______ * 16 + 51 = ____
* 26 + 32 = _______ * 32 + 26 = ____
Se aplicó la propiedad: ___________________________________________
Resuelve y escribe que propiedad se usó:
* ( 8 + 4) + 3 * 8 + ( 4 + 3 )
↓↓↓↓
_____ + _____ _____ + _____
↓↓
_____ _____
MATEMATICAS – Matemáticas 2 72
PGF03-R03
Se usó la propiedad _______________________________________________
Resuelve e identifica la propiedad que se aplicó:
* 23 + 0 = ____ * 78 + 0 = _____
* 0 + 95 = ____ * 0 + 21 = _____
Se aplicó la propiedad _____________________________________________
1.Expresa de otra forma estas operaciones y que el resultado sea el mismo:
12 x 5 = 5 x 12
35 x 8 =
18 x 9 =
45 x 6 =
2. Un piso tiene 12 ventanas, cada ventana tiene 8 cristales y cada cristal cuesta $ 5.000 .
¿Cuánto cuestan todos los cristales del piso?
3. Comprueba en cada caso que el resultado es el mismo
(4 x 5) x 6 = 4 x (5 x 6)
(5 x 7) x 8 = 5 x (7 x 8)
MATEMATICAS – Matemáticas 2 73
PGF03-R03
20 x (4 x 10) = (20 x 4) x 10
8 x (9 x 20) = (8 x 9 ) x 20
15 (12 x 4) = (15 x 12) x 4
4.Calcula aplicando la propiedad distributiva:
12 x (10 + 8) =
60 x (20 + 30) =
32 x (9 + 2) =
9 x (40-15) =
MATEMATICAS – Matemáticas 2 74
PGF03-R03
PROBLEMAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Lee y resuelve los problemas y soluciona cada uno de ellos teniendo en cuenta los pasos
anteriores:
Pablo esta de cumpleaños por eso su papá le regalo $253.950, su mamá $511.760 y su
tía $41.535. ¿Con cuánto dinero quedo Pablo el día de su cumpleaños?
Para solucionar operaciones matemáticas debes tener en cuenta los siguientes aspectos:
Leer con atención los problemas, para identificar las palabras clave en cada uno. Identificar las operaciones que se deben realizar Realizar los procedimientos Escribir las respuestas
MATEMATICAS – Matemáticas 2 75
PGF03-R03
Andrea compro 223.450 perlas para hacer collares y vendió 132.254 ¿Con cuántos
collares quedo Andrea?
Lee cada enunciado y resuelve los problemas planteados en cada caso.
1. En una fábrica de juguetes, están entregando los pedidos hechos para la celebración del
día de los niños.
DÍA
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
NÚMERO DE
JUGUETES
234.987
455.649
872.129
563.456
324.125
Completa
El lunes entregaron____________ juguetes y el miércoles entregaron ___________
juguetes. ¿Cuántos juguetes entregaron en total en los dos días?
R//
MATEMATICAS – Matemáticas 2 76
PGF03-R03
El martes entregaron_____________ juguetes y el viernes entregaron ___________
juguetes. ¿Cuántos juguetes más entregaron el martes que el viernes?
R//
2. En una caja hay 542.456 bombones y se vendieron 185.872 bombones ¿Cuántos
bombones quedaron en total?
3. A don Pedro en su restaurante le han pagado unos almuerzos de la siguiente manera:
2 billetes de $1.000 2 billetes de $2.000 1 billete de $5.000
¿Cuánto dinero le pagaron a don Pedro en billetes de $1.000, de $2.000 y
de $5.000 respectivamente?
a. $6.000, $3.000 y $1.000 respectivamente.
b. $8.000, $3.000 y 10.000 respectivamente.
c. $2.000, $4.000 y $5.000 respectivamente.
4.Los niños de segundo grado reunieron el lunes $21.500, el
martes $162.120, el miércoles $171850, el jueves $91.675 y el
viernes $81.456 ¿Cuánto dinero recogieron en total durante toda la semana?
MATEMATICAS – Matemáticas 2 77
PGF03-R03
5.Juan Diego paga por la pensión del colegio $ 235.876¿Cuánto pagan en total tres
estudiantes del grado segundo?
6.Resuelve y compara los resultados. No olvides sumar primero los números que están
dentro del paréntesis.
(37 + 13) + 40 = ________ 37 + (13 + 40) = ________
25 + (60 + 40) = ________ (25 + 60) + 40 = ________
(75 + 25) + 325 = ________ 75 + (25 + 325) = ________
1. Analiza los datos de la siguiente tabla:
PAÍS NÚMERO DE
AUTOPISTAS
Francia 37.600
Japón 234.900
Estados Unidos 84.000
Italia 16.800
Alemania 210.800
MATEMATICAS – Matemáticas 2 78
PGF03-R03
Ahora completa:
El país con mayor número de autopistas es: ______________________ por qué
________________________________________________________________
El país con menor número de autopistas es: ________________________ por qué
________________________________________________________________
Escribe el nombre de los países de menor a mayor número de autopistas:
______________, _____________, _____________, ______________,
______________
Realiza la suma de las autopistas de Estados Unidos e Italia.
Encuentra la diferencia entre la pista entre Japón y Alemania
MATEMATICAS – Matemáticas 2 79
PGF03-R03
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR
TABLA DEL DOS
Cuando multiplicamos por dos hacemos dos veces más
grande el número que multiplicamos Ejemplo: 2 veces 4 es igual a 8, lo que quiere decir
que 2 X 4= 8
¿Cuántas orejas?
1 x 2 = 2
¿Cuántos pétalos?
________
¿Cuántas hojas?
________
¿Cuántas patas?
________
¿Cuántas antenas?
________
¿Cuántos lápices?
________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 80
PGF03-R03
.
2.Relaciona la adición con las tablas de multiplicar
EXPRESION ADICION MULTIPLICACION PRODUCTO
1 Vez 2 2+0 2x1 2
2 x 6 = 12
2 x 5 = ___
2 x 8 = ___
2 x 3 = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 81
PGF03-R03
3. Construye la tabla del 2
Construye la tabla del 2 en cartulina para hacer un llavero.
2 x 1 = ___ 1 x 2 =___
2 x 2 =___ 2 x 2 =___
2 x 3 =___ 3 x 2 =___
2 x 4 =___ 4 x 2 =___
2 x 5 = ___ 5 x 2 =___
2 x 6 =___ 6 x 2 =___
2 x 7 =___ 7 x 2 =___
2 x 8 =___ 8 x 2 =___
2 x 9=___ 9 x 2 =___
2 x 10 =___ 10 x 2 =___
2 x 11 =___ 11 x 2 =___
2 x 12 =___ 12 x 2 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 82
PGF03-R03
LA TABLA DEL TRES
Cuando multiplicamos por tres hacemos tres veces más grande el número que
multiplicamos Ejemplo: 3 veces 4 es igual a 12, lo que quiere decir que 3 X 4= 12.
1. Dibuja cada situación y luego completa:
En una mesa hay 4 platos. En cada plato hay 3 empanadas:
______ + ______ + ______ + ______ = ______
En una sala hay 3 acuarios. En cada acuario hay 5 peces:
_____ + _____+________ = ______
MATEMATICAS – Matemáticas 2 83
PGF03-R03
2. Completa
6 x 2 = 6 + ___ = 12
2 x 8 = ___ + 2 + ___ + ___ + ___ + ___ + ___ + ___ = ___
7 x ___ = 7 + 7 + 7 + 7 = ___
Escribe en forma de producto las siguientes sumas y resuélvelas
10 + 10 + 10 =
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =
7 + 7 =
3. Dibuja en cada cuadro hileras de frutas:
3 HILERAS DE 6 FRUTAS
4 HILERAS DE 3FLORES
MATEMATICAS – Matemáticas 2 84
PGF03-R03
¿Cuántas cerezas?
3 x 2 = 6
¿Cuantas puertas?
________
¿Cuántos huevos?
________
¿Cuántos lápices?
________
3 x 8 = 24
3 x 2 = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 85
PGF03-R03
2. Ahora construyamos la tabla del tres:
3 x 4 = ___
3 x 1 = ___
3 x 1 = ___ 1 x 3 =___
3 x 2 =___ 2 x 3 =___
3 x 3 =___ 3 x 3 =___
3 x 4 =___ 4 x 3 =___
3 x 5 = ___ 5 x 3 =___
3 x 6 =___ 6 x 3 =___
3 x 7 =___ 7 x 3 =___
3 x 8 =___ 8 x 3 =___
3 x 9=___ 9 x 3 =___
3 x 10 =___ 10 x 3 =___
3 x 11 =___ 11 x 3 =___
3 x 12 =___ 12 x 3 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 86
PGF03-R03
3. Resuelve los siguientes problemas:
a. Santiago tuvo 3 horas diarias de clase de arte durante 8 días ¿Cuántas clases de arte
tuvo?
b. Sofía tiene 3 grupos con 10 canicas cada uno ¿Cuántas canicas tiene Sofía?
c. Manuel compro 3 docenas de naranjas ¿Cuántas naranjas compro?
d. Catalina estará durante 3 semanas en la finca de sus abuelos ¿Cuántos días pasará
Catalina en la finca de sus abuelos?
e. En un circo hay 3 grupos de bailarines cada grupo tiene 11 integrantes ¿Cuántos
bailarines hay en total?
4. Encuentra la cifra perdida:
X X 3 X 3 X 3
____________ _________ __________ _________
15 12 18 30
MATEMATICAS – Matemáticas 2 87
PGF03-R03
MATEMATICAS – Matemáticas 2 88
PGF03-R03
LA TABLA DEL CUATRO
Cuando multiplicamos por cuatro hacemos cuatro veces más grande el número que
multiplicamos Ejemplo: 4 veces 5 es igual a 20, lo que quiere decir que 4 X5= 20.
1. Escribe los números de cuatro en cuatro hasta 100
2.
2. Lee cada enunciado y completa la información, observando los dibujos
correspondientes.
¿Cuántas galletas?
4 x 1 = 4
¿Cuántos globos?
________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 89
PGF03-R03
¿Cuántas cerezas?
________
¿Cuántas zanahorias?
________
4 x 5 = 20
4 x 4 = ___
4 x 1 = ___
4 x 6 = ___
1. Construye la tabla del cuatro
Ahora construyamos la tabla del cuatro:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 90
PGF03-R03
4 x 1 = ___ 1 x 4 =___
4 x 2 =___ 2 x 4 =___
4 x 3 =___ 3 x 4 =___
4 x 4 =___ 4 x 4 =___
4 x 5 = ___ 5 x 4 =___
4 x 6 =___ 6 x 4 =___
4 x 7 =___ 7 x 4 =___
4 x 8 =___ 8 x 4 =___
4 x 9=___ 9 x 4 =___
4 x 10 =___ 10 x 4 =___
4 x 11 =___ 11 x 4 =___
4 x 12 =___ 12 x 4 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 91
PGF03-R03
EXPRESION ADICION MULTIPLIC
ACION PRODUCTO
4 Veces 1 1+1+1+1= 4 4 X 1= 4 4
MATEMATICAS – Matemáticas 2 92
PGF03-R03
Observa la imagen y escribe los números que se pueden formar con las cifras que ves, pero
que pertenezcan a la tabla del cuatro.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 93
PGF03-R03
LA TABLA DEL CINCO
Multiplicar por cinco es hacer cinco veces más el número
que multiplicamos Ejemplo: 5 veces 6 es igual a 30 lo que quiere decir que 5 X 6 = 30.
Encuentra la cifra perdida:
X 5 X 5 X 5 X 5
____________ _________ __________ _________
15 10 20 30
X 5 X 5 X 5 X 5
___________ ___________ __________ ____________
40 25 35 45
MATEMATICAS – Matemáticas 2 94
PGF03-R03
1. Observa cada dibujo y completa la expresión en cada caso.
¿Cuántos lápices?
5 x 3 = 15
¿Cuántas patas?
________
¿Cuántas orejas?
________
¿Cuántos Dedos?
________
¿Cuántas ventanas?
________
5 x 3 = 15
5 x 2 = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 95
PGF03-R03
2. Construyamos la tabla del cinco:
Elabora en cartulina las tablas del 3,4 y 5 para continuar haciendo el llavero. Con las
tablas de multiplicar.
5 x 6 = ___
5 x 5 = ___
5 x 1 = ___ 1 x 5 =___
5 x 2 =___ 2 x 5 =___
5 x 3 =___ 3 x 5 =___
5 x 4 =___ 4 x 5 =___
5 x 5 = ___ 5 x 5 =___
5 x 6 =___ 6 x 5 =___
5 x 7 =___ 7 x 5 =___
5 x 8 =___ 8 x 5 =___
5 x 9=___ 9 x 5 =___
5 x 10 =___ 10 x 5 =___
5 x 11 =___ 11 x 5 =___
5 x 12 =___ 12 x 5 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 96
PGF03-R03
LA TABLA DEL SEIS
Multiplicar por seis es hacer seis veces más el número que multiplicamos Ejemplo: 6
veces 6 es igual a 36 lo que quiere decir que 6 X 6 = 36.
¿Cuántas manzanas?
6 x 3 = 18
¿Cuántos dulces?
________
¿Cuántas cerezas?
_______
¿Cuántos lápices?
________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 97
PGF03-R03
1. Ahora construyamos la tabla del seis:
6 X 4 = ___
6 X 1 = ___
6 x 1 = ___ 1 x 6 =___
6 x 2 =___ 2 x 6 =___
6 x 3 =___ 3 x 6 =___
6 x 4 =___ 4 x 6 =___
6 x 5 = ___ 5 x 6 =___
6 x 6 =___ 6 x 6 =___
6 x 7 =___ 7 x 6 =___
6 x 8 =___ 8 x 6 =___
6 x 9=___ 9 x 6 =___
6 x 10 =___ 10 x 6 =___
6 x 11 =___ 11 x 6 =___
6 x 12 =___ 12 x 6 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 98
PGF03-R03
2. Lee el cuento EL SASTRECILLO DE LA TABLA DEL 6 y realiza las siguientes
actividades
En lo alto de las montañas brumosas está ubicado el pueblo de Bellatela. Allí vivía un
sastrecillo muy trabajador que tenía una numerosa familia. Mucha gente del pueblo, el
campo y de sitios muy distintos venían hasta Bellatela para que el sastrecillo les
confeccionara su ropa. Tenía tantos encargos que debía trabajar día y noche para poder
cumplir con todos ellos. Solo descansaba unas pocas horas cuando dormía.
Una noche, cuando se disponía a terminar su labor, rodó por las escalas de la sastrería
puesto que por lo cansado que estaba no se fijó bien donde empezaba el primer peldaño.
El médico que lo atendió en el hospital debió enyesarle los dos brazos, ya que se los había
quebrado en la caída.
Muy triste, el sastrecillo fue llevado a casa por su esposa y sus hijitos. Todo empezó a
ponerse muy difícil al pasar de los días porque se agotaban las reservas de comida y
dinero que tenían. Una noche, todos se fueron a acostar sin haber comido nada durante
todo el día. El sastrecillo se sentó a la mesa de su taller pensaba y pensaba como
solucionar su grave situación, pero ninguna buena idea se le ocurría. Su esposa no podía
salir a trabajar porque el nené recién nacido la necesitaba y sus hijos estaban muy
pequeños para que les dieran trabajo. En su desesperación se quedó dormido sobre la
mesa.
Un gran grupo de duendecillos rondaban por el pueblo esa noche. Eran 54 en total. El
hada madrina del bosque encantado los había mandado en búsqueda de personas buenas
y trabajadoras que necesitaran su ayuda. Cuando llegaron a Bellatela notaron que la
gente estaba muy triste. Al preguntarles que les pasaba, les contaron del accidente del
MATEMATICAS – Matemáticas 2 99
PGF03-R03
sastrecillo y que la fiesta de la cosecha, que se iba a realizar al día siguiente, se tenía que
cancelar porque el sastrecillo no alcanzaba a terminar todos los vestidos y disfraces que
lucirían los habitantes del pueblo. Los duendecillos dijeron: “¡Este es un trabajo para los
54 duendecillos!” Sin perder tiempo se dirigieron a la sastrería. Para hacer las cosas más
rápidas y mejor, los 54 duendecillos decidieron conformar 9 grupos de trabajo con 6 de
ellos en cada uno. Así podían hacer encargos diferentes y terminar antes que se despertara
el sastrecillo.
Para empezar, los 6 duendecillos cabeza roja cosieron en 2 horas, 12 vestidos de señora.
(6 X 2 = 12)
Los 6 duendecillos gorditos no hicieron ropa. Se dedicaron a hacer 3 colchones para que
durmieran los 18 primos rechonchos de los cerditos, ya que ellos vendrían a la fiesta.
(6 X 3 = 18)
Los 6 duendecillos traviesos se encargaron de los alimentos para los demás. Ellos se
demoraron 4 horas para hacer 24 quesos. Así, los demás pudieron comer y trabajar bien.
(6 X 4 = 24)
Los 6 duendecillos de frente friolenta se demoraron 5 horas para terminar 30 disfraces
de fiesta. (6 X 5 = 30)
Los 6 duendecillos cara de león les tomó 6 horas, para cortar y repartir los 36 rollos de
tela que necesitaban para los vestidos.
(6 X 6 = 36)
Los 6 duendecillos más pequeños fueron a visitar a los 7 enanitos en la finca del
Kilómetro 42 para pedirles plumón de pato para forrar las chaquetas encargadas. (6 X
7 = 42)
MATEMATICAS – Matemáticas 2 100
PGF03-R03
Como la tela había estado guardada por mucho tiempo, los 6 duendecillos cola de escoba
se encargaron de sacudir los insectos que habían hecho casa allí. 8 insectos salieron
después que los duendecillos le dieron 48 vueltas a la tela. (6 X 8 = 48)
El encargado del último grupo de los 6 duendecillos magos fue a organizar el taller para
que el sastrecillo no se asustara con todo el desorden que resultó de hacer tanta ropa.
Finalmente se demoraron 9 segundos para poner los 54 botones necesarios para todos los
vestidos hechos. (6 X 9 = 54)
Cuando el sastrecillo despertó, encontró su taller lleno de vestidos listos para entregar.
Con la venta de los vestidos pudo comprar todo lo que necesitaban en su casa. Los
habitantes del pueblo tuvieron sus trajes a tiempo y pudieron realizar la fiesta tan
esperada. El sastrecillo, en acto de agradecimiento, hizo un hermoso vestido que regaló
a una viejecita que vivía sola en las afueras del pueblo.
PRIMERA PARTE:
Completa lo siguiente:
1. Los ___ duendecillos de frente friolenta se demoraron ___ horas, para terminar ___
disfraces de fiesta.
2. Los ___ duendecillos cabeza roja hicieron en ___ horas, ___ vestidos de señora.
3. Los ___duendecillos traviesos tardaron ___horas, para hacer ___quesos.
4. Los ___ duendecillos gorditos hicieron ___ colchones para los ___cerditos rechonchos.
Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones:
6 X 5 = ___ (disfraces de fiesta).
MATEMATICAS – Matemáticas 2 101
PGF03-R03
6 X 1 = ___
6 X 4 = ___ (quesos).
6 X 3 = ___ (los primos rechonchos).
6 X 2 = ___ (vestidos de señora).
6 X 0 = ___
SEGUNDA PARTE:
Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántas vueltas le dieron a la tela los 6 duendecillos cola de escoba para sacar los 8
insectos? ___
2. ¿Cuántos botones pusieron los 6 duendecillos magos en 9 segundos? ___
3. ¿Cuántos rollos de tela cortaron y repartieron los 6 duendecillos en 6 horas? ___
4. ¿En qué kilómetro está la finca donde los 6 duendecillos más pequeños fueron a
pedirle a los 7 enanitos el plumón de pato? ___
Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones:
6 X 8 = ___ (vueltas a la tela para sacar los insectos).
6 X 9 = ___ (botones).
6 X 6 = ___ (rollos de tela).
6 X 7 = ___ (finca del kilómetro).
6 X 10 = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 102
PGF03-R03
2. Encuentra la cifra perdida:
X 6 X 6 X 6 X 6
____________ _________ __________ _________
12 18 48 36
X 6 X 6 X 6 X 6
___________ ___________ __________ ____________
54 24 30 42
Completa el cuadro relacionando la adición y las tablas de
multiplicar
MATEMATICAS – Matemáticas 2 103
PGF03-R03
EXPRESION ADICION MULTIPLICACIO
N PRODUCTO
6 Veces 1 1+1+1+1+1+1= 6 6 X 1= 6 6
MATEMATICAS – Matemáticas 2 104
PGF03-R03
LA TABLA DEL SIETE
Multiplicar por siete es hacer siete veces más el número
que multiplicamos Ejemplo: 6 veces 7 es igual a 42 lo que quiere decir que 6 X 7 = 42.
7 X 1 = ___
¿Cuántos globos?
__________
7 X 4 = ___
7 X 3 = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 105
PGF03-R03
7 X 5 = ___
7 X 7 = ___
1. Construyamos la tabla del siete:
7 x 1 = ___ 1 x 7 =___
7 x 2 =___ 2 x 7 =___
7 x 3 =___ 3 x 7 =___
7 x 4 =___ 4 x 7 =___
7 x 5 = ___ 5 x 7 =___
7 x 6 =___ 6 x 7 =___
7 x 7 =___ 7 x 7 =___
7 x 8 =___ 8 x 7 =___
7 x 9=___ 9 x 7 =___
7 x 10 =___ 10 x 7 =___
7 x 11 =___ 11 x 7 =___
7 x 12 =___ 12 x 7 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 106
PGF03-R03
2. Ayúdale a los albañiles a colorear los números que corresponden a la tabla del siete.
Sigue el laberinto y aprende los números que pertenecen a
la tabla del siete.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 107
PGF03-R03
LA TABLA DEL OCHO.
Multiplicar por ocho es hacer ocho veces más el número que multiplicamos Ejemplo: 8
veces 7 es igual a 56 lo que quiere decir que 8 X 7 = 56.
8 X 1 = 8
¿Cuantas cerezas?
__________
8 X 2 = 16
8 X 4 = ____
8 X 3 = ___
8 X 5 = 40
MATEMATICAS – Matemáticas 2 108
PGF03-R03
2. Practica las tablas de multiplicar y completa el número que hace falta.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 109
PGF03-R03
3. construye la tabla del ocho:
8 x 1 = ___ 1 x 8 =___
8 x 2 =___ 2 x 8 =___
8 x 3 =___ 3 x 8 =___
8 x 4 =___ 4 x 8 =___
8 x 5 = ___ 5 x 8 =___
8 x 6 =___ 6 x 8 =___
8 x 7 =___ 7 x 8 =___
8 x 8 =___ 8 x 8 =___
8 x 9=___ 9 x 8 =___
8 x 10 =___ 10 x 8 =___
8 x 11 =___ 11 x 8 =___
8 x 12 =___ 12 x 8 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 110
PGF03-R03
X
x
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
MATEMATICAS – Matemáticas 2 111
PGF03-R03
TABLA DEL NUEVE
Multiplicar por nueve es hacer nueve veces más el número que multiplicamos Ejemplo: 9
veces 7 es igual a 63 lo que quiere decir que 9 X 7 = 63.
9 X 1 = ___
9 X 3 = ___
9 X 2 = ___
9 X 7 = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 112
PGF03-R03
9 X 5 = ___
¿Cuántas orejas?
________
¿Cuántas patas?
________
Ahora construyamos la tabla del nueve:
9 x 1 = ___ 1 x 9 =------
9 x 2 =___ 2 x 9 =___
9 x 3 =___ 3 x 9 =___
9 x 4 =___ 4 x 9 =___
9 x 5 = ___ 5 x 9 =___
9 x 6 =___ 6 x 9 =___
9 x 7 =___ 7 x 9 =___
9 x 8 =___ 8 x 9 =___
9 x 9=___ 9 x 9 =___
9 x 10 =___ 10 x 9 =___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 113
PGF03-R03
1. Estudia y memoriza las tablas de multiplicar del nueve.
2. Realizamos Números Descendentes Del 0 Al 9 De Esta Forma:
0
2. Luego De Forma Ascendente, Del 9 Al 0
9
MATEMATICAS – Matemáticas 2 114
PGF03-R03
2. Luego Unimos Las 2 Tablas Y Queda la tabla del nueve
3. Ahora completa mentalmente el valor de cada ejercicio, combinando todas las tablas de multiplicar.
4 x 7 = __ 6 x 6 = __
7 x 11 = __
7 x 8 = __ 6 x 7 = __ 6 x 11 =
__ 7 x 9 = __
2 x 6 = __ 5 x 6 = __ 7 x 3 = __
11 x 6 = __
7 x 6 = __ 3 x 6 = __ 6 x 4 = __ 7 x 2 = __
7 x 12 =
__
7 x 10 =
__ 9 x 6 = __ 3 x 7 = __
6 x 5 = __ 8 x 7 = __ 9 x 7 = __ 6 x 1 = __
MATEMATICAS – Matemáticas 2 115
PGF03-R03
Completa el número que hace falta en cada
MATEMATICAS – Matemáticas 2 116
PGF03-R03
Observa el dibujo, analiza como el número de tronos aumenta en cada montón.
1. Si se arma un cuarto montón siguiendo esta secuencia ¿cuántos troncos
tendría?
a. 11 tronos
b. 13 troncos
c. 15 tronc0s
d. 16 troncos
2.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 117
PGF03-R03
3. De las siguientes operaciones planteadas, ¿en cuál NO se obtiene el total de círculos
dibujados?
a. 3 + 5
b. 3 X 5
c. 5 + 5 + 5
d. 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Observa la siguiente grafica y contesta las preguntas 4 y 5.
4. El total de patas de ranas es:
a. 14
b. 16
c. 28
d. 6
MATEMATICAS – Matemáticas 2 118
PGF03-R03
5. El total de picos es
b. 13
c. 6
d. 12
e. 5
6. En la siguiente tabla se registró la información de una encuesta realizada en el grado
segundo, donde cada estudiante seleccionó un sabor de helado de su preferencia. Según los
datos de la tabla, el sabor de helado que prefiere la mayoría de estudiantes es:
Cada triángulo como este representa 5 estudiantes
FRESA
LIMÓN
NATA MANÍ
MANDARINA
a) Mandarina
b) Nata maní
c) Limón
d) Fresa
MATEMATICAS – Matemáticas 2 119
PGF03-R03
7. Según la información dada en la tabla, ¿cuántos estudiantes en total respondieron la
encuesta?
a) 9 estudiantes
b) 12 estudiantes
c) 25 estudiantes
8. En una fábrica trabajan 5 días en la semana, es decir (lunes, martes, miércoles, jueves
y viernes) y diariamente se producen 580 jabones.
Al finalizar estos 5 días, el número total de jabones que producirá la fábrica es de:
a. 1.045 jabones.
b. 2.900 jabones.
c. 1.160 jabone
9. En una caja hay 35.789 bolas de cristal. Se meten en ella 12.478 bolas más.
¿Cuántas bolas hay al final en la bolsa?
a. 367 bolas de cristal.
b. 48.267 bolas de cristal.
c. 59.367 bolas de cristal.
10. Teniendo en cuenta el problema anterior. Resuelve el siguiente interrogante:
¿Cuántas bolas de cristal quedaron, si se salieron 15.380 bolas?
a. 42.000 bolas de cristal.
b. 40.077 bolas de cristal.
c. 32.887 bolas de cristal.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 120
PGF03-R03
MENTEFACTO
MATEMATICAS – Matemáticas 2 121
PGF03-R03
UNIDAD Nº 3
LA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES.
PROPOSITO: Identificar y realizar ejercicios y problemas que involucren
multiplicaciones por una, dos y tres cifras, utilizando los procedimientos y características
de la multiplicación.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 122
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
¿De dónde venimos las aves? –le preguntó un gorrioncillo a un abeto–.
- ¿Acaso no lo sabes tú que eres un ave?
- No, no lo recuerdo … sólo sé que tenía muchas ganas de volar … volar sin detenerme.
- ¿De dónde vienen las aves? –le preguntó un abeto al viento–.
- De entre las nubes … eso creo.
- ¿De dónde vienen las aves? –le preguntó el viento a las nubes–.
- De las montañas … eso creemos.
Y el viento emprendió un largo viaje hacia las más altas montañas,
y preguntó : ¿de dónde vienen las aves? Pues sé que las aves
mismas no lo recuerdan, y no vienen de los árboles, ni de las nubes,
ni de mí.
- ¡Ah! –suspiraron las montañas– las aves vienen de muy lejos, de
otro mundo, uno que sólo existe en la mente de una hermosa hada
llamada Liana.
- ¡Cuéntenme montañas la leyenda de esta hada!
Y así las montañas comenzaron la historia: ocurrió hace muchas eras, cuando aún no
existía el tiempo, allá lejos en un secreto templo de antiguos dioses ahora olvidados, que
un rey de nombre Onir se sentía muy solo, anhelaba una hija, una princesa que lo
heredaría todo, y una noche el rey no pudo más y se fué al templo a pedir un milagro, a
cambio daría lo que fuera si tan sólo le concedieran a su pequeña.
Aquella noche los antiguos dioses se reunieron, sabían que el rey era un hombre bueno y
decidieron conceder su deseo, por entre las estrellas y detrás de la luna viajaron los dioses
y regresaron con una niña de sonrisa de cristal y mirada azul que el rey nombró Liana, la
niña era el sol del palacio, protegida por los dioses y bendecida por todas las
constelaciones, largos años hizo feliz a su padre, pero sucedió que un día el rey Onir
paseaba por los confines de su reino, distraído sin cuidar a donde lo llevaban sus pies y
por accidente cayó, y cayó con rumbo hacia la nada, y cuando los dioses se percataron no
permitieron que muriera, lo convirtieron en basto océano, verdes prados, poblados bosques
MATEMATICAS – Matemáticas 2 123
PGF03-R03
de frondosos árboles, ardientes desiertos, solitarias islas, inmensas masas de hielo,
exuberantes junglas, altísimas montañas y el más azul de los cielos.
Al escuchar lo acontecido la princesa Liana rogó que regresaran a su padre al palacio,
pero los dioses no podían hacer tal cosa, pues al caer a la nada no podrían regresarlo a
salvo; entonces la princesa volvió al palacio pensando que estaba llena de dones, no en
balde era un hada y algo debía hacer para contactar a su padre.
Fue así que el hada Liana comenzó a imaginar bellas y delicadas criaturas que pudieran
viajar y cantarle a su padre como sólo ella sabía hacerlo, el hada princesa no tenía más
que imaginar en su mente los bellos colores y elegantes formas para que de su mente y
sus ojos brotaran estas criaturas y las nombró a todas, había gorriones, calandrias,
pinzones, palomas, gaviotas, cisnes, grullas, canarios, jilgueros, pelícanos, quetzales,
tucanes, faisanes, águilas, un fénix y cientos … quizá miles más; y cuando salían de la
mente del hada Liana hacia el mundo real, ella les enseñaba canciones para deleitar a su
padre, ¡vuelen! –decía la princesa- a la tierra, por doquier, no dejen un espacio sin surcar,
acaricien el aire, los cielos, el agua y la tierra por igual, decidle al rey Unir, mi padre,
que su hija siempre piensa en el, que el aleteo de sus alas son mis caricias en su rostro,
vuelen, vuelen lejos de mi, cerca de él, él será su hogar y así una parte de mí permanecerá
siempre a su lado.
Así han nacido las aves querido viento –decían las montañas yo soy la tierra, fui
alguna vez el rey Unir y doy hogar a los dulces pensamientos de mi niña, el hada Liana,
el hada de todas las aves, el hada que no me olvida … ahora que ya lo sabes, viento …
quisiera pedirte un favor.
- Lo que tú ordenes mi señor.
- Vuela alto muy alto allá donde sólo tú podrás llegar, conviértete en un ave fugaz, un
ave de ráfagas intrépidas y ve al palacio, cruzando el olvidado templo y dale a mi niña
un beso en la mejilla y dile que su padre … la tierra, siempre la recuerda entre las
estrellas; y cuando regreses, si encuentras en tu camino un ave cuéntale como es que ha
sido creada.
Desde aquel día el viento acompaña a las aves en su larga travesía contándoles la
leyenda de su ama, el hada Liana, y cómo son mensajeros alados de un amor tan puro y
real que ni todas las arenas del tiempo pueden enterrar.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 124
PGF03-R03
Las aves se caracterizan por tener 2 alas y dos patas, ahora dibuja algunas aves y
escribe el total de alas y el total de patas que dibujaste.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 125
PGF03-R03
MIS PRIMERAS MULTIPLICACIONES
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales.
Los elementos que intervienen en la multiplicación se llaman:
Multiplicando: Es el número que se suma (en nuestro ejemplo es el
número 5).
Multiplicador: Es el número de veces que se repite el número (para nuestro ejemplo es el
número 3)
Producto total: Es el resultado (El número 15)
El signo de la multiplicación es X y se lee "por"
En el salón de María hay 24 pupitres.
En cada pupitre se sientan 2 niñas.
¿Cuántas niñas hay?
Para averiguarlo, multiplicamos 24 x 2
En 24 hay 2 decenas y cuatro unidades.
d u Primero, multiplicamos las unidades
2 4 (2 x 4 = 8)
x 2 Después, multiplicamos las decenas
(2 x 2 = 4)
MATEMATICAS – Matemáticas 2 126
PGF03-R03
En el salón de María hay 48 niñas.
Veamos otro ejemplo:
¿Cuánto es 32 x 3?
En 32 hay 3 decenas y 2 unidades.
d u Primero, multiplicamos las unidades
3 2 ( 3 x 2 = 6 )
x 3 Después, multiplicamos las decenas
( 3 x 3 =)
Lee y analiza la siguiente información :
a)En una caja coloco 4 lápices ¿ Qué cantidades iguales de lápices colocaré en 2 cajas ?
caja 1 caja 2
b) En una bolsa tengo 9 pelotas ¿ Qué cantidad iguales de pelotas podré repartir en 3
bolsas ?
c)En una cartera hay 2 medallas ¿ Qué cantidad igual de medallas habrá en 2 carteras ?
cartera 1 cartera 2
MATEMATICAS – Matemáticas 2 127
PGF03-R03
d)En un florero hay 4 flores ¿ Qué cantidad igual de flores colocaré en 2 floreros?
florero 1 florero 2
2. Realiza la operación de cada conejo y colorea
MATEMATICAS – Matemáticas 2 128
PGF03-R03
MATEMATICAS – Matemáticas 2 129
PGF03-R03
3. Resuelve los problemas
En una caja hay 12 arañas, como cada araña tiene 8 patas.
¿Cuántas patas de araña hay en la caja?
En un taller hay 7 bicicletas y doce triciclos. En total
¿Cuántas ruedas hay?
La biblioteca del curso tiene 15 estantes y cada estante con 24 libros. ¿Cuántos
libros hay en la biblioteca del curso?
Un edificio tiene 12 pisos y en cada piso hay 6 apartamentos. Cada apartamento
tiene 3 habitaciones. ¿Cuántas habitaciones hay en el edificio?
1. Realiza cada multiplicación en forma horizontal y escribe su resultado.
14 x 8= ______ 27 x 5= ______ 62 x 6= ______
96 x 2= ______ 39 x 6= ______ 32 x 4= ______
MATEMATICAS – Matemáticas 2 130
PGF03-R03
71 x 5= ______ 58 x 4= ______ 25 x 7= ______
46 x 2= ______ 33 x 9= ______ 77 x 7= ______
2. Realiza las multiplicaciones en forma vertical y escribe el resultado.
3. Selecciona la respuesta correcta en cada caso
1. Al efectuar el producto 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 se obtiene:
A) 21
B) 620
C) 720
D) 123.45
2. Una caja contiene 5 paquetes. Cada paquete contiene 6 chicles y cada chicle cuesta
$ 70. ¿Cuánto cuesta la caja?
A)$ 420B) $ 350C) $ 770D)$ 2.100
3. Si el producto dex100 resulta 27.000, el factor del recuadro es:
A) 27
B) 270
C) 2.700
4. Al multiplicar 4.004 por 4 resulta:
A) 1.616
B) 16.016
C) 160.016
D) 1.71
MATEMATICAS – Matemáticas 2 131
PGF03-R03
5. En un cine hay 20 filas de 15 butacas cada una. Si en una función quedan 73
butacas vacías, ¿cuántas personas hay en el cine?
A) 237B) 227C) 273D) 200
6. Una caja contiene 125 huevos y se venden 9 docenas. ¿Cuántos huevos quedan por
vender?
A) 116B) 108C) 17D) 35
8.El producto de 102 x 306 es:
A) 918
B) 3.672
C) 30.212
D) 31.212
9.Un auto recorre 67 kilómetros cada hora. Si debe recorrer 390 Km., al llevar 4
horas de viaje, ¿cuántos kilómetros le faltan para llegar?
A) 22 B) 122 C) 268 D) 323
10. Dos de estas multiplicaciones están mal hechas. Averigua cuáles son?
2.871 x 5 = 14.355
3.419 x 8 = 27.356
7.196 x 3 = 21.588
5.998 x 6 = 42.988
MATEMATICAS – Matemáticas 2 132
PGF03-R03
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Diana, Felipe, Ana y Juan se reunieron un día para recordar las tablas de multiplicar.
Yo escribo la del nueve, dijo Diana. A su vez, Felipe escribió la del siete.
Fíjate bien en los elementos de las últimas columnas, dijo Juan a Ana.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 133
PGF03-R03
En la primera columna están los múltiplos del 9 porque son el resultado de multiplicar 9
por 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Así pues, dijo Felipe, entonces los múltiplos del siete son:
Completa la figurado sumando los múltiplos de 11
Claro, replicó Diana, estos son los múltiplos de 7 menores que 100.
Felipe dijo a sus tres amigos; voy a organizar 75 frutas de una en una, para que mis
amiguitos encierren.
En un círculo rojo los múltiplos de 8.
En un círculo verde los múltiplos de 6.
En un círculo amarillo los múltiplos de 3.
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98
MATEMATICAS – Matemáticas 2 134
PGF03-R03
2. Ahora escribe aquí los múltiplos de 8, 6 y 10
10
6
8
MATEMATICAS – Matemáticas 2 135
PGF03-R03
3.Escribe Verdadero o falso a cada enunciado
4. El conejo para llegar a su madriguera debe seguir el camino que solo tiene múltiplos de
6, pues en los sitios donde hay otros números hay perros y corre peligro su vida. Señala
el camino del conejo.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 136
PGF03-R03
MATEMATICAS – Matemáticas 2 137
PGF03-R03
Escribe en el recuadro con color rojo los múltiplos de 2, con color azul
los múltiplos de 3, con color verde los múltiplos de 4, con color
naranja los múltiplos de 5, con color café los múltiplos de 6, con
color morado los múltiplos de 7, con color negro los múltiplos de 8, con color amarillo los
múltiplos de 9 y con color rosado los múltiplos de 10.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
MATEMATICAS – Matemáticas 2 138
PGF03-R03
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Las propiedades de la multiplicación son:
PROPIEDAD CONMUTATIVA:
El orden de los factores no me cambia el producto.
Ejemplo:
2 X 4 = 8 4 X 2 = 8
6 X 5 = 30 5 x 6 = 30
PROPIEDAD ASOCIATIVA:
Cuando tenemos más de dos factores se puede asociar o
Agrupar de diferente forma y el producto no cambia. EJEMPLO:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 139
PGF03-R03
1. Escribe Verdadero o Falso según corresponda:
_____ 9 x 4 = 4 x 9, lo muestra de la propiedad distributiva de la multiplicación.
_____ 540 . 0 = 0 es un ejemplo de la propiedad modulativa
_____ 450 . (35 . 15) = (450 . 35) . 15 es un ejemplo de la propiedad asociativa de la
multiplicación.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 140
PGF03-R03
2.Une colocando el número que corresponda en la Columna B.
A B
1) 6 .( 3 + 4 ) = 6 . 3 + 6 . 4 _____ Propiedad modulativa
2) 7 . 0 = 0 _____ Propiedad Conmutativa
3) 2 . 5 = 5 . 2 _____ Propiedad Asociativa
4) 5 .( 3 . 4 ) = ( 5 . 3 ) . 4 _____ Propiedad Distributiva.
3. Si un médico receta a una señora tomar 6 gotitas de un jarabe cada 4 horas.
¿Cuántas gotitas debe tomar en un día? Expresa esta respuesta aplicando alguna
propiedad de la multiplicación
4. Un pastor colocó ovejas en corrales. En un corral colocó 7 ovejas, en el segundo y en
el tercer corral colocó múltiplos de 7. Si en total colocó 63 ovejas, sabiendo que donde
más ovejas, fue en el tercer corral.
¿Qué cantidad de ovejas pudo colocar en los corrales 2 y 3?
5 .Observa el ejemplo y completa las igualdades aplicando la propiedad conmutativa de
la multiplicación:
5 x 100 = 100 x 5 16 x 10 = ___ x ___ 13 x 7 = ___ x ___
___ = ___ ___ = ___ ___ = ___
MATEMATICAS – Matemáticas 2 141
PGF03-R03
6. Escribe los factores que faltan en estas igualdades:
8 x ____ = ____ x 8 ___ x 10 = ___ x ___ 9 x ___ = ___ x ___
___ = ___ 60 = 60 900 = 900
7. En tú cuaderno inventa 2 ejemplos de cada propiedad.
1. Realiza las siguientes multiplicaciones en forma horizontal y verifícalas utilizando
la propiedad conmutativa
1. 2 4 4 X 2 =
2 x 1.244=
5. 2 1 1 X 3 =
3x 5.211
7. 5 4 1 X 4 =
4x 7.541
2. Aplicando las propiedades de la multiplicación realiza el crucigrama numérico
MATEMATICAS – Matemáticas 2 142
PGF03-R03
MATEMATICAS – Matemáticas 2 143
PGF03-R03
MULTIPLICACIONES POR 10, 20,30 …
Observa:
7 x 10 = 70 6 x 30 = 180
40 x 20 = 6800 547 x 20 = 10940
1. Realiza mentalmente cada multiplicación y encuentra el resultado
5 x 10 = ___ 12 x 20 =___
7 x 20 =___ 13 x 20 =___
9 x 30 =___ 17 x 30 =___
Para multiplicar un número por 10, 20, 30 ,40……,
multiplicamos por las decenas y agregamos un cero
al resultado.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 144
PGF03-R03
6 x 10 =___ 20 x 10 =__
7 x 10 = ___ 14 x 30 =___
9 x 10 =___ 14 x 20 =___
6 x 20 =___ 10 x 10 =___
8 x 30 =___ 11 x 20 =___
3. Utiliza el proceso de la multiplicación para encontrar el valor en cada caso.
4.Encuentra en la sopa de números el resultado de cada operación
MATEMATICAS – Matemáticas 2 145
PGF03-R03
12.568 x 9= 7. 4 32 x 80= 9.679 x 20= 4.589 x 90
7.989 x 70= 5.643 x 60= 4.532 x 50=
1 2 3 4 5 5 5 9 2 3 0 2
2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 2
3 2 4 1 3 0 1 0 1 3 4 6
4 1 0 2 1 2 2 2 2 2 3 6
5 2 7 1 5 6 0 1 3 1 2 0
6 3 2 1 1 3 1 1 2 0 1 0
7 4 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3
8 5 6 7 3 1 2 3 4 5 6 2
9 6 3 3 8 5 8 0 0 0 5 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9 1
1 9 3 5 8 0 5 4 3 2 5 1
MATEMATICAS – Matemáticas 2 146
PGF03-R03
MULTIPLICACIÓN POR DOS CIFRAS
Recuerda que una multiplicación se puede interpretar como una suma abreviada de una
cifra o de dos cifras, es decir que en las multiplicaciones por dos cifras multiplicamos por
las unidades y luego por las decenas.
Para multiplicar por dos cifras debes seguir el siguiente proceso:
3 4 2
X 2 3
Primero multiplicas por el número 3 así:
3 4 2
X 2 3__
1.0 2 6
Segundo multiplicas por el número 2 y colocas el producto debajo del 1.026 dejando un lugar a la derecha así.
3 4 2
X 2 3__
1 0 2 6
6 8 4___
Por último sumas los productos obtenidos así: 3 4 2
X 2 3
1 0 2 6
+ 6 8 4___
7. 8 6 6
MATEMATICAS – Matemáticas 2 147
PGF03-R03
En la fábrica de dulces se produjeron 45.679 dulces el mes pasado; si cada uno de ellos
se vende a $45 ¿Cuánto dinero se recolecta por la venta de los dulces?
Solución:
Como cada dulce cuesta $ 45 y son 45.679 tenemos que realizar una multiplicación
1. Efectúa cada multiplicación:
256 56.761 81.265 43.675
X 43x 61x 96 x 28
2. Resuelve los problemas y realiza el proceso en el cuaderno.
a. Se organizan los estudiantes en 352 filas de 17 personas cada fila. ¿Cuántos
estudiantes hay?
b. Los niños de una escuela se toman 1.569 litros de leche diariamente ¿Cuántos litros de
leche se toman en 15 días?
d. Daniel cortó 23 piezas de papel de envolver. Cada una de las piezas tiene 5.447
cms de largo. ¿Cuántos cms de papel cortó?
Se colocan los números en columna. Las unidades debajo de
las unidades. Se multiplica 3 por las unidades:
3 x 4= 12, se escribe 2 y se lleva 1 a las decenas.
Se multiplica 3 por las decenas: 3 x 2= 6, se suma a la decena
que llevaba 6 + 1= 7, se escribe 7 en las decenas.
1
2 4
X 3
7 2
MATEMATICAS – Matemáticas 2 148
PGF03-R03
e. Un yogurt vale $1.950 ¿Cuánto valen 59 yogures?
f. Un kilo de papa cuesta $ 2.275. Entonces ¿Cuánto cuestan1 8 kilos de papa?
1. Realiza las siguientes multiplicaciones:
CM DM UM C D U
7 5 1
X
2 6
2
7
7
CM DM UM C D U
2 6 5
X
9 5
3
8
4
MATEMATICAS – Matemáticas 2 149
PGF03-R03
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
816 X 15 +250 – 1.230=
714 X 36 + 1.234 – 1.456=
844 X 87 + 2.345 – 2346=
7.645 X 38 + 3.456 – 2.897 =
9.876 X 19 + 6.578 – 3.457=
7.567 X 40 + 3.456 – 2.874=
9.675 X 72 +4.232 – 2.479 =
8.675 X5 5 + 3.456 – 2.567 =
MATEMATICAS – Matemáticas 2 150
PGF03-R03
MULTIPLICACIONES POR TRES CIFRAS
Realiza las siguientes multiplicaciones por tres cifras:
9. 8 7 9 7. 8 4 5
X 2 5 6 X 3 6 9____________
Recuerda que para realizar una multiplicación
por tres cifras primero multiplicamos el primer
factor por las unidades del segundo factor y
escribimos el producto, así:
3.456
X 236 Primer factor
X 236 Segundo Factor
X 236 Tercer Factor
Escribimos el producto debajo del producto del
primer factor, luego el producto del segundo
factor dejando un espacio a la derecha y
finalmente multiplicamos el tercer factor por el
número completo, ubicándolo de bajo siguiendo
el proceso anterior .
Por último sumamos los productos obtenidos.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 151
PGF03-R03
6. 4 8 5 3. 4 7 8
X 7 8 4 X 2 7 8____________
Resuelve las siguientes multiplicaciones en el cuaderno .
6 7. 8 9 3 5 4. 2 3 4 4 5. 2 3 1 2 3. 2 1 4
X 34 6 X 568 X 548 X 567
2. Resuelve los siguientes problemas
a. En una bolsa, se guardan 4.120 caramelos y se desean
comprar 354 Bolsas ¿Cuántos dulces hay en total?
b. Una hoja cuadriculada tiene 36 columnas y 62 filas.
¿Cuántos cuadraditos tiene?
d. Un balón de futbol cuesta $ 58.967
Si se van a comprar balones para todos los niños de
primaria (206 aproximadamente)
¿Cuánto dinero se invertirá en ésta compra?
MATEMATICAS – Matemáticas 2 152
PGF03-R03
Lee atentamente la siguiente información: la multiplicación es una operación que nos
permite abreviar sumas en que los sumandos son iguales, pues seria muy difícil sumar 27
o más veces cualquier número natural.
De acuerdo a lo anterior realiza las operaciones en cada caso y selecciona la respuesta
correcta.
1. Una chocolatina vale $ 300. Si se compran 4 de estas chocolatinas, se pagará:
A. $ 120
B. $ 304
C. $ 900
D. $ 1.200
2. A Juan Camilo le han pagado una deuda con dinero en efectivo, de la siguiente forma:
5 billetes de $ 5.000 6 billetes de $ 2.000 2 monedas de $ 1.000 2 monedas de $
500
¿Cuánto dinero le pagaron a Juan Camilo, en billetes?
A. $ 7.000
B. $ 8.500
C. $ 37.000
D. $ 40.000
3. Alejandro obtuvo 6 puntos diarios en clase por saberse las tablas de multiplicar
¿Cuántos puntos obtiene durante 9 días?
A. 50 puntos
B.48 puntos
C. 54 puntos.
D. 24 puntos.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 153
PGF03-R03
4. El preguntón es un juego en el cual la profesora hace preguntas a los estudiantes,
porcada respuesta correcta se gana un punto. A continuación se muestra la forma de
representar los puntos y la cantidad de puntos que han acumulado Margarita y
Santiago.
¿Cuántos puntos ha acumulado Margarita?
A. 4
B. 10
C. 13
D. 16
5. En un parqueadero ha cupo para 23 carros diariamente: En 10 días ¿Cuántos
automóviles han parqueado si cada día se llena completamente?
A. 220 automóviles
B. 230 automóviles
C, 200 automóviles
D.120 automóviles
MATEMATICAS – Matemáticas 2 154
PGF03-R03
6. Los números que completan correctamente las multiplicaciones son;
A. 7,8,6,4
B. 5,4,7,8
C. 3,6,9,4,
D. 6,7,5
LAS OPERACIONES MATEMATICAS SON MUY UTILIZADAS PARA
ENCONTRAR VALOES DESCONOCIDOS, HACER COMPRAS, PAGAR
DEUDAS, ACTIVIDADES RECREATIVAS Y MUCHISISIMAS COSAS MÁS,
POR ESO SON TAN IMPORTANTES, AHORA LEE ATENTAMENTE LOS
SIGUIENTES PROBLEMAS Y RESPONDE:
7. En una de las salas de CINEMARK hay capacidad para 2.894 personas. Si en un
día hubo lleno total. ¿Cuántas personas en total entraran en 27 días?
a. En total entraran 13.567 personas.
b. En total entrarán 78.138 personas.
c. En total entrarán 76.138 personas.
d. En total entrarán 86.138 personas.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 155
PGF03-R03
8. La empresa Súper de Alimentos es la encargada de producir diferentes tipos de dulces
que alegran y divierten con sus colores y sabores a los niños. En ella en un día se producen
9.545 gomas. Entonces ¿Cuántas gomas producirán en 69 días?
a. En 69 días producen 765.123 gomas.
b. En 69 días producen 658.605 gomas.
c. En 69 días producen 657. 890 gomas.
d. En 69 días producen 57. 890 gomas.
9. El valor de un almuerzo en el colegio es de $4.500. Si Juan Esteban quiere cancelar 83
almuerzos de éste semestre ¿Qué cantidad de dinero debe pagar?
A. $234.500
B. $345.500
C. ·$373.500
D. $350.700
MENTEFACTO
MATEMATICAS – Matemáticas 2 156
PGF03-R03
UNIDAD Nº 4
LA DIVISIÓN
PROPOSITO: Relacionar la multiplicación con la división para hacer repartos
iguales utilizando divisiones exactas e inexactas por una cifra.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 157
PGF03-R03
LECTURA AFECTIVA
EL OSITO RUFIS
En un bello jardín se encontraba el pequeño Rufis, un osito panda muy
travieso, al que le encantaba descubrir cada día algo diferente. Un día
quiso alejarse un poco de su hogar en las montañas pues quería conocer
un gran circo.
Su madre le había advertido muchas veces que en la vida no todo es
color de rosa pues su especie estaba en peligro y no debía de alejarse
demasiado.
Sin embargo, Rufis tenía muchas ganas de ir pues había escuchado que los circos eran
mágicos, y que podría ver al hombre más fuerte del mundo, malabaristas, equilibristas
y domadores de leones.
De pronto vio un cartel del circo con una flecha a la derecha:
- Ya llegué, este debe ser el gran circo, que emoción, se dijo.
Cuando lo vieron otros animales trataron de advertirle del peligro diciéndole:
- No te acerques, si te ven no podrás escapar.
- ¿A qué se refieren?, preguntó.
- Nosotros no estamos aquí por nuestra voluntad.
- Pero yo quiero ver el espectáculo y la magia del circo.
- Mejor regresa a salvo con tu familia y da marcha atrás.
Rufis fue capturado y encerrado en una celda, lo querían para que sea parte del
espectáculo del oso. Rufis estaba muy asustado y solo quería volver a casa.
Poco a poco fue aprendiendo a hacer equilibrio en la cuerda floja, la gente llegaba con
mucha emoción para ver a al osito Rufis hacer sus piruetas.
Un día el encargado del circo al ver la carita del osito notó que estaba muy triste y le dio
tanta pena que dejó la reja abierta a propósito para que pueda huir.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 158
PGF03-R03
Rufis salió disparado y pudo regresar sano y salvo a su casa en donde su madre muy
feliz lo recibió con todo su amor. Rufis aprendió que uno siempre debe de seguir los sabios
consejos de la gente buena.
Forma grupos con todos los personajes del cuento
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
MATEMATICAS – Matemáticas 2 159
PGF03-R03
RELACIÓN ENTRE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para realizar una división se piensa en una multiplicación que de cómo resultado el
número que se va a repartir. Así:
24 ÷ 3 = 8 8 X 3 = 24
16 ÷ 8 = 2 2 X 8 = 16
1. Colorea el óvalo que tiene el número que cumple la condición dada:
Si me divides entre 8
el resultado es 2
Si me divides entre 6
el resultado es 6
Si me divides entre 4
el resultado es 5
Si me divides entre 7
el resultado es 9
16 79
63 81
12 16
20 30
16 36
6 12
4 8
16 24
MATEMATICAS – Matemáticas 2 160
PGF03-R03
MATEMATICAS – Matemáticas 2 161
PGF03-R03
1. ¿Qué número cumple cada condición? Une el enunciado con la respuesta correcta.
Si divido el número
entre 7, la división es
exacta.
Si divido el número entre 7, la división es entera y el residuo es
1.
Si divido el número entre 8, la división es
exacta.
Si divido el número entre 8, la división es entera y el residuo es 1
Si divido el número entre 9, la división es
entera y el resto es 2.
42
25
22
64
38
MATEMATICAS – Matemáticas 2 162
PGF03-R03
1. Relaciona la multiplicación y la división
DIVIDE MULTIPLICA:
7 7 = ______ ____ x 7 = 7
14 7 = ______ ____ x 7 = 14
21 7 = ______ ____ x 7 = 21
28 7 = ______ ____ x 7 = 28
35 7 = ______ ____ x 7 = 35
42 7 = ______ ____ x 7 = 42
49 7 = ______ ____ x 7 = 49
56 7 = ______ ____ x 7 = 56
63 7 = ______ ____ x 7 = 63
MATEMATICAS – Matemáticas 2 163
PGF03-R03
¿QUÉ ES DIVIDIR?
1.
Observa las siguientes imágenes, en ellas aparece un conjunto de peras que están
divididas en cuatro partes iguales:
Dividir es repartir una
cantidad en partes iguales.
Cuando realizamos un
reparto estamos realizando
una división ÷
MATEMATICAS – Matemáticas 2 164
PGF03-R03
Cada parte tiene 3 elementos. Lo que quiere decir que 12 dividido en 4 es igual a 3; es
decir 3 por 4 es igual a 12.
Repartir en partes iguales es dividir, el signo de la división es ÷
Ahora intenta repartiendo 42 lápices en 7 partes iguales:
Cada parte tiene ______ elementos. Lo que quiere decir que ______ dividido en ______ es
igual a ______; es decir que ______ X _______ es igual a 42.
Realiza los siguientes repartos:
1. Ana quiere repartir 28 manzanas entre 7 amigos, ayúdale y descubre cuántas
manzanas le corresponde a cada uno.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 165
PGF03-R03
R//
2. Ahora ayúdale al conejito a repartir las zanahorias en 7 grupos, luego completa las
frases de la parte inferior.
Cada parte tiene ______ zanahorias. Lo que quiere decir que ______ dividido en ______
es igual a ______; es decir que ______ X _______ es igual a 14.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 166
PGF03-R03
Resuelve los siguientes problemas en tú cuaderno:
En el closet de Pedro hay 16 zapatos. ¿Cuántos pares de zapatos tiene Pedro?
Rita compró 27 dulces de piña. Un paquete trae 3 dulces de piña. ¿Cuántos paquetes
compró Rita?
Luisa quiere guardar 12 muñecas en 4 cajas metiendo igual número de muñecas en
cada caja. ¿Cuántas muñecas hay que meter en cada caja?
En un parqueadero hay 36 carros y solamente hay 6 espacios para parquear igual
números de carros en cada uno. ¿Cuántos carros se parquean en cada espacio?
MATEMATICAS – Matemáticas 2 167
PGF03-R03
TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN
Los términos de la división son:
DIVIDENDO: Es el número que se va a dividir, es el número mayor.
DIVISOR: Es el número entre el cual dividimos el número.
COCIENTE: Es el resultado de la división.
RESIDUO: Es lo que sobra.
EJEMPLO:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 168
PGF03-R03
Utilizamos la división cada vez que vamos a repartir objetos.
Hay 9 hamburguesas para repartir entre tres
niños. ¿Cuántas hamburguesasle tocan a cada niño?
MATEMATICAS – Matemáticas 2 169
PGF03-R03
Repartamos elementos
Tengo 12 lápices.
Si los reparto entre
4 niños, ¿Cuantos
Lápices le tocan a
Cada niño?
1. Realiza las siguientes divisiones y escribe al frente el nombre de los términos:
38 6
59 7
MATEMATICAS – Matemáticas 2 170
PGF03-R03
2. Completa cada enunciado y observa las partes de la división
8 X 4= ______ 32 ÷ 4 = _______
20 ÷ 5 = _____ 4 X 5 = _______
63 ÷ 9 = _____ 7 X 9 = _______
4 X 9 = _____ 36 ÷ 9 = _______
48 ÷ 6 = _____ 8 X 6 = _______
5 X 8 = _____ 40 ÷ 8 = _______
4 X 6 = _____ 24 ÷ 6 = _______
72 ÷ 8 = _____ 9 X 8 = _______
5 X 9 = _____ 45 ÷ 9 = _______
7 X 6 = _____ 42 ÷ 7 = _______
35 ÷ 7 = _____ 5 X 7 = _______
4 X 7 = _____ 28 ÷ 7 = _______
45 ÷ 5 = _____ 9 X 5 = _______
5 X 6 = _____ 30 ÷ 5 = _______
49 ÷ 7 = _____ 7 X 7 = _______
MATEMATICAS – Matemáticas 2 171
PGF03-R03
3. Resuelve y dibuja
Tengo 12 dulces para repartir entre 3 niños.
¿Cuántos dulces le tocan a cada niño?
Marinita tiene 18 globos y quiere repartirlas entre 3 niños. ¿Cuántos globos le tocan a
cada niño?
Resuelve los siguientes problemas:
a. Hay 21 rosas para decorar en 6 floreros iguales ¿Cuántas rosas se deben poner
en cada florero? ¿Sobran rosas? ¿Cuántas?
b. Doña María tiene32 naranjas para hacer jugo. Si en cada vaso de jugo utiliza
4 naranjas ¿Cuántos vasos de jugo puede preparar? ¿Sobran naranjas?
MATEMATICAS – Matemáticas 2 172
PGF03-R03
DIVISIONES EXACTAS E INEXACTAS
Para repartir 15 globos entre 3 niños,
¿Qué operación se debe hacer?_____________________.
¿Qué se divide?______________________________________.
¿Cuál es el cociente?__________ ¿Por qué?_____________.
¿Qué clase de división es?____________________________.
Para repartir 14 balones entre 4 niños,
¿Qué operación se debe hacer?_____________________.
¿Qué se divide?______________________________________.
¿Cuál es el cociente?__________ ¿Por qué?_____________.
¿Qué clase de división es?____________________________.
Si el residuo es cero se llama
división exacta y cuando el
residuo es diferente de cero
es inexacta.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 173
PGF03-R03
Para repartir 10 peces entre 3 peceras,
¿Qué operación se debe hacer?_____________________.
¿Qué se divide?______________________________________.
¿Cuál es el cociente?__________ ¿Por qué?_____________.
¿Qué clase de división es?____________________________.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 174
PGF03-R03
4. Une con una línea cada división con su resultado y su multiplicación e identifica si es
exacta o inexacta
3. Resuelve cada problema, realizando el proceso y de acuerdo al residuo escribe si la
división es exacta o inexacta.
a. Alexandra tiene 972 fotos para repartirlas en partes iguales, en 4 álbumes. ¿Cuántas
fotos tendrá cada álbum?
b.Samuel tiene que empacar 966 tomates en 2 bolsas. ¿Cuántos tomates se deben empacar
en cada bolsa en partes iguales?
c. Marcela ya tiene 246 vestidos de muñecas para sus 6 muñecas. ¿Cuántos vestidos le
corresponde a cada muñeca?
a. Álvaro va a regalar sus 795 canicas a sus amigos Carlos, Raúl, Nancy, Javier y
Lina. ¿Cuántas canicas le toca a cada uno de sus amigos?
MATEMATICAS – Matemáticas 2 175
PGF03-R03
1. Orden los números y forma la división correctamente , luego escribee el nombre
que corresponde a cada elemento de la división.
7
5 36
1
7
6 42
0
4
5 24
4
5
7 36
1
Dividendo=
Dividendo=
Dividendo=
Dividendo=
Divisor=
Divisor=
Divisor=
Divisor=
Cociente=
Cociente=
Cociente=
Cociente=
Res=
Res=
Res=
Res=
2. Divide mentalmente
12:2=
21:3=
24:4=
35:5=
10:2=
24:3=
16:4=
40:5=
MATEMATICAS – Matemáticas 2 176
PGF03-R03
16:2=
12:3= 32:4= 25:5=
14:2=
27:3=
20:4=
30:5=
18:2=
15:3=
28:4=
10:5=
8:2=
18:3=
36:4=
45:5=
3. Se deben repartir 4 bocadillos entre dos niños
MATEMATICAS – Matemáticas 2 177
PGF03-R03
DIVISIONES POR UNA CIFRA CON PRUEBA HASTA CENTENAS DE MIL
Para comprobar si una división es correcta, se hace lo siguiente:
PASOS:
1. Se hace la división.
2. Se multiplica el cociente por el divisor.
3. Al producto de la multiplicación se le suma el residuo.
VEAMOS:
765.423 8
45 9 5. 6 7 7
5 4
6 2
6 3
7 4 5 6 5
PRUEBA: 9 5. 6 7 7
X 8_______
7 6 5 4 1 6
+ 7_______ 7 6 5. 4 2 3
MATEMATICAS – Matemáticas 2 178
PGF03-R03
Resuelve el siguiente problema:
Pedro es un señor que tiene 4 hermanos que quiere mucho. Acaba de recibir un premio
de $987.256 pesos y desea dejarse para el $350.670 y el resto repartirlo entre los
cuatro hermanos en partes iguales. ¿Cuánta plata le da a cada hermano?
Responde las siguientes preguntas que te ayudarán a resolver el problema:
¿Cuánta plata se ganó? __________________
¿Cuánta plata quiere dejarse para él? ___________________
¿Cuánta plata le queda después de sacar lo que quiere para él?
__________________
¿Entre cuántos hermanos desea repartir la plata que le quedo?
___________________
¿Cuánta plata le toca a cada hermano? _______________________
NOTA: Para resolver el problema anterior debes usar dos operaciones matemáticas,
encierra en un círculo las correctas:
SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
MATEMATICAS – Matemáticas 2 179
PGF03-R03
Realiza el proceso y escribe la respuesta
De acuerdo al ejemplo anterior resuelve cada problema, haciendo el proceso en cada caso.
El padre Chamito gano un premio en la súper de alimentos de 675.345 dulces de todos
los gustos. Desea dejar para él 239.765 y repartir entre los 6 grupos de la primaria
en partes iguales los dulces que le quedan. ¿Cuántos dulces le corresponde a cada
grupo?
Responde las siguientes preguntas que te ayudarán a resolver el problema:
¿Cuántos dulces ganó? __________________
¿Cuántos dulces dejo para él? ___________________
¿Cuántos dulces le quedan después de sacar los que quiere para él?
________________
¿Entre cuántos grupos desea repartir los dulces que le quedan?
___________________
¿Cuántos dulces le toca a cada grupo? _______________________
NOTA: Para resolver el problema anterior debes usar dos operaciones matemáticas,
encierra en un círculo las correctas:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 180
PGF03-R03
SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
2. Realiza las siguientes divisiones con su respectiva prueba:
456.789 9 874.239 8
PRUEBA: PRUEBA:
765.987 7 567. 543 6
PRUEBA: PRUEBA:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 181
PGF03-R03
874.324 5 644. 782 4
PRUEBA: PRUEBA:
5. Practica multiplicación y división con los gusanos.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 182
PGF03-R03
6. Selecciona la respuesta correcta en cada caso
1.¿Cuál es el dividendo de una división si el divisor es 7, el cociente 12 y el residuo 3?
A) 81 B) 84 C) 87 D) 88
2. De una caja de 24 chocolates, me comí la tercera parte. ¿Cuántos me quedan?
A) 8 B) 21 C) 16 D) 12
3. A Ricardo se la cayó la caja de 12 huevos y se rompieron la mitad parte de ellos. Si
luego se comió la tercera parte de los que quedaron, ¿Cuántos le sobraron finalmente
A) 4 B ) 2 C) 3 D) 1
4. En una heladería hay 774 helados. La mitad de ellos son de vainilla, del resto, la
tercera parte es de chocolate. El resto es de frutilla ¿Cuántos son de frutilla?
A) 387 B) 129 C) 516 D) 258
5. ¿Cuántos paquetes de 25 cuadernos hay que comprar para que los 214 estudiantes de
un colegio tengan 3 cuadernos cada uno?
Con las siguientes divisiones inventa dos problemas de división y escríbelos en el cuaderno,
realizando el proceso indicado.
MATEMATICAS – Matemáticas 2 183
PGF03-R03
LEE ATENTAMENTE LA SIGUIENTE INFORMACION:
La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar
cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La
división es una operación matemática, inversa de la multiplicación
Según su residuo, las divisiones se clasifican como exactas si su residuo es cero ó
inexactas cuando no lo es.
AHORA RESUELVE CADA EJERCICIO PLANTEADO, UTILIZANDO LAS
TABLAS DE MULTIPLICAR Y LAS OPERACIONES BÁSICAS
1. Miguel tiene 21 bombones. si se come 3 bombones cada día, ¿para cuántos días le
alcanzarán los bombones?
A. 5 días.
B. 4 días.
C. 7 días.
D. 3 días
2. Isabela debe leer un libro de 75 páginas. Si leyera diariamente 5 páginas, ¿en cuántos
días leería el libro?
A. 15 días. 75 5
MATEMATICAS – Matemáticas 2 184
PGF03-R03
B. 8 días.
C. 12 días.
D. 10 días
3. Raquel tiene $4.860 y los debe repartir entre ella y sus cuatro hermanos. ¿Cuánto dinero recibe
cada uno?
A. $ 297
B. $ 729
C. $ 972
D. $234
4. En un tren viajan 360 pasajeros y tiene 9 vagones ¿Cuántas personas van en cada uno?
A.25 personas.
B. 40 personas.
C. 20 personas.
D. 15 personas.
5. Juan Esteban ha coleccionado 1.580 conchitas y desea repartirlas entre 7
amigos, para despedirse de éste año escolar. ¿Cuántas conchas le
corresponden a cada uno?
A. 215
B. 267
C. 225
D. 2106.
COMPLETA LA SIGUIENTE TABLAS
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabla del 6 X
MATEMATICAS – Matemáticas 2 185
PGF03-R03
6. Ahora completa los siguientes ejercicios
6 x 5 = 30____÷ ____ = ____
6 x = 12 ____ ÷: _2___ = ____
6 x =60 ____ ÷: ____ = ___6_
6 x 9 = _54___ ÷: ____ = ____
7. La división es una operación que consiste en:
A. Sumar diferentes cantidades.
B. Repartir una cantidad en partes iguales.
C. Restar dos números iguales.
D. Multiplicar dos números
8. La división puede ser de dos clases exacta e inexacta; la división es exacta cuando:
A. El residuo es 1
B. El residuo es diferente de cero
C. El residuo es cero
D. Cuando se multiplica el dividendo por el divisor.
9. Realiza la división con la prueba y selecciona el resultado:
MATEMATICAS – Matemáticas 2 186
PGF03-R03
A. 12.405 PRUEBA
B. 12.507
C. 12.409
D.12.904
MENTEFACTO
MATEMATICAS – Matemáticas 2 187
PGF03-R03
BIBLIOGRAFÍA
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MATEMATICAS – Matemáticas 2 188
PGF03-R03
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