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Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI)
Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática
Ingeniería en Telemática
Programa desarrollado de la asignatura: Comunicación de Datos
Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI)
Clave 22142118/21142318
Universidad Abierta y a Distancia de México
Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI)
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1
Índice
Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) ........................................... 2
Presentación de la Unidad ............................................................................................. 2
Propósitos ...................................................................................................................... 2
Competencia específica ................................................................................................. 3
2.1. Respuesta de sistemas lineales e invariantes en el tiempo ..................................... 3
2.1.1. Respuesta de entrada cero (libre) y respuesta de estado cero (forzada) .......... 4
2.1.2. Respuesta transitoria y respuesta permanente ................................................. 6
Actividad 1. Modelos de respuesta ............................................................................... 10
2.2.1. Propiedades del impulso discreto y continuo .................................................. 10
Actividad 2. Propiedades de impulso ............................................................................ 12
2.2.2. Concepto de respuesta al impulso .................................................................. 12
2.2.3. La respuesta forzada y propiedades de la convolución ................................... 13
2.2.4. Respuesta al impulso y la respuesta al escalón .............................................. 14
Actividad 3. Identificando respuestas ........................................................................... 14
Actividad 4. Convolución .............................................................................................. 14
Evidencia de aprendizaje. Uso de herramienta matemática ......................................... 15
Autorreflexión ............................................................................................................... 15
Para saber más ............................................................................................................ 15
Fuentes de consulta ..................................................................................................... 16
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Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI)
Presentación de la Unidad
En el último punto de la unidad anterior viste las propiedades de los sistemas como
linealidad, invariancia en el tiempo, causalidad y estabilidad externa. Las propiedades de
linealidad e invariancia en el tiempo son importantes para poder analizar a fondo señales
y sistemas, lo cual ha sido un precedente para lo que esencialmente atendrás en esta
unidad.
En esta unidad te vas Esta unidad se va a enfocar en los sistemas lineales e invariantes
en el tiempo (SLTI).
Existen muchos sistemas en los que, por su aplicación, es necesario saber qué salida se
va a obtener; por ejemplo, un aparato auditivo es un sistema en el cual es importante que
el sistema actué sobre la señal de entrada de diferente modo y de acuerdo a las
necesidades de cada persona.
A manera de apoyo, se presenta un apéndice sobre las ecuaciones diferenciales que
podrás consultar en los materiales descargables para complementar tu proceso de
aprendizaje. Este material está orientado hacia los contenidos de esta asignatura.
Propósitos
En esta unidad se tratarán los siguientes
aspectos:
Explicar modelos de respuesta de los
sistemas lineales e invariantes.
Identifica las propiedades de impulso.
Identifica los tipos de respuesta de la
convolución.
Mediante ejercicios propuestos, calcula la
respuesta de un sistema lineal invariante
en el tiempo al impulso, así como la
invariante en el tiempo al escalón.
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Competencia específica
Determinar la respuesta de un sistema
lineal e invariante en el tiempo de acuerdo
a los valores de entrada a través de
ecuaciones diferenciales.
2.1. Respuesta de sistemas lineales e invariantes en el tiempo
Retomando lo visto en la unidad anterior, recuerda que un sistema es lineal si se puede
aplicar el principio de superposición, el cual enuncia que la respuesta del sistema a una
suma de señales de entrada es la suma de las respuestas del sistema a cada señal por
separado; es decir, que si la señal de entrada está afectada por alguna constante, la señal
de salida deberá ser afectada del mismo modo. Y el sistema va a ser invariante en el
tiempo si un desplazamiento en la señal de entrada se refleja del mismo modo en un
desplazamiento en la señal de salida; es decir, que la respuesta sólo depende del sistema
y la señal de entrada.
Como puedes ver en la siguiente imagen, cualquier cambio en la señal 1 (azul) se verá
reflejada en la señal 2 (gris).
Principio de superposición
Principio de superposición. Autor: Fu-Kwun Hwang, Dept. of physics, National Taiwan Normal
University. 16/05/2012.Traducción: José Villasuso Simulación realizada en:
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/waveSuperposi
tion/waveSuperposition_s.htm
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2.1.1. Respuesta de entrada cero (libre) y respuesta de estado cero
(forzada)
La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede expresar mediante una
ecuación diferencial.
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
Donde:
𝑦ℎ(𝑡) Es la respuesta a entrada cero (libre) y 𝑦𝑝(𝑡) es la respuesta de estado cero
(forzada).
La respuesta de entrada cero también es conocida como entrada
natural o solución homogénea, la cual depende de las
condiciones iniciales y no de la entrada. Y la respuesta de estado
cero depende de la entrada y no de las condiciones iniciales, y es
conocida como respuesta a estado forzada o solución particular.
Como puedes ver, para obtener la solución general del sistema lineal invariante en el
tiempo necesitas tener la solución homogénea y la solución particular.
Ahora verás un ejemplo en el que se obtiene primero la respuesta de entrada cero,
después la respuesta de estado cero; y finaliza con la muestra de cómo se obtiene la
solución general del SLTI, partiendo de las 2 respuestas.
Ejemplo 1
Se tiene un SLTI dado por la siguiente ecuación diferencial:
𝑑3 𝑦
𝑑𝑡3+ 8
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 37
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 50𝑦 = 4𝑒−3𝑡
Para que puedas obtener la solución general a esta ecuación, primero debes obtener la
solución homogénea, también llamada respuesta de entrada cero; esto corresponde a
resolver la parte izquierda de la ecuación diferencial.
Primero igualas a cero la parte izquierda de la ecuación diferencial:
𝑑3 𝑦
𝑑𝑡3+ 8
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 37
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 50𝑦 = 0
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Después vas a generar una ecuación auxiliar:
𝑝3 + 8𝑝2 + 37𝑝 + 50 = 0
Obtienes las raíces:
𝑟1 = −2, 𝑟2,3 = −3 ± 4
Se procede a resolver para obtener la solución homogénea:
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴1𝑒−2𝑡 + 𝐴2𝑒−3𝑡 cos(4𝑡) + 𝐴3𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛(4𝑡)
Ya tienes la respuesta de entrada cero o solución homogénea.
Ahora vas a resolver la otra parte de la ecuación mediante la solución particular o
respuesta de estado cero.
𝑑3 𝑦
𝑑𝑡3+ 8
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2+ 37
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 50𝑦 = 4𝑒−3𝑡
Ecuación auxiliar
𝑝3 + 8𝑝2 + 37𝑝 + 50 = 4𝑒−3𝑡
1
𝑝3 + 8𝑝2 + 37𝑝 + 50= 4𝑒−3𝑡
Evaluando en 𝑝 = −3, se obtiene
𝑦𝑝(𝑡) = −0.25𝑒−3𝑡
La solución general queda de la siguiente forma:
𝐴1𝑒−2𝑡 + 𝐴2𝑒−3𝑡 cos(4𝑡) + 𝐴3𝑒−3𝑡𝑠𝑒𝑛(4𝑡) = −0.25𝑒−3𝑡
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2.1.2. Respuesta transitoria y respuesta permanente
La respuesta transitoria y la respuesta permanente te van a ayudar a analizar sistemas de
control. Recuerda que los sistemas de control son capaces de controlar su conducta con
la finalidad de lograr su objetivo. Estas respuestas forman lo que se llama respuesta
temporal de un sistema de control. La respuesta transitoria va desde el estado inicial del
sistema de control hasta su estado final, y la respuesta permanente representa cómo se
va a comportar la salida del sistema.
En este caso no vas a conocer la señal de entrada, pero sí vas a saber cuál es el objetivo
que se quiere lograr con el sistema de control, por lo que debes saber cuáles señales de
entrada pudieran ser las más comunes para hacer el estudio de la respuesta temporal.
Esto va a dar las posibles opciones de respuesta del sistema según las variaciones de la
señal de entrada.
Para obtener esta respuesta vas a estar a prueba y error, ya que de acuerdo a la señal de
entrada, va a ser la señal que se obtenga de salida; entonces, esto va a permitir
reconocer cuál va a ser la mejor respuesta.
Para empezar, vas a ver cuáles son las señales de entrada más comunes:
Impulso
Es el resultado de dos funciones escalón encontradas. Es una señal en un determinado
punto en el tiempo; es una señal muy alta y angosta:
∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1
∞
−∞
t
r(t)
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Escalón
Esta función corresponde a una señal aplicada a partir de que el tiempo empieza a correr.
Por ejemplo, pudiera ser la llave de paso en una instalación de agua. Se va a activar en
determinado momento y así se va a mantener. También se le conoce como función
Heaviside.
𝐻(𝑡 − 𝑎) {0,0 ≤ 𝑡 < 𝑎
1, 𝑡 ≥ 𝑎
Esta función toma el valor de 0 para cualquier argumento negativo, y el valor de 1 para los
argumentos positivos, tal como se ilustra en la ecuación anterior.
La magnitud de esta señal está presente constante en el tiempo, como se puede observar
en la siguiente imagen.
Ejemplo 2
Graficar la siguiente función escalón unitario 𝐻(𝑡 − 2)
Lo primero es determinar el intervalo de la función. El número 2 es el que indica desde
cuántas unidades a la derecha se comienza {0,0 ≤ 𝑡 < 2
1, 𝑡 ≥ 2
t a
M
r(t)
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Como se puede ver, el escalón empieza a partir de 2 con valor de 1.
Rampa
Esta función se utiliza para interpretar fenómenos físicos como el llenado de una cisterna.
Una característica de esta función es que es nula en tiempo antes de cero, y comienza a
crecer a partir de ese momento de forma lineal.
La amplitud de esta señal varía respecto al tiempo.
𝑟(𝑡) = {
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0𝑡
𝑡0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0
1 𝑠𝑖 𝑡 > 𝑡0
La señal se incrementa desde cero hasta llegar al valor en el que está ajustado; para este
caso, 1.
1
2
1
0 tt
r(t)
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Parábola
Esta función es resultado de la integración de la función rampa, es decir, si se deriva la
función parábola se obtendrá la función rampa, y si se hace una doble derivación, se
tendrá la función escalón unitario. Esto lleva a que si se conoce el comportamiento de un
sistema frente a la función escalón, se obtendrá la función rampa y parábola.
𝑝(𝑡) = 𝑡2𝑢(𝑡) = {0, 𝑡 < 0
𝑡2, 𝑡 > 0
Esta señal varia también respecto al tiempo pero de forma cuadrática, es decir, que según
la gráfica va a tomar valor en los dos ejes.
Ya que viste cuáles son las entradas más comunes, lo siguiente será clasificar el sistema
de control según su orden:
1er Orden.- son aquellas en las que el orden mayor de derivadas es uno
2do. Orden.- son aquellas en las que el orden mayor de derivadas es 2
Orden superior.- son aquellas que tienen un orden de derivadas n siempre
y cuando sea mayor a 2.
Una vez que ya sabes de qué orden es y tienes una señal de entrada para probar, se
procede a resolver.
Ejemplo 3
Por ejemplo:
t
r(t)
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Un sistema 𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾
𝜏𝑠+1 con una entrada escalón de magnitud M 𝑅 =
1
𝑆
𝐶(𝑠) = 𝑀𝐾(1
𝑠−
𝜏
𝜏𝑠 + 1)
𝐶(𝑡) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒−𝑡
𝜏
𝐶(0) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒0) = 0
𝐶(𝜏) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒−1) = 0.632𝑀𝐾
𝐶(∞) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒∞) = 𝑀𝐾
Actividad 1. Modelos de respuesta
Esta es la primera actividad de la Unidad 2 de la asignatura. ¡Bienvenido!
1. Obtén las respuestas a los SLTI, con base en las indicaciones del documento
de actividades.
*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.
2.2.1. Propiedades del impulso discreto y continuo
La función de impulso discreto 𝛿𝑛 se define como:
𝛿𝑛 = {1 𝑛 = 00 𝑛 ≠ 0
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La propiedad más importante es la de desplazamiento, ya que es la que generalmente
define la función del impulso.
∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(0)𝛿(𝑡)𝑑𝑡∞
−∞
∞
−∞
= 𝑓(0) ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓(0)
Otra característica importante es que su transformada es 1, como se demuestra a
continuación.
𝑍{𝛿(𝑘)} = ∑ 𝛿(𝑘)𝑧−𝑘
∞
𝑘=−∞
= 𝛿(0)𝑧−0 = 1
Otras propiedades del impulso discreto
𝛿(𝛼𝑡) =1
|𝛼|𝛿(𝑡)
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𝛿(𝑡) = 𝛿(−𝑡)
𝛿(𝑡) =𝑑
𝑑𝑡𝑢(𝑢𝑡) donde 𝑢(𝑡) es escalón unitario
Actividad 2. Propiedades de impulso
La propiedad del impulso directo es de las más importantes cuando se habla de
sistemas lineales.
1. Consulta el documento de actividades.
*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.
2.2.2. Concepto de respuesta al impulso
En un sistema lineal invariante en el tiempo, cuando la señal de entrada es un impulso
con las propiedades vistas en el punto anterior, se puede obtener la respuesta, ya que se
representan por la superposición de señales. La respuesta va a estar dada por una
función de transferencia, ya sea convolución o transformada.
Esta respuesta se da cuando el sistema está en estado de reposo. A partir de la
respuesta al impulso, se conoce la salida y características del sistema.
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2.2.3. La respuesta forzada y propiedades de la convolución
En una respuesta forzada, la señal de salida toma la misma forma que la señal de
entrada. Usando la herramienta de convolución se va a poder determinar la respuesta del
sistema en cualquier entrada, partiendo de la respuesta al impulso de entrada, y está
dado por la siguiente ecuación.
𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑛)𝑔(𝑡 − 𝑛)𝑑𝑛∞
−∞
Muchas de las propiedades de la convolución vienen de las propiedades de una de las
operaciones aritméticas básicas: la multiplicación.
Ley conmutativa 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓
Ley distributiva 𝑓 ∗ (𝑔 + ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) + (𝑓 ∗ ℎ)
Ley asociativa 𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ
Ahora observa cómo obtener la convolución de dos funciones.
Ejemplo 4
A partir de las siguientes ecuaciones:
𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)
𝑔(𝑡) = cos (𝑏𝑡)
Usando la definición de convolución:
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) ∗ cos(𝑏𝑡) = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎(𝑡 − 𝜏)) cos(𝑏𝜏) 𝑑𝜏𝑡
0
Integrando por partes:
1
2∫ (𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡 + (𝑏 − 𝑎)𝜏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡 − (𝑏 − 𝑎)𝜏))𝑑𝜏
𝑡
0
Se tiene como resultado la siguiente ecuación.
=𝑎(cos(𝑏𝑡) − cos(𝑎𝑡))
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
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2.2.4. Respuesta al impulso y la respuesta al escalón
Para poder obtener la respuesta al impulso es más conveniente obtener primero la
respuesta al escalón, ya que esto es más fácil y se hace mediante una derivada.
𝑤(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡)
= ∫ ℎ(𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏∞
−∞
= ∫ ℎ(𝜏)𝑑𝜏𝑡
−∞
ℎ(𝑡) = 𝑤′(𝑡)
Actividad 3. Identificando respuestas
De acuerdo a lo estudiado, considera una entrada y las condiciones especiales del
sistema.
1. Realiza lo que se te indica en el documento de actividades.
*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.
Actividad 4. Convolución
En esta actividad pondrás en práctica algunos aspectos referentes a la convolución.
1. Accede a esta actividad para obtener más detalles de cómo deberás realizarla.
*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.
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Evidencia de aprendizaje. Uso de herramienta matemática
Una vez concluido el estudio de la Unidad 2, y de acuerdo al planteamiento que hará
llegar tu Docente:
1. Revisa el documento de actividades.
*Verifica los criterios de evaluación para la evidencia de aprendizaje.
Autorreflexión
Los procesos de autorreflexión son importantes en tu proceso de aprendizaje. Por lo
anterior, al término de todas tus actividades y de cada Evidencia de aprendizaje,
ingresa al foro para responder las preguntas que te hará tu Docente.
Para saber más
Si quieres profundizar más en el tema se recomienda la siguiente referencia:
Kuo, B. (1996). Sistemas de control automático. (7ª edición). México: Pearson-Prentice
hall.
Para que veas ejemplos de su aplicación en la vida real, puedes visitar el siguiente
vínculo: Universidad de Oviedo. Regulación automática. Tema 8 Dispositivos y ejemplos
de sistemas de control. http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/tema8.pdf
Para reforzar la parte de práctica puedes resolver los ejercicios propuestos a
continuación:
Con base en el libro de Oppenheim, W., Mata, H., Suarez, F. (1998). Señales y Sistemas.
(2ª edición) Mexico: Prentice Hall Hispanoamericana, se proponen los siguientes
ejercicios: 2.1, 2.3, 2.17, 2.18, 2.40, 2.46.
Del libro, Soliman, S. S., Srinath, D. (1999). Señales y Sistemas Continuos y Discretos,
(2da. Edición) Madrid: Prentice Hall Iberia S.R.L., se proponen los ejercicios:
2.1, 2.3, 2.5
Recuerda que estos ejercicios te van a ayudar a reforzar lo visto en esta unidad, y que
puedes corroborar tus resultados en las soluciones de los problemas en los respectivos
libros.
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Cierre de la Unidad
El estudio de esta unidad se ha enfocado en sistemas lineales e invariantes en el tiempo,
un tema muy importante hoy en día porque los sistemas de control tienen las
características de ser lineales, dado que la magnitud de las señales está limitada.
En los SLTI la señal de salida responde de acuerdo a la señal que se tuvo de entrada; lo
cual no quiere decir que si la señal de entrada fue un escalón, la salida deba ser del
mismo tipo, sino que si el escalón varia en alguna constante, se reflejará en la señal de
salida.
Vimos que se pueden representar los SLTI con ecuaciones diferenciales y cómo se
resolverían de presentarse así.
Fuentes de consulta
Fuentes básicas
Mata, G.H. et al. (2002). Análisis de Sistemas y Señales con computo avanzado.
México: Facultad de Ingeniería UNAM.
Oppenheim, W.; Mata, H.; Suarez, F. (1998). Señales y Sistemas. (2ª edición)
Mexico: Prentice Hall Hispanoamericana.
Soliman, S. S., Srinath, D. (1999). Señales y Sistemas Continuos y Discretos,
(2da. Edición) Madrid: Prentice Hall Iberia S.R.L.
Zill, G. D. (2007). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. (8ª
Edicion). España: Cengage Learning.
Fuentes complementarias
Almenar, V.; Esteban, H. (2000). Apuntes de sistemas lineales. (1ª edición).
Valencia: Universidad Politécnica de Valencia.
Fu-Kwun, H. (2000). Principio de superposición. Trad. Villasuso, J. Taiwan:
National Taiwan Normal University. Consultado en:
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujav
a/waveSuperposition/waveSuperposition_s.htm
Kuo, B. (1996). Sistemas de control automático. (7ª edición). México: Pearson-
Prentice hall.
Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI)
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Linder, D.K. (2002). Introducción a las señales y los sistemas. Caracas: McGraw
Hill.
Universidad de Oviedo (2003). Tema 8 Dispositivos y ejemplos de sistemas de
control. En Regulación automática. Gujón: Universidad de Oviedo.